MATLAB算法程序偏微分方程的数值解法

偏微分方程Matlab数值解法(补充4)

偏微分方程Matlab 数值解法（补充4）Matlab 可以求解一般的偏微分方程，也可以利用偏微分方程工具箱中给出的函数求解一些偏微分方程。

1 偏微分方程组求解Matlab 语言提供了pdepe()函数，可以直接求解偏微分方程(,,,)[(,,,)](,,,)m mu u u u C x t u x x f x t u s x t u x t x x x-∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ （4.1）这样，偏微分方程可以编写为以下函数的描述，其入口为[,,](,,,)x c f s pdefun x t u u =其中：pdefun 为函数名。

由给定输入变量可计算出,,c f s 这三个函数。

边界条件可以用下面的函数描述(,,)(,,).*(,,,)0up x t u q x t u f x t u x∂+=∂ （4.2）这样的边值函数可以写为Matlab 函数[,,,](,,,)a a b b x p q p q pdebc x t u u =初始条件数学描述为00(,)u x t u =，编写一个简单的函数即可0()u pdeic x =还可以选择x 和t 的向量，再加上描述这些函数，就可以用pdepe （）函数求解次偏微分方程，需要用如下格式求解(,@,@,@,,)sol pdepe m pdefun pdeic pdebc x t =【例1】试求下列偏微分方程2111222221220.024()0.17()u u F u u t x u u F u u tx ⎧∂∂=--⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+-⎪∂∂⎩ 其中： 5.7311.46()xx F x e e -=-，且满足初始条件1(,0)1u x =，2(,1)0u x =及边界条件1221(0,)0,(0,)0,(1,)1,(1,)0u u t u t u t t x x∂∂====∂∂解：对照给出的偏微分方程和（4.1），可将原方程改写为111222120.024/()1.*10.17/()u u x F u u u u x F u u t x ∂∂--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂-∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可知0m =，且1122120.024/()1,,10.17/()u x F u u c f s u x F u u ∂∂--⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂-⎣⎦⎣⎦⎣⎦编写下面的Matlab 函数function [c,f,s]=c7mpde(x,t,u,du)c=[1;1];y=u(1)-u(2);F=exp(5.73*y)-exp(-11.46*y);s=F*[-1;1]; f=[0.024*du(1);0.17*du(2)];套用（4.2）中的边界条件，可以写出如下的边值方程左边界2010.*00f u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，右边界1100.*100u f -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 编写下面的Matlab 函数function [pa,qa,pb,qb]=c7mpbc(xa,ua,xb,ub,t) pa=[0;ua(2)];qa=[1;0];pb=[ub(1)-1;0];qb=[0,1]; 另外，描述初值的函数function u0=c7mpic(x) u0=[1;0];有了这三个函数，选定x 和t 向量，则可以由下面的程序直接求此微分方程，得出解1u 和2u 。

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

引言偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。

人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。

然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。

现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。

偏微分方程如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

常用的方法有变分法和有限差分法。

变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。

虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。

随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。

从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。

从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用1.1 MATLAB简介MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。

1.2 Matlab主要功能数值分析数值和符号计算工程与科学绘图控制系统的设计与仿真数字图像处理数字信号处理通讯系统设计与仿真财务与金融工程1.3 优势特点1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，为用户提供了大量方便实用的处理工具。

【精品】偏微分的MATLAB数值解法课件

方法一：pdepe函数实现
• x=0:1:40; • t=0:0.01:0.2; • m=0; • sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t); • b=sol(20,:); • plot(x,b); • title('the solution of u') • xlabel('x') • ylabel('y') • zlabel('u')
偏微分的MATLAB数值解法
偏微分的MATLAB数值解法
• 方法一：pdepe函数实现 • 方法二：pdetool实现 • 方法三：程序实现
方法一：pdepe函数实现
• @pdeic： • function u0=pdeic(x) • if x<10 • u0=0; • elseif x<30 • u0=1; • else • u0=0; • end
•
end
• end
方法三：程序实现
图 22.12 波动方程解析解的分布
偏微分的MATLAB数值解法
• 方法总结： • 1.pdede调用简单，但计算功能稍弱 • 2.pdetool使用方便，但限于四种方程类
型 • 3.程序编写较为繁琐
方法一：pdepe函数实现
方法二：pdetool实现
• 1.pdetool界面 • 2.选定求解微分方程类型（双曲线、抛物线、椭
圆、特殊值型）并设定参数 • 3.绘制求解区域 • 4.边界条件和初值条件（Dirichlet和Neumann） • 5.生成网格 • 6.求解方程并绘制图形
方法二：pdetool实现
• 应用实例：
u(ux,y)
x2 y x0

matlab 偏微分方程

MATLAB是一个强大的数值计算环境，可以用来解决各种各样的数学问题，包括偏微分方程。

下面是一个简单的例子，展示如何在MATLAB中解决一维的偏微分方程。

假设我们要解决以下一维的热传导方程：
∂u∂t=∂2u∂x2
在给定的初始条件和边界条件下：
u(x,0)=sin(πx)u(0,t)=0, u(1,t)=0
我们可以使用MATLAB中的pdepe函数来求解这个问题。

