精选-高考数学一轮复习第3章导数及应用第4课时定积分与微积分基本定理练习理

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高三理数一轮复习第三章导数及其应用 3.4 定积分与微积分基本定理

��
f(t)dt.
(
)
(2)若
f(x)是连续的偶函数,则
�� -��
f(x)dx=2
�� 0
f(x)dx;若
f(x)是连续
的奇函数,则
�� -��
f(x)dx=0.
()
(3)在区间[a,b]上连续的曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 所
2
-��
|12
=
1-
1 2
-0+
1 2
×
22-2
−
1×
2
12-1
=1.
考点1
考点2
考点3
-14-
解题心得计算定积分的解题步骤: (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差. (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.
f(x) 2.定积分的几何意义
(,定积分
��
的几dx
何意义是由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面
积(图①中阴影部分).
图①
图②
(2)一般情况下,定积分
��
f(x)dx 的几何意义是介于x轴、曲线
; (其中 a<c<b).
-7-
知识梳理双基自测
1234
4.微积分基本定理
一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F'(x)=f(x),那么

高考数学一轮复习课件：第三篇导数及其应用第4讲定积分的概念与微积分基本定理

微积分基本定理的推论
推论一
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，那么对于任意 x∈[a, b]，有F(x)=∫xaf(t)dt。
推论二
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且∫abf(x)dx=0，则f(x)=0在[a, b]上至少有一个根。
03
定积分的应用
高档题解析
总结词
考察定积分的概念和微积分基本定理的综合应用。
详细描述
高档题涉及定积分的概念和微积分基本定理的综合应用，包括求复杂的定积分、利用微积分基本定理解决复杂问题等，需要较高的数学思维和解题能力。
THANK YOU
性质2
定积分的区间可加性，即对于闭区间[a,b]上的连续函数f(x)，有 ∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b) f(x)dx，其中c是a和b之间的任意一点。
性质3
定积分的常数倍性质，即对于任意实数k，有 ∫(a,b)kf(x)dx=k∫(a,b)f(x)dx。
02
变速直线运动的路程问题
总结词
通过定积分计算变速直线运动的路程
详细描述
对于一个变速直线运动，其速度函数为$v(t)$，根据定积分的定义，路程$s$可以表示为 $s = int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$，其中$t_1$和$t_2$分别为运动开始和结束的时间。
示例
如果一个物体在$0 leq t leq 2$时间内以速度函数$v(t) = t^2$运动，求其路程。根据定积分计算，得$s = int_{0}^{2} t^2 dt = left[frac{t^3}{3}right]_{0}^{2} = frac{8}{3}$。

高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.4 定积分与微积分基本定理真题演练集训理新人教A版(

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本定理真题演练集训理新人教A版1．[2014·陕西卷］定积分错误!(2x＋e x）d x的值为( )A．e＋2 B．e＋1C．e D．e－1答案：C解析：错误!(2x＋e x)d x＝(x2＋e x）错误!错误!＝（1＋e）－（0＋e0）＝e，故选C。

2．[2014·山东卷]直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（) A．2错误!B．4错误!C．2 D．4答案：D解析：由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2（舍去),根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为错误!(4x－x3）d x＝错误!错误!错误!＝4.3．[2015·天津卷］曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．答案：错误!解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由错误!得A（1,1）．故所求面积为S＝错误!(x－x2)d x＝错误!｜错误!＝错误!。

4．[2015·湖南卷］错误!(x－1）d x＝________.答案：0解析：错误!(x－1）d x＝错误!错误!错误!＝(2－2)－0＝0。

5．［2015·陕西卷］如图,一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．答案:1.2解析：建立如图所示的平面直角坐标系．由抛物线过点(0,－2），(－5，0），（5，0)，得抛物线的函数表达式为y＝225x2－2，抛物线与x轴围成的面积S1＝错误!－5错误!d x＝错误!，梯形面积S2＝错误!＝16。

走向高考高三数学一轮人教B课件：第3章第4节定积分与微积分基本定理理

x 2
dx＝( )
A．0
B.π4－21
C.π4－41
D．π2－1
[答案] B
[解析] π4－21.故选 B.
sin22xdx＝
(21－21cosx)dx＝(12x－12sinx) ＝
第三章导数及其应用
走向高考 ·高考总复习 ·人教B版 ·数学
3．(2014·福建泉州五中、莆田、漳州一中期末)由曲线y＝
5π 4
]与x轴围成的图形
的面积．
[错解]
设曲线f(x)＝sinx，x∈[0，
5π 4
]与x轴围成的图形的
面积为S，
第三章导数及其应用
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[辨析] 本题的错误在于没有理解定积分的几何意义，当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，其面积应是该定积分的相反数．
b
f(x)dx的几何意义：表示由直线x＝
a
a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面
积．当y<0时，即曲边梯形在x轴的下方时
b
f(x)dx在几何上表
a
示这个曲边梯形面积的相反数．
第三章导数及其应用
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一般情况下(如下图)，定积分
b
f(x)dx的几何意义是介于x
2 x
]dx＝(
1 2
x2－
2
x－2lnx)|42＝4－2ln2.
第三章导数及其应用
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[方法总结] 利用定积分求曲边梯形面积的步骤： (1)画出曲线的草图． (2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分，写出答案．

