第八章 粘性不可压缩流体的层流运动

8.6 不可压缩粘性流体在无穷长直圆管内流。由实验知，其璧面传热系数h 与圆管的直径D ，

热传导系数k,流体的平均速度U ，密度ρ，粘度系数μ和流体比热c 有关，其中h 具有

h/D 的量纲。试由量纲分析证明 P r ).

(R e ,f Nu = 式中k

hD Nu =叫做努塞尔特（Nusselt ）数，μ

ρUD =

Re 是雷诺数，k

c μ=

Pr 是

普朗特数。

解：由题意：,,,,,(][c U k D f h μρ=

此式中有n=6个物理量，其中含4=r 个基本量纲，按π定理可简化为2=-r n 个无量纲间的函数关系。

记质量，长度，时间和温度的基本量纲分别为K T L M ,,,写出各量的量纲如下：

[]L D =，[][]1

3

)/(--==K

MLT

LK W k ，[]1

-=LT U ，[]3-=ML ρ，1

1][--=T

ML μ，

[]1

3

--=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=

K

MT D k h ，1

22][-=K

T L c 。

现取D ，k ，U ，ρ为基本量，将其余各量与这些基本量组合成无量纲量。 例如，设

]ξ

γ

β

α

ρ][][][][U k D h =，列出此式两侧的量纲有：

ξ

γβαβ

γ

βξ

β331

3

-++---+--=L

K

T

M

K

MT

显然两侧的幂次应该分别相等：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++-=--=--=+031331ξγβαβγβξβ解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧===-=001

1ξγβα，

即[]][][1

k D h -=，于是k

hD Nu =

构成一个无量纲量。

同理： ),,,,,(][1c U k D h f μρ=，取μ,,,k U D 为基本量，将其余各量与这些基本量组合成无量纲量。

设[]ξ

γ

β

α

μρ][][][][k U D =，列出此式两侧的量纲有：

β

βξ

γβαξ

β----+++-=K

T

L

M

ML

r

333

两侧的幂次应该分别相等：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=---=-++=+003331βγβξγβαξβ解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧====100

0ξγβα，

8.8截面为半圆形的无限长直管中的不可压缩流体做层流运动，沿管轴方向某一长度l 上的压降为p ∆。由实验知

p l l

∆与无关，且不沿管轴位置而变，只与管中的平均速度U ,管的半

径a 和流体粘度系数μ有关。试由量纲分析理论推出通过管的体积流量Q 如何随,, a p l μ∆和变化。

解： 以题有：

1(,, )p

f U a l

μ∆=

此式有4n =个物理量，且有3r =个基本量纲，

据π定理可化为1n r -=个无量纲关系，

记质量、长度、时间基本量纲分别为M 、L 、T 。 有

[][][]2211

1

, , , p M L T M L T U LT a L l μ-----∆⎡⎤====⎢⎥⎣⎦

取

,, p a l

μ∆为基本量

令[][][]

[]

22

11r

r

p U a M L T M L T L l α

α

β

βμ----∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤=

=⎣⎦⎣⎦

⎢⎥⎣⎦

即[]

122

11LT M L T M L T L -----⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦

r

α

β

解得1, 1, 2r αβ==-=

即[][][]

1

2

p U a l μ-∆⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦

故

2

U pa

l

μ∆构成无量纲量。

8.11 图中两个无穷大的平行板之间有两层厚度都是h 的互不混合的均质不可压缩流体，粘度系数为1μ和2μ。下板不动，上板沿板面向右以匀速U 滑动，试求两层流体中的速度分布以及上、下板面所受剪应力的大小和方向。设上、下游远处压强相等，不计体力，试用图标画出你所用的坐标系。

解：对于该流动，N-S 方程组在直角坐标系下的

分量形式是： 连续

0=⋅∇ν，

0=∂∂+

∂∂y v x

u

动量方程：

()S p F Dt

D b μρ

ρ

ν21

1

⋅∇+

∇-

= ，

)(

12

2

2

2

y

u x

u x

p

y

u v

x

u u

∂∂+

∂∂+∂∂-

=∂∂+∂∂υρ

)(

12

2

2

2

y

v x

v y

p

y

v v

x

v u

∂∂+

∂∂+∂∂-

=∂∂+∂∂υρ

（1） 对于0=y 以下的下层液体来说，边界条件是：

（2） .

0,:0,0,0:*

=====-=v u u y v u h y

由于x 方向是无穷长，没有特征长度，所以

0=∂∂x

u ，于是上述第一个方程有

0=∂∂y

v ，

结合边界条件知0≡v ，于是由第三个方程知

0=∂∂y

p ，于是流动的特点是

).(,),(x p p o v y u u =≡=

由此知第二个方程变为线性的：x

p dx

u d ∂∂=

2

2

2

μ

又有已知条件上、下游远处压强相等，所以

0=∂∂x

p

故有022

2

=dx

u d μ

它在满足所给u 的边界条件时有如下解：)(*

2h y h

u

u +=

1

U

8.11 题图

h

h