三角形中位线定理的妙用
中位线及其应用
中位线及其应用知识定位中位线在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。
中位线的证明性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中中位线相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、三角形中位线定义（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线与三角形的中线区分：三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则DE 为ABC ∆的中位线。
几何语言描述：因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，所以DE//BC,且DE=12BC提示 a ：“平行且等于第三边的一半”，具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择，并 不一定要把两个结论都写出来。
b ：一个三角形有三条中位线。
c ：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要 的作辅助线的方法。
2、三角形中位线的性质（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
（2）中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
（3）运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
（4）中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰补充：有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
三角形的中位线定理及其应用
第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三
角形，依此类推，第2019个三角形的周长为（
）.A
B
C
1（数
量关系）
2
三、顺势而发 再提问题
A
见证奇迹
如图，连接三
角形的三条中 D
E
的时刻到 了！！
位线，会得到
哪些结论？
B
F
C
1.四个小三角形全等.
2.每一个小三角形的面积是大三角形面积的 .
3.存在三个平行四边形.
4.△DEF的周长为△ABC的周长的 .
四、运用定理 把定乾坤
如图，A，B两点被池塘隔开，在 AB外选一点C，连接AC和BC，怎样 测出A、B两点的实际距离？根据 是什么？
你收获ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ哪些知识？
三角形
转化
平行四边
中位线
定义 性质
数量关系 位置关系
六、使用所获 达成目标
1.如图，D、E、F分别为△ABC三边上的中点.
线段AD叫做△ABC的
，线段DE叫做△ABC
的
，图中有
个平行四边形．
2.三角形各边长为5、9、12，则连接各边中点所
构成的三角形的周长是
.
3.如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成
一、温故求新 合情发现
定义：连结三角形两边中点的线 段叫做三角形的中位线。
D
E
你还能画出几条三角形的中位线？
F
思考： 1.你还能画出三角形的几条中线？ 2.三角形中位线与三角形的中线有什么区别和联系？
一、温故求新 合情发现
A 概念对比 A
D
E
D 中线DC
中位线DE
三角形中位线应用
三角形中位线应用
本文是关于三角形中位线的应用。
运用中位线原理可以解决一些绘图中的问题。
三角形中位线的定义是：在三角形中，从一点出发，经过其他两个顶点，以及三角形内部的其他任意一点，连接到某一边上的线段叫做中位线。
应用1：首先，可以使用中位线将具有特殊形状的三角形分成三个较小的等边三角形，以此来解决复杂的绘图问题，例如求解多边形面积、求解多边形各边长等。
应用2：其次，中位线也可以用于追踪三角形的边缘，理解物体的形状与大小，例如求解物体体积、求解多边形内角之和等。
应用3：另外，中位线也可以用于求解三角形的边长，以及求解它们之间关系的研究，例如求解三角形的内角之和，求解三角形中各角的大小等。
以上就是本文关于三角形中位线的应用。
在绘图中，使用中位线原理能够有效解决复杂的计算问题，有助于深入理解物体的几何特性。
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中考数学复习指导：中位线定理在几何证明中的应用
中位线定理在几何证明中的应用中位线定理在几何证明中的应用三角形 (梯形) 中位线定理在初中平面几何中是一个很重要的定理，运用定理结论中的位置关系和数量关系，往往能证明许多有关问题．现举例谈谈它在几何证明中的应用． 一、证明线段相等或倍分关系例1 求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等．已知：如图1，梯形．ABCD 中，AB ∥DC ，B C ⊥AB ，E 为AD 中点．求证：EC=EB ．分析 要证EC=EB ，由E 为AD 中点想到梯形的中位线，可取BC 的中点G ，连结EG ，则EG 为梯形中位线，根据中位线定理可得EG ∥AB ∥CD ，再根据BC ⊥AB ，可得E G ⊥BC ，进而证明△BEG ≌△CEG ，可得对应边EC=EB ．例2 已知：如图2，在△ABC 中，∠B =2∠C ，A D ⊥BC ，M 是BC 的中点．求证求证：DM =12AB ．分析 要证DM =12AB ，可设法证明DM 与等于12AB 的线段相等，为此取AC 的中点N ，连MN ，则MN 为△ABC 的中位线，根据中位线定理得MN ∥AB ，MN =12AB ．要证DM=MN ，可连结DN ，由已知条件可知DN 是Rt △ADC 斜边AC 上的中线， ∴ DN=NC ，∠NDM =∠C ．又 M N ∥AB ，得∠NMC =∠B =2∠C ， ∴ ∠MND =∠NMC －∠NDM =2∠C －∠C =∠C ． ∴ ∠MND =∠C =∠NDM ，得DM=MN=12AB ． 二、证明线段和或差关系例3 已知：如图3，正方形ABCD 中，E 为CD 上的一点，F 为BC 的中点，且F A 平分∠BAE ．求证：AE=AB+EC ．证明 取AE 的中点G ，连FG ，则FG 为梯形ABCE 的中位线．∴ GF =12(AB+EC )，GF ∥AB ．∴ ∠F AB =∠GF A ．又∠F AB =∠GAF ， ∴ ∠GF A =∠GAF ， 又∵ G 为AE 中点，∴ AE =2AG =2 GF =AB+EC ．例4 已知：如图4，△ABC 中，AE=BF ，AC ∥EG ∥FH ．求证：EG=AC －FH ．证明 取AB ，BC 的中点M ，N ，连MN ，则MN 为△ABC 的中位线．∴ MN =12AC ．又AE=BF ，∴ EM=FM ．∵ AE=BF ，AC ∥EG ∥FH ． ∴ GC=BH又CN=BN ，∴ GN=HN ．∴ MN 为梯形EFHG 的中位线．∴ MN =12(EG+FH )．∴12 (EG+FH )=12AC ．∴ EG =AC －FH 。
