北师大版八年级数学下册 因式分解-教案
(完整版)北师大版八年级数学下册4.1因式分解教案
《因式分解》教学设计因式分解是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第四章第一节内容，本章主要是研究代数式的因式分解的方法和应用；本节要求使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.。
所以本节的重点是理解因式分解的意义.识别分解因式与整式乘法的关系。
【知识与能力目标】使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.【过程与方法目标】通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力. 【情感态度价值观目标】通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.【教学重点】1.理解因式分解的意义.2.识别分解因式与整式乘法的关系.【教学难点】通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.教师准备课件、多媒体；学生准备；练习本；Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？［生］会.（a+b）（a－b）=a2－b2.［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（a－b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2=（a+b）（a－b）是否成立呢？［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.［师］很好，a2－b2=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.Ⅱ.讲授新课1.讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.［生］993－99能被100整除.因为993－99=99×992－99=99×（992－1）=99×9800=99×98×100其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除.［师］993－99还能被哪些正整数整除？［生］还能被99，98,980,990,9702等整除.［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.2.议一议你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.［师］大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式.［生］a3－a=a（a2－1）=a（a－1）（a+1）3.做一做（1）计算下列各式：①（m+4）（m－4）=__________;②（y－3）2=__________;③3x（x－1）=__________;④m（a+b+c）=__________;⑤a（a+1）（a－1）=__________.［生］解：①（m+4）（m－4）=m2－16;②（y－3）2=y2－6y+9;③3x（x－1）=3x2－3x;④m（a+b+c）=ma+mb+mc;⑤a（a+1）（a－1）=a（a2－1）=a3－a.（2）根据上面的算式填空：①3x2－3x=（）（）;②m2－16=（）（）;③ma+mb+mc=（）（）;④y2－6y+9=（）2.⑤a3－a=（）（）.［生］把等号左右两边的式子调换一下即可.即：①3x2－3x=3x（x－1）;②m2－16=（m+4）（m－4）;③ma+mb+mc=m（a+b+c）;④y2－6y+9=（y－3）2;⑤a3－a=a（a2－1）=a（a+1）（a－1）.［师］能分析一下两个题中的形式变换吗？［生］在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.［师］在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）.4.想一想由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？［生］由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是整式乘法，由a3－a得到a（a+1）（a －1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.［生］由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.［师］非常棒.下面我们一起来总结一下.如：m（a+b+c）=ma+mb+mc （1）ma+mb+mc=m（a+b+c）（2）联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.即ma+mb+mc m（a+b+c）.所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.5.例题投影片（§4.1 A）下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;（3）a2－4=（a+2）（a－2）;（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.而不是因式分解；（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；（3）和（2）相同，是因式分解；（4）是因式分解.［师］大家认可吗？［生］第（4）题不对，因为虽然x2－3x=x（x－3），但是等号右边x（x－3）+2整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以（4）的变形不是因式分解.Ⅲ.课堂练习连一连解：Ⅳ.课时小结本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.Ⅴ.课后作业习题4.11.连一连解：2.解：（2）、（3）是分解因式.3.因19992+1999=1999（1999+1）=1999×2000，所以19992+1999能被1999整除，也能被2000整除.（2）因为16.9×81+15.1×81=81×（16.9+15.1） =81×32=4 所以16.9×81 +15.1×81能被4整除.4.解：当R 1=19.2,R 2=32.4,R 3=35.4,I=2.5时， IR 1+IR 2+IR 3 =I （R 1+R 2+R 3） =2.5×（19.2+32.4+35.4） =2.5×87 =217.5 Ⅵ.活动与探究 已知a=2,b=3,c=5.求代数式a （a+b －c ）+b （a+b －c ）+c （c －a －b ）的值. 解：当a=2,b=3,c=5时，a （a+b －c ）+b （a+b －c ）+c （c －a －b ） =a （a+b －c ）+b （a+b －c ）－c （a+b －c ） =（a+b －c ）（a+b －c ） =（2+3－5）2=0 ●板书设计§4.1 分解因式一、1.讨论993－99能被100整除吗？ 2.议一议 3.做一做4.想一想（讨论整式乘法与分解因式的联系与区别）5.例题讲解二、课堂练习三、课时小结四、课后作业◆教学反思略。
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教案
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教案一. 教材分析北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》这一节主要介绍了因式分解的概念和基本方法。
通过本节课的学习，学生能够理解因式分解的意义，掌握提公因式法、公式法等基本的因式分解方法，并能够运用这些方法解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了整式的乘法，对一些基本的代数运算有一定的了解。
但是，因式分解作为一种独立的数学思想，对学生来说可能还有一些抽象和难以理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，逐步理解和掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.了解因式分解的概念和意义。
2.掌握提公因式法、公式法等基本的因式分解方法。
3.能够运用因式分解解决一些实际问题。
四. 教学重难点1.因式分解的概念和意义。
2.提公因式法和公式法的运用。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生从实际问题出发，探索和理解因式分解的概念和方法。
同时，结合案例分析和练习，让学生在实践中掌握因式分解的方法。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出因式分解的概念，比如：已知二次函数f(x)=x^2+4x+4，求其解析式。
