高三10月月考(数学文科)
数学-黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三10月月考试题和答案
哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.323.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.44.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求.【详解】对集合：因为，所以，即；对集合：因为恒成立，所以.所以.故选：B2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另一个虚根为，所以，解得，所以.故选：D.3.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.4.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为，，所以，，，，，又，，，所以.故选：C.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点，所以；又.由.故选：C6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，又方程可化为，所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，因为函数为定义域为的偶函数，所以，函数的图象关于轴对称，因为，取可得，，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，又当时，，作出函数，的区间上的图象如下：观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，则，，，，所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.【详解】可设，，，则.可设：，则.故选：B【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为.所以，故A正确；函数对称中心的纵坐标必为，故B错误；由，得函数的对称轴方程为：，.令，得是函数的一条对称轴.故C正确；将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确.故选：ACD10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D.【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确；对于B，过作于，因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由题意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因为为线段的中点，所以到平面的距离为，又，所以，故B错误；对于C，取的中点，则，且，，所以，因为，所以是异面直线、所成的角，取的中点，连接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，易得是的垂直平分线，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.【详解】对A：当时，；当时，；时，，所以函数只有1个零点.A错误；对B：欲证，须证在上恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为，所以.故B正确；对C：.设，则，.由；由.所以在上单调递增，在单调递减.所以的最大值为：，又当时，.如图所示：所以有两个解时，.故C正确；对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.设，，所以.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.因为，，所以所以.且当且时，；时，.所以函数的图象如下：所以有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为，将条件关系转化为的方程，解方程求，由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，故答案为：.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论.【详解】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.故答案为：.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，结合已知可得平面，所以是直角三角形，从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，设内切球的球心为，半径为，由，根据已知可得，所以，所以，解得，内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，由上易知，所以，过作于，，从而，所以，所以两球心之间的距离，因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，所以线段的长度的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球半径和球心距离，再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可证结论；（2）以为坐标原点，所在直线为，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接，因为，为中点，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为，过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，，函数在上单调递增，当且时，即时，，函数在上单调递增，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，则，，由，知，，，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上单调递增，【小问2详解】因为，，所以，不等式可化为，因为在恒成立，所以设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，故，所以的取值范围为.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为为中点，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，，设内切圆半径为，则.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，即内切圆半径的取值范围是：.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【答案】（1），175（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值.（2）①建立空间直角坐标系，设点坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则，所以四棱锥体积，.所以：.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，所以，，.设平面的法向量为，则.令，则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.所以.因为，，所以.②易得，则，此时平面的法向量，所以点到平面的距离为：，设四棱锥的外接球半径为，则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为：.【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径.。
2021年高三上学期10月月考数学试卷(文科)含解析)
2021年高三上学期10月月考数学试卷（文科）含解析）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B 是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R} C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R} D．{x|﹣2＜x＜1，x ∈R}2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是；cosα的值是．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．=1+S n（n∈N*）．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；与1+b1+b2+…+b n的（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1大小．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}+1的通项公式．xx学年北京交大附中高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R}C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x＜1，x∈R}【考点】交集及其运算．【分析】先求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用交集的运算求解．【解答】解：由x（x﹣1）＜0，得0＜x＜1．所以A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}={x|0＜x＜1}，又B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，所以A∩B={x|0＜x＜1，x∈R}∩{x|﹣2＜x＜2，x∈R}={x|0＜x＜1，x∈R}．故选B．2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】通过复数的分母实数化，即可得到结果．【解答】解：===i．故选：C．3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线的充要条件求出的充要条件，利用充要条件的定义判断出“x=2”是的充分但不必要条件．【解答】解：依题意，∥⇔3﹣（x﹣1）（x+1）=0⇔x=±2，所以“x=2”是“∥”的充分但不必要条件；故选A4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．【考点】数列的求和．【分析】先由a n=﹣4n+5及q=a n﹣a n求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到﹣1|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|b n|．=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，【解答】解：q=a n﹣a n﹣1所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1，∴b＜a＜c．故选：C．7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据对数函数的图象和性质象得到a，b的取值范围，再根据正弦函数的图得到答案．【解答】解∵由对数函数图象可知，函数为增函数，∴b＞1，y=log b（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），∴a+1=2，∴a=1∴函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移1的单位得到的，由图象可知函数的最小正周期T=＜2π，故选：B8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）【考点】特称命题．【分析】由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．a的取值范围为f（x）在（﹣∞，0）的值域．【解答】解：由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．已知在（﹣∞，0）上均为增函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．所以0＜f（x）＜f（0）=2，a的取值范围是（0，2）．故选C．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为﹣2．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式，可得=2+t=0，由此求得t的值．【解答】解：∵向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则=2+t=0，t=﹣2，故答案为：﹣2．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角形内角和定理化简即可得到答案！【解答】解：∵B+A+C=π，∴A+C=π﹣B那么cos（A+C）=cos（π﹣B）=﹣cosB．则：cos2B+3cos（A+C）+2=0⇔cos2B﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣1﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣3cosB+1=0⇔（2cosB﹣1）（cosB﹣1）=0解得：cosB=1，此时B=0°，不符合题意．或cosB=，此时B=60°，符合题意．那么：sinB=sin60°=．故答案为：．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是﹣；cosα的值是﹣．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】利用两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，即可求得tanα与cosα的值．【解答】解：tan（+α）=，∴tanα=tan[（+α）﹣]===﹣；又α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案为：；．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），∴x=3a，y=4a，r==5|a|=﹣5a，则cosα===﹣，故答案为：﹣．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．【考点】数列递推式；数列的应用．【分析】由a n=an2+n是二次函数型，结合已知条件得，由此可知答案．【解答】解：∵a n=an2+n是二次函数型，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，a n＞a n对n≥8恒成立，+1∴，解得﹣．故答案为：﹣．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是0≤a＜1或a＞3．【考点】分段函数的应用．【分析】由任意x1≠x2，都有＜0成立，得函数为减函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可．【解答】解：∵f（x）满足对任意x1≠x2，都有＜0成立∴函数f（x）在定义域上为减函数，则满足，得0≤a＜1或a＞3，故答案为：0≤a＜1或a＞3．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=S3=9，得，解出a1，d，由等差数列通项公式即可求得答案；（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，由b1=a2可得b1，由b4=S4可得q，由等比数列前n项和公式可得答案；【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d．因为a3=S3=9，所以，解得a1=﹣3，d=6，所以a n=﹣3+（n﹣1）•6=6n﹣9；（II）设等比数列{b n}的公比为q，因为b1=a2=﹣3+6=3，b4=S4=4×（﹣3）+=24，所以3q3=24，解得q=2，所以{b n}的前n项和公式为=3（2n﹣1）．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为，由此求得它的最小正周期．令，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）==．…因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…所以．由，k∈Z，得．所以函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z．…（Ⅱ）因为，所以，…所以．…所以函数f（x）在上的取值范围是[]．…17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知结合平方关系求得sinB=，再由正弦定理求得AC的长；（Ⅱ）由sinC=sin（B+60°）展开两角和的正弦求得sinC，代入三角形的面积公式求得△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=，B∈（0，π），又sin2B+cos2B=1，解得sinB=．由正弦定理得：，即，∴AC=4；（Ⅱ）在△ABC中，sinC=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°==．∴=．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=1+S n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1与1+b1+b2+…+b n的大小．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由a n+1=1+S n（n∈N*），当n≥2时可得a n+1=2a n，当n=1时，=2，利用等比数列即可得出；（II）利用等差数列的通项公式可得：b n=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1.1+b1+b2+…+b n=n2+1．通过作差即可比较出大小．【解答】解：（I）∵a n+1=1+S n（n∈N*），∴当n≥2时，a n=1+S n﹣1，∴a n+1﹣a n=a n，即a n+1=2a n，当n=1时，a2=1+a1=2，∴=2，综上可得：a n+1=2a n（n∈N*），∴数列{a n}是等比数列，公比为2，∴．（II）数列{b n}为等差数列，且b1=a1=1，公差为=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1．1+b1+b2+…+b n=1+=n2+1．∴n2+1﹣（2n+1）=n（n﹣2）＞0，∴b n+1＜1+b1+b2+…+b n．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．【考点】函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用．【分析】（I）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到结论．（Ⅱ）根据题意得到关于x0的方程，解方程可得x0的值；（Ⅲ）将a与b代入函数f（x）=lg（﹣＜x，1）．求出f（a）+f（b）的值，然后计算出f（）的值，从而证得结论．【解答】解：（I）f（x）是奇函数，理由如下：f（x）的定义域为（﹣1，1）关于原点对称；又∵f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（Ⅱ）∵f（x）=lg（﹣1＜x＜1）．∴由f（）+f（）=f（x0）得到：lg+lg=lg，整理，得lg3×2=lg，∴=6，解得x0=；（Ⅲ）证明：∵f（x）=lg（﹣＜x，1）．∴f（a）+f（b）=lg+lg=lg•=lg，f（）=lg=lg，∴对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．得证．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n+1）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}的通项公式．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（I）令x=y=0得出f（0），令y=﹣x得出f（x）f（﹣x）=f（0）；（II）求出g（x）的定义域，计算g（﹣x）并化简得出结论；（III）设x1＜x2，根据f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2）得出=f（x1﹣x2）＞1，得出结论；（IV）根据f（﹣x）f（x）=1得出a n+1﹣a n﹣2=0得出结论．【解答】解：（I）令x=y=0得f（0）=f2（0），又f（0）≠0，∴f（0）=1．令y=﹣x得f（x）f（﹣x）=f（0）=1．（II）∵f（x）f（﹣x）=1，∴f（﹣x）=，∵x＜0时，f（x）＞1，∴x＞0时，0＜f（x）＜1，由g（x）有意义得f（x）≠1，∴x≠0，即g（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．∴g（﹣x）====﹣g（x），∴g（x）是奇函数．证明：（III）设x1＜x2，则x1﹣x2＜0，∴f（x1﹣x2）＞1，∵f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2），∴=f（x1﹣x2）＞1，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）是R上的减函数．（IV）∵f（a n+1）=，∴f（a n+1）f（﹣2﹣a n）=1，∵f（x）f（﹣x）=1，∴a n+1﹣a n﹣2=0，即a n+1﹣a n=2，又a1=f（0）=1，∴{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．精品文档xx年11月30日39234 9942 饂cCK23691 5C8B 岋39065 9899 颙g29049 7179 煹34685 877D 蝽31197 79DD 秝&25755 649B 撛28880 70D0 烐实用文档。
四川省成都市成华区某校2023-2024学年高三上学期10月月考文科数学试题含解析
2023-2024学年度（上）阶段性考试（一）高2021级数学（文科）（答案在最后）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2340A x x x =∈--≤Z ∣，{2,}B x x n n ==∈Z ∣，则A B = （）A.{0,2,4}B.{}113-,,C.{4,2,0}-- D.{3,1,1}--【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的求解方法，结合集合的交集，可得答案.【详解】由不等式2340x x --≤，分解因式可得()()410x x -+£，解得14x -≤≤，则{}1,0,1,2,3,4A =-，所以{}0,2,4A B = .故选：A.2.已知i 3i z =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】由已知等式求出复数z ，得到复数z ，由复数的几何意义得z 在复平面内对应的点所在象限.【详解】由i 3i z =-，得3i13i iz -==--，则13i z =-+，在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B3.抛物线24x y =的准线方程是（）A.116x =-B.18x =-C.116y =-D.12y =-【答案】A 【解析】【分析】先化为标准型，利用抛物线的准线方程可得答案.【详解】因为214y x =，所以124p =，所以准线方程为116x =-.故选：A.4.已知函数()42,0log ,0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则6))f f ((-=（）A.12B.2C.32D.3【答案】C 【解析】【分析】利用分段函数的定义代入求值即可.【详解】由题意可得：()()()()()43626868log82f f f f -=--=⇒-===.故选：C ．5.已知,x y 满足约束条件1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则目标函数2z x y =+的最小值是（）A.1B.2C.11D.无最小值【答案】A 【解析】【分析】作出可行域,将目标函数变为122zy x =-+,通过平移直线12y x =-即可求出z 的最小值.【详解】根据题意,可行域如图所示:将直线12y x =-平移至刚好经过()1,0A 时,z 取的最小值:1201z =+⨯=.故选:A.6.下列函数中，既是π(0,)2上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A.tan y x = B.cos 2y x= C.sin 2y x= D.in 1s 2y x =【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性、在指定区间上的单调性逐项判断作答.【详解】显然函数tan y x =、sin 2y x =都是奇函数，AC 不是；当π(0,2x ∈时，2(0,π)x ∈，而函数cos y x =在(0,π)上单调递减，函数cos 2y x =在π(0,)2上单调递减，B 不是；函数1|sin |2y x =是周期为π的偶函数，当π(0,)2x ∈时，sin 0x >，为原函数，即1sin 2y x =在π(0,2上递增，D 是.故选：D7.定义在R 上的奇函数()f x 满足()1f x +是偶函数，当(]0,1x ∈时，()π2sin 2f x x =，则()2024f =（）A.2-B.1- C.0D.2【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得(2)()f x f x +=-，进而可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，从而利用周期性即可求解.【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，且(0)0f =，又函数(1)f x +是偶函数，则(1)(1)-+=+f x f x ，变形可得()(2)f x f x -=+，则有(2)()f x f x +=-，进而可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数，则(2024)(50640)(0)0f f f =⨯+==.故选：C.8.用半径为10cm ，圆心角为216 的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的体积为（）3cm A.128π B.128C.96πD.96【答案】C 【解析】【分析】根据题意确定圆锥的母线长，根据扇形的弧长求出圆锥的底面半径和高，根据圆锥体积公式即可求得答案.【详解】设圆锥的底面半径为R ，由题意可知圆锥母线长为10cm l =，由题意可得2162π102π,6360R R ⨯⨯=∴=，故圆锥的高为8h ==，故圆锥的体积为211ππ36896π33V R h ==⨯⨯=，故选：C9.下列说法正确的有（）①对于分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 越大，说明“X 与Y 有关系”的把握越大；②我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人.为调查需要，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取40人；③若数据1x 、2x 、L 、n x 的方差为5，则另一组数据11x +、21x +、L 、1n x +的方差为6；④把六进制数()6210转换成十进制数为：()012621006162678⨯⨯⨯=++=.A.