选修42选修42矩阵与变换

【知识拓展】 矩阵的转置
设A＝
，
所谓A的转置就是指矩阵A′＝
1．矩阵
(1)在数学中，把形如
这样的矩形数字(或字
母)阵列称做 矩阵 .把像[a11 a12]这样只有一行的矩阵称为
行矩阵 ，
像
这样只有一列的矩阵称为 列矩阵 .同一横排中按原来的次序排列的一行
数(或字母)叫做矩阵的 行 ，同一竖排中按原来的次序排列的一列数(或字母)叫做 矩阵的列 ，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素 .
解：(1)A＝
B＝
(2)变换f的逆变换f′是以原点为中心旋转－60°的旋转变换，故
A－1＝
变换g把任一向量 变成
，如要变回 ，只需
用实施一次切变变换
故B－1＝
(AB)－1＝B－1A－1＝
变式3：(盐城调研)已知矩阵M＝
，N＝
阵M－1N变换下的函数解析式．
解：M－1＝
，所以M－1N＝
即在矩阵M－1N的变换下有如下过程,
解：设M＝
依题意得 且
它是沿x轴方向的切变变换．
(2)∵
故点C′的坐标是(－1，－1)．
变式1：(南京调研)已知矩阵M＝
，N＝
.在平面直角坐标系中，设
直线2x－y＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．
解：由题设得MN＝
设(x，y)是直线2x－y＋1＝0上任意一点，点(x，y)在矩阵MN对应的变
选修42选修42矩阵与变换
【命题预测】 1．矩阵是研究数学问题和实际问题的一种工具，因此，掌握矩阵的运算方法就
显得非常重要．在高考中对这一部分的考查也主要体现在研究问题的方法 中． 2．由于这一部分是新增加的内容，也是高中数学教材与高等数学教材的接轨知 识，故难度不会很大，通常考查矩阵的基本运算，或与解析几何中二次曲线 的变换结合起来进行考查，以二阶矩阵的考查为主． 3．若有涉及生产实际中的问题，通常也会是一些基础的问题，主要与方程的变 换与求解结合起来，并且主要强调做题的技巧．矩阵带来的方便将会是考查 的方向，渗透等价转化与数形结合等基本数学思想．
(2)像
这样的矩阵，称为沿y轴或x轴的垂直伸压 变换矩阵．
(3)像
这样的矩阵，称为反射变换矩阵．
(4)像
这样的矩阵，称为旋转变换矩阵．
(5)像
这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称
为投影变换矩阵．
(6)像
(k∈R，k≠0)这样的矩阵，称为切变变换矩阵．
3．变换的复合与矩阵的乘法 (1)对于矩阵
(2)∵
，
故
变式4：(苏锡常镇四市高三教学情况调查)已知矩阵M＝
，其中a∈R，若
点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4,0)．
(1)求实数a的值；(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．
解：(1)由
.得2－2a＝－4，即a＝3.
(2)由wenku.baidu.com1)知，M＝
，则矩阵M的特征多项式为：
f(λ)＝
【应试对策】 1．矩阵变换的性质从代数方面可以简单概括为以下三条：对于给定的矩阵A
和任意的向量a和b，都有(1)A(a＋b)＝Aa＋Ab；(2)对于任意实数λ都有 A(λa)＝λ(Aa)；(3)综合(1)(2)可得对于任意实数λ和μ，都有A(λa＋μb)＝ λ(Aa)＋μ(Ab)．从几何角度来看，可逆的矩阵变换把直线变成直线，把线 段变成线段，把平行四边形变成平行四边形． 2．因为矩阵的乘法运算不满足交换律，对应的，对一个向量a先实施变换f， 再实施变换g和先实施变换g，再实施变换f，其结果通常也是不一样的．因 而做题时必须认真审题，弄清题意，不能混淆f(ga)和g(fa)．
4．对于特征值与特征向量，关键是要理解特征值与特征向量的本质含义，并会 求特征值与特征向量．判断矩阵的特征值与特征向量可通过验证Mα＝λα是否 成立．求解矩阵的特征值与特征向量要按步骤进行计算．对于特征值λ而言， 它的特征向量不唯一，若α为一个矩阵的特征向量，则tα(t∈R，t≠0)也为该矩 阵的特征向量.
