《计算机辅助几何造型技术》3_815705192(1)

1964年，麻省理工学院 年 麻省理工学院(MIT)的孔斯(Coons) (C )用封闭曲 线的四条边界定义一块曲面。 1964年,舍恩伯格(Schoenberg)提出了参数样条曲线、 提出了参数样条曲线 曲面的定义。 1972年，德布尔(de ( Boor) )给出了B样条的标准计算方 法。 1974年，通用汽车公司的戈登(Gordon)和里森费尔德 (Ri (Riesenfeld) f ld)在B样条理论的基础上，提出了 样条理论的基础上 提出了B样条曲线、 样条曲线 曲面。 1975年，美国的佛斯普里尔(Versprill)提出了有理B样 条方法。 80年代后期，美国的蒂勒(Tiller)和匈牙利人皮格尔 (Piegl) 对非均匀有理B样条(NURBS)方法进行了广泛 研究。
c.）二Leabharlann Baidu导矢
当t=0和 t=1时，有 时 有
P " (0) n(n 1)( P2 2 P 1P 0) P" (1) n(n 1)(Pn 2Pn1 Pn2 )
上式表明:2阶导矢只与相邻的3个顶点有关,事实上,r阶导 矢只与(r+1) )个相邻的控制点有关,与更远的控制点无关 与更远的控制点无关。 将P´(0)、P´´(0)及P´(1)、P´´(1)代入曲率公式
i i ( n 1) i i 1 i 1 ( n 1) ( i 1) (1 t )Cn t ( 1 t ) tC t ( 1 t ) 1 n 1
(1 t ) Bi ,n 1 (t ) tBi 1,n 1 (t )
（6）导函数 Bi,n (t ) n[ Bi 1,n 1 (t ) Bi ,n 1 (t )],i 0,1, , n; （7）最大值： Bi,n(t)在 t = i/n 处达到最大值。 （8）升阶公式
1 2 1 P0 P01 P P P 0P 0 1 1 1 2 1 P01 P P P P 1 1 2 0 P 1
P1 P11 P0 1 P0 2 P2 Bezier曲线上的点 抛物线三切线定理
这是所谓抛物线的三切线定理。
P0
当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有：
i ,n n
i!(n i )!
其中规定：0!=1。下图所示是两条 其中规定 下图所示是两条3次Bezier曲线的例子 曲线的例子：
P1 P0 P2 P3 P1 P3
P0 P2
三次Bezier曲线
Some Bezier Curves
Bezier Basis Functions for n=3
1.2 1
n
（5）仿射不变性 对于任意的仿射变换A： n n AP(t ) A Pi Bi ,n (t ) APi B i ,n (t ) i 0 i 0 即在仿射变换下 曲线的形式不变 即在仿射变换下，曲线的形式不变。
（6）变差缩减性 若Bezier曲线的特征多边形P0P1…Pn是一个平面图形， 则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其 特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。 此性质反映了Bezier曲线 曲线比其特征多边形的波动还小， 其特征多边形的波动 小 也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。 P1 P2
第3章 Bezier 曲线与曲面

曲线和曲面造型在CAD/CAM、机械设计、汽车和 飞机制造等领域有着广泛的应用,是计算机图形 学的重要研究内容之一。由于几何外形设计的要 求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满 足用户的需求。半个世纪以来,曲线曲面造型技 术的发展层出不穷。


