控制系统的稳态误差
自动控制原理--控制系统的稳态误差
二、给定作用下的稳态误差
设系统开环传递函数为：
其中K为开环增益，v为系统中含有的积分环节数 对应于v=0,1,2的系统分别称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型系统。
稳态误差的定义
• 误差定义为输入量与反馈量的差值
• 稳态误差为误差的稳态值 • 如果需要可以将误差转换成输出量的量纲
• 稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入 信号的形式和大小有关。其终值为：
稳态误差计算
误差的定义：
E(s) R(s) B(s)
lim ess ()
( L1[ E ( s )])
（1）系统是稳定的； （2）所求信号的终值要存在。
例27 已知系统如图3-36所示。当输入信号 rt ，1干t扰信 号 n时t，求1t系 统的总的稳态误差。
Ns
Rs
Es
K1
K2 s
Y s
Bs
图3-36 例3-15系统结构图
解：⑴对于本例，只要参数 K1, K均2大于零，则系统一定是稳 定的。
⑵在r t 信1t号 作用下（此时令 n）t 0
s0
s0
1 s K1K2
K2 s K1K2
1 s
1 K1
由以上的分析和例题看出，稳态误差不仅与系统本身
的结构和参数有关，而且与外作用有关。利用拉氏变换
的终值定理求得的稳态误差值或者是零，或者是常数，
或者是无穷大，反映不出它随时间的变化过程。另外，
对于有些输入信号，例如正弦函数，是不能应用终值定
最后由终值定理求得稳态误差 ess
ess
3.7 控制系统的稳态误差
一、误差与稳态误差
R(s) E(s)
C(s)
G(s)
： ⑴从输入端定义：
系统偏差：系统的输入r (t) 和主反馈信号b (t)之差。
e(t) r(t) b(t)
⑵从输出端定义： 系统误差：输出量的希望值c’(t)与实际值c(t) 之差。
表示系统稳态误差
二、稳态误差的计算式
系统框图 给定作用下的偏差传递函数
误差的时域计算式：
采用拉氏变换终值定理计算稳态误差 (使用条件：
sE(s)的极点均在左半平面，包括原点)
3．8 稳态误差分析与计算
一、给定输入作用下系统的误差分析 1．系统型别 系统开环传递函数:GK(s)=G(s) H(s) 假设开环传递函数GK(s)的形式如下：
Ci 称为动态误差系数，Ci怎么得到？
⑴对
,在s=0的邻域内展开为泰勒级数。
⑵ 对 ,分子多项式除以分母多项式，商为：
① 0型系统 GK(s)=G(s) H(s)
给定有静差系统
②Ⅰ型系统
③Ⅱ型系统
给定无静差系统
给定无静差系统
⑵ 单位斜坡输人 ① 0型系统
大误差
②Ⅰ型系统
给定有静差
③Ⅱ型系统
给定无静差
⑶ 单位抛物线输人 ① 0型系统
大误差
②Ⅰ型系统
大误差
③Ⅱ型系统
有给定静差
无差系统：在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统。 有差系统：在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。
式中，K：为系统的开环增益
v可称为系统无差度 ，表示系统的型别 由公式
可看出，稳态误差 ess与输入和开环传递函数型别有关。 v可称为系统无差度
2．静态误差系数 定义:
控制工程基础- 第5章 控制系统的稳定误差
控制系统的稳态误差
静态误差系数法—— r(t) 作用时 ess 的计算规律
G(s)
G (s)H(s) 1
K (1s 1) (ms 1)
sv (T1s 1) (T nv s 1)
K sv
G
0(s
)
K：开环增益 v：类别(类型)
G (s) (1s 1) (m s 1)
0
(T1s 1) (T nv s 1)
lim
s0
G 0(
s
)
1
R(s)
e(s)
E(s) R(s)
1 1 G1(s)H (s)
1
1
K
v
G0(s)
s
E(s)
G1 ( s )
C(s)
H(s)
ess
lim
s0
se (s)R(s)
lim
s0
s
R(s)
1
1
K sv
G0(s)
稳态误差 ess 与输入r(t)的形式、系统的结构参数(K，v)有关。
Kn
en (s)
E(s) N(s)
1
Tns 1 K
(Tn s
Kn s(Ts 1)
1)s(Ts 1)
K
s(Ts 1)