以下是一个简单的MATLAB代码示例：
```matlab
定义参数
T = 1; 最终时间
h = 0.01; 空间步长
t = 0:T/h:T; 时间向量
x = 0:h:1; 空间向量
n = length(x); 空间点的数量
m = length(t); 时间点的数量
初始化矩阵存储解
U = zeros(m, n);
U(:,1) = sin(pi*x); 初始条件
定义偏微分方程
pdepe('u_tt', U, t, x, 'heat', 'periodic');
使用pdepe求解偏微分方程
[U, ~] = pdepe(U, t, x);
绘制结果
surf(x, t, U);
```
这个代码示例使用了MATLAB的pdepe函数，这是一个用于求解偏微分方程的函数。

在上面的代码中，我们首先定义了参数，然后初始化了存储解的矩阵。

然后，我们定义了偏微分方程，并使用pdepe 函数求解它。

最后，我们使用surf函数绘制了结果。

偏微分方程解的几道算例(差分、有限元)-含matlab程序(1)

A(i,i)=r2; if i>1
A(i-1,i)=-r; A(i,i-1)=-r; end end u=zeros(N+1,M+1); u(N+1,:)=u1; for k=1:N b=u(N+2-k,2:M)+0.02; u(N+1-k,2:M)=inv(A)*b';%求解迭代方程组 end uT=u(1,:);%0.25时刻的解 %精确解与数值解画图 x1=[0,x,1]; plot(x1,uT,'o') hold u_xt = exp (-pi*pi*T)*sin (pi*x1) + x1.*(1 - x1); plot (x1, u_xt, ' r') e=u_xt-uT; 六点格式 function [e]=six(dx,dt,T) %用六点对称格式求解，dx为x方向步长，dt为t方向步长 % e为误差 M=1/dx; N=T/dt; %得到第一层的值 u1=zeros(1,M+1); x=[1:M-1]*dx; u1([2:M])= sin(pi*x)+x.*(1 - x); %网比 r=dt/dx/dx;r2=2+2*r;r3=2-2*r; %构造三对角矩阵A for i=1:M-1 A(i,i)=r2;
0.0070 0.0027
-0.0097 -0.0037
-0.0013 -0.0005
0.0082 0.0000
-0.0114 0.0000
-0.0015 0.0000
0.0087 -0.0120
-0.0016
注：这里的"误差"=精确解-数值解. 2.精确解与数值解结果图像对比
“向前差分格式”：

Matlab求解微分方程及偏微分方程

第四讲Matlab求解微分方程（组）理论介绍：Matlab求解微分方程（组）命令求解实例：Matlab求解微分方程（组）实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的, 特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法.一.相关函数、命令及简介1.在Matlab中，用大写字母D表示导数，Dy表示y关于自变量的一阶导数, D2y表示y关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为：X=dsolve（＜eqnl，,，eqn2函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解.注意，系统缺省的自变量为t2.函数dsolve求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解. 但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver,其一般格式为：［T,Y］=solver（odefun,tspan,yO）说明：（1 ）solver 为命令ode45、ode23、odel 13、odel5s、ode23s、ode23t、ode23tb、odel5i 之一.（2）odefun是显示微分方程），=f （t,y）在积分区间tspan =［心心］上从心到“用初始条件儿求解.（3）如果要获得微分方程问题在其他指定时间点bG©…心上的解，则令（span = 『“，•••『/■］（要单调的）.（4）因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE问题，为此，Matlab提供T多种求解器solver,对于不同的ODE问题，采用不同的solver.程（组）的初值问题的解的Matlab常用程序，其中：ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.。

