高中数学 第一章 三角函数章末优化总结 新人教A版必修4
2017_2018学年高中数学第一章三角函数章末优化总结课件新人教A版必修4
(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α) 3 ＝－sin α＝ . 2 sin[α＋2n＋1π]＋sinπ＋α (2) sinπ－αcosα＋2nπ sinα＋2nπ＋π－sin α sinπ＋α－sin α ＝ ＝ sin αcos α sin αcos α －2sin α 2 ＝ ＝－ ＝－4. sin αcos α cos α
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专题一
三角函数的化简、求值与证明
1．本章的所讲三角函数的求值与化简问题，主要是利用同角的三角函数关系以 及诱导公式来进行．一般解法灵活、技巧性较强，对三角函数的恒等变形能力要 求较高．要注意公式的逆用、正用及变形应用，化简的结果一般要求次数尽可能 的低，函数名称尽量少，能求值的一定要求出值． 2．对三角函数变形时，需特别注意角的范围，角的终边所在的象限，求值时一 定要先确定符号．
2．求证： 2sin
3π π θ－ cos θ＋ －1 2 2
1－2sin2π＋θ
tan9π＋θ＋1 ＝ . tanπ＋θ－1
－2sin 证明：左边＝ 2sin ＝
π π＋ －θsin 2
3π －θ· －sin 2
3．证明三角恒等式或条件等式，是三角变换中的一个基本题型，证明三角恒等 式要充分观察要证等式的特点，利用同角三角函数关系或诱导公式，通过切化弦 化异次为同次，对三角恒等式进行恒等变形是证明三角恒等式的关键，证明三角 恒等式常用“由左向右”“由右向左”以及分析法、综合法等．
已知 f(α) sin2π－α· cos2π－α· tan－π＋α ＝ . sin－π＋α· tan－α＋3π (1)化简 f(α)； 1 π π (2)若 f(α)＝ ，且 <α< ，求 cos α－sin α 的值． 8 4 2
2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数1 章末高效整合 精品
2．明确三角函数的定义，牢记三角函数值的符号 (1)定义：角 α 的顶点放在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，角 α 的终边 与单位圆的交点为 P(x，y)，则 y＝sin α，x＝cos α，xy＝tan α(x≠0)． 即①y 叫作 α 的正弦，记作 sin α； ②x 叫作 α 的余弦，记作 cos α； ③xy叫作 α 的正切，记作 tan α.
A．ω＝2π，φ＝π6 B．ω＝π，φ＝π6 C．ω＝π，φ＝π3 D．ω＝2π，φ＝π3
(2)经过怎样的变换由函数 y＝sin 2x 的图象可得到 y＝cos x＋π4的图象？ 解析： (1)由函数的图象可知 A＝2，T＝4×56－13＝2，所以 ω＝2Tπ＝π，因 为函数的图象经过13，2，所以 2＝2sinπ3＋φ，得π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，因为|φ| ＜π2，所以取 k＝0，所以 φ＝π6，所以 ω＝π，φ＝π6.
(2)利用诱导公式，可以把任意角的正弦、余弦函数值化为锐角三角函数值， 其一般步骤为：负化正(公式三或一)、大化小(公式一)、锐角求值(公式二或四)．
化简求值中注意利用角与角之间隐含的互余或互补关系，从而简化解题过 程．
5．探究性质应用，对比周期公式 (1)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的周期是 2π，y＝tan x 的周期是 π；函数 y＝ Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的周期是|2ωπ|，y＝Atan(ωx＋φ)的周期是|ωπ|. (2)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的有界性为－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1；函数 y＝ tan x 没有最值，其有界性可用来解决三角函数的最值问题． (3)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角 转化到同一单调区间内．求形如 f(ωx＋φ)(f 为 sin，cos，tan)的单调区间时，应 采用整体代换的思想将 ωx＋φ 视为整体，求解时注意 x 的范围以及 ω，f 的符号 对单调性的影响．
高中数学 第一章 三角函数小结课件 新人教A版必修4
【例3】 化简下列各式： (1) 1－tanθ·cos2θ＋1＋ta1nθ·sin2θ； (2)csoins2ππ－－ααsicnos3ππ－＋ααscions－π2＋π－ααcossin11292ππ－＋αα. 【分析】 利用三角函数间的关系、 (1)原式＝ 1－csoinsθθ·cos2θ＋1＋csoinsθθ·sin2θ ＝ cos2θ－cosθsinθ＋sin2θ＋sinθcosθ＝1. (2)原式 ＝－scionsα－sαin－π－coαsα[－－sinsinπα＋cαos]s2πin＋2πα＋ α
2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移
π 6
个
单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析
式；
(3)当x∈[0，1π2]时，求函数f(x)的最大值和最小值．
【例1】 点P从(1,0)点出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时
针方向运动π3弧长到达Q点，则Q点坐标为( )
A．(12，
3 2)
B．(－ 23，－12)
C．(－12，－
3 2)
D．(－ 23，12)
【分析】 根据三角函数单位圆定义求解．
【解析】 设∠POQ＝θ，则θ＝π3. 又设Q(x，y)，则x＝cos3π＝12，y＝sinπ3＝ 23.故选A. 【答案】 A
间(－2π＋kπ，π2＋kπ)内均为增函数．
【例5】
函数f(x)＝3sin(2x－
π 3
)的图象为C，①图象C
关于直线x＝
1112π对称；②函数f(x)在区间(－
π 12
，152π)内是增
函数；③由y＝3sin2x的图象向右平移
π 3
个单位长度可以得
到图象C.
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式课件新人教A版必修4
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300
4
cos
79 6
cos
5 6
cos
6
3 2
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
4 tan 324 32 __ta_n__3_5_2_8_;
化简11scio原ns式52=cs2ions•22sin•2sin •c•osco2s
;
= sin • sin • cos
cos
= sin2
化简
2 cos2
tan 360
sin .
原式=cos2 tan sin
1.思考
给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系?
公式二
y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
π +α α
O
x
tan(π+α)=tanα
P(-x,-y)
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)
高一数学人教A版必修4第一章(三角函数)本章小结课件
1-(-
5 5
)2
=
-
2
5 5
.
6. 用 cosa 表示 sin4a-sin2a+cos2a.
解: sin4a-sin2a+cos2a = sin2a(sin2a-1)+cos2a = sin2a(-cos2a)+cos2a = cos2a(1-sin2a) = cos4a.
