第八章 粘性不可压缩流体的层流运动

8.6 不可压缩粘性流体在无穷长直圆管内流。

由实验知，其璧面传热系数h 与圆管的直径D ，热传导系数k,流体的平均速度U ，密度ρ，粘度系数μ和流体比热c 有关，其中h 具有h/D 的量纲。

试由量纲分析证明 P r ).(R e ,f Nu = 式中khD Nu =叫做努塞尔特（Nusselt ）数，μρUD =Re 是雷诺数，kc μ=Pr 是普朗特数。

解：由题意：,,,,,(][c U k D f h μρ=此式中有n=6个物理量，其中含4=r 个基本量纲，按π定理可简化为2=-r n 个无量纲间的函数关系。

记质量，长度，时间和温度的基本量纲分别为K T L M ,,,写出各量的量纲如下：[]L D =，[][]13)/(--==KMLTLK W k ，[]1-=LT U ，[]3-=ML ρ，11][--=TML μ，[]13--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=KMT D k h ，122][-=KT L c 。

现取D ，k ，U ，ρ为基本量，将其余各量与这些基本量组合成无量纲量。

例如，设]ξγβαρ][][][][U k D h =，列出此式两侧的量纲有：ξγβαβγβξβ3313-++---+--=LKTMKMT显然两侧的幂次应该分别相等：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++-=--=--=+031331ξγβαβγβξβ解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=0011ξγβα，即[]][][1k D h -=，于是khD Nu =构成一个无量纲量。

同理： ),,,,,(][1c U k D h f μρ=，取μ,,,k U D 为基本量，将其余各量与这些基本量组合成无量纲量。

设[]ξγβαμρ][][][][k U D =，列出此式两侧的量纲有：ββξγβαξβ----+++-=KTLMMLr333两侧的幂次应该分别相等：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=---=-++=+003331βγβξγβαξβ解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====1000ξγβα，8.8截面为半圆形的无限长直管中的不可压缩流体做层流运动，沿管轴方向某一长度l 上的压降为p ∆。

由实验知p l l∆与无关，且不沿管轴位置而变，只与管中的平均速度U ,管的半径a 和流体粘度系数μ有关。

试由量纲分析理论推出通过管的体积流量Q 如何随,, a p l μ∆和变化。

解： 以题有：1(,, )pf U a lμ∆=此式有4n =个物理量，且有3r =个基本量纲，据π定理可化为1n r -=个无量纲关系，记质量、长度、时间基本量纲分别为M 、L 、T 。

有[][][]22111, , , p M L T M L T U LT a L l μ-----∆⎡⎤====⎢⎥⎣⎦取,, p a lμ∆为基本量令[][][][]2211rrp U a M L T M L T L l ααββμ----∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦即[]12211LT M L T M L T L -----⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦rαβ解得1, 1, 2r αβ==-=即[][][]12p U a l μ-∆⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故2U palμ∆构成无量纲量。

8.11 图中两个无穷大的平行板之间有两层厚度都是h 的互不混合的均质不可压缩流体，粘度系数为1μ和2μ。

下板不动，上板沿板面向右以匀速U 滑动，试求两层流体中的速度分布以及上、下板面所受剪应力的大小和方向。

设上、下游远处压强相等，不计体力，试用图标画出你所用的坐标系。

解：对于该流动，N-S 方程组在直角坐标系下的分量形式是： 连续0=⋅∇ν，0=∂∂+∂∂y v xu动量方程：()S p F DtD b μρρν211⋅∇+∇-= ，)(12222yu xu xpyu vxu u∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂υρ)(12222yv xv ypyv vxv u∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂υρ（1） 对于0=y 以下的下层液体来说，边界条件是：（2） .0,:0,0,0:*=====-=v u u y v u h y由于x 方向是无穷长，没有特征长度，所以0=∂∂xu ，于是上述第一个方程有0=∂∂yv ，结合边界条件知0≡v ，于是由第三个方程知0=∂∂yp ，于是流动的特点是).(,),(x p p o v y u u =≡=由此知第二个方程变为线性的：xp dxu d ∂∂=222μ又有已知条件上、下游远处压强相等，所以0=∂∂xp故有0222=dxu d μ它在满足所给u 的边界条件时有如下解：)(*2h y huu +=1U8.11 题图hh（2）对于0=y 以上的上层液体来说，边界条件是：.0,:0,0,0:*=====-=v u u y v u h y同理解得**1u y hu u u +-=（3）有两液体界面处力平衡条将知二者剪切应力应相等，故有dydu dydu 2211μμ=将表达式代入得U u 211*μμμ+=，代入得)(112211h y h Uu μμμμ++=，)(2112h y hUu ++=μμμ。

