选修42选修42矩阵与变换

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高中数学选修4-2《矩阵与变换》.1.1 矩阵的概念

矩阵的概念
1.了解提出矩阵概念的一些实际背景；
2.掌握矩阵行、列、元素等概念，知道零矩阵、矩阵的相等等相关知识；
3.会用矩阵表示一些简单的实际问题。
何为矩阵?
y P(1,3)
3
O
1
1 3
x
简记为13
某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手初赛、复赛成绩如表：
初赛复赛
甲
80
90
乙
5.妻子的怀疑、外人的讥讽 “其妻献疑”“河曲智叟笑而止之”
愚公面对困难的解决办法：
没有地方放置土石 “投诸渤海之尾，隐土之北” 不惧路途遥远
劳动力缺乏 “率子孙荷担者三夫”“遗男，始龀，跳往助之”
——团结一切力量
智叟的嘲讽 “虽我之死，有子存焉……子子孙孙，无穷匮也”“山不加增，何苦而不平” ——移山的信念会永远传承下去
4.投诸渤海之北
（古：之于
今：各个，许多）
5.遂率子孙荷担者三夫
（古：挑
今：荷花）
6.曾不能毁山之一毛
（古：草木
今：毛发）
7.北山愚公长息
（古：叹气
今：休息）
8.虽我之死
（古：即使
今：虽然）
9.惧其不已也
（古：停止
今：已经）
四、词类活用 1.面山而居名词作动词，向着。 2.聚室而谋使动用法，使……聚。
细读感悟
在疏通文意的基础上，概括故事情节。
第一段：故事背景，介绍两座山。第二段：开端和发展，愚公决心移山，得到全
家的支持，并排除疑难，立即行动。第三段：高潮，愚公驳斥智叟的观点。第四段：结尾，神仙帮忙移走了两座山。
朗读第一段，说说介绍了两座山的什么内容，有何作用。

]高二数学选修4-2 矩阵与变换ppt课件

1
0
的特征向量为 0 和 1
10 x
1
0
= x· +(–y) ·
0 -1 y
0
1
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
22
矩阵的特征向量是在变换下“基本” 不变的量
23
矩阵表示的变换，把直线或者变成直线，或者变成一个点
直线的向量方程一般地，在平面直角坐标系中，经过点
M0(x0,y0）且平行于非零向量的直线l的方程为
v0
v1
v2
14
矩阵表示的变换，把直线或者变成直线，或者变成一个点
给量向定量OuuMuM矩uur0v阵'变0。M成,它向把量点OuuMMuu0ur0变，成点M把M向0’，量即v0把变向成对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点
高中数学选修４- 2
矩阵与变换
1
主要内容
通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及性质、矩阵的逆和矩阵的特征向量，初步展示矩阵应用。
2
特色
突出矩阵的几何意义
从具体到一般，从直观到抽象
用实例展示矩阵应用广泛性
3
矩阵---几何变换的代数表示
几何代数化----向量平面几何变换 : 二阶矩阵乘向量
X’，根据矩阵变换的性质有
15
矩阵乘法的几何意义——变换的合成乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 0 –1 的变换过程(先旋转后压缩):
0 1 10
0 –1 1/2 0 的变换过程(先压缩后旋转):
10 01
16
逆变换与逆矩阵
伸压变换之逆为伸压变换
1/2 0 01
20 01
20 01
1/2 0 01

高中数学选修4-2：矩阵与变换

高中数学选修4-2：矩阵与变换矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。

本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。

一、内容与要求1．引入二阶矩阵2．二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换（1）以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。

（2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线，即证明A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ。

（3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。

3．变换的复合--二阶方阵的乘法（1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。

（2）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。

（3）验证二阶方阵乘法满足结合律。

（4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。

4．逆矩阵与二阶行列式（1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。

（2）会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1 等简单性质，并了解其在变换中的意义。

（3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。

5．二阶矩阵与二元一次方程组（1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。

（2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。

（3）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。

6．变换的不变量（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。

（2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。

7．矩阵的应用（1）利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示，并能用它来解决问题。

（2）初步了解三阶或高阶矩阵。

（3）了解矩阵的应用。

8．完成一个学习总结报告。

报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。

高中数学选修42矩阵与变换知识点复习课课件苏教

形具有更真实的视觉效果
坐标变换：通过矩阵运算实现图形的平移、旋转、缩放等变换
动画制作：通过矩阵运算实现图形的动画效果，如变形、
运动等
矩阵在其他领域中的应用
物理：在力学、电磁学、量子力学等领域，矩阵被用来描述物理系统的状态和变化
计算机科学：在计算机图形学、人工智能、数据挖掘等领域，矩阵被用来处理和表示数据
高中数学选修4-2矩阵与变换知识点复习课课件
,
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 矩阵与变换概述 03 矩阵的逆与行列式 04 矩阵的秩与特征值 05 矩阵的几何意义与线性变换的矩阵表示
06 矩阵的应用举例
单击添加章节标题
第一章
矩阵与变换概述
第二章
矩阵的定义与性质
矩阵的定义：由m行n列的数组成的m*n个数阵
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示方法线性变换可以通过矩阵乘法来实现矩阵的逆矩阵表示线性变换的逆操作矩阵的秩表示线性变换的维数
矩阵的逆与行列式
第三章
矩阵的逆
逆矩阵的定义：满足AB=BA=I的矩阵B称为矩阵A的逆矩阵逆矩阵的性质：逆矩阵的唯一性、逆矩阵的线性性、逆矩阵的乘法性质逆矩阵的求法：利用初等行变换求逆矩阵、利用伴随矩阵求逆矩阵逆矩阵的应用：求解线性方程组、求解矩阵方程、求解线性规划问题
行列式的定义与性质
行列式的定义：矩阵中主对角线元素的乘积
行列式的性质：行列式等于其转置行列式的值
行列式的计算方法：利用行列式的性质进行计算
行列式的应用：求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等
行列式的计算方法
初等变换法：通过行变换或列变换将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形，然后计算行列式

高二数学选修系列4-2矩阵与变换教学建议课件

关于技术的使用
两种不同层次的课件：一种用于揭示数学
的本质，一种用于分步演示。前者要求——即时、透明、互动；后者要求——清楚、流畅、简洁。
支架式教学（ Scaffolding Instruction ）
矩阵与变换
具体与抽象——通过学生熟悉的情境提出问
题，引入内容（包括数学理论、思想方法），并在分析和解决问题过程中，加深对数学的理解。力图通过学生熟悉的语言、实例、图形等多种方式介绍有关数学内容，尽量避免过度形式化。
操作与理解——系列4既不是科普读物，也
不是理论专著。应在充分的活动、操作的基础上，使学生理解专题中的核心概念和基本数学思想。
选修 4 - 8 —— 统筹法与图论初步
选修 4 - 9 —— 风险与决策
选修 4 - 10——开关电路与布尔代数
延伸、拓展某些中学课程内容——几何证明选讲、不等式证明选讲、坐标系与数方程。体现数学的应用价值——优选法与试验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策。反映重要的数学思想——矩阵与变换、数列与差分。体现数学的科学价值——初等数论初步、开关电路与布尔代数。
基础与拓展 —— 从已有的内容出发，引导学
生自主探究，做适当的拓展与延伸，在处理问题的思想方法、在思维发展上获得突破。
局部与整体 —— 突出学生解决问题的思想方
法，不求完美的科学体系。例如，矩阵与变换。
总结与提高 —— 学会查阅资料，整理、思考
本专题所学的内容并与同学交流。
教学过程问题情境提出问题学生活动体验数学
选修 4 - 1 —— 几何证明选讲 ★
选修系列的个专题
选修 4 - 2 —— 矩阵与变换 ★

选修4-2 矩阵与变换

提能力
明考向
目数学（理）录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
考什么
抓基础
怎么考矩阵的运算及
3.变换的复合——二阶矩阵的乘法
(1)了解矩阵与矩阵的乘法的意义．
明考向
矩阵变换的应用是
高考考查的重点，都以解答题形式考查.
(2)理解矩阵乘法不满足交换律． (3)会验证二阶矩阵乘法满足结合律． (4)理解矩阵乘法不满足消去律.
目录
选修4-2 矩阵与变换第一节第二节矩阵的性质、变换及乘法逆变换与逆矩阵，矩阵的特征向量
数学（理）
选修4-2
矩阵与变换
目数学（理）录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
[备考方向要明了]
抓基础
考什么 1.了解二阶矩阵的概念． 2.二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法、平面图形的变换 (1)了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法． (2)理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)，即A(λ1α＋λ2β) ＝λ1Aα＋λ2Aβ. (3)了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸缩变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换．
2 2 2 2 x y ∴圆 C： x2＋y2＝1 在变换 T 的作用下变成了椭圆＋ 4 16
提能力
明考向
0 1
0 1 ，关于 y＝x 对称对
应的矩阵为 A＝
1 0 .
目数学（理）录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
(3)伸缩变换：对应的二阶矩阵
抓基础
k1 A＝ 0
0 ，表示将每个 k2
点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k2 倍． (4)投影变换：关于 x 轴的(正)投影变换对应的矩阵为 A