7. 求证:
(1) 2(1-sina)(1+cosa) = (1-sina+cosa)2; (2) sin2a+sin2b-sin2a·sin2b+cos2a·cos2b =1.
6. 终边位置确定三角函数值的正负
y
y
y
++ -o - x
-+
ox
-+
-+
ox
+-
sina
cosa
tana
正弦上正下负, 余弦右正左负, 正切一三正二四负.
7. 同角三角函数的关系
sin2a+cos2a=1,
sina cosa
=
tana
.
常用的变形:
sin2a=1-cos2a. cos2a=1-sin2a.
解: 由已知得 sin2x=4cos2x, 1-cos2x=4cos2x,
解得 cos x =
5 5
.
又由已知得 tanx =2,
则 x 是第一、第三象限角.
当 x 是第一象限角时,
cos x =
5 5
,
sin x =
1-(
5 5
)2=
2
5 5
;
当 x 是第三象限角时,
高一数学必修4课件：章末归纳总结1
2 1 解得 ≤sinα<1或－ <sinα≤0. 3 3
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
1 2 1 1 2 12 2 ∴y＝sin β－ sin α＝ (3sin α－2sinα)－ sin α＝(sinα－ ) 2 2 2 2
第一章
章末归纳总结
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π π π 5π (3)当x∈[0，2]时，2x－6∈[－6， 6 ]， ∴当x＝0时f(x)取得最小值， π 即2sin(－ )＋a＝－2，∴a＝－1. 6
第一章
章末归纳总结
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规律总结：(1)研究性质前，先要把函数化简为y＝ Asin(ωx＋φ)＋h的形式． 2π (2)求最小正周期通常直接利用公式T＝ |ω| 或根据函数图 象求得． (3)求三角函数最值常用方法是换元法．
得sin2θ－cos2θ的值．
第一章
章末归纳总结
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[解析]
1 ∵sinθ＋cosθ＝ ， 5
1 1 1 1 1 12 2 ∴sinθcosθ＝2(sinθ＋cosθ) －2＝2×25－2＝－25<0. ∴sinθ和cosθ的符号相反．
π 又∵θ∈(0，π)，∴θ∈2，π.
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[例5]
π 已知函数f(x)＝2sin(2x－ )＋a.(a为常数)． 6
(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调递增区间； π (3)若x∈[0，2]时，f(x)的最小值为－2，求a的值． [分析] 2π (1)T＝ ω ；
【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数章末优化总结 新人教A版必修4
章末优化总结, )三角函数的值域与最值求三角函数的值域与最值的三种途径(1)利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的值域求解． (2)将所求三角函数式变形为关于sin x (或cos x )的二次函数的形式，利用换元的思想进行转化，然后再结合二次函数的性质求解．(3)利用正弦函数、余弦函数的有界性求解，同时，一般函数求值域的方法(分离常数法、判别式法、图像法等)在三角函数中也适用．求y ＝sin x －2cos x －2的值域．[解] 将已知函数式看成单位圆上的点A (cos x ，sin x )与点B (2，2)连线的斜率，如图所示，观察得到k AB ≤y ≤k CB . 设过点B 的圆的切线方程为y －2＝k (x －2)． 即kx －y －2k ＋2＝0.于是|2－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝4±73.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－73，4＋73.已知|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．[解] y ＝f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1.令t ＝sin x ，因为|x |≤π4，所以－22≤sin x ≤22. 则y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫－22≤t ≤22，当t ＝－22，即x ＝－π4时，f (x )有最小值，且最小值为－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－122＋54＝1－22.三角函数的性质1．三角函数的周期在不加说明的情况下，就是指最小正周期．求三角函数的周期一般要先通过三角恒等变形将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ，y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 及y ＝A tan(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后用公式求解，另外还可以利用图像求出三角函数的周期．2．研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性时，应先考虑其定义域，若其定义域关于原点对称，则当φ＝k π(k ∈Z )时，函数为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数为偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时，函数为非奇非偶函数．3．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω＞0)的单调区间时(若ω＜0，可先利用诱导公式将x 前的系数ω变成正值)，应把ωx ＋φ视为一个整体，由A 的符号来确定单调性．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像为C . (1)图像C 关于直线x ＝11π12对称；(2)函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增加的； (3)由y ＝3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C .以上三个论断中，正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝3sin 3π2＝－3，所以直线x ＝11π12为图像C 的对称轴，故(1)正确；(2)由－π12＜x ＜5π12，得－π2＜2x －π3＜π2，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增加的，故(2)正确； (3)f (x )＝3sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，而由y ＝3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图像，得不到图像C ，故(3)错误．[答案] C三角函数的图像及图像变换三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求如下：(1)用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π.(2)对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 应明确A ，ω，φ与单调性的关系，针对x 的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．(3)由已知函数图像求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图像求得的y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不是唯一的，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．已知函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图像上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图像沿x 轴向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，写出函数y ＝g (x )的解析式；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求函数f (x )的最大值和最小值． [解] (1)因为T ＝2πω＝π，所以ω＝2.又因为f (x )min ＝－2，所以A ＝2.因为f (x )的最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1. 因为0＜φ＜π2，所以4π3＜4π3＋φ＜11π6，所以4π3＋φ＝3π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6――→横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12³2x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ――→沿x 轴向右平移π6个单位长度 y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝2sin x ，所以y ＝g (x )＝2sin x .(3)因为0≤x ≤π12，所以π6≤2x ＋π6≤π3，所以当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )min ＝2sin π6＝1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )max ＝2sin π3＝ 3.1．已知sin(π＋θ)＜0，cos(π－θ)＜0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选A.因为sin(π＋θ)＝－sin θ＜0，所以sin θ＞0， 又因为cos(π－θ)＝－cos θ＜0，所以cos θ＞0， 所以角θ所在象限为第一象限．2．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2sin x 的图像大致为( )解析：选A.函数的定义域为{x |x ≠0}，所以排除B ，C.因为f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1x2sin(－x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－1xsin x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图像关于原点对称，故排除D.3．化简：1－sin 2440°＝________．解析：原式＝1－sin 2（360°＋80°）＝1－sin 280°＝cos 280°＝cos 80°. 答案：cos 80°4．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________．解析：由0≤ωx ≤π2，得0≤x ≤π2ω，所以y ＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2ω上是递增的． 又ω∈(0，1)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2ω，故f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是递增的，即2sin ωπ3＝2，所以ω＝34.答案：345．已知函数y ＝f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图像过点⎝⎛⎭⎪⎫0，－32. (1)求φ的值，并求函数y ＝f (x )图像的对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数y ＝f (x )的值域．解：(1)因为函数图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32， 所以sin φ＝－32，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3， 所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2x －π3＝k π(k ∈Z )， 得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )．