平行四边形中的翻折问题--课件
平行四边形中的翻折问题 课件
轴 对 称 F E
D
轴对称性质： 1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等. 2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
合作探究
例1:在平行四边形ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与 BD相交于O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得 到△AB′C． （1）判断△AEC的形状并证明.
例1:在平行四边形ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与 BD相交于O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到 △AB′C． （2）若平行四边形的面积S=10，求△AEC的面积 = .
例2：把一个矩形如图折叠，使顶点B和D重合， 折痕为EF （1）图中有那些相等的线段
例2：把一个矩形如图折叠，使顶点B和D重合， 折痕为EF （2）若矩形的长为9,宽为3，你能求出哪些线 段的长.
课堂小结
全等性
轴对称 本 质
对称性
折
折叠问题 精 髓
重结果
叠
利用Rt△方程思想利用股定理思考题 ：在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm, AB＝20cm．现将这张纸片按如下列图示方式折叠， 分别求折痕的长． (1) 如图1, 折痕为AE; (2) 如图2, 折痕为EF．
（图2）
四边形中的折叠问题+应用题
四边形中的折叠问题+应用题四边形中的折叠问题折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。
解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。
一、例题讲解基准1例如图，将一张对边平行的纸条先沿ef卷曲，点a、b分别落到a'、b'处，线段fb?与ad处设点m，再将纸条的另一部分cfmd沿mn卷曲，点c、d分别落到c'、d'处，且使md?经过点f．（1）澄清：四边形mnfe就是平行四边形；（2）当甩折角∠bfe?度时，四边形mnfe是菱形．（将答案直接填写在横线上）（1）澄清：△fac就是等腰三角形；（2）若ab=4，bc=6，求△fac的周长和面积.bcacnc'fd'ba'b'dmea基准2例如图，把矩形纸片abcd沿对角线ac卷曲，点b落到点e处为，ec与ad平行于点f.efd例3如图，将矩形abcd沿直线ae折叠，顶点d恰好落在bc边上f点处，已知ce?6cm，ab?16cm，求bf的长．adec落在ad上的点c?处，例4在梯形纸片abcd中，ad∥bc，ad?cd，将纸片沿过点d的直线折叠，使点折痕de交bc于点e，连结c?e．bcf（1）澄清：四边形cdc?e就是菱形；（2）若bc?cd?ad，试判断四边形abed的形状，并加以证明16．例如图，矩形纸片abcd中，ab＝3cm，bc＝4cm．现将a，c重合，并使纸片折叠压平，设折痕为ef，试求af的长和重叠部分△aef的面积．18．例如图，e就是矩形abcd的边ad上一点，且be＝ed，p就是对角线bd上任一一点，pf⊥be，pg⊥ad，像距分别为f、g．求证：pf＋pg＝ab．分式方程和不等式应用题：1．（2021?德阳）某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表：第一批第二批供货数量（件）所用资金（元）x2x1600034000（1）该商场两次共供货这种电子产品多少件？（2）如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均值每天销售10件．售罄后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均值每天太少销售2件，商场为了并使这两批电子产品全部售罄后总利润不高于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应属多少元？2．（2021?河池）大众服装店今年4月用4000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完，服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元，结果第二批衬衣进货用了5000元．（1）第一批衬衣发货时的价格就是多少？（2）第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元？3．（2021?防城港）上个月某超市供货了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批供货水果的重量就是第一批的2.5倍，且市场价比第一批每千克多1元．（1）谋两批水果共供货了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？二元一次方程组和不等式的应用领域:1．茶叶作为一种饮料不仅清香可口，而且具有独特的药用价值，特别是绿茶中含有较多的叶酸，对人的健康很有帮助，某批发茶商第1次用39万元购进a、b两种品牌绿茶，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润=单件利润×销售量）价格商品a12001350b10001200市场价（元/件）售价（元/件）（1）该茶商第1次供货a、b两种绿茶各多少件？（2）该茶商第2次以原价购进a、b两种绿茶，购进b种绿茶的件数不变，而购进a种绿茶的件数是第1次的2倍，a种绿茶按原价销售，而b种绿茶打折销售，若两种绿茶销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润不少于75000元，则b种绿茶最低售价为每件多少元？2．（2021?通辽）某商场用36000元供货甲、乙两种商品，销售回去后共买进6000元．其中甲种商品每件市场价120元，售价138元；乙种商品每件市场价100元，售价120元．（1）该商场供货甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？3．为了防控甲型h7n9禽流感，某校积极主动展开校园环境消毒，出售了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？二次函数周长最轻问题：例如图，△abc的三个顶点座标分别为a（-2，0）、b（6，0）、c（0，?23），2抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过a、b、c三点。
平行四边形的判定(2)(课件)-八年级数学下册(人教版)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC.
