年高考第一轮复习数学函数的奇偶性

2.4 函数的奇偶性
●知识梳理
1.奇函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ）〔或f （x ）+ f （－x ）=0〕，则称f （x ）为奇函数.
2.偶函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ）〔或f （x ）－f （－x ）=0〕，则称f （x ）为偶函数.
3.奇、偶函数的性质
（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.
（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.
. y 轴对称 ≠β，则.由α、β答案：B
4.已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________.
解析：定义域应关于原点对称，
故有a －1＝－2a ，得a ＝
3
1. 又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0.
答案：3
1
5.给定函数:①y =x
1
（x ≠0）；②y =x 2+1；③y =2x ；④y =log 2x ；⑤y =log 2（x +12+x ）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________. 答案：①⑤ ② ③④ ●典例剖析
【例1】 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则 A.f （0）＜f （－1）＜f （2） B.f （－1）＜f （0）＜f （2） C.f （－1）＜f （2）＜f （0） D.f （2）＜f （－1）＜f （0） 剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减， ∴f （x ）在［－2，0］上单调递减. ∵y =f （x ）是偶函数，
x ）既不⎩≠-+,02|2|x ⎩
-≠≠.40x x 且故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x +2＞0.从而有f （x ）= 2212-+-x x =x
x 2
1-，
这时有f （－x ）=
x
x ---2
)(1=－x
x 2
1-=－f （x ），故f （x ）为奇函数.
（4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0， ∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）. 当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）.
故函数f （x ）为奇函数. 评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.
（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.
【例3】 （2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.
（1）求f （1）的值；
（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；
（3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.
（1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0. （2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0. 令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数. （3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3. ∴f （3x +1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x +1）（2x －6）］≤f （64）.（*） ∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴（*）等价于不等式组
或⎩⎨⎧≤-+-<-+,
64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤≤--<>53
7,313x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x
∴3＜x ≤5或－
37≤x ＜－31或－3
1
＜x ＜3. ∴x 的取值范围为{x |－37≤x ＜－31或－3
1
＜x ＜3或3＜x ≤5}.
评述：解答本题易出现如下思维障碍：
（1）无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.
（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.
深化拓展
已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0的解集是（a 2，b ），g （x ）＞0
的解集是（22a ，2b ），
2
b
＞a 2，那么f （x ）·g （x ）＞0的解集是
A.（22a ，2b
）
B.（－b ，－a 2）
C.（a 2，2b ）∪（－2
b
，－a 2）
D.（2
2
a ，
b ）∪（－b 2，－a 2）
提示：f （x ）·g （x ）＞0⇔⎩⎨⎧>>0)(,0)(x g x f 或⎩
⎨⎧<<.0)(,
0)(x g x f
∴x ∈（a 2，2b ）∪（－2
b
，－a 2）. 答案：C
【例4】 （2004年天津模拟题）已知函数f （x ）=x +
x
p
+m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）（理）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.
（文）若p ＞1，当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 解：（1）∵f （x ）是奇函数， ∴f （－x ）=－f （x ）. ∴－x －
x p +m =－x －x
p
－m . ∴2m =0.∴m =0.
（2）（理）（ⅰ）当p ＜0时，据定义可证明f （x ）在［1，2］上为增函数.∴f （x ）max =
f （2. x ）min =f
（2
深化拓展
f （x ）=x +
x
p
的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？ ●闯关训练 夯实基础
1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在区间［0，+∞）上的图象与f （x ）的图象重合，设a ＜b ＜0，给出下列不等式，其中成立的是
①f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ） ③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
解析：不妨取符合题意的函数f （x ）=x 及g （x ）=|x |进行比较，或一般地g （x ）=⎩
⎨⎧≤-≥,0)(,0)(x x f x x f f
（0）=0，f （a ）＜f （b ）＜0.
答案：D
2.（2003年北京海淀区二模题）函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f （x ）在［－1，0］上是减函数，那么f （x ）在［2，3］上是
A.增函数
B.减函数
C.先增后减的函数
D.先减后增的函数
解析：∵偶函数f （x ）在［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数.