①④B.①②C.③④D.①③【答案】A 【解析】【分析】利用独立性检验可判断①；利用分层抽样可判断②；利用方差公式可判断③；利用进位制之间的转化可判断④.【详解】对于①，对于分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 越大，说明“X 与Y 有关系”的把握越大，①对；对于②，由分层抽样可知，应从高三年级抽取的人数为1200200504800⨯=，②错；对于③，记12n x x x x n +++= ，则()()()2221215nx x x x x x n ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦ ，所以，数据11x +、21x +、L 、1n x +的平均数为()()()()12121111111n n x x x x x x x n n ++++++=++++=+⎡⎤⎣⎦ ，其方差为()()()222121111111n x x x x x x n ⎡⎤+--++--+++--⎢⎥⎣⎦ ()()()2221215n x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦ ，③错；对于④，把六进制数()6210转换成十进制数为：()012621006162678⨯⨯⨯=++=，④对.故选：A.10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则（）A.π()sin 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.π()sin 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()sin 2g x x = D.π()sin 26g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用函数图象可求出()f x 的解析式为π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据平移规则可得()sin 2g x x =.【详解】由图象可知，33π5ππ42ω612T ==-，解得ω2=；由振幅可知1A =；将5π,06⎛⎫⎪⎝⎭代入可得5π5πsin 2066f A ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又π2ϕ<，即可得ϕπ3=，因此π()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，易知πππ()()sin 2sin 2663g x f x x x 骣骣÷琪ç=-=-+=÷çç÷çç桫桫，故选：C.11.人们用分贝()dB 来划分声音的等级，声音的等级()d x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足()139lg110xd x -=⨯.一般两人小声交谈时，声音的等级约为45dB ，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63dB ，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（）A.1倍B.10倍C.100倍D.1000倍【答案】C 【解析】【分析】根据所给声音等级与声音强度的函数关系，求出声音等级即可比较得解.【详解】∵声音的等级式()d x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足()139lg 110xd x -=⨯，又∵老师的声音的等级约为63dB ，∴13639lg10x-=，解得610x -=，即老师的声音强度约为610-2W /m ，∵两人交谈时的声音等级大约为45dB ，13459lg10x-∴=，解得810x -=，即两人交谈时的声音强度约为810-2W /m ，∴老师上课时声音强度约为两人小声交谈时声音强度的681010010--=倍.故选：C12.函数()f x 的定义域为)(0,6，当02x <≤时，()11f x |x |=--+且()2(2)f x f x =+，若函数()()g x =f x +m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围为（）A.11,)24(-- B.11,)42( C.2,1)(-- D.(12,)【答案】A 【解析】【分析】将()f x 在(0,2]上的图象每次向右平移2个单位，且纵坐标变为原来的一半，得到()f x 在)(0,6上的图象，根据()y f x =的图象与y m =-有四个不同的交点，得到m 的取值范围.【详解】先作出()f x 在(0,2]上的图象，根据()2(2)f x f x =+可知()f x 在(2,4]上的图象为()f x 在(0,2]上的图象向右平移2个单位且纵坐标变为原来的一半得到，同理得到)(4,6上的图象，如图：函数()()g x =f x +m 有四个不同的零点可看作()y f x =与y m =-有四个不同的交点，由图可知1142m <-<，故11(,)24m ∈--.故选：A ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2610a a +=，则7S =______．【答案】35【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式，及等差数列的性质求解即可.【详解】解： 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2610a a +=，()()172677771035222a a a a S ++⨯∴====，故答案为：35.14.已知,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，4cos 5θ=，则tan 2θ=___________.【答案】247-【解析】【分析】本题首先可通过同角三角函数关系求出3tan 4θ=-，然后根据二倍角公式即可得出结果.【详解】因为,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5θ=，所以3sin 5θ=-，3tan 4θ=-，则22322tan 244tan 21tan 7314θθθ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故答案为：247-.15.如图，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，且AB BO OC CD ===，则该双曲线的渐近线方程为______．【答案】y =【解析】【分析】根据圆的性质，结合代入法、双曲线渐近线方程进行求解即可.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，设圆O 与双曲线在第一象限内的交点为E ，连接DE 、OE ，则22OE OD OC CD OC a ==+==，因为坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，则1π2π84DOE ∠=⨯=，故点)E，将点E的坐标代入双曲线的方程可得))22221a b -=，所以ba=所以该双曲线的渐近线方程为y =．故答案为：y =16.设函数()π2sin cos 6f x x x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，有下列结论：①()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；②()f x 的图象关于直线π6x =对称；③()f x 在π5π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；④()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最小值为32-，其中所有正确的结论是______．【答案】②③【解析】【分析】整理化简()f x 解析式可得π1()sin(2)62f x x =+-，根据正弦函数的相关性质逐一进行判断即可．【详解】()212sin cos(2sin (cos sin )cos sin 622πf x x x x x x x x x =⋅+=⋅-=-111sin 2cos 2πsin(2)22262x x x =+-=+-，当5π12x =时，5πsin(2)012π6⨯+=，则()f x 的图象关于点5π1,122⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故①错误；当π6x =时，sin(2)1π6π6⨯+=，则()f x 的图象关于直线π6x =对称，故②正确；由ππ3π2π22π,Z 262k x k k +≤+≤+∈，得π2πππ,Z 63k x k k +≤≤+∈，当0k =即2π[,]6π3x ∈时，函数()f x 单调递减，则当π5π[,]612x ∈时，函数()f x 单调递减，故③正确；当ππ[,]66x ∈-时，πππ2[,]662x +∈-，可知函数()f x 在ππ[,]66-上单调递增，∴()f x 的最小值为π1sin 21π6π662f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故④错误．故答案为：②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.最近，纪录片《美国工厂》引起中美观众热议，大家都认识到，大力发展制造业，是国家强盛的基础，而产业工人的年龄老化成为阻碍美国制造业发展的障碍，中国应未雨绸缪.某工厂有35周岁以上(含35周岁)工人300名，35周岁以下工人200名，为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“35周岁以上(含35周岁)”和“35周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，附表：()2P K k >0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“35周岁以下组”工人的概率.（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22⨯的列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?生产能手非生产能手合计35岁以下35岁以上合计【答案】（1）710（2）列联表见解析，有把握.【解析】【分析】（1）分析可知，35周岁以上组工人有600.053⨯=(人)，记为123,,A A A ；35周岁以下组工人有400.052⨯=(人)，记为12,B B ，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）根据题中信息完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合独立性检验的基本思想可得出结论.【小问1详解】解：由已知得，样本中有35周岁以上组工人60名，35周岁以下组工人40名，所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，35周岁以上组工人有600.053⨯=(人)，记为123,,A A A ；35周岁以下组工人有400.052⨯=(人)，记为12,B B ，从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种:()()()()()()121323111221,,,,,,,,,,,,A A A A A A AB A B A B ()22,A B ，()31,A B ，()31,A B ，()12,B B ，至少有一名“35周岁以下组”工人的可能结果共有7种：()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B ，故所求的概率:710P =.【小问2详解】解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“35周岁以上组”中的生产能手600.530⨯=(人)，“35周岁以下组”中的生产能手400.2510⨯=(人)，据此可得22⨯列联表如下:生产能手非生产能手合计35岁以下10304035岁以上303060合计4060100所以得:22100(10303030)256.25 3.841406040604K ⨯-⨯===>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.18.已知向量(()2cos ,2,sin2m x n x == ，函数()f x m n =⋅ ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC 中，a b c 、、分别是角、、A B C 的对边，且()3,1f C c ==，=ab ABC 的周长．【答案】（1）ππ[π,π](Z)36k k k -++∈；（2）3.【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，二倍角公式、辅助角公式求出并化简()f x ，再利用正弦函数单调性求解作答.（2）由（1）求出C ，再利用余弦定理求解作答.【小问1详解】依题意，2π()2cos 1cos22sin(2)16f x m n x x x x x =⋅=+=++=++ ，由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈得：ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是ππ[π,π](Z)36k k k -++∈.【小问2详解】由（1）知，π()2sin(2)136f C C =++=，即πsin(2)16C +=，而()0,πC ∈，则ππ13π2(,)666C +∈，于是ππ262C +=，解得π6C =，由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，即221()(2()(2a b ab a b =+-+=+-+，解得2+=+a b ，所以ABC 的周长为3+.19.如图，在四棱锥-P ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，PAB 为等边三角形，且2PA =，PC CD ⊥，O 为AB 的中点．（1）若E 为线段PC 上动点，证明：AB OE ⊥；（2）求点B 与平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）因E 为线段PC 上动点，明显要证明AB ⊥平面POC ，利用线面垂直判定定理，分别证明PC AB ⊥，OP AB ⊥即可；（2）利用等体积变换求距离即得.【小问1详解】连接OC ，OP ．∵PAB 为等边三角形，OP AB ∴⊥，1OA =，OP =，又 平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，OP ⊂平面PAB ，OP ∴⊥平面ABCD ，又OC ⊂Q 平面ABCD ，OP OC ∴⊥，PC DC ⊥ ，CD AB ∥，PC AB ∴⊥，又OP AB ⊥ ，OP ⊂平面POC ，PB ⊂平面POC ，OP PC P ⋂=，AB ∴⊥平面POC又OE ⊂ 平面POC ，AB OE ∴⊥【小问2详解】由（1）知AB ⊥平面POCOC ⊂Q 平面POC ，∴AB OC ⊥．由题意22BC AB PA OB ====，∴PO OC ==，PC =，∴BOC 中，π3CBO ∠=，∴BDC 中，2π3BCD ∠=，∴BDC 中，由余弦定理得BD =，设点B 到平面PCD 的距离为h ，则--B PCD P BCD V V =即1133PCD BCD S h S OP ⋅=⋅△△，11112π222sin 32323h ⨯⨯=⨯⨯⨯，得62h =，故点B 与平面PCD 的距离为6220.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，2ABF △的周长为8，且点3(1,)2-在E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 与圆O ：222x y a +=交于C ，D 两点，当CD ⎡∈⎢⎣⎦时，求2ABF △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=（2）,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由2ABF △的周长结合椭圆的定义得出48a =，再将3(1,)2-代入椭圆方程，即可求出b ，进而得出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为1x my =-，由点到之间距离公式及勾股定理得出[]20,2m ∈，设()11,A x y ，()22,B x y ，由直线l 方程与椭圆方程联立，得出12y y +和12y y ，代入2ABF S =[]211,3t m =+∈，()196h t t t=++，由()h t 的单调性得出值域，即可求出2ABF S 的范围．【小问1详解】因为2ABF △的周长为8，所以48a =，解得2a =，将点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程22214x yb +=，得291414b+=，解得b =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=．【小问2详解】由（1）知圆O 的方程为224x y +=，设直线l 的方程为1x my =-，则圆心O 到直线l 的距离d =，由3CD ⎡=⎢⎥⎣⎦，可得[]20,2m ∈．设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得()2243690+--=mymy ，则122643m y y m +=+，122943y y m =-+，所以2121212ABF S F F y y =⨯⨯-= ，设[]211,3t m =+∈，则2ABF S == ，设()196h t t t=++，易知()196h t t t =++在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则()h t 在[]1,3上单调递增，因为()100163h t ≤≤，所以2,35ABF S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．21.已知函数2()2ln (1)21f x x a x ax =-+-+，R a ∈．（1）当1a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，求实数a 的取值范围；【答案】（1）410x y +-=（2）(1,0)-【解析】【分析】（1）求导，得到()14f '=-，利用导函数几何意义求出切线方程；（2）求定义域，求导，分1a ≤-，1a >-两种情况，结合函数单调性，得到要满足函数()f x 有2个零点，只需()2ln 101a a a ++<+，构造函数()()2ln 11xg x x x =+++，()1,x ∈-+∞，求导，得到其单调性，求出实数a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，2()2ln 221f x x x x =--+，()242f x x x'=--，()12424f '=--=-，()12213f =--+=-，所以函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为()341y x +=--，即410x y +-=；【小问2详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()()21112212a x x f x a x a x x-+-+⎡⎤⎣⎦'=-+-=，当1a ≤-时，()0f x ¢>恒成立，()f x 单调递增，所以()f x 不可能有2个零点；当1a >-时，当101x a <<+时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当11x a >+时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →-∞，所以要满足函数()f x 有2个零点，只需101f a ⎛⎫>⎪+⎝⎭，即()21112ln 1210111a a a a a ⎛⎫-+-⋅+> ⎪+++⎝⎭，整理得()2ln 101aa a ++<+，设()()2ln 11xg x x x =+++，函数的定义域为()1,-+∞，()()221011g x x x '=+>++，所以()g x 在定义域上单调递增，且()00g =，则不等式()2ln 101aa a ++<+的解集为()1,0-，所以a 的取值范围为()1,0-；【点睛】导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方22.数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy 中，曲线E ：)()220x y ay a +=>（如图），称这类曲线为心形曲线.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当2a =时，（1）求E 的极坐标方程；（2）已知P ，Q 为曲线E 上异于O 的两点，且0OP OQ ⋅=，求OPQ △的面积的最大值.【答案】（1）()21sin ρθ=-（2）3+【解析】【分析】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线E ，化简可得答案；（2）不妨设()1,P ρθ，2,2Q πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，()121sin ρθ=-，()221cos ρθ=-，则OPQ △的面积()()12121cos 1sin 2S ρρθθ==--，令sin cos t θθ=+，可得2221S t t =-+-，再利用配方计算可得答案.【小问1详解】将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线E ，得()22sin ρρρθ=-，即()21sin ρθ=-，所以，E 的极坐标方程为()21sin ρθ=-；【小问2详解】不妨设()1,P ρθ，2π,2Q ρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，即()121sin ρθ=-，()2π21sin 21cos 2ρθθ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则OPQ △的面积()()22121cos 1sin 2S ρρθθ==--()22sin cos 2sin cos θθθθ=-++由于()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，22sin cos 1t θθ=-，则()222221211S t t t t t =-+-=-+=-，故当t =()2max 13S =-=+，即OPQ △的面积的最大值为3+.。
江西省多校联考2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学含答案
江西省10月份高三联考数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{1,2,3}A =，{},B x y x A y A =+∈∈，则A B = （）A ．{2}B ．{3}C ．{2,3}D ．{1,2,3}2．在复数范围内，方程49x =的解的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线22:1y C x m-=的离心率大于实轴长，则m 的取值范围是（）A ．(3,)+∞B ．)+∞C ．(0,3)D ．4．若220m n -≠，cos()2m αβ-=，cos()2n αβ+=，则tan tan αβ=（）A ．m n m n-+B ．m n m n+-C ．2m n m n -+D ．2m n m n+-5．函数2()(31)e xf x x =-的最小值为（）A ．433e--B ．133e 2--C ．0D ．24e--6．已知向量,,a b c ，满足1a = ，2b = ，3c = ，π,,3a b a b c 〈〉=〈+〉=，则a b + 在c 方向上的投影向量为（）A ．3cB ．143c C ．6c D ．76c 7．现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（）A ．420B ．660C ．720D ．12008．已知函数()f x 满足()()()22x yf x y f x f y +=+++，且(1)1f =，则(1000)f =（）A ．99922995+B ．99922996+C ．100022995+D ．100022996+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()sin 2f x x =，2()cos 2g x x =，则（）A ．()f x 与()g x 的值域相同B ．()f x 与()g x 的最小正周期相同C ．曲线()y f x =与()y g x =有相同的对称轴D ．曲线()y f x =与()y g x =有相同的对称中心10．如图，现有一个底面直径为10cm ，高为25cm 的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm ，忽略容器的厚度，则（）A ．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为35B ．容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为cm2C ．当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为3185πcm 3D ．当容器内沉入一个棱长为11．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为的直线与E 交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．若动点P 在E 的准线上，则（）A ．AP BP ⋅的最小值为0B ．当PAB △为等腰三角形时，点PC ．当PAB △的重心在x 轴上时，PAB △的面积为924D ．当PAB △为钝角三角形时，点P 的纵坐标的取值范围为,,84⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =-+，则(2)f -=______．13．已知A ，B ，C ，D 四点都在球O 的球面上，且A ，B ，C 三点所在平面经过球心，AB =π3ACB ∠=，则点D 到平面ABC 的距离的最大值为______，球O 的表面积为______．14．若x ，y ，z 均为正数，且2(2)1x x y z +=，则83x yz 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数321()43f x x ax x =+-．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程．（2）试问是否存在实数a ，使得()f x 在[]1,a 上单调递增？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．16．（15分）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量M （单位：克）服从正态分布()2,N μσ，且(96106)0.7P M ≤≤=，(9496)0.1P M ≤≤=．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，这10个贵妃杏的平均质量（单位：克）恰等于μ克．（1）求μ．（2）求(100104)P M <≤．（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为X ，求X 的分布列与数学期望．17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,ABCD BC ∥平面,PAD BC AB ⊥．（1）证明：平面PAD ⊥平面PAB ．