essn
lim
s0
sen (s)N (s)
lim
s0
s
(Tn s
Kn s(Ts 1) 1) s(Ts 1)
K
1 s2
Kn K
e ess
essr
essn
1 Kn K
控制系统的稳态误差
ess
lim
s0
控制系统的稳态误差分析
ess
s 右半
s(s +1)(2s +1) 1 1 = lims ess = lim sE (s) = s→ s(s +1)(2s +1) + K(0.5s +1) s2 0 s →0 k
计算结果表明， 计算结果表明，稳态误差 的大小， 的大小，与系统的开环增 有关。 益K有关。系统的开环增 益越大，稳态误差越小。 益越大，稳态误差越小。 由此看出， 由此看出，稳态精度与稳 定性对K的要求是矛盾的。 定性对K的要求是矛盾的。
t→ ∞
t→ ∞
2、有差系统:通常把阶跃输入信号作用下存在误差 有差系统:
的系统称为有差系统。 的系统称为有差系统。
3、无差系统:通常把阶跃输入信号作用下不存在误 无差系统:
差的系统称为无差系统。 差的系统称为无差系统。
注意:这里所讲的误差指 注意: 系统原理上的误差。 系统原理上的误差。
二、稳态误差的计算
第五节 控制系统的稳态误差分析
一、基本概念 1.偏差、 1.偏差、误差和稳态误差 偏差 的定义： 偏差 (t) 的定义：
R(s)
ε(t) = r(t) −b(t)
E(s) = R(s) − B(s)
的定义： 误差 e(t) 的定义：
(3(3-44a)
ε
−
E(s)
G(s)
C(s)
B(s)
H(s)
图3-24 系统结构图
R(s)
−
K(0.5s +1 ) s(s +1 s +1 )(2 )
C(s)
1 R(s) = 2 s
s ( s + 1)(2 s + 1) 1 E (s) = s ( s + 1)(2 s + 1) + K (0.5 s + 1) s 2
稳态误差公式
稳态误差公式稳态误差公式是控制系统中常用的一个概念，用于评估系统输出与期望输出之间的偏差。
在控制系统设计和分析中，稳态误差公式被广泛应用，能够帮助工程师评估系统的性能和稳定性。
稳态误差公式的含义稳态误差公式指的是控制系统在稳态下输出与期望输出之间的偏差。
稳态是指系统已经达到恒定状态，即输入信号已经稳定，系统没有改变时的状态。
稳态误差是输出与期望输出之间的差值，通常用e表示。
稳态误差公式可以用以下公式表示：e(t) = y(t) - r(t)其中e(t)表示在时间t时刻的稳态误差，y(t)表示系统输出在时间t时的值，r(t)表示期望输出在时间t时的值。
稳态误差公式的应用稳态误差公式在控制系统中具有广泛的应用，通常被用于以下几个方面：1. 系统性能分析稳态误差公式可以用于分析系统的性能，帮助工程师评估系统输出与期望输出之间的差距。
通过分析稳态误差，可以明确系统的性能限制，从而确定是否需要改进系统的设计。
2. 系统稳定性分析稳态误差公式也可以用于系统稳定性分析。
稳态误差越小，系统的稳定性越好。
因此，通过分析稳态误差的大小可以评估系统的稳定性。
3. 控制系统设计在控制系统设计中，稳态误差公式是一个非常重要的工具。
通过控制系统的参数设置，可以调整系统的稳态误差。
因此，稳态误差公式可以帮助工程师设计出性能更好、稳定性更高的控制系统。
稳态误差公式的限制稳态误差公式虽然在控制系统中具有广泛的应用，但也存在一些限制。
其中最重要的一个限制是，稳态误差公式只适用于稳态下的系统。
如果系统还没有进入稳态，稳态误差公式将无法提供准确的结果。
此外，稳态误差公式还有一个限制，那就是它不能完全反映系统的动态响应。
稳态误差公式只考虑了系统输出与期望输出之间的偏差，而没有考虑系统响应的速度、振荡等因素。
因此，在分析系统性能时，需要同时考虑系统的稳态误差和动态响应。
稳态误差公式的应用示例为了更好地理解稳态误差公式的应用，下面以比例控制系统为例进行说明。
3-6 控制系统稳态误差的基本概念
.
..
ss (t) 0.909r(t) 0.0273r(t) 0.0073r(t)
.
又已知r(t) 1(t) ， r(t) 0 代入上式得
ss (t) 0.909
已知
KH kc
→
ess
(t)
ss (t) kc
0.909 0.1 0.05
181.8
3.6.5 应用静态误差系数计算给定信号作用 下的稳态误差
……
.
已知 f (t) 1(t) ,则 f (t) 0
.