让学生思考如何将这个二次函数表示成两个一次函数的乘积形式。
2.呈现（10分钟）讲解因式分解的概念，介绍提公因式法和公式法。
通过PPT课件，展示因式分解的步骤和例子，让学生理解和掌握因式分解的方法。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个题目进行因式分解。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予反馈。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的练习题，教师选取一些题目进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将因式分解应用到解决实际问题中，比如：求解一元二次方程、求函数的极值等。
6.小结（5分钟）让学生总结因式分解的概念和方法，以及自己在学习过程中的收获和不足。
7.家庭作业（5分钟）布置一些因式分解的练习题，让学生巩固所学知识。
北师大版八年级数学下册4.1《因式分解》优质教案
《因式分解》教案教学目标一、知识与技能1、理解因式分解的概念和意义．2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法．二、过程与方法由自行探求解题途径，培养观察、分析、判断能力和创新能力，深化逆向思维能力和综合运用能力．三、情感态度和价值观培养学生积极参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯．教学重点：因式分解的概念．教学难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系．教学过程：一、导入新课出示问题：漂亮的长兴龙山公园有许多漂亮的花坛，其中有一块（如图所示），你能用不同的方法求出花坛的面积吗？学生讨论回答：花坛的面积S=a(m+n)或S=am+an由此可知：①a(m+n)=am+an；②am+an=a(m+n)引导学生分析这两个式的不同：①等式的左边是整式的积；右边是多项式（整式乘法）②等式的左边是多项式；右边是整式的积（是什么？）引出今天的课题----因式分解二、新课学习（一）探究因式分解的定义1、想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流．小明是这样做的：993-99=99×992-99 ×1=99 ×(992-1)=99 (99+1)(99-1)= 99×100×98所以, 993-99能被100整除.（1）小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？（2）993-99还能被哪些正整数整除．答案：（1）小明将993-99通过分解因数的方法，说明993-99是100的倍数，故993-99能被100整除．（2）还能被98，99，49，11等正整数整除．归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积．2、议一议：现在你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．鼓励学生类比数的分解将a3-a分解．学生分组讨论，解决问题：解：a3-a=a×a2-a×1=a(a2-1)=a(a+1)(a-1)3、做一做：观察下面拼图过程，写出相应的关系式．学生仔细观察拼图，自主完成：ma+mb+mc= m(a+b+c)x2+x+1 =(x+1)(x+1)引导学生分析993-99= 99×100×98 、a3-a=a(a+1)(a-1) 、ma+mb+mc=m(a+b+c) 、x2+x+1 =(x+1)(x+1) 的共同之处，归纳出因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．因式分解也可称为分解因式.（二）探究因式分解与整式乘法的关系做一做：第一组：计算下列各式：（1）（m+4）（m-4）=_______；（2）（y-3）2=_______；（3）3x（x-1）=_______；（4）m（a+b+c）=_______.第二组：根据上面的算式填空：（1）3x2-3x=（）（）（2）m2-16=（）（）（3）ma+mb+mc=（）（）（4）y2-6y+9=（）（）请问，通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？答案：第一组：（1）m2-16；（2）y2-6y+9；（3）3x2-3x；（4）ma+mb+mc；第二组：（1）3x（x-1）；（2）（m+4）（m-4）；（3）m（a+b+c）；（4）（y-3）2．第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式，它们之间恰好是一个互逆的关系．三、结论总结谈谈你这节课有什么收获？◆因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式;◆因式分解与整式乘法的关系：分解因式与整式乘法是互逆过程;四、课堂练习1、判断下列各式哪些是整式乘法？哪些是因式分解？(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2) 2x(x-3y)=2x2-6xy(3) (5a-1)2=25a2-10a+1(4) x2+4x+4=(x+2)2(5) (a-3)(a+3)=a2-9(6) m2-4=(m+4)(m-4)(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r)2、连一连：x²－y²(x+3)²9－25x²y(x-y)x²+6x+9 (3－5x)(3+5x)xy－y²(x+y)(x－y)3、计算: 7652×17－2352 ×17五、拓展应用手工课上，老师给某同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助这个同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？（图见课件）。
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教学设计
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教学设计一. 教材分析《4.1 因式分解》是北师大版八年级下册数学的一章内容。
本章主要介绍了因式分解的概念、方法和应用。
因式分解是初中学过的最复杂的整式运算，也是中学数学中重要的思想方法。
本章内容对于学生来说，既是对之前所学知识的巩固，也是为之后学习更高级数学打下基础。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了整式的加减、乘法、除法等基本运算，同时也学习过一些简单的因式分解方法。
但是，对于八年级的学生来说，因式分解仍然是一个比较困难的问题，需要通过实例讲解和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能够运用因式分解解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例讲解和练习，培养学生观察、分析、归纳的能力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生感受到数学的美丽和实用性。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和方法。
2.难点：如何运用因式分解解决实际问题。
五. 教学方法采用讲解法、示例法、练习法、讨论法等教学方法，通过实例讲解、练习和讨论，使学生理解和掌握因式分解的方法和应用。
六. 教学准备1.准备相关教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出因式分解的概念和方法。
例如，讲解“分解因数”的概念，让学生初步了解因式分解的意义。
2.呈现（15分钟）讲解因式分解的基本方法，如提公因式法、公式法等。
通过示例，让学生观察和分析因式分解的过程，引导学生主动思考和探究。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，互相讨论和交流因式分解的方法。
教师巡回指导，解答学生的疑问，及时给予反馈和评价。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的题目，巩固所学知识。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析，指出其中的错误和不足。
北师大版 八年级数学下册 因式分解 教案
第四章因式分解1．因式分解教学目标：1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．情感与态度：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