答案：A
3.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=lg x
+11
，那么当x ∈（－1，0）时，f （x ）的表达式是__________.
解析：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）=－f （－x ）=－lg x
-11
=lg （1－x ）. 答案：lg （1－x ）
4.（2003年北京）函数f （x ）=lg （1+x 2），g （x ）=⎪⎩
⎪
⎨⎧>+-≤-<+.12,1||0,12
x x x x x h （x ）=tan2x 中，______________
是偶函数.
解析：∵f （－x ）=lg ［1+（－x ）2］=lg （1+x 2）=f （x ）， ∴f （x ）为偶函数.
又∵1°当－1≤x ≤1时，－1≤－x ≤1， ∴g （－x ）=0.
又g （x ）=0，∴g （－x ）=g （x ）. 2°当x ＜－1时，－x ＞1， ∴g （－x ）=－（－x ）+2=x +2.
又∵g （x ）=x +2，∴g （－x ）=g （x ）. 3°当x ＞1时， －x ＜－1， ∴g （－x ）=（－x ）+2=－x +2.
又∵g （x ）=－x +2，∴g （－x ）=g （x ）. 综上，对任意x ∈R 都有g （－x ）=g （x ）. ∴g （x ）为偶函数.
h （－x ）=tan （－2x ）=－tan2x =－h （x ）， ∴h （x ）为奇函数. 答案：f （x ）、g （x ）
5.若f （x ）=1
222+-+⋅x
x a a 为奇函数，求实数a 的值. 解：∵x ∈R ，∴要使f （x ）为奇函数，必须且只需f （x ）+f （－x ）=0，即a －1
22
+x + a g （m ），求0，+∞）
f （－3·
)21(221x x
-+＝x )
12(2-x ∴f （x ）为偶函数.
（2）证明：由解析式易见，当x ＞0时，有f （x ）＞0. 又f （x ）是偶函数，且当x ＜0时－x ＞0， ∴当x ＜0时f （x ）＝f （－x ）＞0，
即对于x ≠0的任何实数x ，均有f （x ）＞0.
探究创新
8.设f （x ）=log 2
1（
1
1--x ax
）为奇函数，a 为常数， （1）求a 的值；
（2）证明f （x ）在（1，+∞）内单调递增；
（3）若对于［3，4］上的每一个x 的值，不等式f （x ）＞（2
1）x
+m 恒成立，求实数m 的取值范围.
（1）解：f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ）.
，∴
a =1
1
11-+x x ＞g
（ 3.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是其局部性质. 拓展题例 【例1】 已知函数f （x ）=c
bx ax ++1
2（a 、b 、c ∈Z ）是奇函数，又f （1）=2，f （2）＜3，求a 、b 、
c 的值.
解：由f （－x ）=－f （x ），得－bx +c =－（bx +c ）. ∴c =0.
由f （1）=2，得a +1=2b .
由f （2）＜3，得1
1
4++a a ＜3，
解得－1＜a ＜2.又a ∈Z ，
∴a =0或a =1.若a =0，则b =
2
1
，与b ∈Z 矛盾.∴a =1，b =1，c =0. 【例2】 已知函数y =f （x ）的定义域为R ，对任意x 、x ′∈R 均有f （x +x ′）=f （x ）+f （x ′），且对任意x ＞0，都有f （x ）＜0，f （3）=－3.
（1）试证明：函数y =f （x ）是R 上的单调减函数； （2）试证明：函数y =f （x ）是奇函数； （3）试求函数y =f （x ）在［m ，n ］（m 、n ∈Z ，且mn ＜0）上的值域. 分析：（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件.
（2）可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f （0）=0后，再利用条件f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）中x 1、x 2的任意性，可使结论得证.
上的单调（3）若题设条件中的m 、n ∈Z 去掉，则我们就无法求出f （m ）与f （n ）的值，故m 、n ∈Z 不可少.。