(2)因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1， 所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1., [学生用书单独成册])(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简sin 600°的值是( )A ．0.5B ．－32C.32D ．－0.5解析：选B.sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.2．已知函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cosa ＋b2的值为( )A ．0B ．22C ．1D ．－1解析：选C.由题知[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，所以cos a ＋b 2＝cos 2k π＝1.3．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是( )A ．{1}B ．{1，3}C ．{－1}D ．{－1，3}解析：选D.当x 为第一象限角时，sin x ＞0，cos x ＞0，tan x ＞0，所以y ＝sin x sin x ＋cos xcos x＋tan x tan x＝3； 当x 为第二象限角时，sin x ＞0，cos x ＜0，tan x ＜0，所以y ＝sin x sin x ＋－cos x cos x ＋tan x－tan x＝－1；当x 为第三象限角时，sin x ＜0，cos x ＜0，tan x ＞0，所以y ＝sin x －sin x ＋－cos x cos x ＋tan x tan x＝－1； 当x 为第四象限角时，sin x ＜0，cos x ＞0，tan x ＜0，所以y ＝sin x －sin x ＋cos x cos x ＋tan x －tan x ＝－1. 综上可知，值域为{－1，3}．4．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝( ) A.56π B ．16π C.π2 D ．π3解析：选A.y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －π2）＋φ的图象，整理得y ＝cos(2x －π＋φ)．因为其图象与y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合， 所以φ－π＝π3－π2＋2k π，所以φ＝π3＋π－π2＋2k π，即φ＝5π6＋2k π.又因为－π≤φ<π，所以φ＝5π6.5．要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像( ) A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：选C.因为函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12， 所以将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度， 即可得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图像．故应选C. 6．若两个函数的图像仅经过有限次平移能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：f 1(x )＝2cos 2x ，f 2(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，f 3(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－1，则( )A ．f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )两两为“同形”函数；B ．f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )两两不为“同形”函数；C ．f 1(x )，f 2(x )为“同形”函数，且它们与f 3(x )不为“同形”函数；D ．f 2(x )，f 3(x )为“同形”函数，且它们与f 1(x )不为“同形”函数．解析：选D.由题意得f 2(x )与f 3(x )中，A ，ω相同，所以可通过两次平移使其图像重合，即f 2(x )与f 3(x )为“同形”函数，而f 1(x )中ω＝2与f 2(x )，f 3(x )中的ω＝1不同，需要伸缩变换得到，即它们与f 1(x )不为“同形”函数．7．已知奇函数f (x )在[－1，0]上为减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是( )A ．f (cos α)>f (cos β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (sin α)>f (cos β)D ．f (sin α)<f (cos β)解析：选D.由已知奇函数f (x )在[－1，0]上为减函数，知函数f (x )在[0，1]上为减函数．当α、β为锐角三角形两内角时，有α＋β＞π2且0＜α，β＜π2，则π2＞α＞π2－β＞0，所以sin α＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，即sin α＞cos β，又0＜sin α，cos β＜1，所以f (sin α)<f (cos β)成立，选D.8．将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：选B.法一：将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位后所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ2＋φ，而平移后所得图像与原图像重合，所以ωπ2＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝4k (k ∈Z )，所以ω的值不可能等于6，故选B.法二：当ω＝4时，将函数f (x )＝2sin(4x ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝2sin(4x ＋φ)与原函数相同．当ω＝6时，将函数f (x )＝2sin(6x ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝2sin(6x ＋3π＋φ)＝－2sin(6x ＋φ)，与原函数不相同，故选B.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中|φ|＜π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析：选C.因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值．函数f (x )的周期T ＝π，所以f (π)＝f (0)．又因为函数的对称轴为x ＝π6，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最小值，所以2³π6＋φ＝－π2，解得φ＝－56π.由－π2＋2k π≤2x －56π≤π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．10．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图像．根据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为( )A ．10小时B ．8小时C ．6小时D ．4小时解析：选B.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，2πω＝12，解得A ＝0.5，b ＝1，ω＝π6，则y ＝0.5cos πt 6＋1.令y ＝0.5cos πt 6＋1>1.25(t ∈[0，24])得cos πt 6>12.又t ∈[0，24]，πt 6∈[0，4π]，因此0≤πt 6<π3或5π3<πt 6≤2π或2π≤πt 6<2π＋π3或2π＋5π3<πt 6≤2π＋2π，即0≤t <2或10<t ≤12或12≤t <14或22<t ≤24，在一日内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同实数解，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2与y ＝m 有两个不同交点． 令u ＝2x －π6，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2得u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，在同一直角坐标系中做出函数y ＝2sinu 与y ＝m 的图像(如图)，可知1≤m <2.答案：[1，2)12．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(x ∈[－π，0])的递减区间是________． 解析：令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，令k ＝－1，得－5π6≤x ≤－π3，得函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π313．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a ，b ，c 的大小关系为________(按由小至大顺序排列)．解析：a ＝sin 5π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－5π7＝sin 2π7，b ＝cos 2π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2π7＝sin 3π14， 因为0＜3π14＜2π7＜π2，y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，所以b ＜a ；又因为0＜π4＜2π7＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，所以c ＝tan 2π7＞tan π4＝1，所以b ＜a ＜c .答案：b ＜a ＜c14．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度可得y ＝sin x 的图像，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________． 解析：将y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图像，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12³π6＋π6＝sin π4＝22.答案：2215．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6； ②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③函数y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ④函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π6对称．其中正确的是________．解析：①f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，正确；②T ＝2π2＝π，最小正周期为π，错误；③令2x ＋π3＝k π，当k ＝0时，x ＝－π6，所以函数f (x )关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，正确； ④令2x ＋π3＝k π＋π2，当x ＝－π6时，k ＝－12，与k ∈Z 矛盾，错误．所以①③正确． 答案：①③三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)计算3sin （－1 200°）tan 113π－cos 585°²tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－374π.