北师大版版高考数学一轮复习第三章导数及其应用定积分与微积分基本定理教学案理

一、知识梳理１．定积分的概念在错误!f（x）d x中，a，b分别叫作积分下限与积分上限，区间[a，b]叫作积分区间，f（x）叫作被积函数，x叫作积分变量，f（x）d x叫作被积式．２．定积分的性质（１）错误!kf（x）d x＝k错误!f（x）d x（k为常数）；（２）错误![f１（x）±f２（x）]d x＝错误!f１（x）d x±错误!f２（x）d x；（３）错误!f（x）d x＝错误!f（x）d x＋错误!f（x）d x（其中a<c<b）．３．微积分基本定理一般地，如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，且F′（x）＝f（x），那么错误!f（x）d x＝F（b）—F（a），这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式．其中F（x）叫作f（x）的一个原函数．为了方便，常把F（b）—F（a）记作F（x）错误!，即错误!f（x）d x＝F（x）错误!＝F（b）—F （a）．常用结论１．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．２．若函数f（x）在闭区间[—a，a]上连续，则有（１）若f（x）为偶函数，则错误!f（x）d x＝２错误!f（x）d x.（２）若f（x）为奇函数，则错误!f（x）d x＝0．二、教材衍化１．设f（x）＝错误!则错误!f（x）d x的值是（）Ａ．错误!x２d xＢ．错误!２x d xＣ．错误!x２d x＋错误!２x d xＤ．错误!２x d x＋错误!x２d x解析：选Ｄ．由分段函数的定义及定积分运算性质，得错误!f（x）d x＝错误!２x d x＋错误!x２d x.故选Ｄ．２．错误!错误!d x＝________．解析：错误!错误!d x＝ln（x—１）|错误!＝ln e—ln １＝１．答案：１３．若错误!（sin x—a cos x）d x＝２，则实数a等于________．解析：由题意知（—cos x—a sin x）错误!＝１—a＝２，a＝—１．答案：—１４．汽车以v＝（３t＋２）m/s作变速直线运动时，在第１s至第２s间的１s内经过的位移是________m.解析：s＝错误!（３t＋２）d t＝错误!错误!１＝错误!×４＋４—错误!＝１0—错误!＝错误!（m）．答案：错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）设函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，则错误!f（x）d x＝错误!f（t）d t.（）（２）若f（x）是偶函数，则错误!f（x）d x＝２错误!f（x）d x.（）（３）若f（x）是奇函数，则错误!f（x）d x＝0．（）（４）曲线y＝x２与直线y＝x所围成的区域面积是错误!（x２—x）d x.（）答案：（１）√（２）√（３）√（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）误解积分变量致误；（２）不会利用定积分的几何意义求定积分；（３）f（x），g（x）的图象与直线x＝a，x＝b所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错．１．定积分错误!（t２＋１）d x＝________．解析：错误!（t２＋１）d x＝（t２＋１）x|错误!＝２（t２＋１）＋（t２＋１）＝３t２＋３．答案：３t２＋３２．错误!错误!d x＝________解析：错误!错误!d x表示以原点为圆心，错误!为半径的错误!圆的面积，故错误!错误!d x＝错误!π×（错误!）２＝错误!.答案：错误!３．如图，函数y＝—x２＋２x＋１与y＝１相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是________．解析：由错误!得x１＝0，x２＝２．所以S＝错误!（—x２＋２x＋１—１）d x＝错误!（—x２＋２x）d x＝错误!错误!＝—错误!＋４＝错误!.答案：错误![学生用书P５３]定积分的计算（多维探究）角度一利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!cos x d x；（３）错误!错误!d x.【解】（１）因为（ln x）′＝错误!，所以错误!错误!d x＝２错误!错误!d x＝２ln x错误!＝２（ln ２—ln １）＝２ln ２．（２）因为（sin x）′＝cos x，所以错误!cos x d x＝sin x错误!＝sin π—sin 0＝0．（３）因为（x２）′＝２x，错误!′＝—错误!，所以错误!错误!d x＝错误!２x d x＋错误!错误!d x＝x２错误!＋错误!错误!＝错误!.角度二利用定积分的几何意义求定积分计算下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!（３x３＋４sin x）d x.【解】（１）根据定积分的几何意义，可知错误!错误!d x表示的是圆（x—１）２＋y２＝１的面积的错误!（如图中阴影部分）．故错误!错误!d x＝错误!.（２）设y＝f（x）＝３x３＋４sin x，则f（—x）＝３（—x）３＋４sin（—x）＝—（３x３＋４sin x）＝—f（x），所以f（x）＝３x３＋４sin x在[—５，５]上是奇函数．所以错误!（３x３＋４sin x）d x＝—错误!（３x３＋４sin x）d x.所以错误!（３x３＋４sin x）d x＝错误!（３x３＋４sin x）d x＋错误!（３x３＋４sin x）d x＝0．错误!计算定积分的解题步骤（１）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．（２）把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．（３）分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．（４）利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[提醒] 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．１．错误!e|x|d x的值为（）Ａ．２Ｂ．２eＣ．２e—２Ｄ．２e＋２解析：选Ｃ．错误!e|x|d x＝错误!e—x d x＋错误!e x d x＝—e—x错误!＋e x错误!＝[—e0—（—e）]＋（e—e0）＝—１＋e＋e—１＝２e—２，故选Ｃ．２．错误!错误!d x＝________．解析：错误!错误!d x＝错误!错误!d x＋错误!错误!x d x，错误!错误!x d x＝错误!，错误!错误!d x表示四分之一单位圆的面积，为错误!，所以结果是错误!.答案：错误!利用定积分求平面图形的面积（师生共研）（一题多解）求由抛物线y２＝２x与直线y＝x—４围成的平面图形的面积．【解】如图所示，解方程组错误!得两交点的坐标分别为（２，—２），（8，４）．法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，即S＝２错误!错误!d x＋错误!（错误!—x＋４）d x＝１8．法二：选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积S＝错误!错误!d y＝１8．错误!设阴影部分的面积为S，则对如图所示的四种情况分别有：（１）S＝错误!f（x）d x.（２）S＝—错误!f（x）d x.（３）S＝错误!f（x）d x—错误!f（x）d x.（４）S＝错误!f（x）d x—错误!g（x）d x＝错误![f（x）—g（x）]d x.１．已知曲线C：y＝x２＋２x在点（0，0）处的切线为l，则由C，l以及直线x＝１围成的区域的面积等于________．解析：因为y′＝２x＋２，所以曲线C：y＝x２＋２x在点（0，0）处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝２，所以切线方程为y＝２x，所以由C，l以及直线x＝１围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S＝错误!（x ２＋２x—２x）d x＝错误!x２d x＝错误!错误!＝错误!.答案：错误!２．已知函数f（x）＝—x３＋ax２＋bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为错误!，则a的值为________．解析：f′（x）＝—３x２＋２ax＋b，因为f′（0）＝0，所以b＝0，所以f（x）＝—x３＋ax２，令f （x）＝0，得x＝0或x＝a（a＜0）．S阴影＝—错误!（—x３＋ax２）d x＝错误!a４＝错误!，所以a＝—１．