素数定理另证
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������≥1 ������∶素数
������ ∈ ℂ, Re(������) > 1.
以上的无穷级数及无穷乘积绝对收敛. 定理 2.1. 函数 ������ 满足下列性质: 1. ������ 可延拓为 ℂ 上的亚纯函数; 2. ������ 仅在 ������ = 1 处有极点, 这是单极点并满足 Res������=1 ������(������) = 1; 3. 若 Re(������) = 1 则 ������(������) ≠ 0. 注记 2.2. 定理 2.1 的最后一个性质将是素数定理证明的关键. 这也可以从 Kahane 的 Fourier 公式及调和分析得出, 详阅 [1]. 定义 ������ℙ (������) ∶= ∑ ������−������ ,
������∶素数
存在常数 ������ > 0 使得对所有 ������ ∈ ℂ, |������| ≤ 2−1/2 者, 我们有 | log(1 − ������) + ������| ≤ ������|������|2 . 因此在 ������(������) 的级数展开式中, 有 | − log(1 − ������−������ ) − ������−������ | ≤ ������������−2Re(������) ,
素数定理另证
李文威
* 本文基于笔者 2012 年 5 月某日于西南交通大学峨眉分校所作报告的底稿.
1. 导言
素数分布是数论中最核心的课题之一. 试详言之: 考虑函数 ������ ∶ℝ ⟶ ℝ, ������(������) ∶= #{������ ∶ 素数, ������ ≤ ������}. 对于任一对函数 ������ , ������ ∶ ℝ → ℝ, 我们以 ������ (������) ∼ ������(������) (当 ������ → +∞) 表示 lim ������ (������) = 1. ������(������)
������∶素数
������ ∈ ℂ, Re(������) > 1.
易见此无穷级数绝对收敛. 以下, 符号 log 皆表示对数函数 log 在 ℂ ∖ ℝ≤0 上标准的解析延拓. 我们还会使用分 析学中习见的小 ������ 记号. 命题 2.3. 函数 ������ℙ 满足下列性质 1. ������ℙ 可延拓为 {������ ∈ ℂ ∶ ������ ≠ 1, Re(������) ≥ 1} 上的连续函数; 2. ������ℙ 在 {������ ∈ ℂ ∶ Re(������) = 1} 上局部可积; 3. 当 ������ ∈ ℝ 充分小, 1 ������ℙ (1 + ������������) = log ( ) + 连续项; ������������
������→+∞
函数 ������ 的渐近行为由以下著名的素数定理给出. 定理 1.1. 当 ������ → +∞ 时, 我们有 ������(������) ∼ ������ . log ������
素数定理的发现至少可以追溯到 Gauß 和 Legendre 在 19 世纪的工作. Riemann 则首 先揭示了素数分布和 ������ 函数的联系. 素数定理的证明颇多, 以下且略述一二. 首个严格 证明无疑归于 Hadamard 和 de la Vallé Poussin (1896), 他们的证明使用了复分析. Selberg 和 Erdős 于 1949 年各自给出独立的 “初等” 证明. 其后, Newman 在 1980 年给出目前已 知的最短证明 [5], 但其中仍然用到了复分析中的 Cauchy 积分公式. 在另一条战线上, 借 助于 Wiener 证明的 Tauber 型定理 (1932), 素数定理有了若干种新证明; Hadamard 等人 使用的复分析技巧被经典意义下的调和分析取代. 详情可参看 [2]. Kahane (1996) 进一 步发展了 Wiener 的进路, 其关键在于所谓的 “Fourier 公式” (定理 3.3). 本文旨在介绍 Kahane 的证明. 在此必须指出这个证明既非最短, 亦不初等, 优雅与否 则待读者自行评断; 但是此一证明的思路清晰, 技巧也颇堪玩味, 并且能处理更一般的 1
1 故 ������(������) 可延拓为 {������ ∈ ℂ ∶ Re(������) > 2 } 上的亚纯函数. 我们同时得到以下结果: 对于 ������0 ∈ ℂ, Re(������0 ) = 1 者, 设 ������ ∶= ord������=������0 ������(������), 则
Beurling 广义素数 [4]. 我们假定读者有基本的分析学知识; 对多数的证明将只述梗概, 部分结果则留给读者自证. 全文大致按照 Bost 的讲义 [1] 来铺陈, 并无创新; 一切错訛当 属若干性质
Riemann ������ 函数的定义是 ������(������) ∶= ∑ ������−������ = ∏ (1 − ������−������ )−1 ,
4. 固定 ������ ∈ ℝ, 当 ������ ∈ ℝ>0 趋近于零时 ������ℙ (1 + ������ + ������������) = ������(log ������). 2
证明. 设 ������(������) ∶= log ������(������) − ������ℙ (������), Re(������) > 1. 注意到 ������(������) = ∑ (− log(1 − ������−������ ) − ������−������ ) .
������ℙ (������) = ������ log(������ − ������0 ) + 连续项, 明所欲证.