重点：因式分解的概念难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法教学过程第一环节复习回顾：活动内容：下题简便运算怎样进行问题1：2.31×95+2.31×52： 992+99第二环节比较探究：用上述形式写出下列结果、1：ax+ay 2: 2x3+4x2 +6x 3: x2 +2x+1小结：以上问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。
第三环节：引出概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
小结：分解因式要注意以下几点:1.分解的对象必须是多项式.2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.3.要分解到不能分解为止.第四环节：类比练习活动内容：计算下列式子：（1）3x(x-1)= ；（2）m(a+b-1)= ；（3）（m+4）(m-4)= ；（4）（y-3）2= ；根据上面的算式填空：（1）3x2-3x= ；（2）ma+mb-m= ;（3）m2-16= ；（4）y2-6y+9= ．思考：因式分解与整式乘法有什么关系？小结：1.分解因式与整式乘法是互逆过程.2.分解因式与整式乘法是等量关系。
第五环节反馈练习活动内容：1、看谁连得准x2-y2. (x+3)29-25 x 2 y(x -y)2x+6x+9 (3-5 x)(3+5 x)xy-y2 (x+y)(x-y)2、下列哪些变形是因式分解，为什么？（1）（a+3）(a -3)= a 2-9（2）m 2-4=( m+2)( m-2)（3）a 2-b2+1=( a +b)( a -b)+1（4）2πR+2πr=2π（R+r）3、多项式2x-3x+a 分解因式为( x+3)( x-6),a的值为——第六环节：小结活动内容：（1）你能说说什么是分解因式吗？把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
北师大版八年级数学(下册)优秀教学案例：4.1因式分解
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解因式分解的概念和意义，我将通过创设丰富多样的教学情景，引导学生从生活中发现数学的影子。例如，通过实际生活中的物品购买问题，让学生体会因式分解在简化计算方面的作用；或者通过设计有趣的数学故事，将因式分解融入其中，激发学生的学习兴趣。此外，利用多媒体教学手段，如动画、图片等，形象直观地展示因式分解的过程，帮助学生形成直观的认识。
1.例题1：（a+b）×（a+b）
例题2：（x+y）×（x-y）
例题3：a^2+2ab+b^2
2.讨论要求：
（1）各小组讨论并确定解题方法。
（2）各小组派代表展示解题过程及答案。
（3）讨论过程中，鼓励学生提问、质疑，分享解题心得。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课所学的因式分解方法，总结各方法的优缺点及适用场景。
2.因式分解的意义：因式分解可以帮助我们简化计算，解决实际问题。
3.因式分解的方法：介绍提取公因式法、十字相乘法、平方差公式等常用的因式分解方法。
在讲解过程中，结合具体例题，让学生直观地感受因式分解的过程，并强调各方法的适用条件及注意事项。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会给出几个具有代表性的例题，让学生分组讨论，共同完成因式分解的任务。
北师大版八年级数学（下册）优秀教学案例：4.1因式分解
一、案例背景
北师大版数学八下因式分解教案
北师大版数学八下因式分解教案北师大版八年级下册数学教材中，因式分解是一个重要的内容。
因式分解可以帮助我们简化复杂的算式，提高计算的效率。
以下是一份关于北师大版八下因式分解教案的示例，供参考：一、教学目标：1.理解因式分解的概念，能够正确运用因式分解法则解决实际问题；2.掌握常见的因式分解方法，如提公因式法、公式法和配方法；3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
二、教学重难点：1.抽象概念的理解和应用；2.真实问题的转化和解决。
三、教学内容：1.提公因式法a.教师引导学生归纳“同一元素相乘”的法则；b.教师提供一些简单的例子，让学生通过观察发现规律；c.学生找出规律后，进行总结归纳并写出提公因式法的定义；d.练习题：在黑板上写一些算式，让学生用提公因式法简化。
2.公式法a.教师引导学生认识公式法的概念；b.通过一个实际问题引出公式法的运用场景；c.学生运用公式法解决实际问题，并总结公式法的步骤；d.练习题：提供一些需要用到公式法的练习题，让学生独立解决。
3.配方法a.教师简要介绍配方法的概念；b.提供一个简单的例子，并引导学生按照配方法的步骤解决问题；c.学生自主练习配方法，并总结配方法的规律；d.练习题：提供一些需要用到配方法的练习题，让学生独立解决。
四、教学过程：1.引入新知识a.教师简要介绍因式分解的概念和作用；b.提出一个实际问题：“小明家的地面积是56平方米，长和宽都是整数，那么它的长和宽分别是多少？”；c.学生讨论解决问题的思路，引出因式分解的思想；d.教师介绍本节课重点内容：提公因式法、公式法和配方法。
2.学习提公因式法a.学生观察例子，归纳提公因式法的规律；b.学生完成练习题，提供帮助和指导；c.教师和学生一起讨论练习题的解析。
3.学习公式法a.学生通过一个实际问题认识公式法的作用；b.学生按照公式法的步骤解决实际问题；c.学生自主解答练习题，教师提供帮助和指导。
4.学习配方法a.学生通过一个例子理解配方法的思路；b.学生按照配方法的步骤解决简单问题；c.学生独立解答练习题，教师提供帮助和指导。
2024北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计
2024北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计一. 教材分析《因式分解》是北师大版数学八年级下册第4章第1节的内容。
本节课的主要内容是利用提公因式法和公式法分解因式。
因式分解是中学数学中的重要内容，是解决许多数学问题的基础。
通过本节课的学习，使学生掌握因式分解的方法，提高解题能力。
二. 学情分析学生在七年级已经接触过简单的因式分解，对因式分解有初步的认识。
但八年级的因式分解内容更加系统和复杂，需要学生有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。
根据学生的实际情况，我将采用循序渐进的教学方法，引导学生逐步掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握提公因式法和公式法分解因式的方法。
2.过程与方法：通过独立探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 教学重难点1.重点：提公因式法和公式法分解因式。
2.难点：如何引导学生发现和运用提公因式法和公式法的规律。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生独立思考和合作交流，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关案例和练习题。
2.准备课件和教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入因式分解的概念，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现因式分解的方法，包括提公因式法和公式法。
通过讲解和示例，让学生初步理解这两种方法。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的练习题，巩固所学的知识。
4.巩固（5分钟）对学生的练习情况进行反馈，解答学生的问题，帮助学生巩固因式分解的方法。
5.拓展（5分钟）通过一些综合性的练习题，引导学生运用因式分解的方法解决问题，提高学生的解题能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调因式分解的方法和注意事项。
7.家庭作业（5分钟）布置一些因式分解的练习题，让学生回家后巩固所学知识。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了完全平方公式的推导、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对完全平方公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式（教案）
一、教学内容
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3节，主要围绕完全平方公式展开教学。本节课内容如下：
1.探索完全平方公式的推导过程，掌握完全平方公式：（a±b）^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
2.学会运用完全平方公式分解因式，解决实际问题。