人教版高中数学选修 4-2矩阵变换第一章第一节线性变换与二阶矩阵

一般地,在线性变换下,是否仍然由平面上的直线变成直线,三角形变成三角形呢?教学目标知识与能力了解矩阵的概念掌握五类特殊的线性变换及其二阶矩阵过程与方法情感态度和价值观用代数方法表示几何变换,进而就可以从代数的角度研究几何变换体验在直角坐标系中线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系教学重难点重点1.二阶矩阵的概念2.线性变换及其对应的二阶矩阵难点线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系（一）几种特殊线性变换及其二阶矩阵旋转变换反射变换伸缩变换投影变换切变变换1.旋转变换探究将直角坐标系所有点绕原点沿逆时针方向旋转一个角度α.设平面内点P (x,y )经过旋转后变成点 ()y ,x P ′′′ 那么如何用P 的坐标(x,y )表示的坐标 ?P ′()y ,x ′′得到：x ’=－x, y ’=－y.① ①称为旋转角为180°的旋转变换的表达式 P ’是P 在这个旋转变换的像. O 180°PP′ y x如图,在直角坐标系x o y 内,点P (x,y )绕原点O 按逆时针方向旋转180°,变成点 ().y ,x P ′′′例1 在直角坐标系x o y 内,将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换.(1)求点A （1，0）在这个旋转变换下的像A ′;(2)写出这个旋转变化的表达式. A(1,0) O30° A ′y x 图1 图2 O yx (x,y ) P α30° ().y ,x P ′′′的横坐标和纵坐标为点解：如图A ,′123= 23×1= °30=cos OA x °30=sin OA y 21=21×1=)21,23(′(1,0)A A 为在这个旋转变换下的像点θ=θ=rsin y rcos x (2) 如图2,分别连接OP ,OP ’,设OP = OP′=r,.OP ,x 为终边的角以轴的正半轴为始边是以记θ∴()()°30+θ=′°30+θ=′sin r y cos r x即: yx y yx x 23+21=′2123=′－② 23212123－即得到正方形数表: 由两角和的三角函数公式得:,cos y sin x y ,sin y cos x x °30+°30=′°30°30=′－其中系数a,b,c,d 均为常数，则称③的几何变换为线性变换. ③式叫做这个线性变换的坐标变换公式.dycx y by ax x +=′+=′③线性变换③与dc b a 一一对应在平面直角坐标系x O y 中,很多平面变换（平面内有点构成的集合）到它自身的映射都具有下列形式定义由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表称为二阶矩阵dc b a 数a,b,c,d 称为矩阵的元素.零矩阵: 0000记为: 单位矩阵: 1001记为: 0E2.反射变换平面上的任意一点P 变成它关于直线l 的对称点P ’的线性变换叫做关于直线l 的反射. 例:在直角坐标系xOy 内,任意点P(x,y)关于直线y=x 的对称点为P ’(x ’,y ’).则相应的坐标变换公式是: x ’=y,y ’=x.对应的二阶矩阵是 0113.伸缩变换在直角坐标系xOy内,将每个点的横坐标变为原来的k1倍,纵坐标变为原来的k2,其中k1 ,k2均为非零常数,称这样的几何变换为伸缩变换.定义伸缩变换的坐标变换公式为: x’=k1x,y’=k2y.对应的二阶矩阵:k k2 14.投影变换设l是一条给定的直线.对平面内任意一点P作直线l的垂线,垂足为P’,称点P’为点P在直线l上的投影.PlαP’定义平面上每一点P变成它在直线l上的投影P’,这个变换称为关与直线l的投影变换.在直角坐标系xOy 内,任意点P 关于x 轴的投影变换的坐标变换公式为: x ’=x,y ’=0.对应的二阶矩阵: 00015.切变变换如图,在直角坐标系xOy 内,将每一点P (x,y )沿与x 轴平行的方向平移ky 各单位变成P ’,其中k 为常数,称这类变换为平行于x 轴的切变变换. O y xP (x,y )P ’(x+ky ,y ) 定义平行与x轴的切变变换的坐标变换公式为:x’=x+ky,y’=y.1k对应的二阶矩阵:1抢答平行于y 轴的切变变换的坐标公式?x ’=x,y ’=kx +y.对应的二阶矩阵: 11k（二）变换、矩阵的相等2π3+2π3=′2π32π3=′cos y sin x y sin y cos x x－x ’=x,y ’=－x.旋转角为的旋转变换的坐标变换公式 2π3即:2π32π32π32π3cos sin sincos －0110－对应的二阶矩阵:即:x ’=x,y ’=－x.）（－）（－）（－）－（－2π+2π=′2π2π=′cos y sin x y sin y cos x x 旋转角为的旋转变换的坐标变换公式 2π－即:）（－）（－）（－－）（－2π2π2π2πcos sin sin cos 0110－即: 对应的二阶矩阵:观察1.旋转变换的坐标变换公式2.对应的二阶矩阵1.旋转角度定义设σ,ρ是同一直角坐标平面内的两个线性变换.若对平面内任意点P,都有σ（P）= ρ(P),则这两个线性变换相等,记为σ=ρ.设σ,ρ所对应的二阶矩阵分别为A = ,B = .若σ=ρ,则a 1=a 2,b 1=b 2,c 1=c 2,d 1=d 2.这时我们称二阶矩阵A 与二阶矩阵B 相等.d c b a 2222d c b a 1111定义课堂练习.y ,x ,q ,p B A ,q p p q B ,x y x A ，求且－－例：设=2+=23+3=解:由矩阵定义: .x ,q p y ,p ,q x 2=+=23==+3－－.q ,p ,y x 1=3=2=2=－，－课堂小结1.几种特殊的线性变换:旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换(要求：理解并掌握各变换所对应的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵.)课堂小结2.变换和矩阵的相等（1）变换相等:对应坐标变换公式和二阶矩阵相等（2）矩阵相等:对应系数相等注:两个线性变换相等当且仅当对应的二阶矩阵相等教材习题答案1.（1）坐标变换公式为:对应的二阶矩阵: .y x y ,y x x 22+22=′2222=′－22222222－（2）坐标变换公式为: .x y ,y x =′=′－对应的二阶矩阵: 10012.设P (x,y)是平面直角坐标系x O y 内的任意一点,则它关于原点O 的对称点为 ∴坐标变换公式为对应的二阶矩阵为 ..y y ,x x －－=′=′1001－－(),y ,x P ′′′3.（1）点在这个投影变换下的像为()；03′,A ()12,A（2）设P (x ,y )是平面直角坐标系xOy 内的任意一点，则它在这个变换下的像为P ’(x +y ,0),因此,坐标变换公式是 1001对应的二阶矩阵是 .y ,y x x 0=′+=′.Z k ,R R .k ∈其中2π32π3+π2=45.由X = Y ,得x = 3 , y =－9 , z = 0.6.设P (x 0 , y 0）是平面直角坐标系xOy 内的任意一点,它关于直线l :y =2x 的投影变换下的像为P ’（x ’,y ’). 易得:过点P （x 0,y 0)垂直于直线的斜率为k =－1/2.于是,直线方程为：().x x y y 0021=－－－(),x x y y ,x y 0021=2=－－－解方程组:得直线l :y =2x 与直线y －y 0=－1/2(x －x 0)的坐标(（x 0+2y 0)/5,（2x 0+4y 0)/5）.∵M 是线段PP ’的中点,所以,y y x y ,x y x x 00000054+2×2=′52+×2=′－－即: .y x y ,y x x 53+4=′54+3=′0000－∴坐标变换公式: .y x y ,yx x 53+4=′54+3=′－对应的二阶矩阵: 53545453－(2)对应的坐标变换公式: .y B A )B A (x B A AB y ,y B A ABx B A )A B (x 222222222222++2=′+2+=′－－－－－对应的二阶矩阵:B A )B A (B A AB B A AB B A A B 222222222222++2+2+－－－－－。

人教版高中数学选修 4-2矩阵变换第二章第一节复合变换与二阶矩阵的乘法

情感态度与价值观培养学生抽象思维能力.
教学重难点
重点:
1.矩阵乘积的概念；
2.矩阵乘法的运算律.
难点:
1.矩阵乘积的概念； 2.矩阵乘法的运算律.
举例1
两个旋转变换的复合
在直角坐标系xOy内,二阶矩阵
y
θ2
O
cos θ1 －sin θ1 sin θ1 cos θ1
与
cos θ2 －sin θ2 sin θ2 cos θ2
a1 a 2 + b1 c 2 a1 b2 + b1 d 2 = c1 a 2 + d 1 c 2 c1 b2 + d 1 d 2
直角坐标系xOy内任意向量 α ,有 ) ( ( ) A Bα = AB α
( AB )α ) ( A Bα
AB f • g
α
f
A
g
B
Bα
课堂小结
x y
定义
上述这个线性变换就称为变换g和变换f 的复合变换,记为f· g.
复合变换f· g对应的矩阵为
a1 a 2 + b1 c 2 a1 b2 + b1 d 2 c1 a 2 + d 1 c 2 c1 b2 + d 1 d 2
称这个矩阵为矩阵A与B的乘积,记为AB AB=
a1 b1 c1 d 1 a 2 b2 c2 d 2
特殊线性变换的复合
一一对应
复合前后矩阵的关系
线性变换的复合与二阶矩阵的乘积
两个线性变换的复合变换仍然是线性变换;
两个线性变换的复合变换的二阶矩阵是原来两个线性变换的“乘积”.
矩阵乘法的内在规律: 矩阵AB第一行的第一个元素等于A的第一行的元素与B的第一列的元素的乘积之和; 矩阵AB第一行的第二个元素等于A的第一行的元素与B的第二列的元素的乘积之和; 矩阵AB第二行的第一个元素等于A的第二行的元素与B的第一列的元素的乘积之和; 矩阵AB第二行的第二个元素等于A的第二行的元素与B的第二列的元素的乘积之和.