matlab 求解偏微分方程组

一、介绍Matlab是一种强大的数学计算工具，用于解决各种数学问题，包括求解偏微分方程组。

偏微分方程组是描述自然界中许多物理现象的数学模型，其求解对于科学研究和工程应用具有重要意义。

在Matlab中，可以通过多种方法来求解偏微分方程组，包括有限差分方法、有限元方法、谱方法等。

本文将对Matlab中求解偏微分方程组的方法进行介绍和讨论。

二、有限差分方法有限差分方法是一种常用的求解偏微分方程组的数值方法。

其基本思想是将连续的变量离散化为有限个点，并利用差分逼近来近似偏微分方程的导数。

在Matlab中，可以通过编写相应的差分方程组来求解偏微分方程组。

对于二维热传导方程，可以将偏导数用中心差分逼近，并构建相应的差分方程来求解温度分布。

通过循环迭代的方式，可以逐步逼近偏微分方程的解，并得到数值解。

三、有限元方法有限元方法是另一种常用的求解偏微分方程组的数值方法。

其基本思想是将求解区域离散化为有限个单元，并在每个单元内建立近似函数来逼近原始方程。

在Matlab中，可以利用有限元建模工具箱来构建离散化的网格，并编写相应的有限元方程来求解偏微分方程组。

对于弹性力学方程，可以利用有限元方法来求解结构的位移和应力分布。

通过求解线性方程组，可以得到离散化网格上的数值解。

四、谱方法谱方法是一种利用特定基函数展开偏微分方程解的方法。

其基本思想是选取适当的基函数，并通过展开系数来得到偏微分方程的数值解。

在Matlab中，可以通过谱方法工具箱来实现对偏微分方程组的求解。

对于波动方程，可以利用正交多项式展开来逼近波函数，通过选取适当的基函数和展开系数，可以得到偏微分方程的数值解。

五、总结在Matlab中，有多种方法可以用来求解偏微分方程组，包括有限差分方法、有限元方法、谱方法等。

这些方法各有特点，适用于不同类型的偏微分方程和求解问题。

通过合理地选择方法和编写相应的数值算法，可以在Matlab中高效地求解偏微分方程组，为科学研究和工程应用提供重要支持。

matlab中的微分方程的数值积分

MATLAB是一种流行的数学软件，用于解决各种数学问题，包括微分方程的数值积分。

微分方程是许多科学和工程问题的数学描述方式，通过数值积分可以得到微分方程的数值解。

本文将介绍在MATLAB中如何进行微分方程的数值积分，以及一些相关的技巧和注意事项。

一、MATLAB中微分方程的数值积分的基本方法1. 常微分方程的数值积分在MATLAB中，常微分方程的数值积分可以使用ode45函数来实现。

ode45是一种常用的数值积分函数，它使用4阶和5阶Runge-Kutta 方法来求解常微分方程。

用户只需要将微分方程表示为函数的形式，并且提供初值条件，ode45就可以自动进行数值积分，并得到微分方程的数值解。

2. 偏微分方程的数值积分对于偏微分方程的数值积分，在MATLAB中可以使用pdepe函数来实现。

pdepe可以求解具有定解条件的一维和二维偏微分方程，用户只需要提供偏微分方程的形式和边界条件，pdepe就可以进行数值积分，并得到偏微分方程的数值解。

二、在MATLAB中进行微分方程数值积分的注意事项1. 数值积分的精度和稳定性在进行微分方程的数值积分时，需要注意数值积分的精度和稳定性。

如果数值积分的精度不够，可能会导致数值解的误差过大；如果数值积分的稳定性差，可能会导致数值解发散。

在选择数值积分方法时，需要根据具体的微分方程来选择合适的数值积分方法，以保证数值解的精度和稳定性。

2. 初值条件的选择初值条件对微分方程的数值解有很大的影响，因此在进行微分方程的数值积分时，需要选择合适的初值条件。

通常可以通过对微分方程进行分析，或者通过试验求解来确定合适的初值条件。

3. 数值积分的时间步长在进行微分方程的数值积分时，需要选择合适的时间步长，以保证数值积分的稳定性和效率。

选择时间步长时，可以通过试验求解来确定合适的时间步长，以得到最优的数值解。

三、MATLAB中微分方程数值积分的实例以下通过一个简单的例子来演示在MATLAB中如何进行微分方程的数值积分。

偏微分方程的matlab解法

图 22.2 定解问题的边界
第四步：设置方程类型
选择PDE菜单中PDE Mode命令，进入PDE模式，再单击PDE菜单中PDE Secification选项，打开 PDE Secification对话框，设置方程类型．本例取抛物型方程 d
u (cu ) au f , t
故参数c,a,f,d,分别是l，0，10，1．第五步：选择Mesh菜单中Initialize Mesh命令，进行网格剖分，选择Mesh菜单中Refine Mesh命令，使网格密集化，
例如，对于细杆导热，虽然是一维问题，可以将宽度y虚拟出来，对应于y的边界条件和初始条件按照题意制定
Boundary Mode

PDE Mode
PDE Specification，确定偏微分方程类型共有四种：
椭圆形Elliptic

抛物型Parabolic

双曲型Hyperbolic

如图22.3．
图 22.3 网格密集化
第六步：解偏微分方程并显示图形解选择Solve菜单中Solve PDE命令，解偏微分方程并显示图形解，如图 2.4 所示
第七步：单击Plot菜单中Parameter选项，打开Plot Selection对话框，选中Color,Height(3D plot)和 Show mesh三项.再单击Polt按钮，显示三维图形解，如图22.5所示.
例：解热传导方程 ut u f 边界条件是齐次类型，定解区域自定。
【解】第一步：启动MATLAB，键入命令pdetool并回车，就进入GUI．在Options菜单下选择Gid命令，打开栅格，栅格使用户容易确定所绘图形的大小．第二步：选定定解区域本题为自定区域：自拟定解区域如图22 1所示：E1-E2+R1-E3．具体用快捷工具分别画椭圆E1、圆E2、矩形R1、圆E3．然后在Set formula栏中进行编辑并用算术运算符将图形对象名称连接起来(或删去默认的表达式，直接键入E1E2+R1-E3)

