第章结构抗力的统计分析
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抗力R的计算模式多为R = X1X2X3…或R = X1X2 ＋X3X4X5 ＋X6X7 ＋…等形式，因此可近似认为：无论X1，X2，…， Xn为何种概率分布，结构构件抗力R的概率分布类型均可假 定为对数正态分布。
3
概率论的中心极限定理：若随机变量序列X1，X2，…，Xn 中的任何一个都不占优势，当n充分大时，无论X1，X2，…， Xn具有怎样的分布，只要它们相互独立，则
目
变异系数（%）
低
中
高
底基层厚度（mm） 基层厚度（mm）
平地机 50～80
4～6 4～6 10～13
7～10 7～9 14～18
11～14 10～12 19～23
面层厚 度
（mm）
摊铺基 层
摊铺机
摊铺基 层
90～150 160～200 50～80 90～150 160～200
7～10 4～5 5～10 4～7 2～3
公路工程：根据各级公路不同的目标可靠指标，将统计 的变异范围分为低、中、高三级水平（见下表）。
公路技术等级 变异水平等级
高速公路 低
一级公路 低～中
二级公路 中
9
0
表a 水泥混凝土路面面板厚度的变异系数
变异水平 变异系数 h（%
）
低 2～4
中 5～6
高 7～8
表b 沥青路面结构层厚度的变异系数
项
fci ——构件中第i种材料的实际性能值； ai ——与第i种材料相应的构件实际几何参 数；
5
考虑材料性能及几何参数不定性后，有
单一材料构件，抗力R为
式中 Rk——按规范规定的材料性能和几何参数 标准值及抗力计算公式求得的抗力标准值，可表达 为
6
由误差传递公式，抗力Rp的均值和变异系数为
也可将抗力的平均值用无量纲的系数hp表示，即
2
3
不定性Xm、XA和Xp均是无量纲随机变量，其统计参数适 用于各地区和各种使用情况。随着统计数据的不断充分 和统计方法的不断完善，上述统计参数将会有所变化。
4
8.5 抗力的统计特征
抗力可采用随机变量R表达
式中 RP=R（）——由计算公式确定的构件抗力 值，它是各种材料性能和几何参数不定性的函数；
近似服从正态分布。 如Y = X1X2…Xn，则
当n充分大时，lnY也近似服从正态分布，则Y近似服从对 数正态分布。
7
8
9
令
0
可得
则
1
2
8.5.2 结构构件抗力的分布类型
结构构件抗力R是多个随机变量的函数。 如果已知每个随机变量的概率分布，通过多维积分求 出抗力R的概率分布是很困难的，可采用模近似方法（如 Monte-Carlo模拟法）来推求抗力的概率分布函数。
对实际工程，可由概率理论假定抗力的概率分布。
第章结构抗力的统计分析
2
◆结构抗力分四个层次：
➢ 整体结构抗力
➢
如整体结构承受风荷载的能力
➢ 结构构件抗力
➢ 如构件在轴力、弯矩作用下的承载能力
➢ 构件截面抗力
➢ 构件截面抗弯、抗剪的能力
➢ 截面各点的抗力
➢ 截面各点抵抗正应力、剪应力的能力
3
结构抗力与结构荷载效应相对应，即： 荷载效应为作用内力
9
由误差传递公式，Xm的平均值与变异系数为
式中
——随机变量X0、Xf的平均值及试件
材料性能 fs 的平均值；
——随机变量X0的变异系Biblioteka Baidu及试
件材料性能 fs 的变异系数。
分别对 X0 、Xf进行统计，即可得到Xm的统计参数
0
【例 8-1】 求Q235沸腾钢屈服强度的统计参数。 已知:试件材料屈服强度的平均值 μfs = 280.3MPa, 标准差 σfs = 21.3MPa。由于加荷速度及上、下屈服 点的差别, 构件中材料的屈服强度低于试件材料的 屈服强度, 经统计, 两者比值Χ0的均值μΧ0 = 0.92, 标准差 σΧ0 = 0.032。规范规定的构 件材料屈服强度值为 k0 fk = 240MPa。
抗力为构件承载能力 荷载效应为作用变形
抗力为构件抵抗变形的能力
承载力验算——针对结构构件 变形验算——针对结构构件或整体结构
对结构抗力的讨论只针对结构构件（含构件截面）
4
二、抗力分析方法
直接统计分析非常困难，采用间接方法，
对抗力的各种主要影响因素进行统计分析，确定 其统计参数；
通过抗力与各有关因素的函数关系，从各种因素 的统计参数推求抗力的统计参数和概率分布类型 ；
k0——规范规定的反映结构构件材料性能与试件
材料性能差别的系数，如考虑缺陷、尺寸、施工质量、加
荷速度、试验方法等因素影响的系数或其函数(一般取定
8
式中 fs ——试件材料性能值； 令 则 式中 X0 ——反映结构构件材料性能与试件材料性能差 别的随机变量； Xf ——反映试件材料性能不定性的随机变量。
确定构件抗力及其各项影响因素的统计参数时， 采用以下近似公式：
5
设随机变量Z为相互独立的X1，X2，…，Xn的函数，即
则Y的均值、方差、变异系数分别 为
误差传递公 式
式中，下标 m 表示偏导数中的随机变量Xi均以其 平均值赋值。