三角形的中位线定理及其应用
效果分析
从整个课堂教学来看，这节课始终围绕教学目标展开，层次比较清楚，环节紧凑，并注意引导学生通过观察、分析、动手实践、自主探索、合作交流等活动，突出体现了学生对知识的获取和能力的培养。
1、通过前置作业“将一个三角形分成面积相等的四部分”，根据学生的分法引出三角形的中位线的定义，从而顺势进入本节课探究的内容。
我想通过一些问题的有效设问，不断激起学生的认知冲突，使新课知识的探索自然而然的发生，使学生从“感兴趣”自然进入数学知识的探究，达到培养思维能力的效果。
2、在认识了三角形中位线的概念之后，教师不是直接提出三角形中位线定理后再证明，而是先让学生猜测，再通过动画演示，让学生从动态中去观察、探索、归纳知识，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知，让学生学会学习，学会探索问题的方法，培养学生的能力。
3、在学习了三角形的中位线之后，让学生和以前学过的三角形的中线作比较，从而弄清楚知识间的联系和区别。
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习．它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系．就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系．我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用．一、证明问题1、证明角相等关系例1、如图、四边ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF =∠DFE分析：欲证：∠AEF =∠DFE ．由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN =∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB∥，12GN CD ∥，由于AB =CD ，进而有GM =GN ，∠GMN =∠GNM 然后再转化∠EPN =∠Q ，从而证出结论．证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN ．∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥．同理可证：12GN AB∥，又∵AB =CD ，∴GM =GN ，∴∠GMN =∠GNM ，∵GM //AB ，GN =CD ，∴∠GMN =∠EPN ，∠GNM =∠Q ，∴∠EPN =∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF =∠DFE （等角的余角相等）说明：添辅助线是证明几何题的难点．若要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结．2、证明线段的倍分以及相等关系例2.如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点．求证：（1）BM =14BD （2）ME =MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM =MO ．又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO =OD ，即BM =41BD ．欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM =12AO ，MF =12OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论．证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ，∴BM =MO =12BO （平行线等分线段定理） 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC ， ∴BM =1124BO BD ，即BM =14BD（2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点．∴12ME AD =，12MF OC =，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF 小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系．3、证明线段平行关系例3.如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E ．求证：DE ∥BC 分析：欲证ED //BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC ．证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB =∠BDG =900． 在△ABD 与△GBD 中12BD BDBDG BDA⎧⎪⎨⎪⎩=== ∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD (A S A ) ∴AD =DG ，同理可证，AE =GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点， ∴ED ∥BC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行．二、比较大小1、比较线段大小 例4.如图，M 、N 是四边形ABCD 的边 BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行．求证：MN ＜12(AB ＋CD ). 分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD )，我们从表面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了．证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP . ∵N 为AD 中点，P 为BD 中点.∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD ．∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上．在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM +PN ＝12(AB +CD )小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明．2、比较角的大小例5、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB >AC ，那么∠BAD <∠CAD ． 