初中数学几何辅助线集合第四章轴对称专题(无答案)

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八年级数学上册《第四章-坐标平面内图形的轴对称和平移》练习题及答案-浙教版

八年级数学上册《第四章坐标平面内图形的轴对称和平移》练习题及答案-浙教版一、选择题1.在平面直角坐标系中,将点A（1,-2）向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度，得到点A′,则点A′的坐标是（）A.(-1,1)B.(-1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)2.点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（）A.（-1,-2）B.（-1,2）C.（1,-2）D.（2,-1）3.已知点P（1，a）与Q（b，2）关于x轴成轴对称，则a﹣b的值为（）A.﹣1B.1C.﹣3D.34.若点A(a-2,3)和点B(-1,b+5)关于y轴对称,则点C(a,b)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(﹣4，﹣1)，B(1，1)，将线段AB 平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为(﹣2，2)，则点B′的坐标为( )A.(4，3)B.(3，4)C.(﹣1，﹣2)D.(﹣2，﹣1)6.在直角坐标系中，将点P(﹣3，2)向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度后，得到的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.如图,A,B的坐标为（2,0）,（0,1），若将线段AB平移至A1B1，则a+2b的值为（）A.2B.3C.4D.58.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，1)，B(1，－1)，C(－1，－1)，D(－1，1)，y轴上有一点P(0，2).作点P关于点A的对称点P1，作点P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称点P3，作点P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作点P5关于点B的对称点P6…，按此操作下去，则点P2 023的坐标为( )A.(0，2)B.(2，0)C.(0，－2)D.(－2，0)二、填空题9.直角坐标系中，点A(2，1)向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为.10.在平面直角坐标系中，已知点A(﹣4，0)和B(0，1)，现将线段AB沿着直线AB平移，使点A与点B重合，则平移后点B坐标是.11.在平面直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，△ABC中任意一点P（x0，y）经过平移后对应点为P′（x0+7，y+2），若A′的坐标为（5，3），则它的对应的点A的坐标为 .12.点A(a，b)和B关于x轴对称，而点B与点C(2，3)关于y轴对称，那么，ab＝.13.在平面直角坐标系中，点A的坐标是(﹣1，2)，作点A关于y轴的对称点，得到点A′，再将点A′向下平移4个单位，得到点A″，则点A″的坐标是________.14.如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P(0，﹣2)处开始依次关于点A(﹣1，﹣1)，B(1，2)，C(2，1)作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，第三次再跳到点N关于点C的对称点处，…，如此下去.则经过第2021次跳动之后，棋子落点的坐标为.三、作图题15.如图，已知单位长度为1的方格中有三角形ABC.(1)请画出三角形ABC向上平移3格再向右平移2格所得的三角形A′B′C′；(2)请以点A为坐标原点建立平面直角坐标系(在图中画出)，然后写出点B，B′的坐标.16.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图7所示，点A'的坐标是(-2，2)，现将△ABC平移，使点A平移到点A'的位置，点B'、C'分别是B、C的对应点.(1)请画出平移后的△A'B'C'(不写画法)，并直接写出点B'、C'的坐标：B'( )、C'( );(2)若△ABC内部一点P的坐标为(a，b)，则点P的对应点P'的坐标是( ).17.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，3)，B(2，4)，C(4，0)，D(2，﹣3)E(0，﹣4).写出D，C，B关于y轴对称点F，G，H的坐标，并画出F，G，H点.顺次而平滑地连接A，B，C，D，E，F，G，H，A各点.观察你画出的图形说明它具有怎样的性质，它象我们熟知的什么图形？18.如图，在平面直角坐标系中，A(﹣1，5)、B(﹣1，0)、C(﹣4，3)。

轴对称图形和角平分线辅助线的四种添加方法归纳(附点拨)

一、轴对称重点题型1.翻折变换题型2.特异三角形3.点的运动变化题型4.等边三角形题型二、角平分线辅助线的四种常规加法一、轴对称重点题型一、翻折变换题型1 ．（ 1 ）数学课上，老师出了一道题，如图①， Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=½AB，求证：∠ B=30°，请你完成证明过程．（ 2 ）如图②，四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片， E 、 F 分别为AB 、 CD 的中点，沿过点 D 的折痕将纸片翻折，使点 A 落在 EF 上的点 A′处，折痕交 AE 于点 G ，请运用（ 1 ）中的结论求∠ ADG 的度数和 AG 的长．（ 3 ）若矩形纸片 ABCD 按如图③所示的方式折叠， B 、 D 两点恰好重合于一点 O （如图④），当 AB=6 ，求 EF 的长．二、特异三角形1.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（ 1 ）如图 1 ，△ ABC 中，∠ B=2 ∠ C ，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ．求证： AE 是△ ABC 的一条特异线；（ 2 ）如图 2 ，若△ ABC 是特异三角形，∠ A=30°，∠ B 为钝角，求出所有可能的∠ B 的度数．5 ．等腰△ ABC 中， CA=CB ，点 D 为边 AB 上一点，沿 CD 折叠△ CAD 得到△ CFD ，边 CF 交边 AB 于点 E ， CD=CE ，连接 BF ．（ 1 ）求证： FD=FB ．（ 2 ）连接 AF 交 CD 的延长线于点 M ，连接 ME 交线段 DF 于点 N ，若EF=4EC ， AB=22 ，求 MN 的长．三、点的运动变化题型8 ．如图，△ ABC 是边长为 6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C运动（与 A 、 C 不重合）， Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（ Q 不与 B 重合），过 P 作 PE ⊥ AB 于 E ，连接PQ 交 AB 于 D ．（ 1 ）当∠ BQD=30°时，求 AP 的长；（ 2 ）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由．9 ．某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷树．如图，要求黄桷树的位置点 P 到边 AB 、 BC 的距离相等，并且点 P 到点 A 、 D 的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点 P （不写作法，保留作图痕迹）．四、等边三角形题型12 ．已知：在△ AOB 和△ COD 中， OA=OB ， OC=OD ．（ 1 ）如图①，若∠ AOB= ∠ COD=60°，求证：① AC=BD ②∠ APB=60°．（ 2 ）如图②，若∠ AOB= ∠ COD=α，则 AC 与 BD 间的等量关系式为，∠ APB 的大小为（直接写出结果，不证明）角平分线的四种辅助线①由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，利用角平分线的性质②以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形③当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”性质证题；④过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形——“角平分线+平行，必出等腰”.【典例1】如下图，已知在四边形ABCD中，BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC.求证:∠A＋∠C=180°.（可转化为证明一个角是另一个角的邻补角）思路：角平分线添加辅助线：（1）向两边作垂线（2）翻折(截取)构造全等【典例2】如下图，已知在△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE=1/2BD.思路：角平分线添加辅助线：（3）“角平分线+垂直”构造等腰三角形【配套练习】1、已知，如下图，AC是四边形ABCD的一条对角线，并且AC平分∠BAD，若∠B与∠D互补，而且AB＞AD.求证：CD=CB.2、如下图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠BAD=∠DAC＋∠C.3、如下图，在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于点D，且AB=AD，CM⊥AD 交AD的延长线于点M.4、（乌鲁木齐中考）如下图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE 于F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为________．。