6
影响构件抗力的不定性因素： 材料性能（如强度、弹性模量 ） 几何参数（如截面尺寸、惯性 矩） 计算模式的精确度
以随机变量XA来表示结构构件几何参数的不定性 ，即
式中 a ——结构构件的实际几何参数值；
ak ——结构构件的几何参数标准值，一般取设计值
。
7
则XA的统计参数为
式中 a、a ——构件几何参数的平均值及变异
系数。 几何参数的变异性一般随几何尺寸的增大而减小
。
8
建筑工程：表8.2列出了我国对各类建筑结构构件几何参 数进行大量实测得到的统计参数。
11～13 6～8 11～15 8～10 4～6
14～16 9～10 16～20 11～13 7～8
1
8.4 结构构件计算模式的不定性
指抗力计算中采用的某些基本假定的近似性和计算 公式的不精确性等引起的对抗力估计的变异性，反映了计 算抗力与实际抗力间的差异。
式中 R0 ——构件实际抗力值，取试验值或精确计算值； Rc ——按规范公式计算的结构构件抗力值，计算应采 用材料性能和几何尺寸实测值。 我国规范通过对各类构件Xp的统计分析，求得其平均值 和变异系数，见表8-3。
➢ 均为相互独立的随机变量
7
8.2 结构构件材料性能的不定性
结构构件材料性能的不定性 （1）材料本身品质的不定性 （2）材料在试验上和统计上的不定性 （3）标准试件的材料性能与实际结构材料性能的差异
以随机变量Xm来表示构件材料性能的不定性，即:
式中 fc ——结构构件实际的材料性能值；
fk ——规范规定的试件材料性能的标准值；
1
解：fy和X0变异系数分别为
则Xm的均值与变异系数分别为
2
3
材料强度的标准值
ff
1.645 sf
5％
fk
μf
a ──与材料强度的保证率相关 的系数。a=1.645对应95%的保
证率或0.05分位值
f
4
材料强度的设计值
5
6
8.3 结构构件几何参数的不定性
指制作尺寸偏差和安装偏差等引起的几何参数的变异 性，它反映了制作安装后的实际构件与所设计构件的标准构 件之间几何上的差异。
3
概率论的中心极限定理：若随机变量序列X1，X2，…，Xn 中的任何一个都不占优势，当n充分大时，无论X1，X2，…， Xn具有怎样的分布，只要它们相互独立，则
目
变异系数（%）
低
中
高
底基层厚度（mm） 基层厚度（mm）
平地机 50～80
4～6 4～6 10～13
7～10 7～9 14～18
11～14 10～12 19～23
面层厚 度
（mm）
摊铺基 层
摊铺机
摊铺基 层
90～150 160～200 50～80 90～150 160～200
7～10 4～5 5～10 4～7 2～3
公路工程：根据各级公路不同的目标可靠指标，将统计 的变异范围分为低、中、高三级水平（见下表）。
公路技术等级 变异水平等级
高速公路 低
一级公路 低～中
二级公路 中
9
0
表a 水泥混凝土路面面板厚度的变异系数
变异水平 变异系数 h（%
）
低 2～4
中 5～6
高 7～8
表b 沥青路面结构层厚度的变异系数
项
fci ——构件中第i种材料的实际性能值； ai ——与第i种材料相应的构件实际几何参 数；
5
考虑材料性能及几何参数不定性后，有
单一材料构件，抗力R为
式中 Rk——按规范规定的材料性能和几何参数 标准值及抗力计算公式求得的抗力标准值，可表达 为
6
由误差传递公式，抗力Rp的均值和变异系数为
也可将抗力的平均值用无量纲的系数hp表示，即
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不定性Xm、XA和Xp均是无量纲随机变量，其统计参数适 用于各地区和各种使用情况。随着统计数据的不断充分 和统计方法的不断完善，上述统计参数将会有所变化。
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8.5 抗力的统计特征
抗力可采用随机变量R表达
式中 RP=R（）——由计算公式确定的构件抗力 值，它是各种材料性能和几何参数不定性的函数；
近似服从正态分布。 如Y = X1X2…Xn，则
当n充分大时，lnY也近似服从正态分布，则Y近似服从对 数正态分布。
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令
0
可得
则
1
2
8.5.2 结构构件抗力的分布类型
结构构件抗力R是多个随机变量的函数。 如果已知每个随机变量的概率分布，通过多维积分求 出抗力R的概率分布是很困难的，可采用模近似方法（如 Monte-Carlo模拟法）来推求抗力的概率分布函数。
对实际工程，可由概率理论假定抗力的概率分布。
第章结构抗力的统计分析
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◆结构抗力分四个层次：
➢ 整体结构抗力
➢
如整体结构承受风荷载的能力
➢ 结构构件抗力
➢ 如构件在轴力、弯矩作用下的承载能力