∵ AB∥CD
∴ ∠1=∠2
又∵ AB=CD，AC=CA
∴ △ABC≌△CDA (SAS)
∴ BC=DA
∴ 四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
15-2t
(3)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形?
解:(3)∵AD//BC
∴当DP=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形.
∴12-t=2t
解得t=4
∴t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形.
平行四边形判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
t
12-t
AP=_________cm；DP=_________cm；
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
2t
15-2t
(1)用含t的代数式表示:
12-t
t
AP=_________cm；DP=_________cm；
2t
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
4.如图，在□ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，有下列条件:
①AE//CF;②BE=FD;③∠1=∠2;④AE=CF.若要添加其中一个条件，使四边
形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是( B )
A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①③④
5.已知四边形ABCD，有以下四个条件:①AB//CD;②AB=CD;③BC// AD;④
解决特殊平行四边形中折叠问题的4种方法
解决特别平行四边形中折叠问题的4种方法►方法一用方程思想解决特别平行四边形中的折叠问题1、如图1－ZT－１,将矩形AＢCD沿EＦ折叠,使顶点C恰好落在ＡB边的中点Ｃ′上、若ＡＢ=6,BC＝９,则ＢＦ的长为()图1－ZT-1Ａ、4 B、3 2C、4、５D、５2、把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图1－ZT-2所示的方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为ＥF、若AＢ＝3 cm,BＣ＝５cm,则重叠部分△ＤEＦ的面积是______＿＿cm2、:学*科＊网Ｚ＊X＊X*K]图1－ZＴ—２３。
如图１－ZT—3,将长方形纸片ABＣD折叠,使边DC落在对角线AC上,折痕为CE,且点D落在对角线D′处、若AB＝3,ＡＤ＝4,则ED的长为()图1—ＺT-３A、＼f(3,2)B、3C。
１D。
＼f(４,3)［来源:1]4。
如图1-ZT-４,折叠矩形ABCD的一边AＤ,使点D落在BC边上的点F处,已知折痕AE=5 5 ｃm,且EC∶ＦC=BF∶AB=3∶４、那么矩形ABCD的周长为______＿＿cｍ、图１—ZＴ-4５、如图1-ZT—５,在矩形ＡBCD中,点E在边ＣD上,将该矩形沿ＡE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作ＦG∥CD,交AE于点G,连接DG、(1)求证:四边形DEFＧ为菱形;(２)若ＣD=8,CF＝4,求CEDＥ的值。
图1-ZT-５►方法二用数形结合思想解决特别平行四边形中的折叠问题6。
如图1—ＺT—6,在矩形ABCＤ中,AB＝4,BＣ=6,Ｅ为BC的中点,将△ABＥ沿AＥ折叠,使点Ｂ落在矩形内点F处,连接CF,则ＣＦ的长为()图1－ZT-6A、95B。
＼f(1２,5)C、＼f(1６,５)D、＼f(18,5)7。
如图１—ZT－7,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AＥ折叠(点E在边ＤC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处、若点Ｄ的坐标为(10,８),则点E的坐标为＿＿______、图1-ZT－78、如图１－ZT－8,在矩形ABＣD中,AＢ=6 cｍ,E,F分别是边BC,AＤ上一点,将矩形AＢCD沿ＥF折叠,使点C,Ｄ分别落在点C′,D′处、若Ｃ′E⊥ＡD,则ＥＦ的长为＿＿______ｃm。
平行四边形中的翻折问题--课件复习课程
合作探究
例1:在平行四边形ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与 BD相交于O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得 到△AB′C．
（1）判断△AEC的形状并证明.
例1:在平行四边形ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与 BD相交于O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到 △AB′C． （2）若平行四边形的面积S=10，求△AEC的面积 =.