2024年中考数学二轮复习模块专练—轴对称和中心对称(含答案)

2024年中考数学二轮复习模块专练—轴对称和中心对称（含答案）一、轴对称1．轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴．2．轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称．3．轴对称的性质（1）对应线段相等，对应角相等；（2）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；4．轴对称作图（1）找出图形中的关键点；（2）作关键点的对称点：一垂二延三相等；（3）连接关键点；二、中心对称1．中心对称定义：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心．2．中心对称图形定义：把一个图形绕某个点旋转180°如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．区别：中心对称→两个图形的关系，中心对称图形→一种图形的特征．3．中心对称性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对试卷第2页，共12页称中心平分．同心对称具有旋转的性质．4．中心对称图形作图（1）找出图形中的关键点；（2）作关键点的对称点：一连（关键点与对称中心连接）二延三相等；（3）连接关键点；《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：1．理解轴对称和中心对称的概念；2．知道轴对称和中心对称的性质；3．会用轴对称和中心对称的运动认识、理解和表达现实世界中相应的现象；4．理解几何图形的对称性，感悟现实世界中的对称美，知道可以用数学语言表达对称；【例1】（2023·青海西宁·统考中考真题）1．河湟剪纸被列入青海省第三批省级非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文化，创造出独具高原特色的剪纸．以下剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D．【变1】（2023·山东青岛·统考中考真题）2．生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【例1】（2023·河北沧州·统考二模）的3．如图由66⨯个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，ABC绕着点O顺时针三个顶点A，B，C均在格点上，O是AC与网格线的交点，将ABC旋转180︒．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（）嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上；淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对试卷第4页，共12页【例1】（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）5．如图，在平面直角坐标系中，(1)作出ABC 关于y 轴对称的A B C ''' ；(2)作出ABC 关于点O 成中心对称的111A B C △；(3)在x 轴上找一点P ，使1PB PC =，并写出点P 的坐标．【变1】（2023·四川广安·统考中考真题）6．将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．一、选择题（2023·江苏·统考中考真题）7．剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（）．A．B．C．D．（2023·河北衡水·统考二模）8．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（）A．①B．②C （2023·黑龙江·统考中考真题）9．如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD恰好经过点A．()1,2B．(-二、填空题（2023·吉林长春·统考中考真题）10．如图，将正五边形纸片ABCDE试卷第6页，共12页（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）的半径为2cm，12．如图，O翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为（2023·湖北武汉·统考中考真题）13．如图，DE平分等边交于,G H两点．若DG（2023·江苏扬州·统考中考真题）14．如图，已知正方形ABCD着EF翻折，点B恰好落在积比为3∶5，那么线段FC的长为（2023·江苏泰州·统考二模）15．如图，在平面直角坐标系中，B-，点D的交点，点(2,0)且D、F两点关于y轴上某点成中心对称，连接（2023·山东济南·统考中考真题）16．如图，将菱形纸片ABCD折痕CP交AD于点P．若三、解答题（2023·浙江温州·统考中考真题）试卷第8页，共12页(1)在图中画一个等腰三角形画出该三角形绕矩形ABCD△(2)在图中画一个Rt PQR角形向右平移1个单位后的图形．（2023·江西南昌·校考二模）18．如图，在矩形ABCD中，(1)在图1中作矩形ABCD关于点E成中心对称的图形．(2)在图2中作以E为顶点的矩形．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）(1)画出线段OA绕点O顺时针旋转关于直线OB对称的图形，点(2)画出与AOB∠的度数为_________(3)填空：OCB试卷第10页，共12页（2023·山东枣庄·统考中考真题）20．（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．（2023·江苏南通·统考一模）21．如图，矩形ABCD 中，63AB AD ==，．E 为边AB 上一动点，连接DE ．作AF D E ⊥交矩形ABCD 的边于点F ，垂足为G ．(1)求证：AFB DEA ∠=∠；(2)若1CF =，求AE 的长；(3)点O 为矩形ABCD 的对称中心，探究OG 的取值范围．（2023·江苏无锡·统考中考真题）22．如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60A ∠=︒，点Q 为CD 的中点，P 为线段AB 上的动点，现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ''．(1)当45QPB ∠=︒时，求四边形BB C C ''的面积；(2)当点P 在线段AB 上移动时，设BP x =，四边形BB C C ''的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）23．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在正方形内部点M 处，把纸片展平，连接PM 、BM ，延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ．(1)如图1，当点M 在EF 上时，EMB ∠=___________度；(2)改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合）如图2，判断MBQ ∠与CBQ ∠的数量关系，并说明理由．（2023·山东枣庄·统考中考真题）24．问题情境：如图1，在ABC 中，1730AB AC BC ===，，AD 是BC 边上的中线．如图2，将ABC 的两个顶点B ，C 分别沿,EF GH 折叠后均与点D 重合，折痕分别交,,AB AC BC 于点E ，G ，F ，H ．试卷第12页，共12页猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG 的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN 折叠，使得顶点B 与点H 重合，折痕分别交,AB BC 于点M ，N ，BM 的对应线段交DG 于点K ，求四边形MKGA 的面积．参考答案：1．D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的特点逐项判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意．故选D．【点睛】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．D【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转180︒得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案．【详解】解：由题意可得，A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意，故选：D；【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转180︒得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形答案第2页，共28页叫轴对称图形．3．C【分析】画出旋转后的图形，根据图形解答．【详解】如图，取格点B '，连接OB '，OB ，取格点E ，F ．∵,,AEO CFO AOE COF AE CF ∠=∠∠=∠=，∴AOE COF △≌△，∴OA OF =，∴点A 关于点O 的对称点与点C 重合，点C 关于点O 的对称点与点A 重合．同理可证：点B 与点B '关于点O 对称，∴旋转后的三角形的三个顶点均在格点上，故嘉嘉说法正确；由中心对称的性质得A ABC B C '''≌△△，∴AB A B ''=，BC B C ''=，∴四边形ABA B ''是平行四边形，∴旋转前后两个三角形可形成平行四边形，故淇淇说法正确．故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，的关键．4．210【分析】取BC中点H，连接AH，取由折叠可知AD CD DE x===则DF=三角形中位线定理得到15BG=，从而推导出答案第4页，共28页答案第6页，共28页A B C '''∴△即为所求；（2）解：如图所示：111A B C ∴ 即为所求；（3）如图所示：1,0-．【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，熟练掌握基本作图知识是解题的关键．6．见解析（答案不唯一，符合题意即可）【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可．【详解】解：①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形ABCD 即为所求；②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形ABCD即为所求；③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形ABCD即为所求；④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形ABCD即为所求．答案第8页，共28页【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念及作图，轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转180 能够和原图形重合．7．B【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：选项A 、C 、D 均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；选项B 能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8．D【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形，【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，理的应用等知识，通过证明三角形相似，10．45【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为'答案第10页，共28页∵将 AB 沿弦AB 翻折，使点∴AC AO =，OC AB⊥答案第12页，共28页答案第14页，共28页则90FGK DHK ∠=∠=︒，记FD 交y 轴于点K ，∵D 点与F 点关于y 轴上的∴KF KD =，答案第16页，共28页【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．17．(1)见解析(2)见解析答案第18页，共28页（2）画法不唯一，如图3或图4．【点睛】本题主要考查了格点作图，解题关键是掌握网格的特点，灵活画出相等的线段和互相垂直或平行的线段．18．(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）连接AE 并延长至点M ，使得AE ME =；连接BE 并延长至点N ，使得BE NE =，连接DN 、MN 、CN ，即可得到矩形DCMN 为所求作；（2）连接AC 、BD ，交点为点O ，连接EO 并延长交AB 于点F ，根据中位线定理，得到EF AD BC ∥∥，即可得到矩形ADEF 或矩形BCEF 为所求作．【详解】（1）解：如图1中，矩形DCMN 即为所求；（2）解：如图2中，矩形ADEF 或矩形BCEF 即为所求．【点睛】本题考查了画中心对称图形，矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，根据相关性质正确作图是解题关键．19．(1)详见解析(2)详见解析(3)45︒【分析】（1）根据题目叙述画出图形即可；（2）根据题目叙述画出图形即可；（3）由（1）作图可得AOB 是等腰直角三角形，且=45A ︒∠，由对称的性质可得45OCB ∠=︒．【详解】（1）在方格纸中画出线段OA 绕点O 顺时针旋转90︒后得到的线段OB ，连接AB ,如图；（2）画出与AOB 关于直线OB 对称的图形，点A 的对称点是C ；如上图所示：（3）由（1）作图可得AOB 是等腰直角三角形，且=45A ︒∠，再根据对称的性质可得45OCB A ∠=∠=︒．故答案为：45︒．【点睛】此题考查了旋转作图及作轴对称图形，解答本题的关键是仔细审题，得出旋转三要素，进而得出旋转后的图形．20．（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）见解析【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考；（2）应画出既是轴对称图形，且面积为4的图形．【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．21．(1)见解析答案第20页，共28页同（1）可证DAF DEA∠=∠tan tanDAF DEA∴∠=∠，∴DF ADAD AE=，即533AE=，95AE∴=，1 AE∴=或9 5；答案第22页，共28页则OG OH HG ≥-．90AGE AGD ∠=∠=︒ ，1322HG AD ∴==，∵点O 为矩形ABCD 的对称中心，∴点O 为AC 的中点．答案第24页，共28页答案第26页，共28页∵1122 CHGS CH HG=⋅=∴154302CG HE⋅=⨯=，平行四边形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．答案第28页，共28页。