→
essf (t) [0.2 f (t) 0.016 f (t) ] =0.2
第三步,根据叠加原理,求得系统的总的稳态误差
ess (t) essr (t) essf (t) =0.1+0.2=0.3
例 4 调 速 系 统 的 方 块 图 如 图 3.7-3 所 示 。 图 中 K1=10 ，
系统的误差：被控量的希望值与实际被控量之差，记为 e(t)
e(t) cr (t) c(t)
c(t) ：暂态分量和稳态分量。 e(t) ：暂态分量和稳态分量。
稳态分量反映控制系统跟踪控制信号或干扰信号的能力和精度，即 反映控制系统的稳态性能。
稳态误差：当 t 时，系统误差称为稳态误差，记为ess 表示。
1 s (T 1 )s2 K K K2 1 1 s T s2 1 s T s2 KKKK
) 1 s 1 s2 T s3
K K2
K2
(T K
1 K2
)s2
T K2
s3
……
所以
e (s)
E(s) R(s)
1 K
s
(T K
1 K2
第9讲-控制系统的稳态误差
终值定理
六、动态误差系数方法
前面研究的稳态误差主要讨论的是典型输入信号下的稳 态误差，对于部分非典型信号（如正弦信号）下，求稳态误 差的极限计算方法可能不能用。另外，我们可能还需要了解 输出响应在进入稳态（t>ts)后变化的规律如何。这些问题用 前面介绍的方法都不方便。因此，下面再介绍一种适应范围 更广泛的方法：动态误差系数法（又称广义误差系数法）。
它零、极点对分类没有影响。下面分析系统在不同典
型输入信号作用下的稳态误差。
1、单位阶跃输入时的稳态误差
对于单位阶跃输入，R(s)=1/s,系统的稳态误差为
令
称 Kp为稳态位置误差系数。
稳态误差可表示为
因此，在单位阶跃输入下，给定稳态误差决定于 系统的位置误差系数。
（1）对于0型系统， （2）对于1型系统（或高于1型的系统）
一
从系统输出端定义的稳态误差，概念清晰，物
理意义明确，也符合基本定义，但在实际系统中
无法测量，因而，一般只有数学意义。而从系统
输入端定义的稳态误差，它在系统中是可以测量
的，因而具有实用性。对于单位反馈系统，要求
输出量C(t)的变化规律与给定输入r(t)的变化规
律一致，所以给定输入r(t)也就是输出量的希望
当 差又是多少?
时,上例的稳态误
因为0型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差 为无穷大,根据叠加原理,ess=∞
稳态误差小结： 1.公式小结
（1）基本公式
（1）
（2）
给
定
输
（3） 入
单
独
作
（4）
用 时
（5）
扰动单独作用时
控制系统的稳态误差
二、稳态误差分析与静态误差系数
(1)阶跃输入作用下的稳态误差及静态位置
误差系数
定义：静态位置误差系数：
位置误差
无差系统：稳态误差为零的系统。 有差系统：稳态误差非零有限值的系统。 静差：将系统在阶跃输入作用下的稳态误差 称为静差。 Q：要使系统在单位阶跃信号作用下，稳态误 差为0，则要求误差度v=？
在系统的稳态性能分析中常以偏差代替误
差进行研究，稳态误差就是指稳态偏差。
2. 误差的数学模型
根据稳态误差的定义，利用拉普拉斯变换终 值定理：
可见，稳态误差取决于开环传递函数和输入 信号。
3. 开环系统的类型
以开环系统中积分环节个数v分类
其中：
控制系统稳态误差：
控制系统的稳态误差主要由三方面确定： a.输入信号的类型； b.系统的开环增益K； c.积分环节的个数ν ，也称为误差度。
(2)斜坡输入作用下的稳态误差及静态速度 误差系数
速度误差
定义：静态速度误差系数：
(3)抛物线输入作用下的稳态误差及静态加 速度误差系数
加速度误差
定义：静态加速ห้องสมุดไป่ตู้误差系数：
小
结
(a)对于有稳态误差的情况，开环增益K越 大，稳态误差就越小但受实际设备的限 制； (b)系统的类型(即误差度)越高，能够跟踪 信号的阶次就越高； (c)但误差度过高也可能导致系统不稳定； 系统的稳定性与系统的稳态性能要兼顾 考虑。
第四章 控制系统的时域分析
第7小节 控制系统的稳态误差(1)
一、稳态误差的基本概念
稳态性能考虑的是系统输出响应在调整时 间之后的品质，通常用稳态误差来描述。稳 态误差的大小反映系统对于给定信号的跟踪 精度，是系统控制精度的一种度量。
自动控制原理稳态误差知识点总结
自动控制原理稳态误差知识点总结自动控制系统是现代工程领域广泛应用的一种技术手段，稳态误差是自动控制系统中常见的问题之一。
本文将对自动控制原理中稳态误差的知识点进行总结，并以简明扼要的方式进行介绍。