矩阵的第一列对应元素乘积之和为其乘积矩阵的第一行第一列的元素，前一个矩阵的 第一行与第二个矩阵的第二列对应元素乘积之和为其乘积矩阵的第一行第二列的元素 ，前一个矩阵的第二行与后一个矩阵的第一列对应元素乘积之和作为乘积矩阵的第二 行第一列的元素，前一个矩阵的第二行与后一个矩阵的第二列对应元素乘积之和作为 乘积矩阵的第二行第二列的元素，在解题时不要弄错这个乘法规则.
，试求曲线y＝cos x在矩
则 y′＝cos 2x′，即曲线y＝cos x在矩阵M－1N的变换下的解析式为y＝2 cos 2x.
矩阵的特征值和特征向量在求解形如Mna的矩阵与向量的乘法运算中有重要
应用，应掌握求解二阶方阵的特征向量和特征值的基本方法．关于特征值问
题的一般解法探究如下：
给定矩阵A＝
，向量a＝ ，若有特征值λ，
(2)只有一行的矩阵称为行矩阵．
(3)只有一列的矩阵称为列矩阵．
(4)所有元素都为0的矩阵叫做 零 矩阵．
(5)对于两个矩阵A，B，只有当A，B的行数与列数分别相等，并且对应位置的元
素 也分别相等时 ，A和B才相等，记作 A＝B .
2．几种常见的平面变换
(1)矩阵E＝
称为恒等变换矩阵或 单位 矩阵．
换作用下变为(x′，y′)，
则有
，即
＝所以
因为点(x，y)在直线2x－y＋1＝0上．从而2x′－(－y′)＋1＝0，
即2x′＋y′＋1＝0.
所以曲线F的方程为2x＋y＋1＝0.
矩阵相乘时应灵活运用运算律，以提高解题效率，但要注意交换律和消去 律在矩阵的乘法中一般不成立．
【例2】 (江苏镇江)已知B＝
【发散思维】求一个二阶矩阵的逆矩阵的两种方法
求一个二阶矩阵的逆矩阵既可以根据逆矩阵的定义，采用上面的待定系数法，也
可以直接用求二阶矩阵的逆矩阵公式，一般地，二阶矩阵
的逆矩阵是
，本题也可以用这个方法解答．
【误点警示】 单位矩阵是指主对角线上的元素为1，其余元素为0的矩阵，不要误以为 为单位矩阵；矩阵的乘法规则是前一个矩阵的第一行元素与后一个
，
并且(AB)C＝
，求矩阵A.
思路点拨：本例在解题中应灵活应用矩阵乘法的结合律和逆矩阵的知识
，从而避开繁琐的计算．
答案：∵(AB)C＝A(BC)且BC＝
，
故
∴A＝
变式2：设矩阵A＝ 解：∵A＝ ∴A2＝AA ＝
A4＝(A2)2＝
由此猜想An＝
.求A2，A4，由此猜想An(n∈N*)．
＝ (n∈N*)．
＝λ2－5λ＋6＝0有解，故矩阵M有特征值和特征向量，
由λ2－5λ＋6＝0得λ1＝2，λ2＝3. 对于特征值λ1＝2，设λ1对应的特征向量是a＝
，
，则Ma＝λ1a，即
整理得
取a＝
作为特征值λ1＝2的特征向量．
同理，设对应特征值λ2＝3的特征向量为b＝ 程组
，得相应的线性方
取b＝
作为特征值λ2＝3的特征向量．
【高考真题】
【例5】 (2009·江苏卷)求矩阵A＝
的逆矩阵．
分析：设出矩阵A的逆矩阵，通过这个矩阵与其逆矩阵的乘积等于单位矩阵，列 出方程组求解．
规范解答：设矩阵A的逆矩阵为
，
则
，
即
故
解得 从而A的逆矩阵为A－1＝
【全解密】
【课本探源】本题考查的是矩阵的基础知识，类似的题目在各个版本《矩阵与变
逆矩阵是对应着原先变换的逆变换，求逆矩阵一般是先设出逆矩阵，通过与 原矩阵相乘得到的矩阵等于单位矩阵，由此得到方程组，解方程组便能求出 逆矩阵． 【例3】已知以原点为中心旋转60°的变换f对应于矩阵A，切变变换g： 对应于矩阵B. (1)写出矩阵A和矩阵B； (2)从逆变换的角度求解矩阵A和矩阵B的逆矩阵； (3)计算(AB)－1. 思路点拨：对于几何意义明显的线性变换(如题中的变换f和变换g)，要撑握它的逆变 换，利用逆变换求逆矩阵有时比利用行列式求逆矩阵要来得快捷简便．
解析：f(λ) ＝
＝(λ－1)2－4＝λ2－2λ－3.