轴对称(辅助线构造轴对称)

轴对称【例1】⑴如图，在l上找一点P，使P A＋PB最小。

⑵如图，在l上找一点P，使P A＋PB最小。

⑶如图，点P在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点D，在OA边上求作一点C，使△PCD的周长最小。

⑷如图，点C、D在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点F，在OA边上求作一点E，使四边形CEFD周长最小。

长度(距离)最值问题：点——点线——线点——线两点一线两线一点两线两点【例2】如图，∠AOB＝30°，点P位于∠AOB内，OP＝3，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，求△PMN的最小周长。

【例3】如图，正方形ABCD 中，AD ＝8，M 是 DC 上的一点，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，求DN ＋MN 的最小值。

【例4】如图：点M 是四边形ABCD 的BC 边的中点，120AMD ∠=，° 证明：12AB BC CD AD ++≥【例5】在直角△ABC 的斜边AC 上取两个点R ，S ，使得AR ＝SC 。

在直角边AB 上任取点N ，在BC 上任取一点P 。

求证：RN NP PS AC ++≥。

在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。

1．在下列命题中：①两个全等三角形是轴对称图形②两个关于直线l 对称的图形是全等形 ③等边三角形是轴对称图形 ④线段有三条对称轴正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．下列图形中，不一定是轴对称图形的是( )A ．线段B ．角C ．三角形D ．等腰直角三角形3．如图，点A和点B不在直线l上，它们到直线l的距离都等于2，且AB＝4，又已知点P 在直线l上，则P A＋PB的最小值为( )lA BA．4 B．5 C．42D．434．如图，点A和点B不在直线l上，它们到直线l的距离都等于1，又已知点P在直线l 上，且P A＋PB的最小值为4，则AB＝( )lA BA．3 B．2 C．32D．235．如图，点P在锐角∠AOB的内部，OP＝6，且P到OB、OA边的距离都等于3，在OB 边上求作一点D，在OA边上求作一点C，使△PCD的周长最小值为( )PO BAA．6 B．7 C．53D．636．某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路同时向新落成的A、B两个居民小区送电，分支点为M，已知居民小区A、B到主干线l的距离分别为12AA=千米，12BB=千米，且114A B=千米。

轴对称知识点及习题图文稿

轴对称知识点及习题集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-第十三章轴对称轴对称知识要点1．轴对称图形与轴对称轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴．2．轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3．线段的垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．4．关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)；温馨提示1．轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系．2．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．等腰三角形知识要点1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．2．等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．3．等边三角形的性质和判定方法性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．温馨提示1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结论不一定成立．2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一个锐角等于30°．方法技巧1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相等时，可尝试用“等边对等角”．2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边”．3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边．13.1轴对称13.2画轴对称图形专题一轴对称图形1．【2012·连云港】下列图案是轴对称图形的是（）2．众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：______________________．（答案不唯一）3．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．专题二轴对称的性质4．如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△ADE；②l垂直平分DB；③∠C=∠E；④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上．其中错误的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．如图，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．6．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．（1）结合图形指出对称点．（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C D．18．如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于________．9．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，那么线段AB、BD、DE之间有什么数量关系？并加以证明．专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10．已知点P（－2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（）A．1 B．－1 C．5 D．－511．已知P1点关于x轴的对称点P2（3－2a，2a－5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P1点的坐标是__________．13.3等腰三角形13.4课题学习最短路径问题专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号)3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的长．专题二等边三角形的性质和判定4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________．5．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN如存在，请求出此时M、N运动的时间．专题三最短路径问题7．如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B 两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E8．如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小 (保留作图痕迹及简要说明)。

初中几何辅助线大全(很详细哦)

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初中几何辅助线—克胜秘籍等腰三角形1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；2。

