高一物理竞赛第4讲 机械振动.教师版

第四讲 机械振动

1 .简谐振动的受力分析

2 .等效法研究简谐振动

3 .三角函数法描述振动

第一部分：振动的受力特点以及参数 知识点睛 一、模型引入 1．什么是振动？

振动是自然界和工程技术领域常见的一种运动，广泛存在于机械运动、电磁运动、热运动、原子运动等运动形式之中．从狭义上说，通常把具有时间周期性的运动称为振动．如钟摆、发声体、开动的机器、行驶中的交通工具都有机械振动．

如图：振动演示实验：当振子往复振动时，匀速的拉动纸带，就可以研究振子离开中心位置的位移与时间的关系。

广义地说，任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，都称为振动．变化的物理量称为振动量，它可以是力学量，电学量或其它物理量．例如：交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等．

2．什么是机械振动？

机械振动是最直观的振动，它是物体在一定位置附近的来回往复的运动，口语称为“来回晃悠”。如活塞的运动，钟摆的摆动等都是机械振动．

产生机械振动的条件是：物体受到回复力的作用； 回复力：

使振动物体返回平衡位置的力叫回复力．回复力时刻指向平衡位置．回复力是以效果命名的力，它是振动物体在振动方向上的合外力，可能是几个力的合力，也可能是某个力或某个力的分力，可能是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等．

3．简谐运动

物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力作用下的振动，叫简谐运动．表达式为：F kx =-．做简谐运动物体的位移是相对于平衡位置的，位移的方向总是由平衡位置指向物体，而回复力总由物体是指向平衡位置，所以回复力总跟位移方向相反，式中的负号表示了这种相反关系．

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本讲介绍

4．描述简谐运动的物理量

⑴ 位移x ：由平衡位置指向振子所在处的有向线段，最大值等于振幅； ⑵ 振幅A ：是描述振动强弱的物理量．（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的，而位移是时刻在改变的）

⑶ 周期T ：是描述振动快慢的物理量．频率1

f T

=．

5.简谐振动的图像

为了研究弹簧振子的运动规律，我们以小球的平衡位置为坐标原点O ，沿着它的振动方向建立坐标轴．小球在平衡位置的右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负．左图所示的弹簧振子的频闪照片．频闪仪每隔0.05s 闪光一次，闪光的瞬间振子被照亮．拍摄时底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列的像，相邻两个像之间相隔0.05s ．右图中的两个坐标轴分别代表时间t 和小球位移x ，因此它就是小球在平衡位置附近往复运动时的位移—时间图象，即x t -图象．

简谐运动及其图象

我们对弹簧振子的位移与时间的关系做些深入的研究．从图中可以看出，小球运动时位移与时间的关系很像正弦函数的关系．

例题精讲

【例1】 如图所示，质量为m 的小球放在劲度为k 的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧，

证明其做简谐振动．

【例2】 把一个密度小于水的正方体木块放入水中，并用手稍微按入水中一点，

证明手释放后木块做简谐振动，不考虑阻力与水面的变化． 【解析】 设物体相对飘浮位置位移x ．

其受合力为相比飘浮时的浮力差．F g V ρ∆=∆浮水gS x ρ=⋅浮 K gS ρ=水

【例3】 三根长度均为 2.00l =米，质量均匀的直杆，构成一正三角形框

架ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动．

【解析】如图，松鼠受力如图：由力矩平衡可知：N与f合力必须过ABC框的C点才能平衡．即Nx fh

=，且N mg

=

∴

mgx

f

h

=为简谐振动．

且mg

K

h

=．

第二部分简谐振动参量关系：

知识点睛

由于是变力作用，所以简谐振动的物体运动量与时间的关系很难用初等数学解答，一般的解法是直接解微分方程．

根据牛顿第二定律：f ma

=

可得物体的加速度为：

f k

a x

m m

==-

对于给定的弹簧振子，m和k均为正值常量，令2

k

m

ω=

则上式可以改写为2

a x

ω

=-或

2

2

2

d x

x

dt

ω

+=

这是个二阶的微分方程，这里就给出具体解的过程了。这个方程的解为()

cos

x A tωϕ

=+，其中A为振幅，ϕ为初相，tωϕ

+叫相位．

那么周期为：2π

m

T

k

=．

当然还有比较巧的办法：如图所示，一质量为m的质点在xy 平面内以原点O为圆心做匀速圆周运动，该质点在x轴上的投影（P点）将以O为中心在x轴上振动，这个振动与圆周运动有什么关系呢？

设圆半径为r，角速度为ω，则质点受向心力大小为2

F m r

ω

=

设0

t=时，半径跟x轴方向的夹角为

Φ，经时间t半径跟x轴方向夹角为Φ，则

wt

Φ=+Φ，在任意

时刻t，质点在x轴上的位移为()0

cos

x r wt

=⋅+Φ

向心力在x轴上的分量为()

2

cos

x

F mw r wt

=-+Φ

由以上两式得2

x

F mw x

=-

令2

mw

=，则Fx Kx

=-

结果表明：做匀速圆周运动的质点在x轴方向上的分运动满足简谐运动条件，所以x轴方向的分运动是简谐运动．

上述结论可以通过图所示实验验证，图中M是在水平方向做简谐运动的弹簧振子．M'是在水平面上做匀速圆周运动的球，用水平方向的平行光照射小球和振子，使振子M振动的振幅等于小球M'做圆周运动的半径，使M和M'的运动周期相同，调整好两球开始运动时的位置，可以看到竖直屏上的两个影子运动情况完全相同．

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