【整理】高考数学圆锥曲线的经典性质50条

当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a .
当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1 | ex0 a ,| MF2 | ex0 a
9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点， 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、N 两点，
10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A 1、 A2 为椭圆长轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q 交于点 N ，则 MF⊥ NF.
x2 y2 11. AB 是椭圆 a 2 b 2 1 的不平行于对称轴的弦， M (x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则 kOM k AB
则 MF ⊥ NF.
10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、 Q, A1、A 2 为双曲线实轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q 交于点 N ，则 MF ⊥ NF.
x2 y2 11. AB 是双曲线 a 2 b2 1 （ a＞0,b＞ 0）的不平行于对称轴的弦， M (x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则 K OM K AB
P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
x2 y2
7. 椭圆 2
2 1 (a＞b＞ 0)的左右焦点分别为 F1， F 2，点 P 为椭圆上任意一点
ab
x2 y2 8. 椭圆 a 2 b 2 1 （a＞ b＞ 0）的焦半径公式：
F1 PF2
，则椭圆的焦点角形的面积为 S F1PF2
椭圆与双曲线的对偶性质 -- （必背的经典结论）
1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的 外角 .
椭圆

2. PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点
.
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 .
x0 x a2
y0 y b2
.
双曲线
1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的 内角 .
2. PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点
.
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相交 .
4. 以焦点半径 PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切 .（内切： P 在右支；外切： P 在左支）
即 K AB
b2 x0 a2 y0 。
b2 a2 ，
x2 12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2 1内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是
x0 x a2
y0 y b2
x0 2 a2
y0 2 b2
.
x2 y 2
x2 y2
13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2 b2 1内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2
4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 .
5.
x2 若 P0( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2
1上，则过 P0 的椭圆的切线方程是
x0x a2
y0 y b2
1.
6.
x2 若 P0( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2
1外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为
1 （a＞ 0,b＞ 0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是
x2 a2
y2 b2
x0 x y0y
a2
b2 .
椭圆与双曲线的对偶性质 -- （会推导的经典结论）
b 2 x0 a2 y0
。
高三数学备课组
椭圆
x2 y2 1. 椭圆 a2 b 2 1 （ a＞ b ＞ o）的两个顶点为 A1 ( a,0) , A2 ( a,0) ，与 y 轴平行的直线交椭圆于
x0 x a2
y0 y b2
1.
x2 y2 7. 双曲线 a2 b 2 1 （ a＞ 0,b ＞ o）的左右焦点分别为
F1， F 2 ，点 P 为双曲线上任意一点
F1 PF2
，则双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b 2co t . 2
x2 y2 8. 双曲线 a 2 b 2 1 （a＞ 0,b＞ o）的焦半径公式： ( F1( c,0) , F2 (c,0)
2
2
3.
x 若 P 为椭圆 a2
y b 2 1（ a＞b＞ 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2 是焦点 ,
PF1F2
, PF2 F1
ac
，则
tan
co t
.
ac
22
4.
x2 设 椭 圆 a2
y2 b2
1 （ a ＞ b ＞ 0 ） 的 两 个 焦 点 为 F1 、 F2,P （ 异 于 长 轴 端 点 ） 为 椭 圆 上 任 意 一 点 ， 在 △ PF1F2 中 ， 记
b 2x0 a2 y0
，即
K AB
x2 y2 12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2 b 2 1 （a＞ 0,b＞ 0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是
x0 x a2
y0 y b2
x02 a2
y0 2 b2
.
13.
若 P0 ( x0, y0 ) 在双曲线
x2 a2
y2 b2
5.
x2 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2
y2 b2
1 （a＞ 0,b＞ 0）上，则过 P0 的双曲线的切线方程是
x0x a2
y0 y b2
1.
2
2
6.
若 P0 ( x0, y0 ) 在双曲线
x a2
y b2
1（a＞0,b＞0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为
P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是
| MF1 | a ex0 ,| MF2 | a ex0 ( F1 ( c,0) , F2( c,0) M ( x0, y0 ) ).
2
b tan . 2
9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，则 MF ⊥NF.
P1、 P2 时 A 1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方程是
x2 y 2 a2 b2 1.
2
2
2.
x 过椭圆 a 2
y b2
1 (a＞0, b＞ 0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于
B,C 两点，则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常
数） .