答案：—１定积分在物理中的应用（师生共研）（１）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7—３t＋错误!（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）Ａ．１＋２５ln ５B．8＋２５ln 错误!Ｃ．４＋２５ln ５D．４＋５0ln ２（２）一物体在力F（x）＝错误!（单位：N）的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝４（单位：m）处，则力F（x）做的功为________J.【解析】（１）令v（t）＝0得，３t２—４t—３２＝0，解得t＝４错误!.汽车的刹车距离是错误!错误!d t＝[7t—错误!t２＋２５ln（t＋１）]错误!＝４＋２５ln ５．（２）由题意知，力F（x）所做的功为W＝错误!F（x）d x＝错误!５d x＋错误!（３x＋４）d x＝５×２＋错误!错误!＝１0＋错误!＝３6（J）．【答案】（１）C （２）３6错误!定积分在物理中的两个应用（１）求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v（t），那么从时刻t＝a 到t＝b所经过的路程s＝错误!v（t）d t.（２）变力做功，一物体在变力F（x）的作用下，沿着与F（x）相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F（x）所做的功是W＝错误!F（x）d x.１．物体A以v＝３t２＋１（m/s）的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方５m处，同时以v＝１0t（m/s）的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t （s）为（）Ａ．３B．４Ｃ．５D．6解析：选Ｃ．因为物体A在t秒内行驶的路程为错误!（３t２＋１）d t，物体B在t秒内行驶的路程为错误!１0t d t，因为（t３＋t—５t２）′＝３t２＋１—１0t，所以错误!（３t２＋１—１0t）d t＝（t３＋t—５t２）错误!＝t３＋t—５t２＝５，整理得（t—５）（t２＋１）＝0，解得t＝５．２．设变力F（x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝１运动到x＝１0，已知F（x）＝x２＋１且方向和x轴正向相同，则变力F（x）对质点M所做的功为________J（x的单位：m；力的单位：N）．解析：变力F（x）＝x２＋１使质点M沿x轴正向从x＝１运动到x＝１0所做的功为W＝错误!F（x）d x＝错误!（x２＋１）d x，因为错误!′＝x２＋１，所以原式＝３４２（J）．答案：３４２[学生用书P２7４（单独成册）][基础题组练]１．定积分错误!（３x＋e x）d x的值为（）Ａ．e＋１Ｂ．eＣ．e—错误!Ｄ．e＋错误!解析：选Ｄ．错误!（３x＋e x）d x＝错误!错误!＝错误!＋e—１＝错误!＋e.２．若f（x）＝错误!f（f（１））＝１，则a的值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．—１Ｄ．—２解析：选Ａ．因为f（１）＝lg １＝0，f（0）＝错误!３t２d t＝t３错误!＝a３，所以由f（f（１））＝１得a３＝１，所以a＝１．３．若f（x）＝x２＋２错误!f（x）d x，则错误!f（x）d x＝（）Ａ．—１Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．１解析：选Ｂ．因为f（x）＝x２＋２错误!f（x）d x，所以错误!f（x）d x＝错误!|错误!＝错误!＋２错误!f（x）d x，所以错误!f（x）d x＝—错误!.４．设f（x）＝错误!则错误!f（x）d x的值为（）Ａ．错误!＋错误!Ｂ．错误!＋３Ｃ．错误!＋错误!Ｄ．错误!＋３解析：选Ａ．错误!f（x）d x＝错误!错误!d x＋错误!（x２—１）d x＝错误!π×１２＋错误!错误!＝错误!＋错误!，故选Ａ．５．由曲线y＝x２和曲线y＝错误!围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由错误!解得错误!或错误!所以阴影部分的面积为错误!（错误!—x２）d x＝错误!.故选Ａ．6．定积分错误!（x２＋sin x）d x＝________．解析：错误!（x２＋sin x）d x＝错误!x２d x＋错误!sin x d x＝２错误!x２d x＝２·错误!错误!＝错误!.答案：错误!7．错误!（x２tan x＋x３＋１）d x＝________．解析：因为x２tan x＋x３是奇函数．所以错误!（x２tan x＋x３＋１）d x＝错误!１d x＝x|错误!＝２．答案：２8．一物体受到与它运动方向相反的力：F（x）＝错误!e x＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝１时F （x）所做的功等于________．解析：由题意知W＝—错误!错误!d x＝—错误!错误!＝—错误!—错误!.答案：—错误!—错误!9．求下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!（cos x＋e x）d x.解：（１）错误!错误!d x＝错误!x d x—错误!x２d x＋错误!错误!d x＝错误!错误!—错误!错误!＋ln x错误!＝错误!—错误!＋ln ２＝ln ２—错误!.（２）错误!（cos x＋e x）d x＝错误!cos x d x＋错误!e x d x＝sin x错误!＋e x错误!＝１—错误!.１0．已知函数f（x）＝x３—x２＋x＋１，求其在点（１，２）处的切线与函数g（x）＝x２围成的图形的面积．解：因为（１，２）为曲线f（x）＝x３—x２＋x＋１上的点，设过点（１，２）处的切线的斜率为k，则k＝f′（１）＝（３x２—２x＋１）|x＝１＝２，所以过点（１，２）处的切线方程为y—２＝２（x—１），即y＝２x.y＝２x与函数g（x）＝x２围成的图形如图中阴影部分所示，由错误!可得交点A（２，４），O（0，0），故y＝２x与函数g（x）＝x２围成的图形的面积S＝错误!（２x—x２）d x＝错误!错误!＝４—错误!＝错误!.[综合题组练]１．由曲线xy＝１，直线y＝x，x＝３所围成的封闭平面图形的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．４—ln ３Ｃ．４＋ln ３Ｄ．２—ln ３解析：选Ｂ．画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy＝１，直线y＝x，x＝３所围成的封闭的平面图形如图所示：由错误!得错误!或错误!由错误!得错误!故阴影部分的面积为错误!错误!d x＝错误!错误!＝４—ln ３．２．设函数f（x）＝ax２＋c（a≠0），若错误!f（x）d x＝f（x0），0≤x0≤１，则x0的值为________．解析：错误!f（x）d x＝错误!（ax２＋c）d x＝错误!错误!＝错误!a＋c＝f（x0）＝ax错误!＋c，所以x错误!＝错误!，x0＝±错误!.又因为0≤x0≤１，所以x0＝错误!.答案：错误!３．错误!（错误!＋e x—１）d x＝________．解析：错误!（错误!＋e x—１）d x＝错误!错误!d x＋错误!（e x—１）d x.因为错误!错误!d x表示单位圆的上半部分的面积，所以错误!错误!d x＝错误!.而错误!（e x—１）d x＝（e x—x）错误!＝（e１—１）—（e—１＋１）＝e—错误!—２，所以错误!（错误!＋e x—１）d x＝错误!＋e—错误!—２．答案：错误!＋e—错误!—２４．若函数f（x）在R上可导，f（x）＝x３＋x２f′（１），则错误!f（x）d x＝________．解析：因为f（x）＝x３＋x２f′（１），所以f′（x）＝３x２＋２xf′（１）．所以f′（１）＝３＋２f′（１），解得f′（１）＝—３．所以f（x）＝x３—３x２.故错误!f（x）d x＝错误!（x３—３x２）d x＝错误!错误!＝—４．答案：—４５．如图，在曲线C：y＝x２，x∈[0，１]上取点P（t，t２），过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x＝0，x＝１及直线l围成的图形包括两部分，面积分别记为S１，S２.当S１＝S２时，求t的值．解：根据题意，直线l的方程是y＝t２，且0＜t＜１．结合题图，得交点坐标分别是A（0，0），P（t，t２），B（１，１）．所以S１＝错误!（t２—x２）d x＝错误!错误!＝t３—错误!t３＝错误!t３，0＜t＜１．S２＝错误!（x２—t２）d x＝错误!错误!＝错误!—错误!＝错误!t３—t２＋错误!，0＜t＜１．由S１＝S２，得错误!t３＝错误!t３—t２＋错误!，所以t２＝错误!.又0＜t＜１，所以t＝错误!.所以当S１＝S２时，t＝错误!.。