偏微分方程数值解法的MATLAB源码

[原创]偏微分方程数值解法的MATLAB源码【更新完毕】说明:由于偏微分的程序都比较长,比其她的算法稍复杂一些,所以另开一贴,专门上传偏微分的程序谢谢大家的支持！其她的数值算法见:、、//Announce/Announce、asp?BoardID=209&id=82450041、古典显式格式求解抛物型偏微分方程(一维热传导方程)function [U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)%古典显式格式求解抛物型偏微分方程%[U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)%%方程:u_t=C*u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT%初值条件:u(x,0)=phi(x)%边值条件:u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t)%%输出参数:U -解矩阵,第一行表示初值,第一列与最后一列表示边值,第二行表示第2层……% x -空间变量% t -时间变量%输入参数:uX -空间变量x的取值上限% uT -时间变量t的取值上限% phi -初值条件,定义为内联函数% psi1 -边值条件,定义为内联函数% psi2 -边值条件,定义为内联函数% M -沿x轴的等分区间数% N -沿t轴的等分区间数% C -系数,默认情况下C=1%%应用举例:%uX=1;uT=0、2;M=15;N=100;C=1;%phi=inline('sin(pi*x)');psi1=inline('0');psi2=inline('0');%[U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C);%设置参数C的默认值if nargin==7C=1;end%计算步长dx=uX/M;%x的步长dt=uT/N;%t的步长x=(0:M)*dx;t=(0:N)*dt;r=C*dt/dx/dx;%步长比r1=1-2*r;if r > 0、5disp('r > 0、5,不稳定')end%计算初值与边值U=zeros(M+1,N+1);for i=1:M+1U(i,1)=phi(x(i));endfor j=1:N+1U(1,j)=psi1(t(j));U(M+1,j)=psi2(t(j));end%逐层求解for j=1:Nfor i=2:MU(i,j+1)=r*U(i-1,j)+r1*U(i,j)+r*U(i+1,j);endendU=U';%作出图形mesh(x,t,U);title('古典显式格式,一维热传导方程的解的图像') xlabel('空间变量x')ylabel('时间变量t')zlabel('一维热传导方程的解U')return;古典显式格式不稳定情况古典显式格式稳定情况2、古典隐式格式求解抛物型偏微分方程(一维热传导方程)function [U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)%古典隐式格式求解抛物型偏微分方程%[U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)%%方程:u_t=C*u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT%初值条件:u(x,0)=phi(x)%边值条件:u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t)%%输出参数:U -解矩阵,第一行表示初值,第一列与最后一列表示边值,第二行表示第2层……% x -空间变量% t -时间变量%输入参数:uX -空间变量x的取值上限% uT -时间变量t的取值上限% phi -初值条件,定义为内联函数% psi1 -边值条件,定义为内联函数% psi2 -边值条件,定义为内联函数% M -沿x轴的等分区间数% N -沿t轴的等分区间数% C -系数,默认情况下C=1%%应用举例:%uX=1;uT=0、2;M=50;N=50;C=1;%phi=inline('sin(pi*x)');psi1=inline('0');psi2=inline('0');%[U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C);%设置参数C的默认值if nargin==7C=1;end%计算步长dx=uX/M;%x的步长dt=uT/N;%t的步长x=(0:M)*dx;t=(0:N)*dt;r=C*dt/dx/dx;%步长比Diag=zeros(1,M-1);%矩阵的对角线元素Low=zeros(1,M-2);%矩阵的下对角线元素Up=zeros(1,M-2);%矩阵的上对角线元素for i=1:M-2Diag(i)=1+2*r;Low(i)=-r;Up(i)=-r;endDiag(M-1)=1+2*r;%计算初值与边值U=zeros(M+1,N+1);for i=1:M+1U(i,1)=phi(x(i));endfor j=1:N+1U(1,j)=psi1(t(j));U(M+1,j)=psi2(t(j));end%逐层求解,需要使用追赶法(调用函数EqtsForwardAndBackward)for j=1:Nb1=zeros(M-1,1);b1(1)=r*U(1,j+1);b1(M-1)=r*U(M+1,j+1);b=U(2:M,j)+b1;U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b);endU=U';%作出图形mesh(x,t,U);title('古典隐式格式,一维热传导方程的解的图像')xlabel('空间变量x')ylabel('时间变量t')zlabel('一维热传导方程的解U')return;此算法需要使用追赶法求解三对角线性方程组,这个算法在上一篇帖子中已经给出,为了方便,再给出来追赶法解三对角线性方程组function x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)%追赶法求解三对角线性方程组Ax=b%x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)%x:三对角线性方程组的解%L:三对角矩阵的下对角线,行向量%D:三对角矩阵的对角线,行向量%U:三对角矩阵的上对角线,行向量%b:线性方程组Ax=b中的b,列向量%%应用举例:%L=[-1 -2 -3];D=[2 3 4 5];U=[-1 -2 -3];b=[6 1 -2 1]';%x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)%检查参数的输入就是否正确n=length(D);m=length(b);n1=length(L);n2=length(U);if n-n1 ~= 1 || n-n2 ~= 1 || n ~= m disp('输入参数有误！')x=' ';return;end%追的过程for i=2:nL(i-1)=L(i-1)/D(i-1);D(i)=D(i)-L(i-1)*U(i-1);endx=zeros(n,1);x(1)=b(1);for i=2:nx(i)=b(i)-L(i-1)*x(i-1);end%赶的过程x(n)=x(n)/D(n);for i=n-1:-1:1x(i)=(x(i)-U(i)*x(i+1))/D(i);endreturn;古典隐式格式在以后的程序中,我们都取C=1,不再作为一个输入参数处理3、Crank-Nicolson隐式格式求解抛物型偏微分方程需要调用追赶法的程序function [U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N)%Crank-Nicolson隐式格式求解抛物型偏微分方程%[U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N)%%方程:u_t=u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT%初值条件:u(x,0)=phi(x)%边值条件:u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t)%%输出参数:U -解矩阵,第一行表示初值,第一列与最后一列表示边值,第二行表示第2层……% x -空间变量% t -时间变量%输入参数:uX -空间变量x的取值上限% uT -时间变量t的取值上限% phi -初值条件,定义为内联函数% psi1 -边值条件,定义为内联函数% psi2 -边值条件,定义为内联函数% M -沿x轴的等分区间数% N -沿t轴的等分区间数%%应用举例:%uX=1;uT=0、2;M=50;N=50;%phi=inline('sin(pi*x)');psi1=inline('0');psi2=inline('0');%[U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N);%计算步长dx=uX/M;%x的步长dt=uT/N;%t的步长x=(0:M)*dx;t=(0:N)*dt;r=dt/dx/dx;%步长比Diag=zeros(1,M-1);%矩阵的对角线元素Low=zeros(1,M-2);%矩阵的下对角线元素Up=zeros(1,M-2);%矩阵的上对角线元素for i=1:M-2Diag(i)=1+r;Low(i)=-r/2;Up(i)=-r/2;endDiag(M-1)=1+r;%计算初值与边值U=zeros(M+1,N+1);for i=1:M+1U(i,1)=phi(x(i));endfor j=1:N+1U(1,j)=psi1(t(j));U(M+1,j)=psi2(t(j));endB=zeros(M-1,M-1);for i=1:M-2B(i,i)=1-r;B(i,i+1)=r/2;B(i+1,i)=r/2;endB(M-1,M-1)=1-r;%逐层求解,需要使用追赶法(调用函数EqtsForwardAndBackward) for j=1:Nb1=zeros(M-1,1);b1(1)=r*(U(1,j+1)+U(1,j))/2;b1(M-1)=r*(U(M+1,j+1)+U(M+1,j))/2;b=B*U(2:M,j)+b1;U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b);endU=U';%作出图形mesh(x,t,U);title('Crank-Nicolson隐式格式,一维热传导方程的解的图像')xlabel('空间变量x')ylabel('时间变量t')zlabel('一维热传导方程的解U')return;Crank-Nicolson隐式格式4、正方形区域Laplace方程Diriclet问题的求解需要调用Jacobi迭代法与Guass-Seidel迭代法求解线性方程组function [U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,type) %正方形区域Laplace方程的Diriclet边值问题的差分求解%此程序需要调用Jacobi迭代法或者Guass-Seidel迭代法求解线性方程组%[U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,type)%%方程:u_xx+u_yy=0 0<=x,y<=ub%边值条件:u(0,y)=phi1(y)% u(ub,y)=phi2(y)% u(x,0)=psi1(x)% u(x,ub)=psi2(x)%%输出参数:U -解矩阵,第一行表示y=0时的值,第二行表示第y=h时的值……% x -横坐标% y -纵坐标%输入参数:ub -变量边界值的上限% phi1,phi2,psi1,psi2 -边界函数,定义为内联函数% M -横纵坐标的等分区间数% type -求解差分方程的迭代格式,若type='Jacobi',采用Jacobi迭代格式% 若type='GS',采用Guass-Seidel迭代格式。