解：原式＝3sin （－120°－3³360°）tan ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋2π3－cos(225°＋360°)²tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π－14π＝－3sin 120°tan2π3＋cos 225°tan π4＝－3sin 60°－tanπ3＋(－cos 45°)²tan π4 ＝3²323＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22³1＝32－22.17. (本小题满分10分)(1)求函数y ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最大值和最小值及相应的x 值；(2)已知函数y ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值． 解：(1)当sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－1，即x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z .所以当x ＝－23π＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最大值1＋2＝3.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，即x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z .所以当x ＝π3＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最小值1－2＝－1.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，所以－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤12. 当a ＞0，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3. 所以12a ＋3＝4，所以a ＝2.当a ＜0，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3. 所以－a ＋3＝4，所以a ＝－1. 综上可知，实数a 的值为2或－1.18．(本小题满分10分)为得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像，只要把函数y ＝sin x的图像作怎样的变换？解：法一：①把函数y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像；②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像；③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像；④把得到的图像向上平移54个单位长度，得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．综上得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．法二：将函数y ＝sin x 依次进行如下变换：①把函数y ＝sin x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin 2x 的图像；②把得到的图像向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像； ③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像；④把得到的图像向上平移54个单位长度，得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．综上得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像．解：(1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π8＋φ＝±1.所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知y ＝sin ⎛⎪⎫2x －3π，列表如下：描点连线，可得函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像如下．20．(本小题满分13分)已知A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0图像上的任意两点，且角φ的终边经过点P (1，－3)，若|f (x 1)－f (x 2)|＝4时，|x 1－x 2|的最小值为π3.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，不等式mf (x )＋2m ≥f (x )恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为角φ的终边经过点P (1，－3)，所以tan φ＝－3，且－π2＜φ＜0，得φ＝－π3.函数f (x )的最大值为2，又|f (x 1)－f (x 2)|＝4时，|x 1－x 2|的最小值为π3，得周期T ＝2π3，即2πω＝2π3，所以ω＝3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3. (2)令－π2＋2k π ≤3x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π18＋2k π3≤x ≤5π18＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π18＋2k π3，5π18＋2k π3，k ∈Z .(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，－π3≤3x －π3≤π6，得－3≤f (x )≤1，所以2＋f (x )＞0，则mf (x )＋2m ≥f (x )恒成立等价于m ≥f （x ）2＋f （x ）＝1－22＋f （x ）恒成立．因为2－3≤2＋f (x )≤3，所以1－22＋f （x ）最大值为13，所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.。
(完整word版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的看法的实行①按旋转方向不相同分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角任意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地址不相同分为象限角和轴线角．角的极点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，那么称为第几象限角．第一象限角的会集为k360k 36090 , k第二象限角的会集为k36090k 360180 , k第三象限角的会集为k360180k360270 , k第四象限角的会集为k360270k 360360 , k终边在 x 轴上的角的会集为k180 , k终边在 y 轴上的角的会集为k180 90 , k终边在坐标轴上的角的会集为k 90 ,k(2)终边与角α相同的角可写成α＋ k·360 °(k∈Z )．终边与角相同的角的会集为k 360, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝ 2π弧度； 180°＝π弧度．③半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，那么角的弧度数的绝对值是l r④ 假设扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为l，周长为C，面积为S，那么l r ，C2r l ，S1lr1r 2．222．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x， y)，它与原点的距离为r r x2y2，那么角α的正弦、余弦、正切分别是： sin α＝yr， cos α＝xr， tan α＝yx．〔三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦〕3．特别角的三角函数值1角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的根本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的根本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；〔在利用同角三角函数的平方关系时，假设开方，要特别注意判断符号〕sin α(2)商数关系：＝tanα.〔3〕倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k ) tan其中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan(π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π引诱公式可概括为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假设是奇数倍，那么函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦) ；假设是偶数倍，那么函数名称不变，符号看象限是指：把πα看作锐角时，依照 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与要点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．〔 sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二〕2(3)巧用 “1〞的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ ＝tan24〔 〕齐次式化切法： tank ，那么 asinbcosa tanb ak b4m sinn cosm tannmkn三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法〔如y sin x 与 y cosx 的周期是〕。
高中数学必修4(人教A版)第一章三角函数1.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制
一、学习任务
1. 了解任意角的概念，了解终边相同的角的意义．
2. 了解弧度制的意义，并能进行弧度与角度的互化．
二、知识清单
任意角的概念 弧度制
三、知识讲解
1.任意角的概念
任意角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如图，一条射线的端点是 ，它从起始位置 按逆时针方向旋转到终止位置 ，形成一个角 ，射线 称为角的始边，射线 称为角的终边．
角的分类
正角（positive angle） 按逆时针方向旋转形成的角．
负角（negative angle） 按顺时针方向旋转形成的角．
零角（zero angle） 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．象限角与轴线角
在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角（quadrant angle）．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这样的角为轴线角．
终边相同的角
所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可以构成一个集合
，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和．
O OA OB αOA OB x ααS ={β| β=α+k ⋅,k ∈Z }360∘αα在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是
；②钝角一定大于锐角；③射线 绕端点 按逆时针旋转一周所成的角是 ；
60∘OA O 0∘
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又 ，∴令 得 ．
∵α∈(0,2π)k =1α=
π。
【高一数学必修4知识点总结ppt】人教A版必修4《三角函数》知识点总结
在区间 [2k , 2k ], k Z 上是减函数
16 、正切函数y=tanx x k（, k z）
2
⑴ 定义域： { x |x k , k Z }
2
⑵ 值域： R
y y tan x
⑶ 周期性：
2
2
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
5、（1）终边在x轴上的角的集合：
{ | n 180 ，n Z }.
（2）终边在y轴上的角的集合:
{ | 90 n 180 ，n Z }.
（3）终边在坐标轴上的角的集合:
{ | k 90 ，k Z }.
