连续信号的频域分析
信号与系统连续周期信号的频域分析
信号与系统连续周期信号的频域分析频域分析是信号与系统中一种重要的分析方法，用于研究信号的频谱特性。
连续周期信号是一种在时间域上具有周期性的信号，其频域分析包括傅里叶级数展开和频谱图表示。
傅里叶级数展开是一种将连续周期信号分解为若干个频率成分的方法。
对于周期为T的连续周期信号x(t)，其傅里叶级数展开可以表示为：x(t) = ∑[Cn * exp( j *2πn/T * t )]其中，Cn为信号中频率为n/T的分量的振幅，j为虚数单位。
通过计算信号的傅里叶系数Cn，可以得到信号的频率成分和其对应的振幅。
在频域分析中，经常使用的一个重要工具是频谱图。
频谱图是一种将信号在频域上进行可视化展示的方法，通过绘制信号的频谱，可以直观地观察到信号的频率信息。
频谱图中的横轴表示频率，纵轴表示振幅。
对于连续周期信号，其频谱图是离散的，只有在频率为基频及其倍数的位置上有分量值。
基频是连续周期信号的最低频率成分，其他频率成分都是基频的整数倍。
频谱图中的峰值代表了信号在不同频率上的能量分布情况，而峰值的高度代表了对应频率上的振幅大小。
通过分析频谱图，可以获得信号中各个频率成分的相对强度，从而对信号进行进一步的特征提取和处理。
在实际应用中，频域分析经常用于信号处理、系统建模和通信等领域。
例如，在音频处理中，通过频域分析可以实现音频信号的降噪、音乐特征提取和音频编码等任务。
在通信系统中，频域分析可用于频率选择性衰落信道的估计和均衡、多载波调制技术等。
总结起来，频域分析是信号与系统中对连续周期信号进行分析的重要方法。
通过傅里叶级数展开和频谱图表示，可以揭示信号的频率成分及其振幅特性，为信号处理和系统设计提供依据。
连续时间信号的频域分析及Matlab实现
function CTF3()
1/2 exp(-2 t) heaviside(t)
syms t v w x;
F = fourier(x);
0.4
x = 1/2*exp(-2*t)*sym('Heaviside(t)');0.2
fliplr例子
6 4
>> n = 0:4; >> a = [5 4 3 2 1]; >> subplot(2,1,1),stem(n,a);
2
>> b = fliplr(a);
>> k = -4:4; >> c = [b,a(2:end)];
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
4
>> subplot(2,1,2),stem(k,c);
0 0 0.5 1 t 1/2/abs(2+i w) 0.25 0.2 0.15 0.1 -6 -4 -2 0 w 2 4 6 1.5 2
subplot(2,1,1);
ezplot(x); subplot(2,1,2);
ezplot(abs(F));
f(t) = u(t+1) - u(t-1) 1
function [A_sym,B_sym] = CTF2()
syms t n k x T = 5; tao = T/5; a = 0; Nf = 16; Nn = 32; x1 = sym('Heaviside(t+0.5)')*h; x = x1 - sym('Heaviside(t-0.5)')*h; A0 = 2*int(x,t,-a,T-a)/T;%求出三角函数展开系数A0
连续时间信号的时域分析和频域分析
时域与频域分析的概述
时域分析
研究信号随时间变化的规律，主 要关注信号的幅度、相位、频率 等参数。
频域分析
将信号从时间域转换到频率域， 研究信号的频率成分和频率变化 规律。
02
连续时间信号的时
域分析
时域信号的定义与表示
定义
时域信号是在时间轴上取值的信号， 通常用 $x(t)$ 表示。
表示
时域信号可以用图形表示，即波形图 ，也可以用数学表达式表示。
05
实际应用案例
音频信号处理
音频信号的时域分析
波形分析：通过观察音频信号的时域波形，可 以初步了解信号的幅度、频率和相位信息。
特征提取：从音频信号中提取出各种特征，如 短时能量、短时过零率等，用于后续的分类或 识别。
音频信号的频域分析
傅里叶变换：将音频信号从时域转换 到频域，便于分析信号的频率成分。
通信系统
在通信系统中，傅里叶变 换用于信号调制和解调， 以及频谱分析和信号恢复。
时频分析方法
01
短时傅里叶变换
通过在时间上滑动窗口来分析信 号的局部特性，能够反映信号的 时频分布。
小波变换
02
03
希尔伯特-黄变换
通过小波基函数的伸缩和平移来 分析信号在不同尺度上的特性， 适用于非平稳信号的分析。
将信号分解成固有模态函数，能 够反映信号的局部特性和包络线 变化。
频域信号的运算
乘法运算
01
在频域中，两个信号的乘积对应于将它们的频域表示
相乘。
卷积运算
02 在频域中，两个信号的卷积对应于将它们的频域表示
相乘后再进行逆傅里叶变换。
滤波器设计
03
在频域中，通过对频域信号进行加权处理，可以设计
2.1连续信号的频域分析
连续信号的频域分析
取样函数定义为
sin x Sa ( x ) x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。 据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