矩阵变换的性质-北师大版选修4-2矩阵与变换教案

矩阵变换的性质-北师大版选修4-2 矩阵与变换教案矩阵变换是线性代数中一项重要的概念，它能够描述一个向量在变换后的位置。

在实际的计算机图形学、物理学、化学等领域中，矩阵变换都扮演着重要的角色。

本文将从矩阵变换的性质方面进行介绍。

矩阵变换的定义矩阵变换是一种将向量转换为另一个向量的数学运算，它通过给定一个矩阵A，将一个向量x变换为另一个向量y的过程。

矩阵变换的公式为：y=Ax其中，A为变换矩阵，x为原始向量，y为变换后的向量。

矩阵变换的性质1. 线性变换矩阵变换是一种线性变换，即它满足以下两个性质：•可加性：对于任意向量x1和x2，有A(x1+x2) = Ax1 + Ax2•齐次性：对于任意标量k和向量x，有A(kx) = k(Ax)这两个性质意味着，矩阵变换对向量加法和数乘保持线性。

这在实际计算中是非常有用的。

2. 逆变换矩阵变换是可逆的，即对于任意矩阵A，存在一个逆矩阵A-1，使得AA-1 = A^-1A= I。

其中，I为单位矩阵。

这意味着，任何矩阵变换都可以通过一个逆变换还原为原始向量。

3. 矩阵乘法的结合律矩阵乘法满足结合律，即对于任意矩阵A、B和C，有(AB)C = A(BC)。

这意味着，矩阵变换的顺序可以随意改变，不影响最终的结果。

4. 矩阵乘法的分配律矩阵乘法满足分配律，即对于任意矩阵A、B和C，有A(B+C) = AB + AC。

这意味着，对于一个向量，可以先将其进行某些变换，然后再将结果进行加法或减法运算，得到最终的结果。

5. 矩阵乘法的交换律矩阵乘法不满足交换律，即对于任意矩阵A和B，一般有AB ≠ BA。

这意味着，矩阵变换的顺序不能随意改变，需要根据具体的应用场景进行选择。

总结矩阵变换是线性代数中一项重要的概念，在计算机图形学、物理学、化学等领域都有广泛的应用。

本文从矩阵变换的性质方面进行了介绍，包括矩阵变换的线性性、可逆性、结合律、分配律和交换律。

这些性质都有极其重要的实际意义，能够帮助我们更好地理解和应用矩阵变换。

人教版高中数学选修4-2矩阵与变换全套教案

1 2 3 ＝ 0 1 1 1 2 1 （ 2）＝ 0 1 3 1 0 x 1 x 2. = ，求 1 2 y 1 y
1.（1）三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换 o ’ ’ ’ ’ 问题 1:P（x,y）绕原点逆时针旋转 180 得到 P (x ,y ),称 P 为 P 在此旋转变换作用下的象。其结
cos sin sin cos 1 k 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0
③切变变换：
④反射变换：
⑤投影变换：
人教版高中数学选修 4-2 《矩阵与变换》全套教案
目录
第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换 ............................................................................ 1 第二讲线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法 . 4
a b x ax by a b x ，与向量的乘积为 A ，即 A ＝ y cx dy c d y c d
ax by cx dy
练习 2：
2
5.平面上一点 A 先作关于 x 轴的反射变换，得到点 A1,在把 A1 绕原点逆时针旋转 180 ，得到点 A2，若存在一种反射变换同样可以使 A 变为 A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是 6.P（1，2）经过平行于 y 轴的切变变换后变为点 P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为 7. 设 A
2 2 2 2
12.
7 19 、 18 4

选修4-2矩阵与变换知识点

1．二阶矩阵的乘法
一般的，设
A=
⎡a1
⎢ ⎣
c1
b1 d1
⎤ ⎥ ⎦
，B=
⎡ ⎢ ⎣
a2 c2
b2 d2
⎤ ⎥ ⎦
，则
AB=
⎡ ⎢ ⎣
a1 c1
b1 ⎤ ⎡a2
d1
⎥ ⎦
⎢ ⎣
c2
b2 d2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡a1a2 ⎢⎣c1a2
+ +
b1b2 d1c2
a1b2 + b1d2 ⎤
c1b2
+
d1 d2
⎥ ⎦
4．逆矩阵的性质（1）性质 1 设 A 是一个二阶矩阵，如果 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的．（2）性质 2 设 A，B 是二阶矩阵，如果 A，B 都可逆，则 AB 也可逆，且（AB）-1=B-1A-1． 5．逆矩阵的判定及求法
定理：二阶矩阵
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤ ⎥ ⎦
是可逆的，当且仅当
令 f (λ)=0，求出矩阵 A 的特征值 ξ1，ξ2 ;（3）分别就 ξ1，ξ2 列出相应的二元一次方程组，求出对应的特征向量ξ1，ξ2 ．
阵
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤⎥可逆时，那么该方程组有唯一解 ⎦
⎡x
⎢ ⎣
y
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡a ⎢⎣c
b d
−1
⎤ ⎥ ⎦
⎡e
⎢ ⎣
f
⎤ ⎥
．
⎦
（ 2）推论
关于变量
x,y
的二元一次方程
组
⎧ ⎨ ⎩
ax cx
+ +
by dy