分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB >AC , 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD <∠CAD证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12AB ，E 为AC 中点．∴∠1=∠3，∵AB >AC ，∴12AB >12AC ，即在△AED 中，DE >AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD <∠CAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题．三、求值问题例6. 如图，正方形ABCD 两对角线相交于点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ，若GE ＝24 求FC 的长．分析：求FC 的长，因为E 为对角线交点，就是AC 中点所以作辅助线PE ∥BC 就有PE ∥FC 且有PE =21FC 所以只要能求出PE 的长即可，而PE 的长可由∠3＝∠4求出，因为∠3为△APE 的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF 为∠BAC 的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE =GE =12FC ,这样问题就解决了． 解：过点E ，作EP ∥BC ，交AF 于点P ，则P 为AF 中点，∵∠3＝∠2＋∠5＝∠2＋∠6，∠4＝∠1＋∠7，又∵AF 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，又∵∠6＝∠7，∴∠3＝∠4，∴EP ＝EG ，∵PE 是△AFC 的中位线，∴PE ＝12FC =EG ，即FC =2EG =2PE =2×24=48小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题．总之，三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点．要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理．一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益，准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标．。
三角形中位线定理的运用例谈(Word版-含解析、点评和练习设计)
2017-2018下学期八数专题复习 二：三角形中位线定理的运用例谈 第 1页（共 8页） 第 2页 （共 8页）2017—2018下学期八年级数学专题复习 二:三角形中位线定理的运用例谈赵化中学 郑宗平三角形的中位线定理在平面几何中比较特殊，它既反映三角形的中位线与三角形边的位置关系，又有与三角形边的数量关系的规律性结论；在一些所谓的几何难题中常见它的身影，而三角形的中位线往往能起牵线搭桥甚至是关键性的作用;下面我精选一部分“含"三角形的中位线的几何解答题，让我们共同来探究、解析、训练.知识要点:三角形的中位线平行于三角形第三边,并且等于第三边的一半.1。
三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系⑴.周长关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的周长 ⊿ABC 的周长的关系？分析: 点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、,,,111EF BC DE AB DF AC 222=== ∴()12EF DE DF BC AC AB ++=++所以三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半。
追踪练习：以上面的图为例，若⊿DEF 的周长为23cm ，则⊿ABC 的周长为 . ⑵。
面积关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的面积与⊿ABC 的面积关系？ 略析：根据三角形中位线定理可以得出,,,,111EF BC DF AC DE AB EF BC DF AC DE AB 222===；,再利用线段中点的定义、平行线性质、平行四边形的性质等可以进一步推出DEF 、AFE 、FBD 、DEC是全等的，故它们的面积是相等的,则S ⊿ABC =4S ⊿DEF .所以三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的14. 说明：今后我们学习了相似三角形的性质后，这个结论的推导就简单多了。
初中数学知识点归纳之三角形中位线
初中数学知识点归纳之三角形中
位线
1.三角形中线:连接三角形两边中点的线段称为三角形中线。
2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的'一半。
提示：
(1)一个三角形有三条中线，它们又组成一个新的三角形。
每条中线都与第三条边有对应的位置关系和数量关系。
（三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系）；
(2)三角形中的中线和三角形的中线不同，要用各自的定义来区分。
3、三角形中位线定理的作用：
位置关系:可以证明两条直线平行。
数量关系:可以证明线段的加倍关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1:三条中线组成一个三角形，其周长是原三角形的一半。
结论二:三条中线把原来的三角形分成四个全等的三角形。
结论三:三条中线把原来的三角形分成三个面积相等的平行四边形。
结论4:三角形的一条中线和与之相交的中线等分。
结论五:三角形中任意两条中线之间的夹角等于这个夹角所对应的三角形的顶角。
三角形的中位线知识、方法总结
三角形的中位线知识、方法总结
三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
一个三角形有三条中位线，这个定义有双重性，既是性质，也是判定。
需要注意的是，三角形中位线与中线是不同的，中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，而中位线是连接三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的线段。
三角形中位线定理表明，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
这个定理可以用来证明平行关系、倍分关系，以及转移线段和转移角。
常用的辅助线是连接中点和构造中位线，可以分离基本图形，如全等和平行四边形。
可以用两种证明方法证明三角形中位线定理。
第一种方法是延长中位线，构造一个全等三角形，证明出两边平行，从而得出结论。
第二种方法是连接四边形的对角线，证明出中点四边形是平行四边形，从而得出结论。
中点三角形是由原三角形的三边中点顺次连接而成的新三角形。
中点三角形的各个边长分别是原三角形三边长的一半，
且分别平行，角的度数与原三角形分别相等。