（4）如果将两板间液体作为研究对象，由力的平衡条件知上下板面所受剪应力一定相等，可验证求之。

上板面的剪应力h UhUdy du h y s 21212211111)(μμμμμμμμμτ+=+===，方向与U 相反；下板面的剪应力h UhUdydu h y x 21211212221)(μμμμμμμμμτ+=+==-=，方向与U 相同。

其实液体中层间所受剪应力处处相等，均为hUw 2121μμμμτ+=，这正满足力平衡条件。

8.12粘度系数为μ的均质不可压缩流体沿x 方向流过平板（0y =）上方的半无穷大空间， y →∞时速度为U 。

设平板为多孔介质，穿过它有流体吸出（法向速度w v =常数<0）。

设流场中压强均匀，处处w v v =，试求二维定常解()u y 。

若任取一特征长度L ，定义u u U'=，ww v v U =， yy L'=，R e U L v =，当0.1w v =-时，试对Re 1,10,100=时画出剖面()u y ''，三条曲线画在同一张图上，请讨论：1）使()0.99u δ''=的δ'在三种情况下各取何值？2）当流体粘性很小（Re >>1）时，()u y ''与无粘流无旋解有何区别？解：由题意，对于该二维定常流动，边界条件为0: 0, 0: , 0w w y u v v const y u U v v const ====<=∞===<由N-S 的分量形式 0u vx y∂∂+=∂∂ （1） 22221uupu u u v v x y x x y ρ⎛⎫∂∂∂∂∂+=++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ （2） 22221vvpv v u v v x y x x y ρ⎛⎫∂∂∂∂∂+=-++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ （3） 对于该流动，x 方向是无穷长，没有特征长度，所以0u x∂=∂ ,再由方程（1）得出0v y∂=∂又由于 w v v const == ， 所以 0v x∂=∂。

又流场中压强均匀，则0p p xy∂∂==∂∂，所以 (), , wu u y v v c o n s t p c o n s t==== 由方程（2）得22w u u v vyy∂∂=∂∂积分得12w C v yvwv u eC v +=+由边界条件求出12, ln mU v C U C v v-==故求出定常解()(1)w v y u y U ev =-8.12题图8.13无限长的平板与水平面的夹角为α，其上有一层厚度为h 的均质不可压缩粘性流体在重力作用下平行于板面流动，其上为自由面。

求此定长流动的速度分别，流量、平均速度、最大速度和作用于板面上的摩擦力，并求流体中的压强分布。

解 ：自由面(y=h)上，有0 p p = 令粘度系数为μ， 边界条件为000: 0, 0, :0, 0, y u v p p gh u y h v p p yρ====+∂====∂此为二维流动0u v x y∂∂+=∂∂ （1）22221sin u u pv u u u v g x y x x y αρ⎛⎫∂∂∂∂∂+=-+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭（2） 22221cos vvpv v u v g v x y x x y αρ⎛⎫∂∂∂∂∂+=-+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭（3） x 无特征长度，则0u y∂=∂，由方程（1）得0v y∂=∂，在有边界条件可得出0v =，有（3）式得出1cos 0pg xαρ∂-+=∂则有 (), 0, ()u u y v p p y =≡=将其代入方程（2）得：22221sin u u pv u u u v g x y x xy αρ⎛⎫∂∂∂∂∂+=-+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭8.13题图。