高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理学案理含解析北师大版

3.3 定积分与微积分基本定理必备知识预案自诊知识梳理1.定积分的定义如果函数f (x )的图像在区间[a ,b ]上连续,用分点a=x 0<x 1<…<x i-1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间,在每个小区间[x i-1,x i ]上任取一点ξi (i=1,2,…,n ),作和式∑i=1nf (ξi )Δx=∑i=1n b -a nf (ξi ),当n →+∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫作函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作∫baf (x )d x.2.定积分的几何意义(1)当函数f (x )的图像在区间[a ,b ]上连续且恒有f (x )≥0时,定积分∫baf (x )d x 的几何意义是由直线x=a ,x=b (a ≠b ),y=0和曲线y=f (x )所围成的曲边梯形(图①中阴影部分)的面积.图①图②(2)一般情况下,定积分∫baf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y=f (x )以及直线x=a ,x=b之间的曲边梯形(图②中阴影部分)面积的代数和,其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.3.定积分的性质(1)∫ba kf (x )d x= (k 为常数); (2)∫ba [f (x )±g (x )]d x= ;(3)∫baf (x )d x= (其中a<c<b ).4.微积分基本定理一般地,如果f (x )是图像在区间[a ,b ]上连续的函数,并且F'(x )=f (x ),那么∫baf (x )d x= .这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿—莱布尼茨公式,其中F(x)叫作f(x)的一个原函数.为了方便,我们常把F(b)-F(a)记作,即∫ba f(x)d x=F(x)|ab=F(b)-F(a).5.定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=∫bav(t)d t.(2)变力做功:某物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=∫baF(x)d x.1.定积分与曲边梯形的面积的关系:设图中阴影部分的面积为S,则(1)如图(1),S=∫baf(x)d x;(2)如图(2),S=-∫baf(x)d x;(3)如图(3),S=∫ca f(x)d x-∫bcf(x)d x;(4)如图(4),S=∫ba[f(x)-g(x)]d x.2.设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有:(1)若f(x)是偶函数,∫a-a f(x)d x=2∫af(x)d x;(2)若f(x)是奇函数,则∫a-af(x)d x=0.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若函数y=f(x)的图像在区间[a,b]上连续,则∫ba f(x)d x=∫baf(t)d t.()(2)若f(x)是图像连续的偶函数,则∫a-a f(x)d x=2∫af(x)d x;若f(x)是图像连续的奇函数,则∫a-af(x)d x=0.()(3)在区间[a,b]上连续的曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a≠b),y=0所围成的曲边梯形的面积S=∫ba|f(x)|d x.()(4)若∫baf (x )d x<0,则由y=f (x ),x=a ,x=b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方. ( )(5)已知质点移动的速度v=10t ,则质点从t=0到t=t 0所经过的路程是∫t010t d t=5t 02.( )2.已知函数f (x )={√x ,1<x ≤4,x |x |,-1≤x ≤1,则∫4-1f (x )d x=( )A.14B.143C.7D.2123.汽车以v=(3t+2)m/s 做变速运动时,在第1 s 至2 s 之间的1 s 内经过的路程是( ) A.5 m B.112 mC.6 mD.132m4.(2020湖南师大附中测试)直线y=4x 与曲线y=x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.2√2B.4√2C.2D.45.(2020江西南昌模拟)设a>0,若曲线y=√x 与直线x=a ,y=0所围成的封闭图形的面积为a 2,则a= .关键能力学案突破考点定积分的计算【例1】计算下列定积分. (1)∫10(-x 2+2x )d x ;(2)∫π(sin x-cos x )d x ;(3)∫21(e 2x +1x )d x ; (4)∫π2√1-sin2x d x.思考计算定积分的步骤有哪些?解题心得计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差. (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和. 对点训练1(1)∫3-1(3x 2-2x+1)d x ;(2)∫21(x -1x )d x ;(3)∫π-π(x 3cos x )d x ;(4)∫20|1-x|d x.考点利用定积分的几何意义求定积分【例2】已知函数f (x )={-x +2,x ≤2,√1-(x -3)2,2<x ≤4,则定积分∫412f (x )d x 的值为( )A.9+4π8 B.1+4π4C.1+π2D.3+2π4思考怎样求曲线围成平面图形的面积?解题心得当被积函数的原函数不易求,而被积函数的图像与直线x=a ,x=b ,y=0所围成的曲边图形形状规则,面积易求时,利用定积分的几何意义求定积分.对点训练2(2020四川成都一中测试)∫1-1(√1-x 2+sin x )d x=( )A.π4 B.π2C.πD.π2+2考点定积分的应用 (多考向探究)考向1 求曲线围成的平面图形的面积【例3】(1)如图所示,曲线y=x2-1,x=2,x=0,y=0围成的阴影部分的面积为() A.∫2|x2-1|d xB.∫21(1-x2)d x+∫1(x2-1)d xC.∫2(x2-1)d xD.∫21(x2-1)d x+∫1(1-x2)d x(2)(2020云南昆明一中测试)如图是函数y=cos2x-5π6在一个周期内的图像,则阴影部分的面积是()A.34B.54C.32D.32−√34思考怎样求曲线围成的平面图形的面积?考向2已知曲线围成的面积求参数【例4】(2020安徽合肥摸底)由曲线f(x)=√x与y轴及直线y=m(m>0)围成的图形的面积为83,则m的值为()A.2B.3C.1D.8思考应用怎样的数学思想解决已知曲线围成的面积求参数问题?考向3定积分在概率中的应用【例5】(2020山西太原联考)如图,在矩形ABCD中的曲线是y=sin x,y=cos x的一部分,点A(0,0),B(π2,0),D(0,1),在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.4π(√3-1) B.4π(√2-1)C.4(√3-1)πD.4(√2-1)π思考怎样求定积分与概率的交汇问题? 考向4 定积分在物理中的应用【例6】(1)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v (t )=7-3t+251+t(t的单位:s ,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车行驶的距离(单位:m)是( )A.1+25ln 5B.8+25ln113C.4+25ln 5D.4+50ln 2(2)一物体在力F (x )={5,0≤x ≤2,3x +4,x >2(单位:N )的作用下沿与力F 相同的方向从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F (x )做的功为 J .思考利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题的关键是什么?解题心得1.对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大致图形,然后根据图形特点,选择相应的积分变量及被积函数,并确定被积区间.2.已知图形的面积求参数,一般是先画出它的草图;然后确定积分的上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,再应用方程的思想建立关于参数的方程,从而求出参数的值.3.