第二课时 频数分布直方图与频率分布直方图

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[微思考] 1.为什么要对样本数据进行分组？
提示 不分组很难看出样本中的数字所包含的信息，分组后，计算出频率，从 而可估计总体的分布特征. 2.频数、频率分布直方图有什么优缺点？ 提示 (1)优点：可以直观、形象地反映样本的分布规律，清楚地看出数据分布 的总体趋势. (2)缺点：从频数、频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据绘制成频率 (或频数)分布直方图后，原有的具体数据信息就抹掉了.
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3.在柱形图中，若纵轴表示频数(或频率)，这种柱形图与频数(或频率)分布直方 图有什么本质区别？ 提示 柱形图中，纵轴表示原始数据的频数或频率，频数分布直方图的纵轴表 示区间对应的频数，频率分布直方图的纵轴表示的不是频率，而是区间对应的 频率与区间宽度之比.
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拓展深化 [微判断]
频数 1.在频率分布直方图中，相应的频率＝样本容量.( √ ) 2.在频数或频率分布折线图中，折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义
的.( √ ) 3.上节所学的统计图没有丢失原始数据，频数或频率分布直方图看不出原始数
据.( √ )
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问题 1.直接用前面提到过的统计图来表示上述数据，方便可行吗？ 2.怎样才能直观地表示出上述数据的大致分布情况(比如指出哪个区间的数据比 较多，哪个区间的数据比较少)? 提示 1.由于数据太多，直接用前面提到的统计图表示太麻烦也无必要. 2.将数据按照一定的方式进行“压缩”，然后再用图来直观地表示压缩后的数据. 因为我们关心的是数据的大致分布情况，因此可以事先确定出几个区间，然后统 计落在每一个区间内的数的个数，最后将统计的结果用图示表示.
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140 140 143 143 149 136 141 143 143 141 138 136 138 144 136 145 143 137 142 146 140 148 140 140 139 139 144 138 146 153 148 152 143 140 141 145 148 139 136 141 140 139 158 135 132 148 142 145 145 121 129 143 148 138 149 146 141 142 144 137 153 148 144 138 150 148 138 145 145 142 143 143 148 141 145 141
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题型一 频数与频率
【例1】 (多空题)某市共有5 000名高三学生参加联考，为了解这些学生对数学知识的
掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成频率分布表：
分组/分
频数
频率
[80，90)
①
②
[90，100)
0.050
[100，110)
0.200
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规律方法 对于频数与频率的问题，首先要明确几个关系，即各组的频数之和等 频数
样本容量，各组的频率之和为 1，频率＝样本容量.在解题过程中，要明确频数、 频率以及样本容量之间的关系，弄清楚已知和所求，选择合适的公式解题.
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【训练2】 美国历届总统中，就任时年龄最小的是罗斯福，他于1901年就任， 当时年仅42岁；就任时年龄最大的是特朗普，他于2016年就任，当时70岁.下 面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2016年的特朗普，共45任)给出了历届美国 总统就任时的年龄： 57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49， 64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47， 55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60， 62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，47，70. (1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图； (2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况.
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1.频数与频率 (1)频数：在一组数据中，数据出现的次数称为频数，某个区间内的数据的个数 称为区间对应的频数. (2)频率：在一组数据中，数据的频数与这组数据总个数的比称为频率，区间对 应的频数与这组数据总个数的比称为区间对应的频率. 对频数直方图、频率分布直方图，它们的折线图与上节的折线图有什么不同
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绘制频率分布直方图、频率分布折线图. 解 从数据中可以看出，这组数据的最大值为135，最小值为80，故极差为55， 可将其分为11组，组距5，下列表如下：
分组 [80，85) [85，90) [90，95) [95，100) [100，105) [105，110) [110，115)
频数 1 2 4 14 24 15 12
频率 0.01 0.02 0.04 0.14 0.24 0.15 0.12
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[115，120)
9
0.09
[120，125)
11
0.11
[125，130)
6
0.06
[130，135]
2
0.02
合计
100
1.00
画频率分布直方图、频率分布折线图如图所示.
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解 (1)以4为组距，列频率分布表如下：
分组 [42，46) [46，50) [50，54) [54，58) [58，62) [62，66) [66，70]
合计
频数 2 7 8 16 5 4 3 45
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频率 0.044 4 0.155 5 0.177 8 0.355 6 0.111 1 0.088 9 0.066 7 1.000 0
【训练1】 (1)将容量为100的样本数据分为8个组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
x
14
15
13
12
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则第3组的频率为( )
A.0.03
B.0.07
C.0.14
D.0.21
(2)一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20，
60)上的频率为0.8，则估计样本在[40，50)，[50，60)内的数据个数共为( )
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规律方法 绘制频率分布直方图的注意点 (1)各组频率的和等于 1，因此，各小矩形的面积的和也等于 1； (2)频率分布直方图比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律；
频率 (3)在 xOy 坐标平面内画频率分布直方图时，x＝样本数据，y＝组距，这样每一组 的频率可以用该组的组距为底、频 组率 距为高的小矩形的面积来表示.其中，矩形的高 ＝频 组率 距＝组距×样1 本容量×频数；
A.15
18
B.16
C.17
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D.19
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解析 (1)由题意得 x＝100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9)＝14，所以第 3 组的频 率为11040＝0.14. (2)由题意得样本在[40，50)，[50，60)内的数据个数共为30×0.8－4－5＝15. 答案 (1)C (2)A
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题型二 频数、频率分布直方图及其绘制 【例2】 为了了解一大片经济林的生长情况，人们随机测量其中的100株树木的
底部周长(单位：cm)，得到如下数据： 135 98 102 110 99 121 110 96 100 103 12597 117 113 110 92 102 109 104 112 105 124 87 131 97 102 123 126104 104 128 109 123 111 103 105 92 114 108 104 102 129 126 12797 100 115 111 106 117 104 109 111 89 110 121 80 120 121 128 104 108 118 129 99 90 99 121 123 107 111 91 100 99 101 129116 97 102 108 101 95 107 101 102 108 117 99 118 106 130119 97 126 108 123 119 98 121 101 113 102 103 104 108
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(4)同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴单位不同，得到的频率分布直方图 的形状也会不同； (5)同一个总体，由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个容量为 100 的样本， 所形成的样本频率分布直方图一般会与前一个样本频率分布直方图有所不同，但 它们都可以近似地看作总体的分布.
[110，120)
36
0.300
[120，130)