选修4-2矩阵与变换第二节矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量分析

第二节矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量［主匸離构］< O O Q <定义［距阵的逆矩阵、辐征值与特征向员». _________________________________________________匸杏征值与I怖向址1 .矩阵的逆矩阵(1)—般地，设p是一个线性变换，如果存在线性变换0,使得6严p齐I，则称变换p可逆，并且称O是p的逆变换.(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B,使得BA= AB = E，则称矩阵A可逆,或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵.(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，A的逆矩阵记为A_I.-1 - 1 -(4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB) = B A2.二阶行列式与方程组的解I—｛二阶行列式与方禅丽城i<⑸二阶矩阵A =, -d 可逆，当且仅当 det A= ad — bc^ 0时，A 1 = 工d」det A—edet A对于关于x ，y 的二元一次方程组ax+ by= m ， cx+ dy= n ，我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为 det A =a b记为D ，m b 记为D x ，a m c dn dc n i=ad - be. de 若将方程组中行列式记为D y ，则当D 丰0时,D x x =D y y=3. 矩阵特征值、特征向量的相关概念宅 b"l(1) 定义：设矩阵A = J ，如果存在实数入以及非零向量匕使得A E=入,，则称入是jc d 」矩阵A 的一个特征值，E 是矩阵A 的属于特征值入的一个特征向量.(2) —般地，设E 是矩阵A 的属于特征值入的一个特征向量，则对任意的非零常数 k, K E也是矩阵A 的属于特征值入的特征向量.⑶一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线=0为矩阵A 的特征方程.4. 特征向量的应用(1) 设A 是一个二阶矩阵，a 是矩阵A 的属于特征值入的任意一个特征向量，则A na=fa n *€ N ).(2) 性质1设兀h 是二阶矩阵A 的两个不同特征值，&, &是矩阵A 的分别属于特征值入，h 的特征向量，对于任意的非零平面向量 a,设a= b E i + t 2 ^2(其中t i , t 2为实数)，则对任意的正整数n,有A na=2jjj 2.加石测］＜ o o oo答案：152 1 - a 2解析：由题意|A | =2 2=2 x (a + 1) — 1 x (1 — a ) = a + 2a + 1 = 0 ,「a = — 1.h — a — bh — a — b A = ,称 f (h =为矩阵A 的特征多项式，方程£ d_ —c — d—c h — d(4)设矩阵2.若矩阵 3可逆，则k 的值不可能是k方程组的解为 1.矩阵—1的逆矩阵是 03.若矩阵A =可逆，则实数 a 的值为答案：—1x 3+ m 一4.对任意实数x,矩阵］总存在特征向量，则m的取值范围是___________2 — m 2k- x — 3 — m 解析：由条件得f( k=m— 2 — 2=(入一x)(入一2) — (m— 2)( — 3— m)2 » …一=入一(x+ 2) H 2x+ (m+ 3)(m— 2) = 0 有实数根，2 2所有A i= (x+ 2) — 4(2x + m + m— 6) > 0对任意实数 x恒成立,2所以A2= 16 + 4(4m + 4m — 28)<0,解得m的取值范围是一3< m W 2.答案：—3< m W 2.例1 求矩阵A= 3 2的逆矩阵.2 1【解析】法一：设矩阵A的逆矩阵为|x y\丄 W —5.已知矩阵M的特征值k= 8及对应的一个特征向量e i= £ l并有特征值k= 2及对应的一个特征向量e2= — 2则矩阵M =a解析：设M =JJDa +b =8, 故|c+ d = 8,a — 2b= 2,故|c— 2d=—788?'=.-1」-8」联立以上两个方程组解得 a = 6, b= 2, c= 4, d = 4,故M = f 2热点考向一求逆矩阵L— F ——― 1［求逆矩阵］公式3x+ 2z 3y+ 2w I 即 2x+ z 2y+ w 3x+ 2z= 1, 故2x+ z= 0,解得 x=— 1, z= 2, y = 2, w = — 3,【点评】方法一是待定系数法；方法二是公式法.£变式训练1.已知变换矩阵 A 把平面上的点 P(2, — 1)、Q(— 1,2)分别变换成点 P i (3, — 4)、Q i (0,5).(1)求变换矩阵A ;—1(2)判断变换矩阵 A 是否可逆，如果可逆，求矩阵 A 的逆矩阵A理由.—1 —1 —23■ — 1 —1丿 f 1/- 3:A-1■— 1 21 卩1! 2 一=匸卜r 2a — b = 3,i< a= 2, 2c — d =— 4,b= 1,解得：j—a+ 2b = 0,c=—1,即a b c d-- y w3y+ 2w = 0,2y+ w = 1, 从而矩阵A 的逆矩阵A —1=■— 1 -23 2= •A法,.°det A = — 1.:如不可逆，请说明I I，依题意，可得l a£X z2 13N ►Hu贝_2 1-所以所求的变换矩阵2] ⑵'.det A = 2X 2- (— 1) X 1 = 5, ••A 可逆—11、 1551 |5—5A -1=1 = 1— u — n2 I 1 255丿‘5 5丿热点考向二利用矩阵解二兀一次方程组步骤-求|a 1 b订的逆矩阵-求方程组的解 ---- 卫2 b 2」 -----------[例2 （1）求矩阵A = f J 的逆矩阵; （2）利用逆矩阵知识,2x+ 3y — 1 = 0, x+ 2y — 3= 0.【解析】（1）法一：设矩阵A 的逆矩阵为A -1= r b 1,x d 」2a + 3c= 1,a = 2,b =— 3, c=— 1, d = 2.知 2b + 3d = 0， a+ 2c= 0, b+ 2d =1. ••|A |= 4— 3 = 1 ,解方程组:】=I ：解之得2 Z3|1 1 | f 3- 3【I-1 2-1 2-1 1 -二 31⑵二元一次方程组的系数矩阵为 A = I c，-1 2」由(1)知A- J 2 - 3]二 1 2一[2x+ 3y= 1,因此方程[x+ 2y= 3有唯一解即x=-7,|y= 5.有无数解或无解.2x+ y= 8,2.用矩阵方法求解二元一次方程组4x- 5y= 2.解析：原方程组可以写成『==I8 ',4- 5」®」-2」3 1记M = ,114 — 5a1x+ b1y= C1【点评】二兀一次方程组(a1, b1不同时为零,a2x+ b2y= C2(a1 b[系数矩阵为A= |42 b2，只有当|A|工0时，方程组有唯一解A-1|C1a2, b2不同时为零)的，若A l= 0,则方程组|x L A-1=2 X (— 5) — 1 X 4 =— 14工 0,(1)求A 的特征值4 ⑵求A B .【解析】 (1)设A 的一个特征值为入由题意知: "X — 1 — 2~\=0,即(入一 2)( X — 3) = 0,解得 X= 2, X= 3,44 44一故 A B = A ( a+ a )= (2 a )+ (3 a )= 16 a+ 81 a =【点评】求矩阵的特征值及对应的特征向量是矩阵与变换的重点和难点,题首先要利用行列式求出特征徝，然后求出相应的特征向量. 请注意每一个特征值对应无数个特征向量，选择坐标为整数的解就能使后面计算〔一11豊.'M —1=1 14r =M -11 '=! i 4，，即方程组的解为‘=3,■1X= 2时，由厂1I X L 2j，得A 属于特征值2的特征向量a 1= I 2E=3f，得A 属于特征值3的特征向量(2)由于 B = 13 L ?!711=a 1 + a .其行列式例3 给定矩阵 A = I入，h 及对应特征向量 a, a;[113 ^97解决此类问简单、方便.ion一、填空题71 3_11•已知A = | 可逆，则实数a 的取值范围是 _________________a 6」解析：矩阵A 可逆当且仅当det(A)丰0,•'a 的取值范围为(一a, 2) L(2 ,+s ). 答案：(一a, 2) U (2 ,+a )_3，则矩阵M 的特征向量可以是- 23.已知矩阵A =3,若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为 d属于特征值1的一个特征向量，求矩阵A ,并写出A 的逆矩阵.解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=I ：可得, 一仁即 c + d= 6;-3] 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量a= 2 ,解得* 2,d = 4P 31 ，即 A = 2 4 .2•设矩阵可得P即 3c — 2d= — 2,A 的逆矩阵是解析：矩阵M的特征多项式由于f （为=0得矩阵M 的特征值为入=1 , ?2=— 1.经计算可得，矩阵M属于特征值x=1的一个特征向量为^3的一个特征向量为1（空3答案：「厂I —;3「ac 3,ab+ 3a = 1答案：2 —2 3丄 2 _2x — 2y =— 1，解析：因为方程组---的矩阵形式是2x+ 2 y= 1,3 •设可逆矩阵A =J|a 3的逆矩阵A -1-4 5」解析：由AA - 1= E 得 ab + 3a ac — 3I71占b+ 5a 4c —5，而属于特征值匕-1 4b+ 5a= 0, 即4c — 5 =解方程组得a= 2, b= — 2 c= 3 2.承―韵=—1,4.已知二元一次方程组 ,呼x+%= 1 ,从线性变换的角度求解时应把向量—1_ 1绕原点作顺时针旋转的旋转变换.方程组就是把向量：1［绕原点作顺时针旋转沪旋转变换答案：n1+、321- .3 2答案:6. 现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为:解析：因为A =『4，所以det A = I14= 2工0,42->0 2对应信息为good”.n 变换得到—1，所以解4一i一1 - 2〕所以A -1=1，而密码矩阵为 ? 1 一B = I 67J3031 8_1 故明码矩阵X= A - 1B =-21 1 2 -31] 7 15]=I , 8」-15 4」[1 - 15A = _0，则 A -11解析：A =_01- 3 •41='X 1-丄X 區1工02 2 2 •4 11, b T 2,…，Z T 26,双方约定的矩阵为1 4，发送方传递的密码为67,30,31,8,此组密码所发信息为—P2答案：good--1 5[7. 矩阵M = 5 __________________________ 的特征值与特征向量分别为勺3一5 2=(入+ 1)( X — 3) — (— 2)( — -)= f — 2 - 8 = 0，得矩阵值为 X = 4, X = — 2.&= — 2的一个特征向量.答案: &已知矩阵A = f — 1, B =『—1，,则满足方程AX = B 的二阶矩阵X =_— 4 3 _— 3 1年-11解析：・.A =「4 3 一2 — 1.•|A |== 2 X 3 — (— 1) X (— 4) = 2 工 0.—4 3 3 1 1•■A — 1=2 2:：AX = B ,.・・X = A —1B ,5 1 -解析:M 的特征设属于特征值 ,则它满足方程(X+ 1)x+ (— 2)y= 0, 即卩 5x — 2y =0•故可取属于特征值 4的一个特征向量.设属于特征值 h= — 2的特征向量为x+ 2y = 0•故可取 -2为属于特征值量为综上所述，矩阵a-灯属于■— 1 2〔有两个特征值 ?2=— 2的一个特征向量为 ?1= 4, ?2=— 2,属于入=4的一个特征向X = 4的特征向量为02\ = 4, a = || ■和 &=—2, J 5」而 A - 1AXB-B - 1= EXBB -1因为A - 1=- 3_2所以 X = A - 1CB「2 - 3110.已知矩阵A =6 2(1) 求矩阵A 的特征值及对应的特征向量; (2) 计算矩阵A n.当f= 8时，A 属于f 的特征向量为9一25-11AS2 ]7 317A = J ，B =,C =I- 2 -3」】12- 〕1C , 所以 1(A - A )XB B -1=A -1CB -19.已知矩阵解析：AXB = 1，求满足AXB = C 的矩阵X . 0=X ( BB -1) = X , 所以 X = A - 1CB -1B -1=2 -31解析: (1)矩阵A 的特征方程为入一6=(—6)( — 4) — 8 = f - 10 入 + 16 = 0.得矩阵 A 的特征值为 f = 8, f= 2.当?2= 2时，A属于h的特征向量为⑵设A n =n n n nA a i = 8 a i, A a= 2 a,(1)求证：M和N互为逆矩阵；⑵求证：向量a同时是M和N的特征向量；(3)指出矩阵M和N的一个公共特征值.-2 — 1-j,3 — 3,2 们；1 0]解析：(1)证明：因MN = J = J ,.1 2〜2」J 1」-—3 2na + b= 8c+ d= 8n即a — 2b= 2nc-2d=— 2 2n解得a=n ^n2X 8 + 2n8 —2n8n+ 2n+i2 X 8n—2n+1c=故A n=2 X 8n+ 2n 8n—2nI 3 32 X 8n—2n+18n+ 2n+ 13 311.给定矩阵21，向量02 =且 NM = I 2所以M 和N 互为逆矩阵.(2)证明：因为M%因为故1是矩阵M 和N 的一个公共特征值. ① 若a= 2, b= 3，求M 的逆矩阵② 若曲线C: x 2+ y 2= 1，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线2C'： x+ y 2= 1,求 a, b 的值.4•'2x 1= 1,2y 1= 0,3x 2= 0,3y 2= 1. 1 1即 x = 2，y 1 = 0, X 2= 0, y 2 = 3ax= x' by= y'-0 1J所以 a 是N 的特征向量.所以 a 是N 的特征向量.-1 |⑶由⑵知，M对应于特征向量―的特征值为1, N 对应于特征向量|彳一 1的特征值也12. (2011年福建)设矩阵M =打0( b*其中 a>0, b>0) M T ；解析：①设M -1= -| y1.X2 y2则 MM -1= I 1-0 0'又 M =[1 - J) 3JO0：y 1 y 2-0 1②设C 上任一点P(x, y)，在M 作用下得点P' (x' , y')2 2即亍+ b 2y~ 1为曲线C 的方程.|a= 2,又a>0, b>0,所以[b= 1.卫答案：「1又点P'（X’，y'）在C'上，所以2・+ y' 2= 1.又C 的方程为x 2+ y 2= 1,a 2= 4,b 2= 1._1X= 3时，由.1• -1 =。