E n Fn Sa T 2
连续信号的频域分析
Sa(x) 1
例如，可取 t0=0 ，t0=-T/2等等。显然， an 为 nw的偶函数， bn为nw的奇函数， 即
an a n bn bn
连续信号的频域分析
连续信号的频域分析
例 2.2-1 求图示信号的傅里叶级数展开式。
图 2.2-1
连续信号的频域分析
解 据式(2.2-6)，在本题中我们取t0=0，则有
6
4 5°
n
4 5°
3 0°
3 0° 2 0° 1 0°
1 5°
图 2.3-1 例 2.3-1
3(b )o源自245
6
(a) 振幅谱； (b) 相位谱
连续信号的频域分析 2
1 .5 1 0 .4 1
|Fn | 1 .5 1 0 .4
4 5 6
0 .2
2
0 .2
3
－ 6－ 5 － 4 － 3－ 2 － o (a )
连续信号的频域分析
A0 1 2
1 0 1 10 2 20
A1 3 A2 2 A3 0.4 A6 0.8
其余
3 45 6 30
0 A n
An 连续信号的频域分析 3 3 2
2
1 0 .4 o
0 .8
2
3
(a )
信号与系统第4章 连续信号的频域分析
1
信号与系统
出版社 理工分社
4.1 周期信号的傅里叶级数
所有具有各自不同频率的正弦函数 sin nΩt（n =1，2，…）和余弦函数 cosnΩt（n =0，1，2， …）在时间区间（ t0，t0+2π /Ω）范围内构成一个 完备的正交函数集。同样，所有虚指数函数ejnΩt （n = ±0，±1，±2，…）在此时间范围内也构成 一个正交函数集。傅里叶提出，一个周期信号可以 用以上两种正交函数集中相互正交的若干函数的线 性组合来表示。或者说，可以将周期信号分解为这 些正交函数的加权和。
35
信号与系统
出版社 理工分社
4.6.1 帕塞瓦尔定理 对周期功率信号 f（t），假设其傅里叶系数为 Fn，则其平均功率为
对能量信号 f（t），假设其傅里叶变换为 F（ jω），则其能量为
36
信号与系统
出版社 理工分社
这说明，式（4.6.1）右边的每一项代表周期 信号中每个复简谐分量的平均功率，而式中右边的 积分是根据时域表达式计算信号平均功率的定义式 。因此，式（4.6.1）所示周期信号的帕塞瓦尔定 理说明，周期信号的平均功率等于各分量的平均功 率之和。考虑到 |Fn|为偶函数，并且由式（4.1.6 ）可知 |Fn|=An/2，代入式（4.6.1）还可以得到周 期功率信号帕塞瓦尔定理的另一种描述，即
33
信号与系统
出版社 理工分社
③非周期信号只有傅里叶变换和频谱密度。而 周期信号既有频谱，也有频谱密度，它们之间可以 通过式（4.5.4）进行转换。
④周期信号的频谱密度都是由冲激函数构成的 。此外，许多不满足绝对可积条件的信号，如果存 在傅里叶变换，其频谱密度中一般都含有冲激函数 ，如单位阶跃信号。
图 4.5.1 复简谐信号、余弦信号和正弦信号的频谱图
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
实验二--连续时间信号的频域分析
实验二连续时间信号的频域分析专业班级通信1601 姓名宁硕学号 20 评分：实验日期： 2017 年 12 月 13日指导教师: 张鏖峰一、实验目的1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因；3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义；4、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质；5、学习掌握利用MATLAB语言编写计算CTFS、CTFT和DTFT的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT、DTFT的若干重要性质。
基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用MATLAB编程完成相关的傅里叶变换的计算。
以看得很清楚。
二、实验原理及方法任何一个周期为T1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。
其中三角傅里叶级数为：2.1或：2.2指数形式的傅里叶级数为：2.3其中，为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算：2.4傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。
傅里叶变换和其逆变换定义如下：2.52.6连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。