四个三角形都全等，中点三角形周长是原三角形的周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。
中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。
中点四边形是由任意四边形各边中点顺次连接而成的四边形。
不管原四边形的形状如何改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
可以连接对角线，构造中位线，证明出中点四边形是平行四边形。
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理的应用
1、已知正方形ABCD中，AC、BD交于O点，AE平分∠BAC，
分别交BC、BO于点E、F，求证：OF=CE．
分析：
1、从已知条件中你可以得到什么？
易得：(1)、正方形的四条边相等，对角线相等且互相平分。
(2)、∠1=∠2
2、要证的是一条线段的长等于另一条线段的一半，你会想到以前学过的那些定理和这个很类似？
：三角形的中位线定理。
3、题目中的线段OF是三角形的中位线吗？
：不是。
4、根据已知条件能在图形中做出一条三角形的中位线吗？
：注意到图形中点O是AC的中点，因此取AE的中点G．联结OG，则OG= CE，故只须证明OG=OF即可。
点拨：
平面几何中的常用辅助线可以创造出中位线，这就是把未知问题
转化为已知问题的一种途径．
证明：
取AE的中点G，联结OG，则OG是△AEC的中位线．由中位线定理，得
OG//CE，OG=CE．
∴∠3=∠4．
∵∠OFG=∠1＋∠5，
∠OGF=∠2＋∠3=∠2＋∠4，
∠1=∠2，∠4=∠5=45°，
∴∠OFG=∠OGF，
∴OG=OF，
∴OF=CE．。
三角形的中位线定理及应用
第二课时三角形的中位线定理及应用指导思想：教师必须树立正确的学生观，摆正教师和学生在教育过程中的位置，正确处理教师与学生的关系，主体与主导的有机结合，融为一体。
设计理念：义务教育阶段的数学应体现基础性、普及性和发展性，所以我的设计理念是引导学生进行探究式的学习活动，通过动手操作，发现规律，把自主探索作为数学学习的重要方式，让学生个性得到发展，让学生认识到数学的应用性，乐于投入数学学习中。
教材分析：三角形的中位线是几何学的主要标志之一，是初中数学的重要组成部分。
在当代社会中，三角形的中位线的应用非常广泛，它是人们参加社会生活，从事劳动和学习，研究现代科学技术必不可少的工具，他的内容，思想，方法和语言已广泛渗入自然科学，成为现代文化的重要组成部分。
而且三角形的中位线的性质也学习梯形中位线的基础，为四边形的中点问题服务。
学情分析：本班学生基础知识不是很扎实，因此，本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于平行四边形的有关知识进行探索和证明。
在此过程中注重知识的迁移同时重点渗透转化、类比、归纳的数学思想方法，使学生的优势得以发挥，劣势得以改进，从而提高学生的整体水平。
教学目标：知识与能力：理解并掌握三角形中位线的概念，性质，会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
培养学生解决问题的能力和空间思维能力。
过程与方法：1，经历探索三角形性质的过程，让学生动手实践，自主探索，合作交流。
2，通过对问题的探索研究，培养学生大胆猜想。
合理论证的科学精神，培养思维的灵活性情感与评价：通过学生的团结协作，交流，培养学生友好相处的感情。
体会数学学科的价值，建立正确的数学学习观。
教学的重点，难点：探索并运用三角形中位线的性质，是本课的重点。
从学生年龄特点考虑，证明三角形中位线性质定理的辅助线的添法和性质的灵活应用，运用转化思想解决有关问题是本课的难点。
破这个难点，必须理解三角形中位线与中线的区别这个关键问题，正确应用已有的知识，发现并寻找比较的方法。
三角形的中线及中位线性质的运用举例
直角三角形斜边上中线性质的运用在直角三角形中有这样一个十分重要而又运用广泛的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.下面就这一性质的应用举例说明.例1 如图1，已知，△ABC 中，CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ，BM ＝CM .求证：ME ＝MD .分析 要证明ME ＝MD 首先想到的要证明两个角相等，可没有足够的条件，但有中点和垂线，于是想到通过辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质证明.证明 延长DM 与CE 交于N .因为CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ， 所以CE ∥BD ，即∠NCM ＝∠DBM ，又∠CMN ＝∠BMD ，BM ＝CM ，所以△CMN ≌△BMD ， 所以NM ＝DM ，即M 为ND 中点.因为CE ⊥AD 于E ，所以△NED 为直角三角形，所以ME ＝12ND ，所以ME ＝MD .例2 如图2，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，求证：FG ⊥DE .分析 有三角形高就会想到直角三角形，有中点当然会联想到直角三角形斜边上的中点性质和等腰三角形的性质，于是，连结DG 、EG ，可得DG 、EG 分别是Rt △BDC 和Rt △BEC 的中线，可知△GDE 是等腰三角形，进而由F 是DE 的中点，即FG ⊥DE .证明 因为BD 、CE 是高，所以∠BDC ＝∠BEC ＝90°， 即△BDC 和△BEC 都是直角三角形. 又因为G 是BC 的中点，所以DG ＝EG ＝12BC ，即△GDE 是等腰三角形. 因为F 是DE 的中点，所以GF 是等腰三角形GDE 的底边DE 上的中线， 所以由等腰三角形的“三线合一”，得GF 也是底边DE 上的高线，EDBCA FG图2N ED CBAM图1所以FG ⊥DE .例3 如图3所示，点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点，DF 、CE 交于点M ，CE 的延长线交DA 的延长线于G ，试探索：（1）DF 与CE 的位置关系；（2）MA 与DG 的大小关系.分析（1）要探索DF 与CE 的位置关系，由图可以猜想到DF ⊥CE ，而由条件可以证明△EBC ≌△FCD ，则有∠ECB ＝∠FDC ，即可证明DF ⊥CE .（2）仍然通过观察分析图形，可以猜想MA ＝12DG ，而事实上，由（1）可知△DMG 是直角三角形，再由条件可得△GAE ≌△CBE ，即得GA ＝CB ，于是利用直角三角形斜边上的中线性质即可证明.解（1）DF ⊥CE .理由：因为点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点， 所以∠B ＝∠FCD ＝90°，BE ＝12AB ，CF ＝12BC ，而AB ＝BC ＝CD ，即BE ＝CF ， 所以△EBC ≌△FCD ，所以∠ECB ＝∠FDC ，而∠DFC ＋∠FDC ＝90°，所以∠DFC ＋∠FCM ＝90°， 即∠CMF ＝90°，所以DF ⊥CE . （2）MA ＝12DG .