6、任意角的三角函数定义:
设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)则:
3
31
3 不存在 0 不存在 0
8、三角函数线
y
P
y
PT
1）有向线段MP叫 角α的正弦线
2）有向线段OM叫 角α的余弦线
A
MO
x
T
y T
O MA x y
3）有向线段AT叫 角α的正切线
M
O
Ax
MA
O
x
P
9、同角三角函数的基本关系
PT
平方关系: sin 2 cos2 1 R
商数关系: tan sin
4、 α 终边所在的象限
角 α 的集合
第一象限
{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}
{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，
第二象限
k∈Z}
第三象限
{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°， k∈Z}
新课标人教A版高中数学必修四三角函数知识点总结(K12教育文档)
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高中数学必修4三角函数知识点总结§1。
1。
1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ。
§1.1。
2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
2、 rl=α.3、弧长公式：R Rn l απ==180。
4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π。
§1.2.1、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,,那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点，那么:（设r =)sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=,cot x y α=3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法。
正弦线:MP; 余弦线:OM ； 正切线：AT 4、 特殊角0°,30°，45°，60°,90°,180°，270等的三角函数值.§1。
2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα。
人教A版高中数必修四三角函数单元小结.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作三角函数单元小结一、基本概念、定义、公式：1、角是一条射线饶着它的端点旋转形成的几何图形，它由 、 、 组成。
2、角的概念推广后，包括 、 、 ，与α终边相同的角表示为=β 。
角的集合：终边在x 轴上 在y 轴上 在第一象限 在第二象限 在第二四象限 在直线y ＝x 上 3、弧度制：把 叫1弧度的角。
公式：|α|＝换算：180°＝ 弧度； 1弧度＝ 度； 1°＝ 弧度 扇形： 弧长L ＝ ，面积S ＝ ＝ = 4、 任意角的三角函数：① 定义：在角α终边上任取一点P(x ，y)，它与原点的距离r ＝ （r >0），六个三角函数的定义依次是 、 、 、 、 、 。
②三角函数的定义域：αsin 、αcos 的定义域为 ；αtan 、αsec 的定义域为 ；αcot 、αcsc 的定义域为 。
③三角函数值的符号：当α在 象限时，0sin >α；当α在 象限时，0cos >α；当α在 象限时，0tan >α。
④三角函数线：如图，角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作 轴的垂线，xyo MT PA垂足为M ，则 。
过点A(1,0)作 ， 交 于点T ，则 。
⑤同角三角函数关系式： 平方关系：商数关系： 倒数关系：⑥诱导公式：=β―α(或2π―α)π+α π－α2k π+αsin =β cos =β tan =β二、 习题训练（一）选择题1、若角α满足sin αcos α<0,cos α-sin α<0,则α在 ( ) A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限２、如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为 ( )A ．1sin0.5B ．sin0.5C ．2sin0.5D ．tan0.5３、已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为 ( )A ．32B ．33C ． 3D ．2 3４、(04浙江)在△ABC 中，“A ＞30°”是“sinA ＞12”的 ( )A ．仅充分条件B ．仅必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件５、已知sin α＞sin β，则下列命题成立的是 ( )A ．若α.β是第一象限角，则cos α＞cos β．B ．若α.β是第二象限角，则tan α＞tan β．C ．若α.β是第三象限角，则cos α＞cos β．D ．若α.β是第四象限角，则tan α＞tan β．６、以下各式能成立的是 ( )A ．sin α＝cos α＝12；B ．cos α＝13且tanα＝2；C ．sin α＝12且tan α＝33；D ．tan α＝2且cot α＝－12７、cot(α－4π)·cos(α＋π)·sin 2(α－3π)tan(π＋α)·cos 3(－α－π)的结果是( )A ．1B ．0C ．－1D ．12８、设sin123°＝a ，则tan123°＝ ( )A ．1－a2aB ．a 1－a2C ．1－a 21－a2D ．a 1－a 2a 2－1９、α为第二象限角，P(x, 5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 值为 ( ) A ． 3 B ．± 3 C ．－ 3 D ．－ 210、若α满足sin α－2cos αsin α＋3cos α＝2，则sin α·cos α的值等于 ( )A ．865B ．－865C ．±865D ．以上都不对（二）填空题：11、已知sin θ－cos θ＝12，则sin 3θ－cos 3θ＝ ．12、函数y ＝|sinx|sinx ＋cosx |cosx|＋|tanx|tanx ＋cotx|cotx|的值域为 ．13、已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，则cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝ ．14、若θ满足cos θ>21-,则角θ的取值集合是 ． （三）解答题：15、已知扇形的周长为L ，问当扇形的圆心角α和半径R 各取何值时，扇形面积最大？16、已知a a x +-=11sin ，aa x +-=113cos ，若x 是第二象限角，求实数a 的值.17、已知α为第三象限角，且f(α)＝sin(π－α)cos(2π―α).tan(―α＋3π2)cot α.sin(π＋α)．(1)化简f(α)； (2)若cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值； (3)若α＝－1920°，求f(α)的值．18、已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：sinθ1－cotθ＋cosθ1－tanθ的值； (2)m的值； (3)方程的两根及此时θ的值．(1)参考答案：（一）选择题：BADB DCAD CB （二）填空题：11．1116 12．{－2,0,4} 13、 22－13 14、Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,322,322ππππ提示：13、α为第三象限角，cos(75°＋α)＝13 ，∴sin(75°＋α)＝－223，cos(105°－α)＝―cos[180°―(105°―α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin[180°＋(α－105°)]＝－sin(75°＋α)＝223，∴原式＝22－13． （三）解答题：15、解：∵L ＝2R ＋αR ，S ＝12αR 2．∴α＝2S R 2．∴L ＝2R ＋2S R⇒2R 2－LR ＋2S ＝0．△＝L 2－16S ≥0⇒S ≤L 216．故当α＝2．R ＝L 4时，Smax ＝L216．16、解：依题意x 是第二象限角，∴1sin 0<<x ，0cos 1<<-x ，又1cos sin 22=+x x ，从而得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-++-<+-<-<+-<)3(1)113()11()2(01131)1(111022 a a a a a a a a由（3）解得1=a 或91=a ，把1=a 代入不符合不等式（1）故舍去，从而91=a 17．(1)f(α)＝－cos α． (2) f(α)＝265． (3) f(α)＝12．18、解：依题得：sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2． ∴(1)原式＝sin 2θ sin θ－cos θ＋cos 2θ－sin θ＋cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12；(2)m ＝2 sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2－1＝32． (3)∵sin θ＋cos θ＝3＋12．∴| sin θ－cos θ|＝3－12．3 2，12．∴θ＝π6或π3．∴方程两根分别为。
山东省高中数学《第一章 三角函数》归纳整合课件 新人教A版必修4
轴对称图形， 对 轴对称图形，对称轴方 称轴方程是 x＝ 中心对称图 π kπ，k∈Z；中心 形，对称中 程是 x＝kπ＋2，k∈Z； 对称性 kπ 对称图形， 对称 心 2 ，0(k 中心对称图形，对称中 π kπ＋ ，0 中心 心(kπ，0)k∈Z 2 ∈Z) k∈Z
π 2x＋ 的图象( 6
π 2x－ 的图象， 3
)． π B．向右平移 个长度单位 4 π D．向右平移 个长度单位 2
π A．向左平移 个长度单位 4 π C．向左平移 个长度单位 2
解析
π π y＝sin2x＋6＝sin2x＋12，
专题四
三角函数的性质
高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的 定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是 复合函数的单调性问题应引起重视．
【例 5】 函数 f(x)＝3sin
π 2x－ 的图象为 3
C.