matlab解偏微分方程

matlab解偏微分方程Matlab是一种非常强大的数学计算工具，它可以用于解决各种数学问题。

在本文中，我们将学习如何使用Matlab解偏微分方程。

偏微分方程是一类包含未知函数的偏导数的方程。

通常，解偏微分方程是困难的，需要使用复杂的数学方法。

然而，Matlab可以大大简化这个过程。

在Matlab中，我们可以使用pdepe函数来解偏微分方程。

pdepe函数采用一个偏微分方程的系统，并返回一个包含解的向量的矩阵。

下面是一个解二维扩散方程的示例程序：%定义二维扩散方程 function [c,f,s] = diffusionpde(x,t,u,DuDx)c = 1; %系数f = DuDx; %带有时间和空间导数的项s = 0; %不带导数的项end%定义边界条件（例）function [pl,ql,pr,qr] =diffusionbc(xl,ul,xr,ur,t)pl = 0; ql = 1; %左边界（u=0）pr = 0; qr = 1; %右边界（u=0）end%定义初始条件（例）function u0 = diffusionic(x)u0 = sin(pi*x); %sin(pi*x)是初始条件方程end%主程序x = linspace(0,1,50); %空间网格t = linspace(0,1,10); %时间网格sol =pdepe(0,@diffusionpde,@diffusionic,@diffusionbc,x,t );u = sol(:,:,1); %提取第一个解%绘制解surfc(x,t,u)xlabel('位置')ylabel('时间')title('二维扩散方程的解')从上述程序中，我们可以看到pdepe的使用方法。

在主程序中，我们选择了空间和时间网格，然后定义了偏微分方程、初始条件和边界条件的函数。

最后，我们调用pdepe函数，并将解存储在变量sol中。

MATLAB中的偏微分方程数值解法

MATLAB中的偏微分方程数值解法偏微分方程（Partial Differential Equations，PDEs）是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

解决偏微分方程的精确解往往非常困难，因此数值方法成为求解这类问题的有效途径。

而在MATLAB中，有丰富的数值解法可供选择。

本文将介绍MATLAB中几种常见的偏微分方程数值解法，并通过具体案例加深对其应用的理解。

一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是最为经典和常用的偏微分方程数值解法之一。

它将偏微分方程的导数转化为差分方程，通过离散化空间和时间上的变量，将连续问题转化为离散问题。

在MATLAB中，使用有限差分法可以比较容易地实现对偏微分方程的数值求解。

例如，考虑一维热传导方程（Heat Equation）：∂u/∂t = k * ∂²u/∂x²其中，u为温度分布随时间和空间的变化，k为热传导系数。

假设初始条件为一段长度为L的棒子上的温度分布，边界条件可以是固定温度、热交换等。

有限差分法可以将空间离散化为N个节点，时间离散化为M个时刻。

我们可以使用中心差分近似来计算二阶空间导数，从而得到以下差分方程：u(i,j+1) = u(i,j) + Δt * (k * (u(i+1,j) - 2 * u(i,j) + u(i-1,j))/Δx²)其中，i表示空间节点，j表示时间步。