其次，对于完全平方公式的应用，我发现学生们在解决具体问题时，有时会忽略符号的判断。在讲解过程中，我特别强调了“同号得正，异号得负”的规律，并通过大量练习帮助学生加深记忆。但在实际操作中，仍有个别学生会出现错误。为此，我考虑在今后的教学中，增加一些关于符号判断的专项训练，以提高学生们的准确率。
此外，在学生小组讨论环节，我发现学生们能够积极参与，主动提出自己的观点和想法。但在讨论过程中，部分学生可能会偏离主题，讨论一些与完全平方公式无关的内容。为了提高讨论效率，我计划在今后的教学中，明确讨论主题，并在讨论过程中适时引导，确保学生们围绕主题展开讨论。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式的推导和运用这两个重点。对于难点部分，如符号判断，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与完全平方公式相关的实际问题。
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握因式分解的方法和应用。
因式分解是代数运算的基础，对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
本节课的内容包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，通过这些方法的学习，使学生能够灵活运用因式分解解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算，具备了一定的代数基础。
但因式分解较为抽象，对于部分学生来说，理解起来存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习差异，针对不同层次的学生进行教学，提高他们的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的方法，能够灵活运用各种方法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法。
2.难点：灵活运用各种方法进行因式分解，解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，培养学生的创新能力。
3.小组合作学习：培养学生团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教案、PPT、教学素材等。
2.准备黑板、粉笔、投影仪等教学用品。
3.提前让学生预习本节课的内容，了解因式分解的基本概念。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例或趣味数学问题，引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 呈现（10分钟）通过PPT展示因式分解的方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法等。
引导学生了解各种方法的特点和应用。
3. 操练（10分钟）对学生进行分组，每组选定一个因式分解问题，运用所学的methods进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
北师大版八年级数学下册 因式分解 教案
因式分解【教学目标】一、知识与技能：1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。
2．认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。
二、能力训练：1．由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想。
2．由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。
3．通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。
三、情感与态度：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。
【教学重点】理解分解因式的意义，准确地辨析整式乘法与分解因式这两种变形。
【教学难点】对分解因式与整式关系的理解【教学方法】情景投入，探索讨论法【教学过程】一、板书课题，揭示教学目标二、创设情景，导入新课993 能被哪些数整除？你是怎么得出来的？1．活动内容：992．学生思考：从以上问题的解决中，你知道解决这些问题的关键是什么？3．活动目的：引导学生把这个式子分解成几个数的积的形式，强化学生对因数分解的理解，为学生类比因式分解提供必要的精神准备。
4．注意事项：学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出99993-能被100，99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式。
5．效果反馈：你能尝试把a a -3化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。
三、看谁算得准1．活动内容：计算下列式子：（1）3x (x -1)= ；（2）m (a+b+c )= ；（3）（m +4）(m -4)= ；（4）（y -3）2= ；（5）a (a +1)(a -1)= 。
2．根据上面的算式填空：（1）ma+mb+mc = ；（2）3x 2-3x = ；（3）m 2-16= ；（4）a 3-a = ；（5）y 2-6y +9= 。
北师大八年级数学下册教案：第4章 因式分解
北师大八年级数学下册教案：第4章因式分解4．1因式分解1．理解并掌握因式分解的概念；2．理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够运用其解决问题．(难点)一、情境导入某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma＋mb)元．”小华说：“总共需要m(a＋b)元．”同学们，你们觉得他们计算出的总金额一样吗？二、合作探究探究点一：因式分解的概念下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；故选B.方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．探究点二：因式分解与整式乘法的关系及简单应用已知三次四项式2x3－5x2－6x＋k分解因式后有一个因式是x－3，试求k的值及另一个因式．解析：此题可设此三次四项式的另一个因式为(2x2－mx－k3)，将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k的值．解：设另一个因式为2x2－mx－k3，∴(x－3)(2x2－mx－k3)＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－mx2－k3x－6x2＋3mx＋k＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－(m＋6)x2－(k3－3m)x＋k＝2x3－5x2－6x＋k，∴m＋6＝5，k3－3m＝6，解得m＝－1，k＝9，∴k＝9，∴另一个因式为2x2＋x－3.方法总结：因为整式的乘法和分解因式互为逆运算，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式．三、板书设计1．因式分解的概念把一个多项式转化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．2．因式分解与整式乘法的关系因式分解是整式乘法的逆运算．本课是通过对比整式乘法的学习，引导学生探究因式分解和整式乘法的联系，通过对比学习加深对新知识的理解．教学时采用新课探究的形式，鼓励学生参与到课堂教学中，以兴趣带动学习，提高课堂学习效率.4．2提公因式法第1课时直接提公因式因式分解1．理解公因式的概念，能熟练确定多项式各项的公因式；2．掌握用直接提公因式法分解因式的基本方法．(重点)一、情境导入小华家买了一套新房，装修时打算在三室两厅的地面上贴相同规格的地板砖，为此小华的父亲要求小华测算出三室两厅的地面总面积．小华发现三室两厅的地面宽度相同，都是a 米，大厅长度为c米，三室长度均为d米，其中a＝3.6，b＝5.6，c＝2.8，d＝4.2，那么怎样计算总面积比较简便呢？二、合作探究探究点一：确定公因式多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是()A．abc B．3a2b2C．3a2b2c D．3ab解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D.方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．探究点二：用提公因式法进行因式分解(一)【类型一】用提公因式法因式分解因式分解：(1)8a3b2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.解析：将原式各项提取公因式即可得到结果．