1. 稳态误差的定义稳态误差是指系统在稳定状态下输出与期望输出之间的差值。
也就是说，当输入信号经过一段时间后，系统输出的值与期望输出值之间可能存在一定的偏差。
2. 稳态误差的分类稳态误差可以分为零稳态误差和非零稳态误差两种类型。
2.1 零稳态误差当输入信号为恒定值时，系统输出达到稳定状态后仍存在一定的误差，这种误差称为零稳态误差。
零稳态误差可以进一步分为四种类型：常数型、比例型、积分型和比例积分型。
2.1.1 常数型误差常数型误差是指系统输出与期望输出之间存在一个常数的差值。
通常情况下，常数型误差发生在开环控制系统中，无法通过反馈调节来消除。
2.1.2 比例型误差比例型误差是指系统输出与期望输出的差值与系统输出的值成比例关系。
比例型误差通常发生在比例控制系统中，可以通过调节比例增益来减小误差。
2.1.3 积分型误差积分型误差是指系统输出与期望输出的差值与时间的积分关系。
积分型误差通常发生在积分控制系统中，可以通过增加积分时间常数来减小误差。
2.1.4 比例积分型误差比例积分型误差是指系统输出与期望输出的差值与时间的积分关系，并且与系统输出的值成比例关系。
比例积分型误差通常发生在比例积分控制系统中，可以通过调节比例增益和积分时间常数来减小误差。
2.2 非零稳态误差非零稳态误差是指系统输出与期望输出之间的差值在稳定状态下不为零。
非零稳态误差通常出现在闭环控制系统中，主要原因是系统的特性引起的。
3. 稳态误差的影响因素稳态误差的大小和减小程度受多个因素的影响，包括输入信号的特性、系统的传递函数、控制器的参数等。
3.1 输入信号的特性输入信号的特性对稳态误差有直接影响。
例如，当输入信号是阶跃信号时，可能会引起常数型误差；当输入信号是斜坡信号时，可能会引起比例型误差。
自动控制原理：3-3 控制系统的稳态误差
ans=
2.0000
-2.0000
-0.0000+1.0000i
-0.0000-1.0000i -0.5000+0.8660i -0.5000-0.8660i
由于有1个正实部根的特征根， 所以，系统不稳定。
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 14
3.4.2 MATLAB求控制系统的单位阶跃响应
有差系统 无差系统
准确跟踪 系统
§3-3 控制系统的稳态误差
2.单位斜坡输入 xr (t) t
Xr
(s)
1 s2
e lim s0
sE
(s)
lim
s0
s 1
Xr (s)
WK s
lim
s0
1
s WK
s
1 s2
1
lim
s0
sWK
s
若令
Kv
lim
s0
sWK
s
则 e 1
Kv
速度 误差系数
0型系统 Ⅰ型系统 Ⅱ型以上系统
当输入r(t) 为单位加速度信号时，为使系统的 静态误差为零，试确定前馈环节的参数a 和b 。
lim
s0
sN1X r s
sN K
稳态误差取决于Kk与N，而N越高稳态精度（准 确性）越高，稳定性越差。
二、典型输入情况下系统的给定稳态误差及误差系数
1.单位阶跃输入
xr
t
1 0
t0 t0
1 X r (s) s
§3-3 控制系统的稳态误差
e
lim
s0
sE
(s)
lim
s0
s 1
Xr (s)
WK s
实验七 控制系统的稳态误差分析
实验七 控制系统的稳态误差分析一、 实验目的1、 研究系统在单位阶跃输入下的稳态误差变化。
2、 掌握系统型次及开环增益对稳态误差的影响。
3、 在Multisim 仿真平台上建立二阶电路，通过示波器观测控制系统稳态误差变化情况。
二、实验原理及内容构成下述环节的模拟线路，分析该实验系统的型次和不同增益时对稳态误差的影响。
图1 稳态误差分析电路图该电路图中选取信号为直流电压源，电阻和电容选用现实原件，运放和电位器选用虚拟原件。
系统的开环传递函数为：)103.0)(102.0(600)()(7++=s s R s H s G其中：R 7为电位器从系统的开环传递函数知，本系统属于0型系统，并且开环增益7600R K =，则系统的稳态误差K Ro e ss +=1。
三、实验步骤1、将开关J2断开，电位器R 7调到100K Ω进行实验，观察示波器中响应曲线稳态误差的情况（见图2）。
2、将开关J2闭合，调节电位器的数值（利用A 键），观测稳态误差的大小变化以及收敛的速度。
（1）当电位器R 7为200K Ω时，输出波形见图3（2）当电位器R 7为100K Ω时，输出波形见图4（3）当电位器R 7为50K Ω时，输出波形见图5图2 J2断开时的稳态误差分析曲线图3 R7＝200KΩ时误差分析曲线图4 R7＝100KΩ时误差分析曲线实验八 一阶系统频率特性测量一、实验目的1、加深了解系统及元件频率特性的物理概念。