（图2）
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例2：把一个矩形如图折叠，使顶点B和D重合， 折痕为EF
（1）图中有那些相等的线段
例2：把一个矩形如图折叠，使顶点B和D重合， 折痕为EF （2）若矩形的长为9,宽为3，你能求出哪些线 段的长.
课堂小结
全等性
轴对称
本
质
重过程
ห้องสมุดไป่ตู้
折
折叠问题
对称性
重结果 叠
利用Rt△
精 髓 方程思想
利用勾股定理
思考题 ：在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm, AB＝20cm．现将这张纸片按如下列图示方式折叠， 分别求折痕的长． (1) 如图1, 折痕为AE; (2) 如图2, 折痕为EF．
九年级数学 第一章 特殊平行四边形专题课堂(二)特殊平行四边形中的折叠问题
证明：由折叠可知△MOP≌△MNP，∴OM＝MN，∠OMP＝∠NMP ＝21 ∠OMN＝30°＝∠B，∠MOP＝∠MNP＝90°，∴∠BOP＝∠MOP ＝90°.∵OP＝OP，∴△MOP≌△BOP(AAS).∴MO＝BO＝21 BM.∴MN ＝21 BM
FG＝AF＝ 2 ，∴DG＝FG＝ 2 ，DF＝ DG2＋FG2 ＝2，∴AD＝AF＋DF ＝ 2 ＋2.由折叠可知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC，∴∠AEF＋∠BEC ＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠BEC＝∠AFE，在△AEF 与△BCE
∠AFE＝∠BEC， 中，∠A＝∠B＝90°， ∴△AEF≌△BCE(AAS)，∴BE＝AF＝ 2 ，∴AB
则 AC 的长是( B )
A．3 3 B．6 C．4 D．5
第7题图
8．如图，将边长为 6 cm 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 边中点 E 处，点 C 落在点 Q 处，折痕为 FH，则线段 AF 的长是___94____cm.
第8题图
9．如图，正方形纸片ABCD的边长AB＝12，E是DC上一点，CE＝5，折叠 正方形纸片使点B和点E重合，折痕为FG，则FG的长为____1_3_．
折痕BE，BF，则∠EBF的大小为( C)
A．15° B．30° C．45° D．60°
第2题图
3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，
点A恰好落在BD上的点F处，连接CF，那么∠BFC的度数是( ) C
A．60° B．70° C．75° D．80°
第3题图
6．如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中
点 C′上．若 AB＝6，BC＝9，则 BF 的长为( A )
平行四边形中的折叠问题课件.
平行四边形中的折叠问题课件.一、教学内容本节课我们将探讨《几何》教材第四章第三节“平行四边形中的折叠问题”。
内容详细涉及平行四边形的性质，尤其是通过折叠操作来探讨平行四边形对角线的性质、对边关系以及角的关系。
二、教学目标1. 理解并掌握平行四边形的基本性质，尤其是通过折叠操作呈现的性质。
2. 学会运用折叠方法解决平行四边形中的相关问题，提高空间想象力和逻辑思维能力。
3. 能够将平行四边形的折叠问题与其他几何知识相结合，形成综合解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：通过折叠操作推导出平行四边形对角线的性质以及与角度的关系。
教学重点：平行四边形的基本性质及其在折叠问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、平行四边形模型、剪刀、尺子、量角器。
学具：每组一份平行四边形纸张模型、剪刀、尺子、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示生活中常见的平行四边形折叠实例，如包装盒、纸飞机等，引导学生观察并思考折叠后的性质变化。
2. 知识讲解（15分钟）通过课件和模型，讲解平行四边形的基本性质，以及折叠操作对平行四边形的影响。
3. 例题讲解（10分钟）选取一道典型例题，讲解如何运用折叠方法解决平行四边形中的问题。
4. 随堂练习（10分钟）学生独立完成两道练习题，巩固折叠问题的解法。
5. 小组讨论（10分钟）学生分组讨论解题过程中遇到的问题，分享解题心得。
六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠操作对平行四边形的影响3. 例题及解题步骤4. 练习题及答案七、作业设计1. 作业题目：（1）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相等，求证：四边形ABCD是矩形。
（2）将一个平行四边形沿对角线折叠，得到一个三角形，求证：这个三角形的面积等于原平行四边形面积的一半。
2. 答案：（1）根据平行四边形性质，对角线相等，故四边形ABCD是矩形。
（2）设平行四边形ABCD的面积为S，折叠后得到的三角形面积为S'，则S' = 1/2 S。
平行四边形中的折叠问题课件.