按照教材中的说法，任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，那么，它可以被看作是由无穷多个不同频率（这些频率都是非常的接近）的周期复指数信号ejt的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号ejt称为频率分量（frequency component），其相对幅度为对应频率的|X(j)|之值，其相位为对应频率的X(j)的相位三、实验内容和要求Q2-1 编写程序Q2_1，绘制下面的信号的波形图：其中，0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos(0t)、cos(30t)、cos(50t) 和x(t) 的波形图，给图形加title，网格线和x 坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。
连续信号的频域分析
第四章 连续信号的频域分析将信号分解为若干不同频率的正弦信号或虚指数信号，实质上是将信号在频率域上进行分解，因此根据这种基本思想对信号和系统的分析称为频域分析。
这种分解过程是通过傅里叶级数和傅里叶变换这一数学工具来实现的。
本章首先介绍连续信号的傅里叶级数和傅里叶变换，熟悉信号频谱的概念。
基本要求1．基本要求♦ 了解傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其物理含义； ♦ 掌握信号频谱和频谱密度的概念； ♦ 了解连续谱和离散谱的特点和区别； ♦ 掌握傅里叶变换的常用性质；♦ 掌握周期信号傅里叶变换的求解方法。
2．重点和难点♦ 傅里叶变换的性质及其应用知识要点1．周期信号的傅里叶级数 （1）傅里叶级数展开式三角形式：∑∑∞=∞=+Ω+=Ω+Ω+=1010)cos(2)]sin()cos([2)(n n n n n n t n A A t n b t n a a t f ϕ（4-1） 指数形式： ∑∑∞-∞=+Ω∞-∞=Ω==n t n nn t n n n FF t f )j(j e e )(ϕ （4-2）其中⎰+Ω=Tt t n t t n t f Ta 00d cos )(2，n =0，1，2，? （4-3） ⎰+Ω=Tt t n t t n t f Tb 00d sin )(2，n =1，2，? （4-4）且nn n n n n a b b a A a A arctg, ,2200-=+==ϕ （4-5）⎰+Ω-=Tt t t n n t t f T F 00d e )(1j （4-6） （2）两种形式之间的转换关系0)( e 21j ≥=n A F n n n ϕ （4-7）并且|F n |为偶函数，?n 为奇函数，即||||n n F F -=，||||n n -=ϕϕ （4-8）（3）傅里叶级数的物理含义通过傅里叶级数可以将任意周期信号f (t )分解为若干个正弦信号（三角形式）或复简谐信号（指数形式）的叠加。
实验二 连续信号与系统的频域分析
(2)绘出f(t)的时域波形及频谱图。
f(t) 1
(2)电路的系统函数为 H(jω)
1 j 1 j
(b)用MATLAB求系统的单位冲激响应。
(c) 当输入为 f (t) sint sin3t t
求系统的稳态响应。
程序清单: syms w t; Hw=(1-j*w)/(1+j*w); ht=ifourier(Hw,t); ft=sin(t)+sin(3*t); Fw=fourier(ft); Yw=Fw*Hw; yt=ifourier(Yw,t);
函数fourier()——傅立叶正变换 函数ifourier()——傅立叶逆变换
3、连续时间系统的响应
已知某电路的系统传递函数为 H(jω)=1/(0.08(jω)2+0.4jω+1)
用MATLAB绘制系统的幅频特性曲线和相频特性曲线，并分
析该系统的频率特性。 系统频率特性
H(j)=|H(j)|ej() |H(j)|——系统的幅频特性
for i=1:9
a(i)=subs(an,n,i); % 计算系数a1~a9,存于数组a中 end
a0=double(a0);a=double(a); %转换成数值型
stem(0,a0,i,a); %绘f(t)的频谱图
2、非周期信号的分析 (1)已知某一连续时间信号为
f t e2 t
试绘出它的时域波形及相应的频谱图。
信号与系统第四章连续系统的频域分析
极点对系统频率响应的影响更为显著。极点 会使系统频率响应在某些频率处产生谐振峰 或反谐振峰，具体取决于极点的位置和数量。 极点越靠近虚轴，对频率响应的影响越显著。 同时，极点的实部决定了系统的阻尼程度， 虚部决定了谐振频率。
05 连续系统频域性能指标评 价方法
幅频特性曲线绘制方法
确定系统的传递函数
周期信号频谱特性
离散性
周期信号的频谱是离散的，即只在某些特定的频率点 上有值。
谐波性
周期信号的频谱由基波和各次谐波组成，各次谐波的 频率是基波频率的整数倍。
收敛性
随着谐波次数的增加，谐波分量的幅度逐渐减小，即 周期信号的频谱具有收敛性。
02 傅里叶变换及其在频域分 析中应用
傅里叶变换定义与性质
信号调制与解调
在通信系统中，通过傅里叶 变换实现信号的调制与解调 过程，将信息加载到载波信 号上进行传输。
信号滤波与处理
利用傅里叶变换设计数字滤 波器，对信号进行滤波处理 以去除噪声或提取特定频率 成分。
03 拉普拉斯变换及其在频域 分析中应用
拉普拉斯变换定义与性质