与概率相交汇问题.解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积,再用相应概率公式进行计算.4.利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求.对点训练3(1)如图,由两条曲线y=-x 2,y=-14x 2及直线y=-1所围成的平面图形的面积为 .(2)已知t>1,若∫t1(2x+1)d x=t 2,则t= .(3)如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC 内,曲线y=x 3(x>0)和曲线y=√x 围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A.512 B.16C.14D.13(4)汽车以36 km/h 的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以加速度a=-2 m/s 2刹车,则从开始刹车到停车,汽车走的距离是 m .(5)设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1,且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为J(x的单位:m;力的单位:N).1.求定积分的方法:(1)利用定义求定积分,可操作性不强.(2)利用微积分基本定理求定积分的步骤如下:①求被积函数f(x)的一个原函数F(x);②计算F(b)-F(a).(3)利用定积分的几何意义求定积分.2.定积分∫baf(x)d x的几何意义是x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b围成的曲边梯形的面积的代数和.在区间[a,b]上连续的曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a≠b),y=0所围成的曲边梯形的面积S=∫ba|f(x)|d x.1.被积函数若含有绝对值号,应去掉绝对值号,再分段积分.2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须分清谁是被积变量.3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负.3.3定积分与微积分基本定理必备知识·预案自诊知识梳理3.(1)k∫baf(x)d x(2)∫ba f(x)d x±∫bag(x)d x(3)∫ca f(x)d x+∫bcf(x)d x4.F(b)-F(a)F(x)|ab考点自诊1.(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√2.B 函数f (x )={√x ,1<x ≤4,x |x |,-1≤x ≤1,则∫4-1f (x )d x=∫1-1x|x|d x+∫41√x d x=0+23x 32 14=143.故选B .3.D S=∫21(3t+2)d t=(32t 2+2t) 12=92+2=132.故选D .4.D 由{y =4x ,y =x 3,得x=0或x=2或x=-2(舍),∴S=∫2(4x-x 3)d x =2x 2-14x 402=4.5.49封闭图形如图阴影部分所示,则∫a√x d x=23x32a =23a 32=a 2,解得a=49.关键能力·学案突破例1解(1)∫1(-x 2+2x )d x=∫10(-x 2)d x+∫12x d x=(-13x 3) 01+(x 2) 01=-13+1=23. (2)∫π(sinx-cosx )dx=∫π0sinxd x-∫π0cos x d x=(-cos x ) π0-sin x π0=2.(3)∫21(e 2x +1x )dx=∫21e 2x dx+∫211x x=12e d 2x 12ln x 12=12e+4-12e 2+ln2ln1=e-4-12e122+ln2.(4)∫π2√1-sin2x dx=∫π2|sinx-cos x|d x=∫π4(cos x-sin x )d x+∫π2π4(sin x-cos x )d x=(sinx+cos x ) 0π4+(-cos x-sin x ) π4π2=√2-1+(-1+√2)=2√2-2. 对点训练1解(1)∫3-1(3x 2-2x+1)d x=(x 3-x 2+x )|-13=24. (2)∫21(x -1x )d x=12x 2-ln x 12=32-ln2.(3)因为y=x 3cos x 为奇函数, 所以∫π-π(x 3cos x )d x=0.(4)∫20|1-x|dx=∫10(1-x)dx+∫21(x-1)d x=(x -12x 2) 01+12x 2-x 12=(1-12)-0+12×22-2-12×12-1=1.例2A 因为f (x )={-x +2,x ≤2,√1-(x -3)2,2<x ≤4, 所以∫412f (x)dx=∫212(-x+2)dx+∫42√1-(x -3)2d x ,∫212(-x+2)d x=-12x 2+2x122=98.∫42√1-(x -3)2d x 的几何意义为以(3,0)为圆心,以r=1为半径的圆在x 轴上方的部分,因而S=12×π×12=π2, 所以∫412f (x )d x=98+π2=9+4π8.故选A .对点训练2B ∫1-1(√1-x 2+sin x )d x=∫1-1√1-x 2d x+∫1-1sin x d x ,∵y=sin x 为奇函数,∴∫1-1sin x d x=0. 又∫1-1√1-x 2d x 表示以坐标原点为圆心,以1为半径的圆的上半圆的面积,∴∫1-1√1-x 2d x=π2. ∴∫1-1(√1-x 2+sin x )d x=π2.例3(1)A (2)B (1)由曲线y=x 2-1,直线x=0,x=2和x 轴围成的封闭图形的面积为S=∫1(1-x 2)d x+∫21(x 2-1)d x.根据对称性,它和函数y=|x 2-1|,直线x=0,x=2和x 轴围成的封闭图形的面积相等,如图所示,即S=∫2|x 2-1|d x.(2)阴影部分的面积为 S=-∫π60cos 2x-5π6d x+∫2π3π6cos 2x-5π6d x =-12sin 2x-5π60π6+12sin 2x-5π6π62π3=-12sin -π2-12sin -5π6+12sin π2−12sin -π2=14+1=54.故选B .例4A 由题知曲线f (x )=√x 与直线y=m 的交点为(m 2,m ),则∫m 2(m-√x )d x=mx-23x 320m 2=m 3-23m 3=83,解得m=2.例5B S 阴影=2∫π40(cos x-sin x )d x=2[sin x+cos x ] 0π4=2(√2-1),S ABCD =π2×1=π2,由测度比是面积比可得,此点取自阴影部分的概率是P=S 阴影S ABCD=2(√2-1)π2=4π(√2-1).故选B .例6(1)C (2)36 (1)由v (t )=7-3t+251+t=0,可得t=4,t=-83(舍去),因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s,此期间行驶的距离为∫40v (t )d t=∫47-3t+251+td t=7t-32t 2+25ln(1+t )04=4+25ln5(m).(2)由题意知,力F (x )所做的功为W=∫42F (x )d x=∫425d x+∫42(3x+4)d x=5×2+32x 2+4x 24=10+32×42+4×4-32×22+4×2=36(J).对点训练3(1)43(2)2 (3)A (4)25(5)342 (1)由{y =-x 2,y =-1得交点A (-1,-1),B (1,-1).由{y =-14x 2,y =-1得交点C (-2,-1),D (2,-1).所以所求面积S=2∫2(-14x 2+1)−∫1(-x 2+1)=43.(2)∫t1(2x+1)d x=(x 2+x ) 1t =t 2+t-2,从而得方程t 2+t-2=t 2,解得t=2.(3)此题为关于面积的几何概型,边长为1的正方形AOBC 的面积为1,叶形图(阴影部分)的面积S (A )=∫10(√x -x 3)d x=(23x 32-14x4) 01=512.所以所求概率P (A )=512.故选A .(4)t=0时,v 0=36km/h=10m/s ,刹车后,汽车减速行驶,速度为v(t)=v 0+at=10-2t ,由v (t )=0得t=5s,所以从刹车到停车,汽车所走过的路程为∫5v(t)dt=∫5(10-2t )d t=(10t-t 2) 05=25(m).(5)变力F (x )=x 2+1使质点M 沿x 轴正向从x=1运动到x=10所做的功为W=∫101F (x )d x=∫101(x 2+1)d x=(13x 3+x) 110=342(J).。

