最小二乘法公式
推导最小二乘法的两种方法
推导最小二乘法的两种方法最小二乘法是一种常见的数据拟合方法,用于找到一条直线,使得该直线与一组数据之间的最小距离等于零。
下面将介绍两种推导最小二乘法的方法。
方法一:基于样本点的距离我们可以从样本点出发,构造一条直线,使得该直线与样本点的距离等于零。
具体来说,设样本点为 (x_i, y_i),我们希望构造的直线为:y = ax + b其中 a 和 b 是待求的直线的参数。
为了找到 a 和 b,我们可以对样本点进行距离计算,得到:d = |y_i - ax_i + b|我们希望 d 等于零,即 y_i - ax_i + b = 0。
解这个方程,可以得到 a = (y_i - b) / x_i,b = y_i。
因此,我们得到一条直线的参数为:a = (y_i - b) / x_i,b = y_i该直线与样本点的距离就是:d = |y_i - ax_i + b| = |y_i - (y_i - b) / x_i + b| = (y_i - b) / x_i + b方法二:基于最小二乘法的公式另一种推导最小二乘法的方法是利用最小二乘法的公式。
最小二乘法的公式是:最小二乘法 = 1 / (n - 1) * Σ (y - y_i)^2 / (x - x_i)^2其中 n 是样本数,y_i 和 x_i 是样本点的坐标。
我们希望找到一条直线,使得该直线的斜率 k 满足:k * (x - x_i) = (y - y_i)即 k * (x - x_i) = y - y_i我们要求 k * (x - x_i) 最小,即要求 y - y_i 最小。
因此,我们可以构造一组数据,使得 y - y_i 最小。
具体来说,设 y_j = y_i + c,其中 c 是常数。
我们可以构造一条直线:k * (x - x_i) = y - y_i = y_j - c其中 k * (x - x_i) 就是直线的斜率。
该直线与样本点的距离就是:d = |y_i - ax_i + b| = |y_j - c - (ax_i + b)| = |ax_i - y_j - c|我们希望 d 最小,即要求 ax_i - y_j - c 最小。
最小二乘法求a,b的公式
最小二乘法求a,b的公式
用最小二乘法求回归直线方程中的a,b有下面的公式：
最小二乘法：总离差不能用n个离差之和来表示，通常是用离差的平方和，即作为总离差，并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条，这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法：
由于绝对值使得计算不变，在实际应用中人们更喜欢用：Q=（y1-bx1-a）?（y2-bx-a 玻?。
+（yn-bxn-a）? 这样，问题就归结于：当a，b取什么值时Q最小，即到点直线y=bx+a的“整体距离”最小。
扩展资料：
回归分析的最初目的是估计模型的参数以便达到对数据的最佳拟合。
在决定一个最佳拟合的不同标准之中，最小二乘法是非常优越的。
这种估计可以表示为：
1)样本是在母体之中随机抽取出来的。
2)因变量Y在实直线上是连续的，
3)残差项是独立同分布的，也就是说，残差是独立随机的，且服从高斯分布。
这些假设意味着残差项不依赖自变量的值，所以和自变量X（预测变量）之间是相互独立的。
在这些假设下，建立一个显示线性回归作为条件预期模型的简单线性回归方程，可以表示为：
给一个随机样本，一个线性回归模型假设回归子和回归量之间的关系是除了X的影响以外，还有其他的变数存在。
我们加入一个误差项（也是一个随机变量）来捕获除了之外任何对的影响。
最小二乘法LSQ(least square)_计算公式
的一个二元函数， 把 M 看成自变量 a 和 b 的一个二元函数， 那么问题就可归结为求函数 M = M ( a , b ) 在那 些点处取得最小值. 些点处取得最小值
7 ∂M ∂a = −2∑ [ yi − (at i + b )]t i = 0, i =0 令 7 ∂M = −2∑ [ yi − (at i + b )] = 0; ∂b i =0
7 7 7
(1)
计算得
∑t
i =0 7 i =0
7
i
= 28, = 208.5,
∑t
i =0 7 i =0
7
2 i
= 140, = 717.0
∑y
i
∑yt
i i
代入方程组（ ） 代入方程组（1）得
140a + 28b = 717, 28a + 8b = 208.5.