➢ 构件截面抗力
➢ 构件截面抗弯、抗剪的能力
➢ 截面各点的抗力
➢ 截面各点抵抗正应力、剪应力的能力
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结构抗力与结构荷载效应相对应，即： 荷载效应为作用内力
9
由误差传递公式，Xm的平均值与变异系数为
式中
——随机变量X0、Xf的平均值及试件
材料性能 fs 的平均值；
——随机变量X0的变异系Biblioteka Baidu及试
件材料性能 fs 的变异系数。
分别对 X0 、Xf进行统计，即可得到Xm的统计参数
0
【例 8-1】 求Q235沸腾钢屈服强度的统计参数。 已知:试件材料屈服强度的平均值 μfs = 280.3MPa, 标准差 σfs = 21.3MPa。由于加荷速度及上、下屈服 点的差别, 构件中材料的屈服强度低于试件材料的 屈服强度, 经统计, 两者比值Χ0的均值μΧ0 = 0.92, 标准差 σΧ0 = 0.032。规范规定的构 件材料屈服强度值为 k0 fk = 240MPa。
抗力为构件承载能力 荷载效应为作用变形
抗力为构件抵抗变形的能力
承载力验算——针对结构构件 变形验算——针对结构构件或整体结构
对结构抗力的讨论只针对结构构件（含构件截面）
4
二、抗力分析方法
直接统计分析非常困难，采用间接方法，
对抗力的各种主要影响因素进行统计分析，确定 其统计参数；
通过抗力与各有关因素的函数关系，从各种因素 的统计参数推求抗力的统计参数和概率分布类型 ；
k0——规范规定的反映结构构件材料性能与试件
材料性能差别的系数，如考虑缺陷、尺寸、施工质量、加
荷速度、试验方法等因素影响的系数或其函数(一般取定
8
式中 fs ——试件材料性能值； 令 则 式中 X0 ——反映结构构件材料性能与试件材料性能差 别的随机变量； Xf ——反映试件材料性能不定性的随机变量。
确定构件抗力及其各项影响因素的统计参数时， 采用以下近似公式：
5
设随机变量Z为相互独立的X1，X2，…，Xn的函数，即
则Y的均值、方差、变异系数分别 为
误差传递公 式
式中，下标 m 表示偏导数中的随机变量Xi均以其 平均值赋值。
6
影响构件抗力的不定性因素： 材料性能（如强度、弹性模量 ） 几何参数（如截面尺寸、惯性 矩） 计算模式的精确度
以随机变量XA来表示结构构件几何参数的不定性 ，即
式中 a ——结构构件的实际几何参数值；
ak ——结构构件的几何参数标准值，一般取设计值
。
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则XA的统计参数为
式中 a、a ——构件几何参数的平均值及变异
系数。 几何参数的变异性一般随几何尺寸的增大而减小
。
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建筑工程：表8.2列出了我国对各类建筑结构构件几何参 数进行大量实测得到的统计参数。
11～13 6～8 11～15 8～10 4～6
14～16 9～10 16～20 11～13 7～8
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8.4 结构构件计算模式的不定性
指抗力计算中采用的某些基本假定的近似性和计算 公式的不精确性等引起的对抗力估计的变异性，反映了计 算抗力与实际抗力间的差异。
式中 R0 ——构件实际抗力值，取试验值或精确计算值； Rc ——按规范公式计算的结构构件抗力值，计算应采 用材料性能和几何尺寸实测值。 我国规范通过对各类构件Xp的统计分析，求得其平均值 和变异系数，见表8-3。
➢ 均为相互独立的随机变量
7
8.2 结构构件材料性能的不定性
结构构件材料性能的不定性 （1）材料本身品质的不定性 （2）材料在试验上和统计上的不定性 （3）标准试件的材料性能与实际结构材料性能的差异
以随机变量Xm来表示构件材料性能的不定性，即:
式中 fc ——结构构件实际的材料性能值；
fk ——规范规定的试件材料性能的标准值；
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解：fy和X0变异系数分别为
则Xm的均值与变异系数分别为
2
3
材料强度的标准值
ff
1.645 sf
5％
fk
μf
a ──与材料强度的保证率相关 的系数。a=1.645对应95%的保
证率或0.05分位值
f
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材料强度的设计值
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8.3 结构构件几何参数的不定性
指制作尺寸偏差和安装偏差等引起的几何参数的变异 性，它反映了制作安装后的实际构件与所设计构件的标准构 件之间几何上的差异。