第三章导数及其应用3-4定积分与微积分基本定理(理)

(4)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐的运算，是求定积分常用的方法． (5)定义法：用定义求定积分是最基本的求定积分方法．

[例1] 用定积分的定义求由y＝3x，x＝0，x ＝1，y＝0
[解析] (1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间
i－1 i 1 n ，n (i＝1,2，…，n)．其长度为Δx＝ n ，把曲边
2x
1 2 1 1－1|x|dx＝2 xdx＝2× x |0 ＝1；解析：(1) 2
1 0
1 1 3 1 －3 2 (2) x ＋x4dx＝ 3x －3x 1
2 1

2
8 1 1 1 21 ＝－－＋＝ . 3 3 3×8 3 8
＝(x
2
1 3 3 32 3 ＋3x)|－1 － x |－1 ＝ . 3 3
32 答案： 3

点评：利用定积分求平面图形的面积时，关键是将待求面积的平面图形看成可求积分的平面图形的和或差，还要注意待求面积的平面图形在y轴上方还是下方，以确定积分的正负．
由曲线y＝ x，y＝x2所围成图形的面积为____．
b a b a
n －1 i ＝0
分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．
对定义的几点说明：
b f(x)dx是一个常数． (1)定积分
a
(2)用定义求定积分的一般方法是： ①分割区间：将区间分为n个小区间，实际应用中常常是n等分区间[a，b]； ②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
b－a ③求和： f(ξi)· ； n i＝1