解此方程组， 解此方程组，得到 a = −0.3036, b = 27.125. 这样便得到所求经验公式(回归方程 为 这样便得到所求经验公式 回归方程 )为
在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据： 例2 在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：
i
1 3
2 6
3 9
4 12
5 15
6 18
7 21 8.9
8 24 6.5
τi
yi
57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2
y 表示从实验开始算起的时间， 其中 τ 表示从实验开始算起的时间， 表示时刻τ 反应物的量． 反应物的量．试定出经验公式 y = f (τ ).
试根据上面的试验数据建立 y 和 t 之间的经验公 式 y = f (t ).
最小二乘法
最小二乘法1. 最小二乘法原理：最小二乘法是常用的线性拟合方法，原理和计算公式简述如下：假定线性关系为y kx b =+，做N 次实验得到'i i y kx b =+，式中与假定关系比较误差为，'21()N i i i W yy ==-∑。
为了使W 值最小，应有0,0WWk b ∂∂==∂∂。
于是得到求解k 、b 的方程式为，211111NN N i i i i i i i N N i ii i k x b x x y k x bN y =====+=+=∑∑∑∑∑，计算求得斜率k 与截距b 的值。
2. 数据处理：电压值经过运放输出到AD 转换器，然后由AD 转换得到一个数值。
在这个过程中，从0.0000到10.0000间隔1.0000取一个值共11个输入值，对应这11个输入值有11个最终的输出值。
依据这11组不同的数据，我们可以依据最小二乘法来求得一个线性关系：y = k*x + b 。
3. 程序设计：（1） 从文本文件中读取输入输出值。
文本文件的格式为：两列数据，第一列为输入数据，第二列为输出数据。
（2） 对于数据利用最小二乘法进行计算求得直线的斜率和截距。
具体步骤为：1）计算输入x 数组的叠加和xtotal 和平方和xsqua ；计算输出y 数组的叠加和ytotal 和平方和ysqua ，以及xy 乘积的叠加和xymul ；2）计算sxx=xsqua-xtotal*xtotal/11,syy=ysqua-ytotal-ytotal,sxy=xmul-xtotal*ytotal/11；3）计算斜率k 和截距b 。
xaver=xtotal/11,yaver=ytotal/11,k=sxy/sxx,b=yaver-k*xaver 。
（3） 计算误差百分比。
具体步骤为：1）计算输入x 条件下的输出拟和值yy[I]=k*x[I]+b ；2）计算拟和值与测量值的差值diff[I]=yy[I]-y[I]；3）计算误差百分比per[I]=diff[I]/y[I]。
最小二乘法系数计算公式
最小二乘法系数计算公式最小二乘法系数计算公式这玩意儿，在数学和统计学里那可是相当重要！咱先来说说啥是最小二乘法。
打个比方，你想研究身高和体重之间有没有啥关系。
你找了一堆人，量了他们的身高和体重。
这一堆数据放那，看起来乱哄哄的，你就想找个规律，让一条线能尽量好地穿过这些数据点。
这条线呢，就是通过最小二乘法算出来的。
那最小二乘法系数计算公式到底是啥呢？其实就是通过一些数学运算，找到能让实际数据点和预测线之间的误差平方和最小的系数。
比如说，有一组数据（x1,y1），（x2,y2），……，（xn,yn）。
我们设要拟合的直线方程是 y = a + bx 。
那误差平方和 S 就等于（y1 - (a + bx1))² + （y2 - (a + bx2))² + …… + （yn - (a + bxn))²。
为了找到让 S 最小的 a 和 b ，就得用一些数学方法来算啦。
这计算过程啊，可有点复杂，得用到求偏导数啥的。
我记得有一次，给学生们讲这个的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，说：“老师，这咋这么难啊！”我就跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”然后我带着他们从最简单的例子开始，一个数据一个数据地分析，慢慢他们就有点感觉了。
其实在实际生活中，最小二乘法的用处可大了。
比如说预测股票的走势，虽然不能百分百准确，但能给咱一个大概的参考。
或者分析某个产品的销量和广告投入之间的关系，帮助企业做决策。
还有啊，搞科研的时候也经常用到。
比如研究气候变化和某些因素的关系，通过最小二乘法找到规律，就能更好地预测未来的气候变化。
学习最小二乘法系数计算公式，一开始可能会觉得头疼，但只要多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢就会发现其中的乐趣。
就像解谜一样，当你算出正确的系数，找到那条最合适的线，那种成就感可太棒啦！所以啊，同学们，别害怕这个小小的难题，加油去攻克它，你会发现数学的世界里有很多奇妙的东西等着你们去探索呢！。
最小二乘法LSQ(least square)_计算公式
试根据上面的试验数据建立 y 和 t 之间的经验公 式 y = f (t ).