解：(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc)；(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．【类型二】用因式分解简化运算计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14.解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可．解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14＝20.15×(29＋72＋13－14)＝2015.方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．三、板书设计1．公因式多项式各项都含有的相同因式叫这个多项式各项的公因式．2．提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种因式分解的方法叫做提公因式法．本节中要给学生留出自主学习的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误．本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果.第2课时变形后提公因式因式分解1．进一步理解因式分解的意义和公因式的意义；2．熟练运用提公因式法分解因式．(重点)一、情境导入下面的多项式有公因式吗？如果有，怎样因式分解呢？(1)a(2－x)＋b(2－x)－c(x－2)；(2)a(m－n)2＋b(n－m)2；(3)a(a－b)3－(b－a)3.二、合作探究探究点：用提公因式法进行因式分解(二)【类型一】利用因式分解整体代换求值已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．解析：原式提取公因式变形后，将a＋b与ab的值代入计算即可求出值．解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．【类型二】因式分解与三角形知识的综合△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．解析：对已知条件进行化简后得到a＝c，根据等腰三角形的概念即可判定．解：整理a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab－c－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0，∴a－c＝0或1＋2b＝0，即a＝c或b＝－12(舍去)，∴△ABC是等腰三角形．方法总结：通过提公因式分解因式，找出三边的关系来判定三角形的形状．【类型三】运用因式分解探究规律阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.(1)上述因式分解的方法是____________，共应用了______次；(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，则需应用上述方法______次，结果是____________；(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．解析：(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；(2)根据已知分解因式的方法可以得出答案；(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案．解：(1)因式分解的方法是提公因式法，共应用了3次；(2)分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，需应用上述方法2016次，结果是(1＋x)2015；(3)1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n＝(1＋x)n＋1.方法总结：解决此类问题需要认真阅读，理解题意，根据已知得出分解因式的规律是解题关键．三、板书设计1．提公因式分解因式的一般步骤：(1)观察；(2)适当变形；(3)确定公因式；(4)提取公因式．2．提公因式法因式分解的应用本课时是在上一课时的基础上进行的拓展延伸，在教学时要给学生足够主动权和思考空间，突出学生在课堂上的主体地位，引导和鼓励学生自主探究，在培养学生创新能力的同时提高学生的逻辑思维能力.4．3公式法第1课时平方差公式1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．2．你能将a 2－b 2分解因式吗？你是如何思考的？二、合作探究探究点一：用平方差公式因式分解【类型一】判定能否利用平方差公式分解因式下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A ．a 2＋(－b )2B ．5m 2－20mnC ．－x 2－y 2D ．－x 2＋9解析：A 中a 2＋(－b )2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B 中5m 2－20mn 两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C 中－x 2－y 2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D 中－x 2＋9＝－x 2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．【类型二】利用平方差公式分解因式分解因式：(1)a 4－116b 4；(2)x 3y 2－xy 4.解析：(1)a 4－116b 4可以写成(a 2)2－(14b 2)2的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一个因式a 2－14b 2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x 3y 2－xy 4有公因式xy 2，应先提公因式再进一步分解因式．解：(1)原式＝(a 2＋14b 2)(a 2－14b 2)＝(a 2＋14b 2)(a －12b )(a ＋12b )；(2)原式＝xy 2(x 2－y 2)＝xy 2(x ＋y )(x －y )．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．【类型三】利用因式分解整体代换求值已知x 2－y 2＝－1，x ＋y ＝12，求x －y 的值．解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x ＋y 的值代入计算即可求出x －y 的值．解：∵x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝－1，x ＋y ＝12，∴x －y ＝－2.方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．探究点二：用平方差公式因式分解的应用【类型一】利用因式分解解决整除问题248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．【类型二】利用平方差公式进行简便运算利用因式分解计算：(1)1012－992；(2)5722×14－4282×14.解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)5722×14－4282×14＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36000.方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．【类型三】因式分解的实际应用如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm ，向里依次为99cm ，98cm ，…，1cm ，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(32－22)平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＋1＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、板书设计1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底.第2课时完全平方公式1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．分解因式：(1)x2－4y2；(2)3x2－3y2；(3)x4－1；(4)(x＋3y)2－(x－3y)2；2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab ＋b2”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点一：用完全平方公式因式分解【类型一】判定能否利用完全平方公式分解因式下列多项式能用完全平方公式分解因式的有()(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋12－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.4；(3)9aA．