平行四边形中的折叠问题课件.一、教学内容本节课我们将探讨人教版八年级数学上册第四章《平行四边形》中的折叠问题。
具体内容包括：平行四边形的性质，折叠后图形的特点，以及如何通过折叠解决问题。
重点章节为4.3节“平行四边形的判定”。
二、教学目标1. 让学生掌握平行四边形的基本性质，并能运用这些性质解决折叠问题。
2. 培养学生空间想象力和逻辑思维能力，提高解决实际问题的能力。
3. 通过折叠实践活动，让学生体会数学与生活的联系，激发学习兴趣。
三、教学难点与重点难点：平行四边形折叠后图形的形状变化，以及如何利用性质解决问题。
重点：平行四边形的性质及判定方法，折叠问题的解决方法。
四、教具与学具准备教具：平行四边形模型、折叠示例图、多媒体课件。
学具：剪刀、彩纸、直尺、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）让学生动手折叠一张平行四边形纸片，观察折叠后的形状变化，引导学生发现数学问题。
2. 例题讲解（15分钟）讲解折叠问题中涉及到的平行四边形性质，并通过例题演示解题方法。
例题：一个平行四边形沿着一条对角线折叠，求折叠后图形的周长。
3. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
练习题：一个平行四边形沿着一条高折叠，求折叠后图形的面积。
4. 小组讨论（5分钟）分组讨论折叠问题的解题方法，促进学生交流与合作。
6. 知识拓展（5分钟）介绍平行四边形折叠在生活中的应用，激发学生兴趣。
六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠问题的解决方法3. 例题及解答步骤七、作业设计1. 作业题目：（1）一个平行四边形沿着一条对角线折叠，求折叠后图形的周长和面积。
（2）一个平行四边形沿着一条高折叠，求折叠后图形的周长和面积。
2. 答案：（1）周长：原平行四边形的周长；面积：原平行四边形面积的一半。
（2）周长：原平行四边形的周长；面积：原平行四边形面积的一半。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过折叠实践活动，让学生掌握了平行四边形性质在折叠问题中的应用。
2024年平行四边形中的折叠问题课件
2024年平行四边形中的折叠问题课件.一、教学内容本节课我们将探讨教材第十二章“几何变换”中的折叠问题，特别是平行四边形的折叠。
详细内容包括：理解平行四边形的基本性质，掌握折叠过程中的对称性和不变量，运用这些性质解决折叠问题。
二、教学目标1. 理解平行四边形的性质，并能运用性质解决折叠问题。
2. 通过折叠活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：理解折叠过程中平行四边形的对称性和不变量。
教学重点：平行四边形性质的应用，折叠问题的解决方法。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，平行四边形的模型。
2. 学具：剪刀，彩纸，尺子，圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示生活中的折叠实例，如纸飞机、纸盒等，让学生感受折叠在生活中的应用。
2. 知识讲解：（1）回顾平行四边形的性质。
（2）介绍折叠过程中平行四边形的对称性和不变量。
3. 例题讲解：（1）给出一个平行四边形折叠问题，引导学生分析问题，找出关键信息。
（2）示范解题过程，强调平行四边形性质的应用。
4. 随堂练习：让学生独立解决一个类似的折叠问题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：学生分组讨论解决折叠问题的方法，分享解题心得。
六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠过程中的对称性和不变量3. 折叠问题的解题步骤七、作业设计答案：折叠后的形状为一个三角形。
2. 作业题目：已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，沿对角线AC折叠，求折叠后的形状。
答案：折叠后的形状为一个三角形。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践情景引入，让学生感受到了折叠的趣味性。
在讲解过程中，注重引导学生运用平行四边形的性质解决问题。
2. 拓展延伸：鼓励学生探究其他多边形的折叠问题，培养学生的探究意识和创新精神。
重点和难点解析1. 实践情景引入的选择与设计。
2. 知识讲解中对平行四边形性质的回顾与强调。
折叠(翻折)在证明(解题)中的应用
第一讲；折叠（翻折）在证明（解题）中的应用一，知识点回顾；折叠具有什么样的性质？二，例题讲解；将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF。
（1）求证：△ABE≌△A F。
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。