答案：λ2－2λ－3
5．A＝
的特征值为________．
解析：f(λ)＝
＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3.由f(λ)＝
0得λ＝1或 λ＝3.
答案：1或3
给定一个二阶矩阵，就确定了一个变换，它的作用是将平面上一个点(向量)变 成了另外一个点(向量)．平面中常见的变换都可以用矩阵来表示．
1．已知A＝
， B＝
，且A＝B，则x＝________，y＝________，z
＝________，m＝________.
答案：3 0 1 －2
2.
＝________.
解析：
＝
答案：
3.
＝________.
解析：
＝1×4－(－1)×(－2)＝2.
答案：2
4．A＝
的特征多项式f(λ)＝________.
2．矩阵乘法的代数运算和几何意义从两个不同的方面刻画了矩阵乘法与变换复 合之间的内在联系，复杂的变换都可以通过简单的初等变换复合而成．
3．矩阵与变换的关系，本质上就是数与形的关系，在矩阵的乘法运算中，应注 意抓住矩阵所对应变换的几何意义进行分析，从数形结合这一数学思想方法 的高度来认识和把握矩阵乘法运算．
换》的教材中均有，如苏教版教材P95练习题就是：求矩阵 说本题是一道来源于教材的题目．
【知识链接】
矩阵的逆矩阵
的逆矩阵，可以
逆矩阵是指存在一个矩阵B，使得矩阵A与其乘积等于单位矩阵，即矩阵A的逆矩阵
满足AB＝BA＝I.一个二阶矩阵存在逆矩阵的充要条件是这个矩阵的行列式不等于0
，即矩阵
存在逆矩阵的充要条件是ad－bc≠0.
【例1】已知△ABC经过矩阵M的变换后，变成了△A′B′C′，且A(1,0)，B(1 ，－1)，C(0，－1)，A′(1,0)，B′(0，－1)． (1)试求出矩阵M，并说明它的变换类型；(2)试求出点C′的坐标． 思路点拨：对于已知变换前后的象和原象，求变换矩阵这类问题，我 们显然无法对所有的变换进行一一尝试，用待定系数法解题可起到事 半功倍的效果．
3．鉴于大多数同学对矩阵的运算还不熟练，在求逆矩阵和利用逆矩阵求 二元一次方程组时，一定要注意对计算结果进行检验．
4．矩阵的特征值和特征向量在求解形如Mna的矩阵与向量的乘法运算中有 重要应用，熟练掌握本讲知识，将可以大大减少运算量．另外，我们 还经常用它来解决生活类的问题，体现了矩阵知识在现实生活中的广 泛应用．
＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.
令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4.
当λ＝－1时，
⇒x＋y＝0，
∴矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为
；
当λ＝4时，
⇒2x－3y＝0，
∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为
.
【规律方法总结】
1．正确理解矩阵乘法的意义，熟练掌握二阶矩阵乘法的运算法则，是进行矩阵 乘法运算的关键，需要指出的是：一般地，矩阵乘法不满足交换律，即MN＝ NM不一定成立，这一点需要仔细体会．
C. (4)我们把
二阶行列式 称为
，记为
.
5．特征值与特征向量
(1)设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα
＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特
征向量．
(2)设A＝
是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝
＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式．
，规定乘法法则如下：
(2)一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律． (3)矩阵的乘法满足结合律，即 (AB)C＝A(BC) ． (4)矩阵的乘法不满足消去律．
4.逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的 . A的逆逆矩矩阵阵记作A－1. (2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且 . (AB)－1＝B－1A－1 (3)已知A、B、C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝
则
，即
，所以
，即λ2－(a＋d)λ＋(ad－bc)＝0.
【例4】 (江苏南京)已知矩阵M＝
(1)判断矩阵M是否有特征值和特征向量，如果有，求出它的特征值和特征向量；
(2)若向量c＝
求M5c.
思路点拨：求解特征值和特征向量是基本功，是后继应用的前提，同学们要在理解
其解题原理的基础上加以熟练掌握．
解：(1)∵方程