定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变换，用于 将时间域的函数转换为复平面上的函数。 对于连续时间信号$x(t)$，其拉普拉斯变 换定义为$X(s) = int_{0}^{infty} x(t) e^{st} dt$，其中$s$是复数频率。
VS
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性、频移 性、微分性、积分性、初值定理和终值定 理等重要性质。这些性质使得拉普拉斯变 换在信号与系统的分析中非常方便和有效 。
典型信号拉普拉斯变换举例
单位阶跃信号
指数信号
正弦信号
余弦信号
单位阶跃信号的拉普拉斯变 换为$frac{1}{s}$。
实验二---连续时间信号的频域分析
实验二---连续时间信号的频域分析实验目的：1. 学习连续时间信号的频域分析方法，掌握傅里叶变换理论。
2. 理解信号的时域与频域之间的转换关系，能够实现信号的频域分析及某些信号处理操作。
3. 了解傅里叶变换的性质和应用，能够应用傅里叶变换对各种周期和非周期信号进行分析。
实验原理：1. 傅里叶变换傅里叶变换是将一个连续时间函数在频域中的频谱与该函数在时域中的波形进行对应的数学变换。
连续时间傅里叶变换（CTFT）是将一个无限长但可积的信号，即绝对可积信号，变换为复频域函数。
如果傅里叶变换是定义在时域上的，那么它的自变量是时间t，而它的函数值是一个关于f的复合函数，即分别为实频谱与虚频谱的函数。
- 傅里叶变换是一个线性变换;- 时域中的卷积在频域中对应为乘积；- 频域中的卷积在时域中对应为乘积；- 时域中的移位在频域中对应为复制效应；- 能量守恒：信号在时域中的总能量等于在频域中的总能量；- Parseval定理：信号在时域和频域中的幅度平方和等于常数。
实验步骤：1）连续时间正弦波$f(t)=A sin(2\pi f_0 t)$其中，$f_0 =1200 Hz$，采样间隔 $\Delta t =5*10^{-6}$ s，数据长度 $N= 150$。
$f(t)=\frac{2A}{T_0} t$（$-\frac{T_0}{2}<t<\frac{T_0}{2}$）其中，$T_0$ 为周期，数据长度 $N= 500$。
$f(t) =\frac{A}{2}[sgn(t)+1]$（$-1<t<1$）绘制信号的频域幅度谱和相位谱，并分析其特点。
实验结果：正弦波：三角波：方波：实验分析：从时域波形可以看出，正弦信号为一定频率下的振荡信号，具有周期性，幅度相等，相位差为 $\frac{\pi}{2}$ 的两个正弦函数相加而成；三角波和方波均为非周期信号。
从频域幅度谱可以看出，正弦波在频域中只存在一个正弦函数，且其频率与时域信号的频率相同；三角波在频域中存在多个频率成分，且成分包含奇数倍或基波的奇数倍；方波在频域中由越来越多的奇数倍频率成分组成，其频率分量越高，能量越小。
连续时间信号的卷积及信号的频域分析实验报告(1)
连续时间信号的卷积及信号的频域分析实验报告(1)连续时间信号的卷积及信号的频域分析实验报告一、实验目的本实验的主要目的是通过对于两个时间域信号的卷积运算，掌握信号卷积运算的基本原理及操作方法；同时，利用MATLAB软件完成信号的傅里叶变换，了解信号在频域的频谱特征。
二、实验内容1、连续时间信号的卷积运算利用MATLAB软件中conv函数进行两个信号的卷积运算，并观察结果。
2、信号在频域的频谱特征- 利用MATLAB软件中fft函数对信号进行傅里叶变换，并获取其频域表示；- 利用MATLAB软件中ifft函数对信号进行逆傅里叶变换，恢复其原始时间域信号；- 观察不同频率成分对于信号的影响，并分析其原因。
三、实验步骤1、连续时间信号的卷积运算首先在MATLAB软件中定义两个连续时间信号，如下所示：t1 = 0:0.1:10;x1 = sin(2*pi*5*t1); % 正弦波信号t2 = 0:0.1:10;x2 = exp(-(t2-5).^2); % 高斯脉冲信号然后，使用conv函数进行卷积运算，并绘制出卷积后的信号图像。
x3 = conv(x1,x2,'same'); % 卷积运算figure; % 绘制卷积后的信号图像subplot(3,1,1);plot(t1,x1);xlabel('时间/s');ylabel('幅值');title('正弦波信号');subplot(3,1,2);plot(t2,x2);xlabel('时间/s');ylabel('幅值');title('高斯脉冲信号');subplot(3,1,3);plot(t1,x3);xlabel('时间/s');ylabel('幅值');title('卷积信号');2、信号在频域的频谱特征首先，通过fft函数对于时间域信号进行傅里叶变换，获取其频域表示。
连续信号的频域分析
T 2
T
2T
t
图 3.3-3 周期矩形脉冲信号
连续信号的频域分析
为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。
连续信号的频域分析
取样函数定义为
sin x Sa ( x ) x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
