正方形的判定
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定二、正方形判定方法① 简单地说，要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形； 如上表中的判定原理1—4，都是这种方法；② 判定正方形需要四个条件，比较平行四边形、菱形和矩形的判定，判定平行四边形只要两个条件，判定菱形和矩形都要三个条件；③ 也可以先判定一个四边形是平行四边形，再加一个条件判定成菱形（或矩形），最后再加一个条件判定成矩形（或菱形），就成了正方形。
三、平行四边形、菱形、矩形与正方形性质比较四、例题与练习【例】如图Z-01，Rt ABC 中，∠ACB=90o ，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于E ， DF ⊥AC 于F ，求证：四边形CFDE 是正方形。
〖思路分析〗要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形；或反之亦然。
本例可以先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；或先证它是菱形，再证它有一个直角。
证法一：先证矩形，再证一组邻边相等 证： ∵DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∠ACB=90o ，∴∠ACB=∠CFD= ∠CED= 90o ， ∴有矩形CFDE（三个角是直角的四边形是矩形） 又∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC∴DE=DF （角平分线上的点到两边的距离相等） ∴有正方形CFDE （一组邻边相等的矩形是正方形）图Z-01证法二：先证菱形，再证一个内角为90o 证：∵DE ⊥BC ∴∠DEB=90o ，又∵∠ACB=90o ， ∴∠ACB=∠DEB ∴DE ∥CF 同理DF ∥CE ∴有CFDE又∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC∴DE=DF （角平分线上的点到两边的距离相等） ∴有菱形CFDE 又∵∠DEB=90o∴有正方形CFDE （一个角是直角的菱形是正方形） 〖练习〗⒈如图Z-02，矩形ABCD 中，AE 平分∠DAB ，交CD 于E ，EF ⊥AB 于F 求证：四边形AFED 是正方形〖提示〗用“一组邻边相等的矩形是正方形”⒉如图Z-03，在正方形ABCD 中，AE=BF ，AF 、ED 相交于G ①求证：AF=DE ②求证：AF ⊥DE〖提示〗①证ABF ≌DAE （SAS ）②证∠2+∠3=90o ：由①得∠1=∠3；∠1+∠2=90o⒊① 如图Z-04，正方形ABCD 对角线相交于O ，E 为AC 上一点，过A 作于G ，AG 交BD 于F ，求证：OE=OF 〖提示〗证AOF ≌BOE （AAS ）② 如图Z-05，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥BE 交EB 延长线于G ，AG 交DB 延长线于F ，其它条件不变，OE=OF 还成立吗？请证明你的结论图Z-02图Z-03图Z-04图Z-05。
正方形的性质和判定
正方形的性质与判定1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）一组邻边相等的矩形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形随堂练习1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线平分一组对角2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）A ．BC ＝ACB ．CF ⊥BFC ．BD ＝DF D ．AC ＝BF第3题 第4题 第5题 第6题4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（ ）A ．（1﹣， +1）B ．（﹣， +1）C ．（﹣1，+1） D ．（﹣1，）6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A． B． C．1 D．1﹣7.正方形ABCD中E为线段BC上的动点如图①，过A作AF⊥DE，F为垂足，延长AF交DC于G如图②，①求证：AG＝DE②连接BF，当E为BC中点时，求证：AB＝FB．巩固提升1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③C．①③ D．②④2.如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C．D．第2题第3题第4题3.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.3C.23 D 34.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是（ ）A.()201821B ．()201921C ．()201833D ．()2019335.如图，正方形CEFG 的边GC 在正方形ABCD 的边CD 上，延长CD 到H ，使DH ＝CE ，K 在BC 边上，且BK ＝CE ，求证：四边形AKFH 为正方形．。
正方形的判定
D
C
结论：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
6.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的 平分线交于点D。DE⊥AC，DF⊥AB。 求证:四边形CEDF为正方形
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G
∵AD是∠CAB的平分线 DE⊥AC，DG⊥AB ∴ DE=DG 同理：DG=DF ∴ED=DF ∵ DE⊥AC，DF⊥AB ∴∠DEC= ∠DFC=90 ° 又∵ ∠C=90 ° ∴四边形ADFC是矩形 ∴四边形ADFC是正方形
X
X X
7. 四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形.