选修4-2矩阵与变换知识点讲解

四、简单应用
1.设矩阵A=，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。
练习：P13 1.2.3.4.5
【第一讲.作业】
1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是
2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180o，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
7. 设，，且A=B.则x＝
8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为
12. 13. 14.y=-2x(－2≤x≤2)、y=0(－2≤x≤2)、 15. ＝
第三讲矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵
二、矩阵乘法的性质
1.设Ａ＝，Ｂ＝，Ｃ＝由A、B、C研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。
结论：
2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。
3.单位矩阵的性
第二讲线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算
1.数乘平面向量：设，是任意一个实数，则
2.平面向量的加法：设，，则
性质1：设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，是任意一个实数，则①数乘结合律：；②分配律：

选修4-2 矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵

2 试写出这个旋转变换的表达式.
y P'
x r cos y r sin
P x
x r cos +30 r sin +30 y
30° θ O
x y
3 1 x y 2 2 1 3 x y 2 2
那么旋转角为30的旋转变换的坐标变换公式就可以写成
x y
§2 二阶矩阵与平面向量的乘法
x a b 定义：设A , , 规定二阶矩阵A与向量的乘积为 c d y a b x ax by 向量 .记为A或，即 cx dy c d y a b x ax by A = = . c d y cx dy
a1 b1 a2 b2 设 , 所对应的二阶矩阵分别为A , B . c1 d1 c2 d 2 若 =，那么它们对应的系数分别相等.这时我们也称二阶矩
阵A和B相等, 简记A B.
§2 二阶矩阵与平面向量的乘法
线性变换与二阶矩阵是一一对应的，能否直接用二阶矩阵表示线性变换呢？
1 2 探究：设向量 , = , 利用平行四边形法则求 + , 2 1 再对 + 进行关于x轴的反射变换；或者，先对，做关于
在平面直角坐标系中，
形
平面内的点平面内的曲线
数
有序实数对方程
平面内的图形变换
§1.1 旋转变换
探究：将直角坐标系中所有点绕原点沿逆时针方向旋转一个角度 .设平面内点P x, y 经过旋转后变成点P x, y , 那么如何用P的坐标 x, y 表