1个B．2个C．3个D．4个解析：(1)a 2＋ab ＋b 2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a 2－a ＋14＝(a －12)2；(3)9a 2－24ab ＋4b 2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a 2＋8a －16＝－(a 2－8a ＋16)＝－(a －4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．【类型二】运用完全平方公式分解因式因式分解：(1)－3a 2x 2＋24a 2x －48a 2；(2)(a 2＋4)2－16a 2.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a 2，再把另一个因式(x 2－8x ＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．解：(1)原式＝－3a 2(x 2－8x ＋16)＝－3a 2(x －4)2；(2)原式＝(a 2＋4)2－(4a )2＝(a 2＋4＋4a )(a 2＋4－4a )＝(a ＋2)2(a －2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．探究点二：用完全平方公式因式分解的应用【类型一】运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解析：利用完全平方公式转化为(a ±b )2的形式后计算即可．解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．【类型二】利用因式分解判定三角形的形状已知a ，b ，c 分别是△ABC 三边的长，且a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．解：由a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，得a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＝0，即(a －b )2＋(b －c )2＝0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．【类型三】整体代入求值已知a ＋b ＝5，ab ＝10，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．解析：将12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3分解为12ab 与(a ＋b )2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．解：12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3＝12ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab (a ＋b )2.当a ＋b ＝5，ab ＝10时，原式＝12×10×52＝125.方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．三、板书设计1．完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.2．完全平方公式的特点：(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；(2)有两个同号的平方项；(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)．简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领.。
第4章因式分解(教案)2023-2024学年八年级下册数学(教案)(北师大版)
-重点三：平方差公式与完全平方公式。使学生掌握平方差公式（a² - b² = (a + b)(a - b)）和完全平方公式（a² + 2ab + b² = (a + b)²），并能应用于因式分解。
-重点四：交叉相乘法分解因式。让学生掌握交叉相乘法分解因式的步骤，并能够正确运用。
然而，我也注意到，在实践活动和小组讨论中，部分学生显得比较被动，参与度不高。为了提高这部分学生的积极性，我计划在接下来的教学中，针对他们的实际水平，设计一些更具挑战性和趣味性的任务，激发他们的学习兴趣。
另外，在课堂总结环节，我发现部分学生对于因式分解在实际问题中的应用仍然存在困惑。为了解决这个问题，我打算在下一节课中，增加一些与生活实际相关的例子，让学生更加直观地感受到因式分解在实际生活中的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解因式分解的基本概念。因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的过程。它在数学运算中非常重要，可以帮助我们简化计算，解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。多项式x² + 3x + 2可以因式分解为(x + 1)(x + 2)，这个案例展示了因式分解在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2.教学难点
-难点一：理解因式分解的概念，尤其是分解过程中保持等价关系的理解。
-难点二：正确识别多项式中的公因式，尤其是含有多个项的复杂多项式。
-难点三：熟练掌握平方差公式和完全平方公式的应用，尤其是变式题目的处理。
-难点四：在交叉相乘法分解因式时，正确判断乘积的符号，避免常见错误。
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计一. 教材分析《因式分解》是北师大版数学八年级下册第4章第1节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了整式的乘法、平方差公式、完全平方公式的基础上进行学习的，是整个初中数学的重要内容，也是解决实际问题的重要手段。
因式分解不仅有助于学生更好地理解和掌握整式的运算法则，而且对于提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经具备了一定的代数基础，对整式的乘法和平方差公式、完全平方公式有一定的了解。
但是，因式分解作为一种方法，学生可能还没有完全掌握，对其应用也可能会有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平进行教学。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能够对一些简单的多项式进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和方法。
2.难点：如何引导学生发现和总结因式分解的方法，以及如何运用因式分解解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等活动，发现和总结因式分解的方法。
2.运用合作学习法，让学生在小组内进行讨论和交流，提高学生的团队合作能力和解决问题的能力。
3.利用多媒体辅助教学，生动形象地展示因式分解的过程，提高学生的学习兴趣。
六. 教学准备1.多媒体课件：制作因式分解的教学课件，包括图片、动画、例题等。
2.教学素材：准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.学生活动材料：准备一些卡片，上面写有因式分解的方法，用于学生分组讨论和交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习整式的乘法、平方差公式、完全平方公式等知识，引导学生进入因式分解的学习。
北师大版八年级下册第四章因式分解教学设计
北师大版八年级下册第四章因式分解教学设计一、教学目标1.了解因式分解的基本概念和方法，掌握因式分解的意义和应用；2.认识和掌握常见的因式分解公式；3.掌握因式分解的基本技能和方法，能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学重难点1. 教学重点1.了解因式分解的基本概念和方法；2.掌握因式分解的基本技能和方法；3.能够应用所学知识解决实际问题。
2. 教学难点1.应用所学知识解决实际问题；2.深入理解因式分解的意义和应用。
三、教学内容与方法1. 教学内容1.因式分解的基本概念；2.因式分解的意义和应用；3.常见的因式分解公式；4.因式分解的基本技能和方法；5.应用所学知识解决实际问题。