Δt和Δx分别为时间和空间步长。

通过逐步迭代更新节点的温度值，我们可以得到整个时间范围内的温度分布。

而MATLAB提供的矩阵计算功能，可以大大简化有限差分法的实现过程。

二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是另一种常用的偏微分方程数值解法，特点是适用于复杂的几何形状和边界条件。

它将求解区域离散化为多个小单元，通过构建并求解代数方程组来逼近连续问题。

在MATLAB中，我们可以使用Partial Differential Equation Toolbox提供的函数进行有限元法求解。

偏微分方程(PDEs)的MATLAB数值解法

偏微分方程的MATLAB求解精讲©MA TLAB求解微分/偏微分方程，一直是一个头大的问题，两个字，“难过”，由于MA TLAB对LaTeX的支持有限，所有方程必须化成MA TLAB可接受的标准形式，不支持像其他三个数学软件那样直接傻瓜式输入，这个真把人给累坏了！不抱怨了，还是言归正传，回归我们今天的主体吧！MA TLAB提供了两种方法解决PDE问题，一是pdepe()函数，它可以求解一般的PDEs，据用较大的通用性，但只支持命令行形式调用。

二是PDE工具箱，可以求解特殊PDE问题，PDEtool有较大的局限性，比如只能求解二阶PDE问题，并且不能解决偏微分方程组，但是它提供了GUI界面，从繁杂的编程中解脱出来了，同时还可以通过File->Save As直接生成M代码一、一般偏微分方程组(PDEs)的MA TLAB求解 (3)1、pdepe函数说明 (3)2、实例讲解 (4)二、PDEtool求解特殊PDE问题 (6)1、典型偏微分方程的描述 (6)（1）椭圆型 (6)（2）抛物线型 (6)（3）双曲线型 (6)（4）特征值型 (7)2、偏微分方程边界条件的描述 (8)（1）Dirichlet条件 (8)（2）Neumann条件 (8)3、求解实例 (9)一、一般偏微分方程组(PDEs)的MATLAB 求解1、pdepe 函数说明MA TLAB 语言提供了pdepe()函数，可以直接求解一般偏微分方程(组)，它的调用格式为sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t)【输入参数】@pdefun ：是PDE 的问题描述函数，它必须换成下面的标准形式(,,)[(,,,)](,,,)()m m u u u uc x t x x f x t u s x t u x t x x x−∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂式1 这样，PDE 就可以编写下面的入口函数 [c,f,s]=pdefun(x,t,u,du)m,x,t 就是对应于(式1)中相关参数，du 是u 的一阶导数，由给定的输入变量即可表示出出c,f,s 这三个函数@pdebc ：是PDE 的边界条件描述函数，必须先化为下面的形式(,,)(,,).*(,,,)0up x t u q x t u f x t u x∂+=∂ 于是边值条件可以编写下面函数描述为 [pa,qa,pb,qb]=pdebc(x,t,u,du)其中a 表示下边界，b 表示下边界@pdeic ：是PDE 的初值条件，必须化为下面的形式00(,)u x t u =我们使用下面的简单的函数来描述为 u0=pdeic(x)m,x,t ：就是对应于(式1)中相关参数【输出参数】sol ：是一个三维数组，sol(:,:,i)表示u i 的解，换句话说u k 对应x(i)和t(j)时的解为sol(i,j,k)通过sol ，我们可以使用pdeval()直接计算某个点的函数值2、实例讲解试求解下面的偏微分2111222221220.024()0.17()u u F u u t xu u F u u tx ∂∂=−− ∂∂ ∂∂ =−− ∂∂ 其中， 5.7311.46()x x F x e e −=−，且满足初始条件12(,0)1,(,0)0u x u x ==及边界条件1221(0,)0,(0,)0,(1,)1,(1,)0u ut u t u t t x x∂∂====∂∂【解】（1）对照给出的偏微分方程，根据标注形式，则原方程可以改写为111222120.024()1.*1()0.17u u F u u x u u F u u t t x ∂−−∂∂∂=+ ∂−∂∂∂可见m=0，且1122120.024()1,,1()0.17u F u u x c f s u F u u x ∂−− ∂===∂−∂%% 目标PDE 函数function [c,f,s]=pdefun (x,t,u,du) c=[1;1];f=[0.024*du(1);0.17*du(2)]; temp=u(1)-u(2);s=[-1;1].*(exp(5.73*temp)-exp(-11.46*temp));（2）边界条件改写为12011010.*.*00000u f f u −+=+=下边界上边界%% 边界条件函数function [pa,qa,pb,qb]=pdebc(xa,ua,xb,ub,t) %a 表示下边界，b 表示上边界 pa=[0;ua(2)];qa=[1;0]; pb=[ub(1)-1;0]; qb=[0;1];（3）初值条件改写为1210u u =%% 初值条件函数function u0=pdeic(x) u0=[1;0];（4）最后编写主调函数 clcx=0:0.05:1; t=0:0.05:2; m=0;sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t);figure('numbertitle','off','name','PDE Demo ——by Matlabsky') subplot(211)surf(x,t,sol(:,:,1)) title('The Solution of u_1') xlabel('X') ylabel('T') zlabel('U') subplot(212)surf(x,t,sol(:,:,2)) title('The Solution of u_2') xlabel('X') ylabel('T') zlabel('U')二、PDEtool 求解特殊PDE 问题MATLAB 的偏微分工具箱(PDE toolbox)可以比较规范的求解各种常见的二阶偏微分方程，但是惋惜的是只能求解特殊二阶的PDE 问题，并且不支持偏微分方程组！PDE toolbox 支持命令行形式求解PDE 问题，但是要记住那些命令以及调用形式真的很累人，还好MATLAB 提供了GUI 可视交互界面pdetool ，在pdetool 中可以很方便的求解一个PDE 问题，并且可以帮我们直接生成M 代码(File->Save As)。