选修4-2矩阵与变换.docx

第 1 页共 21 页选修 4－ 2矩阵与变换第一节平面变换、变换的复合与矩阵的乘法1．二阶矩阵与平面向量(1) 矩阵的概念在数学中，把形如123134，1，20这样的矩形数字 (或字母 )阵列称为矩阵，其35－ 1中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母 )叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数 (或字母 )叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母 )称为矩阵的元素．(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法① [a 11a12 ]b11＝ [ a11×b11＋ a 12×b 21 ] ；b21②a11a12x0＝a11× x0＋ a12× y0.a21a22 y0a21× x0＋ a22× y02．几种常见的平面变换10(1) 当 M ＝时，则对应的变换是恒等变换．01(2)k010由矩阵 M ＝或 M ＝(k>0) 确定的变换 T M称为 (垂直 )伸压变换．01k(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．cos θ － sin θ(4) 当 M ＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点 )逆时针旋转sin θcos θθ角度．(5)将一个平面图投影到某条直线 (或某个点 )的变换称为投影变换．1k10 (6) 由矩阵 M ＝或 M ＝k 确定的变换称为切变变换．011 3．矩阵的乘法一般地，对于矩阵a11a12b11b12M ＝a22， N＝，规定乘法法则如下：a21b21b2211 12 11 12a bbb ba ab b11 11＋ a 12 21a 11 12＋ a 12 22MN ＝a 22b 21＝a 21b 11＋ a 22b 21.a 21 b22a 21b 12＋ a 22b 224．矩乘法的几何意(1) 的复合：在数学中，一一的平面几何常可以看做是伸、反射、旋、切的一次或多次复合，而伸、反射、切等通常叫做初等；的矩叫做初等矩．(2)MN 的几何意：向量x 矩乘法α＝施的两次几何 (先 T N 后 T M )y的复合．·(3) 当向量施 n ( n ＞ 1 且 n ∈ N * )次 T M ，地我M n ＝ M ·M ·⋯ ·M .5．矩乘法的运算性(1) 矩乘法不足交律于二矩A ，B 来，尽管 AB ， BA 均有意，但可能 AB ≠BA .(2) 矩乘法足合律A ，B ，C 二矩，一定有(AB)C ＝ A(BC)．(3) 矩乘法不足消去律．A ，B ，C 二矩，当 AB ＝ AC ，可能 B ≠C. [ 小体 ]1 8 1 x1．已知矩 A ＝3，矩 B ＝.若 A ＝B ， x ＋ y ＝ ________.2y 3解析：因 A ＝ B ，x ＝ 8，＋＝10.所以y ＝ 2，x y答案： 102．已知x x ′2x ＋ 3y ，它所的矩 ________．y→＝y ′x ＋ yxx ′ 2 3 x解析：将它写成矩的乘法形式→′ ＝1 ，所以它所的矩y1yy2 3 1 .12 3答案：111．矩的乘法着的复合，而两个的复合仍是一个，且两个的复合程是有序的，易倒．2．矩阵乘法不满足交换律和消去律，但满足结合律．[ 小题纠偏 ]1 2 ， B ＝4 2 1．设 A ＝4k ，若 AB ＝ BA ，则实数 k 的值为 ________．37解析： AB ＝1 24 2 ＝4＋ 2k163 4k 7，12＋ 4k 3442 1 21016BA ＝ k7 34 ＝＋＋ 28，k 21 2k 因为 AB ＝ BA ，故 k ＝ 3.答案： 32．已知 A ＝1 0 ， B ＝－ 1 0－ 1 00 0 0 1， C ＝，计算 AB ， AC.0 － 1解： AB ＝1 0 － 1 0－ 1 00 1 ＝，1 0 － 10 － 1 0 . AC ＝0 0－ 1＝ 0 0 0考点一二阶矩阵的运算基础送分型考点 —— 自主练透[ 题组练透 ]1 11 11．已知 A ＝2 2，计算 A 2， B 2.1 ， B ＝－ 1－ 1 1221 1 11 1 1 解： A 2＝2 2 2 2 2 2 . 1 1 1 ＝1 1 12 2222 21111B 2＝－ 1 － 1 － 1 ＝.－ 12．(2014 江·苏高考 )已知矩阵 A ＝－ 1 211 21 ，B ＝，向量 α＝，x ，y 为实数．若x2－ 1 yA α＝B α，求 x ＋ y 的值．解：由已知，得 A α＝－ 12 2 ＝－ 2＋ 2y ， α＝ 11 2 ＝ 2＋ y y2 － 1 y1 x 2＋ xy4－ y第 4 页共 21 页因为 A α＝ B α，所以－ 2＋ 2y2＋ y＝，2＋ xy 4－ y－ 2＋ 2y ＝ 2＋ y ，故2＋ xy ＝4－ y.x ＝－ 12，所以 x ＋ y ＝ 7 解得2.y ＝ 4.3．已知矩阵 A ＝1 0 － 4 3 31 ， B ＝ 4 － 2且 α＝，试判断 (AB)α与 A(B α)的关系．2 4解：因为 AB ＝1 0－ 43 －4 31 2＝，4 － 2 4 － 1－ 43 3所以 (AB)α＝－ 1 4＝，48 因为 B α＝－433 ＝0 ，4 － 2441 0 0 0A(B α)＝24＝. 18所以 (AB)α＝ A(B α)．[ 谨记通法 ]1．矩阵的乘法规则两矩阵 M ， N 的乘积 C ＝ MN 是这样一个矩阵；(1) C 的行数与 M 的相同，列数与 N 的相同；(2) C 的第 i 行第 j 列的元素C ij 由 M 的第 i 行与 N 的第 j 列元素对应相乘求和得到． [ 提醒 ] 只有 M 的行数与 N 的列数相同时，才可以求MN ，否则无意义．2．矩阵的运算律(1) 结合律 (AB)C ＝ A(BC)；(2) 分配律 A(B ±C)＝ AB ±AC ， (B ±C)A ＝ BA ±CA ；(3) λ(AB)＝ (λA )B ＝ A( λB )．考点二平面变换的应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 － 2 2 2已知曲线 C ：xy ＝ 1，若矩阵 M ＝对应的变换将曲线C 变为曲线 C ′，求2 222曲线 C ′的方程．解：设曲线 C 上一点 (x ′ ， y ′ )对应于曲线 C ′ 上一点 (x ，y)，2 － 222x ′x所以＝y，22 ′y222 222′＝所以x ＋ y y － x所以 ′ － ′ ＝， ′ ＋′ ＝，y ′ ＝，所以 x ′ y ′＝2 x2 yx2x2 yy.x22x ＋ y y － x ＝ 1，×2 2所以曲线 C ′ 的方程为 y 2－ x 2＝ 2.[ 由题悟法 ]利用平面变换解决问题的类型及方法：(1) 已知曲线 C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法 )求解．(2) 已知曲线 C ′是曲线 C 在平面变换作用下得到的，求与平面变换对应的变换矩阵，常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组 )求解．[ 即时应用 ]a 022x ＋ y已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1 在矩阵 A ＝(a>0，b>0) 对应的变换作用下变为椭圆＝0 b9 41，求 a ， b 的值．解：设 P(x ，y)为圆 C 上的任意一点，在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P ′ (x ′ ，y ′ )，x ′ a 0x x ′＝ ax ，则＝，即y ′0 byy ′ ＝ by.2 2 2222xya xb y又因为点 P ′ (x ′ ， y ′ )在椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 上，所以 9 ＋ 4 ＝ 1. 由已知条件可知，x 2＋ y 2＝1，所以 a 2 ＝ 9， b 2＝ 4.因为 a>0 ， b>0 ，所以 a ＝ 3， b ＝ 2.考点三变换的复合与矩阵的乘法重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(0,0)，B(－ 2,0)，C(－ 2,1)．设 k 为非零实数，矩阵k 0 0 1A 1，B 1，C 1，M ＝1 ， N ＝，点 A ， B ， C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为1 0△ A 1B 1C 1 的面积是△ ABC 面积的 2 倍，求 k 的值．k 0 0 1 0 k解：由题设得 MN ＝1 1＝，1 0 由 0k 0 0 0 k － 2，＝，＝1 00 01－ 20 k －2k，可知 A 1(0,0)，B 1(0，－ 2)， C 1(k ，－ 2)．1 0＝1－ 2计算得△ABC 的面积是1，△A 1 1 1 的面积是 |k|，B C则由题设知： |k|＝ 2× 1＝ 2.所以 k 的值为 2 或－ 2.[ 由题悟法 ]矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．二阶矩阵的运算关键是记熟运算法则．[ 即时应用 ]1 0已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1，先将圆 C 作关于矩阵 P ＝的伸压变换，再将所得图形绕原0 2点逆时针旋转 90°，求所得曲线的方程．0 － 1解：绕原点逆时针旋转 90° 的变换矩阵 Q ＝，1 0则 M ＝ QP ＝0 － 11 0 0 － 210 2＝.1设 A(x 0， y 0 为圆 C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点 A ′ (x 0′ ， y 0′ )，)′－x 0′ ＝－ 2y 0，2则＝，即y 0 ′ 10 y 0y 0′ ＝ x 0，x 0＝ y 0′ ，所以x 0′y 0＝－ 2 .又因为点 A(x 0， y 0) 在曲线 x 2＋ y 2＝ 1 上，2x 0′ 2所以 (y 0′ ) ＋－＝ 1.2故所得曲线的方程为x4＋ y 2 ＝1.0 11， N ＝1 ，求 MN .1．设 M ＝00 120 11 0 0 112.解： MN ＝0 ＝1211 2 T 把曲2．(2016 南·京三模 )已知曲线 C ：x 2＋ 2xy ＋ 2y 2＝ 1，矩阵 A ＝所对应的变换1 0线 C 变成曲线 C 1，求曲线 C 1 的方程．1 2 解：设曲线 C 上的任意一点 P(x ， y)， P 在矩阵 A ＝对应的变换下得到点 Q(x ′ ，1 0y ′ )．1 2 x x ′ x ＋ 2y ＝ x ′ ，则10 ＝，即y′ x ＝ y ′ ，yx ′ －y ′所以 x ＝ y ′ ， y ＝ .2x ′ － y ′＋2x ′ － y ′2＝ 1，即 x ′ 2＋ y ′ 2＝ 2，代入 x 2＋ 2xy ＋2y 2＝ 1，得 y ′ 2 ＋2y ′ ·22所以曲线 C 1 的方程为 x 2＋ y 2＝ 2.3． (2016 南·通、扬州、泰州、淮安三调 )在平面直角坐标系xOy 中，直线 x ＋ y － 2＝ 0 在矩阵 A ＝1 ax ＋ y － b ＝ 0(a ， b ∈ R) ，求 a ＋ b 的值．