2、掌握系统及元件频率特性的测量方法，根据所测得的频率特性做出波特图。
二、实验内容构成下述环节的模拟线路,使用仿真软件中的波特图一加深对惯性环节的频率特性的理解，通过测量值的变化规律得到系统的幅频特性和相频特性。
1、 测量原理若输入信号11()sin m u t U t ω=，则在稳态时，其输出信号为22()sin()m u t U t ωϕ=+，改变输入信号的角频率值ω，便可以测得两组随ω变化的值----12m mu u 和ϕ，进而可以通过测量值的变化规律得到系统的幅频特性和相频特性。
控制系统的稳态误差
3.5 控制系统的稳态误差3。
5 控制系统的稳态误差描述控制系统的微分方程(3。
73)式（3。
73）是一个高阶微分方程,方程的解可以表示为（3.74) 式中,前两项是方程的通解，而是方程的一个特解。
随时间的增大，方程的通解逐渐减小，方程的解y(t)越来越接近特解.当时，方程的通解趋于零这时系统进入了稳定状态。
特解是由输入量确定的，反映了控制的目标和要求。
系统进入稳态后，能否达到预期的控制目的，能否满足必要的控制精度，要解决这个问题，就必须对系统的稳态特性进行分析。
稳态特性的性能指标就是稳态误差。
3.5。
1 稳态误差控制系统的误差可以表示为（3.75）式中是被控制变量的期望值，y(t）是被控制变量的实际值，即控制系统的输出。
稳定的控制系统，在输入变量的作用下，动态过程结束后，进入稳定状态的误差，称为稳态误差图3.23 单位反馈和非单位反馈系统（a)单位反馈系统；（b)非单位反馈系统在控制工程中，常用控制系统的偏差信号来表示误差。
对图3。
23（a）所示的单位反馈系统，误差与偏差的含义是相同的，即（3.76)式中r（t)为系统的给定值，也就是输出y（t）的期望值。
单位反馈系统的稳态误差为:（3.77)对图3.23（b）所示的非单位反馈系统，因为反馈变量f(t）并不与输出变量y （t）完全相同，所以给定值与反馈变量之差，即偏差并不是（3。
75）式意义上的误差。
但如果反馈环节H(s)不含有积分环节，在时，由于暂态项的消失，反馈量与输出量之间就只差一个比例系数我们认为反馈量可以代表输出量，于是,定义非单位反馈系统的误差为（3。
78)式中r(t）是非单位反馈系统的给定值,f(t）是反馈信号。
根据图3。
23（b)非单位反馈系统各环节间信号的关系，可得（3。
79）如果把单位反馈系统看成是一般反馈系统的特殊情况，则（3。
79）式就被定义为控制系统误差的拉普拉斯变换表达式。
根据拉普拉斯变换的终值定理得即(3.80)式（3.80）表明，控制系统的稳态误差不仅仅是由系统本身的特性决定的,还与输入函数有关。
控制系统的稳态误差分析
第六节 控制系统的稳态误差分析
例 位置随动系统的稳态误差分析。
解： (1) 典型随动系统 开环传递函数为 K G(s)= s(T s+1) m
θ (s) r
c K θ (s) s(Tms+1)
1 当输入信号 θr(s)= s
Kp=∞
essr=0 1 essr= K
1 当输入信号 θr(s)=s2
K =K υ
1 a t2 设静态加速度误差系数 设 r(t)= 2 0 Ka=lim s2G(s)H(s) a0 s→0 R(s)= s3 a 0 =lim sK-2 s→0 υ s3 essr=lim s· s→0 1+G(s)H(s) 可得： a0 a0 = lim s2G(s)H(s)= K υ≤1 Ka=0 essr=∞ a s→0 a0 m Ka=K essr= K KΠ(τ is+1) υ=2 G(s)H(s)= υ i=υ n1 s Π(Tjs+1) υ≥ 3 Ka=∞ essr=0 j=1
2 R(s)= s2 0.5 D(s)= s
2 2 2 essr= K = K = 20 =0.1 υ essd= lim s -G2(s)H(s)D(s) s→0 1+G1(s)G2(s)H(s)
第六节 控制系统的稳态误差分析
三、改善系统稳态精度的方法
增加积分环节可提高系统精度等级， 增加放大系数可减小有限误差。采用补偿 的方法，则可在保证系统稳定的前提下减 小稳态误差。
第三章 时域分析法
第六节 控制系统的稳态误差分析
一、给定信号作用下的稳态误差 二、扰动信号作用下的稳态误差
三、改善系统稳态精度的方法
第六节 控制系统的稳态误差分析
控制工程课件-06-控制系统的稳态误差