偏微分数值解(2,MATLAB求解方法)

初始条件:
u1 ( x,0) 1,
u2 ( x,0) 0
边界条件:
u1 (0, t ) 0, u1 (1, t ) 1 x u2 u2 (0, t ) 0, (1, t ) 0 x
方程来自电动力学中关于电磁场理论的一个偏微分方程组。
2.1 用偏微分方程工具箱求解微分方程
直接使用图形用户界面（ Graphical User Interface，简记作GUI）求解．
图22.1 所讨论定解问题的区域
第三步：选取边界首先选择Boundary菜单中Boundary Mode命令，进入边界模式．然后单击Boundary菜单中 Remove All Subdomain Borders选项，从而去掉子域边界，如图22.2．单击Boundary菜单中Specify Boundary Conditions选项，打开Boundary Conditions对话框，输入边界条件．本例取默认条件，即将全部边界设为齐次Dirichlet条件，边界显示为红色．如果想将几何与边界信息存储，可选择 Boundary菜单中的Export Decomposed Geometry,Boundary Cond‟s命令，将它们分别存储在g、b变量中，并通过MATLAB形成M文件．
第八步：若要画等值线图和矢量场图，单击 Plot 菜单中 Parameter 选项，在 Plot selection 对话框中选中 Contour 和 Arrows 两项．然后单击 Plot 按钮，可显示解的等值线图和矢量场图，如图 2. 6 所示。
图 2.6 解的等值线图和矢量场图
(1) u1=hyperbolic（u0，ut0，tlist，b，p，e，t，c，a，f，d）

matlab差分法解偏微分方程

Matlab 差分法解偏微分方程1.引言解偏微分方程是数学和工程领域中的一项重要课题，它在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。

而 Matlab 差分法是一种常用的数值方法，用于求解偏微分方程。

本文将介绍 Matlab 差分法在解偏微分方程中的应用，包括原理、步骤和实例。

2. Matlab 差分法原理差分法是一种离散化求解微分方程的方法，通过近似替代微分项来求解微分方程的数值解。

在 Matlab 中，差分法可以通过有限差分法或者差分格式来实现。

有限差分法将微分方程中的导数用有限差分替代，而差分格式指的是使用不同的差分格式来近似微分方程中的各个项，通常包括前向差分、后向差分和中心差分等。

3. Matlab 差分法步骤使用 Matlab 差分法解偏微分方程一般包括以下步骤：（1）建立离散化的区域：将求解区域离散化为网格点或节点，并确定网格间距。

（2）建立离散化的时间步长：对于时间相关的偏微分方程，需要建立离散化的时间步长。

（3）建立离散化的微分方程：使用差分法将偏微分方程中的微分项转化为离散形式。

（4）建立迭代方程：根据离散化的微分方程建立迭代方程，求解数值解。

（5）编写 Matlab 代码：根据建立的迭代方程编写 Matlab 代码求解数值解。

（6）求解并分析结果：使用 Matlab 对建立的代码进行求解，并对结果进行分析和后处理。

4. Matlab 差分法解偏微分方程实例假设我们要使用 Matlab 差分法解决以下一维热传导方程：∂u/∂t = α * ∂^2u/∂x^2其中 u(x, t) 是热传导方程的温度分布，α 是热扩散系数。

4.1. 离散化区域和时间步长我们将求解区域离散化为网格点，分别为 x_i，i=1,2,...,N。

时间步长为Δt。

4.2. 离散化的微分方程使用中心差分格式将偏微分方程中的导数项离散化得到：∂u/∂t ≈ (u_i(t+Δt) - u_i(t))/Δt∂^2u/∂x^2 ≈ (u_i-1(t) - 2u_i(t) + u_i+1(t))/(Δx)^2代入原偏微分方程可得离散化的微分方程：(u_i(t+Δt) - u_i(t))/Δt = α * (u_i-1(t) - 2u_i(t) + u_i+1(t))/(Δx)^24.3. 建立迭代方程根据离散化的微分方程建立迭代方程：u_i(t+Δt) = u_i(t) + α * Δt * (u_i-1(t) - 2u_i(t) + u_i+1(t))/(Δx)^24.4. 编写 Matlab 代码使用以上建立的迭代方程编写 Matlab 代码求解热传导方程。

matlab求解偏微分方程

matlab求解偏微分方程
Matlab求解偏微分方程的步骤:
1、首先，定义偏微分方程，并确定微分方程的种类；
2、然后，选择Matlab解决方案，所有内置微分方程求解器都支持基于初始值的手算方案；
3、接着，指定偏微分方程的解决参数，如函数、初始值、区间、边界
条件和终止条件；
4、之后，启动Matlab微分方程求解器，以计算偏微分方程的解决结果，如需要则可以绘制曲线图；
5、最后，检查偏微分方程的解决结果是否准确，可以利用MATLAB
自带的代数系统软件Maple来检查数值结果。