理由：因为F 是AB 的中点，所以AE ＝BE ， 又∠GAE ＝∠B ，∠AEG ＝∠BEC ，所以△GAE ≌△CBE ，所以GA ＝CB . 而由（1）可知△DMG 是直角三角形，所以MA ＝12DG . 例4 已知：如图4，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，EF ⊥AC ，O 是垂足，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，且BE ＝OE ＝12AE .求证：□ABCD 是矩形.EDBCA FGM 图3图4ABCEGFOD分析 要证□ABCD 是矩形，只要证AC ＝BD 或OA ＝OB 即可.由BE ＝OE ＝12AE ，可作出Rt △AOE 斜边上的中线OG ，这样可证得△AOG ≌△BOE ，于是证得OA ＝OB .证明 取AE 的中点G ，连结OG ，所以Rt △AOE 中，OG ＝12AE ＝AG ， 因为BE ＝OE ＝12AE ，所以OE ＝OG ，AG ＝BE ，即∠OGE ＝∠OEG ， 所以∠AGO ＝∠OEB ，所以△AGO ≌△BEO ，所以OA ＝OB ，又四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ＝2OA ，BD ＝2OB ，即AC ＝BD ， 所以□ABCD 是矩形.综上所述，利用直角三角形斜边上中线的性质解题时，应依据条件，贯例图形，通过分析，把问题转化为证明线段相等，或通过辅助线，构造出直角三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，同时兼用全等三角形的知识，从而逐步逼近结论.在几何证明中，另外，熟练地识别图形、善于构造图形，并运用图形的性质进行推理论证是十分重要的.下面一道题目供同学们自己练习：如图6所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C +∠D ＝90°，E 、F 为AB 、CD 的中点.求证：CD －AB ＝2EF .提示：作EM ∥AD 交CD 于M ，EN ∥BC 交CD 于N .利用直角三角形斜边上中线等斜边的一半.图6FEDCBA聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点，在同一个题设下有两个结论：一个结论是表明两条线段的位置关系（平行），另一个结论是表明两条线段的数量关系（一半）.在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行，有时需要倍分关系.可以根据具体情况，按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1 在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，A D ⊥BD,垂足为D ，AE=EC. 求证：DE ∥BC.图1CFEDBA证明：延长AD 交BC 于点F. 因为BD 平分∠ABC ， 所以∠ABD =∠CBD. 因为A D ⊥BD,所以∠BDA =∠BDF=900. 又BD=BD,所以△BDA ≌△BDF(ASA). 所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE ∥FC, 即DE ∥BC （三角形的中位线定理）. 二、用于证明角相等例2 如图2，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，已知AC=BD,M,N 分别是AD 、BC 的中点，MN 与AC 、BD 分别交于E 、F 点.求证：∠AEN=∠BFM.图24312FEBAP NMCD分析：可取CD 或AB 的中点构造中位线. 证明：可取AB 的中点P ，连接PM 、PN. 因为AM=MD,AP=BP,BN=NC, 所以MPBD 21,PN AC 21(三角形中位线定理). 所以∠1=∠3，∠2=∠4. 又因为AC=BD, 所以MP=NP, ∠3=∠4, 所以∠1=∠2.所以∠AEN=∠BFM （等角的补角相等）. 三、用于证明线段相等例3 如图3，△ABC 的AB 、AC 向形外作正三角形ABD 和ACE,分别取BD 、BC 、CE 的中点P 、M 、Q.求证：PM=QM.图3QPCAD分析：中点P 、M 所在线段DB 、CB 有公共端点B ，若连接它们的另一端D 、C ，则PM 使成为△BCD 的中位线，同理连接BE 之后MQ 也成为△BEC 的中位线，通过中位线定理的传递，问题转化为证明DC 与BE 相等.证明过程由同学们自己完成！四、用于证明线段的特殊关系例4 如图4，已知四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、AC 、BD 的中点，且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分.分析：要证明EF 和GH 互相平分，可证明四边形EGFH 是平行四边形；有中点，可考虑利用中位线定理.图4GHBE ACFD证明：连接EG 、GF 、FH 、HE. 因为AE=EB, BH=HD, 所以EH AD 21. 同理FG AD 21. 所以EHFG.所以四边形EGFH 是平行四边形. 所以EF 和GH 互相平分.巧用中线的性质解题我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.一、巧算式子的值例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)2n +的值.图1解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12)n +112n =-.【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.图2 解析：连接CG ，不难得出BCFSDCE S=4ab=，从而BEGDFG S S=，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等，因此S四边形ABGDab=-4ab43⨯23=ab.【点评】本题的难度较大，通过连接CG，巧妙地把四边形ABGD以外的部分分成四个面积相等的三角形.像CG这样原题中没有，但我们在解题的过程中用它来“辅助”解决问题的线，称之为“辅助线”.三、巧等分土地例3.有一块三角形优良品种试验基地，如图3所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．图3解析：可根据中线的特征，先分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分.方案1：如答图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、ED、•AF．(1) (2) (3)方案2：如答图2，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如答图3，分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD、AE、DF．【点评】三角形面积计算公式为12×底×高，因此解题的关键是找出底、高分别相等的四个三角形．对于本题，同学们！你还有别的方法吗？试试看．。
