(白)(北理工教材)Y-相对论习题课 (1)

x xB xA 100m
在S’系中，跑道的起点和终点的坐标可以由洛伦兹变换得到：
' xA
x A ut A u2 1 2 c xB ut B u2 1 2 c
' xB
在S’系中跑道的长度为：
' ' x ' x B x A
( xB x A ) u (t B t A ) u2 1 2 c
例1。在S系中的x轴相隔为Δx处有两只同步的A钟和B钟，读数相同，在S’系的 x’轴上也有一只同样的钟A’，若S’系相对于S系的运动速度为v，沿x轴方向且 A’与A相遇时，刚好两钟的读数均为零。那么，当A’钟与B钟相遇时，在S系中B 2 2 c。 ’系中A’钟的读数为 x 1 v 钟的读数为 x v ；此时，在S
0.8c 100 c2 16.6 s 0.8c 2 1 ( ) c
v
x 100 10m / s t 10
x ' 4.0 109 v' ' 2.4 108 m / s t 16.6
当然也可以用速度变换公式直接得到：
vx u 10 0.8c v' v 2.4 108 m / s u 0.8c 1 2 vx 1 2 10 c c
这样在S’系中观测，运动员从起点到终点所用的时间为：
' ' t ' t B t A
(t B t A )
u u ( xB x A ) t 2 x c2 c u2 u2 1 2 1 2 c c

10
（3）运动员在S系中的平均速率为： 在S‘系中的平均速率为：
y轴方向：
y ' y l sin
所以，在S‘系中长度为：
u l ' (x ') (y ') l (1 cos 2 ) c
2 2 2
2
1 2
L’与 x’轴夹角为：
u 2 21 arctan arctan[tan (1 2 ) ] 2 c u l cos 1 2 c l sin
m1v uM ; m1c m2c Mc
2 2
2
由相对论质量和动量关系
m
m0
2
m10v
得到：
v 1 2 c
2

uM
u 1 2 c p mv m0 v
m0
m10c
2 2
同理，由相对论能量关系可以得到：
v 1 2 c
m20c 2 Mc 2
由上述两个方程联立，可以求得：
则由洛伦兹变换得到：
x1
x1' ut1' u2 1 2 c
; x2
' ' x2 ut2
u2 1 2 c
由于这两个事件在S系发生在同一地点，即 x1=x2，于是有：
x x u t t 9 10 m
' 2 ' 1 ' 1 ' 2 8
即在S‘系中观察这两个事件发生在不同地点，他们在相对速度方 向上相距9*108m。

x u t u2 1 2 c

100 0.8c 10 4.0 109 m 0.8c 2 1 ( ) c
其中负号表示在S‘系中观测，运动员沿X’轴负方向运动。 同样，由洛伦兹时间变换公式可以求得在S‘系中起点和终点的时 刻：
u u t A 2 xA t B 2 xB ' ' c c tA ; tB u2 u2 1 2 1 2 c c
（2）运动员跑过的距离为：
u2 0.8c 2 x ' x 1 2 100 1 ( ) 60m c c
所用的时间为：
t
t0 u2 1 2 c

10 16.7 s 0.8c 2 1 ( ) c
分析：以地面参考系为S系，飞船参考系为S’系。跑道固定在S中 ，其长度为原长，在S‘系中由长度收缩公式可以求得跑道的长度 。对S’系来说，运动员从起跑到终点是既不同地也不同时，所以 只能用洛伦兹变换来计算。 （2）设在S系中，起点和终点坐标分别为xA和xB,，则跑道的长度为：
' x
例5、在惯性系S中的同一地点发生两个事件，事件B比事件A晚4 s发生。在另一个惯性系S’中观察，事件B比事件A晚5s发生，问 这两个参考系的相对速度多大？在S’系中这两个事件发生的地点 相距多远？（设S’系以恒定速率u相对S系沿x轴运动。） 分析：这是相对论中同地不同时的两个事件的时空转换问题。根 据时间延缓效应的关系式可以求出两个参考系的相对运动速度， 从而可以求得在S‘系中两个事件发生地点的间距。 解：设两个参考系的相对速度为u，则根据题意
1 v2 c2 30 m0
根据相对论的质量公式
1 1 v c
2 2
m0 m m0
30
v 899 900 c
高速运动介子 的寿命 它相对地面 运动的距离