证明：（1）由折叠可知：∠D＝∠D′，CD＝AD′，∠C＝∠D′AE∵四边形ABCD是平行四边形∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠C＝∠BAD∴∠B＝∠D′，AB＝AD′∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3∴∠1＝∠3∴△ABE≌△A D′F．（2）四边形AECF是菱形由折叠可知：AE＝EC，∠4＝∠5∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE∵AE＝EC，∴AF＝EC又∵AF∥EC∴四边形AECF是平行四边形∵AF＝AE∴四边形AECF是菱形．三．巩固练习；1，如图：把一个矩形如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．（1）找出图中的全等三角形．（2）△DEF是什么三角形，并证明．（3）连接BE，判断四边形BEDF是什么特殊四边形，BD与EF有什么关系？并证明．2，如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，（1）求证：AE=AF；（2）求证：△ABE≌△AGF．3，已知，一张矩形纸片ABCD，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．（1）猜猜四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的猜想；（2）若AB=9cm，BC=3cm，求折痕EF的长．4．将矩形纸片ABCD按如图所示折叠，EF为折痕，点B与点P（点P在DC边上）重合．（1）当BC与CP重合（如图甲）时，四边形BFPE是形；（2）当BC与CP不重合时，分别指出图乙、丙中的四边形BFPE是什么特殊四边形，并选择两图之一给出证明．5，如图，将一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．（1）连接EB，求证：四边形EBFD是菱形；（2）若AB=3，BC=9，求重叠部分三角形DEF的面积．6．如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．（1）求证：△ABE≌△AGF；（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，23ECBC，求AC•EF的值．7，如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．四，中考链接；8，（2014•临沂）对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．（1）证明：∠ABE=30°；（2）证明：四边形BFB′E为菱形．9，（2010•荆门）将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．10，（2012•深圳）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式11，（2014•鼓楼区一模）将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：①翻折纸片，使A与DC边的中点M重合，折痕为EF；②翻折纸片，使C落在ME上，点C的对应点为H，折痕为MG；③翻折纸片，使B落在ME上，点B的对应点恰与H重合，折痕为GE．根据上述过程，求长方形纸片的长宽之比AB BC？12，（2014•山西）课程学习：正方形折纸中的数学．动手操作：如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD 对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′．数学思考：（1）求∠CB′F的度数；（2）如图2，在图1的基础上，连接AB′，试判断∠B′AE与∠GCB′的大小关系，并说明理由；解决问题：（3）如图3，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O；第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D′；第三步：设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，试判断四边形B′PD′Q的形状，并证明你的结论．13，（2013-2014第一学期鼓楼区八年级数学期中检测试卷第16题）即（2013•绍兴数学中考试题）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为14，（2013-2014第一学期鼓楼区八年级数学期中检测试卷第24题）即（2014•南通通州区一模）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC 的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．。
最新人教版数学八年级下册第十八章《平行四边形-数学活：平行四边形中的翻折变换》优质教学课件
∴∠ABC=90°.