（2）若AD AB =，PA BC =，且异面直线PD 与BC 所成角的正切值为32，求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值．18．（17分）已知点()11,0F -，2(1,0)F ，动点M 满足12123MF MF F F +=，动点M 的轨迹为记为E ．（1）判断E 与圆22:8O x y +=的位置关系并说明理由．（2）若P 为E 上一点，且点P 到x 轴的距离(0,1)d ∈，求12PF F △内切圆的半径的取值范围．（3）若直线:(1)l y k x =-与E 交于C ，D 两点，1A ，2A 分别为E 的左、右顶点，设直线1AC 的斜率为()110k k ≠，直线2A D 的斜率为()220k k ≠，试问122212k k k k +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（17分）在n 个数码1，2，…，(,2)n n n ∈≥N 构成的一个排列12n j j j 中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为()12n j j j τ ，例如，(12)0τ=，(4132)4τ=．（1）比较()613245τ与(15432)τ的大小；（2）设数列{}n a 满足()211(22)(15432)2n n n na n a n n τ++-+=+，12a =，求{}n a 的通项公式；（3）设排列122(,5)n j j j n n ∈≥N 满足()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ，()11,12,,210n i j i i ==- ，()122n n b j j j τ= ，21020n n b c +=，证明：56n c c c +++≥ 3840(4)[(214)ln 2124]2402nn n --++-．江西省10月份高三联考数学参考答案1．C 依题意可得{2,3,4,5,6}B =，则{2,3}A B = ．2．D由49x =，得()()22330x x+-=，得x =或x =3．A由题意得2m >>，解得3m >．4．A 因为cos()cos cos sin sin 2m αβαβαβ-=+=，cos()cos cos sin sin 2n αβαβαβ+=-=，所以cos cos m n αβ=+，sin sin m n αβ=-，所以sin sin tan tan cos cos m nm nαβαβαβ-==+．5．B2()(61)e x f x x '=+，令()0f x '<，得16x <-，令()0f x '>，得16x >-，所以2()(31)e xf x x =-的最小值为11331131e e 622f --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．6．C 因为1a = ，2b = ，3c = ，π,3a b 〈〉=，所以a b +=== a b + 在c 方向上的投影向量为()||||a b c c c c +⋅⋅=2π||||cos 3||926a b c c c c c +==⨯ ．7．B将6人分成4组，分配方案有两种：1，1，2，2和1，1，1，3．那么至少有2人选择南昌的选法种数为22133364263322C C C C A 110A 660A ⎛⎫+== ⎪⎝⎭．8．D令1y =，得(1)()(1)22()23x x f x f x f f x +=+++=++，则(1)()23xf x f x +-=+，则2999(2)(1)23,(3)(2)23,,(1000)(999)23f f f f f f -=+-=+-=+ ，将以上各式相加得()9992999212(1000)(1)22239993(10001)12f f --=++++⨯=+⨯-- 100022995=+，所以10001000(1000)22995(1)22996f f =++=+．9．ABC()sin 2[0,1]f x x =∈，1cos 4()[0,1]2xg x +=∈，则()f x 与()g x 的值域相同，A 正确．()f x与()g x 的最小正周期均为2ππ42=，B 正确．曲线()y f x =与()y g x =的对称轴方程均为π()4k x k =∈Z ，C 正确．曲线()y f x =没有对称中心，曲线()y g x =有对称中心，D错误．10．BCD 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为3152725125⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 错误．设容器内液体倒去一半后液体的高度为cm h ，则31152h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得2h =，B 正确．因为15103252⨯=，155104252+⨯=，所以当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为π53⨯⨯()223185π3344cm 3+⨯+=，C 正的正方体铁块时，设容器内液体的高度为cm H，体积233π31546πcm 3V =⨯⨯+=，则346π45π15H ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15H ===，D 正确．11．AC依题意可得(1,0)F ，直线AB的方程为1)y x =-，代入24y x =，消去y 得22520x x -+=，解得12x =，212x =，因为点A在第一象限，所以(2,A，1,2B ⎛ ⎝．E 的准线方程为1x =-，设(1,)P m -，则(3,AP m =--，3,2BP m ⎛=-+ ⎝，所以2294022AP BP m m ⎛⎫⋅=+--=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭ ，A 正确．当PAB △为等腰三角形时，要使得点P 的纵坐标最大，则AB AP =，即1222++=，且m >，解得2m +=，B 错误．PAB △的重心坐标为1212,33m ⎛⎫+- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，即1,23m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，当PAB △的重心在x 轴上时，203m+=，得m PAB =△的面积为111224⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭，C 正确．当A ，B ，P三点共线时，m =-由0AP BP ⋅≥ ，得APB ∠为锐角或直角，当ABP ∠为直角或BAP ∠为直角时，0AB BP ⋅= 或0AB AP ⋅= ，得8m =-或4m =，当PAB △为钝角三角形时，点P 的纵坐标的取值范围为(,8⎛⎫-∞--- ⎪ ⎪⎝⎭,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，D 错误．12．－2因为(2)02022f =+=+=，所以(2)(2)2f f -=-=-．13．4；64π设球O 的半径为R ，由正弦定理得28sin ABR ACB==∠，则4R =，则点D 到平面ABC 的距离的最大值为4，球O 的表面积为24π64πR =．14．127（方法一）由2(2)1x x y z +=，得3221x z x yz +=，不妨令32a x z =，2b x yz =，0a >，0b >，则2834a b x yz =，且1a b +=，所以283(1)4a a x yz -=．令2(1)()(01)4a a f a a -=<<，则(23)()4a a f a -'=，令()0f a '>，得20,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0f a '<，得2,13a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以max 21()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即83x yz 的最大值为127．（方法二）由2(2)1x x y z +=，得3321x z x z x yz ++=．由,,0)3a b c a b c ++≥>，得1≥则83127x yz ≤，当且仅当32x z x yz =，即x y =时，等号成立，故83x yz 的最大值为127．15．解：（1）当1a =-时，321()43f x x x x =--，则2()24f x x x '=--，所以(3)1f '=-，因为(3)12f =-，所以曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程为12(3)y x +=--，即9y x =--（或90x y ++=）．（2）假设存在实数a ，使得()f x 在[]1,a 上单调递增，则2()240f x x ax '=+-≥对[1,]x a ∈恒成立，即22xa x ≥-对[1,]x a ∈恒成立．当[1,]x a ∈时，22x y x =-为增函数，则max 22132122x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以32a ≥，又1a >，所以a 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．16．解：（1）1011021001039998100999710110010μ+++++++++==．（2）因为100μ=，所以(104106)(9496)0.1P M P M ≤≤=≤≤=，所以0.70.1(100104)0.32P M -<≤==．（3）设1人获赠贵妃杏的个数为Y ，则(0)0.5P Y ==，(1)0.3P Y ==，(2)0.2P Y ==．依题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，4，(0)0.50.50.25P X ==⨯=，(1)0.50.320.3P X ==⨯⨯=2(2)0.30.50.220.29P X ==+⨯⨯=，(3)0.30.220.12,(4)0.20.20.04P X P X ==⨯⨯===⨯=则X 的分布列为X 01234P0.250.30.290.120.04所以()10.320.2930.1240.04 1.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．17．（1）证明：PA ⊥ 底面ABCD ，PA BC ∴⊥．BC AB ⊥ ，PA AB A = ，BC ∴⊥平面PAB .BC ∥ 平面PAD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BC AD ∴∥，AD ∴⊥平面PAB ．又AD ⊂平面,PAD ∴平面PAD ⊥平面PAB .（2）解：BC AD ∥ ，∴直线PD 与直线BC 所成的角为PDA ∠．PA ⊥ 底面ABCD ，3,tan 2PA PA AD PDA AD ∴⊥∴∠==，即PA =32AD ．设AD 为2个单位长度，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0)A D ，(2,3,0)C ，(0,0,3)P ，(2,1,0)CD ∴=-- ，(0,2,3)DP =-设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z = ，则20,230,n CD x y n DP y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取3x =-，则6,4y z ==，得(3,6,4)n =-．易知平面PAB 的一个法向量为(0,2,0)AD =，则cos ,AD 〈 66161||||261AD n n AD n ⋅〉===⨯．故平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值为56161．18．解：（1）因为12121236MF MF F F F F +==>，所以E 是以1F ，2F 为焦点，且长轴长为6的椭圆．设E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则26a =，可得3a =，又1c =，所以2228b a c =-=，联立22198x y +=与228x y +=，得0x =，2y =±，所以E 与圆22:8O x y +=相切．（2）12PF F △的周长1212628l PF PF F F =++=+=，12PF F △的面积121(0,1)2S F F d d =⋅=∈，所以12PF F △内切圆的半径2110,44S r d l ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，故12PF F △内切圆的半径的取值范围为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）联立221, 98(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()()22228918980k x k x k +-+-=，易知0∆>，且21221889k x x k +=+，()21229889k x x k -=+．设()()1122,,C x y D x y ，则121212,33y yk k x x ==+-，所以()()()()()()1212112122212112123133331333y x k x x k x x x x k y x k x x x x x x -----+===+-+-+-．（方法一）由21221889k x x k +=+，()21229889k x x k-=+，得()121259x x x x =+-，所以()()1212112212121259332461593348122x x x x k x x k x x x x x x +---++-===+--+-+-．（方法二）因为()()12122121212232343x x x x x k k x x x x x -+++=-++-，所以()()()()()()22222222221222222222229898543895423289898998981838918434898989k k k k k x x k k k k k k k k k k x xk kk ---++-++++++==----+-+-++++2222221848218936962489k x k k x k--++==--++．所以1222121221125k k k k k k k k ==++，故122212k k k k +为定值，且定值为25．19．（1）解：在排列613245中，与6构成逆序的有5个，与3构成逆序的有1个，与1，2，4，5构成逆序的均有0个，所以(613245)516τ=+=；在排列15432中，与5构成逆序的有3个，与4构成逆序的有2个，与3构成逆序的有1个，与1，2构成逆序的均有0个，所以(15432)3216τ=++=．故(613245)(15432)ττ=．（2）解：由（1）知()211(22)62n n n na n a n n ++-+=+，所以()()12121(22)622n nn n na n a nn nn ++++-=++，即116(1)22n n n n a a n n ++-=+⋅．因为12a =，所以数列2n n a n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭是首项为1，公差为6的等差数列，所以16(1)652n n a n n n =+-=-⋅，则()2652n n a n n =-⋅．（3）证明：因为()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ，所以在排列122n j j j 中，排在前面的10个数依次为2n ，21n -，22n -，…，29n -，排在后面的10个数依次为10，9，8，…，1，所以()()1222122210(9810)n n n nj j j τ=-+-++-++++++ (220)10101010n -+++ 个所以()()2122210(9810)10220202210n n n n n n b =-+-++-++++++-=⨯- ，则210220n n n b c +==．设函数3840()4ln (32)f x x x x x =+-≥，则22223840443840(60)(64)()1x x x x f x x x x x --+-'=--==，当3264x ≤<时，()0f x '<，当64x >时，()0f x '>，所以min 3840()(64)644ln 6412424ln 264f x f ==+-=-，所以38404ln 12424ln 2x x x +-≥-，当且仅当64x =时，等号成立．取2(5)n x n =≥，则384024ln 212424ln 22n n n +-≥-，即384024ln 212424ln 2(5)2m n n n ≥-+-≥所以56561114ln 2(56)3840(12424ln 2)(4)222n n c c c n n ⎛⎫+++≥⨯+++-++++--⎪⎝⎭，即515611222(5)(4)ln 23840(12424ln 2)(4)112n n c c c n n n +-+++≥+--⨯+--- 3840(4)[(214)ln 2124]2402n n n =--++-．。
2024-2025学年广西南宁市高三上学期10月月考数学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年广西南宁市高三上学期10月月考数学质量检测试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）{}(){}3510,ln 1A x x B x y x =∈-<<==+Z A B = A. B. {}0,1,2{}0,1C .D.{}1,2{}1,0,1,2-2. 已知，且，其中是虚数单位，则（ ）,a b ∈R 3i12ii a b -=++i a b +=A. B. C. D. 22-4-6-3. 已知定义域为的函数不是偶函数，则（）R ()f x A. B. ()(),0x f x f x ∀∈-+≠R ()(),0x f x f x ∀∈--≠R C.D.()()000,0x f x f x ∃∈-+≠R ()()000,0x f x f x ∃∈--≠R 4. 已知一组数据的平均数是3，方差为4，则数据123421,21,21,21x x x x ++++的平均数和方差分别是（ ）1234,,,x x x x A. B. C. D.1,11,233,243,225. 已知递增的等差数列的前项和为，则（）{}n a n 1625,19,70n S a a a a +==8S =A. 70B. 80C. 90D. 1006. 在中，，若ABC V 212BA BC BC⋅= ，则（ ）123125,,334477a AB AC b AB AC c AB AC=+=+=+A.B.C.D.b a c>>b c a>>a c b>>c a b>>7. 已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭的取值范围是（ ）ωA.B. C.D.2,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭248,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭8,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭248,,333∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭8. 不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（）t+≤x y t A. 2D. 1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，已知为圆锥的底面的直径，，C 为底面圆周上一点，弧的长度AB SO 2SA =BC 是弧的长度的2倍，异面直线与所成角的余弦值为，则（）．AC SB AC 14A. 圆锥SO B. 圆锥的侧面积为SO 2πC. 直线与平面所成的角大于SO SAC 30︒D. 圆锥的外接球的表面积为SO 16π310. 已知抛物线的焦点分别为，若分别为上的点，2212:4,:8C y x C y x ==12,F F ,A B 12,C C 且直线平行于轴，则下列说法正确的是（）AB x A. 若，则B. 若，是等腰三角形1AF AB ⊥12AB =43AB =2F AB C. 若，则四边形是矩形 D. 四边形可能是菱形1BF BA ⊥12F F AB 12F F AB 11.设，定义在上的函数满足，且0a >R ()f x ()1f a =，则（）()()()()(),,x y f x y f x f a y f y f a x ∀∈+=-+-R A. B. ()00f =()()2f a x f x -=C.为偶函数D.()f x ()20251f a =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 的展开式中，含的项的系数为________．（用数字作答）6(12)(13)x x -+2x 13. 在平面直角坐标系中，若角的终边过点，角的终边与角的终边关于xOy α(3,4)--βα轴对称，则______．x sin()αβ-=14.已知椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点()2222:10x y C a b a b +=>>1F 1F 2y x =恰好在上，且直线与的另一个交点为，则______．A C 1AF CB 11||||BF AF =四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角所对的边分别为.ABC V ,,A B C ,,,sin cos )a b c b A a B c =-（1）求角A 的大小；（2）求的最大值.222sin sin sin A B C +16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD ，，，P ABCD -PD ⊥2PD CD ==1AD AB ==，，点M 是棱PC 的中点．AB DA ⊥//AB CD （1）求证：平面PAD ；//BM （2）求平面PAB 与平面BMD 所成锐二面角的余弦值．17. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩．为了解学生对奥运会的了解情况，某校组织了全校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、二、三年级各随机抽取100名学生的成绩（，各年级总人数相等），统计如下：年级[0,60)[60,100]一年级4060二年级2575三年级1090学校将测试成绩分为及格（成绩不低于60分）和不及格（成绩低于60分）两类，用频率估计概率，所有学生的测试成绩结果互不影响．（1）从一、二年级各随机抽一名学生，记表示这两名学生中测试成绩及格的人数，求X 的分布列和数学期望；X （2）从这三个年级中随机抽取两个年级，并从抽取的两个年级中各随机抽取一名学生，求这两名学生测试成绩均及格的概率．18. 已知双曲线的两条渐近线方程为为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>20,x y A ±=上一点．C（1）求双曲线的方程；C （2）若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程；A l C l （3）过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记C F 1l 2l 1lC ,M N的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线MN 2,B l C ,P Q PQ D (0,G G 的距离的最大值．BD 19. 已知函数（其中）．312()(1)21xx f x ax b x -=++-+,a b ∈R （1）当时，证明：是增函数；0,0a b >=()f x （2）证明：曲线是中心对称图形；()y f x =（3）已知，设函数，若对任0a ≠312()e ()(1)(1)21xx x g x f x b x b -=+-+-+-+()0g x ≥意的恒成立，求的最小值．x ∈R b aa -2024-2025学年广西南宁市高三上学期10月月考数学质量检测试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（）{}(){}3510,ln 1A x x B x y x =∈-<<==+Z A B = A. B. {}0,1,2{}0,1C.D.{}1,2{}1,0,1,2-【正确答案】A【分析】解不等式化简集合，求出函数的定义域化简集合，再利用交集的定义求出求解A B 即得.【详解】依题意，，{{}{}1,0,1,2,1A x x B x x =∈<<=-=>-所以.{}0,1,2A B = 故选：A2. 已知，且，其中是虚数单位，则（ ）,a b ∈R 3i12ii a b -=++i a b +=A. B. C. D. 22-4-6-【正确答案】D【分析】根据题意，由复数的运算代入计算，结合复数相等列出方程，即可得到结果.【详解】由可得，即，3i12i i a b -=++()()3i i 12i a b -=++()()3i 221ia b b -=-++所以，解得，则.2213a b b =-⎧⎨+=-⎩42a b =-⎧⎨=-⎩6a b +=-故选：D3. 已知定义域为的函数不是偶函数，则（ ）R ()f x A. B. ()(),0x f x f x ∀∈-+≠R ()(),0x f x f x ∀∈--≠R C.D.()()000,0x f x f x ∃∈-+≠R ()()000,0x f x f x ∃∈--≠R 【正确答案】D【分析】根据偶函数的概念得是假命题，再写其否定形式即可得()(),0x f x f x ∀∈--=R 答案.【详解】定义域为的函数是偶函数，R ()f x ()(),0x f x f x ⇔∀∈--=R 所以不是偶函数．()f x ()()000,0x f x f x ⇔∃∈--≠R 故选：D ．4. 已知一组数据的平均数是3，方差为4，则数据123421,21,21,21x x x x ++++的平均数和方差分别是（ ）1234,,,x x x x A. B. C. D.1,11,233,243,22【正确答案】A【分析】根据题意，由平均数与方差的性质列出方程，代入计算，即可求解.【详解】设数据的平均数和方差分别是，，1234,,,x x x x x 2s 则数据的平均数是，方差是，123421,21,21,21x x x x ++++()21x +24s 所以，解得，，解得，()213x +=1x =244s=21s =即数据的平均数和方差分别是.1234,,,x x x x 1,1故选：A5. 已知递增的等差数列的前项和为，则（）{}n a n 1625,19,70n S a a a a +==8S =A. 70B. 80C. 90D. 100【正确答案】D【分析】设等差数列的公差为d ，由题意结合等差数列的通项公式求出即可结合等{}n a 1,a d 差数列前n 项和公式计算得解.()112n n n S na d -=+【详解】设等差数列的公差为d ，{}n a 则由题得，解得，()()1111519,4700a a d a d a d d ++=⎧⎪++=⎨⎪>⎩132d a =⎧⎨=⎩所以.8878231002S ⨯=⨯+⨯=故选：D.6. 在中，，若ABC V 212BA BC BC⋅= ，则（ ）123125,,334477a AB AC b AB AC c AB AC=+=+=+ A.B.C.D.b a c>>b c a>>a c b>>c a b>>【正确答案】B【分析】先由求出即，接着由余弦定理结合数量积的运算212BA BC BC⋅= |AB |=|AC |b c =律计算得，再由平面向量模的求法即可计算比较得解.2222b a AB AC -⋅=【详解】设的角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，ABC V 因为，所以，212BA BC BC ⋅= ()()212AB AC AB AC AB-⋅-=-所以，故，2221122AB AC AB AC AB AC AB-⋅=⋅+-+ 22AB AC = 所以，即，|AB |=|AC |b c =所以，222222cos 22b c a b a AB AC bc A bc bc +--⋅==⨯=所以22221214433999a AB AC AB AB AC AC⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭，2222221424299299b a c b b a -=+⋅+=-22222222223193193213441681616821616b a b AB AC AB AB AC AC c b b a -⎛⎫=+=+⋅+=+⋅+=- ⎪⎝⎭ ，222222222225420254202251077494949494924949b a c AB AC AB AB AC AC c b b a -⎛⎫=+=+⋅+=+⋅+=- ⎪⎝⎭，因为，所以，即.210394916>>222b c a >> b c a >>故选：B.7. 