三角形中位线的性质及其应用探析
数学篇数苑纵横三角形中位线的性质是平面几何中的一个重要定理.该定理的结论既包含两线段所在直线的位置关系，又包含两线段之间的数量关系，在解答平面几何问题中有着广泛的应用．在运用三角形中位线的性质解题时，有时需要运用平行关系，有时需要运用倍分关系，可以根据具体情况，按需选用.下面结合例题予以说明.一、三角形中位线的定义和性质三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形有三条边，所以三角形的中位线应该有三条，如图1所示：如果点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，那么线段DE 、EF 、FD 都是三角形的中位线.三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.由此不难得到三角形的中位线与第三边的关系：(1)位置关系：三角形的中位线与第三边互相平行，如在图1中，有DF ∥BC ；(2)数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半，如在图1中，有DF =12BC.图1二、三角形中位线的性质在解题中的应用中位线的性质在解三角形问题时通常有以下三种用途：第一种是用于三角形的线段长度的计算；第二种是证明线段间的位置关系或由位置关系得出角之间的关系；第三种是求解三角形内线段间的和、差、倍分关系．1.利用三角形中位线的性质证明角相等由于三角形的中位线与三角形第三边之间存在平行的位置关系，因此，在证明两个角相等的时候，就可以借助或构造三角形的中位线，利用两直线平行，同位角及内错角相等来证明.这样既快捷，又简便.例1如图2，四边形ABCD 中，AB =CD ，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，GH ⊥EF 交于点P .延长BA ，FE 相交于点Q ，延长CD 交FE 的延长线于点K ，求证：∠AGH =∠DHG．图2图3分析：如图，连接BD ，作BD 的中点M ，连接EM 、FM ．利用三角形中位线定理证得△MEF 是等腰三角形，则∠EMP =∠FMP ．利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠Q =∠CKF ，由等量代换，证得∠AGH =∠DHG ．证明：如图3，连接BD ，作BD 的中点M ，三角形中位线的性质及其应用探析江西九江卢明23数学篇数苑纵横连接EM 、FM ，∵点E 是AD 的中点，∴ME 是△ADG 的中位线，∴ME ∥AB ，ME ＝12AB ，∴∠AGH ＝∠EMP ，同理可证：MF ∥DC ，MF ＝12DC ，∵AB ＝CD ，∴ME ＝MF ，∴∠MFE ＝∠MEF ，∵∠MFE ＝∠CKF ，∠MEF ＝∠Q ，∴∠Q ＝∠CKF ，∵GH ⊥EF ，∴∠QPG ＝∠KPH ＝90°，∴∠Q +∠AGH ＝90°，∠CKF +∠DHG ＝90°，∴∠AGH ＝∠DHG ．2.利用三角形中位线的性质求线段的长度三角形中位线的长度等于第三边长度的一半.利用好这个性质，可以为我们求解两线段的数量关系提供一个重要的依据.所以当题目中遇到三角形一边的中点，所求的问题涉及求线段的长度时，常将三角形中位线的性质和三角形其他知识结合起来.例2如图4，△ABC 中，M 是BC 的中点，AD 是∠A 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB =12，AC =18，求DM的长．例4图5分析：由于DM 无法直接求出，因此可通过构建三角形来得出与DM 相关联的线段，延长BD 交AC 于E ．AD 是∠BAC 的平分线，那么∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BE ，又有一条公共边，所以△ABD 和△ADE 全等.那么AB ＝AE ，BD ＝DE ，又有BM ＝MC ，所以DM 是三角形BCE 的中位线，那么DM ＝12CE ，又因为CE ＝AC -AE ＝AC -AB ＝6，因此DM ＝3．解：延长BD 交AC 于E ，如图5，∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠ADE ＝90°，∵AD 是∠A 的平分线，∴∠BAD ＝∠EAD ，在△ABD 与△AED 中ìíîïï∠BAD =∠EAD ,AD =AD ,∠ADB =∠ADE ,∴△ABD ≌△AED （ASA ），∴BD ＝ED ，AE ＝AB ＝12，∴EC ＝AC -AE ＝18-12＝6，∵M 是BC 的中点，∴DM ＝12EC ＝12×6=3．3.利用三角形中位线的性质证明线段的倍分关系三角形的中位线不仅体现了线段之间的位置关系，也体现了线段之间的数量关系．在证明线段的和差倍分等问题中，最重要的是找到线段之间的数量关系，而很多题目是难以直接进行数量转换的，因此需作出正确的辅助线，找出图形中形状、位置或者数量上的联系，借助中间量，将所求线段之间的间接关系转化为直接关系，最终求得答案．例5已知，如图6，在△ABC 中AB =AC ，延长AB 到D ，使BD =AB ，E 为AB 的中点，求证：CD =2CE .图6分析：这是证明线段的倍半问题，证明一24数学篇数苑纵横条线段等于另一条线段的二倍或一半时，常常是先找出短线段二倍长的线段，或者取长线段的一半，设法把线段的倍半问题转化为证明线段相等的问题.这就是通常所说的“加倍”“折半”的方法.方法1：找出CD 的一半，然后证明CD 的一半和CE 相等，取CD 中点F ，证CF =CE .证明：取CD 的中点F ，连接BF ，如图7.图7∴CD =2CF ，∵AB =BD ，∴BF 是△ADC 的一条中位线，BF ∥AC ，BF =12AC ，∴∠2=∠ACB ，∵AB =AC ,∴∠1=∠ACB ，∠1=∠2，∴E 是AB 中点，BE =12AC ，∵BF =12AC ，且AB =AC ，∴BE =BF .在△BCE 和△BCF 中，ìíîïïBE =BF ,∠1=∠2,BC =BC ,∴△BCE ≌△BCF (SAS)，∴CE =CF ，∵CD =CF ，CD =2CF ，∴CD =2CE .方法2：找出CE 的2倍，然后证明CE 的2倍和CD 相等，因此，要延长CE 到F ,使EF =CE ，证CF =CD .证明：延长CE 至F ,使EF =CE ，连接FB ，如图8.图8∴CF =2CE ，∠1=∠2，∵E 为AB 中点，∴AE =BE ，在△AEC 和△BEF 中ìíîïïCE =EF ,∠1=∠2,AE =BE ,∴△AEC ≌△BEF (SAS),∴AC =BF ，∠3=∠F ，∴AC ∥BF ，∠FBC +∠ACB =180°，∵∠CBD +∠ABC =180°，又∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∴∠FBC =∠DBC ，∵AC =AB ，AB =BC ，AC =BF ，∴BF =BD .在△CBF 和△CBD 中，ìíîïïCB =CB ,∠FBC =∠DBC ,BF =BD ,∴△CBF ≌△CBD (SAS)，∴CD =CF ，CF =2CE ，∴CD =2CE .由以上几例不难看出，当题目有中点这一条件时，应设法寻找另一个“中点”，以构造三角形的中位线，然后利用中位线的性质解题.这是一种常用的解题技巧.25。