1 对应的变换作用下得到直线2解：设 P(x ， y)是直线 x ＋ y －2＝ 0 上任意一点，由 1a x ＝x ＋ ay ，得 (x ＋ ay)＋ (x ＋ 2y)－ b ＝ 0，即 x ＋ a ＋ 2 － b＝ 0.12 y x ＋ 2y2 y 2a ＋ 22 ＝ 1， a ＝ 0，所以 a ＋b ＝ 4.由条件得解得－b＝－ 2，b ＝ 4，2第 8 页共 21 页4．已知 M ＝1－ 22 － 12 ， W ＝－ 3，试求满足 MZ ＝ W 的二阶矩阵 Z .3 1a b解：设 Z ＝d ，c则 MZ ＝ 1 － 2 a b a － 2cb －2d＝.23 c d 2a ＋ 3c 2b ＋3d又因为 MZ ＝ W ，且 W ＝2 － 1，－ 31a － 2cb － 2d 2 － 1所以＋＝－ 3 1 ，＋3c3d2a 2ba ＝ 0，a － 2c ＝ 2，1b ＝－b － 2d ＝－ 1，7，所以解得2a ＋ 3c ＝－ 3， c ＝－ 1，2b ＋ 3d ＝ 1.d ＝ 37.0 1 － 7故 Z ＝.－ 1371 15． (2016 苏·锡常镇一调 )设矩阵 M ＝y ＝ sin x 在矩阵， N ＝ 2，试求曲线21MN 变换下得到的曲线方程．11解：由题意得 MN ＝ 1 0 2 0＝ 20 . 0 20 1 0 2设曲线 y ＝ sin x 上任意一点 P(x ， y)在矩阵 MN 变换下得到点 P ′ (x ′， y ′ )，x ′1x则2，＝yy21x ＝ 2x ′ ，即 x ′ ＝ 2x ，得1y ′ ＝ 2y ，y ＝2y ′ .因为 y ＝ sin x ，所以 1 ′ ＝′ ，即 ′ ＝ ′2ysin 2xy2sin 2x .因此所求的曲线方程为 y ＝ 2sin 2x.6．(2017 苏·锡常镇调研 )已知变换 T 把平面上的点 (3，－ 4)，(5,0)分别变换成 (2，－ 1)，(－1,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M .a b a b3 2 a b 5 ＝－ 1解：设 M ＝，由题意，得＝，，c dc d－ 4 － 1 c d 0 213a － 4b ＝ 2， a ＝－ 5，13，3c － 4d ＝－ 1，b ＝－20所以解得2 5a ＝－ 1，c ＝5，5c ＝ 2.11d ＝ 20.113－5－20即 M ＝.2 11 5207．(2016 ·通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调南 )在平面直角坐标系xOy 中，设点 A(－ 1,2)－ 1 0 在矩阵 M ＝对应的变换作用下得到点 A ′，将点 B(3,4)绕点 A ′逆时针旋转90°得0 1到点 B ′，求点 B ′的坐标．解：设 B ′(x ， y)，－ 1 0－ 11 依题意，由0 1＝，得 A ′ (1,2) ．22―→ ―→则 A ′ B ＝ (2,2) ， A ′ B ＝ (x － 1， y － 2)．0 － 1记旋转矩阵 N ＝，1 00 － 1 2x － 1 － 2x － 1 则＝，即＝，10 2－ 2－ 2y 2y 解得x ＝－ 1，y ＝ 4，所以点 B ′ 的坐标为 (－ 1,4)．1 0 1 02x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 在矩阵 MN 对应的变换作8．已知 M ＝， N ＝，求曲线0 2－ 1 1用下得到的曲线方程．1 0 1 01 0解： MN ＝2 － 11＝，－ 22设 P(x ′ ， y ′ )是曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 上任意一点，点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P ′ ( x ， y)，x1 0 x ′x ′则有＝2 ′＝，y－ 2－ ′ ＋ ′y2x 2yx ＝ x ′ ，即y ＝－ 2x ′ ＋ 2y ′ ，x ′ ＝x ，于是yy ′ ＝x ＋ 2.代入 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 得 xy ＝ 1，所以曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝ 1.第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1．逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵 A ， B ，若有 AB ＝ BA ＝ E ，则称 A 是可逆的， B 称为 A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵 A ，B 均存在逆矩阵，则－ 1－ 1 － 1AB 也存在逆矩阵，且 (AB) ＝ B A .(3) 利用行列式解二元一次方程组．2．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵a b － 1A ＝，当 ad － bc ≠ 0 时，矩阵 A 可逆，且它的逆矩阵 Ac dd－ b ad － bc ad － bc＝.－ c aad － bcad － bc3.特征值与特征向量的定义设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使得 A α＝ λα，那么 λ称为 A 的一个特征值，而α称为 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．4．特征多项式的定义a b是一个二阶矩阵， λ∈ R ，我们把行列式f(λ)＝λ－ a － b 2设 A ＝d － c＝ λ－ (a ＋ d)λcλ－ d＋ ad － bc 称为 A 的特征多项式．5．特征值与特征向量的计算设 λ是二阶矩阵a bλ与 α的步骤为：A ＝的特征值， α为 λ的特征向量，求c d第一步：令矩阵λ－ a － b2A 的特征多项式 f(λ)＝λ－ d ＝ λ－ (a ＋ d)λ＋ ad － bc ＝ 0，求出 λ－ c的值．第二步：将 λ的值代入二元一次方程组λ－ a x － by ＝ 0，得到一组非零解 x 0 ，于是－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，y非零向量 x 0即为矩阵 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．y 06．A n α(n ∈ N * )的简单表示(1) 设二阶矩阵 A ＝a b ， α是矩阵 A 的属于特征值 λ的任意一个特征向量，则A n α＝cdn *)．λα(n ∈ N， λ是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，α， β是矩阵 A 的分别属于特征值 λ， λ(2) 设 λ1 212的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设 γ＝ t 1 α＋ t 2β(其中 t 1， t 2 为实数 )，则 A n γ＝n n* ．1λ1α＋ t 2λ2β(n ∈ N)t[ 小题体验 ]1 61．矩阵 M ＝－ 2－ 6 的特征值为 __________ ．解析：矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝ λ－ 1 － 6λ＋2)( λ＋ 3) ，令 λ＝，得 M 的特(f( ) 02 λ＋ 6征值为 λ＝－1 2， λ＝－2 3.答案：－ 2 或－ 32．设2 a 2 a 的值为 ________．3是矩阵 M ＝的一个特征向量，则实数322解析：设是矩阵 M 属于特征值 λ的一个特征向量，3a 2 2 2则2 ＝ λ ， 33 32a ＋ 6＝2λ， λ＝ 4，故解得12＝ 3λ a ＝ 1.答案： 11．不是每个二阶矩阵都可逆，只有当ab中 ad － bc ≠ 0 时，才可逆，如当 A ＝10 ， c d0 01 0因为 1× 0－ 0× 0＝ 0，找不到二阶矩阵 B ，使得 BA ＝ AB ＝E 成立，故 A ＝不可逆．0 2．如果向量 α是属于 λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量 α共线，故 t α也是属于 λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．[ 小题纠偏 ]1．矩阵 A ＝2 35的逆矩阵为 ____________． 6x y 解析：法一：设矩阵 A 的逆矩阵 A－1＝，z w2 3 x y1 0 则6 z w＝， 512x ＋ 3z 2y ＋ 3w 1 0即＝0 1 ， 5x ＋ 6z 5y ＋ 6w2x ＋ 3z ＝ 1，x ＝－ 2，2y ＋ 3w ＝ 0，y ＝ 1，所以解得55x ＋ 6z ＝ 0， z ＝ 3，5y ＋ 6w ＝ 1，2w ＝－ 3.A －1＝－21故所求的逆矩阵5－ 2 .3 3法二：注意到 2× 6－ 3×5＝－ 3≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，6 － 3－ 3－ 3－ 21且 A －1＝＝52 .－ 5 2－3 3－ 3 － 3－ 2 1 答案：5 － 2331 222．已知矩阵 A ＝－ 4 的一个特征值为 λ，向量 α＝是矩阵 A 的属于 λ的一个特a－ 3 征向量，则 a ＋ λ＝ _____.解析：因为 A α＝ λα，所以2－ 6＝ 2λ，即解得2a ＋ 12＝－ 3λ，所以 a ＋ λ＝－ 3－ 2＝－ 5.答案：－ 51 2 2 2a－ 4 － 3 ＝ λ ，－ 3a ＝－ 3，λ＝－ 2，考点一求逆矩阵与逆变换重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]－ 1 01 2 A －1已知矩阵 A ＝2， B ＝，求矩阵 B.6 解：设矩阵 A 的逆矩阵为a bc，d－ 1 0 a b1 0，即－ a － b 1 0则＝＝，2 c d12c 2d 0 11故 a ＝－ 1， b ＝ 0， c ＝ 0， d ＝2.所以矩阵 A 的逆矩阵为 A －1＝－ 11 .2所以 A－ 1 0 1 2－ 1－ 2－1B ＝1＝.0 632[ 由题悟法 ]求一个矩阵 A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义 AB ＝ BA ＝ E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．a b法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝：c d①若 ad － bc ＝ 0，则 A 的逆矩阵不存在．d－ b ②若 ad － bc ≠ 0，则－ 1ad － bc ad － bc.A ＝－ caad － bc ad － bc[ 即时应用 ]11 1已知 A ＝ 1， B ＝，求矩阵 AB 的逆矩阵．1 021 0 1－＝ 1≠ 0，解：法一：因为 A ＝1 ，且 1 ×2 02 0212 －111 0所以 A－1＝22 ＝，20 1－ 1 12 2 1－ 1.