已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭的取值范围是（ ）ωA.B. C.D.2,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭248,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭8,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭248,,333∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】C【分析】由条件求出的范围，结合正弦函数的性质列不等式可求结论.π6x ω+【详解】因为，，π02x ≤<0ω>所以， ()πππ31666x ωω≤+<+由已知，，()π331π62ω+>所以，83ω>所以的取值范围是.ω8,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：C.8. 不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（）t+≤x y t A. 2D. 1【正确答案】D【分析】由题意可得，令，则有mint ≤0m =>1m =，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案.2112m =21m ≥1m ≥【详解】解：因为,，xy 0>所以，则有，t ≤mint ≤令，则m =>1m =所以，2111122m ==+≤+=当且仅当时，等号成立，x y =所以，，211m≤21m ≥又，所以，0m >1m ≥，1≥1，所以，1t ≤即的最大值为1.t 故选：D.方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 如图，已知为圆锥的底面的直径，，C 为底面圆周上一点，弧的长度AB SO 2SA =BC 是弧的长度的2倍，异面直线与所成角的余弦值为，则（）．AC SB AC 14A. 圆锥SOB. 圆锥的侧面积为SO 2πC. 直线与平面所成的角大于SO SAC 30︒D. 圆锥的外接球的表面积为SO 16π3【正确答案】ABD【分析】A 选项，作出辅助线，设底面圆的半径为，根据异面直线的夹角余弦值和余弦定r 理得到，从而得到圆锥的体积；B 选项，根据侧面积公式求出答案；C 选项，作出辅助1r =线，得到直线与平面所成角的平面角为，并求出其正切值，得到SO SAC OST ∠；D 选项，找到外接球球心，并根据半径相等得到方程，求出外接球半径，得30OST ∠<︒到外接球表面积.【详解】A 选项，连接并延长交圆于点，连接，CO P ,AP BP 因为为圆锥的底面的直径，弧的长度是弧的长度的2倍，AB SO BC AC 故四边形为矩形，，则，ACBP ππ,36CAB ABP CBA BAP ∠=∠=∠=∠=//BP AC 异面直线与所成角等于异面直线与所成角，SB BP SB AC 因为，所以，2SA =2SB SP ==设底面圆的半径为，则，r BP r =故，解得，2222441cos 244SB BP SP r SBP SB BP r +-+-∠===⋅1r =则由勾股定理得，SO ===故圆锥的体积为A 正确；SO 21π3r SO ⋅⋅=B 选项，圆锥的侧面积为，B 正确；SO π2πrl =C 选项，取的中点，连接，则⊥，⊥，AC T ,ST OT OT AC ST AC 又，平面，故⊥平面，OT ST T = ,OT ST ⊂SOT AC SOT 过点作⊥于点，由于平面，则⊥，O OE ST E OE ⊂SOT OE AC 又，平面，故⊥平面，ST AC T = ,ST AC ⊂SAC OE SAC 故即为直线与平面所成的角，OST ∠SO SAC 其中，则，πsin 3OT CO ==1tan 2OT OST OS ∠===由于，且在上单调递增，故，C 错误；1tan 302︒=>tan y x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭30OST ∠<︒D 选项，由对称性可知，外接球球心在上，连接，Q OSQC 设圆锥的外接球半径为，则，SO R OQ SO R R =-=由勾股定理得，即，解得，222OC OQ QC +=)221R R +=R =故圆锥的外接球的表面积为，D 正确.SO 2216π4π4π3R =⨯=故选：ABD方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径10. 已知抛物线的焦点分别为，若分别为上的点，2212:4,:8C y x C y x ==12,F F ,A B 12,C C 且直线平行于轴，则下列说法正确的是（）AB x A. 若，则B. 若，是等腰三角形1AF AB ⊥12AB =43AB =2F AB C. 若，则四边形是矩形 D. 四边形可能是菱形1BF BA ⊥12F F AB 12F F AB 【正确答案】ABC【分析】不妨设，则，，对于A ，由题意A (x 1,y ), B (x 2,y )(y >0)21248y x x ==120x x >>求出和即可求解；对于B ，由题意得，进而可求出两点11x =212x =|AB |1243-=x x ,A B 坐标，从而求出和即可判断；对于C ，由题意先得，接着求出，进而求2F A 2F B21x =1x 出，轴即可得解；对于D ，先假设四边形是菱形，再推出矛盾12AB F F =2AF x ⊥12F F AB 即可得解.【详解】由题意得，不妨设，()()121,0,2,0F F A (x 1,y ), B (x 2,y )(y >0)则，，21248y x x ==120x x >>对于A ，因为，又直线平行于轴，所以轴，1AF AB ⊥AB x 1AF x ⊥所以，故， 11x =2212,82y y x ====如图，故，故A 正确；1212AB x x =-=对于B ，若，则，所以，解得，43AB =1243-=xx 224483y y -=y =所以，84,33A B ⎛⎛ ⎝⎝所以 ，，2103F A ==2103F B ==所以，，所以是等腰三角形，故B 正确；22F A F B=|F 2A |+|AB |>|F 2B |2F AB 对于C ，若，又直线平行于轴，所以轴，1BF BA⊥AB x 1BFx ⊥所以，故，21x =2124y y x ====故，轴，所以四边形是矩形，故C 正确；12121AB x x F F =-==2AF x ⊥12F F AB 对于D ，若四边形是菱形，则，即即，12F F AB 121AB F F==121x x -=22148y y -=所以，所以，y =((2,,1,A B 所以可得，则四边形不是菱形，矛盾，21F A F B AB==≠12F F AB 所以四边形不是菱形，故D 错误.12F F AB 故选：ABC.11.设，定义在上的函数满足，且0a >R ()f x ()1f a =，则（）()()()()(),,x y f x y f x f a y f y f a x ∀∈+=-+-R A.B.()00f =()()2f a x f x -=C.为偶函数 D.()f x ()20251f a =【正确答案】ABD【分析】对于A ，令，又，即可求得；对于B ，令，,0x a y ==()1f a =()00f =y a =再由，即可推得；对于C ，令，可得()()1,00f a f ==()()2f a x f x -=y x =-，从而为奇函数；对于D ，可推得，即()()0f x f x +-=()f x ()()4f x a f x +=的周期为，则.()f x 4a ()()()202550641f a f a a f a =⨯+==【详解】对于A ，令，得，,0x a y ==()()()()()00f a f a f a f f =+因为，所以，故A 正确；()1f a =()00f =对于B ，令，代入可得，y a =()()()()()0f x a f x f f a f a x +=+-因为，所以，()()1,00f a f ==()()f x a f a x +=-从而，故B 正确；()()2f a x f x -=对于C ，令，代入得，y x =-()()()()()0f f x f a x f x f a x =++--又因为对，恒成立且不恒为0，x ∀∈R ()()f a x f a x +=-所以，从而为奇函数，()()0f x f x +-=()f x 又不恒等于0，故C 错误；()f x 对于D ，因为，()()()2f x a f x f x +=-=-所以，()()()42f x a f x a f x +=-+=所以为的周期，4a ()f x 所以，故D 正确．()()()202550641f a f a a f a =⨯+==故选：ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 的展开式中，含的项的系数为________．（用数字作答）6(12)(13)x x -+2x【正确答案】99【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式6(13)x +6(12)(13)x x -+中含的项即可得解.2x 【详解】由题意得的展开式的通项为，6(13)x +()166C 33C rr r r rr T x x +==所以的展开式中，含的项为，6(12)(13)x x -+2x 2221112663C 23C 99x x x x -⋅=所以展开式中含的项的系数为.2x 99故答案为.9913. 在平面直角坐标系中，若角的终边过点，角的终边与角的终边关于xOy α(3,4)--βα轴对称，则______．x sin()αβ-=【正确答案】##24250.96【分析】由条件，根据三角函数定义可求，，根据对称性可求，，sin αcos αsin βcos β结合两角差正弦公式求结论.【详解】因为角的终边过点，α(3,4)--所以，，4sin 5α==-3cos 5α==-又角的终边与角的终边关于轴对称，βαx 所以，，4sin 5β=3cos 5β=-所以.24sin()sin cos cos sin 25αβαβαβ-=-=故答案为.242514.已知椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点()2222:10x y C a b a b +=>>1F 1F 2y x =恰好在上，且直线与的另一个交点为，则______．A C 1AF CB 11||||BF AF =【正确答案】##0.215【分析】求出点关于直线对称点的坐标，进而求出，再结1(,0)F c -2y x =A 12||,||AF AF 合椭圆定义及勾股定理求出即可.1||BF 【详解】设关于直线的对称点，由，解得1(,0)F c -2y x =11(,)A x y 111112222y x cy x c⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=⋅⎪⎩，113545c x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即，令椭圆右焦点，则，34(,55c c A -2(,0)Fc 1||AF ==，而点在椭圆上，由，得2||AF ==AC 122AF AF a +=，a =设，则，显然的中点都在直线上，1||BF m =2||2BF a m m =-=-112,AF F F 2y x =则平行于直线，从而，在中，2AF 2y x =21AF AF ⊥2Rt ABF，222()))m m +=-解得，所以.m =11|1|5||BF AF =故15思路点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用勾股定理、正弦定理、余弦定理、，得到a ，c 的关12|||2PF PF a =＋|系．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知的内角所对的边分别为.ABC V ,,A B C ,,,sin cos )a b c b A a B c =-（1）求角A 的大小；（2）求的最大值.222sin sin sin A B C +【正确答案】（1）；2π3A =（2）.32【分析】（1）由题意结合正弦定理和即可求解.sin sin cos cos sin C A B A B =+（2）先由（1）结合余弦定理得，接着由正弦定理角化边得222a b c bc =++，再结合基本不等式即可求解.22222sin 1sin sin A bcB C bc =+++【小问1详解】因为，，sin cos )b A a B c =-()sin sin sin cos cos sin CA B A B A B =+=+所以由正弦定理得)sin sin sin cos sin cos cos sin sin B A A B C A B A B A B A B=-=，又，故，所以即，B ∈(0,π)sin 0B≠sin A A =tan A =又，所以.()0,πA ∈2π3A =【小问2详解】由（1），所以由余弦定理得，2π3A =222222cos a b c bc A b c bc =+-=++所以由正弦定理得，222222222222sin 311sin sin 2A a b c bc bc B C b c b c b c ++===+≤=++++当且仅当时等号成立.b c =所以的最大值为.222sin sin sin A B C +3216. 如图，在四棱锥中，平面ABCD ，，，P ABCD -PD ⊥2PD CD ==1AD AB ==，，点M 是棱PC 的中点．AB DA ⊥//AB CD （1）求证：平面PAD ；//BM （2）求平面PAB 与平面BMD所成锐二面角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）取PD 的中点E ，连接ME ，AE ，根据E 是PD 的中点，得到，//EM AB ，从而四边形ABME 是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理EM AB =//AE BM 证明；（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求得平面BDM 的一个法向量，平面PAB 的一个法向量，设n =(x,y,z )(),,m a b c= 平面PAB 与平面BMD 所成锐二面角的大小为θ，由求解．()cos ,n m cos n m n mθ⋅==【小问1详解】证明：取PD 的中点E ，连接ME ，AE ，因为E 是PD 的中点，M 是PC 的中点，所以，，又，，//EM DC 112EM DC ==//AB CD 1AB =所以，，//EM AB EM AB =所以四边形ABME 是平行四边形，所以，//AE BM 又平面PAD ，平面PAD ，所以平面PAD ．AE ⊂BM ⊄//BM 【小问2详解】解：因为平面ABCD ，DA ，平面ABCD ，PD ⊥DC ⊂所以，，又，，所以．PD AD ⊥PD DC ⊥AB DA ⊥//AB CD AD DC ⊥以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则，所以．()()()()()0,0,0,0,0,2,1,0,0,1,1,0,0,2,0D P A B C ()0,1,1M 设平面BDM 的一个法向量，又，，n =(x,y,z )()1,1,0DB =()0,1,1DM =所以0,0,n DB x y n DM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令，解得，，1x =1y =-1z =所以平面BMD 的一个法向量．n =(1,−1,1)设平面PAB 的一个法向量，又，，(),,m a b c= ()1,0,2AP =-()0,1,0AB =所以20,0.m AP a c m AB b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩令，解得，，2a =0b =1c =所以平面PAB 的一个法向量，()2,0,1m =设平面PAB 与平面BMD 所成锐二面角的大小为θ，所以．()cos ,n m cos n m n m θ⋅====即平面PAB 与平面BMD17. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩．为了解学生对奥运会的了解情况，某校组织了全校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、二、三年级各随机抽取100名学生的成绩（，各年级总人数相等），统计如下：年级[0,60)[60,100]一年级4060二年级2575三年级1090学校将测试成绩分为及格（成绩不低于60分）和不及格（成绩低于60分）两类，用频率估计概率，所有学生的测试成绩结果互不影响．（1）从一、二年级各随机抽一名学生，记表示这两名学生中测试成绩及格的人数，求X 的分布列和数学期望；X （2）从这三个年级中随机抽取两个年级，并从抽取的两个年级中各随机抽取一名学生，求这两名学生测试成绩均及格的概率．【正确答案】（1）答案见解析（2）111200【分析】（1）写出所有可能得取值，然后分别求出其对应概率，列出表格，即可得到分布X 列，再由期望的公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由互斥事件概率公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】一年级学生及格的频率为，不及格的频率为，6031005=4021005=二年级学生及格的频率为，不及格的频率为，7531004=2511004=三年级学生及格的频率为，不及格的频率为，90910010=10110010=的所有可能取值为，X 0,1,2,3则，，()21105410P X ==⨯=()312391545420P X ==⨯+⨯=，()33925420P X ==⨯=所以的分布列为：X X12P110920920所以的期望为X ()1992701210202020E X =⨯+⨯+⨯=【小问2详解】由题意可知，抽到一、二年级，一、三年级，二、三年级的概率都是，13所以抽到的两名学生测试成绩均及格的概率为.13313913911135435103410200P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=18. 已知双曲线的两条渐近线方程为为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>20,x y A ±=上一点．C （1）求双曲线的方程；C （2）若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程；A l C l （3）过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记C F 1l 2l 1lC ,M N 的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线MN 2,B l C ,P Q PQD (0,G G 的距离的最大值．BD 【正确答案】（1）2214x y -=（2），.220x y -+-=220x y ++-=220y --=（3【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可求解；,a b （2）分直线斜率存在于不存在讨论，然后联立直线与双曲线方程，代入计算，即可得到结果；（3）分直线斜率存在于不存在讨论，分别联立直线与双曲线方程以及直线与双曲线方程，1l 2l结合韦达定理代入计算，即可得到直线过定点，从而得到结果.BD 【小问1详解】由题意可得，，解得，所以双曲线的方程为.2212811b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩C 2214x y -=【小问2详解】当直线斜率存在时，设直线的方程为，ll (1y k x -=-代入可得，2214x y -=()(()22214814110k x k k ⎡⎤-----+=⎢⎥⎣⎦当时，即时，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点，2140k -=12k =±l即直线的方程为，；l 220x y -+-=220x y ++-=当时，，2140k -≠()()()2222Δ6411614110k k ⎡⎤=-+--+=⎢⎥⎣⎦即，可得与双曲线相切，)210-=k =l 直线；l 220y --=显然，当直线斜率不存在时，直线与双曲线有两个公共点，不满足；l l 综上所述，与双曲线仅有1个公共点的直线有3条：C ，.220x y -+-=220x y ++-=220y --=【小问3详解】当直线的斜率不存在时，则与重合，又，即，1l B F 2415c =+=c =所以，，此时直线的方程为，)F()0,0D BD 0y =则到的距离为0；G BD 当直线的斜率为0时，则与重合，，，1l DF )D ()0,0B 此时直线的方程为，则到的距离为0；BD 0y =G BD 当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为，1l 1l(y k x =-设，()()()()11223344,,,,,,,M xy N x y P x y Q x y 直线的方程为，2l (1y x k =-联立可得，(2214x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩()2222142040k x x k -+--=，()()()()22222Δ4142041610k kk=----=+>由韦达定理可得，则12x x +=122x x +=所以，121222y y x x k k ++⎛=== ⎝所以，B 联立可得，(22141x y y x k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222420140x x k k ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，22224201Δ4141610k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=+> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由韦达定理可得，则，34x x+==342x x +=所以，所以，1212y y k +=-=D则()()2422334414BDk k k k k k --===--+，，()()()2423134141k k kk k -+-==--()2221,140,40kk k ≠-≠-≠所以直线的方程为，BD ()2341k y x k ⎛-=-⎝即，()2413k y kx-=--所以，即，()2413k y kx -=-+()2413k y k x ⎛-=-- ⎝故直线过定点，BD ⎫⎪⎪⎭当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；2410k -=1l当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；240k -=2l 当时，的方程为，21k =,BDBD x =过点；⎫⎪⎪⎭综上所述，直线过定点.BD ⎫⎪⎪⎭所以点到直线.GBD=关键点点睛：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论直线的斜率存在以及不存在，然后得到直线恒过定点，从而解答.BD 19. 已知函数（其中）．312()(1)21xx f x ax b x -=++-+,a b ∈R （1）当时，证明：是增函数；0,0a b >=()f x （2）证明：曲线是中心对称图形；()y f x =（3）已知，设函数，若对任0a ≠312()e ()(1)(1)21xx x g x f x b x b -=+-+-+-+()0g x ≥意的恒成立，求的最小值．x ∈R b aa -【正确答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析；（3）.1-【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再判断导数值为正即可.（2）利用中心对称的定义，计算推理即得.（3）求出函数及其导数，再按分类讨论并求出的最小值，建立不等()g x 0,0a a <>()g x 式，构造函数，利用导数求出最小值即得.【小问1详解】函数的定义域为R ，当时，，()f x 0,0a b >=1122()22121x x x f x ax ax--=+=-+++求导得，所以是增函数．122ln2()0(21)x x f x a -'=+>+()f x 【小问2详解】依题意，(2)()f x f x -+2331122(2)(1)(1)2121x x x x a x b x ax b x ---=+-+-+++-++，()11222211221xx x a a --=++=+++所以曲线关于点对称，曲线是中心对称图形.()y f x =(1,1)a +()y f x =【小问3详解】依题意，，其定义域为，求导得，()e 1xg x ax b =-+-R ()x g x e a '=-当时，在上单调递增，0a <()0,()g x g x >'R 当时，，的取值集合为，0x <0e 1x<<1ax b -+-(,1)b -∞-因此当时，函数的取值集合为，不符合题意；0x <()g x (,)b -∞当时，由，得在上单调递增；0a >()0g x '>ln ,()x a g x >(ln ,)a +∞由，得在上单调递减，()0g x '<ln ,()x a g x <(,ln )a -∞函数在处取得最小值，且，()g x ln x a =min ()(ln )ln 1g x g a a a a b ==-+-由对任意的恒成立，得，即成立，()0g x ≥x ∈R ln 10a a a b -+-≥ln 1b a a a ≥-++因此，设，2ln 11ln 2b a a a a a a a a --++≥=+-221111()ln 2,()a a a a a a a a ϕϕ-=+-=='-当时，，当时，，01a <<()0a ϕ'<1a >()0a ϕ'>函数在上递减，在上递增，()a ϕ(0,1)(1,)+∞则，即，当且仅当时取等号，min()(1)1a ϕϕ==-1b aa -≥-1,0ab ==所以的最小值为.b aa -1-结论点睛：函数的定义域为D ，，()y f x =x D ∀∈①存在常数a ，b 使得，则函数()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=图象关于点对称.()y f x =(,)a b ②存在常数a 使得，则函数图象关于直()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-()y f x =线对称.x a =。
高三数学-10月月考数学试题参考答案
2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。
高三文科数学10月月考复习题(一、二、三)
7 ，求 ABAC 的值．
34．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70. (1)求数列{an}的通项公式； 2Sn＋48 (2)设 bn＝ ，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值． n
27．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2＝1，a3＝3，则 S4＝( A．12 B．10 C．8
) D．6
28．等差数列{an}中，a5＝3，若其前 5 项和 S5＝10，则其公差 d＝______．
第 2 页 共 12 页来自29．已知数列{an}是等差数列，a3＝18，a6＝12． (1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{an}的前多少项和最大，最大值是多少?