0
1 v2 c2
30 0
L v 30v 0
30 899 900 3 108 2 10 6 1.8 104 m
Ek mc 2 m0c 2
根据题意， 可以得到： 而相对论质量为：
m 2m0
m
1 u 1 2 c
2
Ek m0 c 2
m0 u2 1 2 c
2,
可以得到：
从而得到：
3 u c 2
m0 v u 1 2 c
2
所以动量为： p mv

3m0 c
例3、一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ， S’系相对S系以速度u沿x轴正方向运动。求它在S’系中的长度 和它与x’轴的夹角。
y S系 y’ S’系
分析：由于直杆只在x方向有长 度收缩，根据相对论时空观长 度收缩就可求解
x’ x
θ
解：
x轴方向：
u2 u2 x ' x 1 2 l cos 1 2 c c
例4、在地面上有一长100m的跑道，运动员从起点跑到终点，用 时10s。现从以0.8c速度沿跑道向前飞行的飞船中观察：（1）跑 道有多长？（2）运动员跑过的距离和所用的时间是多少？（3） 运动员的平均速度是多大？ 解：（1）由长度收缩公式可得在S‘系中跑道的长度为：
l ' l0 u2 0.8c 2 1 2 100 1 ( ) 60m c c
y ' y; z ' z; x ' x u2 1 2 c
又设立方体的动质量为m，密度为ρ，静质量为m0，密度为ρ0，则
m0 0 x ' y ' z '
u2 (1 2 ) c u2 x y z / 1 2 c
u2 m 1 2 c
例7、静质量为m10，速度为v的粒子与静质量为m20的静止粒子碰撞 ，碰后组成复合粒子，求复合粒子的速度u和静质量M0。 解：设复合粒子的质量为M，由动量守恒和能量守恒定律得到：
u
m10v m10 m 20 v 1 2 c
2
M
m10 v 1 2 c
2
m 20
由质量速度关系得到复合粒子的静止质量为：
v2 M0 M 1 2 c
代入M的表达式，得到：
M 0 m10 m 20
v2 1 2 c
例8、粒子的静止质量为m0，当其动能等于其静止能量时，求其质 量、速率和动量。 解： 由相对论中的动能表达式有：
t t2 t1 4s;
' t ' t2 t1' 5s 由时间延缓效应的关系式 t
t '
u 2 16 可以得到： 1 2 c 25
u2 1 2 c
即：
3 u c 5
' ' 设这两个事件在S’系中的时空坐标为 ( x1' , t1' )和( x2 , t2 )
例2。相对地面快速运动的介子的能量为3000MeV，而介子的静止能量为100MeV ，若介子的固有寿命为 2 10 6 s,则它相对地面运动的距离为1.8 104 m 。 分析: （2012年考题） 根据相对论的质能关系式
E mc
2
E 0 m0 c
2
E m 3000 30 E 0 m0 100
例6、观察者看到一立方体沿其一条棱的方向以速度u运动，并且测 出其质量密度为ρ，那么这立方体静止时的质量密度应为何值？ 解：设观察者参考系为S系，固定在立方体上的参考系为S‘系，在 S系中测的立方体的长、宽、高分别为Δx、Δy、Δz，S’系中测 的立方体的长、宽、高分别为Δx’、Δy’和Δz’，立方体沿着x轴 运动，由洛伦兹变换得到：
v
（2012年考题） 分析: 在S系中观察，当A’钟与B钟相遇时,可看成A’钟在S系中以速度v 运动了距离Δx 所以S系中测量的时间
t x v
2 2
而在S’系中观察, A’钟遇到一个反向运动的距离Δx，根据运动的长 度收缩效应：
x' x 1 v c
所以S’系中测量的时间
x' x 1 v 2 c 2 t' v v