解 首先确定 f (t ) 的类型.y 的类型. 如图， 如图，在坐标纸上画出
27
这些点， 这些点，观察可以认为
y = f (t ) 是 线 性 函 数 ,
并设 f ( t ) = at + b, 其中
26
25
a 和 b 是待定常数. 是待定常数.
二、最小二乘法
为了测定刀具的磨损速度， 例1 为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的 实验：经过一定时间(如每隔一小时) 实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一 次刀具的厚度,得到一组试验数据如下： 次刀具的厚度,得到一组试验数据如下：
0 1 2 3 4 5 6 7 顺序编号i 0 1 2 3 4 5 6 7 小时) 时间t i (小时 小时 刀具厚度 yi (毫米 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.3 毫米) 毫米
( 3)
∑ τ = 108, ∑ τ ∑ lg y = 10.3, ∑ τ
i 1 8= i i =1 8 i =1 i i =1
8
8
2
i
= 1836, lg yi = 122.
i
将他们代入方程组（ ） 将他们代入方程组（3）得
1836a + 108b = 122, 108a + 8b = 10.3. a = 0.4343m = −0.045, 解这方程组， 解这方程组，得 b = lg k = 1.8964.
24
o
1 2 3 4 5 6 7 8
t
因为这些点本来不在一条直线上， 因为这些点本来不在一条直线上，我们只 能要求选取这样的 a, b ，使得 f ( t ) = at + b 在 t 0 , t1 ,⋯, t 7 处的函数值与实验数据 y0 , y1 ⋯, y7 相 差都很小． 差都很小．
最小二乘法的基本公式
最小二乘法的基本公式最小二乘法，这玩意儿听起来是不是有点高大上？但别怕，其实它并没有那么复杂，就像咱们学骑自行车，一开始觉得难，掌握窍门后就变得轻松自如啦！先来说说最小二乘法到底是啥。
简单来讲，它就是一种找数据最佳拟合直线或者曲线的方法。
比如说，你记录了一堆气温和日期的数据，想找出它们之间的规律，这时候最小二乘法就派上用场了。
那它的基本公式是啥呢？咱们来瞧瞧。
假设咱们有一堆数据点（x₁, y₁）, （x₂, y₂）,..., （xₙ, yₙ），然后要找一条直线 y = ax + b 来拟合这些点。
那最小二乘法就是要让每个点到这条直线的垂直距离的平方和最小。
这个垂直距离，咱们叫它残差。
具体的公式就是：Q = Σ(yi - (axi + b))²，这里的Σ是求和符号，就是把所有的残差平方加起来。
然后通过求 Q 对 a 和 b 的偏导数，令它们等于 0 ，就能解出 a 和 b 的值，从而得到最佳拟合直线的方程。
我给您讲个我亲身经历的事儿吧。
有一次我带着学生们去做一个关于植物生长和光照时间关系的实验。
我们每天记录植物的高度和对应的光照时长，最后想用最小二乘法来找出它们之间的关系。
一开始，学生们都被这些数据弄得晕头转向的。
有的说：“老师，这也太乱了，怎么找规律啊？”我就告诉他们，别着急，咱们有最小二乘法这个法宝呢！然后我一步一步地给他们讲解公式的原理和计算方法。
有个叫小明的同学特别认真，眼睛紧紧盯着黑板，手里的笔不停地记着。
可算到中间的时候，他突然举手说：“老师，我这一步算错了，得重新来。
”我鼓励他说：“没关系，重新算，多算几遍就熟练啦。
”最后，经过大家的努力，我们终于算出了最佳拟合直线的方程。
当我们把这个方程画在图上，看到那些数据点都很接近这条直线的时候，孩子们都兴奋得欢呼起来。
从那以后，学生们对最小二乘法的理解可深刻多了。
他们知道了，数学不仅仅是书本上的公式，还能真真切切地帮助我们解决生活中的问题。
excel最小二乘法计算公式
excel最小二乘法计算公式在Excel中，最小二乘法（least squares）是一种用于拟合一组数据点到一个函数模型的统计方法。
这种方法旨在最小化实际数据点与拟合曲线之间的差异。
最小二乘法可以用于许多应用领域，包括数据分析、回归分析和时间序列分析。
首先，让我们来介绍一下最小二乘法的原理。
最小二乘法通过求解一个最小化残差平方和的问题来进行拟合。
残差（residuals）是实际数据点与拟合曲线之间的差异。
通过最小化残差的平方和，我们可以找到最优参数值，使得拟合曲线与实际数据点的差异最小。
在Excel中，我们可以使用内置的函数来计算最小二乘法的结果。
以下是使用Excel的最小二乘法计算公式：1.首先，准备你的数据。
将实际数据点分别放在两列中，一列为自变量，一列为因变量。
例如，将自变量数据放在A列，因变量数据放在B列。
2.在C列，使用函数"=LINEST(B:B,A:A,1,TRUE)"来计算最小二乘法的结果。
该函数的参数如下：-第一个参数表示因变量的数据范围。
在这个例子中，我们将使用B列的数据。
-第二个参数表示自变量的数据范围。
在这个例子中，我们将使用A列的数据。
-第三个参数表示是否求解截距项。
在这个例子中，我们将使用"1"来求解。
-第四个参数表示是否返回统计数据。
在这个例子中，我们将使用"TRUE"来返回统计数据。
3. 按下Ctrl+Shift+Enter键，以数组公式的方式输入该函数。
Excel将显示一个包含最小二乘法结果的数组，其中包括截距项、斜率和其他统计数据。
4.在需要的位置，你可以使用这些结果来绘制最小二乘法的拟合曲线。
可以使用自变量的最小值和最大值以及斜率和截距项来计算曲线上的数据点。
需要注意的是，最小二乘法在一些情况下可能不是最合适的拟合方法。
在无法满足线性关系假设的情况下，可能需要考虑其他拟合方法，例如多项式拟合或非线性拟合。
最小二乘法
最小二乘法编辑本段最小二乘法（least square）历史简介1801年，意大利天文学家朱赛普•皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希•奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