连续信号的频域分析
一、 周期信号的频谱分析
1 三角形式的傅里叶级数
三角函数集｛cosnwt, sinnwt|n=0,1,2,… ｝是一个正交函数
集，正交区间为(t0, t0+T)。这里T=2π/w是各个函数cosnwt，
sinnwt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：
连续信号的频域分析
小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下，
2Fn Fn趋于无穷小量，但 Fn T 可望趋于有限值，且为一
个连续函数，通常记为F(jω)，即
连续信号的频域分析
Fn jnt 1 f (t ) lim e T 2 n
非周期信号的傅里叶变换可简记为
E n Fn Sa T 2
连续信号的频域分析
Sa(x) 1
－3 －2
－
o
2
3
x
图 2.3-4 Sa(x)函数的波形
连续信号的频域分析
Fn E T 2 o 3
4
图 2.3-5 周期矩形脉冲信号的频谱
连续信号的频域分析
由图 2.3-5 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点： 第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线 代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。 第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率
信号分析5-连续信号频域分析80s
A T0
tdt
0
an
2 To
To /2 A f (t) cos ntdt 0 T To / 2 o
bn
2 To
To /2 A f (t) sin ntdt T To / 2 o
A (1)n1
n
n 1,2,3
傅里叶级数展开式： f t 0 A sin t A sin 2t
2
直
基
谐
流
T n=
2
n=1
2
(A
/
T
)1
2Sa(n0
/
2)
cosn0t
n1
e jn0t cos(n0t) j sin(n0t) e jn0t cos(n0t) j sin(n0t)
Sa(x) sin x x
Sa(x) sin x Sa(x)
x
8
因
0
2
T
，若=T/2，则有
Sa( n0 ) sin(n0 / 2) sin(n / 2)
11
2、频谱的表示
直接画出信号各次谐波对应的Cn线状分布图 形，这种图形称为信号的频谱图。
Cn
1 T
T 2 T
fT (t)e jn0t dt
2
Cn e jn
幅频特性
相频特性
12
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图
f (t) A
-T
0
T
fT (t) Cn e jn0t
n =
t
Cn
1 T
T 2 T
1) 1 s, T 1 s
20
4
Fn
A 5
Sa
n 5
2) 1 s, 20
T 1s 2
连续时间信号的频域分析
实验二 连续时间信号的频域分析 实验内容：1、周期信号的傅里叶级数与GIBBS 现象给定如一个周期信号1()x t 如图所示：Q2-1： 分别手工计算x1(t) 的傅里叶级数的系数。
信号x1(t) 在其主周期内的数学表达式为：⎩⎨⎧≤≤-=其他,02.02.0,1)(1t t x计算x1(t) 的傅里叶级数的系数的计算过程如下：解：首先，我们根据前面所给出的公式，计算该信号的傅里叶级数的系数。
⎰-=10011)(1T t jk k dt e t x T a ω⎰--=2.02.0021dt e t jk ω⎰--=-1000)(210t jk d e k j t jk ωωω 02.02.0200ωωωk j e e kj kj --=-ππk k )2.0s i n (=(ππω==T 120） 在MATLAB 命令窗口，依次键入：>> k = -10:10;>> ak = sin(0.2*(k+eps)*pi)./((k+eps)*pi)用MATLAB 帮助你计算出你手工计算的傅里叶级数的系数ak 从-10到10共21个系数。
t 22-12.02.0-从命令窗口上抄写x1(t)的21个系数如下：Columns 1 through 40.0000 -0.0208 -0.0378 -0.0432Columns 5 through 8-0.0312 0.0000 0.0468 0.1009Columns 9 through 120.1514 0.1871 0.2000 0.1871Columns 13 through 160.1514 0.1009 0.0468 0.0000Columns 17 through 20-0.0312 -0.0432 -0.0378 -0.0208Columns210.00000Q2-2：仿照程序Program2_1，编写程序Q2_2，以计算x1(t)的傅里叶级数的系数。
连续时间信号与系统的频域分析实验报告