∴∠3=90°-60°=30°，
∴∠1=∠2=∠3=30°
在图中，你能找出所有30°的角吗？60°的角呢？还有其他度数的角吗？
G
还有120 ° 和150 °的角
利用折纸得到60°、30°、15°的角
【综合与实践】在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动--折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
八年级 下册
第18章 平行四边形
——数学活动：平行四边形中的翻折变换
学习目标： 1．能折出60°，30°，15°的角，学会应用。 2．通过折叠活动，加深对轴对称、全等三角形、特 殊的三角形、四边形等知识的认识； 3．经历折叠、观察、推理、交流、反思等数学活动 过程，积累数学活动经验．学习重点： 折纸做60°，30°，15°的角，学会应用．
D
6.矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AD=10，CD=6，则BE=____。
19.3.2平行四边形中的折叠问题优质教案
19.3.2 平行四边形中折叠问题优质教案一、教学内容本节课，我们将深入探讨教材第19章第3节第2部分，关于平行四边形中折叠问题。
具体内容包括：理解平行四边形性质，掌握折叠过程中各边和角关系，以及运用这些性质解决实际问题。
二、教学目标1. 理解并掌握平行四边形性质。
2. 学会运用折叠方法，解决平行四边形相关问题。
3. 培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点教学难点：理解平行四边形折叠过程中各边和角关系。
教学重点：掌握平行四边形性质，并运用其解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：平行四边形模型、剪刀、尺子、圆规。
2. 学具：每人一份平行四边形纸张、剪刀、尺子、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入向学生展示一个平行四边形模型，提问：“如何通过折叠，将这个平行四边形变成一个矩形？”邀请学生上台演示，并分享他们思考过程。
2. 例题讲解讲解平行四边形性质，如对边平行且相等，对角相等。
以一个具体折叠问题为例，引导学生运用性质，解决问题。
3. 随堂练习让学生分组讨论，解决教材中折叠问题。
指导学生运用所学知识，分析问题，得出结论。
4. 课堂小结强调在解决折叠问题时，要注意边和角关系。
六、板书设计1. 平行四边形性质对边平行且相等对角相等2. 折叠问题解决方法确定折叠前后关系运用性质，推导出答案七、作业设计1. 作业题目1）一个平行四边形，将其沿对角线折叠，求折叠后得到图形面积。
2）已知一个平行四边形，求将其折叠成一个矩形所需最小折叠次数。
2. 答案作业1：折叠后得到图形为两个全等三角形，根据全等三角形性质，可求出面积。
作业2：最少折叠两次，先将平行四边形沿一条对角线折叠，再沿另一条对角线折叠。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过折叠问题，让学生深入理解平行四边形性质，提高学生空间想象能力和逻辑思维能力。
2. 拓展延伸：引导学生思考，如何将平行四边形折叠成一个正方形？鼓励学生进行课外探究，提高他们自主学习能力。
四边形中的折叠问题+应用题
FE DABC四边形中的折叠问题折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。
解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。
一、例题讲解例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ． （1）求证：四边形MNFE 是平行四边形； （2）当翻折角BFE =∠ 度时，四边形MNFE 是菱形．（将答案直接 填写在横线上）例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.（1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长．例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '．（1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状， 并加以证明16．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．18．如图，E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，且BE ＝ED ，P 是对角线BD 上任意一点，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，垂足NEFMD'A'B'C'ABCDF E DC B A分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．分式方程和不等式应用题：1．（2011•德阳）某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表：购进数量（件）所用资金（元）第一批x 16000第二批2x 34000（1）该商场两次共购进这种电子产品多少件？（2）如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应为多少元？1200135010001200B A 售价（元/件）进价（元/件）价格商品2．（2011•河池）大众服装店今年4月用4000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完，服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元，结果第二批衬衣进货用了5000元．（1）第一批衬衣进货时的价格是多少？（2）第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元？3．（2011•防城港）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元． （1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？二元一次方程组和不等式的应用:1．茶叶作为一种饮料不仅清香可口，而且具有独特的药用价值，特别是绿茶中含有较多的 叶酸，对人的健康很有帮助，某批发茶商第1次用39万元购进A 、B 两种品牌绿茶，销售完 后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润=单件利润×销售量）（1）该茶商第1次购进A 、B 两种绿茶各多少件？（2）该茶商第2次以原价购进A 、B 两种绿茶，购进B 种绿茶的件数不变，而购进A 种绿 茶的件数是第1次的2倍，A 种绿茶按原价销售，而B 种绿茶打折销售，若两种绿茶销售完毕， 要使得第2次经营活动获得利润不少于75000元，则B 种绿茶最低售价为每件多少元？2．（2012•包头）某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元． （1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？3． 为了防控甲型H7N9禽流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？二次函数周长最小问题：如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，0）、B （6，0）、C （0，32 ），抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过A 、B 、C 三点。