例1.已知：在△ABC中，∠ACB＝90°， CD平分∠ACB，DE⊥BC， DF⊥AC， 垂足分别为E、F． 求证： 四边形CFDE是正方形． ∵ CD平分∠ACB， DE⊥BC， DF⊥AC， ∴ DE＝DF（①）． 又∵ ∠DEC＝∠ECF＝∠CFD＝90°， ∴ 四边形CFDE是矩形（②）， ∴ 四边形CFDE是正方形（③）．
C F D
E A
G
B
例7.在正方形ABCD中，E是BC边上的动点（点E不与端点 B、C重合），以AE为边，在直线BC的上方作矩形AEFG， 使顶点G恰好落在射线CD上，连接AC、FC，并过点F作 FH⊥BC，交BC的延长线于点H． ①求证：矩形AEFG是正方形；
②猜想AC、FC的位置关系，并证明你的猜想．
四边形、平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
四边形
平行四边形 正 方 形
矩形
菱形
正方形既是矩形，也是菱形
正方形的定义 正方形的判定方法：
1、
矩形
一组邻边相等
正方形
矩形法
2、
一内角是直角
正方形的所有判定方法
正方形的所有判定方法正方形是一种具有特殊性质的四边形，它具有以下几个判定方法。
1. 边长相等：正方形的四条边的长度相等。
这是判定正方形的最基本条件，如果一个四边形的四条边长都相等，则可以判定它为正方形。
2. 内角相等：正方形的四个内角度数均为90度。
我们可以通过测量四个内角的度数来判断一个四边形是否为正方形，如果四个角度均为90度，则可以确定该四边形是正方形。
3. 对角线相等：正方形的对角线长度相等。
正方形的两条对角线相等，可以通过测量两条对角线的长度来判断一个四边形是否为正方形，如果两条对角线长度相等，则可以确定该四边形是正方形。
4. 对边平行：正方形的相对边是平行的。
正方形的相对边是平行的，可以通过测量四条边之间的夹角来判断一个四边形是否为正方形，如果四条边之间的夹角均为90度，则可以确定该四边形是正方形。
5. 对边垂直：正方形的相对边是垂直的。
正方形的相对边是垂直的，可以通过测量四个角度的度数来判断一个四边形是否为正方形，如果四个角度均为90度，则可以确定该四边形是正方形。
6. 对角线相交于中点：正方形的对角线相交于中点。
正方形的两条对角线相交于中点，可以通过测量对角线的交点是否在中点位置来判断一个四边形是否为正方形，如果对角线的交点在中点位置，则可以确定该四边形是正方形。
7. 对边长度和对角线长度的关系：正方形的对边长度和对角线长度有特定的关系。
正方形的对边和对角线之间存在一定的比例关系，可以通过测量对边长度和对角线长度来判断一个四边形是否为正方形，如果对边长度和对角线长度满足特定的比例关系，则可以确定该四边形是正方形。
正方形具有边长相等、内角相等、对角线相等、对边平行、对边垂直、对角线相交于中点以及对边长度和对角线长度的关系等判定方法。
通过观察和测量这些特点，我们可以准确判断一个四边形是否为正方形。
正方形作为一种特殊的几何形状，在数学和几何学中具有重要的地位和应用价值。
正方形的判定
B
D
C
练习:正方形ABCD中 对角线AC和 练习:正方形ABCD中，对角线AC和BD 交于点O 分别是Ａ 交于点O，点A`，B`，C`，D`分别是ＡO， BO，CO，DO的中点，判断四边形 BO，CO，DO的中点 的中点， A`B`C`D`的形状 A`B`C`D`的形状。说明原因 的形状。
A A` D` D
F
C
例题赏析
⒈在正方形ABCD中，点E、F、G、H分 在正方形ABCD中 别在各边上， AE=BF=CG=DH． 别在各边上，且AE=BF=CG=DH．四边 EFGH是正方形吗 为什么? 是正方形吗? 形EFGH是正方形吗?为什么?