节提高系统型号。 1. 稳态误差与输入信号有关 传递系数越大，稳态误差越小。 2. 稳态误差与系统型号有关 3. 稳态误差与系统传递系数有关 4. 稳态误差与扰动有关
• 消除或减少稳态误差的方法 1. 串联积分环节提高系统型号。 2. 增加放大环节。 3.上述方法对扰动稳态误差同样有效， 但是，增加的环节应在合适的位置。
R(s) H1(s) G1(s) N(s) G2(s) C(S)
G 2 (s) E n (s) Cn (s) N(s) 1 G1 (s)G 2 (s)H(s)
提高稳态精度的措施 比例积分环节提高稳态精度
闭环回路提高稳态精度
输入量补偿的复合控制 干扰量补偿的复合控制
25
比例积分环节提高稳态精度 求在单位阶跃扰动作用下的扰动误差essn
C(s) GR (s) R(s) GN (s) N (s)
GcG0 G0 GR ( s) GN ( s ) 1 GcG2 H 1 GcG0 H 误差信号对参考 R( s ) 输入的传递函数 误差信号对干扰 E ( s ) Cr ( s ) C ( s ) GR ( s) R ( s ) GN ( s ) N ( s ) H ( s) 信号N(S)的传递 函数 R ( s ) R( s ) N ( s ) N ( s )
s 0
输出可跟随输入，但存在误差
ess
稳态误差无穷大 （输出不能跟随输入）
Ⅱ型
G (s)
K (TjS 1)
j1
m
系统
S (Ti S 1)
2 i 1
n 2
KP lim G (s)
s 0
系统开环传递函数 中含两个积分环节
控制系统稳态误差
控制系统稳态误差控制系统是现代工业中的重要组成部分，其主要目的是使被控对象按照预定要求进行运动或保持特定状态。
然而，实际控制过程中常常会存在稳态误差的问题。
稳态误差是指系统在稳定运行后无法达到预期输出的差异量。
稳态误差的存在会影响系统的性能和准确性，因此需要采取相应措施进行控制和修正。
一、稳态误差的定义和分类稳态误差可以通过系统输出与输入之间的差异进行量化和描述。
一般来说，系统的稳态误差可以分为以下几类：1. 零稳态误差：当输入信号为一阶单位阶跃函数时，系统输出在稳定后能够达到一个常数值，此时的误差被称为零稳态误差。
2. 常数稳态误差：当输入信号为常数信号时，系统的输出也会趋向于一个常数值。
此时的差异量即为常数稳态误差。
3. 平方和稳态误差：当输入信号为二阶单位阶跃函数时，系统输出的平方和稳态误差是指系统输出平方作为误差的衡量指标。
二、稳态误差的产生原因稳态误差的产生主要源于控制系统中的各种不完善因素，包括但不限于：1. 模型误差：系统的模型与实际物理模型存在差异，在控制过程中产生误差。
2. 传感器误差：由于传感器自身的精度限制或者环境因素，传感器所测量的信号存在一定的误差。
3. 操作限制：控制系统中的操作限制，例如执行器的响应速度、运动范围等，会对系统的性能产生影响。
4. 外部扰动：外部干扰、环境变化等因素会对控制系统的输出产生干扰，导致误差的产生。
三、降低稳态误差的方法针对不同类型的稳态误差，可以采用不同的方法进行修正和控制。
1. Proportional-Integral-Derivative（PID）控制器PID控制器是目前应用广泛的一种控制方法，通过调节比例、积分、微分三个参数，可以实现对系统的稳态误差进行校正。
2. 前馈控制前馈控制是在实际控制过程中，将预测的扰动信号提前引入到系统中，通过预先补偿的方式减小稳态误差。
3. 系统参数调整调整系统参数也是降低稳态误差的一种常用方法。
通过修改控制器参数、传感器灵敏度等，使系统的输出更加接近预期。
3-7 控制系统的稳态误差
第三章 时域分析法
第七节 控制系统的稳态误差
03:16
3-7 控制系统的稳态误差 项目
System: g2 Time (sec): 10 Amplitude: 9
5
0
0
5 Time (sec)
10
15
03:16
1 G1 ( s ) s 1
G2 ( s)
1 s( s 1)
G3 ( s)
2s 1 s 2 ( s 1)
3、单位加速度信号输入作用下的稳态误差 将R(s)=1/s3代入ess
s→0
＝
lim sR( s)
s→0
1＋lim
s→0
K ( i s 1) s (T j s 1)
j 1 i 1 n
m
＝
lim sR ( s )
s→0
K 1＋ lim v s→0 s
影响稳态误差的因素是：系统型别、开 环增益K、输入信号R(s)。
03:16
二 系统的类型(开环传函中串联积分环节的数目)
2 s 0
G(s) H (s)