作一腰上的高；3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。

梯形1. 垂直于平行边2。

垂直于下底,延长上底作一腰的平行线3。

平行于两条斜边4。

作两条垂直于下底的垂线5。

延长两条斜边做成一个三角形菱形1. 连接两对角 2。

做高平行四边形1. 垂直于平行边2. 作对角线—-把一个平行四边形分成两个三角形3. 做高—-形内形外都要注意矩形1。

对角线 2. 作垂线很简单.无论什么题目,第一位应该考虑到题目要求,比如AB=AC+BD。

.。

这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。

还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等.三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等)。

也可将图对折看，对称以后关系现.角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线. 三角形中有中线，延长中线等中线.解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

②在比例线段证明中，常作平行线。

作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来.③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

平面几何辅助线之轴对称专题

AP DP 2 AD 2
AD BC 5 2,AP DP 5 OM AB,OQ // DP
OD OB,OQ 1 DP 5 , BQ 1 BP
22
2
1 (AB AF) 1,AQ 6, 2
AO AQ2 OQ2 62 ( 5)2 13 22
AM AN AO 13 ,MN 2AM 13 2
类型三:图形中的对称问题
8.画出如图中小船关于虚线的轴对称图形
9,已知,如图,在四边形ABCD中, AD BC, DAB CBA, (1)试判断AB与CD的位置关系, 并说明理由 (2)四边形ABCD是轴对称图形吗 ? 试说明理由
类型四:轴对称图形ห้องสมุดไป่ตู้构造与应用
10,如图,在ABC中, ABC 600 , ACB 400 , P为ABC的平分线与ACB的平分线的交点, 求证 : AB PC
故选C
2【, 答案】B
如图, 作C关于AB的对称点C', 连接C' D与AB相交于点M ,
此A时 C,点 CM D为CBMD, ADBM为的直最径小,值C时' D的为位直置径,,由垂径定理, AC AC', BD AC'
CM DM的最小值是8cm,
故选B
3【, 答案】13 2 2
如图, 作点O关于AB的对称点M,点O关于AD的对称点N, 连接MN交AB于F, 交AD于E, 连接OM交AB于Q, 则OEF的周长最小, OEF周长的最小值 MN 由作图的: AN AO AM, NAD DAO, MAB BAO DAB 450,MAN 900 过D作DP AB于P,则ADP是等腰直角三角形,
2
2
OEF周长的最小值是13 2 2

2022-2023学年人教版八年级数学上册《轴对称》辅助线专题练习(含答案)