A
3
E
1
H
D
2
B F
G C
练习.如图，四边形ABCD是正方 练习.如图，四边形ABCD是正方 形，E、F、G、H分别是四边的中 你知道四边形EFGH的形状吗 的形状吗？ 点。你知道四边形EFGH的形状吗？ 为什么？ 为什么？ H
O B` B C` C
正方形ABCD中 对角线AC和BD交于点 正方形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点 交于点O A`，B`，C`，D`分别在AC、BD上， A`，B`，C`，D`分别在 、BD上 分别在AC AA`＝BB`=CC`＝ 且AA`＝BB`=CC`＝DD`. 判断四边形A`B`C`D`的形状 判断四边形A`B`C`D`的形状 A A` D` D
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么， 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么， 而是我们怎么知道。 而是我们怎么知道。 ——毕达哥拉斯 ——毕达哥拉斯
正方形是特殊的平行四 边形，也是特殊的矩形， 边形，也是特殊的矩形，也 是特殊的菱形。 是特殊的菱形。 正方形的性质=
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，具有独特的性质。
在本文中，我将介绍正方形的定义、性质和判定方法。
首先，我们来定义正方形。
正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。
其中，相等边长称为边长，直角处的两个边称为邻边，相邻的两个直角称为相邻角，对角线的重合点称为中心。
下面，我们将详细介绍正方形的性质。
正方形具有以下性质：1. 边长相等：正方形的四条边长相等，可以用a表示。
这意味着正方形的周长为4a。
2. 内角为直角：正方形的四个内角都是直角（90度）。
这是因为正方形的两条相邻边构成一条直角线段。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线相等，可以用d表示。
这是由于正方形的两个对角线是两条等边三角形的斜边。
4. 对角线互相垂直：正方形的两条对角线相互垂直。
这是由于正方形的对角线是两个相交的垂直直角三角形的斜边。
5. 中心对称：正方形的中心是对称中心，即以中心为对称中心将正方形折叠，两边能完全重合。
6. 内切圆：正方形有一个内接圆，即一个与正方形的四条边相切的圆。
7. 外接圆：正方形有一个外接圆，即一个与正方形的四个顶点相切的圆。
接下来，我们来讨论如何判定一个四边形是否为正方形。
判定一个四边形是否为正方形通常有以下几种方法：1. 判断边长是否相等：一个四边形的四条边长都相等时，可以判定为正方形。
2. 判断内角是否为直角：一个四边形的四个内角都是直角时，可以判定为正方形。
3. 判断对角线是否相等：一个四边形的对角线相等时，可以判定为正方形。
4. 判断对角线是否垂直：一个四边形的对角线互相垂直时，可以判定为正方形。
5. 判断是否为菱形：如果一个四边形既是菱形又是矩形，那么它就是正方形。
这些方法可以单独或者组合使用来判断一个四边形是否为正方形。
总之，正方形是一种具有独特性质的四边形，包括边长相等、内角为直角、对角线相等等。
我们可以通过判断边长、内角、对角线的相等性以及对角线的垂直性来判定一个四边形是否为正方形。
正方形的判定方法
正方形的判定方法正方形是一种具有特殊性质的几何图形，它的四条边长度相等，四个角也都是直角。
在日常生活和数学学习中，我们经常会遇到正方形，因此了解正方形的判定方法是非常重要的。
接下来，我们将详细介绍正方形的判定方法。
首先，要判定一个四边形是否为正方形，我们需要知道正方形的特征。
正方形具有以下两个特征，边长相等和对角线相等。
因此，我们可以根据这两个特征来判定一个四边形是否为正方形。
其次，判定一个四边形是否为正方形的方法之一是通过边长来判断。
如果一个四边形的四条边长度都相等，那么它就是一个正方形。
在实际操作中，我们可以通过测量四条边的长度，如果它们都相等，那么这个四边形就是正方形。
这种方法简单直观，适用于日常生活中的测量和判断。
另外，判定一个四边形是否为正方形的方法之二是通过对角线来判断。
正方形的对角线相等，并且平分对角线的交点是正方形的中心。
因此，我们可以通过测量对角线的长度并验证是否相等来判断一个四边形是否为正方形。
如果一个四边形的对角线相等，那么它就是一个正方形。
除了以上两种方法，我们还可以通过角度来判断一个四边形是否为正方形。
正方形的四个角都是直角，因此我们可以通过测量四个角的大小来判断一个四边形是否为正方形。
如果一个四边形的四个角都是直角，那么它就是一个正方形。
需要注意的是，以上提到的三种方法并非是孤立的，而是相互印证的。