K ( i s 1) s (T j s 1)
j 1 i 1 n
m
K ( i s 1) s 2 (T j s 1)
j 1 i 1 n
m
s 0
lim
s 0
K s 2
03:16
K a lim
03:16
单位负反馈控制系统稳态误差的计算公式
单位负反馈控制系统稳态误差的计算公式摘要：一、引言二、单位负反馈控制系统介绍三、稳态误差的定义及计算公式四、静态误差系数法计算稳态误差五、应用实例与分析六、总结正文：一、引言在控制理论和工程领域中，单位负反馈控制系统被广泛应用于各种自动化领域。
对于此类控制系统，稳态误差的计算是非常重要的，可以帮助我们更好地理解和设计控制系统。
本文将详细介绍单位负反馈控制系统稳态误差的计算公式及其应用。
二、单位负反馈控制系统介绍单位负反馈控制系统是一种典型的闭环控制系统，其结构由输入、控制器、反馈环节和被控对象组成。
在这个系统中，控制器的输出是根据输入信号和反馈信号的差值来计算的，从而使系统的输出达到期望的稳态。
三、稳态误差的定义及计算公式稳态误差是指在系统稳定运行时，输出信号与期望信号之间的差异。
对于单位负反馈控制系统，其稳态误差可以通过以下公式计算：稳态误差= 静态误差系数* 放大器增益其中，静态误差系数是指在系统输入为单位阶跃信号时，输出信号的稳态值与输入信号的稳态值之比；放大器增益是指控制器输出信号与输入信号的比值。
四、静态误差系数法计算稳态误差静态误差系数法是一种常用的计算稳态误差的方法，其步骤如下：1.确定控制系统的输入和输出信号类型。
2.分析系统在单位阶跃信号输入下的响应，得出静态误差系数。
3.根据静态误差系数和放大器增益计算稳态误差。
五、应用实例与分析以一个简单的比例- 积分控制器为例，分析其稳态误差的计算过程：1.输入信号：单位阶跃信号2.输出信号：比例控制输出+ 积分控制输出3.静态误差系数：比例控制输出/ 输入信号= 1 + 积分时间常数/ 放大器增益4.稳态误差：静态误差系数* 放大器增益通过以上实例分析，可以得出在单位负反馈控制系统中，稳态误差的计算与系统的输入、输出信号类型，以及控制器参数密切相关。
六、总结本文详细介绍了单位负反馈控制系统稳态误差的计算公式及其应用。
通过静态误差系数法，可以方便地计算出系统的稳态误差，从而为控制系统的分析和设计提供依据。
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3.5 控制系统的稳态误差
3.5 控制系统的稳态误差
描述控制系统的微分方程
(3.73)
式（3.73）是一个高阶微分方程，方程的解可以表示为
(3.74)
式中，前两项是方程的通解，而是方程的一个特解。
随时间的增大，方程的通解逐渐减小，方程的解y(t)越来越接近特解。
当时，方程的通解趋于零
这时系统进入了稳定状态。
特解是由输入量确定的，反映了控制的目标和要
求。
系统进入稳态后，能否达到预期的控制目的，能否满足必要的控制精度，要解决这个问题，就必须对系统的稳态特性进行分析。
稳态特性的性能指标就是稳态误差。
3.5.1 稳态误差
控制系统的误差可以表示为
(3.75)
式中是被控制变量的期望值，y(t)是被控制变量的实际值，即控制系统的
输出。
稳定的控制系统，在输入变量的作用下，动态过程结束后，进入稳定状态的误差，称为稳态误差
图3.23 单位反馈和非单位反馈系统
（a)单位反馈系统；（b)非单位反馈系统
在控制工程中，常用控制系统的偏差信号来表示误差。
对图 3.23（a)所示的单位反馈系统，误差与偏差的含义是相同的，即
(3.76)
式中r(t)为系统的给定值，也就是输出y(t)的期望值。
单位反馈系统的稳态误差为:
(3.77)
对图3.23（b)所示的非单位反馈系统，因为反馈变量f(t)并不与输出变量y(t)完全相同，所以给定值与反馈变量之差，即偏差并不是（3.75）式意义上的误差。
但如果反馈环节H(s)不含有积分环节，在时，由于暂态项的消失，反馈
量与输出量之间就只差一个比例系数我们认为反馈量可以代表输出量，于是，定义非单位反馈系统的误差为
(3.78)
式中r(t)是非单位反馈系统的给定值，f(t)是反馈信号。
根据图3.23（b)非单位反馈系统各环节间信号的关系，可得
(3.79)
如果把单位反馈系统看成是一般反馈系统的特殊情况，则（3.79）式就被定义为控制系统误差的拉普拉斯变换表达式。
根据拉普拉斯变换的终值定理得
即
(3.80)
式（3.80）表明，控制系统的稳态误差不仅仅是由系统本身的特性决定的，还与输入函数有关。
同一个系统在输入信号不同时，可能有不同的稳态误差。