辅助线专题练习1．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝10，DE ＝4，则△BCE 的面积等于（）A ．16B ．20C ．28D ．402．如图，△ABC 内有一点D ，AD 平分∠CAB ，CD ⊥AD 于点D ，连接DB ，若△ADB 的面积为3cm 2，则△ABC 的面积为（）A ．5cm 2B ．6cm 2C ．7cm 2D ．8cm 23．如图，点P 是∠BAC 平分线AD 上的一点，AC ＝9，AB ＝5，PB ＝3，则PC 的长不可能是（）A ．4B ．5C ．6D ．74．如图．四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝3，AB ＝5，AD ＝6．若点M 是线段BD 的中点，则CM 的长为（）A ．32B ．2C ．52D ．3`5．已知△ABC是等边三角形，点P在AB上，过点P作PD⊥AC，垂足为D，延长BC至点Q，使CQ＝AP，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边三角形ABC的边长为4，那么线段DE的长为（）A．1B．2C．1.8D．2.56．如图，△ABC中，AD为中线，AD⊥AC，∠BAD＝30°，AB＝3，则AC长（）A．2.5B．2C．1D．1.57．如图，∠B＝∠C＝90°，M为是BC的中点，AM平分∠BAD，且∠CDM＝55°，则∠AMB的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，点F，G分别在边AB，AC上，且DF ＝DG，△ADG与△ADF的面积分别是14和4，则△DEF的面积是（）A．10B．6C．5D．49．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为（）A．2B．3C．4D．510．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论，其中错误的是（）A．AC＝BD B．∠AMB＝36°C．MO平分∠AMD D．OM平分∠AOD 11．已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝8，AC＝4，则AE＝．12．如图，把△ABC放置在平面直角坐标系中，已知AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，﹣1），点C在第四象限，则点C的坐标是．13．如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为．14．如图，已知AB＝BC＝AD，AD⊥BC于点E，AC⊥CD，若CD=53，则△ACD的面积为．15．如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC ＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝．16．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA上，OP＝8，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝．17．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=12BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．（1）若AF＝3，求AD的长；（2）证明：DE＝2DF．18．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．19．已知A（﹣10，0），以OA为边在第二象限作等边△AOB．（1）求点B的横坐标；（2）如下图，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连结OE，当∠EMO＝45°时，求∠MEO的度数．20．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝∠D＝60°，AE平分∠BAC，若BD＝8cm，DE＝3cm，求BC的长．21．如图，AB＝BD，AE＝EB，∠ACB＝∠ABC，证明：CD＝2CE．辅助线专题练习（答案）1．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝10，DE ＝4，则△BCE 的面积等于（）A ．16B ．20C ．28D ．40【解答】解：过E 作EM ⊥BC 于M ，∵CD ⊥AB ，EM ⊥BC ，BE 平分∠ABC ，DE ＝4，∴EM ＝DE ＝4，∵BC ＝10，∴△BCE 的面积是12×BC ×EM =12×10×4 ＝20，故选：B ．2．如图，△ABC 内有一点D ，AD 平分∠CAB ，CD ⊥AD 于点D ，连接DB ，若△ADB 的面积为3cm 2，则△ABC 的面积为（）A ．5cm 2B ．6cm 2C ．7cm 2D ．8cm 2【解答】解：延长CD 交AB 于E ，∵AD 平分∠CAB ，CD ⊥AD 于点D ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∠ADC ＝∠ADE ＝90°，在△ADC 与△ADE 中，{∠CAD =∠EAD AD =AD ∠ADC =∠ADE，∴△ADC≌△ADE（ASA），∴CD＝DE，∴S△ACD＝S△ADE，S△BCD＝S△BDE，∴S△ABC＝2S△ADB，∵△ADB的面积为3cm2，∴△ABC的面积为6cm2，故选：B．3．如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长不可能是（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：在AC上截取AE＝AB＝5，连接PE，∵AC＝9，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，∴∠CAD＝∠BAD，在△APE和△APB中，{AE =AB ∠CAP =∠BAD AP =AP，∴△APE ≌△APB （SAS ），∴PE ＝PB ＝3，∵4﹣3＜PC ＜4+3，解得1＜PC ＜7，∴PC 不可能为7，故选：D ．4．如图．四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝3，AB ＝5，AD ＝6．若点M 是线段BD 的中点，则CM 的长为（）A ．32B ．2C ．52D ．3【解答】解：延长CM 交AD 于N ，如图所示：∵点M 是线段BD 的中点，∴BM ＝DM ，∵AD ∥BC ，∴∠CBM ＝∠NDM ，∠BCM ＝∠DNM ，在△BCM 和△DNM 中，{∠CBM =∠NDM ∠BCM =∠DNM BM =DM，∴△BCM ≌△DNM （AAS ），∴NM ＝CM =12CN ，DN ＝BC ＝3，∴AN ＝AD ﹣DN ＝6﹣3＝3，∴AN ＝BC ，∵AD ∥BC ，∴四边形ABCN 是平行四边形，∴CN ＝AB ＝5，∴CM =52，故选：C ．5．已知△ABC是等边三角形，点P在AB上，过点P作PD⊥AC，垂足为D，延长BC至点Q，使CQ＝AP，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边三角形ABC的边长为4，那么线段DE的长为（）A．1B．2C．1.8D．2.5【解答】解：如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F，则∠EPF＝∠Q，∠APF＝∠ABC∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝60°，∴△APF也是等边三角形，而CQ＝AP∴PF＝AP＝CQ，又∵∠PEF＝∠QEC，∴△PEF≌△QEC，∴EF＝EC，∵PD⊥AC于D，△APF是等边三角形，∴AD＝DF，∴AD+EC＝DF+EF＝DE=12AF+12CF=12（AF+CF）=12AC，∴DE=12AC＝2．故选：B．6．如图，△ABC 中，AD 为中线，AD ⊥AC ，∠BAD ＝30°，AB ＝3，则AC 长（）A ．2.5B ．2C ．1D ．1.5【解答】解：如图，延长AD ，使AD ＝DE ，连接CE ，∵AD 为中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 与△ECD 中，{AD =ED ∠ADB =∠EDC BD =CD，∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴∠BAD ＝∠CED ，AB ＝EC ，∵∠BAD ＝30°，∴∠CED ＝30°，∵AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝90°，∴AC =12EC ，∴AB ＝EC ，∴AC =12AB =32，即AC ＝1.5，故选：D ．7．如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 为是BC 的中点，AM 平分∠BAD ，且∠CDM ＝55°，则∠AMB 的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【解答】解：过M作MN⊥AD于N，则∠MNA＝∠MND＝90°，∵∠B＝90°，∴MB⊥AB，∵AM平分∠BAD，∴MN＝MB，∵M为是BC的中点，∴MB＝MC，∴MN＝MC，在Rt△MND和Rt△MCD中，{MD=MDMN=MC，∴Rt△MND≌Rt△MCD（HL），∴∠NDM＝∠CDM＝55°，∴∠CDA＝∠NDM+∠CDM＝110°，∵∠B＝∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°，∴CD∥AB，∴∠BAD+∠CDA＝180°，∴∠BAD＝180°﹣∠CDA＝180°﹣110°＝70°，∵AM平分∠BAD，∴∠BAM=12∠BAD＝35°，∴∠AMB＝90°﹣∠BAM＝90°﹣35°＝55°，故选：C．8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，点F，G分别在边AB，AC上，且DF ＝DG，△ADG与△ADF的面积分别是14和4，则△DEF的面积是（）A．10B．6C．5D．4【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△DEF和Rt△DHG中，{DE=DHDF=DG，∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），∴S△EDF＝S△HGD，同理Rt△ADE≌Rt△ADH，∴S△ADE＝S△ADH，∵△ADG与△ADF的面积分别是14和4，∴S△DEF=14−42=5，故选：C．9．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：连接IA、IB、IC，过I作IM⊥AB于M，IN⊥BC于N，∵点I 为△ABC 各内角平分线的交点，IM ⊥AB ，IN ⊥BC ，IH ⊥AC ，∴IH ＝IM ＝IN ，∵AB ＝8，BC ＝6，∠ABC ＝90°，∴S △ABC =12×AB ×BC =12×8×6=24，∵S △ABC ＝S △AIB +S △BIC +S △AIC ，∴24=12×AB ×IM +12×BC ×IN +12×AC ×IH ，∵AB ＝8，BC ＝6，AC ＝10，IH ＝IM ＝IN ，∴24=12×8×IH +12×6×IH +12×10×IH ， ∴IH ＝2，故选：A ．10．如图，在△AOB 和△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＜OC ，∠AOB ＝∠COD ＝36°．连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论，其中错误的是（）A ．AC ＝BDB ．∠AMB ＝36°C ．MO 平分∠AMD D ．