中考数学《特殊平行四边形》专题复习课件(共32张PPT)
你的结论。
7.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的 矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y 轴上，OA=10，OC=6。
（1）如图①，在OA上选取一点G，将△COG 沿CG翻折，使点O落在BC边上，设为E， 求折痕CG所在直线的解析式。
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我们，还在路上……
⑵当x为何值时，⊿PBC的周长最 小，并求出此时y的值
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 ❖4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
一、四边形的分类及转化
两组对边平行 平行四边形
任意四边形
一组对边平行
梯形
另一组对边不平行
矩形
菱 形
正方形
等腰梯形
直角梯形
二、几种特殊四边形的性质：
项目 四边形
对边
角
对角线
对称性
对角相等
平行且相等
平行四边形
邻角互补
四个角
矩形 平行且相等 都是直角
平行
对角相等
特殊平行四边形的折叠问题
特殊平行四边形的折叠问题一，基础热身例1，如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8 cm，则图中阴影部分面积为 __________cm2．例2,如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF= _________例3,如图(上题)，将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处,已知DE=5，AB=8，则BF=_______ 例4，如图(上题），将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=6，AB=16，则BF= ________例5，如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在ABC边上F点处，已知CE=4cm，AB=9cm,则矩形ABCD的面积为_________m2．例6，如图(上题),将矩形ABCD沿直线AE折叠，使点D+落在BC边上的点F处，若已知∠BAF=60°，则∠DAE度数是（）A, 15° B,30° C， 45° D,60°二，菱形中的折叠问题例7,如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连结A′C,则A′C长度的最小值________，例8，如图，在菱形纸片ABCD 中,∠A=60°将纸片折叠,点A,D 分别落在A ′，D ′处，且 A ′D ′经过点B ，EF 为折痕．当D ′F⊥CD时,=___________三，矩形中的折叠问题例9,如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=8cm ，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF =则AD 的长为_______。
例10,如图,已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的终点，点G 是BC 上的一点，∠BEG ＞60°．现沿直线EG 将折叠,使B 落在纸片上的H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为_______。
平行四边形中的折叠问题含答案
平行四边形中的折叠问题一、新课导入（一）学习目标熟练掌握平行四边形的性质与判定，并能运用相关性质、判定解决平行四边形中的折叠问题．（二）预习导入1．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，若∠A=55°，∠ABD=45°，则∠A′BC的大小为（）．A．30°B．35°C．40°D．45°2．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC'F的周长之和是________．二、典型问题知识点一：在折叠中求角度和边长例1如图，矩形ABCD中，点M，N分别在AD、BC边上．将矩形ABCD沿MN翻折，点C恰好落在AD边上的点F处．若MD=1，∠MNC=60°，则∠EFM的度数为_______，AB的长为________．分析：由折叠变换可得EF=CD，MD=EM=1，∠MNC=∠FNM=60°，∠C=∠EFN=90°，由平行线的性质可得∠FMN=∠MNC=60°，即可求得∠EFM的度数，由直角三角形的性质可求得EF的长，即为AB的长．知识点二：在折叠中判定平行四边形例2如图，已知矩形ABCD，将纸片折叠，使顶点A与C重合，折痕EF分别于DC，AB 交于E，F．求证：E，A，F，C四点构成的四边形为菱形．分析：连接AE，AC，AC交EF于O，由折叠的性质得，AO=CO，EF⊥AC，根据全等三角形的性质得到AF=CE，则即可得解．三、阶梯训练A组：基础练习1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为_________．2．把矩形ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=4cm，BC=8cm，则DF的长度是________cm．3．如图，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________．4．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D=80°，则∠ECF的度数是__________．5．在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G 处，连接AG并延长，交CD于F．求证：四边形AECF是平行四边形．6．