（来自于wikipedia）编辑本段最小二乘法原理在我们研究两个变量（x,y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1,y1.x2,y2... xm,ym）；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如（式1-1）。
Y计= a0 + a1 X （式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用（式1-1）计算值（Y计=a0+a1X）的离差（Yi-Y计）的平方和〔∑（Yi - Y计）2〕最小为“优化判据”。
令：φ = ∑（Yi - Y计）2 （式1-2)把（式1-1）代入（式1-2）中得：φ = ∑（Yi - a0 - a1 Xi)2 （式1-3)当∑（Yi-Y计）平方最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
（式1-4)（式1-5)亦即：m a0 + （∑Xi ) a1 = ∑Yi （式1-6)（∑Xi ) a0 + （∑Xi2 ) a1 = ∑（Xi,Yi) （式1-7)得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = （∑Yi) / m - a1（∑Xi) / m （式1-8)a1 = [m∑Xi Yi - （∑Xi ∑Yi)] / [m∑Xi2 - （∑Xi)2 )] （式1-9) 这时把a0、a1代入（式1-1）中，此时的(式1-1）就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
最小二乘法公式
最小二乘法公式
最小二乘法公式是一个数学的公式，在数学上称为曲线拟合，此处所讲最小二乘法，专指线性回归方程！最小二乘法公式为b=y(平均)-a*x（平均）。
拓展资料：
曲线拟合俗称拉曲线，是一种把现有数据透过数学方法来代入一条数式的表示方式。
科学和工程问题可以通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据，根据这些数据，我们往往希望得到一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合，这过程就叫做拟合。
最小二乘法
最小二乘法一、简介最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
本文主要讲直线拟合。
二、最小二乘法原理在我们研究两个变量（x,y ）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x 1,y 1.x 2,y 2... x m ,y m ）；将这些数据描绘在x -y 直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如下： x a y 10a +=计 （式1-1)其中：a 0、a 1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a 0和a 1，将实测值y i 与利用（式1-1）计算值的离差计y y i -的平方和2)(∑-计y y i 最小为“优化判据”。
令：2)(∑-=计y y i ϕ （式1-2)把（式1-1）代入（式1-2）中得：210)(∑--=i i x a a y ϕ （式1-3)要求φ最小值，可用函数 φ 对a 0、a 1 求偏导数，令这两个偏导数等于零：)51(0)(x 2)41(0)(2101100-=---=∂∂-=---=∂∂∑∑式式i i i i i x a a y a x a a y a ϕϕ 亦即：)7-1()x ()x ()6-1()(12i 010式式∑∑∑∑∑=+=+i i i i i y x a a y a x ma得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： )9-1()()8-1()(22110式式∑∑∑∑∑∑∑--=-=i i i i i i i i x x m y x y x m a m x a y a或 ∑∑∑∑∑∑--=2220)()()(i i i i i i i x x m y x x y x a把a 0、a 1 代入（式1-1）中即可。
在统计学中，这种最小二乘拟合通常成为线性回归。
线性回归最小二乘法公式
线性回归最小二乘法公式一、线性回归的概念线性回归是回归分析的一种，用于描述在影响因素和结果之间存在着线性关系的研究领域。
在波士顿房屋数据中，我们可以用线性回归来研究一个房屋的价格（Dependent Variable）是如何被不同的房屋特征（Independent Variable），如房屋大小，房间数量，地段位置等影响的。
二、最小二乘法原理最小二乘法（Least Square Method，LSM）是一种进行数据拟合的最常用的优化方法。
它的核心思想是通过求取数据的总平方偏差最小的解来拟合数据，这里的平方偏差反映的是拟合数据和原始数据之间的差异，拟合数据和原始数据越相似，总偏差越小，就可以认为这种拟合越好。
最小二乘法的核心就是求得使总平方偏差最小的参数向量$\beta$，即解下式：$$ \min|Y-X\beta|^2$$其中$Y$是未知变量矩阵，$X$是已知变量矩阵，$\beta$是拟合参数。
根据最小二乘法的原理，下面继续推广为多元线性回归模型：$$ \min|Y-X\beta|^2$$等价于：$$\min\sum_{i=1}^n(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^px_{ij}\beta_j)^2 $$其中$y_i$是未知变量，$\beta_0$是常量，$x_{ij}$是已知变量，$\beta_j$是拟合参数。