实验四连续时间信号与系统的频域分析一、实验目的掌握连续时间信号的傅里叶变换及傅里叶逆变换的实现方法，掌握连续时间系统的频域分析方法，熟悉MATLAB 相应函数的调用格式和作用，掌握使用MATLAB 来分析连续时间信号与系统的频域特性及绘制信号频谱图的方法。
二、实验原理（一）连续时间信号与系统的频域分析原理1、连续时间信号的额频域分析 连续时间信号的傅里叶变换为：()()dt e t f j F t j ωω-∞∞-⎰=傅里叶逆变换为：()()ωωπωd e j F t f t j ⎰∞∞-=21()ωj F 称为频谱密度函数，简称频谱。
一般是复函数，可记为：()()()ωϕωωj e j F j F =()ωj F 反映信号各频率分量的幅度随频率ω的变化情况，称为信号幅度频谱。
()ωϕ反映信号各频率分量的相位随频率ω的变化情况，称为信号相位频谱。
2、连续时间系统的频域分析 在n 阶系统情况下，数学模型为：()()()()()()()()t f b dtt df b dt t f d b dt t f d b t y a dtt dy a dt t y d a dt t y d a o m m n m m n o n n n n n n ++++=++++------11111111 令初始条件为零，两端取傅里叶变换，得：()()[]()()()[]()ωωωωωωωωj F b j b j b j b j Y a j a j a j a m n m n n n nn01110111++++=++++----表示为()()()()ωωωωj F j b j Y j a kmk kkn k k∑∑===0则 ()()()()()()()()()∑∑==----=++++++++==nk kk mk kk n n n n m m mm j a j b a j a j a j a b j b j b j b j F j Y j H 0001110111ωωωωωωωωωωω3、系统传递函数 系统传递函数定义为:()()()ωωωj H j Y j H =系统传递函数反映了系统内在的固有的特性，它取决于系统自身的结构及参数，与外部 激励无关，是描述系统特性的一个重要参数。
连续时间信号与系统的频域分析实验报告（共9篇）
连续时间信号与系统的频域分析实验报告(共9篇)信号与系统实验五__连续时间信号的频域分析实验名称：连续时间信号的频域分析报告人：姓名班级学号一、实验目的1、熟悉傅里叶变换的性质；2、熟悉常见信号的傅里叶变换；3、了解傅里叶变换的MATLAB实现方法。
二、实验内容及运行结果1、编程实现下列信号的幅度频谱：（1）求出f(t)=u(2t+1)-u(2t-1)的频谱函数F（w）;请与f1(t) u(2t+1)-u(2t-1)的频谱函数F1（w）进行比较，说明两者的关系。
%(1)f(t)=u(2t+1)-u(2t-1)与f(t)=u(t+1)-u(t-1) syms t w t1 w1Gt=sym('Heaviside(2*t+1)-Heaviside(2*t-1)');Gt1=sym('Heaviside(t1+1)-Heaviside(t1-1)');Fw=fourier(Gt,t,w);Fw1=fourier(Gt1,t1,w1);FFw=maple('convert',Fw,'piecewise');FFw1=maple('convert',Fw1,'piecewise');FFP=abs(FFw);FFP1=abs(FFw1);subplot(2,1,1);ezplot(FFP,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.5]);subplot(2,1,2);ezplot(FFP1,[-10*pi 10*pi]);grid;axis([-10*pi 10*pi 0 2.2]);不同点：F1(w)的图像在扩展，幅值是F（w）的两倍。
（2）三角脉冲f2(t)=1-|t|;|t|=1;ft=sym('(1+t)*Heaviside(t+1)-2*t*Heaviside(t)+(t-1)*Heaviside( t-1)');Fw=fourier(ft);subplot(211)ezplot(abs(Fw)); g2)');ft=ifourier(Fw,w,t)ft =exp(-4*t)*heaviside(t)-exp(4*t)*heaviside(-t)（2）F(w)=((i*w)+5*i*w-8)/((i*w)+6*i*w+5)syms t wFw=sym('((i*w)+5*i*w-8)/((i*w)+6*i*w+5)');ft=ifourier(Fw,w,t)ft =dirac(t)+(2*exp(-5*t)-3*exp(-t))*heaviside(t)三、讨论与总论通过本实验，掌握了信号的傅里叶变换的性质以及方法，对傅里叶变换的性质有进一步的提高。
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第四章 连续信号的频域分析将信号分解为若干不同频率的正弦信号或虚指数信号，实质上是将信号在频率域上进行分解，因此根据这种基本思想对信号和系统的分析称为频域分析。
这种分解过程是通过傅里叶级数和傅里叶变换这一数学工具来实现的。