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M 点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，BE=2，求菱形BFDE的面积．B组：拓展练习7．如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ的度数为_________．8．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点P是AB边的中点，折叠纸片，使点C落在直线DP上的C处，折痕为经过点D的线段DE．则∠DEC的度数为_________．9．如图，正方形ABCD的边长AB=12，翻折AD到GN分别交CD于点M，交BC于点N，BN=5，连接AN．（1）求△AEN的面积；（2）试判断EF与AN的关系，并说明理由．平行四边形中的折叠问题答案预习导入1．B．2．6．例130°，3．例2连接AE，AC交EF于O．由折叠的性质得，AO=CO，EF⊥AC，∴AE=CE，AF=CF．∵AB∥CD，∴∠ECO=∠OAF．在△AOF与△COE中，∠ 쫠⩊＝∠ ，쫠 ＝ ，∠쫠 ⩊＝∠ ，∴△AOF≌△COE．∴AF=CE．∴AE=AF=CE=CF．∴E，A，F，C四点构成的四边形为菱形．1．105°．2．5．3．7．4．40°．5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE．∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，∴BE=GE，∠CEB=∠CEG．∴AE=GE．∴∠FAE=∠AGE．∵∠BEG=∠FAE+∠AGE，∴∠FAE=12∠BEG．又∵∠CEB=∠CEG=12∠BEG，∴∠FAE=∠CEB．∴AF∥EC．∴四边形AECF是平行四边形．6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD．∴∠ABD=∠CDB．由翻折变换的性质可知，∠ABE=∠EBD，∠CDF=∠FDB，∴∠EBD=∠FDB．∴EB∥DF．∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．（2）∵四边形BFDE为菱形，∴∠EBD=∠FBD．∵∠EBD=∠ABE，∴∠EBD=∠FBD=∠ABE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°．∴∠EBD=∠FBD=∠ABE=30°．∴AB=3．∴菱形BFDE的面积S=DE×AB=23．7．30°．8．75°．9．（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°．由折叠的性质，得NE=AE．设NE=AE=x，则BE=AB-AE=12-x．在Rt△ABN中，由勾股定理，得52+（12-x）2=x2，解得x=16924．∴AE=16924．∴△AEN的面积=12AE×BN=84548．（2）EF⊥AN，EF=AN，理由如下：作FH⊥AB于H，如图所示．则FH=AD=AB，∠EFH+∠FEH=90°．由折叠的性质，得EF⊥AN，∴∠NAB+∠FEH=90°．∴∠EFH=∠NAB．在△EFH和△NAB中，∠ ⩊h＝∠ 쫠 ，⩊h＝쫠 ，∠⩊h ＝∠ ＝90°，∴△EFH≌△NAB．∴EF=AN．。
平行四边形中的翻折问题 课件
例2：把一个矩形如图折叠，使顶点B和D重合， 折痕为EF （2）若矩形的长为9,宽为3，你能求出哪些线 段的长.
课堂小结
全等性
轴对称
本
质
重过程
折
折叠问题
对称性
重结果 叠
利用Rt△
精 髓 方程思想
利用勾股定理
思考题 ：在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm, AB＝20cm．现将这张纸片按如下列图示方式折叠， 分别求折痕的长． (1) 如图1, 折痕为AE; (2) 如图2, 折痕为EF．
（1）判断△AEC的形状并证明.
例1:在平行四边形ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与 BD相交于O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到 △AB′C． （2）若平行四边形的面积S=10，求△AEC的面积 =.
例2：把一个矩形如图折叠，使顶点B和D重合， 折痕为EF
（1）图中有那些相等的线段
（图2）
医学资料
• 仅供参考,用药方面谨遵医嘱
平行四边形中的翻折问 题 课件
A
A
D 翻 实质
E折
轴 对 称F
D
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FC
E
轴对称性质：
1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等. 2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
合作探究
例1:在平行四边形ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与 BD相交于O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得 到△AB′C．
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课堂小结
全等性
折
利用Rt△
轴对称 本 质 折叠问题
对称性
重结果 叠
精 髓 方程思想
利用勾股定理
思考题 ：在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm, AB＝20cm．现将这张纸片按如下列图示方式折叠， 分别求折痕的长． (1) 如图1, 折痕为AE; (2) 如图2, 折痕为EF．
（图2）
例1:在平行四边形ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与 BD相交于O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到 △AB′C． （2）若平行四边形的面积S=10，求△AEC的面积 =.
例2：把一个矩形如图折叠，使顶点B和D重合， 折痕为EF
（1）图中有那些相等的线段
例2：把一个矩形如图折叠，使顶点B和D重合， 折痕为EF （2）若矩形的长为9,宽为3，你能求出哪些线 段的长.
A
A
D 翻 实质
E折
轴 对 称F
D
B
FC
E
轴对称性质：
1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等. 2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
合作探究
例1:在平行四边形ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与 BD相交于O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得 到△AB′C．
（1）判断△AEC的形状并证明.