中考重点三角形的中位线定理
中考重点三角形的中位线定理三角形是几何学中一种基本的图形，其中位线定理作为三角形的重要定理在中考中往往会被重点考察。
本文将对中考重点三角形的中位线定理进行详细阐述，以帮助同学们更好地理解和掌握这一定理。
一、中位线的定义及性质在三角形ABC中，连接三角形的一个顶点到对边中点的线段称为该顶点的中位线。
设AD是BC的中线，可以得出以下几个性质：1. 中位线的三个交点连接起来一定是一个点，称为三角形的重心，用G表示。
重心是三角形内部离三边距离之和最小的点。
2. 重心将每条中位线分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。
3. 重心到三角形三个顶点的距离满足OG = 2DG，其中O是坐标原点。
二、中位线定理的表述中位线定理是指：三角形的三条中位线交于一点，且这个交点与三个顶点之间的距离满足OG = 2DG。
即在三角形ABC中，连接三个顶点到对边中点的中位线交于一点G，且OG = 2DG。
三、中位线定理的证明为了证明中位线定理，我们可以利用向量的方法进行推导。
设向量OA = a，OB = b，OC = c，且D为BC的中点，则向量OD = (b + c) / 2。
根据中位线的定义，由向量的加法运算，我们可以得到：OG = OA + OB + OC = a + b + cDG = OD - OG/3 = (b + c)/2 - (a + b + c)/3 = (c - a) / 6由此可以得到OG = 2DG，证明了中位线定理的正确性。
四、中位线定理的应用中位线定理在解决三角形相关问题时有着广泛的应用，下面将介绍两个常见的问题：1. 求三角形三条中位线的交点坐标已知三角形的三个顶点坐标A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，可通过中位线的定义和公式求得交点坐标。
设中位线交点为G(x, y)，则有：x = (x1 + x2 + x3) / 3y = (y1 + y2 + y3) / 3通过计算可得到交点G的坐标。
巧用三角形中位线定理解题
巧用三角形中位线定理解题
刘秀华
【期刊名称】《黑河教育》
【年(卷),期】2003(000)004
【摘要】@@ 掌握三角形中位线定理是理解三角形中位线概念的关键.利用这一定理,可巧妙地解决许多有关四边形的问题,现举例如下:
【总页数】1页(P37)
【作者】刘秀华
【作者单位】嫩江黑宝山煤矿学校
【正文语种】中文
【相关文献】
1.三角形的性质在一些解题中的巧用
2.三角形的性质在一些解题中的巧用
3.巧用椭圆中“特征三角形”解题
4.三角形中位线定理的解题研究
5.巧用三角形面积公式妙解题
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中位线定理
如果连结DE，那么DE是否是 △ABC的中线？
三角形的中位线
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
如图：点 D、E分别是AB、AC边的中 点，线段DE就是△ABC的中位线。
A
一个三角形共有几条中位线？ D 答：三条
E
B
F
F
C
三角形的中位线与三角形的中线有 什么区别与联系？ A A
D E
B
区别:
平行四边形
平行四边形
于但得 什它到 么是的 顺 呢否四 次 ？特边 连 殊形接 的一四 平定边 行是形 四平各 边行边 形四中 取边点 决形所 ，
菱形
菱形
矩形
正方形
（ 1 ）顺次连结对角线相 等的四边形各边中点所得 的四边形是什么？ （ 2 ） 顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？ （3）顺次连结对角线相等 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形是什么？
（1）三角形中位线定理。
C D
E
B
（2）直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半。
B
D D
C A
例1 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别 是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点。四边形 EFGH 是平行 A 四边形吗？为什么？ H
解：四边形EFGH是平行四边形.
理由是：连接AC
D E
顺次连接菱形各边的中点呢？
证明你的结论。
例2 如图，在矩形ABCD中，E、F、G、 H分别是边AB、BC、CD、AD的中点，试说 明四边形EFGH的形状。 解：连接AC、BD
根据三角形中位线定理，可得
A E H D G
1 EF=HG= AC， 2 1 EH=FG= 2 BD
例谈中位线定理在几何问题中的应用
例谈中位线定理在几何问题中的应用作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2024年第02期［摘要］中位线定理是初中数学的重要定理，它在平面几何问题的解决中有广泛的应用。
文章通过分析典型例题，介绍一些中位线定理的应用方法，旨在帮助学生提高解题效率，提升解题能力。
［关键词］中位线定理；几何问题；应用［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）05-0009-03中位线定理是初中数学的重要定理，它在平面几何问题的解决中有广泛的应用。
下面笔者结合一些典型例题介绍一些中位线定理的应用方法。
一、利用中位線定理求线段的长因为中位线定理反映两条线段之间的数量关系，所以已知三角形中位线与第三边中的其中一个量，就可以求得另一个量。
［例1］（1）课本再现：如图1所示，[D]、[E]分别是[△ABC]的边[AB]、[AC]的中点。
求证：[DE]∥[BC]，且[DE=12BC]。
定理证明：如图2所示，延长[DE]至点[F]，使得[EF=DE]，连接[CF]。
请你写出完整的证明过程。
（2）知识应用：如图3所示，在四边形[ABCD]中，[AB=6]，[CD=8]，[∠BAC=30°]，[∠ACD=120°]，点[E]、[F]、[M]分别是[AD]、[BC]、[AC]的中点，求[EF]的长。
（1）证明：在[△AED]和[△CEF]中，[DE=FE，∠AED=∠CEFAE=CE，]，∴[△AED ]≌[△CEF]（SAS），∴[AD=CF]，[∠A=∠ECF]，∴[AB]∥[CF]，∵[AD=BD]，∴[BD=CF]，∴四边形[DBCF]为平行四边形，∴[DF]∥[BC]，[DF=BC]，∴[DE]∥[BC]，[DE=12BC]。
（2）解：∵点[E]、[M]分别是[AD]、[AC]的中点，∴[EM]是[△ADC]的中位线，∴[EM=12CD=4]，[EM]∥[CD]，∴[∠EMC+∠ACD=180°]，∵[∠ACD=120°]，∴[∠EMC=60°]。
3角形中位线定理
3角形中位线定理三角形中位线定理，是在三角形中，与三条相邻边的中点相连的线段，它们构成的三个交点都在同一点上。
本文将从定理的证明、推广应用、例题等三个方面进行阐述。