本章首先介绍连续信号的傅里叶级数和傅里叶变换，熟悉信号频谱的概念。
4.1 基本要求1．基本要求♦ 了解傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其物理含义； ♦ 掌握信号频谱和频谱密度的概念； ♦ 了解连续谱和离散谱的特点和区别； ♦ 掌握傅里叶变换的常用性质；♦ 掌握周期信号傅里叶变换的求解方法。
2．重点和难点♦ 傅里叶变换的性质及其应用4.2 知识要点1．周期信号的傅里叶级数 （1）傅里叶级数展开式三角形式：∑∑∞=∞=+Ω+=Ω+Ω+=1010)cos(2)]sin()cos([2)(n n n n n n t n A A t n b t n a a t f ϕ（4-1）指数形式： ∑∑∞-∞=+Ω∞-∞=Ω==n t n nn tn nn FF t f )j(j e e)(ϕ （4-2）其中⎰+Ω=Tt t n t t n t f Ta 00d cos )(2，n =0，1，2，? （4-3） ⎰+Ω=Tt t n t t n t f Tb 00d sin )(2，n =1，2，? （4-4）且nn n n n n a b b a A a A arctg, ,2200-=+==ϕ （4-5）⎰+Ω-=Tt t t n n t t f T F 00d e )(1j （4-6） （2）两种形式之间的转换关系0)( e 21j ≥=n A F n n n ϕ （4-7）并且|F n |为偶函数，?n 为奇函数，即||||n n F F -=，||||n n -=ϕϕ （4-8） （3）傅里叶级数的物理含义通过傅里叶级数可以将任意周期信号f (t )分解为若干个正弦信号（三角形式）或复简谐信号（指数形式）的叠加。
每个正弦信号分量的频率为周期信号基波频率的n 倍（n ?0），即n ?，而幅度为A n 或者2|F n |，相位为?n ，将其称作第n 次谐波分量。
特别地，将频率为0（即n =0）的分量称为直流分量，幅度为A 0/2或者F 0；频率等于基波频率?（即n =1）的分量称为基波分量。
2．周期信号的频谱通过傅里叶级数可以将时域中的周期信号分解为直流分量、基波分量和各次谐波分量之和，傅里叶级数展开式中的A n 、?n 或傅里叶系数F n 分别代表了各分量的幅度和相位随谐波次数n （从而频率n ?）的变化关系，称为周期信号的频谱，其中A n 或|F n |称为幅度谱，?n 称为相位谱。
A n 或|F n |、?n 都是关于整型变量n 的实函数，分别以其为纵轴，以n （或者n ?）为横轴，得到的图形称为周期信号的幅度谱图和相位谱图，合称为周期信号的频谱图。
但是，在三角形式的傅里叶级数中，A n 和?n 的自变量n 只能取非负的整数，因此称为单边频谱，而在F n 中，n 可以为任意的整数，相应地将F n 称为双边频谱。
对同一个周期信号，其单边和双边频谱可以通过式（4-7）进行相互转换。
所有周期信号的频谱都具有离散性，因此称为离散谱。
3．非周期信号的傅里叶变换及其频谱密度非周期信号的傅里叶变换及傅里叶反变换的定义为⎰∞∞--=t t f F t d e )()j (j ωω （4-9）⎰∞∞-=ωωωd )e (j 2π1)(j t F t f （4-10） 其中正变换用于根据信号的时域表达式求其频谱表达式，反变换用于根据其频谱表达式求时域表达式。
通过傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的复简谐信号的叠加，而信号的傅里叶变换F (j ?)反映了信号中各分量的幅度和相位随其频率? 的变化关系，称为信号的频谱密度，又称为频谱密度函数或频谱函数。
教材表4-1中列出了一些基本信号的傅里叶变换，在求解复杂信号的傅里叶变换和频谱密度时经常用到。
4．傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质不仅可以用于简化复杂信号频谱密度的求解，也可以用于求解不满足绝对可积条件的信号（例如周期信号）的傅里叶变换。
此外，大多数性质都具有明确的物理含义。
教材表4-2列出了傅里叶变换的常用性质，通过练习熟悉各性质的应用。
5．周期信号的傅里叶变换所有周期信号的能量都为无穷大，因此都不满足绝对可积条件，必须根据性质求其傅里叶变换。
根据性质得到周期信号傅里叶变换的求解公式为∑∞-∞=Ω-=n n n F F )(π2)j (ωδω （4-11）4.3 补充例题例4-1 已知某周期信号f (t )的周期为T =0.1s ，三角形式的傅里叶级数展开式为 写出指数形式的傅里叶级数表达式。
解 将已知的f (t )整理为标准形式得到由于T =0.1s ，则周期信号f (t )的基波角频率为2π/20πT Ω==。
将上式与式（4-1）比较可知 再由式（4-7）得到 由式（4-8）得到再代入式（4-2）得到指数形式的傅里叶级数为另解 利用欧拉公式直接转换。
例4-2 已知某周期信号f (t )的基波频率为10Hz ，其指数形式的傅里叶级数展开式为 写出三角形式的傅里叶级数表达式。