也就是说，如果一个四边形满足了其中一种判定方法，那么它就很有可能是一个正方形。
而如果一个四边形同时满足了以上三种方法，那么它就可以被确定为一个正方形。
总的来说，判定一个四边形是否为正方形，我们可以通过边长、对角线和角度三个方面来进行判断。
这些方法既可以单独使用，也可以相互印证，从而得出准确的结论。
在实际操作中，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行判断，以确保判定的准确性。
通过本文的介绍，相信大家对正方形的判定方法有了更清晰的认识。
在日常生活和学习中，我们可以根据正方形的特征，灵活运用判定方法，准确地判断一个四边形是否为正方形。
1.3.2正方形的判定
A
E A
M B
E
思考题： 如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O 又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形 OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.
探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会 发生变化？并说明理由。 探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边 分别相交于M、N，试判断线段AM于BN之 间的关系.
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG ∴∠CEA＝∠ABG (SAS)
3、在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在
ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝
ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？
1.3.2正方形的判定
你觉得什么样的四边形是 正方形呢?( 判断一个四边形 是正方形有哪些方法？）
正方形的判定方法：
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
1、
平行四边形 一内角是直角
一组邻边相等
正方形
定义法
2、
一内角是直角
菱形
正方形
菱形法
3、
矩形
一组邻边相等
正方形
矩形法
以四边形为基础：
①四条边相等，四个角都是直角 四边形 ②对角线互相垂直、平分且相等 正方形
证明：∵ DE⊥BC, DF⊥AC,垂足分别E、F ∴∠CED=∠CFD= 90° ∵ ∠ACB=90° ∴四边形CFDE为矩形 ∵ CD平分∠ACB,DE⊥BC, DF⊥AC,垂足分别E、F ∴DE=DF(角平分线上的点到角两边距离相等) ∴四边形CFDE为正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)
5、如图，在正方形ABCD中，点E在 对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？为 什么？ D C 解：BE=DE. 因为 对角线AC所在的直 线是正方形ABCD的对 称轴，而点E在对称轴 上，点B为点D关于AC 的对称点， 所以 BE=DE
正方形判定条件(一)
正方形判定条件(一)
正方形判定条件
简介
正方形是一种特殊的四边形，具有四条边相等且四个角均为直角的特点。
为了判定一个图形是否为正方形，我们需要考虑以下条件。
条件一：四边长相等
•正方形的四条边必须具有相等的长度。
•如果有一条边的长度与其他边不等，则该图形不是正方形。
条件二：四个角均为直角
•正方形的四个角必须都是直角（即90度角）。
•通过测量角度或者使用直角工具可以判断角度是否为直角。
条件三：对角线相等
•正方形的两条对角线必须具有相等的长度。
•如果对角线的长度不相等，则该图形不是正方形。
条件四：对角线互相垂直
•正方形的两条对角线必须互相垂直。
•可以使用测量工具或者判定对角线角度是否为90度来判断是否垂直。
总结
通过以上四个条件的判定，我们可以确定一个图形是否为正方形。
需要满足四边长相等、四个角为直角、对角线相等且相互垂直的条件。
只要有一个条件不满足，那么该图形就不是正方形。
在实际生活中，正方形的应用广泛。
例如，在建筑设计中，正方
形常用于规划场地或房间布局；在制造业中，正方形的工件往往更容
易加工和组装；在数学领域，正方形是许多重要概念的基础。
了解正方形的判定条件可以帮助我们在实际应用中正确识别和使
用正方形，提高工作效率和准确性。
希望本文能对读者有所启发，提
升对正方形的认识和理解。
正方形的判定和性质
练习1:如图：在正方形ABCD中,CF=CE求证：BG DF
n
