高考数学不等式知识点及相关题型

不等式

一、比较大小

作差法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果。

000a b a b a b a b a b a b ->?>??-=?=??-

【例1】比较61x +和42x x +的大小，其中x R ∈

【例2】设x R ∈，比较

11x

+与1x -的大小 作商法：常用于分数指数幂的代数式。 111a a b

b a a b b

a a

b b ?>?>???=?=???

【例3】设0,0a b >>，且a b ≠，比较a b a b 与b a a b 的大小

二、不等式的性质：

①a b b a >?<； ②,a b b c a c >>?>； ③a b a c b c >?+>+；

④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+；

⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>； ⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >；

⑧)0,1a b n n >>>∈N >．

【例4】若,a b R ∈且a b >，则下列不等式恒成立的是

22.A a b > .

1a B b

> .22a b C > .lg()0D a b -> 【例5】下列命题中正确的是 22.,,.,.,.,,A a b c b ac bd

B ac bc a b

a b C a b c c

D a b c d a c b d

>>>>><<>>->-若则若则若则若则

三、性质的应用，待定系数法

【例6】不等式组124

x y x y +≥??-≤?的解集记为D 。有下面四个命题：

1:(,),22,

2:(,),22,3:(,),23

4:(,),21

p x y D x y p x y D x y p x y D x y p x y D x y ?∈+≥-?∈+≥?∈+≤?∈+≤- 其中的真命题是

.2,3A p p B.1,2p p C.1,4p p D.1,3p p

四、不等式的解法，对题目条件的领悟

【例7】已知函数32()f x x ax bx c =+++且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，则

A.c ≤3

B.3＜c ≤6

C.6＜c ≤9

D.c ＞9

【例8】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，2()4f x x x =-，则不等式()x f x >的解集用区间表示为：

五、不同形式不等式解法

1、一元一次不等式ax>b ，分别对a 、b 的正负情况进行讨论

2、一元二次不等式解法：图像法、因式分解法

（1）化成标准式：20,(0)ax bx c a ++>>；（2）求出对应的一元二次方程的根；

（3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。 解含参数的一元二次不等式时，要把握好分类讨论的顺序

①根据二次项系数的符号进行讨论

②根据一元二次方程的根是否存在，即?的符号进行讨论

③在根存在时，根据根的大小进行讨论

【例8】已知不等式210ax bx -->的解集是11(,)23

-，则不等式20x bx a --≥的解集是

.(2,3)A {}.|x 2,x 3B x ≤≥ 11.(,)32C 11.|,32D x x x ??<>????

3、简单的一元高次不等式的解法：

标根法步骤

（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；

（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；

并注意奇穿过偶弹回；

（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

4、解分式不等式

不能轻意去分母

通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；

[特别关注] 求一个变量的范围时，讨论的也是这个变量，结果要并；讨论的若是另一个变量，结果不能并。

【例9】关于x 的不等式ax-b >0的解集是(1,+∞)，则关于x 的不等式02

ax b x +>-的解集是（ ）

A ．(-∞,-1)∪(2,+∞)

B ．(-1,2)

C ．(1,2)

D ．(-∞,1)∪(2,+∞)

【例10】解关于x 的不等式：12

)1(>--x x a 5、解绝对值不等式：关键是“去绝对值”，

①利用绝对值不等式的性质：若M>0则

|f(x)|>M ?f(x)>M 或f(x)<-M ；

②平方（不等式两边同正）；

③讨论（绝对值内的式子为0）。

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。 方法四：两边平方。

【例11】设p ：x 2－x －20>0,q ：2

12

--x x <0,则p 是q 的 ( ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

6、分段函数形成的不等式一般分段解，再取并集；对较为复杂的分段函数问题可以借助于图象解决。

【例12】解不等式|1||1|32

x x +--≥ 【例13】已知：函数,0(),0

a x x f x a x -≤?=?>?（0>a ）．解不等式：()12f x x <-． 7、抽象函数的不等式

离不开函数的单调性。抽象函数的不等式反映出的函数值的大小，需借助于函数的单调性化归为自变量的大小，特别注意定义域。画抽象函数的“概念图”是化抽象为形象的有效途径；对某些有具体函数背景的抽象函数，可以从该具体函数中寻找解题线索。

【例12】已知奇函数f(x)在(,0)-∞为减函数，f(2)=0则不等式(x-1)f(x-1)<0的解集为：

【例13】已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当

x>0时，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式 f （a 2－2a －2）<3的解.

8、含参变量

无理不等式、含参变量的绝对值不等式、含参变量的指（对数）数不等式问题时常用数形结合。

【例14x a <+在[-1，1]上恒成立，则a 的取值范围是

【例152(0)x a a +>的解集是（ ） A

{}a x x <<0 B {}a x x ≤<0 C ??????-<>a x x x 540或 D φ 9、含参不等式恒成立

通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）

具体地：g(a)>f(x)在x ∈A 上恒成立? g(a)>f(x)max ，g(a)

当参变量难以分离时，也可以用：f(a,x)>0在x ∈A 上恒成立?f(a,x)min >0, (x ∈A)及f(a,x)<0在x ∈A 上恒成立?f(a,x)max >0, (x ∈A)来转化；

还可以借助于函数图象解决问题。

特别关注：“不等式f(a,x)≥0对所有x ∈M 恒成立”与 “不等式f(a,x)≥0对所有a ∈M 恒成立”是两个不同的问题，前者是关于x 的不等式，而后者则应视为是关于a 的不等式。

特别提醒：“判别式”只能用于“二次函数对一切实数恒成立”的问题，其它场合，概不适用。

【例16】定义在R 上的函数f(x)为奇函数，且在[0,)+∞为增函数，对任意θ∈R ，不等式f(cos2θ-3)+f(2m-sin θ)>0恒成立，则实数m 的取值范围是

【例17】设奇函数()f x 在[-1，1]上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-及所有的[1,1]a ∈-都成立，则t 的取值范围是 ； 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）

1).恒成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >

若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

2). 能成立问题

若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；

若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的

()min f x B

<.如 已知不等式

a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围

____ （答：1a >）

3). 恰成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .

【例18】已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ?-+≤=?+>?，若()f x ax ≥，则a 的取值范围是 .(,0]A -∞ .(,1]B -∞ .[2,1]C - .[2,0]D -

六、重要不等式

1.（1）若,a b R ∈，则22

2a b ab +≥ (2)若,a b R ∈，则22

2a b ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）

2. (1)若*,a b R ∈，则

2

a b +≥ (2)若*,a b R ∈，则a b +≥b a =时取“=”） (3)若*,a b R ∈，则22a b ab +??≤ ???

(当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +

≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x +

≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +

≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则

2a b b a +≥ (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则222()22

a b a b ++≤（当且仅当b a =时取“=”）