电磁场 镜像法与电轴法(完美解析)

以 y 轴为参考电位， C=0， 则
图1.7.13 两根带电细导线
2 ( x b) 2 y 2 P ln ln 2 2 2π 0 1 2π 0 ( x b) y
P C， 等位线方程 令：
( x b) 2 y 2 2 K ( x b) 2 y 2
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2 0
方程相同，边界条件相同，解惟一。
图1.7.1 平面导体的镜像
第 一 章
静 电 场
例1.7.1 试求空气中点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布。
解：设点电荷 q 镜像后
E E E （方向指向地面）
qh q cos E2 2 2 3/ 2 2 2 π ( h x ) 4π 0 r 0
图1.7.16 平行传输线电场的计 算
1 1 EP ( e e ) 2π 0 1 2 2 p ln 2π 0 1 ( 以 y 轴为参考电位)
1 2
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第 一 章
静 电 场
例1.7.4 试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。
图1.7.17 不同半径传输线的电轴位置
镜像电荷放在当前求解的场域外。 镜像电荷等于负的感应电荷总量。
图1.7.5 球外的电场分布
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第 一 章
静 电 场
例1.7.2 不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。 解： 边值问题 （除q点外的空间) 2 0
S const
思路
D dS 0
S
球面等位（ q ' 位于球心） 通量为零（ q' , - q'大小相等）
R2 b 镜像电荷位置 d b R q' q q 镜像电荷大小 d d
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得到
第 一 章
静 电 场
球外任一点 P 的电位与电场为
q q' p 4 π 0 r1 4π 0 r2
图1.7.4 球外的电场计算
q qR EP e e 2 r1 2 r2 4π 0 r1 4π 0 dr2
解：
b 2 h12 a12 2 2 2 b h a 2 2 d h h 1 2
确定 b, h1 , h2
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第 一 章
静 电 场
例1.7.5 已知平行传输线之间电压为U0, 试求电位分布。 解： 确定电轴的位置
b 2 h 2 a 2 d 2h
2 1
图1.7.19 电压为U0的传输线
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第 一 章
静 电 场
镜像法（电轴法）小结
镜像法（电轴法）的理论基础是：
静电场惟一性定理； 镜像法（电轴法）的实质是： 用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分 布，使计算场域为无限大均匀媒质； 镜像法（电轴法）的关键是：
确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置； 应用镜像法（电轴法）解题时，注意：
2
K 取不同值时，得到一族偏心圆。
2 2
2bK 2 2 K 1 2 a b ( 2 ) b ( 2 b) h 2 K 1 K 1 a、h、b满足关系
a 2 h 2 b 2 (h b)(h b)
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第 一 章
静 电 场
2. 电轴法 例1.7.3 试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。 解： a) 取圆柱坐标系 电轴位置 b h 2 a 2 b) 圆柱导线间的电场与电位
镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区
域。叠加时，要注意场的适用区域。
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d 2 2 b ( ) a 2
设电轴线电荷 ，任一点电位 2 ln 2π 0 1
b (h a) b (h a) U0 ln ln 2π 0 b (h a) b (h a)
U0 ln 所以 b (h a) 2 ln b (h a)
qh p＝Dn 0 E 2 π(h 2 x 2 ) 3 / 2
地面上感应电荷的总量为 qh S p dS 0 2π(h2 x 2 )3/ 2 2πxdx
q
图1.7.2 地面电荷分布
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第 一 章
静 电 场
2. 球面导体的镜像 点电荷位于接地导体球外的边值问题 （除q点外的空间) 2 0
2中的电场由 q” 决定，q” 等效替
代自由电荷与极化电荷的作用。
图1.7.10 电场分布图
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第 一 章
静 电 场
1.7.2 电轴法（Electric Axis Method）
边值问题
0 (导线以外的空间)
2

导体A
const

S
D dS , 电荷分布不均匀
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第 一 章
2
静 电 场
2 K 1 2 bK 2 2 2 K 1 整理后，等位线方程 ( x b ) y ( ) h 2 b K 2 1 2 K 1 K 1
圆心坐标 h , 0 圆半径
2bK a 2 K 1
图1.7.14 两根细导线的等位线
球面电位
q ＝ 4 π 0 d
图1.7.7 点电荷位于不接地导体 球附近的场图
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第 一 章
静 电 场
3. 不同介质分界面的镜像
图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像
根据惟一性定理
E1t E2 t
D1n D2n
q q' q' ' cos cos cos 2 2 2 4π1r 4π1r 4π 2 r
q q' q' ' sin sin sin 2 2 2 4πr 4πr 4πr
2 2 1 2 q 解得 q ' q 和 q' ' 1 2 返 回 1 2
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第 一 章
静 电 场
思考
1 中的电场由 q 与 q’ 共同产生，q’
等效替代极化电荷的影响。
R R2 q ' q , b 则 图1.7.6 不接地金属球的镜像 d d q 1 R R 任一点场强 E ( 2 er 2 er1 2 er2 ) 4π 0 r dr1 dr2
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第 一 章
静 电 场
任一点电位
q 1 R R ( ) 4π 0 r dr1 dr2
静 电 场
将 r1, r2 代入方程
qr2 q' r1 0 ，得
[q 2 (b 2 R 2 ) q'2 (d 2 R 2 )] 2R(q'2 d q 2b) cos 0
联立求解
q (b R ) q' (d R ) 0
2 2 2 2 2 2
q '2 d q 2b 0

r

球面
0
设镜像电荷 q '如图，球面电位
q q' p 0 4 π 0 r1 4 π 0 r2
r1 d 2 R 2 2 Rd cos
2
图1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像
r2 b 2 R 2 2 Rb cos
2
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第 一 章
导体B

1.7.12 长直平行双传输线
const
电荷分布不均
S D dS ,
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第 一 章
Hale Waihona Puke Baidu
静 电 场
Q
1
1. 两根细导线产生的电位
1 d ln 1 C1 2 π 2π 0 0 2 ln 2 C2 2π 0 2 P 1 2 ln C 2π 0 1
第 一 章
1.7 镜像法与电轴法
1. 平面导体的镜像
a 2 0 空气中除点电荷外
静 电 场
Image Method and Electric Axis Method 1.7.1 镜像法（Image Method)
导板＝0
b
上半场域除点电荷外 q q 0 4π 0 r 4π 0 r