4.对角线相等的菱形是正方形。
二、例题讲解
考点一：正方形的性质
例1:（2011天津，5，3分）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折
痕BE、BF，则/EBF的大小为（
练习1:例4.如图：正方形ABCD, AE+CF=EF求证：EDF45
例2:如图，在等腰直角△ABC中，AC BC,D E为底边AB的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等分点，过D和E作AB的垂线，分别
交AC于G交BC于F.求证：四边形DEF（为正方形.
练习1:已知：如图，△ABC为等边三角形，且AB2，四边形DEFG为正方形，且D G分别在AB AC上,E、F在BC上，求正方形DEFG勺面积.
考点二：正方形中常见的全等 例1:如图，在正方形ABCD^，点G为BC上任意一点，连接AG过B、D两点分别作BE!AG DF丄AG
正方形的性质和判定
一、基础知识
（一）正方形的定义
一组邻边相等的矩形叫做正方形。
（二）正方形的性质
1.正方形四个角都是90°,四条边相等；
2.正方形对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
（三）正方形的判定
1.一组邻边相等的矩形是正方形；
2.有一个角是直角的菱形是正方形；
3.对角线互相垂直的矩形是正方形；
20.4正方形的判定
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方形 矩形
邻边相等 的矩形
矩形 两组 对边
四边形
分别 平行
平行四 边形 菱 形
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
一组邻边相等 平行四边形 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形
正方形的判定方法：
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种识 别方法
一个角是直角且一组邻边相等
----下列说法对吗?
（1）四个角都相等的四边形是正方形
（2）四条边都相等的四边形是正方形
（3）对角线相等的菱形是正方形
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形 （5）对角线垂直且相等的四边形是正方形 (6)四边相等，有一角是直角的四边形是正方形
（ 正方形 ）
3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点， 能判定这个四边形是正 方形的是：（ A ） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD
4.已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角 平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F. 试说明：四边形DEBF是正方形.
ADCE是正方形，说明理由。
A
M
E
N
B
D
C
7、如图，在矩形ＡＢＣＤ中，四个角 的平分线相交于点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ， 试说明四边形EFGH是正方形。
Ｅ
Ａ
Ｆ Ｂ Ｇ Ｈ
Ｄ Ｃ
回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列
性质 分类 图形
平行四 边形
19.3 正方形(正方形的判定)
F C
E 证明
想一想：你 能用另外一 又∵ ∠ DEC= ∠ ECF= ∠ CFD =90°, 种方法完成 ∴DE=DF (角平分线上的点到角的两边的距离相等） 证明吗？ ∴四边形 CFDE是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）， ∴四边形 CFDE是正方形 （有一组邻边相等的矩形是正方形）．
华东师大版八年级（下册）
第19章矩形、菱形与正方形
正方形的定义
有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
平行四边形
正方形
一个角是直角 一组邻边相等 正方形
边
正方形的对边平行且相等
正 方 形 的 性 质
角
正方形的四个角都是直角 正方形的 两条对角线互相垂直平分 且相等,每条对角线平分一组对角
对角线
（ （
） ）
②、对角线互相垂直的矩形是正方形
③、对角线互相垂直且相等的四边
形是正方形
（ （ （ ） ） ）
④ 四条边都相等的四边形是正方形
⑤、四个角都相等的四边形是正方形
⑥、四边相等，有一个角是直角的四
边形是正方形.