也就是说控制系统对不同的输入信号，控制精度是不同的。
3.5.2 积分环节对稳态误差的影响
式（3.80）中的开环传递函数可以表示为
(3.81)
式中K表示系统的开环放大系数。
N表示开环传递函数所包含的积分环节数。
在分析控制系统的稳态误差时，我们根据系统开环传递函数所含的积分环节数来对系统进行分类。
若N=0，即控制系统开环传递函数不含积分环节，称为0型系统。
若N=I,则称为I型系统。
N= Ⅱ,称为Ⅱ型系统。
现在，我们来讨论不同类型的控制系统在典型输入信号作用下的稳态误差。
1. 单位阶跃函数输入下的稳态误差
单位阶跃函数输入下系统的稳态误差为
(3.82)
如果我们定义
(3.83)
式中称为位置误差系数，则单位阶跃输入下系统的稳态误差为
(3.84)
对于0型系统
(3.85)
(3.86)
稳态误差为
(3.87)
式（3.87）说明，0型系统在单位阶跃输入下是有稳态误差的。
所以我们称0型系统对单位阶跃输入是有差系统。
可以通过增大开环放大系数K使稳态误差减小，但不能消除，因为系统本身的特性决定了稳态误差不可能完全消除。
对于Ⅰ型或Ⅱ型系统：
系统的开环传递函数为
Ⅰ型
(3.88)
Ⅱ型
(3.89)
系统的位置误差系数
(3.90)
系统的稳态误差为
(3.91)
（3.91）式说明，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，系统必须含有积分环节。
可以看出，积分环节具有消除稳态误差的作用。
2. 单位斜坡函数输入的稳态误差
单位斜坡函数输入下控制系统的稳态误差为
定义
(3.93)
则系统的稳态误差为
(3.94)
式中，称为速度误差系数。
对于0型系统
稳态误差为
(3.95)
对于Ⅰ型系统
(3.96) 稳态误差为
(3.97)
式中K为系统的开环放大系数。
对于Ⅱ型系统
(3.98)
稳态误差为
(3.99)
在单位斜坡函数输入下，0型系统的稳态误差为无穷大。
这说明0型系统不能跟踪斜坡函数。
I型系统虽然可以跟踪单位斜坡输入函数，但存在稳态误差，即I 型系统对斜坡输入是有差的。
若要在单位斜坡函数作用下达到无稳态误差的控制精度，系统开环传递函数必须含有二个以上的积分环节。
3. 单位抛物线函数输入下的稳态误差
单位抛物线输入函数作用下系统的稳态误差为
(3.
100)
定义
(3.101)
则有
(3.102)
式中称为加速度误差函数。
对0型系统
(3.103) 对
表3.2 典型输入信号作用下系统的稳态误差
系统类型误差系数输入r(t)=1 输入r(t)=t
输入r(t)=
0型K 0 0
Ⅰ型K 0 ０
Ⅱ型K ００
Ⅰ型系统
(3.104)
对Ⅱ型系统
(3.105)
K为系统的开环放大系数。
在抛物线函数输入下，0型、Ⅰ型系统都不能使用。
Ⅱ型系统则是有差的。
若要消除稳态误差，必须选择Ⅲ型以上的系统。
但系统中积分环节太多，动态特性就会变坏，甚至使系统变得不稳定。
工程上很少应用Ⅱ型以上的系统。
表 3.2给出了典型输入函数作用下各型系统的稳态误差。
从以上讨论中可以得出结论：积分环节具有消除稳态误差的作用。
这就是许多控制系统中引入积分环节的原因。
误差系数是利用拉普拉斯变换终值定理得出的，它只是时间趋于无穷大时的值，因此是静态误差系数，它们并不反映误差随时间变化的情况。
3.5.3 扰动作用下的稳态误差
以上我们讨论了控制系统对给定值信号的稳态误差。
在控制系统受到扰动时，即使给定值不变，也会产生稳态误差。
系统的元件受环境影响、老化、磨损等会使系统特性发生变化，也可以产生稳态误差。
系统在扰动作用下的稳态误差大小反映了系统抗干扰的能力。
图3.24是一个控制系统的结构图。
我们现在来讨论这个系统在扰动d(t)作用下的稳态误差。
按叠加原理，我们假定R(s)=0,系统中只有扰动输入。
系统在扰动作用下的输出为
图3.24 控制系统结构图
误差为
利用拉普拉斯变换的终值定理得
(3.106)
值得说明的是，扰动稳态误差与干扰的作用点有关。
所以式（3.106）只适用图3.24所示的系统。
若要求系统在给定值输入和扰动输入同时作用下的稳态误差，只要将二者叠加就
可以了。
系统在扰动作用下的稳态误差也是系统的一项重要稳态特性指标。
例6 单位反馈系统前向通道的传递函数为
求系统在输入信号作用下的稳态误差。
解可以根据叠加原理分别求的稳态误差。
本系统为Ⅰ型系统，=3为阶跃函数，。
因此有
为斜坡函数，稳态速度误差系数,由此得到
为抛物线函数，稳态加速度误差系数,因此
系统的稳态误差为。