解 将已知f (t )整理为标准形式得到 已知f (t )的基波角频率为?=2??10=20?，则上式中各项分别对应指数形式的傅里叶级数中n =0，-1，-3，1，3，由此得到 根据由式（4-7）得到代入三角形式的傅里叶级数展开式得到另解 将上式重新整理为 再利用欧拉公式得到说明：以上两例练习两种形式的傅里叶级数及其相互转换。
可以根据本章所给各公式进行转换，也可根据欧拉公式直接转换。
欧拉公式是本章反复用到的基本数学公式，这里再总结如下：例4-3 对例4-1和例4-2所示周期信号，假设其周期都为T =0.1s 。
分析其中含有的分量以及每个分量的幅度和相位。
解 （1）已知的是三角形式的傅里叶级数展开式，但不是标准形式（有一项为正弦函数，必须化为余弦函数），重新整理得到 由此可知，f (t )中共有三个分量，即直流分量，幅度为10；基波分量：频率为10Hz ，幅度为8，相位为-?/3； 二次谐波分量：频率为20Hz ，幅度为2，相位为-?/2。
（2）已知的是指数形式的傅里叶级数展开式，重新整理为标准形式得到 再将其与式（4-2）比较可得由此可知，f (t )中共有三个分量，即直流分量，幅度为2；基波分量：频率为10Hz ，幅度为2|F 1|=10，相位为?1=?F 1=-?/2； 三次谐波分量：频率为30Hz ，幅度为2|F 3|=3，相位为?3=?F 3=-?/4。
说明：通过本例熟悉傅里叶级数的物理含义，并据此引出信号频谱的概念。
由已知的傅里叶级数展开式可以直接分析出原周期信号中含有哪些分量以及各分量的频率、幅度和相位。
但是注意，必须首先将其转换为式（4-1）或（4-2）所示的标准形式，然后通过比较确定出A n 、F n 和?n ，再进一步分析各分量的幅度和相位。
例4-4 已知周期信号分别求出其单边和双边频谱，并画出频谱图。
解 由已知的表达式可知，周期信号f (t )的基波角频率为?=1 rad/s ，周期T =2?/?=2?。
（1）求单边频谱。
将已知的表达式化为标准的三角形式的傅里叶级数展开式得到 则单边频谱为由此画出单边幅度谱和相位谱如图4-1所示。
（2）求双边频谱。
根据上述单边频谱，由式（4-7）得到再根据双边频谱的对称性得到从而求得由此画出双边幅度谱和相位谱如图4-2所示。
-1012345678-1012345678510120123456780510-10123456780510-112345678-2-1120 1 2 3 n1 2 3n 图4-1说明：根据三角形式的傅里叶级数得到的A n 、?n 称为周期信号的单边频谱，根据指数形式的到的F n 称为周期信号的双边频谱，其波形称为信号的频谱图。
双边频谱和单边频谱都是以n 为变量的函数。
由于n 只能取整数，代表周期信号中的第n 次谐波，所以频谱图都由离散的点构成。
在单边频谱中，n 只能取非负整数，而在双边频谱中，n 的取值有正有负。
注意到在双边频谱中，|F n |为偶函数，?n 为奇函数，所以一般取?0=0。
此外，根据式（4-7），可以在单边频谱和双边频谱之间相互转换。
例4-5 已知周期信号f (t )如图4-3所示，求其频谱。
解 由图可知，f (t )的周期为T =0.4s ，则?=2?/T =5?。
取t 0=-0.2=T /2。
（1）根据三角形式的傅里叶级数展开式求单边频谱。
则 则（2）根据指数形式的傅里叶级数展开式求双边频谱。
说明：通过本例掌握求周期信号频谱的方法。
要求频谱，也就是求其傅里叶级数展开式各项的系数。
求单边频谱时，先根据式（4-3）、（4-4）求出a n 、b n ，再由式（4-5）求A n 和?n 。
求双边频谱时，只需直接根据式（4-6）求出F n 。
此外，注意在求解过程中，不需将T 和?代入计算。
在根据定义式得到积分结果后，一般会出现T ?项，此时只需将T ?=2?代入，即可将这两个参数一起消去。
例4-6 证明如下结论： （1） 周期偶对称信号中只含有直流分量和余弦分量；f (t ) 2图4-3-0.1 -101234567800.5-1012345678-101234567800.5-10123456780510-112345678-3 -2 -10 1 2 3 n|F n |?n图4-2421 1112?/4?/3?/2-?/2 -?/3 -?/4（2） 周期奇对称信号中只含有正弦分量。
证明 （1）令t 0=-T /2，则根据式（4-3）和（4-4）得到 （1）因为f (t )为偶对称信号，则f (-t )=f (t )，则 因此其中只有直流分量和余弦分量。
（2）因为f (t )为奇对称信号，则f (-t )=-f (t )，则 因此其中只有正弦分量。
说明：根据傅里叶级数的计算式可以证明，波形上具有不同特点的周期信号，其中包含的分量也有所不同。
除了本例中证明了的两种特性外，更多的波形特点及其含有的分量组合如表4-1所示。
其中的结论请读者模仿此例进行推导和证明。
表4-1 周期信号的对称性与其所含的分量例4-7 已知双边指数信号||2e )(t t f -=，求其傅里叶变换。
解 因为因此满足绝对可积条件，则由定义求得说明：根据定义求信号的傅里叶变换时，必须首先计算判断信号是否绝对可积条件。
如果不满足，不能用定义求，只能用性质或其他方法求。
所有的能量信号都一定满足绝对可积条件，而典型的时限信号、幅度随时间逐渐衰减的信号等都是能量信号，所以都可以利用定义直接求解其傅里叶变换。