OM 平分∠AOD【解答】解：∵∠AOB ＝∠COD ＝36°，∴∠AOC ＝∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，{OA =OB ∠AOC =∠BOD OC =OD，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴AC ＝BD ，∠OAC ＝∠OBD ，故A 选项不符合题意；∵∠OAB +∠ABO ＝180°﹣36°＝144°，∴∠MAB +∠ABM ＝144°，∴∠AMB ＝180°﹣144°＝36°，故B 选项不符合题意；过点O 作OG ⊥AC 于点G ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，如图所示：∵△AOC ≌△BOD ，∴S △AOC ＝S △BOD ，即12AC ⋅OG =12BD ⋅OH ，∵AC ＝BD ，∴OH ＝OG ，在Rt △OHM 和Rt △OGM 中，{OG =OH OM =OM， ∴Rt △OHM ≌Rt △OGM （HL ），∴∠OMG ＝∠OMH ，即OM 平分∠AMD ，故C 选项不符合题意；假设OM 平分∠AOD ，则∠AOM ＝∠DOM ，∵OM 平分∠AMD ，∴∠AMO ＝∠DMO ，∵OM ＝OM ，∴△AMO ≌△DMO （ASA ），∴AO ＝DO ，∵OD ＝OC ，AO ＜OC ，∴AO ＜DO ，∴假设不成立，∴OM 不平分∠AOD ，故D 选项符合题意，故选：D ．11．已知：如图，∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点P ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．若AB ＝8，AC ＝4，则AE ＝ 6 ．【解答】解：连接PB，PC，∵点P在BC的垂直平分线上，∴PB＝PC，∵AC平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF，∠PEB＝∠PFC＝90°，∴∠APE＝∠APF，∴AE＝AF，在Rt△PBE和Rt△PCF中，{PB=PCPE=PF，∴Rt△PBE≌Rt△PCF（HL），∴BE＝CF，∵AB＝AE+BE，AF＝AC+CF，∴AB＝AC+CF+BE，∵AB＝8，AC＝4，∴BE＝CF＝2，∴AE＝AC+CF＝6．故答案为：6．12．如图，把△ABC放置在平面直角坐标系中，已知AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，﹣1），点C在第四象限，则点C的坐标是（1，﹣4）．【解答】解：过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，如图所示．∵∠ABC ＝90°，∠AOB ＝90°，∴∠OAB +∠OBA ＝90°，∠OBA +∠DBC ＝90°，∴∠OAB ＝∠DBC ．在△OAB 和△DBC 中，{∠AOB =∠BDC =90°∠OAB =∠DBC AB =BC，∴△OAB ≌△DBC （AAS ），∴BD ＝AO ，DC ＝OB ．∵A （3，0），B （0，﹣1），∴BD ＝AO ＝3，DC ＝OB ＝1，OD ＝OB +BD ＝4，∴点C 的坐标为（1，﹣4）．故答案为：（1，﹣4）．13．如图，在同一平面内，直线l 同侧有三个正方形A ，B ，C ，若A ，C 的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为 6 ．【解答】解：如图，作LM ⊥FE 交FE 的延长线于点M ，交JI 的延长线于点N ， ∵四边形A 、B 、C 都是正方形，且正方形A 、C 的面积分别为9、4，∴∠EKI ＝∠EDR ＝∠IHG ＝90°，DE 2＝9，HI 2＝4，∴DE ＝3，HI ＝2，∵∠EDK ＝∠KHI ＝180°﹣90°＝90°，∴∠DKE ＝90°﹣∠KHI ＝∠HIK ，在△EDK 和△KHI 中，{∠EDK =∠KHI ∠DKE =∠HIK EK =KI，∴△EDK ≌△KHI （AAS ），∴DK ＝HI ＝2，DE ＝HK ＝3，∴S △EDK ＝S △KHI =12×3×2＝3；∵∠DEF ＝∠HIJ ＝90°，∴∠DEM ＝180°﹣∠DEF ＝90°，∠HIN ＝180°﹣∠HIJ ＝90°，∵∠KEL ＝∠KIL ＝90°，∴∠MEL ＝∠DEK ＝90°﹣∠KEM ，∠NIL ＝∠HIK ＝90°﹣∠KIN ，∵EF ∥l ，IJ ∥l ，∴EF ∥IJ ，∴∠EML ＝∠EMN ＝∠N ＝90°，在△EML 和△EDK 中，{∠MIL =∠DEK ∠EML =∠EDK EL =EK，∴△EML ≌△EDK （AAS ），∴EM ＝ED ＝EF ，∴S △EFL ＝S △EML ＝S △EDK ＝3；在△LNI 和△KHI 中，{∠NIL =∠HIK ∠N =∠KHI IL =IK，∴△LNI ≌△KHI （AAS ），∵IN ＝IE ＝IJ ，∴S △LJI ＝S △LNI ＝S △KHI ＝3，∴S △EFL +S △LJI ＝3+3＝6，∴阴影部分的总面积为6．14．如图，已知AB ＝BC ＝AD ，AD ⊥BC 于点E ，AC ⊥CD ，若CD =53，则△ACD 的面积为 259 ．【解答】解：∵AD ⊥BC ，AC ⊥CD ，∴∠ACD ＝∠AEC ＝90°，∴∠D +∠DCE ＝∠DCE +∠ACE ＝90°，∴∠D ＝∠ACB ，∵AB ＝BC ，∴∠BAH ＝∠BCA ，∴∠D ＝∠BAC ，过B 作BH ⊥AC 于H ，∴∠AHB ＝90°，AH =12AC ，在△ABH 与△DAC 中，{∠AHB =∠DCA =90°∠BAH =∠D AB =AD，∴△ABH ≌△DAC （AAS ），∴BH ＝AC ，AH ＝CD ，∴AC ＝2CD =103，∴△ACD 的面积=12AC •CD =12×103×53=259，故答案为：259．15．如图，已知AD 是△ABC 的中线，E 是AC 上的一点，BE 交AD 于F ，AC ＝BF ，∠DAC＝24°，∠EBC ＝32°，则∠ACB ＝ 100° ．【解答】解：如图，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，如图所示：在△BDM 和△CDA 中，{DM =∠DA ∠BDM =∠CDA BD =CD，∴△BDM ≌△CDA （SAS ），∴BM ＝AC ＝BF ，∠M ＝∠DAC ＝24°，∠C ＝∠DBM ，∵BF ＝AC ，∴BF ＝BM ，∴∠M ＝∠BFM ＝24°，∴∠MBF ＝180°﹣∠M ﹣∠BFM ＝132°，∵∠EBC ＝32°，∴∠DBM ＝∠MBF ﹣∠EBC ＝100°，∴∠C ＝∠DBM ＝100°，故答案为：100°．16．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA上，OP＝8，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝3．【解答】解：过P作PC⊥MN，∵PM＝PN，∴C为MN中点，即MC＝NC=12MN＝1，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC=12OP＝4，则OM＝OC﹣MC＝4﹣1＝3，故答案为：317．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=12BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．（1）若AF＝3，求AD的长；（2）证明：DE＝2DF．【解答】（1）解：∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，∵D为AC中点，∴CD＝AD=12AC，∵CE=12BC，∴CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠E＝∠CDE＝30°，∴∠ADF＝∠CDE＝30°，∵∠A＝60°∴∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝90°，∵AF＝3∴AD＝2AF＝6；（2）证明：连接BD，∵△ABC为等边三角形，D为AC中点，∴BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABD=12∠ABC＝30°，∵∠BFD＝90°∴BD＝2DF∵∠DBC＝∠E＝30°∴BD＝DE∴DE＝2DF．18．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，∴∠BCE＝30°，BE＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠BCE＝30°，∵∠ABD＝120°，∴∠DEB＝30°，∴DB＝EB，∴AE＝DB；（2）如图1，E在线段AB上时，∵AB＝2，AE＝1，∴点E是AB的中点，由（1）知，BD＝AE＝1，∴CD＝BC+BD＝3；如图2，E在线段AB的反向延长线上时，∵AE＝1，AB＝2，∴BE＝3，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，过E作EH∥AC交BC的延长线于H，∴∠BEH＝∠BHE＝60°，∴△BEH是等边三角形，∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠B +∠BED ＝∠H +∠HEC ，∴∠BED ＝∠HEC ，在△BDE 和△HCE 中，{BE =HE ∠BED =∠HEC ED =EC，∴△BDE ≌△HCE （SAS ），∴BD ＝HC ＝BH ﹣BC ＝3﹣2＝1，∴CD ＝BH ﹣BD ﹣HC ＝3﹣1﹣1＝1．综上所述，CD 的长为1或3．19．已知A （﹣10，0），以OA 为边在第二象限作等边△AOB ．（1）求点B 的横坐标；（2）如下图，点M 、N 分别为OA 、OB 边上的动点，以MN 为边在x 轴上方作等边△MNE ，连结OE ，当∠EMO ＝45°时，求∠MEO 的度数．【解答】解：（1）如图，过B 作BD ⊥OA 于点D ，∵△AOB 为等边三角形，点A （﹣10，0），∴OA ＝OB ＝AB ＝10，∠BAO ＝∠ABO ＝∠AOB ＝60°，∵BD ⊥OA ，∴AD ＝OD =12OA =12×10＝5， ∴点B 的横坐标为﹣5；（2）如图2，过点M 作MF ∥AB 交OA 于点F ，∵MF ∥AB ，∴∠MFO ＝∠BAO ＝∠AOB ＝60°，∴△MOF 为等边三角形，∴∠FMO ＝60°，MF ＝MO ，∵△MNE 是等边三角形，∴∠NME ＝60°，MN ＝ME ，∴∠FMN +∠NMO ＝∠NMO +∠OME ＝60°，∴∠FMN ＝∠OME ，在△MFN 和△MOE 中，{MF =MO ∠FMN =∠OME MN =ME，∴△MFN≌△MOE（SAS），∴∠MFN＝∠MOE＝60°，∵∠EMO＝45°，∴∠MEO＝180°﹣∠MOE﹣∠EMO＝180°﹣60°﹣45°＝75°．20．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝∠D＝60°，AE平分∠BAC，若BD＝8cm，DE＝3cm，求BC的长．【解答】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠DBC＝∠D＝60°，∴△BDM为等边三角形，∴BD＝DM＝BM＝8cm，∵DE＝3cm，∴EM＝5cm，∵△BDM为等边三角形，∴∠DMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM＝90°，∴∠NEM＝30°，∴NM＝2.5 cm，∴BN＝5.5 cm，∴BC＝2BN＝11（cm）．21．如图，AB ＝BD ，AE ＝EB ，∠ACB ＝∠ABC ，证明：CD ＝2CE ．【解答】证明：如图，延长CE 至点F ，使EF ＝CE ，连接BF ，在△BEF 和△AEC 中{BE =AE ∠BEF =∠AEC EF =CE∴△BEF ≌△AEC （SAS ），∴BF ＝AC ，∠FBE ＝∠A ，又∵∠ACB ＝∠ABC ，∴AB ＝AC ，∴BF ＝AC ＝AB ＝BD ，∠DBC ＝∠A +∠ACB ＝∠FBE +∠ACB ＝∠FBE +∠ABC ＝∠FBC ，CB ＝CB ，在△CBF 和△CBD 中，{BF =BD ∠FBC =∠CBD CB =CB，∴△CBF ≌△CBD （SAS ），∴CD ＝CF ＝2CE ．。