（
）
A
如图:△ABC中, ∠ACB=90°,CD平分∠ACB, DE ⊥BC,DF ⊥AC,垂足分别为E,F. 求证:四边形CFDE是正方形.
∵CD平分∠ACB, DE⊥BC,DF ⊥AC
已知：如图，点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD' 求证：四边形A'B'C'D'是正方形
正方形的性质和判定
正方形的性质和判定正方形是我们学习数学时经常接触到的一个几何图形，它具有独特的性质和判定方法。
在本文中，我将为大家详细介绍正方形的性质和判定，并通过具体的例子来说明。
一、正方形的性质正方形是一种特殊的四边形，它具有以下几个重要的性质：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，这是正方形最基本的性质之一。
例如，如果一条边的长度是5cm，那么其他三条边的长度也都是5cm。
2. 内角相等：正方形的四个内角都是90度，也就是直角。
这是正方形与其他四边形的明显区别之一。
无论正方形的边长是多少，它的内角都是直角。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线长度相等。
对角线是连接正方形两个相对顶点的线段，它们的长度相等。
例如，如果一条对角线的长度是8cm，那么另一条对角线的长度也是8cm。
4. 对角线垂直：正方形的两条对角线相互垂直，也就是说它们的夹角是90度。
这个性质与正方形的内角都是直角相呼应，使得正方形具有更多的特殊性。
二、正方形的判定在生活中，我们经常需要判断一个图形是否是正方形。
下面，我将介绍两种判定正方形的方法。
1. 边长相等判定法：如果一个四边形的四条边长度相等，那么它就是一个正方形。
这是最简单也是最直观的判定方法。
例如，如果一个四边形的四条边长度都是6cm，那么它就是一个正方形。
2. 对角线相等判定法：如果一个四边形的两条对角线长度相等，那么它就是一个正方形。
这个方法相对来说稍微复杂一些，但在某些情况下更加实用。
例如，如果一个四边形的一条对角线长度是10cm，而另一条对角线长度是10cm，那么它就是一个正方形。
三、正方形的应用举例正方形在生活中有着广泛的应用，下面我将通过几个具体的例子来说明。
1. 建筑设计：在建筑设计中，正方形常常被用来设计房间的平面布局。
例如，一个正方形的房间可以更好地利用空间，使得房间的使用更加方便和舒适。
2. 园艺设计：在园艺设计中，正方形也被广泛应用。
例如，一个正方形的花坛可以使得花卉的布局更加整齐美观，给人一种和谐的感觉。
正方形的性质及判定
1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．一、正方形的性质【例1】 正方形有 条对称轴．【例2】 已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形【例3】 如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FE D CBA【例4】 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．正方形的性质及判定正方形菱形矩形平行四边形【例5】 将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例6】 如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =OFE DC BA【例7】 如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为PNME DC BA【例8】 如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．EDCBA【例9】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.F EPDCB A【例10】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．M N CDO B A【例11】 如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例12】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．GEHDFCBA【例13】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．NMFEDCBA【例14】 如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=FEDCBA【例15】 如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．E CDFBA【例16】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA【例17】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【例18】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.K NMLDCB A【例19】 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.GC FEDBA【例20】 （2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.BDCAEF【例21】 已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【例22】 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．【例23】 如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【例24】 如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.ABCDEF E 'GBO D CA QP【例25】 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．MFEDCBA【例26】 如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G ，求证： DG DA =G FEC DBA【例27】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【例28】 如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF交于H ，求证：AH =正方形的边长．