11 ①图象 C 关于直线 x＝ π 对称； 12 ②函数
专题一
任意角的三角函数的定义及三角函数线
掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利 用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函 数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
【例 1】 求函数 y＝ sin x＋ 解 由题意知
1 cos x－2的定义域．
sin x≥0， sin x≥0， 即 1 1 cos x－2≥0， cos x≥2， 如图，结合三角函数线知：
3π y＝sin2x－ 4 的单调递增区间是
π 5π [kπ＋8，kπ＋ 8 ](k∈Z)．
(3)由
3π y＝sin2x－ 4 ， 8
新课标人教A版高中数学必修四三角函数知识点总结
高中数学必修 4 三角函数知识点总结§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角 的概念 .2、 与角 终边相同的角的集合： 2k ,k Z .§1.1.2、弧度制3、弧长公式 ： l n RR .180§1.2.1、任意角的三角函数sin y， cosx， tan y ， cot xrr x y3、 sin ， cos ， tan 在四个象限的符号和三角函数线的画法 正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT4、 特殊角 0°， 30°， 45°， 60°， 90°，180°， 270 等的三角函数值 .§1.2.2、同角三角函数的基本关系式221、 平方关系 ： sin 2cos 21.sin2、 商数关系 ： tan .64322334322sincostan1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 4、 扇形面积公式2nR ：S 3601lR .21、 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点A x ,y P x,y ，那么： sin y, cos x, tan yx （设 r x 2 y 2） 2、cos3、倒数关系：tan cot 1§ 1.3 、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限” k Z ）sin 2k sin ,1、 诱导公式一 ： cos 2k cos , （其中： k Z ） tan 2k tan . sin sin ,2、 诱导公式二 ： cos cos ,tan tan . sin sin ,3、 诱导公式三 ： cos cos ,tan tan . sin sin ,4、 诱导公式四 ： cos cos ,tan tan .3、会用 五点法作图 .y sin x 在 x [0,2 ] 上的五个关键点为： § 1.4.3 、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：5、 诱导公式五6、 诱导公式六§ 1.4.1 、正弦、余弦函数的图象和性质 y=sinx-52 y-2 1-4 -7-3 -2 -3 -232o272x2 53 4y=cosx-5 -32 -4 -7372 3 2 2 -2 -3222、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质： 单调性、周期性 . o 2 5 4x定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、30，0）（，2 ，1）（， ，2sin2、记住余切函数的图象：yy=cotx- -2 o3223、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性 . 周期函数定义：对于函数f x ，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ，那么函数f x 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质§ 1.5 、函数y Asin x 的图象1、对于函数：y Asin x B A 0, 0 有：振幅 A，周期T 2，初相，相位x ，频率f T1 2 2、能够讲出函数y sin x的图象与y Asin x B 的图象之间的平移伸缩变换关系 .①先平移后伸缩：y sin x 平移| | 个单位y si nx(左加右减)横坐标不变y Asi n x纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变 y Asin x1横坐标变为原来的 | | 倍平移 |B|个单位 y Asin x B (上加下减)② 先伸缩后平移：y sin x 横坐标不变 y Asinx纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变 y Asin x1横坐标变为原来的 | 1| 倍平移 个单位 y Asi n x (左加右减)平移 |B|个单位 y Asin x B (上加下减)3、三角函数的周期，对称轴和对称中心 2函数 y sin( x )，x∈R 及函数 y cos( x) ， x ∈R(A, , 为常数，且 A≠0) 的周期 T函数 y tan( x ) ， x k ,k Z (A, ω, 为常数，且 A≠ 0)的周期 T2 | |对于 y Asin( x )和 y Acos( x )来说， 对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系 求函数 y Asin( x ) 图像的对称轴与对称中心，x k (k Z)解出 x 即可. 余弦函数可与正弦函数类比可得 4、由图像确定三角函数的解析式要根据周期来求 , 要用图像的关键点来求 § 1.6 、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题 .第三章、三角恒等变换§ 3.1.1 、两角差的余弦公式 记住 15°的三角函数值：§3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式只需令 x k (k Z) 与2利用图像特征：ymax y min2 ymax ymin21、 sin sin cos cossin2、 sin sin cos cossin3、 cos cos cos sinsin4、 cos cos cos sin sin§ 3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 sin2 2sin cos ，变形 ： sin cos 21sin 2 .2、 cos2 cos 2sin 22cos 2121 2sin . 变形如下：21 cos2 2cos 2升幂公式：2 1 cos2 2sin 23、 tan22tan2.1 tan 2sin2 1 cos24、tan1 cos2 sin2§ 3.2 、简单的三角恒等变换 1、 注意 正切化弦、平方降次 .2、辅助角公式 y asinx bcosx a 2b 2sin(x )(其中辅助角 所在象限由点 (a,b) 的象限决定 , tan b).a 第二章：平面向量§ 2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量： 力、位移、速度、加速度 .2、 既有大小又有方向的量叫做 向量 . § 2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做 有向线段 ，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度 .2、 向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的长度(或称 模)，记作 AB ；长度为零的向量叫做 零向量等于 1 个单位的向量叫做 单位向量 .3、 方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量（或共线向量） . 规定：零向量与任意向量平行 § 2.1.3 、相等向量与共线向量5、 t an tan tan1 tan tan 6、 t antan tan 1 tan tan降幂公式：cos 2 2sin 1 12(1 cos2 ) 12(1 cos2 )长度1、 长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量 . § 2.2.1 、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则 和 平行四边形加法法则 .2、 a b ≤ a b .§ 2.2.2 、向量减法运算及其几何意义1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量 .§ 2.2.3 、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做 向量的数乘 . 记作： a ，它的长度和方向规定 如下：⑵当0时, a 的方向与 a 的方向相同；当 0时, a 的方向与 a 的方向相反2、 平面向量共线定理 ：向量 a a 0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b a . § 2.3.1 、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理 ：如果 e 1,e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数 1, 2，使 a 1e 1 2e 2 . § 2.3.2 、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a xi y j x,y .