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32.已知函数 f ( x)
(sin x cos x) sin 2 x . sin x
（1）求 f ( x ) 的定义域及最小正周期； （2）求 f ( x ) 的单调递增区间.
33．在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanC＝3 7 ． (1)求 cosC；(2)若 CB CA
C．y＝tan 2x
9．函数 y＝|sin x|的一个单调增区间是( π π A. －4，4 π 3π B. 4 ， 4
π 10．函数 y＝tan 4－x的定义域为_______________． x π 11．函数 f(x)＝ 3sin 2－4，x∈R 的最小正周期为________． π 12 ．要得到函数 y ＝ 3sin 2x＋4 的图象，只需将函数 y ＝ 3sin2x 的图象向 ________ 平移 ________个单位． π π 13．把函数 y＝sin 5x－2的图象向右平移4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短 1 为原来的 ，所得的函数解析式为 2 3π A．y＝sin 10x－ 4 7π B．y＝sin 10x－ 2 3π C．y＝sin 10x－ 2 ( )
2022-2023学年四川省成都市树德中学高三上学期10月月考数学(文)试卷(含详解)
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）已知点 ，直线l与曲线C分别交于A，B两点，点M是AB的中点，求 的长．
13.已知数列 是正项等比数列，函数 的两个零点是 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，根据等比中项求出 .
【详解】因为函数 的两个零点是 ， ，
所以 .
因为数列 是正项等比数列，所以 ，解得： .
故答案为：
14.如图，在四边形ABCD中， ，E为边BC的中点，若 ，则 _________．
A. 的图象关于直线 对称
B. 的图象关于点 对称
C.把 的图象向左平移 个单位长度，得到一个偶函数的图象D. 在区间 上为增函数
10.若 ， ，则x，y，z的大小关系为（）
A. B.
C. D.
11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的表面积为（）
【详解】解：由题意可得， ，
故 .
故选：B
6.某工厂研究某种产品的产量 （单位：吨）与需求某种材料 （单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集里组数据如表所示．根据表中数据可得回归直线方程为 ，则下列四个说法中正确的个数为（）
3
4
6
2021年高三上学期10月月考文科数学试卷 含答案
2021年高三上学期10月月考文科数学试卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合，集合，则( )A．(-) B．(- C．-) D．-2．已知为虚数单位，复数，则复数在复平面内的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱4. 已知直线平面,直线平面,则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5. 函数的零点所在的区间是（）A．（3，4）B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1）6．.若，满足约束条件，则的最小值是 ( )（A）-3 （B）0 （C）（D）37.平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的体积为（A）6π（B）43π（C）46π（D）63π8.已知等差数列的前n项和为，且满足则的值是（）A、，B、，C、D、9. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位10.数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S xx等于（）A.1008B.2015C.0D.-111．函数的图像大致是（）A. B. C. D.12．设函数是R上的单调递减函数，则实数的取值范围为( )A．(-∞，2) B．(-∞， C．(0,2) D．,2)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．.不等式x2-5x+6≤0的解集为______14．已知,且在第二象限,则15．设，则大小关系是_______________.16．在中,是的中点,,点在上,且满足,则三．解答题：(解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且(1)求角C；(2)若，且ΔABC的面积为，求的值.18.(本题满分12分）如图所示，在棱锥P-ABC D中，平面，底面为直角梯形，且//，，PA=AD=DC=2，AB=4.（Ⅰ）求证：;（Ⅱ）若F为PB的中点，求证：CF//平面PAD.19．本题满分12分已知等差数列为递增数列，且是方程的两根，数列的前项和；（1）求数列和的通项公式；（2）若，为数列的前n项和，证明：；20．本题满分12分设∈（0，），且（1）求及，的值；（2）设①求的最小正周期和图象的对称中心坐标；②求在区间上的值域.21．本题满分12分如图,四边形是边长为2的正方形,为等腰三角形,,平面平面,点在上,且平面.(Ⅰ)证明:平面平面;22．本题满分12分设函数，曲线在点处的切线方程为。
2021年高三上学期10月月考数学试卷(文科)含解析
2021年高三上学期10月月考数学试卷（文科）含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁B）（）UA．∅B．{5} C．{3} D．{3，5}2．“α为第二象限角”是“为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知平面向量，满足=1， =2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）5．把函数的图象上所有点向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的一半，所得图象的表达式是（）A．B．C．D．6．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足，则的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．47．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]8．如图，|OA|=2（单位：m），OB=1（单位：m），OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交与点C．甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速度1（单位：m/s）沿线段OB行至点B，再以速度3（单位：m/s）沿圆弧行至点C后停止；乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至A点后停止．设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是．10．复数+的虚部是．11．已知，，则在方向上的射影长为．12．已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值为．13．已知函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且则f（2）=（用a表示），若，则a=．14．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l ∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：①函数为R上的l高调函数；②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；③如果定义域是[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；其中正确的命题是（填序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=3，cosC=．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（C﹣A）的值．16．某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（x∈N*，80≤x≤100）件之间的关系如下表所示：日产量x 80 81 82 (x)…98 99 100次品率p …P（x）…其中P（x）=（a为常数）．已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失元（k为给定常数）．（1）求出a，并将该厂的日盈利额y（元）表示为日生产量x（件）的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？17．函数f=（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜）部分图象如图所示．（1）求的最小周期及解析式．（2）设g（x）=f（x）﹣2cos2x，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．18．设函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤0成立，求a的取值范围．19．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）讨论函数y=f（x）零点的个数．20．函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有成立．（1）求f（0）的值；（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；（3）求所有满足条件的函数f（x）．xx学年北京首都师大附中育新学校高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁U B）（）A．∅B．{5}C．{3}D．{3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先由补集的定义求出∁U B，再利用交集的定义求A∩∁U B．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，B={1，2}，∴∁U B═{3，4，5，6}，又集合A={1，3，5}，∴A∩∁U B={3，5}，故选D．2．“α为第二象限角”是“为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据象限角的定义，结合充要条件的定义，可得结论．【解答】解：“α为第二象限角”时，“为锐角”不一定成立，“为锐角”时，“α为第二象限角”一定成立，故“α为第二象限角”是“为锐角”的必要不充分条件，故选：B3．已知平面向量，满足=1，=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A． B． C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的数量积公式，结合=1，=2，且（+）⊥，即可求得结论．【解答】解：∵=1，=2，且（+）⊥，∴（+）•=1+1×2×cos＜，＞=0∴cos＜，＞=﹣∵＜，＞∈[0，π]∴＜，＞=故选B．4．函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（﹣，0） B．（0，）C．（，） D．（，）【考点】函数零点的判定定理．【分析】确定f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，根据零点存在定理，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3在R上是增函数，求解：f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，∴根据零点存在定理，可得函数f（x）=2x+3x﹣4的零点所在的大致区间是（，）故选：C．5．把函数的图象上所有点向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的一半，所得图象的表达式是（）A． B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规则对函数的解析式进行变换即可，由题设条件知，本题的变换涉及到了平移变换，周期变换，振幅变换．【解答】解：由题意函数y=sin（2x﹣）的图象上各点向右平移个单位长度，得到y=sin（2x﹣﹣）=sin（2x﹣），再把横坐标缩短为原来的一半，所得图象的表达式是：y=sin（4x﹣）．故选：D．6．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足，则的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，且，代入要求的式子化简可得答案．【解答】解：由题意可得：，且，∴===﹣4故选A7．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]【考点】其他不等式的解法．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D8．如图，|OA|=2（单位：m），OB=1（单位：m），OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交与点C．甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速度1（单位：m/s）沿线段OB行至点B，再以速度3（单位：m/s）沿圆弧行至点C后停止；乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至A点后停止．设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】由题意，所围成的面积的变化可分为两段研究，一秒钟内与一秒钟后，由题设知第一秒内所围成的面积增加较快，一秒钟后的一段时间内匀速增加，一段时间后面积不再变化，由此规律可以选出正确选项【解答】解：由题设知，|OA|=2（单位：m），OB=1，两者行一秒后，甲行到B停止，乙此时行到A，故在第一秒内，甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）的值增加得越来越快，一秒钟后，随着甲的运动，所围成的面积增加值是扇形中AB所扫过的面积，由于点B是匀速运动，故一秒钟后，面积的增加是匀速的，且当甲行走到C后，即B与C重合后，面积不再随着时间的增加而改变，故函数y=S（t）随着时间t 的增加先是增加得越来越快，然后转化成匀速增加，然后面积不再变化，考察四个选项，只有A符合题意故选A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是m≤﹣5．【考点】一元二次不等式的应用；函数恒成立问题．【分析】①构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．②讨论对称轴x=﹣＞或＜时f（x）的单调性，得f（1），f（2）为两部分的最大值若满足f（1），f（2）都小于等于0即能满足x∈（1，2）时f（x）＜0，由此则可求出m的取值范围【解答】解：法一：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立．则由开口向上的一元二次函数f（x）图象可知f（x）=0必有△＞0，①当图象对称轴x=﹣≤时，f（2）为函数最大值当f（2）≤0，得m解集为空集．②同理当﹣＞时，f（1）为函数最大值，当f（1）≤0可使x∈（1，2）时f（x）＜0．由f（1）≤0解得m≤﹣5．综合①②得m范围m≤﹣5法二：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立即解得即m≤﹣5故答案为m≤﹣510．复数+的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．【解答】解：复数+===．故其虚部为．故答案为．11．已知，，则在方向上的射影长为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】在方向上的射影长为：，代入计算可得答案．【解答】解：∵，，∴在方向上的射影长为：==，故答案为：12．已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值为﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和公式展开后求得cosα+sinα的值，进而利用诱导公式可知sin（α+）=﹣sin（α+），把cosα+sinα的值代入求得答案．【解答】解：∵cos（α﹣）+sinα=cosα+sinα=，∴cosα+sinα=，∴sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣（sinα+cosα）=﹣．故答案为：﹣13．已知函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且则f（2）=2a（用a表示），若，则a=1．【考点】函数的值．【分析】由函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且，知f（2）=f（1+1）=2f（1）=2a；由=，知f（2）=2a=2，由此能求出a．【解答】解：∵函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且，∴f（2）=f（1+1）=2f（1）=2a；∵=，∴f（2）=2a=2，∴a=1．故答案为：2a，1．14．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l ∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：①函数为R上的l高调函数；②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；③如果定义域是[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；其中正确的命题是②③（填序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据高调函数的定义证明条件f（x+1）≥f（x）是否成立即可．【解答】解：①∵函数f（x）=（）x为R上的递减函数，故①不正确，②∵sin2（x+π）≥sin2x∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故②正确，③如果定义域为[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上m高调函数，则，解得m ≥2，即实数m的取值范围[2，+∞），∴③正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=3，cosC=．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（C﹣A）的值．【考点】解三角形；余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系式求出sinC，然后求△ABC的面积；（Ⅱ）通过余弦定理求出c，利用正弦定理求出sinA，同角三角函数的基本关系式求出cosA，利用两角和的正弦函数求sin（C﹣A）的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，所以．…所以，．…（Ⅱ）由余弦定理可得，c2=a2+b2﹣2ab•cosC==9所以，c=3．…又由正弦定理得，，所以，．…因为a＜b，所以A为锐角，所以，．…所以，sin（C﹣A）=sinC•cosA﹣cosC•sinA=．…16．某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（x∈N*，80≤x≤100）件之间的关系如下表所示：日产量x 80 81 82 (x)…98 99 100次品率p …P（x）…其中P（x）=（a为常数）．已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失元（k为给定常数）．（1）求出a，并将该厂的日盈利额y（元）表示为日生产量x（件）的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）首先根据列表求出a的值，然后列出P（x）的关系式，整理即可．（2）令108﹣x=t，t∈[8，28]，t∈N*，把函数转化为关于t的等式，利用基本不等式求解【解答】解：（1）根据列表数据可得：a=108由题意，当日产量为x时，次品数为：正品数：∴y=整理得：（80≤x≤100，x∈N*）（2）令108﹣x=t，t∈[8，28]，t∈N*==当且仅当t=即t=12时取得最大盈利，此时x=9617．函数f=（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜）部分图象如图所示．（1）求的最小周期及解析式．（2）设g（x）=f（x）﹣2cos2x，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）利用函数的图象，求出A，T，然后求出ω，利用f（）=2，求出φ，即可求出函数的解析式．（2）通过g（x）=f（x）﹣2cos2x，利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过[0，]求出相位的范围，然后求出函数的最大值和最小值．【解答】解：（1）由图可得A=2，，所以T=π．因为所以ω=2．…当时，f（x）=2，可得，因为，所以．…所以f（x）的解析式为．…（2）==…=．…因为，所以．当，即x=时，函数g（x）有最大值，最大值为：2 …当，即x=0时，函数g（x）有最小值，最小值为﹣1．…18．设函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）已知函数f（x）=x﹣ae x，对其进行求导，利用导数研究其单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈R，f（x）≤0成立，只要f（x）的最大值小于等于0即可，利用导数研究函数的最值问题，从而求解；【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=1﹣ae x．…当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上是增函数．…当a＞0时，令f′（x）=0，得x=﹣lna．…若x＜﹣lna则f′（x）＞0，从而f（x）在区间（﹣∞，﹣lna）上是增函数；若x＞﹣lna则f′（x）＜0，从而f（x）在区间（﹣lna，+∞）上是减函数．综上可知：当a≤0时，f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是增函数；当a＞0时，f（x）在区间（﹣∞，﹣lna）上是增函数，在区间（﹣lna，+∞）上是减函数．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立．又因为当a＞0时，f（x）在区间（﹣∞，﹣lna）上是增函数，在区间（﹣lna，+∞）上是减函数，所以f（x）在点x=﹣lna处取最大值，且f（﹣lna）=﹣lna﹣ae﹣lna=﹣lna﹣1．…令﹣lna﹣1≤0，得，故f（x）≤0对x∈R恒成立时，a的取值范围是．…19．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）讨论函数y=f（x）零点的个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣（1﹣a）x，利用导数求函数的最值，利用最值证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）利用导数确定函数的取值情况，确定函数y=f（x）零点的个数．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为，…f（1）=﹣a+1，所以切线斜率k=f'（1）=1﹣a，所以切线l的方程为y﹣（1﹣a）=（1﹣a）（x﹣1），即y=（1﹣a）x．…（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（1﹣a）x=lnx﹣x+1，x＞0，则F'（x）==0，解得x=1．x （0，1） 1 （1，+∞）F'（x）+0 ﹣F（x）↗最大值↘…F（1）＜0，所以∀x＞0且x≠1，F（x）＜0，所以f（x）＜（1﹣a）x，即函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方．…（Ⅲ）令f（x）=lnx﹣ax+1=0，则a=．令g（x）=，则g'（x）=，则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当x=1时，g（x）的最大值为g（1）=1．所以若a＞1，则f（x）无零点；若f（x）有零点，则a≤1．…若a=1，f（x）=lnx﹣ax+1=0，由（Ⅰ）知f（x）有且仅有一个零点x=1．若a≤0，f（x）=lnx﹣ax+1单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知f（x）有且仅有一个零点（或：直线y=ax﹣1与曲线y=lnx有一个交点）．若0＜a＜1，解f'（x）=，得x=，由函数的单调性得知f（x）在x=处取最大值，f（）=ln，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x充分大时f（x）＜0，即f（x）在单调递减区间（，+∞）有且仅有一个零点；又因为f（=﹣，所以f（x）在单调递增区间（0，）有且仅有一个零点．综上所述，当a＞1时，f（x）无零点；当a=1或a≤0时，f（x）有且仅有一个零点；当0＜a＜1时，f（x）有两个零点．…20．函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有成立．（1）求f（0）的值；（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；（3）求所有满足条件的函数f（x）．【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题．【分析】（1）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=n=0，易得f（0）的值；（2）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=n，即可得到结论；（3）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=2n=2x，即可得到结论．【解答】解：（1）令m=n=0∴f2（0）=0∴f（0）=0（2）令m=n∴∴对于任意的t∴即证（3）令m=2n=2x∴=f2（x）+xf（x）当f（x）=0时恒成立，当f（x）≠0时有，∴f2（2x）=[f（x）+x]2=4xf（x）∴f（x）=x．xx年11月19日22990 59CE 姎C25669 6445 摅35938 8C62 豢34961 8891 袑30411 76CB 盋29965 750D 甍d26031 65AF 斯:3s38002 9472 鑲527455 6B3F 欿。