最小二乘法的推广，从成本函数中分离出了不同的参数，也扩展到了多元线性回归中。
多元线性回归模型为：$$Y = \beta_0+\sum_{j=1}^px_{ij}\beta_j $$为求得上述通式中参数$\beta$的值，我们可以得到最小二乘法的解：$$\beta=(X^T X)^{-1} X^T Y$$从上述式中我们可以看出，最小二乘法为我们提供了一种数据拟合的优化方法，以达到模型最佳的预测效果。
最小二乘公式
最小二乘法公式最小二乘法公式∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+X平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2最小二乘公式（针对y=ax+b形式）：a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2)b=y(平均)-ax（平均）最小二乘法在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2 (x)m , y m)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Y i与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Y i-Y计)的平方和〔∑(Y i -Y计)2〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Y i -Y计)2 (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Y i -a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Y i-Y计)平方最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
(式1-4)(式1-5)亦即：m a0 + (∑Xi )a1 = ∑Y i (式1-6)(∑Xi )a0 + (∑Xi2 )a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = (∑Y i)/ m -a1(∑Xi) / m (式1-8)a1 = [∑Xi Y i - (∑Xi ∑Y i)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
最小二乘法公式
最小二乘法公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1最小二乘法公式∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+X平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2最小二乘公式（针对y=ax+b形式）a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2)b=y(平均)-ax（平均）最小二乘法在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y 计)²〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Yi - Y计)² (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
(式1-4)(式1-5)m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
最小二乘法拟合曲线公式
最小二乘法拟合曲线公式
最小二乘法是一种常用的数学方法，可以用来拟合一条曲线，使得曲线上的点与实际观测值的误差最小化。
最小二乘法拟合曲线的公式为：
y = a + bx
其中，y 是因变量，x 是自变量，a 和 b 是拟合曲线的系数。
最小二乘法通过最小化误差平方和来确定 a 和 b 的值，即：
b = (n∑xy - ∑x∑y) / (n∑x^2 - (∑x)^2)
a = (∑y - b∑x) / n
其中，n 是数据点的个数，∑表示求和符号，x 和 y 分别表示自变量和因变量的值。
拟合曲线的误差可以通过计算残差平方和来评估，即：
SSR = ∑(y - )^2
其中，y 是实际观测值，是拟合曲线的预测值。
最小二乘法拟合曲线的优点在于可以用简单的数学公式表示，易于理解和应用。
- 1 -。
线性回归最小二乘法公式
线性回归最小二乘法公式线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习中的回归分析方法，旨在通过拟合一个线性方程来预测因变量与自变量之间的关系。
最小二乘法是一种最常用的线性回归方法，它寻找一条直线，使所有数据点到这条直线的距离之和最小。
假设有n个数据点，表示为(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中x为自变量，y为因变量。
线性回归的目标是找到一条直线y = mx + b，使得所有数据点到该直线的距离之和最小。
最小二乘法的基本思想是，通过对每个数据点的误差的平方求和，来定义一个损失函数，然后通过最小化这个损失函数来确定最优的拟合直线。
步骤如下：1. 建立线性模型：y = mx + b，其中m为斜率，b为截距。
2. 用该模型预测因变量y的值：y_hat = mx + b。
3. 计算每个数据点的误差：e = y - y_hat。
4.将所有数据点的误差的平方求和，得到损失函数：L=Σe^25.最小化损失函数：通过对m和b的偏导数求零，得到以下两个式子：∂L/∂m = -2Σx(y - (mx + b)) = 0∂L/∂b = -2Σ(y - (mx + b)) = 06.解以上两个方程，得到最优的斜率m和截距b：m = (nΣxy - ΣxΣy) / (nΣx^2 - (Σx)^2)b=(Σy-mΣx)/n7. 使用得到的最优斜率m和截距b，构建出最优的线性模型：y =mx + b。