Re(������) > 1, ������ → ������0 .
������ ∈ ℂ, Re(������) > 1.
以上的无穷级数及无穷乘积绝对收敛. 定理 2.1. 函数 ������ 满足下列性质: 1. ������ 可延拓为 ℂ 上的亚纯函数; 2. ������ 仅在 ������ = 1 处有极点, 这是单极点并满足 Res������=1 ������(������) = 1; 3. 若 Re(������) = 1 则 ������(������) ≠ 0. 注记 2.2. 定理 2.1 的最后一个性质将是素数定理证明的关键. 这也可以从 Kahane 的 Fourier 公式及调和分析得出, 详阅 [1]. 定义 ������ℙ (������) ∶= ∑ ������−������ ,
������∶素数
存在常数 ������ > 0 使得对所有 ������ ∈ ℂ, |������| ≤ 2−1/2 者, 我们有 | log(1 − ������) + ������| ≤ ������|������|2 . 因此在 ������(������) 的级数展开式中, 有 | − log(1 − ������−������ ) − ������−������ | ≤ ������������−2Re(������) ,
素数定理另证
李文威
* 本文基于笔者 2012 年 5 月某日于西南交通大学峨眉分校所作报告的底稿.
1. 导言
素数分布是数论中最核心的课题之一. 试详言之: 考虑函数 ������ ∶ℝ ⟶ ℝ, ������(������) ∶= #{������ ∶ 素数, ������ ≤ ������}. 对于任一对函数 ������ , ������ ∶ ℝ → ℝ, 我们以 ������ (������) ∼ ������(������) (当 ������ → +∞) 表示 lim ������ (������) = 1. ������(������)
������∶素数
������ ∈ ℂ, Re(������) > 1.
易见此无穷级数绝对收敛. 以下, 符号 log 皆表示对数函数 log 在 ℂ ∖ ℝ≤0 上标准的解析延拓. 我们还会使用分 析学中习见的小 ������ 记号. 命题 2.3. 函数 ������ℙ 满足下列性质 1. ������ℙ 可延拓为 {������ ∈ ℂ ∶ ������ ≠ 1, Re(������) ≥ 1} 上的连续函数; 2. ������ℙ 在 {������ ∈ ℂ ∶ Re(������) = 1} 上局部可积; 3. 当 ������ ∈ ℝ 充分小, 1 ������ℙ (1 + ������������) = log ( ) + 连续项; ������������
������→+∞
函数 ������ 的渐近行为由以下著名的素数定理给出. 定理 1.1. 当 ������ → +∞ 时, 我们有 ������(������) ∼ ������ . log ������
素数定理的发现至少可以追溯到 Gauß 和 Legendre 在 19 世纪的工作. Riemann 则首 先揭示了素数分布和 ������ 函数的联系. 素数定理的证明颇多, 以下且略述一二. 首个严格 证明无疑归于 Hadamard 和 de la Vallé Poussin (1896), 他们的证明使用了复分析. Selberg 和 Erdős 于 1949 年各自给出独立的 “初等” 证明. 其后, Newman 在 1980 年给出目前已 知的最短证明 [5], 但其中仍然用到了复分析中的 Cauchy 积分公式. 在另一条战线上, 借 助于 Wiener 证明的 Tauber 型定理 (1932), 素数定理有了若干种新证明; Hadamard 等人 使用的复分析技巧被经典意义下的调和分析取代. 详情可参看 [2]. Kahane (1996) 进一 步发展了 Wiener 的进路, 其关键在于所谓的 “Fourier 公式” (定理 3.3). 本文旨在介绍 Kahane 的证明. 在此必须指出这个证明既非最短, 亦不初等, 优雅与否 则待读者自行评断; 但是此一证明的思路清晰, 技巧也颇堪玩味, 并且能处理更一般的 1
1 故 ������(������) 可延拓为 {������ ∈ ℂ ∶ Re(������) > 2 } 上的亚纯函数. 我们同时得到以下结果: 对于 ������0 ∈ ℂ, Re(������0 ) = 1 者, 设 ������ ∶= ord������=������0 ������(������), 则
Beurling 广义素数 [4]. 我们假定读者有基本的分析学知识; 对多数的证明将只述梗概, 部分结果则留给读者自证. 全文大致按照 Bost 的讲义 [1] 来铺陈, 并无创新; 一切错訛当 属若干性质
Riemann ������ 函数的定义是 ������(������) ∶= ∑ ������−������ = ∏ (1 − ������−������ )−1 ,
4. 固定 ������ ∈ ℝ, 当 ������ ∈ ℝ>0 趋近于零时 ������ℙ (1 + ������ + ������������) = ������(log ������). 2
证明. 设 ������(������) ∶= log ������(������) − ������ℙ (������), Re(������) > 1. 注意到 ������(������) = ∑ (− log(1 − ������−������ ) − ������−������ ) .
������ℙ (������) = ������ log(������ − ������0 ) + 连续项, 明所欲证.
Re(������) > 1, ������ → ������0 .