2. 教学方法1.课堂讲解：教师通过讲解、例题讲解等方式，向学生介绍因式分解的基本概念、意义和应用，并讲解常见的因式分解公式；2.互动探究：教师出示相关问题，并让学生自主探究、思考、分组讨论，以激发学生的学习兴趣和积极性；3.拓展练习：设计各种类型的练习题，以帮助学生掌握因式分解的基本技能和方法，并能够应用所学知识解决实际问题。
四、教学步骤1. 导入环节教师先简单介绍因式分解的定义及应用，引导学生认识因式分解的重要性，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解环节1.教师通过图示展示因式分解的过程，并简要介绍因式分解的基本概念和意义；2.教师针对例题，讲解因式分解的基本方法和技巧；3.教师介绍常见的因式分解公式，并让学生掌握应用公式的方法。
3. 互动探究1.教师出示相关问题，让学生自主探究、思考，并分组讨论；2.学生在分组讨论的过程中，要讲解探究的结果，并与其他小组分享自己的思考和收获；3.教师定时点评并更正学生的错误。
4. 巩固提高1.教师设计各种类型的练习题，帮助学生掌握因式分解的基本技能和方法；2.学生独立完成练习，教师及时检查，并进行点评，及时纠正学生的错误；3.教师让学生运用所学知识解决实际问题，以拓展学生的应用能力。
五、教学评价1.对于基本概念和方法，学生应能准确理解；2.对于常见的因式分解公式，学生应能掌握并熟练应用；3.在练习环节中，学生应能独立解题，并正确地运用所学知识；4.学生在解决实际问题中，应能灵活运用所学知识，正确解决问题；5.教师应及时纠正学生的错误，以促进学生的进步。
4.1 因式分解 北师大版数学八年级下册教案
4.1因式分解教学目标1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念.2.认识因式分解与整式乘法的关系——互逆关系(即相反变形)，并能运用这种关系寻找因式分解的方法.3.通过对因式分解与整式乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化，培养学生分析问题的能力与综合应用能力.教学重点难点重点：理解因式分解的概念，会判断一个变形是否为因式分解.难点：理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够运用其解决问题.教学过程导入新课【问题1】某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma+mb)元.”小华说：“总共需要m(a+b)元”.教师：同学们，这两位同学的回答正确吗？你们觉得他们计算出的总金额一样吗？它们之间又有怎样的关系？引出课题.（师生互动）探究新知探究点一因式分解的概念活动1复习旧知(学生交流)【问题2】21能被哪些数整除？学生：1，3，7，21.老师：你是怎样想到的？学生：因为21＝1×21＝3×7.【思考】既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？学生：可以.活动2探索解法(学生交流)【问题3】993-99能被100整除吗？32-=⨯-⨯999999999912=-99(991)=⨯9998009899100=⨯⨯.所以，993-99能被100整除.【思考】993-99还能被哪些整数整除?(小组交流，教师点评)请看课本第92页议一议：【议一议】你能尝试把a3 –a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流a3 -a＝a(a+1)(a-1)【知识讲解】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.1.分解的对象必须是多项式.2.分解的结果一定是积的形式.3.结果中的每一个因式都必须是整式.活动3 合作探究(师生互动)【例1】 下列从左到右的变形中是因式分解的有( )①x 2-y 2-1＝(x +y )(x -y )-1；②x 3+x ＝x (x 2+1)；③(x -y )2＝x 2-2xy +y 2；④x 2-9y 2＝(x +3y )(x -3y ).A.1个B.2个C.3个D.4个解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解.故选B.【方法总结】因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式.【即学即练】下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是( )A.x 2-x -2＝x (x -1)-2B.(a +b )(a -b )＝a 2-b 2C.x 2-4＝(x +2)(x -2)D.x 2-1y 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x －1y 答案：C探究点二 因式分解与整式乘法的关系及简单应用活动4 合作探究(师生互动)【问题4】如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？学生：方法一：m (a +b +c )；方法二：ma +mb +mc.教师：【总结】(学生总结，老师点评)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆变形，因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式.【例2】 完成下列题目：（1）x (x -2)＝_______（2）(x +y )(x -y )＝_______（3）(x +1)2＝________【答案】x 2-2x ；x 2-y 2；x 2+2x +1根据上面的填空，解决下列问题：（1）x 2-2x ＝( )( )（2）x 2-y 2＝( )( )（3）x 2+2x +1＝( )2【答案】（1）x ,x -2;(2)x +y ， x -y ;(3)x +1活动5 拓展延伸(学生对学)【例3】已知三次四项式2x 3-5x 2-6x +k 分解因式后有一个因式是x -3，试求k 的值及另一个因式.【探索思路】此题可设此三次四项式的另一个因式为2x 2-mx -k 3，将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k 的值.【解】设另一个因式为2x 2-mx -k 3，∴(x -3)·⎝⎛⎭⎫2x 2－mx －k 3＝2x 3-mx 2-k 3x -6x 2+3mx +k ＝2x 3-(m +6)x 2-⎝⎛⎭⎫k 3－3m x +k ＝2x 3-5x 2-6x +k ，∴m +6＝5，k 3-3m ＝6，解得m ＝-1，k ＝9，∴另一个因式为2x 2+x -3.【题后总结】(学生总结，老师点评)因为整式的乘法和分解因式互为逆变形，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式.活动6 探究应用 (教师引导，学生互学)【即学即练】若多项式x 2+ax +b 分解因式的结果为a （x -2）（x +3），求a ，b 的值.【解】∵x 2+ax +b ＝a （x -2）（x +3）＝ax 2+ax -6a .∴a ＝1，b ＝-6a ＝-6.课堂练习1.下列各式，从左到右的变形是因式分解的是()A.3x +3y −5＝3(x +y )−5B.(x +1)(x −1)＝x 2−1C.x 2−14＝(x +12)(x −12)D.x +y ＝x (1+y x )(x ≠0)2.−(3a+12b)(3a−12b)是下列某个多项式因式分解的结果，这个多项式是()A.9a2−14b2 B.14b2+9a2C.14b2−9a2 D.−9a2−14b23.把x3−xy2因式分解，正确的结果是()A.(x2+xy)(x−y)B.x(x2−y2)C.x(x−y)2D.x(x+y)(x−y)4.若(x−3)(x+5)是x2+px+q因式分解的结果，则p为()A.−15B.−2C.8D.25.(m+2n)(m-2n)是下列哪个多项式分解因式的结果( )A.m2+4n2B.-m2+4n2C.m2-4n2D.-m2-4n2参考答案：1. C解析：A中等号右边不是整式的积的形式；B中等号左边是整式的积的形式，而右边是多项式，属于整式乘法；C中是因式分解；D中等号右边出现yx，它不是整式.2. C解析：根据因式分解与整式乘法是互为逆变形的关系，可得所求多项式为14b2−9a2.3. D解析：在A中，x2+xy还能再分解；在B中，x2−y2还能再分解；在C中，x(x−y)2展开为x3−2x2y+xy2≠x3−xy2；D项正确.4. D解析：∵(x−3)(x+5)＝x2+2x−15，∴p＝2，q＝−15.故选D.5.C解析：(m+2n)(m-2n)＝m2-4n2.课堂小结(学生总结，老师点评)一、因式分解的概念把一个多项式转化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.二、因式分解与整式乘法的关系因式分解是整式乘法的逆运算.布置作业教材第94页习题4.1板书设计第四章因式分解1因式分解一、因式分解的概念【问题1】某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma+mb)元.”小华说：“总共需要m(a+b)元”.【问题2】21能被哪些数整除？【问题3】993-99能被100整除吗？二、因式分解与整式乘法的关系。