HEG CDF B A【例29】 把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．GCHF EDB A【例30】 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.lPM FE DC BA【例31】 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______. ABCDEF二、正方形的判定【例32】 四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．HEFG DCBA【例33】 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．OEDCBA【例34】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．M ENCDBA【例35】 如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．PMF EDC BA【例36】 如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=H GFEDCBA【例37】 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE∆ 的面积为GFEDCB A【例38】 如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA【例39】 如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQ S NMFEDCBA【例40】已知：PA4PB=，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小.PDCBA。
第12课 正方形的判定
为顶点的四边形是平行四边形，则 a 与 b 满足的数量关系式
是
．
三、当堂检测
1．在四边形 ABCD 中,∠A＝∠B＝∠C＝90°,若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（ ）
A．∠D＝90° ． ＝ B AB CD
． ＝ C AD BC
． ＝ D BC CD
2．如图，将长方形纸片折叠，使 A 点落 BC 上的 F 处，折痕为 BE，若沿 EF 剪
①有
的矩形是正方形； ②
的矩形是正方形．
∵
，∵
，B
C
∴
．∴
．
思考：对角线垂直或相等的四边形是菱形吗？是矩形吗？是正方形吗？
4．正方形判定方法的选择：
平行四边形
正方形 菱形
二、典例精讲
类型一 以菱形为基础图形判定正方形 例 1 如图，在矩形 ABCD 中，AD＝6，DC＝8，菱形 EFGH 的三个顶点 E，G，H 分别在矩形 ABCD 的
F D
C
． ＝ A BC AC
． ＝ B BD DF
． ＝ C AC BF
． ⊥ D CF BF
B
E
A
不要让关心你的人失望。永远不要向困难低头，永远不要放弃自己的理想。
知识改变命运
学习成就未来
奋斗改变人生。
人生只有走出来的美丽，没有等出来的辉煌。
第 12 课 正方形的判定
一、精学新知
1．以平行四边形为基础图形判定正方形
定义：
，并且
的平行四边形叫做正方形．
∵
，
A
D
∴
．
2．以菱形为基础图形判定正方形
①有
的菱形是正方形； ②
的菱形是正方形． B
正方形的判定和性质
正方形性质与判定1）定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
2）性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴。
正方形也是中心对称图形。
）3）判定：① 有一个内角是直角的菱形是正方形； ② 邻边相等的矩形是正方形； ③ 对角线相等的菱形是正方形；④ 对角线互相垂直的矩形是正方形。
4）正方形的周长和面积： 正方形的周长=边长×4 正方形的面积=边长×边长例题讲解1. 如图，正方形ABCD 中，△EBC 是正三角形，求∠EAD 的度数。
2. 如图，正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，以CG 为边做正方形GFEC ， 求证：BG=DE3. 如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BG ⊥CE 于G 交AD于F ， 求证：CE=BF 。
4. 分别以三角形ABC 两边向形外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，求证：BG=CE 。
5. 如图，平行四边形ABCD 中，△ABE 、△BCF 是以AB 、BC 为边的等边三角形，求证：△DEF 是等边三角形。
6. 如图，正方形ABCD 对角线BD 、AC 交于O ，E 是OC 上一点，AG ⊥DE 交BD 于F ， 求证：EF ∥DC 。
7. 如图，正方形ABCD 对角线AC 、BD 交于O ，DE 平分∠ADB ，CN ⊥DE 于N ，求证：OF=21AG 。
8. 如图，点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，BE=CF. （1） AE 与BF 相等吗？为什么？（2） AE 与BF 是否垂直？说明你的理由。
FE D C B AA BCDEFGFEDCBAABCDEFGO CDEFOG NAB CD E FGABCDED A F A B C DEDCB A E F P DCB A EG FD C B A EG F A BCDEF G9. 如图，在正方形ABCD 中，取AD 、CD 边的中点E 、F ，连接CE 、BF 交于点G ，连接AG 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（正方形
）
精品课件
例2、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，
DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90° F
而∠ACB=90°
B
D
A
∴ 四边形ABCD为矩形( 有三个角是直角的四边形是矩形 )
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=900,
∴四边形ABCD是矩形.