同理 B－1＝0 1因此 (AB)－1＝ B－1A －1＝1－ 1 1 0 1 － 20 2 ＝.0 1 0 211 1法二：因为 A ＝10 ， B ＝，20 1所以1 0 1 1 ＝ 11 ，且× 1－ × ＝ 1≠ 0，AB＝11 10 0 120 1222第 15 页共 21 页1 － 1 21 11 － 2所以 (AB)－1＝22.＝20 1 01 12 2考点二特征值与特征向量的计算及应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 a已知矩阵 M ＝，其中 a ∈ R ，若点 P(1，－ 2)在矩阵 M 的变换下得到点 P ′(－ 4,0)．2 1(1) 求实数 a 的值；(2) 求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量．解： (1) 由 2 a1－ 4 ，得－＝－＝＝3.2 1 －22 2a4? a2 3λ－ 2 － 3(2) 由 (1)知 M ＝，则矩阵 M 的特征多项式为 f (λ)＝＝( λ－ 2)( λ－ 1)－ 621－ 2 λ－ 12＝ λ－ 3λ－4.令 f(λ)＝ 0，得矩阵 M 的特征值为－ 1 与 4.λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝－ 1 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝0，得 x ＋ y ＝ 0，1所以矩阵 M 的属于特征值－ 1 的一个特征向量为；－1λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝ 4 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝ 0，得 2x － 3y ＝ 0.所以矩阵 M 的属于特征值4 的一个特征向量为3.2[ 由题悟法 ](1) 求矩阵 A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式 f(λ)，再由 f(λ)＝ 0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵 A所确定的二元一次方程组λ－ a x － by ＝ 0，即可求出特征向量．－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，(2) 根据矩阵 A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设 A ＝a b c ，根据 A α＝λαd构建 a ， b ， c ， d 的方程求解．[ 即时应用 ]1x 1 的属于特征值－ 21． (2015 江·苏高考 )已知 x ， y ∈ R ，向量 a ＝是矩阵 A ＝y 0 － 1的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．解：由已知，得 Aa ＝－ 2a ，x 11－－ 2即＝x 1＝，y0 － 1y2x － 1＝－ 2， x ＝－ 1，则即y ＝ 2，y ＝ 2，－11 所以矩阵 A ＝2.从而矩阵 A 的特征多项式f (λ)＝ (λ＋ 2)( λ－ 1)，所以矩阵 A 的另一个特征值为1.1 2．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 3 及对应的一个特征向量 α1＝，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (9,15) ，求矩阵 M .解：设 M ＝ a b ，则a b 1 1 3 a ＋ b ＝ 3，＝ 3＝，故c dc d 113c ＋d ＝ 3.a b － 1 9－a ＋ 2b ＝ 9，又＝，故c d215－ c ＋ 2d ＝ 15.联立以上两方程组解得a ＝－ 1，b ＝ 4，c ＝－ 3，d ＝ 6，－ 1 4故 M ＝.－ 3 6考点三根据 A ， α计算 A n αn ∈ N *重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]1 23给定的矩阵 A ＝， B ＝ .－ 1 4 2 (1) ， λ及对应的特征向量 α， α；求 A 的特征值 λ1 2 12(2) 求 A 4B.解： (1) 设 A 的一个特征值为 λ，由题意知：λ－ 1 － 2＝ 0，即 (λ－ 2)(λ－ 3)＝ 0，所以 λ1＝ 2， λ2＝ 3.1λ－ 4当 λ1＝ 2 时，由1 2 xx2 的特征向量 α1＝24 ＝ 2，得 A 属于特征值；－ 1 yy1当 λ2＝ 3 时，由1 2 xx 3 的特征向量 α2＝14 ＝ 3，得 A 属于特征值.－ 1 y y1(2) 由于 B ＝32 1＝ α＋ α，＝＋ 2 1 1 1 2故 A 4＝4 α＋ α ＝ 4α＋ 34α＝ 16α＋ 81α＝ 32 81＝ 1132 ＋ .16 8197[ 由题悟法 ]已知矩阵 A 和向量 α，求 A n α(n ∈ N * )，其步骤为：(1) 求出矩阵， λ和对应的特征向量 α， αA 的特征值 λ1 2 12. (2) 把 α用特征向量的组合来表示：α＝ s α1＋ t α2.nnn表示 A n(3) 应用 A α＝ s λα11 ＋ t λα.2α2[ 即时应用 ]已知 M ＝ 1 2 ， β＝ 1 ，计算 M 5β21 7.λ－ 1 － 2解：矩阵 M 的特征多项式为f( λ)＝2＝ λ－ 2λ－ 3.－ 2 λ－ 1令 f(λ)＝ 0，解得 λ＝1 3，λ＝－2 1，12 xx，得x ＋ 2y ＝ 3x ，令＝ 32 1 y y2x ＋ y ＝ 3y ，从而求得 λ1＝3 的一个特征向量为1α1＝，11同理得对应λ2＝－1的一个特征向量为α2＝－ 1.令β＝ mα1＋ nα2，则 m＝4， n＝－ 3.55α－ 3α555551－ 3× (－ 1)51β＝＝α－＝－＝×＝M M (44(M3(Mα4(λα3(λα312)1)2) 1 1)22)41－ 1975.9691．(2016 无·锡期末 )已知矩阵 A＝1012－1对应的变换把直线 l 0， B＝，若矩阵 AB21变为直线 l′： x＋ y－ 2＝ 0，求直线 l 的方程．解：由题意得 B－1＝1－ 2，01101－ 21－ 2所以 AB－1＝＝，020102设直线 l 上任意一点 (x， y)在矩阵 AB－1对应的变换下为点 (x′， y′ )，则1－ 2x＝02yx′x′＝ x－ 2y，，所以y′y′＝ 2y，将 x′， y′代入 l′的方程，得 (x－ 2y)＋ 2y－2＝ 0，化简后得 l： x＝ 2.12－ 11－12． (2016 江·苏高考 )已知矩阵 A＝0－2，矩阵 B 的逆矩阵 B＝2，求矩阵02AB.解：设 B＝ab，c d－11－1a b10则 B2＝，＝B c d010 2即错误 ! ＝错误 ! ，1a ＝ 1， a － 2c ＝ 1，1，11b ＝ 1b － 2d ＝ 0，4所以 B ＝4故解得.2c ＝ 0，c ＝ 0，121d ＝2d ＝ 1，2，1 1 1 51424因此， AB ＝ 0－ 2＝.1 0－123． (2016 南·京、盐城、连云港、徐州二模)已知 a ， b 是实数，如果矩阵 3 aA ＝所b － 2对应的变换 T 把点 (2,3) 变成 (3,4)．(1) 求 a ， b 的值；(2) 若矩阵 A 的逆矩阵为 B ，求 B 2.3 a23解： (1) 由题意得＝，b － 2 34所以 6＋ 3a ＝ 3,2b － 6＝ 4，所以 a ＝－ 1， b ＝ 5.3 － 1(2) 由 (1)得 A ＝.5 － 22 － 1由矩阵的逆矩阵公式得B ＝.5 － 32 － 1 2 － 1－ 1 1所以 B 2＝＝. 5 － 3 5 － 3 － 544． (2016 常·州期末 )已知矩阵 M ＝a 2 8 的一个特征向量是e ＝14的属于特征值，点b1P(－ 1,2)在 M 对应的变换作用下得到点Q ，求 Q 的坐标．a 2 1 1 解：由题意知4 b ＝ 8×，11a ＋ 2＝ 8，a ＝ 6，故解得4＋ b ＝ 8，b ＝ 4，6 2 － 1 ＝－ 2所以42，所以点 Q 的坐标为 (－2,4)．4 4－ 1 45． (2016 苏·州暑假测试 )求矩阵 M ＝2 的特征值和特征向量．6λ＋ 1 － 42解：特征多项式f(λ)＝＝ λ＋1)( λ－6)＝ λ－7)( λ＋ 2) ，－＝ λ－ λ－(85 14(－ 2 λ－ 6由 f(λ)＝ 0，解得 λ1＝ 7，λ2＝－ 2.8x － 4y ＝ 0，1 将 λ＝ 7 代入特征方程组，得即 y ＝ 2x ，可取为属于特征值 λ＝ 7 的11－ 2x ＋ y ＝ 0，2一个特征向量．－－＝，4x 4y 0同理， λ＝－2 2 时，特征方程组是即 x ＝－ 4y ，所以可取为属于－ 2x － 8y ＝ 0，－ 1特征值 λ2＝－ 2 的一个特征向量．M ＝－ 1 4λ1＝ 7， λ2＝－ 2.属于 λ1＝7 的一个特征向量综上所述，矩阵2 有两个特征值61，属于 λ2＝－ 2 的一个特征向量为4为－ 1. 23 6λ＝ 8 的一个特征向量e ＝ 6，及属于特征值 λ＝－ 36．矩阵 M ＝有属于特征值255的一个特征向量 e ＝13 ，计算 M3α2－ 1 .对向量 α＝ 8.解：令 α＝ me ＋ ne ，将具体数据代入，有m ＝ 1，n ＝－ 3，所以 α＝e － 3e 所以M 3α 1212 .3333 3 3 6 1 3 153＝ M － 3e ＝－ 3M － 3× (－3) 3 ＝(e 1＝ λ － 3λ ＝ 8.5－ 1 2 479－ 1 27． (2016 泰·州期末 )已知矩阵 M ＝5x 的一个特征值为－ 2，求 M 2.2λ＋ 1－ 22解：把 λ＝－ 2 代入－λ－＋＝，得＝，＝ λ－5λ－ x(x1)(x 5)x 3－2第 21 页共 21 页－ 124所以矩阵 M ＝65，所以 M 2＝.351428．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 8 及对应的一个特征向量 e 1＝1 ，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (－ 2,4). 求：(1) 矩阵 M;(2) 矩阵 M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2 的坐标之间的关系；(3) 直线 l ： x －y ＋ 1＝ 0 在矩阵 M 的作用下的直线 l ′的方程．a ba b 1 18解： (1) 设 M ＝，则c d 1 ＝ 8 ＝，c d1 8a ＋＝，b－1－2－a ＋ 2b ＝－ 2，b8a＝，故故c d＋＝8.24－c ＋ 2d ＝ 4.c da ＝ 6，b ＝ 2，62 联立以上两方程组，解得故 M ＝.c ＝ 4，44d ＝ 4，2(2) 由 (1) 知，矩阵 M 的特征多项式为f (λ)＝ (λ－ 6)( λ－ 4)－ 8＝λ－ 10λ＋ 16，故其另一个特征值为λ＝ 2.设矩阵 M 的另一个特征向量是e 2＝x ，y则 Me 2＝6x ＋ 2yx ，解得 2x ＋ y ＝0.＝ 2y4x ＋ 4y(3) 设点 (x ，y)是直线 l 上的任意一点，其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为 (x ′ ，y ′ )，则 6 2 x ＝x ′，即 x ＝ 1 ′ －1 ′ ，＝－1′ ＋3′ ，代入直线l 的方程后并化简，4 4 y′4x8yy4x8yy得 x ′ － y ′ ＋ 2＝0，即 x －y ＋ 2＝ 0.。