安徽省六安第二中学2024-2025学年高三上学期第二次月考(10月) 数学试题
六安二中2025届高三第二次月考试题数学分值：150分时间：120分钟注意事项1.考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上并粘好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的选项涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它选项.不能答在试题卷上.3.解答题按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域的答案无效.4.保持答题卡卷面清洁，不折叠，不破损.第Ⅰ卷(选择题58分)一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上.1.设集合{}|1A x x =<，集合{|B y y ==，则A∩B=（）A.（-1，1）B.（0，1）C.[0，1）D.（1，+∞）2.已知x ∈R ，则“10ln 2x <≤”是“102x x -<-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知12log 3a =，sin6b π=，20.5c -=，则（）A.a <b <cB.b <c <aC.c <a <bD.b <a <c4.函数2ln ||||x x y x =的图象大致是（）A.B. C. D.5.已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x （x +2）.若.f （2+m ）+f （2m-5）>0，则m 的取值范围为（）A.（-∞，0）B.（0，+∞）C.（-∞，1）D.（1，+∞）6.科学技能的迅猛发展，使人们在学校里学到的专业知识，逐步陈旧过时，这就是所谓的“知识半衰期”.1950年以前，知识的半衰期为50年：21世纪，知识的半衰期平均为3.2年；IT 业高级工程师1.8年.如果一个高三学生的初始知识量为0T ，则经过一定时间，即t 个月后的知识量T 满足01()2a a ht T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，h 称为知识半衰期，其中a T 是课堂知识量，若25a T =，某同学知识量从80降至75大约用时1个月，那么知识量从75降至45大约还需要（）（参考数据:lg2≈0.30，lg11≈1.04）A.8个月B.9个月C.10个月D.11个月7、已知函数2,1()23,1x a a x f x ax ax a x ⎧+≥=⎨-+-+<⎩（a >0且a ≠1），若f （x ）的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.20,3⎛⎤⎥⎝⎦B.31,2⎛⎤⎥⎝⎦C.[2，+∞）D.[3，+∞）8.对于x ∈（0，+∞），不等式()()ln 10x e mx m x -+-≥恒成立，则实数m 的取值范围为（）A.0<m <1B.0<m ≤1C.0<m ≤eD.0<m <e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.下列结论中正确的是（）A.若函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x +2）的定义域为[-1，0]B.当x ∈R 时，不等式210kx kx ++>恒成立，则k 的取值范围是（0，4）C.命题“∀x >1，x 2-x >0”的否定是20001,0x x x ∃≤-≤”D.函数||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（0，1]10.已知a =log 315，b =log 515，则（）A.111ab+= B.ab >4C.a 2+b 2<8D.a +b >411.设函数f （x ）与其导函数f '（x ）定义域均为R ，且f '（x +2）为偶函数，110f x f x +--=（）（），则（）A.f '（1+x ）=f '（1-x ）B.f '（3）=0C.f '（2025）=1D.f （2+x ）+f （2-x ）=2f （2）第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数2()lg(43)f x x x =-+的单调递减区间为__________.13.已知曲线y =x +ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y =ax 2+(2a +3)x +1只有一个公共点，求a 的值__________.14.已知函数ln ,0,()1,0x x x f x x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩若函数()()()()1g x f f x af x =-+有唯一零点，则实数a 的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知命题P :“∃x ∈R ，x 2-ax +1=0”为假命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A .(Ⅰ)求集合C R A ;(Ⅱ)设集合B ={x |m+1<x <2m+1}，若t ∈A 是t ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16.(15分)已知函数21()log 1xf x x-=+.(Ⅰ)判断并证明f (x )的奇偶性；(Ⅱ)若对任意11,,[2,2]33x t ⎡⎤∈-∈-⎢⎣⎦，不等式.f (x )≥t 2+at -6恒成立，求实数a 的取值范围.17.(15分)函数f (x )=(x +1)e x .(Ⅰ)求函数在(-2，f (-2))处的切线方程;(Ⅱ)求出方程f (x )=a (a ∈R)的解的个数.18.(17分)已知函数.f (x )=ac 2x +(a -2)c x -x ，(Ⅰ)当a >0时，求f (x )的单调区间:(Ⅱ)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.19.(17分)从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为r .牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在x 轴找初始点P 0(x 0，0)，然后作y =f (x )在点Q 0(x 0，f (x 0))处切线，切线与x 轴交于点P 1(x 1，0)，再作y =f (x )在点(Q 1(x 1，f (x 1))处切线(Q 1P 1⊥x 轴，以下同)，切线与x 轴交于点.P 2(x 2，0)，.再作y =f (x )在点Q 2(x 2，f (x 2))处切线，一直重复，可得到一列数:x 0，x 1，x 2，∴，x n .显然，它们会越来越逼近r .于是，求r 近似解的过程转化为求x n ，若设精度为ε，则把首次满足|x n -x n ₋1|<ε的x n 称为r 的近似解.(Ⅰ)设f (x )=x 3+x 2+1，试用牛顿法求方程.f (x )=0满足精度ε=0.4的近似解(取x 0=-1，且结果保留小数点后第二位)；(Ⅱ)如图，设函数g(x )=2x ;(i)由以前所学知识，我们知道函数8g(x )=2x 没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释?(ii)若设初始点为P 0(0，0)，类比上述算法，求所得前n 个三角形00111211,,,n n n Q P P P PQ P P Q -- 的面积和.六安二中2025届高三第二次月考试题数学参考答案及评分标准(仅供参考)题号1234567891011答案CAADDCBCADABDBD6.【详解】由题意得117525(8025)2h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1110211h⎛⎫= ⎪⎝⎭;则14525(7525)2t H⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1120502th ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得102115t⎛⎫= ⎪⎝⎭，两边取对数102lg 1lg 115t =，25lg lg 2lg 52lg 2120.3110101lg11lg111 1.04lg 11t --⨯-===≈=---，故选:C.7.【详解】当x <1时，则f (x )=-ax 2+2ax -a +3=-a (x -1)2+3，且a >0，所以f (x )=-a (x -1)2+3<3，若函数f (x )的值域为R ，可知当x ≥1时，则.f (x )=a x +a 的值域包含[3，+∞)，若0<a <1，则.f (x )=a x +a 在[1，+∞)内单调递减，可得f (x )≤f (1)=2a ，不合题意;若a >1，则.f (x )=a x +a 在[1，+∞)内单调递增，可得f (x )≥f (1)=2a ，则2a ≤3，解得312a <≤;综上所述：实数a 的取值范围是31,2⎛⎤⎥⎝⎦故选:B.8.【详解】已知x ∈(0，+∞)，由()()ln 10x e mx m x -+-≥得，()()ln ln x mxe x e mx +≥+，构造函数f (x )=e x +x ，f (x )是R 上的增函数，则由.f (x )≥f (ln(m x ))得：x ≥ln(mx )，即x e m x ≤，令(),(0,)x eg x x x =∈+∞，2(1)()xx e g x x -'=，当x ∈(0，1)，g'(x )<0，则g(x )单调递减，当x ∈(1，+∞)，g'(x )>0，则g(x )单调递增，∴()()min 1g x g e ==，则m ≤e ，又m >0，则0<m ≤c .故选:C.9.【详解】A:由题设0≤2x +2≤2，则-1≤x ≤0，即f (2x +2)的定义域为[-1，0]，A 对;B:当x ∈R 时，不等式kx 2+kx +1>0恒成立，当k =0时，1>0恒成立，当k ≠0时，则需满足2040k k k >⎧⎨∆=-<⎩，∴0<k <4，综合可得k 的取值范围是[0，4)，B 不正确，C ：由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为20001,0x x x >-≤，C 错；D:令t =|x |∈[0，+∞)，故1(0,1]2t y ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，即||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(0，1]，D 对.故选:AD10.【详解】a =log 315>0，b =log 515>0，a ≠b ，且151511log 3log 51a b+=+=，故A 正确;又由111ab+=可知ab =a +b >4，B 正确;a 2+b 2≥2ab >8，故C 错误.11()224b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++>= ⎪⎝⎭，D 正确;故选:ABD.11.【详解】对于A ，∵f (1+x )-f (1-x )=0，∴f '(1+x )+f '(1-x )=0，即f '(x )关于(1，0)对称，故A 错误;对于B ，)'(2f x +为偶函数，故f '(x +2)=f '(-x +2)，即f '(x )关于x =2对称，由f '(x )关于x =2对称，知f '(3)=f '(1)=0，故B 正确;对于C ，f '(x )关于x =2对称和f '(x )关于(1，0)对称可得:f '(x )=-f '(-x +2)=f '(-x +4)，故f '(x +4)=-f '(x +2)=-[-f '(x )]=f '(x )，即f '(x )的周期为4，所以f '(2025)=f '(1)=0，故C 错;对于D ，由(2()2)f x f x ''+=-+得:f (x +2)=-f (-x +2)+m ，即f (x +2)+f (-x +2)=m ，令x =0得，2f (2)=m ，故f (2+x )+f (2-x )=2f (2)，故D 正确.故选:BD 12.(-∞，1)13.a =0或12a =详解(此题为书本选择性必修一第103页第13题)解：y =x +ln x 的导数为11y x'=+，曲线y =x +ln x 在x =1处的切线斜率为1121k =+=，则曲线y =x +ln x 在x =1处的切线方程为y -1=2x -2，即y =2x -1.由于切线与曲线y =ax 2+(2a +3)x +1只有一个公共点，y =ax 2+(2a +3)x +1可联立y =2x -1，得ax 2+(2a +1)x +2=0①有且只有一解，当a =0时①式变为x +2=0，则x =-2，方程①有且只有一解，符合题意;当a ≠0时，则Δ=(2a +1)2-8a =0，4a 2-4a +1=0，解得12a =综上，a =0或12a =.14.54a =-或-1≤a <1详解当x <0时，f (x )单调递减，图象为以y =-x 和y 轴为渐近线的双曲线的一支；当x >0时，有f '(x )=ln x +1，可得.f (x )在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增且min 11()f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，0lim ()0x f x →=，画出图象如下：由题意，f (f (x ))-af (x )+1=0有唯一解，设t =f (x )，则1t e <-，(否则至少对应2个x ，不满足题意)，原方程化为f (t )-at +1=0，即f (t )=at -1，该方程存在唯一解t 0，且01(,)t e∈-∞-.转化为y =f (t )与y =at -1有唯一公共点，且该点横坐标在1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，画图如下：。
重庆市巴蜀中学高三10月月考数学(文)试题
一、选择题（本大题共12题，每题5分，共计60分）1、已知集合U={1,2,3,4,5,6}，A={2,3,5}，B={1,3,4,6}，则集合AC U B=（ ）A 、{3}B 、{2,5}C 、{1,4,6}D 、{2,3,5} 【答案】B 【解析】试题分析：因为{}2,4,5U B =ð，所以{}()2,5U A B =ð，故选B.考点：集合的运算.2、下列函数中，既是奇函数又是周期为π的周期函数的是（ ） A 、y=|tanx| B 、y=sin(2x+3π) C 、y=cos2x D 、y= sinxcosx 【答案】D 【解析】试题分析：四个选项中为奇函数的只有选项D ，且1sin cos sin 22y x x x ==，其周期为π，故选D.考点：三角函数的性质. 3、已知命题p: y=sin(2x+3π)的图像关于(−6π,0)对称；命题q:若2a <2b，则lga<lgb 。
则下列命题中正确的是（ ）A 、p ∧qB 、¬p∧qC 、p ∧¬q D、¬p∨q 【答案】C 【解析】试题分析：当6x π=-时203x π+=，所以点(,0)6π-是函数sin(2)3y x π=+的对称中心，故命题p 为真命题，又0a b <<时，22ab<成立，而ln ,ln a b 均无意义，所以命题q 为假命题，所以命题p q ∧⌝为真命题，故选C.考点：1.三角函数的性质；2.逻辑连结词与命题；3.指数、对数函数的性质.4、在ΔABC 中，若(tanB+tanC)=tanBtanC −1，则sin2A=（ ）A 、−、−12 D 、12【答案】B 【解析】tan )tan tan 1B C B C +=-得tan tan tan()1tan tan B C B C B C ++==-，又因为,B C 为三角形内角，所以150B C +=︒，30,260A A =︒=︒，所以sin 22A =，故选B.考点：三角恒等变换.5、“0<a<4”是“命题‘∀x ∈R ，不等式x 2+ax+a ≥0成立’为真命题”的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：x R ∀∈不等式20x ax a ++≥恒成立24004a a a ⇔∆=-≤⇔≤≤，所以“04a <<”是“x R ∀∈不等式20x ax a ++≥恒成立”的充分不必要条件，故选A. 考点：1.二次不等式；2.充分条件与必要条件.6、已知函数f(x)= 6x−log 2x ，在下列区间中，函数f(x)的零点所在区间为（ ）A 、(0,1)B 、(1,2)C 、(2,4)D 、(4,+∞) 【答案】C 【解析】试题分析：因为26()log f x x x =-在定义域内是减函数，且26(2)log 2202f =-=>，261(4)log 4042f =-=-<，根据零点存在定理可知，函数()f x 的零点在区间(2,4)上，故选C.考点：1.函数与方程；2.零点存在定理；3.函数单调性.7、要得到函数y=sin(x+6π)的图像，只需要将函数y=cosx 的图像（ ） A 、向左平移3π个单位 B 、向左平移6π个单位C 、向右平移3π个单位D 、向右平移6π个单位【答案】C 【解析】试题分析：将函数cos sin sin 22y x x x ππ⎛⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向右平移φ个单位后得到的函数为sin()2y x πφ=-+,由26ππφ-=得3πφ=，故选C.考点：函数图象的平移变换.8、已知角α的终边上有一点P(1,3)，则 的值为（ ）A 、−25 B 、−45 C 、−47D 、−4 【答案】A 【解析】试题分析：sin()sin()sin cos tan 123sin 2cos tan 2cos()2cos()2ππαααααπααααπα--+--==----++-+，又因为角α终边上有一点(1,3)P ，所以tan 3α=，所以原式312325-==---，故选A.考点：1.三角函数定义；2.诱导公式；3.同角三角函数关系.9、一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50︒的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65︒，那么B 、C 两点间的距离是（ ） A 、10海里 B 、10海里 C 、20里 D 、20海里【答案】A 【解析】试题分析：如下图所示，由题意可知，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，140202AB =⨯=，所以1801053045C ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin sin BC ABBAC C=∠∠，所以sin sin ABBC BAC C=⨯∠=∠ A.考点：正弦定理.10、已知()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当x ∈（0,1）时，()f x =3x−1，则f(log 35)=（ ） A 、45 B 、−45 C 、4 D 、49【答案】B 【解析】试题分析：因为()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以(2)(),()()f x f x f x f x +=-=-，又31log 52<<，所以31log 520-<-<，所以39log 5333394(log 5)(log 52)(2log 5)(log )(31)55f f f f =-=--=-=--=-，故选B.考点：1.函数的表示；2.函数的奇偶性与周期性.11、已知函数f(x)在实数集R 上具有下列性质：①f(x+2)=−f(x)；②f(x+1)是偶函数；③当x 1≠x 2∈时，(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)<0，则f(2011),f(2012),f(2013)的大小关系为（ ） A 、f(2011)> f(2012)> f(2013) B 、f(2012)> f(2011)> f(2013) C 、f(2013)>f(2011)>f(2012) D 、f(2013)> f(2012)>f(2011) 【答案】D 【解析】试题分析：由(2)()f x f x +=-得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以函数是以4为周期的周期函数，又(1)f x +是偶函数，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，即()(2)f x f x =-，由()()2121()()0f x f x x x --<可知函数()f x 在区间[1,3]上是减函数，(2012)(4503)(0)(2)f f f f =⨯==，(2011)(45023)(3)f f f =⨯+=，(2013)(45031)(1)f f f =⨯+=，所以(1)(2)(3)f f f >>，即(2013)(2012)(2011)f f f >>，故选D. 考点：函数的单调性、奇偶性与周期性.12、已知函数f(x)=2mx 3−3nx 2+10(m>0)有且仅有两个不同的零点，则lg 2m+lg 2n 的最小值为 （ ）A 、B 、19C 、D 、【答案】D 【解析】试题分析：2()666()n f x mx nx mx x m '=-=-,由()0f x '=得，0x =，nx m=，即函数的两个极值点为0x =，nx m=，又因为(0)100f =>，函数有两个不同的零点，所以3232()2310100n n n n f m n n m m m ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()12310n m =， 所以()()()()()2212222222312ln ln ln ln ln ln 10ln ln 33m n m n m m m m ⎛⎫⎛⎫+=+=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21341ln ln 999m m =++, 当2ln 13m =-时，22ln ln m n +有最小值113，故选D.考点：1.导数与函数的极值；2.函数与方程；3.二次函数. 二、填空题（本大题共4题，每题5分，共计20分） 13、曲线y=e x在点(0，1)处的切线方程为_________________ 【答案】1+=x y 【解析】试题分析：,xy e '=∴曲线xy e =在点(0,1)处切线的斜率01k e ==，所以切线方程为10y x -=-即1y x =+.考点：导数的几何意义.14、函数y=sin2x −cos2x,x ∈的值域为____________ 【答案】]2,1[-考点：1.两角和与差的正弦公式；2.三角函数的图象和性质. 15、在ΔABC 中，3sinA=4sinB=6sinC ，则cosB=____________ 【答案】1611【解析】试题分析：因为3sin 4sin 6sin A B C ==，由正弦定理可得346a b c ==，令34612a b c m ===，则4,3,2a m b m c m ===，由余弦定理可得()()()22222242311cos 224216m m m a c b B ac m m +-+-===⨯⨯.考点：正弦定理和余弦定理.16、已知函数f(x)=| x −1|+1和g(x)=(a>0)，若对任意x 1∈，存在x 2∈使得g(x 2)≥f(x 1)，则实数a 的取值范围为____________ 【答案】24a e≥考点：1.函数与不等式；2.导数与函数的单调性. 三、解答题17（本小题满分12分）已知函数()f x = | x +1|−|2x −1|。