总体来说，使用Matlab求解偏微分方程非常容易，用户可以根据实际
情况，快速地完成偏微分方程的解决。

Matlab提供了一系列灵活的解
决方案，可以满足日常研究工作的所有需求。

另外，Matlab的可视化
绘图，可以帮助用户更好地理解偏微分方程的结果。

matlab 求解偏微分方程

matlab 求解偏微分方程使用MATLAB求解偏微分方程摘要：偏微分方程(partial differential equation, PDE)是数学中重要的一类方程，广泛应用于物理、工程、经济、生物等领域。

MATLAB 是一种强大的数值计算软件，提供了丰富的工具箱和函数，可以用来求解各种类型的偏微分方程。

本文将介绍如何使用MATLAB来求解偏微分方程，并通过具体案例进行演示。

引言：偏微分方程是描述多变量函数的方程，其中包含了函数的偏导数。

一般来说，偏微分方程可以分为椭圆型方程、双曲型方程和抛物型方程三类。

求解偏微分方程的方法有很多，其中数值方法是最常用的一种。

MATLAB作为一种强大的数值计算软件，提供了丰富的工具箱和函数，可以用来求解各种类型的偏微分方程。

方法：MATLAB提供了多种求解偏微分方程的函数和工具箱，包括pdepe、pdetoolbox和pde模块等。

其中，pdepe函数是用来求解带有初始条件和边界条件的常微分方程组的函数，可以用来求解一维和二维的偏微分方程。

pdepe函数使用有限差分法或有限元法来离散化偏微分方程，然后通过求解离散化后的常微分方程组得到最终的解。

案例演示：考虑一维热传导方程的求解，偏微分方程为：∂u/∂t = α * ∂^2u/∂x^2其中，u(x,t)是温度分布函数，α是热扩散系数。

假设初始条件为u(x,0)=sin(pi*x)，边界条件为u(0,t)=0和u(1,t)=0。

我们需要定义偏微分方程和边界条件。

在MATLAB中，可以使用匿名函数来定义偏微分方程和边界条件。

然后，我们使用pdepe函数求解偏微分方程。

```matlabfunction [c,f,s] = pde(x,t,u,DuDx)c = 1;f = DuDx;s = 0;endfunction u0 = uinitial(x)u0 = sin(pi*x);endfunction [pl,ql,pr,qr] = uboundary(xl,ul,xr,ur,t)pl = ul;ql = 0;pr = ur;qr = 0;endx = linspace(0,1,100);t = linspace(0,0.1,10);m = 0;sol = pdepe(m,@pde,@uinitial,@uboundary,x,t);u = sol(:,:,1);surf(x,t,u);xlabel('Distance x');ylabel('Time t');zlabel('Temperature u');```在上述代码中，我们首先定义了偏微分方程函数pde，其中c、f和s分别表示系数c、f和s。

matlab程序解偏微分方程

题目：Matlab程序解偏微分方程一、概述1.1 话题介绍近年来，随着计算机技术的不断发展，数值计算方法在解决科学工程问题中扮演着越来越重要的角色。

在众多的数值计算方法中，Matlab程序在解决偏微分方程（PDE）方面具有很大的优势，能够高效地求解各种类型的偏微分方程，被广泛应用于工程、医学、物理学等领域。

1.2 偏微分方程简介偏微分方程是描述自然界中各种现象和规律的数学方程，是微分方程的一种。

而偏微分方程的求解主要分为解析解和数值解两种途径，其中数值解方法由于能够在计算机上实现，因此在实际应用中得到了广泛的推广和应用。

二、Matlab程序解PDE的基本原理2.1 PDE的离散化在进行PDE的数值解求解时，首先需要将连续的PDE转化为离散形式，即将空间域和时间域进行离散化。

通常采用有限差分、有限元或有限体积方法将PDE进行离散化，得到一个由代数方程组成的解法问题。

2.2 使用Matlab进行PDE的数值解求解在Matlab中，PDE的求解主要通过调用PDE Toolbox工具箱来实现。

用户可以通过编写Matlab脚本或使用PDE Toolbox提供的可视化界面，输入PDE的方程形式和边界条件，然后选择合适的数值解算法进行求解。

三、Matlab程序解PDE的实例分析3.1 热传导方程的求解以一维热传导方程为例，我们可以使用Matlab进行数值解求解。

首先需要定义热传导方程的方程形式和边界条件，然后调用Matlab中的PDE Toolbox工具箱进行求解。

通过对求解结果的可视化和分析，可以得到系统的温度分布规律。

3.2 波动方程的求解另外，波动方程也是常见的PDE类型，通过Matlab程序进行数值解求解同样具有很大的应用价值。

用户可以根据波动方程的具体形式和边界条件，使用Matlab进行求解，并通过可视化分析得到系统的波动规律。

四、Matlab程序解PDE的应用展望4.1 工程应用在工程领域，PDE的数值解求解能够帮助工程师们更好地理解系统的动力学行为，提高工程设计的准确性和效率，因此Matlab程序在工程领域的PDE求解应用有着广阔的发展空间。