高考数学一轮复习第三章第4课时定积分与微积分基本定理理

(3)2|3－2x|dx 1
(4)y＝ 1－x2，∴x2＋y2＝1，y≥0.
∴1
1－x2dx 几何意义为14个圆的面积．
0
∴1
1－x2dx＝14π.
0
【答案】
(1)134－ln2
(2)－14
1 (3)2
π (4)4
探究1 (1)计算一些简单的定积分，解题的步骤是： ①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； ②把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分； ③分别用求导公式找到一个相应的原函数； ④利用微积分基本定理求出各个定积分的值； ⑤计算原始定积分的值． (2)对于不便求出被积函数的原函数的，可考虑用定积分的几何意义求解．
1．定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝ x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个区间[xi－1，xi]上取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式
＝
，当n→＋∞时，
上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在
区间[a，b]上定积分，记作
A．e＋2
B．e＋1
C．e
D．e－1
答案 C
解析选 C.
1(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此
0
4．若1f(x)dx＝1，2f(x)dx＝－1，则2f(x)dx＝________.
0
0
1
答案－2
解析 ∵2f(x)dx＝1f(x)dx＋2f(x)dx，
0
0
，即
b
f(x)dx＝
a

2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第四讲定积分与微积分基本定理课件理

.
3

1
解析 (1)因为(ln )＇ = , 所以‫׬‬

2
1
2
d = 2‫׬‬

2
1
1
d = 2ln| 12 = 2(ln2−

ln1) = 2ln2.
(2)因为(sin)‘ = cos,所以‫׬‬
π
π = sin π−sin0 = 0.
cosd
=
sin|
0
0
考向1
(3)
‫׬‬
(1)若f(x)为偶函数,则‫׬‬− f(x)dx=2‫׬‬0

f(x)dx;
(2)若函数f(x)为奇函数,则‫׬‬− ()d=0.
考点2
微积分基本定理
一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F＇(x)=f(x),那么

‫׬‬
f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼茨
| ；
|
；

(3)‫׬‬
1
(5)‫ ׬‬dx=ln|x|

sin xdx=-cos x | ；
| ；

(6)‫׬‬
exdx=ex | ；
理解自测
判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).

(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则‫׬‬

f(x)dx=‫׬‬
奇函数.
0
所以 ‫׬‬−5 （ 3 3 + 4sin)d = −‫ ׬‬50 (3 3 + 4sin x)dx.
5
所以 ‫׬‬−5 （ 3 3 + 4sin)d = 0.
考向1

新课标高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理课件理

第九页，共25页。
(2016·丽水模拟)曲线 y＝x2 和曲线 y2＝x 围成的图形面积是________．
解：由yy＝2＝xx2，
得x＝0，或x＝1， y＝0 y＝1，
则所求面积
为1( x－x2)dx＝23x32－13x3|10＝13.故填13. 0
第十页，共25页。
(2016·苍南模拟)1( 1－x2－x)dx＝________. 0
2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．
3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．
第二十五页，共25页。
解：01( 1－x2－x)dx＝01 1－x2dx－01xdx＝π4
－12x2|10＝π4 －12.故填π4 －12.
第十一页，共25页。
类型一计算简单函数的定积分
计算下列定积分：
(1)－ 3 1(3x2－2x＋1)dx； (2)2x－1xdx；
1
(3)π(sinx－cosx)dx. 0
第十二页，共25页。
点分别为(－1，0)和(1，0)．
所以 S＝2|x2－1|dx＝1(1－x2)dx＋2(x2－1)dx
0
0
1
＝x－x33|10＋x33－x|12＝1－13＋38－2－13－1＝
2.故填 2.
【点拨】用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意：对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．
解：(1)－3 1(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|3－1＝24.