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》是初中数学中的重要内容，它为学生提供了将多项式分解成几个整式乘积的方法，有助于简化代数表达式，培养学生解决问题的能力。
本节课的内容是因式分解的定义、方法和应用，学生需要掌握因式分解的基本技巧，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了整式的乘法，具备了一定的代数基础。
但对于因式分解的概念和方法，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，引导学生通过观察、操作、思考、交流，逐步掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能将多项式正确地分解成几个整式乘积。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和方法。
2.难点：如何引导学生发现因式分解的规律，并将规律应用到实际问题中。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等，充分调动学生的积极性，引导学生主动参与课堂讨论，发现和总结因式分解的方法。
六. 教学准备1.课件：制作因式分解的PPT，内容包括因式分解的定义、方法及应用。
2.学具：为学生准备练习纸、草稿纸等学习用品。
3.教学视频：准备相关的教学视频，以便在课堂上进行演示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用教学视频，介绍因式分解在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
引导学生思考：如何将一个多项式分解成几个整式乘积？2.呈现（10分钟）讲解因式分解的定义和方法，通过PPT展示例题，让学生跟随老师一起解题，体会因式分解的过程。
3.操练（10分钟）让学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
在此过程中，关注学生的解题方法，引导学生发现规律。
4.巩固（10分钟）小组合作学习，讨论如何将多项式正确地分解成几个整式乘积。
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《1因式分解》教案
教学目标
1、教学知识点：
使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系．2、能力训练要求：
通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力．3、情感与价值观要求：
通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系．
教学重难点
教学重点：
1．理解因式分解的意义．
2．识别分解因式与整式乘法的关系．
教学难点：
通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？
［生］会．（a+b）（a－b）=a2－b2．
［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子（a+b）（a-b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2=（a+b）（a－b）是否成立呢？
［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立．
［师］很好，a2－b2=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题．
Ⅱ．讲授新课
1．讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流．
［生］993－99能被100整除．
因为993－99=99×992－99=99×（992－1）=99×9800=99×98×100，其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除．
［师］993－99还能被哪些正整数整除？
［生］还能被99，98，980，990，9702等整除．
［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式．2．议一议．
你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．
［师］大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式．
［生］a3－a=a（a2－1）=a（a－1）（a+1）．
3．做一做．
（1）计算下列各式：
①（m+4）（m－4）=__________；
②（y－3）2=__________；
③3x（x－1）=__________；
④m（a+b+c）=__________；
⑤a（a+1）（a－1）=__________．
［生］解：①（m+4）（m－4）=m2－16；
②（y－3）2=y2－6y+9；
③3x（x－1）=3x2－3x；
④m（a+b+c）=ma+mb+mc；
⑤a（a+1）（a－1）=a（a2－1）=a3－a．
（2）根据上面的算式填空：
①3x2－3x=（）（）；
②m2－16=（）（）；
③ma+mb+mc=（）（）；
④y2－6y+9=（）2．
⑤a3－a=（）（）．
［生］把等号左右两边的式子调换一下即可．即：
①3x2－3x=3x（x－1）；
②m2－16=（m+4）（m－4）；
③ma+mb+mc=m（a+b+c）；
④y2－6y+9=（y－3）2；
⑤a3－a=a（a2－1）=a（a+1）（a－1）．
［师］能分析一下两个题中的形式变换吗？
［生］在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式．
［师］在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解．
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）．
4．想一想．
由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a
（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？
［生］由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是整式乘法，由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反．
［生］由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反．
［师］非常棒．下面我们一起来总结一下．
如：m（a+b+c）=ma+mb+mc（1）
ma+mb+mc=m（a+b+c）（2）
联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式．
区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算．
等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解．
所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形．
5．例题．
下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab；
（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）；
（3）a2－4=（a+2）（a－2）；
（4）x2－3x+2=x（x－3）+2．
［生］（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，而不是因式分解；
（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；（3）和（2）相同，是因式分解；
（4）是因式分解．
［师］大家认可吗？
［生］第（4）题不对，因为虽然x2－3x=x（x－3），但是等号右边x（x－3）+2整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以（4）的变形不是因式分解．
Ⅲ．活动与探究
已知a=2，b=3，c=5．
求代数式a（a+b－c）+b（a+b－c）+c（c－a－b）的值．
解：当a=2，b=3，c=5时，
a（a+b－c）+b（a+b－c）+c（c－a－b）
=a（a+b－c）+b（a+b－c）－c（a+b－c）
=（a+b－c）（a+b－c）
=（2+3－5）2=0
Ⅳ．课时小结
本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形．。