高中数学 第一章 三角函数章末优化总结 新人教A版必修4

k＝4±3
7 .
故函数的值域为4－3 7，4＋3 7.
π 已知|x|≤ 4 ，求函数
f(x)＝cos2x＋sin
x
的最小值．
[解] y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1. π
令 t＝sin x，因为|x|≤ 4 ，
所以－
22≤sin
x≤
2 2.
则 y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54－ 22≤t≤ 22，
C.
以上三个论断中，正确的个数是( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] (1)f1112π＝3sin116π－π3 ＝3sin3π 2 ＝－3，
所以直线 x＝111π2 为图像 C 的对称轴，故(1)正确； (2)由－π 12＜x＜51π2 ，得－π2 ＜2x－π3 ＜π2 ，
所以函数 f(x)在－π 12，51π2 内是增加的，故(2)正确； (3)f(x)＝3sin 2x－π6 ，
＞0)的单调区间时(若 ω＜0，可先利用诱导公式将 x 前的系数
ω 变成正值)，应把 ωx＋φ 视为一个整体，由 A 的符号来确定
单调性．
函数 f(x)＝3sin2x－π3 的图像为 C.
(1)图像 C 关于直线 x＝111π2 对称；
(2)函数 f(x)在区间－π 12，51π2 内是增加的；
(3)由 y＝3sin 2x 的图像向右平移π3 个单位长度可以得到图像
而由 y＝3sin 2x 的图像向右平移π3 个单位长度得到函数 y＝
3sin 2x－π3 的图像，得不到图像 C，故(3)错误．
三角函数的图像及图像变换 三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性 质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的 变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函 数的有关性质．具体要求如下： (1)用五点法作 y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，确定五个关键点的 方法是分别令 ωx＋φ＝0，π2 ，π，32π，2π.
第一章 三 角 函 数
章末优化总结
三角函数的值域与最值 求三角函数的值域与最值的三种途径
(1)利用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的值域求解． (2)将所求三角函数式变形为关于sin x(或cos x)的二次函数
的形式，利用换元的思想进行转化，然后再结合二次函数的 性质求解． (3)利用正弦函数、余弦函数的有界性求解，同时，一般函数 求值域的方法(分离常数法、判别式法、图像法等)在三角函 数中也适用．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：因为 sin(π＋θ)＝－sin θ＜0，所以 sin θ＞0，
又因为 cos(π－θ)＝－cos θ＜0，所以 cos θ＞0，
π 所以 φ＝ 6 ，
所以 f(x)＝2sin2x＋π6 .
(2)y＝2sin2x＋π6 的横2倍坐（标―纵伸―坐长→标到不原变来）
y＝2sin21×2x＋π6
＝2sinx＋π6
平移沿π―x个轴―单向→位右长度
6
y＝2sinx－π6 ＋π6 ＝2sin x，
所以 y＝g(x)＝2sin x.
π (3)因为 0≤x≤12，
(2)对于 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 应明确 A，ω，φ与单调性的关系，
针对 x 的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出 错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的 区别．
(3)由已知函数图像求函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解
析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最 小值确定 A，由周期确定 ω，由适合解析式的点的坐标来确定
当 t＝－ 22，即 x＝－π4 时，f(x)有最小值，且最小值为－
－ 22－122＋54＝1－2
2 .
Biblioteka Baidu 三角函数的性质 1．三角函数的周期在不加说明的情况下，就是指最小正周期 ．求三角函数的周期一般要先通过三角恒等变形将三角函数
化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k，y＝Acos(ωx＋φ)＋k及y＝ Atan(ωx＋φ)＋k的形式，然后用公式求解，另外还可以利
φ，但由图像求得的 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式一
般不是唯一的，只有限定 φ 的取值范围，才能得出唯一的解， 否则 φ 的值不确定，解析式也就不唯一．
已知函数 y＝f(x)＝Asin(ωx＋
φ)A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 的图像上的一个最低点为 M23π，－2，周期为π.
(1)求 f(x)的解析式； (2)将 y＝f(x)的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变)，然后再将所得的图像沿 x 轴向右平移π6 个单位长 度，得到函数 y＝g(x)的图像，写出函数 y＝g(x)的解析式；
求 y＝csions xx－－22的值域． [解] 将已知函数式看成单位圆上的点 A(cos x，sin x)与点 B(2，2)连线的斜率， 如图所示，观察得到 kAB≤y≤kCB. 设过点 B 的圆的切线方程为 y－2＝k(x－2)． 即 kx－y－2k＋2＝0.
于是
|2－2k| ＝1，解得 k2＋1
用图像求出三角函数的周期．
2．研究函数 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性时，应先考虑其定义域，
若其定义域关于原点对称，则当 φ＝kπ(k∈Z)时，函数为奇函
数；当
π φ＝kπ＋ 2 (k∈Z)时，函数为偶函数；当
φ≠k2π(k∈Z)
时，函数为非奇非偶函数．
3．求函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A≠0，ω
所以π6 ≤2x＋π6 ≤π3 ，
ππ 所以当 2x＋ 6 ＝ 6 ，
π 即 x＝0 时，f(x)min＝2sin 6 ＝1；
ππ
π
π
当 2x＋ 6 ＝ 3 ，即 x＝12时，f(x)max＝2sin 3 ＝ 3.
1．已知 sin(π＋θ)＜0，cos(π－θ)＜0，则角 θ 所在的象限是 (A )
(3)当 x∈0，π 12时，求函数 f(x)的最大值和最小值．
[解] (1)因为 T＝2ωπ＝π，
所以 ω＝2. 又因为 f(x)min＝－2，所以 A＝2.
因为 f(x)的最低点为 M23π，－2， 所以 sin43π＋φ＝－1.
π 因为 0＜φ＜ 2 ， 所以4π 3 ＜4π 3 ＋φ＜116π， 所以4π 3 ＋φ＝32π，