一、定理的证明证明思路：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，D为BC的中点，E为AC的中点，F 为AB的中点，则连接AD、BE、CF的交点为G。
则需证明AD、BE、CF三条线段的交点G是一个固定点。
证明：由于D、E、F都是各边中点，可得：∵ D是BC的中点，∴ BD = DC；又∵ G是AD与BE的交点，故可以得出：∵ D、E分别为BC和AC的中点，∴ DE // AC，同时AE = EC，∴ △AED与△CEB 相似。
$\frac{GA}{BD}=\frac{GC}{CE}$又 $\because BD=DC$ ， $\therefore GA=GC$同理可得：于是，我们得到了两个相等的值：GA=GC，GB=GC。
由此，可知三角形GAC是一个等腰三角形，且AG与CF之间的线段垂直于CF，同理可得：因为三角形GAC、GBA、CBG均拥有最长边CG，所以它们就构成了一个共同的圆，而这个圆的中心就是点G。
因此可以得知：三角形ABC的三边中位线的交点G是一个固定点。
二、推广应用利用中位线定理，我们可以推导容易证明的三条定理和一个相关问题：中位线长定值定理、七分线长定值定理、以及在四边形中应用中位线定理、解决中位线问题。
1. 中位线长定值定理在三角形中，如果其中一条中位线相等，那么这个三角形就是等边三角形。
设△ABC为等边三角形，则BD、AE、CF三条中位线的长度均为$\frac{1}{2}$边长，又 $\because BD=AE=CF$ ，所以可以得到：BD=AE=CF=$\frac{1}{2}$a=a，同理可得：b=c=a。
在三角形中，三条中位线可将它们所在线段的长分为1:2:3的比例。
首先，由于三角形的三角形内部对角线互不交于同一点，那么三角形内部的线段AB、AC、BC是不会共线的。
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理的应用
于志洪
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2016(0)10
【摘要】三角形中位线定理在初中数学里是一个很重要的定理,它说明:(1)中位线平行于第三边,这是位置关系;(2)中位线的长等于第三边的一半,这是数量关系.【总页数】5页(P27-31)
【作者】于志洪
【作者单位】江苏
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.三角形中位线定理的应用 [J], 于志洪
2.三角形中位线定理的应用 [J], 于志洪
3.三角形中位线定理的应用 [J], 于志洪
4.三角形中位线定理应用 [J], 徐勇
5.三角形中位线定理的探索及应用——转化思想在数学中的应用实例 [J], 郭丽华因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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三角形中位线定理的妙用
三角形中位线定理是三角形相关章节中一个十分重要的定理,其特点是在同一个题设下,有两个结论:一个是表明位置的平行关系,另一个是表明数量的倍分关系。
《数学课程标准》明确要求“探索并掌握三角形的中位线定理。
”下面本文就三角形中位线定理的运用我谈一点自己的体会。
一、当题目中只有两边中点时,连接这两点或作第三边,构造三角形的中位线
例1:(如图1)
在四边形ABCD中,点E为AB边上的一点,⊿ADE和⊿BCE都是等边三角形,点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点.
求证:四边形MNPQ是菱形.
证明:连接AC、BD.
易证: ⊿AEC≌⊿DEB.
∴AC=BD.
可证MN=PQ= AC,MQ=NP= BD.
∴MN=NP=PQ=QM.
故四边形MNPQ是菱形.
点评:直接利用三角形的中位线定理证明.
练习1:如图2,⊿ABC的中线BE和CF相交于点O,点M、N分别是OB、OC 的中点.试判断四边形MNEF的形状.
二、当已知条件中只有一边中点时,可取另一边的中点,构造三角形的中位线
例2:(如图3)在⊿ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,BD=CE,点G、H分别是BE、CD的中点,直线GH交AB于M,交AC于N.
求证:AM=AN.
证明:取BC的中点P,连接PG、PH,则PG、PH分别是⊿BCE和⊿BCD的中位线.
∴PGCE, PHBD.
∴∠PGN=∠ANM, ∠PHM=∠AMN.
又∵BD=CE.
∴PH=PG.
∴∠PGN =∠PHM.
∴∠ANM =∠AMN.
故AM=AN.
点评:BC在这里起了桥梁的作用,构造了两条中位线.
练习2:如图4,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AC=BD,点E、F、G 分别是AB、CD、BC的中点,EF交BD于M,交AC于N.
求证:OM=ON.
三、当已知条件中只有一边中点时,可作另一边并取其中点,构造三角形的中位线
例3:(如图5)在四边形ABCD中,AB=CD,点M、N分别是BC、AD的中点,延长BA、CD分别交MN的延长线于G、H.若∠BGM=30°.试求∠H的度数.
解:连接AC,并取AC的中点O,
再连接OM、ON.则OMAB , ONCD.
∴∠BGM= ∠OMH,∠H= ∠ONM.
∵AB=CD.
∴OM=ON.
∴∠ONM=∠OMN.
∴∠BGM =∠H.
又∵∠BGM=30°.
∴∠H=30°.
点评:其突破口就在构造三角形的中位线时先要连接AC,构造出两个三角形.在连接AC之后,其难易程度就和例2一样了。
练习3:如图6,在⊿ABC中,点D是AC上的点,且CD=AB,点E、M分别是AD、BC的中点,连接ME并延长交BA的延长线于点F.
求证:AE=AF.
(提示:连接BD,并取BD的中点O,再连接OE、OM)
四、当题设中没有中点时,也可以添加中点,创造性的构造三角形的中位线
例4:(如图7)在⊿ABC中,点M、P在AB上,且AM =BP,MN∥PQ ∥BC, MN、PQ分别交AC于点N、Q.若BC=25cm.试求MN+PQ的大小.
解:取MP、NQ的中点E、F,
则线段EF既是梯形MPQN的中位线,
又是⊿ABC的中位线.
∴MN+PQ = 2EF = BC.
又∵BC=25cm.
∴MN+PQ = 25cm.
例5:(如图8)在⊿ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E为AB的中点.试比较CD与CE的之间的数量关系,并说明理由.
解:CD与CE的之间的数量关系是CD=2CE.其理由如下:
取AC的中点F,并连接BF,则CD=2BF.
易证BF=CE.
故CD=2CE.
点评:有中点连线但不能直接应用三角形的中位线定理时,要添加适当的辅助线,构造三角形的中位线。
三角形的中位线定理是证明两条直线平行和两条线段倍分关系常用的定理,其关键在于恰当地添加辅助线.
练习4:(如图9)在四边形ABCD中,AB≠CD,点E、F分别是的BC、AD中点.试比较EF 与(AB+CD)的大小.
(提示:连接AC,并取AC的中点O,再连接OE、OM)
(作者单位:713600陕西省长武县教研室)。