最小二乘法可以通过解析解或者数值方法求解。
解析解适用于数据量较小的情况，它通过直接求解最优化的数学公式来得到结果。
而数值方法适用于数据量较大，无法直接求解的情况，通过迭代方法逐步逼近最优解。
最小二乘法有几个关键的假设：1.线性关系假设：认为自变量x和因变量y之间存在线性关系。
2.去噪假设：数据点的误差e服从均值为0的正态分布，即误差项是一个很小的随机值。
3.独立性假设：各个数据点之间是相互独立的，彼此之间没有相关性。
带遗传因子的最小二乘法公式
带遗传因子的最小二乘法公式带遗传因子的最小二乘法公式是一种用于计算遗传相关性的数学工具。
在基因研究中，了解基因间的相关性是非常重要的，可以帮助科学家确定某种疾病的遗传基础，以及预测后代的遗传概率。
本文将介绍带遗传因子的最小二乘法公式，并阐述其在基因研究中的应用。
首先，我们需要了解最小二乘法的基本原理。
最小二乘法是一种用于拟合数据的方法，旨在找到一条最符合数据分布的曲线。
具体来说，在最小二乘法中，我们尝试找到一组参数，使得拟合曲线与数据点之间的误差最小。
将最小二乘法应用于遗传研究中，可以得到以下公式：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε其中，Y代表表型值，也就是研究对象的某种观测值，X1到Xn代表n个基因型，β0到βn代表对应基因的因子，ε代表误差。
这个公式可以理解为，在一定的基因型情况下，我们可以预测表型值的变化。
随着基因数量的增加，公式的求解变得越来越困难。
因此，我们需要进一步优化公式，以得到更加准确的结果。
在这种情况下，带遗传因子的最小二乘法公式应运而生。
带遗传因子的最小二乘法公式包含两个部分。
首先，我们需要计算先验变异矩阵（prior variance matrix）。
先验变异矩阵是一个方阵，其中对角线上的元素是每个基因型的遗传方差。
如果两个基因型相关，则在相应的非对角线元素中设置相关系数。
接下来，我们需要将先验变异矩阵纳入到公式中。
带遗传因子的最小二乘法公式如下：(Y - βX)'Ω(Y - βX) = min其中，Y、X、β和Ω的含义与上文相同。
这个公式可以理解为，在一定的基因型情况下，通过最小化误差来优化公式的参数。
使用带遗传因子的最小二乘法公式可以帮助科学家更准确地分析基因研究数据，并推断出基因之间的遗传相关性。
例如，在研究某种疾病的遗传基础时，科学家可以利用带遗传因子的最小二乘法公式，预测某种基因型对疾病患病率的影响。
在预测后代的遗传概率时，也可以使用这个公式来计算。
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最小二乘法公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
最小二乘法公式
∑(X--X平)(Y--Y平)
=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)
=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平
=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平
=∑XY--nX平Y平
∑(X --X平)^2
=∑(X^2--2XX平+X平^2)
=∑X^2--2nX平^2+nX平^2
=∑X^2--nX平^2
最小二乘公式（针对y=ax+b形式）
a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2)
b=y(平均)-ax（平均）
最小二乘法
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)
其中：a0、a1 是任意实数
为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y 计)²〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Yi - Y计)² (式1-2)
把(式1-1)代入(式1-2)中得:
φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
(式1-4)
(式1-5)
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)
得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：
a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)
a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)
这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1,
y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。
R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊
在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。
微积分应用课题一最小二乘法
从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求与之间近似成线性关系时的经
验公式. 假定实验测得变量之间的个数据, , …, , 则在平面上, 可以得到个点 , 这种图形称为“散点图”, 从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁, 我们认为与之间近似为一线性函数, 下面介绍求解步骤.