初中数学辅助线添加秘籍4、图形变换轴对称解读

初中数学辅助线添加秘籍4、图形变换轴对称1、线段的垂直平分线2、轴对称（1）轴对称图形（1个图形）（2）轴对称（2个图形）3、轴对称和轴对称图形性质（1）轴对称图形的对应线段相等、对应角相等。

（2）如果两个图形关于莫条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

4、坐标轴的对称点，设点p的坐标为（x，y）（1）关于x轴对称p’（x，-y）（2）关于y轴对称p’（-x，y）（3）关于y=x 对称p’（y，x）（4）关于y= -x对称p’（-y，-x）（5）关于o对称p’（-x，-y）5、折叠问题（1）折叠前后—全等（2）折痕—垂直平分线（3）勾股定理或相似三角形、一、折痕问题1、考察图形折痕的不变形。

折叠前后—全等如图,把矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B'处,点A落在A '处,若,,,请写出a,b,c之间的一个等量关系答案,.,,则.ab=a’b’=a ae=a’e’=b bf=b’f=b’e=c.2、如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为_____。

将沿直线折叠，点落在点处，所以，。

则阴影部分图形的周长等于。

故本题正确答案为。

3、如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD，BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使点A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E.若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′Ｎ＝——；若M、N分别是AD、BC边上距DC最近的n等分点(n≥２，d且n为整数)，则A′Ｎ＝——.(用含有N的式子表示)答案4、如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则折痕MN的长是（）图1 图2 图3图2正方形中AB垂直CD，则AB=CD在RT△CHG和RT△AGL中，∠cgb=∠agf，∴∠HCG=∠GAL Ae=cf ∠cfd=∠bea =90°∴△bae全等于△cdf ∴ab=cd解：图3 连接de, MG⊥bcMn为折痕（对称轴），两边对称，对称点的连线垂直于对称轴，e，d 为对称点，ed⊥mn ，可证△mng全等于△dec ∴mn=demn2=De2=82+42=80二、轴对称变换线段或角度存在2倍关系5、如图4-12所示，在△ABC中，AB=2BC，∠B=2∠A，求∠C答案作△ABC的角平分线BD,作△ABD的高DE∵∠B=2∠A,∠B=2∠ABD（角平分线）∴∠A=∠ABD∴AD=BD（等边对等角）∴E是AB的中点（三线合一）∴AB=2BE∴BE=BC∴△BDC≌△BDE（SAS）∴∠C=∠BED=90°有互余互补关系的图形6、四边形ABCD中,,,,,,则四边形ABCD的面积为答案解:作,,连接,,,,,,,,,,是直角三角形,四边形ABCD的面积为:.角度和或角度差存在特殊角7、如图所示，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCA－∠ACD=60°，求证：AD＋CD≥AB.答案解：通过角的关系，得出边的关系来求故答案为：在四边形内侧作∠BCE＝60°，CE交AB于E在直线CE上取一点F得FB ＝FC，连接FA∵FB＝FC，∠FCB＝60°，∴△FBC是等边三角形∴CD＝BC＝FB＝FC∵∠BCA－∠ACD＝60°，∴∠BCA－60°＝∠ACD，即∠FCA＝ACD∵AC＝AC，∴△ACF≌△ACD，∴AF＝AD若点F和点E不重合(∠B≠60°），AD＋CD＞AB若点F和点E重合(∠B＝60°)，AD＋CD＝AB综上所述AD＋CD≥AB路径最短问题8、1)如图①，在l上找一点P，使PA＋PB最小.(2)如图②，在l上找一点P，使PA＋PB最小.(3)如图③，在1上找一点Q，使AQ＋BQ最大.(4)如图④，在l上找一点Q，使AQ－BQ最大.答案解：(1)如图1连接AB交直线l于点P，则点P为所求.理由：在直线l上另取异点P的点P′，连接P′Ａ，P′Ｂ则有P′Ａ＋P′Ｂ＞AB，故点P符合要求.(2)如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′Ｂ交直线l于点P，则点P即为所求的点.连接P′Ａ，PA′，P′A′，P′B.则有理由：在直线l上取异于点P的另一点P′．＋P′Ｂ＞A′Ｂ＝PA′＋PB＝PA＋PB.中，P′A′在△A′BP′PA＝PA′，P′Ａ＝P′A′．(3)如图3，连接AB异延长交直线l于点Q，点Q即为所求.理由：在直线l上另取一点Q′，连接AQ′，BQ′．在△ABQ′中，AQ′－BQ′＜AB.即AQ′－BQ′＜AQ－BQ(4)如图4，作点A关于直线l的对称点A′，直接A′Ｂ异延长，交直线l于点Q，则点W即为所求.理由：在l上另取一点Q′，连结Q′Ａ，Q′Ｂ，QA，则有Q′Ａ＝Q′A′，QA＝QA′．AQ－BQ＝OA′－BQ＝A′Ｂ＞A′Q′－Q′Ｂ＝Q′Ａ－Q′Ｂ9、已知∠AOB内有一点P，在角的两边上找两点M，N，使△PMN的周长最短.答案【答案】解：分别作出点P关于直线OA和OB的对称点C、D，然后连接CD，则CD与OA、OB的交点就是所要求的点M和N.如图所示.10、在直线L1，L2上分别求点M、N使得四边形PMNQ的周长最小.答案解：如图所示：分别作点P、Q关于L2、L1的对称点C、D，DQ交L1与点M，PC交L2于点N，则MN为所求．11、在直线上求两点m、n（m在左），使MN=a，使AM+MN+NB最小BABA12、在直线上求P点，/PA-PB/最大BAAb延长与直线相交于p13、如图,已知点P在锐角内部,,在OB边上存在一点D,在OA边上存在一点C,能使最小,此时解:过P的作关于OB的对称点,作于C,交OB于D,此时,根据点到直线的距离最短可以知道最短,,,,,,,.14、（1）如图,四边形ABCD是正方形,M是BC的中点,.点P是BD上一动点,则的最小值是（2）如图,四边形ABCD是菱形,,M是BC的中点,.点P是BD上一动点,则的最小值答案解:四边形ABCD是正方形,,,且A与C关于直线BD对称, 连接AM,AM与BD的交点,即为所求的P点,,,M是BC的中点,,,在中,,,的最小值是.因此，本题正确答案是:.答案（2）解:如图,四边形ABCD是菱形, 点A、C关于BD对称,连接AM,AM即为的最小值,是BC的中点,,,,是等边三角形,是直角三角形,,即的最小值.因此，本题正确答案是:.。