统考版2022届高考数学一轮复习第三章3.3定积分与微积分基本定理学案理含解析

第三节定积分与微积分基本定理【知识重温】一、必记6个知识点 1．定积分的定义及相关概念一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝i ＝1nb －a n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎜⎛ab f(x)d x.在⎠⎜⎛ab f(x)d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间①________叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做②________，③________叫做被积式．2．定积分的几何意义3.定积分的性质(1)⎠⎜⎛a b kf(x)d x ＝⑧________(k 为常数)．(2)⎠⎜⎛ab [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝⑨________.(3)○10________＝⎠⎜⎛a c f(x)d x ＋⎠⎜⎛cb f(x)d x(其中a ＜c ＜b)．4．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x)，那么⎠⎜⎛ab f(x)d x ＝⑪________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式．5．定积分与曲线梯形面积的关系设阴影部分的面积为S. (1)S ＝⎠⎜⎛ab f(x)d x.(2)S ＝⑫________. (3)S ＝⑬________.(4)S ＝⎠⎜⎛a b f(x)d x －⎠⎜⎛a b g(x)d x ＝⎠⎜⎛ab [f(x)－g(x)]d x.6．定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系 (1)s ＝⑭________；(2)W ＝⑮________. 二、必明4个易误点1．被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上连续，则⎠⎜⎛a b f(x)d x ＝⎠⎜⎛ab f(t)d t.( )(2)若⎠⎜⎛ab f(x)d x<0，则由y ＝f(x)，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )(3)若f(x)是偶函数，则⎠⎜⎛-a a f(x)d x ＝2⎠⎜⎛0a f(x)d x.( )(4)若f(x)是奇函数，则⎠⎜⎛-aa f(x)d x ＝0.( )二、教材改编2.⎠⎜⎛01(e x ＋3x 2)d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋13．22ππ-⎰(1＋cos x)d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2三、易错易混4．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A .12B ．1C .32D . 35.⎠⎜⎛-11 e |x|d x 的值为________．考点一定积分的计算[自主练透型] 1．计算下列定积分： (1)⎠⎜⎛122x d x ；(2)⎠⎜⎛0πcos x d x ；(3)⎠⎜⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x.2．利用定积分的几何意义计算下列定积分： (1)⎠⎜⎛011－(x －1)2d x ；(2)⎠⎜⎛-55 (3x 3＋4sin x)d x.悟·技法求定积分的4大常用方法考点二定积分的几何意义[互动讲练型][例1] [2021·某某某某中学第二次调研]如图，阴影部分是由曲线y＝2x2和圆x2＋y2＝3及x轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为________．悟·技法利用定积分求平面图形面积的4步骤 (1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和． (4)计算定积分，写出答案.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·某某统考]过点(－1,0)的直线l 与曲线y ＝x 相切，则曲线y ＝x 与l 及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．考点三定积分在物理中的应用[互动讲练型][例2] [2021·某某瓦房店四校联考]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，从刹车开始，其速度与时间的关系式为v(t)＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m /s )，从开始刹车到停止，汽车行驶的路程(单位：m )是( )A ．(1＋25ln 5)mB .⎝⎛⎭⎪⎫8＋25ln 113mC ．(4＋25ln 5)mD ．(4＋50ln 2)m悟·技法定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v(t)，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎜⎛ab v(t)d t.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F(x)所做的功是W ＝⎠⎜⎛ab F(x)d x.[变式练]——(着眼于举一反三)2．以初速40 m /s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A .1603mB .803mC .403mD .203m第三节定积分与微积分基本定理【知识重温】①[a ，b ] ②积分变量 ③f (x )d x ④x ＝a⑤x ＝b ⑥x ＝a ⑦x ＝b ⑧k ⎠⎜⎛a b f(x)d x ⑨⎠⎜⎛a b f 1(x)d x ±⎠⎜⎛a b f 2(x)d x ⑩⎠⎜⎛ab f(x)d x ⑪F(b)－F(a)⑫－⎠⎜⎛ab f(x)d x⑬⎠⎜⎛ac f(x)d x －⎠⎜⎛cb f(x)d x ⑭⎠⎜⎛ab v(t)d t ⑮⎠⎜⎛ab F(x)d x 【小题热身】1．答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．解析：⎠⎜⎛01(e x ＋3x 2)d x ＝(e x ＋x 3)⎪⎪⎪⎪10＝(e 1＋1)－e 0＝e ，故选C .答案：C3．解析：因为(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，所以22ππ-⎰(1＋cos x)d x ＝(x ＋sin x)⎪⎪⎪⎪π2－π2＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2.答案：D4．解析：由题意知S ＝33ππ-⎰cos x d x ＝sin x⎪⎪⎪⎪π3－π3＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32＝ 3.答案：D5．解析：11-⎰e |x|d x ＝01-⎰e －x d x ＋1⎰e x d x ＝－e －x ⎪⎪⎪⎪ 0－1＋e x ⎪⎪⎪⎪10＝[－e 0－(－e )]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2.答案：2e －2 课堂考点突破考点一1．解析：(1)因为(ln x )′＝1x ，所以⎠⎜⎛122x d x ＝2⎠⎜⎛121x d x ＝2ln x ⎪⎪⎪⎪21＝2(ln 2－ln 1)＝2ln 2.(2)因为(sin x)′＝cos x ，所以⎠⎜⎛0πcos x d x ＝sin x⎪⎪⎪⎪π0＝sin π－sin 0＝0.(3)因为(x 2)′＝2x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，所以⎠⎜⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x ＝⎠⎜⎛132x d x ＋⎠⎜⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪31＋1x⎪⎪⎪⎪31＝223. 2.解析：(1)根据定积分的几何意义，可知⎠⎜⎛011－(x －1)2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14.故⎠⎜⎛011－(x －1)2d x ＝π4.(2)设y ＝f(x)＝3x 3＋4sin x ，则f(－x)＝3(－x)3＋4sin (－x)＝－(3x 3＋4sin x)＝－f(x)，所以f(x)＝3x 3＋4sin x 在[－5,5]上是奇函数．所以05-⎰(3x 3＋4sin x)d x ＝－⎠⎜⎛05(3x 3＋4sin x)d x. 所以55-⎰(3x 3＋4sin x)d x ＝05-⎰3x 3＋4sin x)d x ＋⎠⎜⎛05(3x 3＋4sin x)d x ＝0. 考点二例1 解析：易求得曲线y ＝2x 2和圆x 2＋y 2＝3在第一象限的交点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32，作直线OA ，则直线OA 的方程为y ＝3x ，如图．则直线OA 与抛物线y ＝2x 2所围成的图形的面积S 1＝0(3x －2x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32x 2－23x 3⎪⎪⎪⎪ 320＝32×34－23×338＝38，易知扇形AOB 的圆心角为π3，则扇形AOB 的面积S 2＝12×π3×3＝π2，所以阴影部分的面积S ＝S 2－S1＝π2－38.答案：π2－38变式练1．解析：因为y ＝x 的导数为y ′＝12x ，设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为12x 0＝x 0x 0＋1，解得x 0＝1，即切线的斜率为12，所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋1)，所以所围成的封闭图形的面积为⎠⎜⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋1)－x d x ＋12×1×12＝(14x 2＋12x －23x 32)⎪⎪⎪10＋14＝13. 答案：13考点三例2 解析：由7－3t ＋251＋t ＝0，解得t ＝4或t ＝－83(不合题意，舍去)，故汽车经过4 s 后停止，在此期间汽车行驶的路程为⎠⎜⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )⎪⎪⎪⎪ 40＝4＋25ln 5(m )．答案：C变式练2．解析：由v ＝40－10t 2＝0，得t 2＝4，t ＝2.所以h ＝⎠⎜⎛02(40－10t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 3⎪⎪⎪⎪20 ＝80－803＝1603(m )．答案：A。