常见递推数列通项公式求法(教案)

问题 1:已知数列{a } ， a 1 = 1 ， a n +1 = n + 2 ，求{a n }的通项公式。

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常见递推数列通项公式的求法
一、课题：常见递推数列通项公式的求法 二、教学目标
(1)会根据递推公式求出数列中的项，并能运用叠加法、叠乘法、待定系数
法求数列的通项公式。

(2) 根据等差数列通项公式的推导总结出叠加法的基本题型，引导学生分
组合作并讨论完成叠乘法及待定系数法的基本题型。

(3)通过互助合作、自主探究培养学生细心观察、认真分析、善于总结的良
好思维习惯，以及积极交流的主体意识。

三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。

四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。

五、教学课时： 1 课时
六、教学手段：黑板，粉笔
七、教学方法： 激励——讨论——发现——归纳——总结 八、教学过程
（一）复习回顾：
1、通项公式的定义及其重要作用
2、区别递推公式与通项公式，从而引入课题
（二）新知探究：
a n
变式： 已知数列 {a n } ， a 1 = 1 ， a n +1 = a
n + 2n ，求{a n }的通项公式。

活动 1：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用叠加法去求解。

教师引导学 生细致讲解整个解题过程。

解：由条件知： a
n +1
- a = 2n
n
分别令 n = 1,2,3,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅,(n - 1) ，代入上式得 (n - 1) 个 等式叠加之，
即 (a 2 - a 1 ) + (a 3 - a 2 ) + (a 4 - a 3 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n - a n -1 )
= 2 + 2 ⨯ 2 + 2 ⨯ 3 + 2 ⨯ (n - 2) + 2 ⨯ (n - 1)
所以 a - a = (n -
1)[2 + 2 ⨯ (n - 1)]
n
1
a = 1,∴ a = n 2 - n + 1
1 n
+ 1 = 2(a + 1) ，
如 :a - a = 常数 ; n +1 = 常数
a
a
总结：类型 1： a
n +1
- a = f (n ) ，可用叠加相消法求解。

n
问题 2： 已知数列{a n }满足 a 1 = 1, a n +1 = 2a n , (n ∈ N * ) ，求{a n }的通项公式。

变式：若条件变为 a n +1 = 2 n a n , ( n ∈ N * ) ，求{a n }的通项公式。

活动 2：类比类型 1 推导过程，让学生分组讨论研究相关解题方案。

总结：类型 2： a n +1 = a n ⋅ f (n ) ，可用叠乘相消法求解。

问题 3： 已知数列{a n }满足 a 1 = 1, a n +1 = 2a n + 1, (n ∈ N * ) ，求{a n }的通项公式。

解：发现：
a
n +1
+ 1 = 2a + 1 + 1, 即 a
n
n +1
n
令 b n = a n + 1，则 b n +1 = a n +1 + 1 ， 即
b n +1 = 2 ，故{b n }是以 b 1=2 为首项,2
b
n
为公比的等比数列， ∴b = 2n 即a = 2n -1 。

n
n
总结：类型 3：形如 a
n +1
= pa + q ( p ≠ 1, pq ≠ 0) 递推式均可通过待定系数构造法：
n
设 a
n +1
+ k = p (a + k ) 与原式比较系数可得 pk - k = q ，即 k=
n q p - 1
，从而得等比
数列 { + k }。

n
九、课堂小结： （1）定义法：
a
n +1 n n
（2）叠加（乘）相消法：
如 :a
n +1
- a = f ( n ); a
n
n +1
= f ( n ) ⋅ a
n
（3）构造法：
形如 : a
n +1
= pa + q (通常用待定系数法构造 ) ( p ≠ 0, p ≠ 1, q ≠ 0）
n
{a }满足 a = 2
， a a ，求 a n
3 n + 1 n
= a
十、课堂练习：
1．已知数列{a
n
} ，
a
1
=1， a
n +1
- a =
n
1
2n
，求 a n 。

2.已知数列
n 1 n +1
n 。

3. 已知数列 { n }， a 1 = 3, a n +1 = 4a n - 6, (n ∈ N * )
，求 a n。

十一、作业布置：请同学将本节课的求通项公式的方法总结一下写成数学小论文
的形式。

十二、板书设计：略。