1962年,法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier将函数逼近 同几何表示结合起来,构造了一种以逼近为基础的参 数曲线和曲面的设计方法及其UNISURF曲线和曲面设 计系统,使得设计师在计算机上就象使用作图工具一 样得心应手。1972年,该系统被投入应用。 1963年，美国波音(Boeing)公司的佛格森(Ferguson) 将曲线曲面表示成参数矢量形式。
k (t ) P ' (t ) P ' ' (t ) P ' (t )
3
可以得到Bezier曲线在端点的曲率分别为：
k ( 0)
P ) ( P2 P n 1 (P 1) n 1 ( Pn 1 Pn 2 ) ( Pn Pn 1 ) 1 0 , ( 1 ) k 3 3 n n P Pn Pn 1 1P 0
3.1 Bezier曲线
3.1.1 Bezier曲线的定义和性质
1 定义 1．定义
给定空间 n+1 个点的位置矢量 Pi （ i=0 ， 1 ， 2 ， … ，n），则 Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是： 参数曲线上各点坐标的插值公式是 其 中 ， Pi 构 成 该 Bezier 曲 线 的 特 征 多 边 形 ， Bi,n(t) 是 n 次 n! Bernstein基函数： B (t ) C i t i (1 t ) n i t i (1 t ) n i , (i 0,1, , n)
B0 3 B0,3
0.8 06 0.6 0.4 0.2 0
B1,3 B2,3 B3,3
2．Betnstein B i 基函数的性质 （1）正性 0, t 0,1 （2）端点性质
Bi ,n (t ) 0, t (0,1),i 1,2, , n 1;
(i 0) 1 Bi ,n (0) 0 otherwise
* C*(t) P P P 1t) Pj Bj,n(1t), ) t [0,1] i B i,n (t) ni B i,n (t) ni B ni,n ( i0 i0 i0 j0 n n n n
这个性质说明Bezier B i 曲线在起点处有什么几何性质，在终 曲线在起点处有什么几何性质 在终 点处也有相同的性质。
例如：
0 Pi Pi
1 Pi 0 Pi 1 0 Pi Pi 1 Pi
2 Pi 1 Pi 1 1 Pi Pi 2 2 Pi 1 Pi
（2）对称性 * P 由控制顶点 i Pn i ,(i 0,1,..., n),构造出的新Bezier曲线，与 原Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：
d.）k阶导函数的差分表示 n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为： nk n ! k P k (t ) Pi Bi ,n k (t ) t [0,1] (n k )! i 0 其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定 义：
k Pi k 1 Pi 1 k 1 Pi
(1 t ) Bi ,n (t ) (1 Bi ,n (t ) tB i ) Bi ,n 1 (t ) n 1 i 1 Bi 1,n 1 (t ) n 1 i i 1 Bi ,n (t ) (1 ) Bi ,n 1 (t ) Bi 1,n 1 (t ) n 1 n 1
依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier曲线P30可被定 义为分别由 ( (P0 ， P1 ， P2) 和 ( (P1 ， P2 ， P3) 确定的二条二次 Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定 义的n次Bezier曲线Pn0可被定义为分别由前、后n个控制点 1与P n-1 1的线性组合 定义的两条(n-1) ( )次Bezier i 曲线P0n-1 1 的线性组合： P0n (1 t ) P0n 1 tP1n 1 t [0,1] 由此得到Bezier B i 曲线的递推计算公式： 曲线的递推计算公式
n i0 i ,n
p1 Bezier curve p0
p2 convex hull
p3
（4）几何不变性 这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。 Bezier曲线位置与形状与其特征多边形顶点Pi (i 0,1,, n) 的 位置有关，它不依赖坐标系的选择，即有：
ua ( ) P B t P B i i ,n i i ,n b a （变量u是t的置换） i 0
（4）对称性
Bi ,n (t ) Bn i ,n (t )
因为 Bn i ,n (t ) Cnn i [1 (1 t )]n ( n i ) (1 t ) n i Cni t i (1 t ) n i Bi ,n (1 t ) （5）递推性。 Bi ,n (t ) (1 t ) Bi ,n 1 (t ) tBi 1,n 1 (t ) (i 0,1, , n) 即高一次的 Bernstein 基函数可由两个低一次的 Bernstein 调 和函数线性组合而成。 因为， i i i i 1 i n i Bi ,n (t ) Cn t (1 t ) n i (Cn C ) t ( 1 t ) 1 n 1
P0
P3
3.1.2 Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
计算 Bezier 曲线上的点，可用 Bezier 曲线方程，但使用 de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。 P02 和P2是一条抛物线上顺序三个不同 如下图所示，设P0、 的点。过P0和P2点的两切线交于P1点,在 P02点的切线交P0P1和 1 P1P2于 P0 和P11，则如下比例成立： 则如下比例成立
P01 (1 t ) P0 tP1 P11 (1 t ) P1 tP 2 P02 (1 t ) P01 tP11
t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、 第 式就分别表 控制 边 的第 二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第 三式得： 2 三式得 2 2
P0 (1 t ) P0 2t (1 t ) P 1 t P 2
当 t 从 0 变到 1 时，它表示了由三顶点 P0 、 P1 、 P2 三点定义 的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线 P20 可以定义为分别由前两个顶点（ P0 ， P1 ）和后两个顶 点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组合。
（9）积分

1
0
Bi ,n (t )dt
1 n 1
P1
P2
3．Bezier曲线的性质 (1)端点性质 a.）曲线端点的位置矢量
P0
P3
由 Bernstein 基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=P0 ；当 t=1时，P(1)=Pn 。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特 征多边形的起点、终点重合。
（3）凸包性 由于 B (t ) 1 ，且 且0 Bi ,n (t ) 1, (0 t 1, i 0,1,, n)，这一结果说 这 结果说 明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边 形各顶点的加权平均，权因子依次是 Bi ,n (t ) 。在几何图形 上，意味着 Bezier 曲线 P(t)(t∈[0,1]) 上的各点是控制点 Pi 的凸线性组合，即曲线落在 Pi 构成的凸包之中，如下图 所示。
b ）曲线端点的切矢量 b.
因为，
P ' ( t ) n P i [ B i 1 , n 1 ( t ) B i , n 1 ( t )]
i0 n 1
，
所以当t=0和t=1时，有 P´(0) = n(P1- P0)， P´(1) P (1) = n(Pn- Pn-1)， ) 这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一 条边及最后一条边的走向一致。
（3）权性
(i n) 1 Bi ,n (1) 0 otherwise
i ,n
B
i 0
n
(t ) 1, t (0,1)
n n
由二项式定理可知： Bi ,n (t ) Cni t i (1 t ) n i [(1 t ) t ]n 1
i 0 i 0