§ 2.3.3 、平面向量的坐标运算1、 设a x 1,y 1 ,b x 2, y 2 ，则：⑴⑴a b x 1 x 2, y 1 y 2 ， ⑵a b x 1 x 2,y 1 y 2 ， ⑶ax 1, y 1 ，⑷a//b x 1y 2 x 2 y 1.2、 设 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则：AB x 2 x 1, y 2 y 1 .§ 2.3.4 、平面向量共线的坐标表示1、设 A x 1,y 1 ,B x 2, y 2 ,C x 3,y 3 ，则 ⑴线段 AB 中点坐标为 x12x2,y12y2， ⑵△ ABC 的重心坐标为x1 x 32 x3 , y 1 y 32 y 3§2.4.1 、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、 a b a b cos .2、 a 在b 方向上的投影为： a cos .3、5、 a b a b 0.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设a x 1,y 1 ,b x 2, y 2 ，则：⑴a b x 1x 2 y 1 y 2⑵ ax 12 y 12⑶a b a b 0 x 1x 2 y 1y 2 0⑷a/ /b a b x 1y 2 x 2y 1 0 2、 设 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则：ABx 2 x 1 2y 2 y 1 2.3、 两向量的夹角公式22aa4、4、点的平移公式则x x h y y k.函数 y f (x) 的图像按向量 a (h,k) 平移后的图像的解析式为 y k f (x h).§ 2.5.1 、平面几何中的向量方法§ 2.5.2 、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得 . 下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进 行总结归纳 .1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若 A 、 B 是直线 l 上的任意两点，则 AB 为直线 l 的一个方向向量；与 AB 平行的任意非零向量也是直 线l 的方向向量 . ⑵．平面的法向量：若向量 n 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 n ，如果 n ，那么向量n叫做平面 的法向量 .⑶． 平面的法向量的求法( 待定系数法) ： ① 建立适当的坐标系． ②设平面 的法向量为 n (x, y, z) ． ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标n④ 根据法向量定义建立方程组 nn⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面 的法向量 .2、用向量方法判定空间中的平行关系cos平移前的点为 P(x,y) (原坐标) ，平移后的对应点为 P(x,y) 新坐标)，平移向量为 PP (h,k) ，a (a 1,a 2,a 3),b (b 1,b 2,b 3)如图)ab abx 1 x 2 y 1 y 2⑴线线平行设直线 l 1,l 2的方向向量分别是 a 、b ，则要证明 l 1∥ l 2，只需证明 a ∥b ，即 a kb （k R ）. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线 .⑵线面平行①（法一）设直线 l 的方向向量是 a ，平面 的法向量是 u ，则要证明 l ∥ ，只需证明 a u ，即a u 0.即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线 向量即可 .⑶面面平行若平面 的法向量为 u ，平面 的法向量为 v ，要证 ∥ ，只需证 u ∥ v ，即证 u v即：两平面平行或重合 两平面的法向量共线 .3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直设直线 l 1,l 2的方向向量分别是 a 、b ，则要证明 l 1 l 2 ，只需证明 a b ，即 a b 0.即：两直线垂直 两直线的方向向量垂直 ⑵线面垂直①（法一）设直线 l 的方向向量是 a ，平面 的法向量是 u ，则要证明 l ，只需证明 a ∥ u ，即a u .a m 0②（法二）设直线 l 的方向向量是 a ，平面 内的两个相交向量分别为 m 、n ，若 ,则l .a n 0即：直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线 直线的方向向量都垂直 .⑶面面垂直若平面 的法向量为 u ，平面 的法向量为 v ，要证 ，只需证 u v ，即证 u v 0. 即：两平面垂直 两平面的法向量垂直 .4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角已知 a, b 为两异面直线， A ，C 与B ，D 分别是 a, b 上的任意两点， a,b 所成的角为 ， AC BDAC BD .⑵求直线和平面所成的角① 定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 则 cos②求法：设直线l 的方向向量为a，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为，a与u 的夹角为，则为的余角或的补角的余角 .即有：① 定义： 平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角 的平面角 是指在 二面角 l 的棱 上任取 一点 O ， 分别在 两个半 平面内 作射线AO l,BO l ，则 AOB 为二面角l 的平面角 .如图： ②求法： 设二面角 l 的两个半平面的法向量分别为 m 、n ，再设 m 、n 的夹角为 ，二面角l 的平面角为 ，则二面角 为 m 、n 的夹角 或其补角 .根据具体图形确定 是锐角或是钝角：mnmn即 arccos ；mnmnm n ◆如果 是锐角，则 cos cos ◆ 如果 是钝角，则 cos co5、利用法向量求空间距离 ⑴点 Q 到直线 l 距离若 Q 为直线 l 外的一点 , P 在直线 l 上， a 为直线 l的方向向量， h |1a| (|a||b|)2 (a b)2⑵ 点 A 到平面 的距离 =PQ ，则点 Q 到直线 l 距离为 若点 P 为平面 外一点，点 M 为平面 内任一点，平面 的法向量为 n ，则 P 到平面 的距离就等于 MP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值mn即 arccos当一条直线和一个平面平行时， 直线上的各点到平面的距离相等 .由此可知， 直线到平面的距离可转化为 求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离 .⑷ 两平行平面 , 之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离n MP即 d .n⑸异面直线间的距离设向量 n 与两异面直线 a,b 都垂直， M a,P b,则两异面直线 a,b 间的距离 d 就是MP 在向量 n 方向上投影的绝对值6、三垂线定理及其逆定理 ⑴三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 直PO ,O 推理模式： PA A a PAa ,a OA 概括为：垂直于射影就垂直于斜线 . ⑵三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直PO ,O 推理模式： PA A a AOa ,a AP 概括为：垂直于斜线就垂直于射影 .7、三余弦定理设 AC 是平面 内的任一条直线， AD 是 的一条斜线 AB 在 内的射影，且 BD ⊥ AD ，垂足为 D.设 AB 与 (AD) 所成的角为1， AD 与 AC 所成的角为 2， AB 与 AC 所成的角为 ．则 cos cos 1 cos 2. A 21即d n MP n. 即 d8、面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为S S原，它在平面内的射影图形的面积为S S射，平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则S ' S射cos = .S S原9、一个结论长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3, 则有l2l12l22l32cos21cos22cos231 sin21sin22sin232.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例） .。
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求 y＝csions xx－－22的值域． [解] 将已知函数式看成单位圆上的点 A(cos x，sin x)与点 B(2，2)连线的斜率， 如图所示，观察得到 kAB≤y≤kCB. 设过点 B 的圆的切线方程为 y－2＝k(x－2)． 即 kx－y－2k＋2＝0.