安徽省合肥市2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学含答案
合肥2025届高三10月段考试卷数学（答案在最后）考生注意：1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合{A x x =<，1ln 3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．{x x <B ．{x x <C ．{0x x <<D ．{0x x <<2．设a ，b 均为单位向量，则“55a b a b -=+”是“a b ⊥ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列{}n a 满足()111n n a a +-=，若11a =-，则10a =（）A ．2B ．－2C ．－1D ．124．已知实数a ，b ，c 满足0a b c <<<，则下列不等式中成立的是（）A ．11a b b a+>+B ．22a b aa b b+<+C ．a b b c a c<--D ．ac bc>5．已知a ∈R ，2sin cos 2αα+=，则tan 2α=（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距15米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（1）到（10）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）A ．（1）和（10）B ．（4）和（5）C ．（5）和（6）D ．（4）和（6）7．设0.1e1a =-，111b =，ln1.1c =，则（）A ．b c a <<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．a c b<<8．定义在R 上的奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭，()12024e f =．若()()0f x f x '+->，则不等式()11ex f x +>的解集是（）A ．()3,+∞B ．(),3-∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．已知O 为坐标原点，点()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()3cos 3,sin 3P ，()1,0Q ，则（）A ．12OP OP = B ．12QP QP =C ．312OQ OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OQ OP OP OP ⋅=⋅ 10．三次函数()32f x x ax =++叙述正确的是（）A ．当1a =时，函数()f x 无极值点B ．函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称C ．过点()0,2的切线有两条D ．当a <－3时，函数()f x 有3个零点11．已知()2sin 2f x x =+，对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()123f x f x α=+成立，则下列选项中，α可能的值是（）A ．3π4B ．4π7C ．6π7D ．8π7三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知复数1+与3i 在复平面内用向量OA 和OB 表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则OA与OB夹角为______．13．函数2x y m m =-+在(],2-∞上的最大值为4，则m 的取值范围是______．14．设a 、b 、[]0,1c ∈，则M =+______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin 0a C C b c --=．（1）求角A ；（2）已知8b =，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得ABC △存在，并求出ABC △的面积．条件①：2cos 3B =-；条件②：7a =；条件③：AC ．（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）16．（15分）某地区上年度天然气价格为2.8元/3m ，年用气量为3m a ．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/3m 至2.75元/3m 之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/3m ，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k ）．已知天然气的成本价为2.3元/3m ．（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y （单位：元）关于实际单价x （单位：元/3m ）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））（2）设0.2k a =，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?17．（15分）已知函数()824x x xa f x a +⋅=⋅（a 为常数，且0a ≠，a ∈R ），且()f x 是奇函数．（1）求a 的值；（2）若[]1,2x ∀∈，都有()()20f x mf x -≥成立，求实数m 的取值范围．18．（17分）已知函数()()2ln f x x x =-（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在()()22e ,ef 处切线方程；（3）若()f x m =有两解1x ，2x ，且12x x <，求证：2122e e x x <+<．19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．（2）①已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅，都是正数，求证：12n a a a n++⋅⋅⋅+≥；②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．合肥2025届高三10月段考试卷·数学参考答案、提示及评分细则题号1234567891011答案DCCBBCACACABDAC一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】D【解析】131ln 0e 3x x <⇒<<，∵23e 2<，∴661132e 2⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．2．【答案】C【解析】∵“55a b a b -=+ ”，∴平方得222225102510a b a b a b a b +-⋅=++⋅，即200a b ⋅= ，则0a b ⋅= ，即a b ⊥，反之也成立．故选C ．3．【答案】C 【解析】因为111n n a a +=-，11a =-，所以212a =，32a =，41a =-，所以数列{}n a 的周期为3，所以101a =-．故选C ．4．【答案】B【解析】对于A ，因为0a b <<，所以11a b >，所以11a b b a+<+，故A 错误；对于B ，因为0a b <<，所以()()()()222220222a b b a a b a b a b a a b b a b b a b b+-++--==<+++，故B 正确；对于C ，当2a =-，1b =-，1c =时，13b a c =-，1a b c =-，b aa cb c<--，故C 错误；对于D ，因为a b <，0c >，所以ac bc <，故D 错误．故选B ．5．【答案】B【解析】102sin cos 2αα+=，则()252sin cos 2αα+=，即2254sin 4sin cos cos 2αααα++=，可得224tan 4tan 15tan 12ααα++=+，解得tan 3α=-或13．那么22tan 3tan 21tan 4ααα==-．故选B ．6．【答案】C【解析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x ，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：1152151015S x x x =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯．若S 取最小值，则函数()()()()22222221210101101210y x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++⋅⋅⋅+也取最小值，由二次函数的性质，可得函数()2222101101210y x x =-+++⋅⋅⋅+的对称轴为 5.5x =，又∵x 为正整数，故5x =或6．故选C 7．【答案】A【解析】构造函数()1ln f x x x =+，0x >，则()211f x x x'=-，0x >，当()0f x '=时，1x =，01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．∴()f x 在1x =处取最小值()11f =，∴1ln 1x x>-，（0x >且1x ≠），∴101ln1.111111>-=，∴c b >；构造函数()1e 1ln x g x x -=--，1x >，()11ex g x x-'=-，∵1x >，1e1x ->，11x<，∴()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增，∴()()10g x g >=，∴ 1.11e 1ln1.1-->，即0.1e 1ln1.1->，∴a c >．故选A ．8．【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，因为()()0f x f x '+->，所以()()0f x f x '+>，令()()e x g x f x =，()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，()g x 在R 上单调递增．又因为()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭且()f x 是奇函数，所以()f x 的周期为3，()12024e f =，则()12ef =，所以()212e e e g =⨯=，则不等式()()()()111e 1e 12ex x f x f x g x g ++>⇒+>⇒+>，因为()g x 在R 上单调递增，所以12x +>，即1x >．故选C ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．【答案】AC【解析】∵()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()()()3cos 12,sin 12P ++，()1,0Q ，∴()1cos1,sin1OP = ，()2cos 2,sin 2OP =- ，()()()3cos 12,sin 12OP =++ ，()1,0OQ = ，()1cos11,sin1QP =- ，()2cos 21,sin 2QP =-- ，易知121OP OP == ，故A 正确；∵1QP = ，2QP = 12QP QP ≠ ，故B 错误；()3cos 12cos1cos 2sin1sin 2OQ OP ⋅=+=- ，12cos1cos 2sin1sin 2OP OP ⋅=-，∴312OQ OP OP OP ⋅=⋅ ，故C 正确；1cos1OQ OP ⋅= ，23cos 2cos 3sin 2sin 3cos 5cos1OP OP ⋅=-=≠，故D 错误．故选AC ．10．【答案】ABD【解析】对于A ：1a =，()32f x x x =++，()2310f x x '=+>，()f x 单调递增，无极值点，故A 正确；对于B ：因为()()4f x f x +-=，所以函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称，故B 正确；对于C ：设切点()()1,x f x ，则切线方程为()()()111y f x f x x x '-=-，因为过点()0,2，所以()()()112f x f x x '-=-，331111223x ax x ax ---=--，解得10x =，即只有一个切点，即只有一条切线，故C 错误；对于D ：()23f x x a '=+，当3a <-时，()0f x '=，x =，当,x ⎛∈-∞ ⎝时，()0f x '>，()f x 单调递增，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 有极大值为20f ⎛=> ⎝，所以若函数()f x 有3个零点，()f x有极小值为20f =<，得到3a <-，故D 正确．故选ABD ．11．【答案】AC【解析】∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]1sin 0,1x ∈，∴()[]12,4f x ∈，∵对任意的1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得()()123f x f x a =+成立，∴()2min 23f x α+≤，()2max 43f x α+≥，∴()2sin 2f x x =+，∴()2min 2sin 3x α+≤-，()2max 1sin 3x α+≥-，sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．当3π4α=时，23π5π,44x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 3π1sin sin043x α+=>>-，()2min 5π2sin sin42x α+==-23<-，故A 正确，当4π7α=时，24π15π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 15π7π12sin sin sin 14623x α+=>=->-，故B 错误，当6π7α=时，26π19π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 6π1sin sin073x α+=>>-，()2min 19πsin sin14x α+=<4π2sin 323=-<-，故C 正确，当8π7α=时，28π23π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 8π9π1sin sin sin 783x α+=<=-．故错误．故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．【答案】π6【解析】由题知(OA = ，()0,3OB =，cos ,2OA OB OA OB OA OB⋅==⋅，∴π6AOB ∠=．故本题答案为π6．13．【答案】(],2-∞【解析】当0m ≤时，函数2x y m m =-+的图象是由2xy =向上平移m 个单位后，再向下平移m 个单位，函数图象还是2xy =的图象，满足题意，当02m <≤时，函数2x y m m =-+图象是由2xy =向下平移m 个单位后，再把x 轴下方的图象对称到上方，再向上平移m 个单位，根据图象可知02m <≤满足题意，2m >时不合题意．故本题答案为(],2-∞．14．23【解析】不妨设01a b c ≤≤≤≤，则3M b a c b c a =---，()622b a c b a c b c a --≤-+-=-∴32323M b a c b c a c a =----+，当且仅当b a c b -=-，0a =，1c =，即0a =，12b =，1c =时，等号成立．23+．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）因为cos 3sin 0a C a C b c +--=，由正弦定理得sin cos 3sin sin sin 0A C A C B C +--=．即：()sin cos 3sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=，()3sin cos sin sin 0sin 0A C A C C C --=>3cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以ππ66A -=，得π3A =；（2）选条件②：7a =．在ABC △中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即222π7816cos3c c =+-⋅．整理得28150c c -+=，解得3c =或5c =．当3c =时，ABC △的面积为：1sin 632ABC S bc A ==△，当c=5时，ABC △的面积为：1sin 1032ABC S bc A ==△选条件③：AC，设AC边中点为M，连接BM，则BM=，4AM=，在ABM△中，由余弦定理得2222cosBM AB AM AB AM A=+-⋅⋅，即2π21168cos3AB AB=+-⋅．整理得2450AB AB--=，解得5AB=或1AB=-（舍）．所以ABC△的面积为1sin2ABCS AB AC A=⋅⋅=△．16．【解析】（1）()2.32.4ky a xx⎛⎫=+-⎪-⎝⎭，[]2.55,2.75x∈；（2）由题意可知要同时满足以下条件：()()[]0.2 2.3 1.2 2.8 2.32.42.55,2.75a a x axx⎧⎛⎫+-≥-⎪⎪-⎝⎭⎨⎪∈⎩，∴2.6 2.75x≤≤，即单价最低定为2.6元/3m．17．【解析】（1）()1122xxf xa=⨯+，因为()f x是奇函数，所以()()f x f x-=-，所以11112222x xx xa a⎛⎫⨯+=-⨯+⎪⎝⎭，所以111202xxa⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以110a+=，1a=-；（2）因为()122xxf x=-，[]1,2x∈，所以22112222x xx xm⎛⎫-≥-⎪⎝⎭，所以122xxm≥+，[]1,2x∈，令2xt=，[]1,2x∈，[]2,4t∈，由于1y tt=+在[]2,4单调递增，所以117444m≥+=．18．【解析】（1）()f x的定义域为()0,+∞，()1lnf x x'=-，当()0f x'=时，ex=，当()0,ex∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在区间()0,e 内为增函数，在区间()e,+∞为减函数；（2）()2e 0f =，()22e 1ln e 1f '=-=-，所以()()22e ,ef 处切线方程为：()()201e y x -=--，即2e 0x y +-=；（3）先证122e x x +>，由（1）可知：2120e e x x <<<<，要证12212e 2e x x x x +>⇔>-，也就是要证：()()()()21112e 2e f x f x f x f x <-⇔<-，令()()()2e g x f x f x =--，()0,e x ∈，则()()()2ln 2e 2ln e 2e e 0g x x x '=--≥--=，所以()g x 在区间()0,e 内单调递增，()()e 0g x g <=，即122e x x +>，再证212e x x +<，由（2）可知曲线()f x 在点()2e ,0处的切线方程为()2e x x ϕ=-，令()()()()()222ln e 3ln e m x f x x x x x x x x ϕ=-=---+=--，()2ln m x x '=-，∴()m x 在e x =处取得极大值为0，故当()0,e x ∈时，()()f x x ϕ<，()()12m f x f x ==，则()()2222e m f x x x ϕ=<=-，即22e m x +<，又10e x <<，()()111111112ln 1ln m f x x x x x x x x ==-=+->，∴2122e x x m x +<+<．19．【解析】（1）将20分成正整数1,,n x x ⋅⋅⋅之和，即120n x x =+⋅⋅⋅+，假定乘积1n p x x =⋅⋅⋅已经最大．若11x =，则将1x 与2x 合并为一个数1221x x x +=+，其和不变，乘积由122x x x =增加到21x +，说明原来的p 不是最大，不满足假设，故2i x ≥，同理()21,2,,i x i n ≥=⋅⋅⋅．将每个大于2的22i i x x =+-拆成2，2i x -之和，和不变，乘积()224i i i x x x -≤⇒≤．故所有的i x 只能取2，3，4之一，而42222=⨯=+，所以将i x 取2和3即可．如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p 中2的个数不超过2个．那只能是202333333=++++++，最大乘积为6321458⨯=；（2）①证明：先证：1ex x -≥．令()1e x f x x -=-，则()1e 1x f x -'=-，()10f '=，且()()10f x f ≥=，1-≥1,2,,i n =⋅⋅⋅，1111⋅⋅⋅⋅⋅≥，1n ≥0n ≥，∴12n a a a n++⋅⋅⋅+≥②让n 固定，设n 个正实数1,,n x x ⋅⋅⋅之和为20，120n x x n n +⋅⋅⋅+≤=，1220nn p x x x n ⎛⎫=⋅⋅⋅≤ ⎪⎝⎭，要是20nn ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，20ln nn ⎛⎫⎪⎝⎭最大即可，令()()20ln ln 20ln tg t t t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中*t ∈N ，()20ln ln e g t t '=-，∴7t ≤时，()g t 单调递增，8t ≥时，()g t 单调递减，而()()()()87787ln 207ln 78ln 208ln 8ln 8ln 7200g g -=---=-⨯>，所以这些正实数乘积的最大值为7207⎛⎫⎪⎝⎭．。
重庆南开中学2021届高三数学10月月考试题 文（含解析）(1)
重庆南开中学2021届高三10月月考数学（文）试题（解析版）本试卷是高三文科试卷，以基础知识和大体技术为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重骨干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、导数、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一.选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．【题文】1．已知A ，B 为两个集合，假设命题:p x A ∀∈，都有2x B ∈，则 A.:p x A ⌝∃∈，使得2x B ∈ B.:p x A ⌝∃∉，使得2x B ∈ C.:p x A ⌝∃∈，使得2x B ∉D.:p x A ⌝∃∉，使得2x B ∉【知识点】命题及其关系A2【答案解析】C 假设命题:p x A ∀∈，都有2x B ∈,那么:p x A ⌝∃∈，使得2x B ∉， 应选C 。
【思路点拨】依照命题的关系确信非P 。
【题文】2. 已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，那么a 与b A.垂直B.不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案解析】A 因为a b ⋅=（-5）⨯6+6⨯5=0，因此a b ⊥，应选A 。
【思路点拨】依照向量的数量积为0，因此a b ⊥。
【题文】3.设集合{}2|20M x x x =--<,{}|2,N y y x x M ==∈,则集合()R C MN =A.()2,4-B.()1,2-C.(][),12,-∞-+∞D.()(),24,-∞-+∞【知识点】集合及其运算A1【答案解析】C 由题意得M={x 12x -<<},N={x 24x -<<}那么M N ⋂=M, 因此()R C MN =(][),12,-∞-+∞应选C.【思路点拨】先求出M ,N 再求 M N ⋂再求出结果。
安徽省黄山市屯溪一中2020届高三10月月考(文数)