苏教科版初中数学八年级上册2.4 线段、角的轴对称性(4)

要证 AD 垂直平分 EF，
：
，
．
∠BAD＝∠CAD， DE⊥AB，DF AC，
，
．
生完成练习．后，说说你的发现，提出你的问题．
练习：课本 P56 练习．
本题是角平分线性
学生发现：三角形两外角的角定理的综合应用，实际
平分线与第三个角的角平分线所在变式应用．
的直线相交于一点；可能提出“三
学生“一折，二画
可以让他们更理性地看待人生
TB:小初高题库
的三个内角的角平分线相交于一
问题解决完后及时进
点．
纳，得出三角形“内心”
角形的内切圆打好基础．
要证明点 P 在∠A 的角平分线上，根据角的内部到相等的点在角平分线上，只要点 P 到∠A 两边的距以过点 P 做两边的垂线段 PD、PE，证出 PD＝PE，
PE，因为点 P 是∠ABC、∠ACB 的角平分线的交平分线的性质，点 P 到∠ABC、∠ACB 两边的距离以只要做出 BC 边上的垂线段 PF，就可得 PD＝，从而 PD＝PE，所以得证．
TB:小初高题库
决上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线关系？已知：如图 2-28，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥ C，垂足为 E、F．求证：AD 垂直平分 EF．
苏科版初中数学
学生利用分析法填空；阐述证明思路；完成证明过程．
利用分析法引导学问题，培养学生良好的思
开放的分析过程，化的思考路径．
定理能用来解决什么问题呢？
知：△ABC 的两内角∠ABC、∠ACB 的角平分线相
1．结合图形认真审题．
运用例题引导学生逐
求证：点 P 在∠A 的角平分线上．

七年级数学轴对称(PPT)4-2

主星序上恒星的主要成分都是等离子态的氢。而在地球上，自然条件形成的游离态的氢单质相对罕见。 [] 氢最常见的同位素是氕（piē），含个质子，不含中子。在离子化合物中，氢原子可以得一个电子成为氢阴离子（以 H-表示）构成氢化物，也可以失去一个电子成为氢阳离子（以 H+表示，简称氢离子），但氢离子实际上以更为复杂的形式；书法培训加盟品牌书法培训加盟品牌；存在。氢与除稀有气体外的几乎所有元素都可形成化合物，存在于水和几乎所有的有机物中。它在酸碱化学中尤为重要，酸碱反应中常存在氢离子的交换。氢作为最简单的原子，在原子物理中有特别的理论价值。对氢原子的能级、成键等的研究在量子力学的发展中起了关键作用。 [] 氢气（H）最早于世纪初被人工合成，当时用的方法是将金属置于强酸中。7～年，亨利·卡文迪许发现氢气是一种与以往所发现气体不同的另一种气体，在燃烧时产生水，这一性质也决定了拉丁语 “hydrogenium” 这个名字（“生成水的物质”之意）。常温常压下，氢气是一种极易燃烧，无色透明、无臭无味的气体。氢原子则有极强的还原性。在高温下氢是轴对称图形的有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如右图所示，已知，OC平分∠AOB，D是OC上一点， DE⊥OA，DF⊥OB，垂足为E、F点，那么 (1)∠DEF与 ∠DFE相等吗?为什么? (2)OE与OF相等吗?为什么?
（1）相等。由DE=DF，等边对等角可得∠DEF与∠DFE. （2）相等。由∠DEO=∠DFO ，等角对等边可得OE=OF.
所有的元素都能与氢生成化合物。 [] 基本属性物质状态气态元素在太阳中的含量 7% 地壳中含量 .% 大气含量 . % 质子质量 .7×-7 质子相对质量 .7 4 所属周期所属族数 IA 摩尔质量 g/mol 氢化物无氧化物 HO 最高价氧化物 HO [4] 原子属性外围电子排布 s 核外电子排布电子层 K 原子量 .7 4 原子半径（计算值）（）pm 共价半径 7 pm 范德华半径 pm [4] 具体性质颜色常温下为无色气体熔点 4. K （- . ℃）沸点 . K （-. ℃）三相点 . K （- ℃）7.4kPa 临界点 . 7 K (-4 ℃) . MPa 摩尔体积 .4L/mol 汽化热 .44 kJ/mol 熔化热 . kJ/mol 蒸气压帕斯卡（K）比热容量 4J/(kg·℃）声在其中传播的速度 7 m/s（ .K）电离能（kJ /mol） M - M+ 密度、硬度 . kg/m（7K）、NA 热导率 W/（m·K）. 同位素氢是唯一的其同位素有不同的名称的元素。（历史上每种元素的不同同位素都有不同的名称，现已不再使用。）D 和 T 也可以用作氘（deuterium）和氚（tritium）的符号，但 P 已作为磷的符号，故不再作为氕（protium）