于是
|2－2k| ＝1，解得 k2＋1
而由 y＝3sin 2x 的图像向右平移π3 个单位长度得到函数 y＝
3sin 2x－π3 的图像，得不到图像 C，故(3)错误．
三角函数的图像及图像变换 三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性 质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的 变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函 数的有关性质．具体要求如下： (1)用五点法作 y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，确定五个关键点的 方法是分别令 ωx＋φ＝0，π2 ，π，32π，2π.
用图像求出三角函数的周期．
2．研究函数 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性时，应先考虑其定义域，
若其定义域关于原点对称，则当 φ＝kπ(k∈Z)时，函数为奇函
数；当
π φ＝kπ＋ 2 (k∈Z)时，函数为偶函数；当
φ≠k2π(k∈Z)
时，函数为非奇非偶函数．
3．求函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A≠0，ω
C.
以上三个论断中，正确的个数是( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析π 2 ＝－3，
所以直线 x＝111π2 为图像 C 的对称轴，故(1)正确； (2)由－π 12＜x＜51π2 ，得－π2 ＜2x－π3 ＜π2 ，
所以函数 f(x)在－π 12，51π2 内是增加的，故(2)正确； (3)f(x)＝3sin 2x－π6 ，
π 所以 φ＝ 6 ，
所以 f(x)＝2sin2x＋π6 .
(2)y＝2sin2x＋π6 的横2倍坐（标―纵伸―坐长→标到不原变来）
y＝2sin21×2x＋π6
＝2sinx＋π6
平移沿π―x个轴―单向→位右长度
6
y＝2sinx－π6 ＋π6 ＝2sin x，
所以 y＝g(x)＝2sin x.
π (3)因为 0≤x≤12，
第一章 三 角 函 数
章末优化总结
三角函数的值域与最值 求三角函数的值域与最值的三种途径
(1)利用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的值域求解． (2)将所求三角函数式变形为关于sin x(或cos x)的二次函数
的形式，利用换元的思想进行转化，然后再结合二次函数的 性质求解． (3)利用正弦函数、余弦函数的有界性求解，同时，一般函数 求值域的方法(分离常数法、判别式法、图像法等)在三角函 数中也适用．
k＝4±3
7 .
故函数的值域为4－3 7，4＋3 7.
π 已知|x|≤ 4 ，求函数
f(x)＝cos2x＋sin
x
的最小值．
[解] y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1. π
令 t＝sin x，因为|x|≤ 4 ，
所以－
22≤sin
x≤
2 2.
则 y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54－ 22≤t≤ 22，
φ，但由图像求得的 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式一
般不是唯一的，只有限定 φ 的取值范围，才能得出唯一的解， 否则 φ 的值不确定，解析式也就不唯一．
已知函数 y＝f(x)＝Asin(ωx＋
φ)A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 的图像上的一个最低点为 M23π，－2，周期为π.
(1)求 f(x)的解析式； (2)将 y＝f(x)的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变)，然后再将所得的图像沿 x 轴向右平移π6 个单位长 度，得到函数 y＝g(x)的图像，写出函数 y＝g(x)的解析式；
(3)当 x∈0，π 12时，求函数 f(x)的最大值和最小值．
[解] (1)因为 T＝2ωπ＝π，
所以 ω＝2. 又因为 f(x)min＝－2，所以 A＝2.
因为 f(x)的最低点为 M23π，－2， 所以 sin43π＋φ＝－1.
π 因为 0＜φ＜ 2 ， 所以4π 3 ＜4π 3 ＋φ＜116π， 所以4π 3 ＋φ＝32π，
＞0)的单调区间时(若 ω＜0，可先利用诱导公式将 x 前的系数
ω 变成正值)，应把 ωx＋φ 视为一个整体，由 A 的符号来确定
单调性．
函数 f(x)＝3sin2x－π3 的图像为 C.
(1)图像 C 关于直线 x＝111π2 对称；
(2)函数 f(x)在区间－π 12，51π2 内是增加的；
(3)由 y＝3sin 2x 的图像向右平移π3 个单位长度可以得到图像
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：因为 sin(π＋θ)＝－sin θ＜0，所以 sin θ＞0，
又因为 cos(π－θ)＝－cos θ＜0，所以 cos θ＞0，
(2)对于 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 应明确 A，ω，φ与单调性的关系，
针对 x 的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出 错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的 区别．
(3)由已知函数图像求函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解
析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最 小值确定 A，由周期确定 ω，由适合解析式的点的坐标来确定
所以π6 ≤2x＋π6 ≤π3 ，
ππ 所以当 2x＋ 6 ＝ 6 ，
π 即 x＝0 时，f(x)min＝2sin 6 ＝1；
ππ
π
π
当 2x＋ 6 ＝ 3 ，即 x＝12时，f(x)max＝2sin 3 ＝ 3.
1．已知 sin(π＋θ)＜0，cos(π－θ)＜0，则角 θ 所在的象限是 (A )
当 t＝－ 22，即 x＝－π4 时，f(x)有最小值，且最小值为－
－ 22－122＋54＝1－2
2 .
三角函数的性质 1．三角函数的周期在不加说明的情况下，就是指最小正周期 ．求三角函数的周期一般要先通过三角恒等变形将三角函数
化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k，y＝Acos(ωx＋φ)＋k及y＝ Atan(ωx＋φ)＋k的形式，然后用公式求解，另外还可以利