A
D
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是正方形.
B
C
精品课件
正方形的判定方法2：
有一个组邻边相等的矩形是正方形
已知:四边形ABCD是矩形,AB=BC.
求证:四边形ABCD是正方形.
D
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
B
C
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC,AB=CD.
2
1
∴ ∠EFH=90 °
∴ 四边形EFGH是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形）
精品课件
设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的 四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
的四边形一定是：（A ）
A．正方形
B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
精品课件
练习5、已知四边形ABCD是平行四边形，对 角线AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ） ⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
（）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D、平行四边形 练习 3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点
能判定这个四边形是正 方形的是：（ A ） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠ ＝∠C
C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC
D．AC＝BD
精品课件
练习4 ．四个内角都相等，四条边也都相等
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形. A
D
∵AC⊥BD,
O
∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900.
B
C
∴四边形ABCD是正方形.
精品课件
正方形的判定方法5
对角线相等的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形.
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
∴∠A=∠B=∠C=900. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方精形品课.件
A
D
B
C
正方形的判定方法4
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形.
18.2.3 正方形 第2课时
精品课件
你觉得什么样的四边形 是正方形呢?( 判断一个四 边形是正方形有哪些方法？）
精品课件
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
平行四边形
矩
正 方
菱
形形 形
精品课件
正方形的判定方法：
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
1、 平行四边形 一组邻边相等
一内角是直角
证明：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC
又∵ AE=BF=CG=DH
∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF
即BE=AH=DG=CF
∴ △AEH≌△BFE≌ △CGF ≌ △DHG．
∴ EH=EF=GF=HG
∵ ∠1=∠3．
3
又 ∠3+∠2=90° ∠1+∠2=90°
∵ CD平分∠ACB DE⊥AC， DF⊥BC
∴ DE=DF(角平分线的定理 )
∴四边形ABCD是正方形（ 有一组邻边相等的矩形是正方形) 精品课件
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别是 AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四边形 EFGH是正方形吗?为什么?
Ｈ
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｃ
Ｆ
精品课件
达标检测6：已知:正方形ABCD中,点E、F、 G 、H分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且 AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗? 为什么?
精品课件
3
2
1
例4：已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分 别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH, 试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
是正方形（ √ ）
(5)四个角都相等的四边形是正方形 (
)
(6)四条边都相等的四边形是正方形 (
)
精品课件
例1:
1、下列命题正确的是（D
）
A、四个角都相等的四边形是正方形
B、四条边都相等的四边形是正方形
C、对角线相等的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直的矩形是正方形
精品课件
练习2．四个内角都相等的四边形一定C是
4、对角线互相垂直的矩形是正方形.
5、对角线相等的菱形是正方形.
精品课件
判断题:
× ×
×
(1)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）
(2)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定
是正方形 （ √ ）
(3)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它
一定是正方形 （√ ）
(4)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
证明: ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形.
∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.
A
D
O
B
C
精品课件
归纳：正方形的5种判定方法
1、定义:一组邻边相等且有一个角是直角 的平行四边形是正方形 2、有一个组邻边相等的矩形是正方形 3、有一个角是直角的菱形是正方形.
正方形
2、 菱形
一内角是直角
对角线相等
正方形
3、 矩形
一组邻边相等
对角线互相垂直
精品课件
正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种判 定方法
一个角是直角且一组邻边相等
精品课件
正方形的判定方法1：
定义:一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形是正方形
已知:四边形ABCD是平行四边形,∠A=900.AB=BC 求证:四边形ABCD是正方形.
又∵AB=BC,∴AB=BC=CD=AD
∴四边形ABCD是正方形.
精品课件
正方形的判定方法3
有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900.
求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转
化为证明有一组邻边相等的矩形即可.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,