考虑函数 , 其中和是待定常数. 如果在一直线上, 可以认为变量之间的关系为 . 但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记 , 它反映了用直线来描述 , 时, 计算值与实际值产生的偏差. 当然要求偏差越小越好, 但由于可正可负, 因此不能认为总偏差时, 函数就很好地反映了变量之间的关系, 因为此时每个偏差的绝对值可能很大. 为了改进这一缺陷, 就考虑用来代替 . 但是由于绝对值不易作解析运算, 因此, 进一步用来度量总偏差. 因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大. 于是问题归结为确定中的常数和 , 使为最小. 用这种方法确定系数 , 的方法称为最小二乘法.
由极值原理得 , 即
解此联立方程得
(*)
问题 I 为研究某一化学反应过程中, 温度℃)对产品得率 (％)的影响, 测得数据如下:
温度℃)
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
得率 (％)
45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
(1) 利用“ListPlot”函数, 绘出数据的散点图(采用格式: ListPlot[{ , , …, }, Prolog->AbsolutePointSize[3]] );
(2) 利用“Line”函数, 将散点连接起来, 注意观察有何特征 (采用格式: Show[Graphics[Line[{ , , …, }]] , Axes->True ]) ;
(3) 根据公式(*), 利用“Apply”函数及集合的有关运算编写一个小的程序, 求经验公式 ;
(程序编写思路为: 任意给定两个集合A (此处表示温度)、B(此处表示得率), 由公式(*)可定义两个二元函数(集合A和B为其变量)分别表示和 . 集合A元素求和: Apply[Plus,A] 表示将加法施加到集合A上, 即各元素相加, 例如Apply[Plus,{1,2,3}]=6;Length[A]表示集合A 元素的个数, 即为n; 表示两集合元素相乘相加;A*B表示集合A与B元素对应相乘得到的新的集合.)
(4) 在同一张图中显示直线及散点图;
(5) 估计温度为200时产品得率.
然而, 不少实际问题的观测数据, , …, 的散点图明显地不能用线性关系来描叙, 但确实散落在某一曲线近旁, 这时可以根据散点图的轮廓和实际经验, 选一条曲线来近似表达与的相互关系.
问题 II 下表是美国旧轿车价格的调查资料, 今以表示轿车的使用年数, (美元)表示相应的平均价格, 求与之间的关系.
使用年数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
平均价格
2651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204
(1) 利用“ListPlot”函数绘出数据的散点图, 注意观察有何特征
(2) 令 , 绘出数据的散点图, 注意观察有何特征
(3) 利用“Line”函数, 将散点连接起来, 说明有何特征
(4) 利用最小二乘法, 求与之间的关系;
(5) 求与之间的关系;
(6) 在同一张图中显示散点图及关于的图形.
思考与练习
1. 假设一组数据: , , …, 变量之间近似成线性关系, 试利用集合的有关运算, 编写一简单程序: 对于任意给定的数据集合 , 通过求解极值原理所包含的方程组, 不需要给出、计算的表达式, 立即得到、的值, 并就本课题 I /(3)进行实验.
注: 利用Transpose函数可以得到数据A的第一个分量的集合, 命令格式为:
先求A的转置, 然后取第一行元素, 即为数据A的第一个分量集合, 例如(A即为矩阵 )
= (数据A的第一个分量集合)
= (数据A的第二个分量集合)
B-C表示集合B与C对应元素相减所得的集合, 如 = .
2. 最小二乘法在数学上称为曲线拟合, 请使用拟合函数“Fit”重新计算与的值, 并与先前的结果作一比较.。