安徽省黄山市屯溪一中2020届高三10月月考数学（文科）第Ⅰ卷 选择题一、选择题．1．已知集合A ＝{-1，0，1，2，3}，B ＝{x|x 2-2x ＞0}，则A∩B 等于（ ） A ．{3} B ．{2，3} C ．{-1，3} D ．{1，2，3} 2．复数z ＝（1＋2i ）（2＋i ）的共轭复数为（ ） A ．-5i B ．5i C ．1＋5i D ．1-5i3．函数())f x x =-的定义域为（ ）A ．（0，2）B ．[0，2]C ．（0，2]D ．[0，2）4．已知定义在[1-a ，2a-5]上的偶函数f （x ）在[0，2a-5]上单调递增，则函数f （x ）的解析式不可能是（ ）A ．f （x ）＝x 2＋aB ．f （x ）＝-a |x|C ．f （x ）＝x aD ．f （x ）＝log a （|x|＋2） 5．“|x -2|≤5”是“-3≤x≤8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知命题p ：1x ∀，x 2∈R ，（f （x 2）-f （x 1））（x 2-x 1）≥0，则￢p 是（ ） A ．1x ∃，x 2∈R ，（f （x 2）-f （x 1））（x 2-x 1）≤0 B ．1x ∀，x 2∈R ，（f （x 2）-f （x 1））（x 2-x 1）≤0 C ．1x ∃，x 2∈R ，（f （x 2）-f （x 1））（x 2-x 1）＜0 D ．1x ∀，x 2∈R ，（f （x 2）-f （x 1））（x 2-x 1）＜07．若函数f （x ）为R 上的奇函数，且当x≥0时，f （x ）＝e x ＋m ，则1(ln )2f 的值为（ ） A ．-1 B ．2 C ．2 D ．-28．已知函数y ＝f （x ）在区间（-∞，0）内单调递增，且f （-x ）＝f （x ），若12(log 3)a f =，b ＝f（2-1.2），1()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．b ＞a ＞c D ．a ＞b ＞c9．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 kmB．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油10．二次函数f（x）满足f（x＋2）＝f（-x＋2），且f（0）＝3，f（2）＝1，若在[0，m]上f（x）的最大值为3，最小值为1，则m的取值范围是（）A．（0，＋∞）B．[2，＋∞）C．（0，2] D．[2，4]11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，f（x＋2）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x2．若直线y＝x＋a与函数f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A．0 B．0或1 2C．14-或12-D．0或14-12．定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x＋2）＝f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）＝-2x2＋12x-18，若函数y＝f（x）-log a（x＋1）在（0，＋∞）上至少有3个零点，则a的取值范围是（）A．B．(0,2C．D．第Ⅱ卷非选择题二、填空题．13．x，y互为共轭复数，且（x＋y）2-3xyi＝4-6i，则|x|＋|y|＝________．14．对于实数a 和b ，定义运算(1)(),*(1)(),a b a b a b b a a b +>⎧=⎨+<⎩，则式子1221ln e *()9-的值为________．15．设函数2()lg(1)1f x x =-+的定义域为A ，()g x =B ，A B ⊆，则a 的取值范围是________．16．已知函数f （x ）对任意的x ∈R ，都有11()()22f x f x +=-，函数f （x ＋1）是奇函数，当1122x -≤≤时，f （x ）＝2x ，则方程1()2f x =-在区间[-3，5]内的所有零点之和为________．三、解答题．17．已知命题p ：|4-x|≤6，q ：x 2-2x ＋1-a 2≥0（a ＞0），若￢p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．18．已知集合1{|2128}4x A x =≤≤，B ＝{y|y ＝log 2x}，1[,32]8x ∈． （1）若C ＝{x|m ＋1≤x≤2m -1}，()C AB ⊆，求实数m 的取值范围；（2）若D ＝{x|x ＞6m ＋1}，且（A ∪B ）∩D ＝∅，求实数m 的取值范围．19．旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60．设旅行团的人数为x ，飞机票价格为y 元，旅行社的利润为Q 元． （1）写出飞机票价格y 元与旅行团人数x 之间的函数关系式；（2）当旅行团人数x 为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．20．定义在D 上的函数f （x ），若满足：对任意x ∈D ，存在常数M ＞0，都有|f （x ）|≤M 成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，其中M 称为函数f （x ）的上界． （1）设()1x f x x =+，判断f （x ）在11[,]22-上是否是有界函数．若是，说明理由，并写出f （x ）所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由．（2）若函数g （x ）＝1＋2x ＋a·4x 在x ∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．21．若函数f （x ）对定义域中任意x 均满足f （x ）＋f （2a-x ）＝2b ，则函数f （x ）的图象关于点（a ，b ）对称．（1）已知函数2()x mx mf x x++=的图象关于点（0，1）对称，求实数m 的值；（2）已知函数g （x ）在（-∞，0）∪（0，＋∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x ∈（0，＋∞）时，g （x ）＝x 2＋ax ＋1，求函数g （x ）在（-∞，0）上的解析式；（3）在（1）（2）的条件下，若对实数x ＜0及t ＞0，恒有g （x ）＜f （t ）成立，求实数a 的取值范围．22．已知函数1()log 1a mxf x x -=-是奇函数，其中a ＞1． （1）求实数m 的值；（2）讨论函数f （x ）的增减性；（3）当(,x n a ∈-时，f （x ）的值域是（1，＋∞），求n 与a 的值．数学（文科）参考答案1．C 解析：因为{}(){}{}2=202020B x x x x x x x x x ->=->=><或，所以{}1,3A B =-．故选C ． 2．A解析：复数()()12i 2i 5i z =++=，故复数z 的共扼复数为5i -，故选A ．3．D 解析：由题意得解得0,20,x x ≥⎧⎨->⎩解得02x ≤<，故函数的定义域为[)0,2．故选D ．4．B 5．A解析：由25x -≤可得525x -≤-≤，解得37x -≤≤，故“25x -≤”是“38x -≤≤”的充分不必要条件，故选A ． 6．C解析：本题考查全称命题的否定．已知全称命题p ：x M ∀∈，()p x ，则否定为p ⌝：0x M ∃∈，()0p x ⌝，故选C ．7．A解析：因为()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()e x f x m =+，即()00f =．1m =-，因为1ln 02<，即1ln 02->，所以1ln 21ln e 112f -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即11ln ln 122f f ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选A ．8．B解析：因为()()1222log 3log 3log 3a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，且21log 32>， 1.2110222--<<=，所以1.221log 3202->>>．又()f x 在区间(),0-∞内单调递增，且()f x 为偶函数，所以()f x 在区间()0,+∞内单调递减，所以()1.2121log 322f f f -⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b c a >>．故选B ．9．D 解析：对于A ，由图象可知当速度大于40km/h 时，乙车的燃油效率大于5km/L ，所以当速度大于40km/h 时，消耗1L 汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误；对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1L 汽油，甲车的行驶路程最远，所以以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；对于C ，由图象可知当速度为80km/h 时，甲车的燃油效率为10km/L ，即甲车行驶10km 时，耗油1L ，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8L ，故C 错误；对于D ，由图象可知当速度小于80km/h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，所以用丙车比用乙车更省油，故D 正确．故选D ． 10．D解析：因为二次函数()f x 满足()()22f x f x +=-，所以()f x 图象的对称轴是2x =．设其方程为()22y a x b =-+，因为()03f =，()21f =，所以43,1,a b b +=⎧⎨=⎩解得12a =，1b =．所以函数()f x 的解析式()21212y x =-+．因为()03f =，()21f =，()f x 在[]0,m 上的最大值为3，最小值为1，所以2m ≥．又()43f =，由二次函数的性质知，4m ≤．综上，24m ≤≤． 11．D解析：因为()()2f x f x +=，所以函数()f x 的周期为2，如图．由图知，直线y x a =+与函数()f x 的图象在区间[]0,2内恰有两个不同的公共点时，直线y x a =+经过点()1,1或与()2f x x =相切于点A ，所以11a =+，即0a =，或2x x a =+，所以140a ∆=+=，即14a =-．故选D ．12．A解析：因为()()()21f x f x f +=-，令1x =-，所以()()()111f f f =--．因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()11f f =-，所以()10f =．所以()()2f x f x =+，即函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数．当[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+-．令()()log 1a g x x =+，则()f x 与()g x 在[)0,+∞的部分图象如图所示．由()()log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至少有3个零点，可知函数()f x 与()g x 的图象在()0,+∞上至少有3个交点．()g x 在()0,+∞上单调递减，则01,log 32,aa <<⎧⎨>-⎩解得0a <，故选A ． 13．解析：设i x a b =+，i y a b =-，a ，b ∈R ，代入()23i 46i x y xy +-=-得()()22223i 46i a a b -+=-，所以()224a =，()2236a b +=，解得1a =，1b =，所以x y +=14．解析：因为()()()()1,*1,a b a b a b b a a b +>⎧=⎨+<⎩而1221lne 239-⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，所以()1221lne *32199-⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭．答案：9 15．解析：由2101x ->+，可得11x -<<，{}11A x x ∴=-<<，由()210x a --≥，可得1x a -≥或1x a -≤-．A B ⊆，11a ∴-≥+或11a ≤-，2a ∴≤-或2a ≥．答案：(][),22,-∞-+∞16．解析：因为函数()1f x +是奇函数，所以函数()1f x +的图像关于点()0,0对称．把函数()1f x +的图像向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则()()2f x f x -=-．又因为1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()1f x f x -=，从而()()21f x f x -=--，再用x 替换1x -可得()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，即函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称．如图，()12f x =-在区间[]3,5-内有8个零点，所有零点之和为12442⨯⨯=．答案：417．解：由p ⌝：46x ->，解得10x >或2x <-，记{}02A x x x =><-或；q ：22210x x a -+-≥，解得1x a ≥+或1x a ≤-，记{}11B x x a x a =≥+≤-或．而p q ⌝⇒，q p ⇒⌝，所以A ⫋B ，即12,110,0.a a a -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩所以03a <≤．所以a 的取值范围是(]0,3． 18．解：（1）{}27A x x =-≤≤，{}35B y y =-≤≤，{}25A B x x =-≤≤．①若C =∅，则121m m +>-，所以2m <；②若C =∅，则121,12,215,m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩所以23m ≤≤．综上，即m 的取值范围是(],3-∞．（2）{}37AB x x =-≤≤，所以617m +≥，所以1m ≥．即m 的取值范围是[)1,+∞．19．解：（1）依题意得，()()800135,1011503560.x x y x x x ⎧≤≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩N N 且且（2）设利润为Q ，则15000Q y x =⋅-=()()280015000135,101150150003560.x x x x x x x ⎧-≤≤∈⎪⎨-+-<≤∈⎪⎩N N 且且 当135x x ≤≤∈N 且且时，max 800351500013000Q =⨯-=（元）；当3560x x <≤∈N 且时，2115361251022Q x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，57x ∴=或58时，旅行社可获最大利润为18060元．20．解：（1）()1111x f x x x ==-++，则()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以()1122f f x f ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()113f x -≤≤；所以()1f x ≤，所以()f x 是有界函数．故()f x 所有上界的值的集合为[)1,+∞．（2）因为函数()124x x g x a =++⋅在[]0,2x ∈上是以3为上界的有界函数，所以()3g x ≤在[]0,2上恒成立，即()33g x -≤≤，所以31243x x a -≤++⋅≤，所以41214242x x x xa --≤≤-． 令12x t =，则1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故2242t t a t t --≤≤-在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，故，()()22max min 42t t a t t --≤≤-，1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1128a -≤≤-．故实数a 的取值范围为11,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．21．解：（1）因为函数()f x 的图象关于点()0,1对称，所以()()2f x f x +-=，即：222x mx m x mx m x x ++-++=-，所以22m =，所以1m =． （2）因为函数()g x 在()(),00,-∞+∞上的图象关于点()0,1对称，则()()2g x g x +-=， 所以()()2g x g x =--，当0x <时，0x ->，所以()21g x x ax -=-+，所以()()221g x g x x ax =--=-++．（3）由（1）知，()()21110t t f t t t t t++==++>，所以()min 3f t =．又当0x <时，()21g x x ax =-++，所以()213g x x ax =-++<，所以22ax x <+． 又0x <，所以2a x x>+，所以a >-22．解：（1）因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以111log log log 111a a amx mx x x x mx+--=-=----，所以1111mx x x mx+-=---，即22211m x x -=-对定义域内任意x 都成立，所以21m =，1m =±．由于101mxx ->-，所以1m =-. （2）()1log 1a xf x x +=-的定义域为()(),11,-∞-+∞．当0a >时，()1l o g 1axf x x +=-，任取1x ，()21,x ∈+∞，12x x <，则()()12121211log log 11aa x x f x f x x x ++-=-=--121212121212111l o g l o g 111a ax x x x x x x x x x x x ⎛⎫+--+-⋅= ⎪-++--⎝⎭； 因为1x ，()21,x ∈+∞，12x x <，所以，12121212111x x x x x x x x -+->+--，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在()1,+∞上单调递减．又因为()f x 是奇函数，所以()f x 在(),1-∞-上也单调递减． （3）因为(,x n a ∈-，定义域为()(),11,-∞-+∞，①当1n ≥时，则1n a ≤<-即12a >+因为()f x在(,n a -上为减函数，值域为()1,+∞，所以(1f a -=，a =，所以3a =，或1a =（不合题意，舍去），且1n =； ②当1n <时，((),,1n a -⊆-∞-，所以1n a <--，即1a <，且()f x在(,n a -上为减函数，值域是()1,+∞；所以(1f a -=a =，解得3a （不合题意，舍去），或1a （与1a >矛盾，舍去）．综上，3a ，1n =.。
2021-2022年高三10月月考数学(文)试题(缺答案)
2021-2022年高三10月月考数学（文）试题（缺答案）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．在等差数列中，已知，则（）A．12 B．16 C．20 D．242．若、是任意实数，且，则下列不等式成立．．的是（）A．B．C．D．3．已知集合，，则为（）A．B．C．D．4．函数的最大值与最小值之和为（）A．B．0 C．D．5．在中，若，则是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则②若，则③若，则④若，则其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．函数25()cos log 22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．1D ．9．已知函数，则满足不等式的的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设表示满足不等式200(*)10x y n N y nx n ⎛> >∈ ≤-+⎝的整数对的个数（其中整数对是指都为整数的有序实数对），则=（ ）A ．1012B ．2014C ．4024D ．4028第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡II 上相应位置（只填结果，不写过程）11．若直线和平行，则实数的值为_______12．已知，若恒成立，则实数的取值范围是_________13．已知向量与向量的夹角为60°，若向量，且，则的值为______14．已知奇函数满足，且当时，有，则=_______15．已知正方体的棱长为1，正方体内衣球与面均相切，正方体内另一球与面11111111,,ADD A A B C D CDD C 均相切，且两球外切，那么两球表面积之和的最小值是_________三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡II 上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（13分）（1）已知直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线被圆22:2220O x y x y +-+-=所截得的线段长为，求直线的方程。
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重庆一中高级高三10月月考数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数x x x f cos sin )(=的是A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数2．函数)1(log )(>-=a x x f a 常数的大致图像是3．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，连结BD 、B 1D 1，则直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的大小为A ．75ºB ．60ºC ．45ºD ．30º4．两个正数a,b 的等差中项是5，等比中项是4，且a>b ，则椭圆122=+by a x 的离心率e 等于A ．25B ．21 C ．23 D ．22 5．下列命题中正确的是A ．底面是矩形的平行六面体是长方体；B ．棱长都相等的直四棱柱是正方体；C ．侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；D ．对角线相等的平行六面体是直平行六面体； 6．函数x y 2sin =的图像按向量)0,6(π-=平移后的图像的一个中心对称点为A ．)0,3(πB ．)0,12(π-C ．)0,2(πD ．)0,12(π7．有下列四个命题：①“直线b a ⊥”的充分不必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”。
②“OM ∥O 1M 1且ON ∥O 1N 1”是“∠MON=∠M 1O 1N 1”的必要不充分条件。
③“直线α平面⊥l ”的充要条件是“直线α平面⊥l 内的无数条直线”。
④“平面α的斜线段AB ，AC 在α的射影A′B′与A′C′相等”是“AB=AC”的充要条件。
其中正确命题的个数是 A ．3B ．2C ．1D ．08．如图在斜棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC=90º，又BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥平面ABC ，垂足为H ，则有A ．H 在直线AC 上B ．H 在直线AB 上C ．H 在直线BC 上D ．H 在△ABC 内9．已知三棱锥S —ABC 底面的面积为144，一个平行于底面的截面的面积为64，若截面与底面的距离为6，则此三棱锥S —ABC 的高为A ．12B ．18C ．316D ．334 10．已知为O 原点，点)sin 2,cos 2(1),(22θθQ ，y x y x P 点上在单位圆=+满足)32,34(-=，则=⋅A ．1825B ．2516C ．165D ．3625第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
把答案填写在答题卡相应位置上。
11．长方体的长、宽、高的长度分别是2、3、4，则其对角线的长为 12．等比数列534,3,}{a a a a n 则中==13．点0134)3,(=+-y x a P 到直线的距离等于4，且在不等式032<-+y x 表示的平面区域内，则点P 的坐标是 。
14．若145,4522=-++<<-λλλx y 则圆锥曲线的焦点坐标为 15．如图，棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面的中心，E 是CC 1的中点，则异面直线A 1D 与EO 所成的角的大小为16．若二面角βα--l 的平面角大小为32π，直线α⊥m ，则平面β内的直线与m 所成角的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共76分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中点E 、F 分别是AB 1和AB 的中点， （1）求证：BB 1∥平面EFM ；（2）若FM ⊥BC 于点M ，求证：ME ⊥BC 。
18．（12分）解关于x 的不等式331log log 2(1).1xx x+>+-直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，B 1D ⊥BC ，B 1D 与底面ABCD 成30º的角，且AB=4，BC=2，求此直四棱柱的体积。
20．（13分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=90º，AD ∥BC ，AB=BC=1，AD=3，异面直线PD 与BC 所成角为30º（1）求点A 到平面PBC 的距离；（2）求二面角A —PC —B 的平面角的正弦值。
21．（13分）设}{n a 为正项数列，n S 是其前n 项和，且n a 、n S 、2n a 成等差数列， （1）求}{n a 的通项公式； （2）证明：.111113221<++++n n a a a a a a已知△OFQ 的面积为m O =⋅且,62，（1）设6424<<m ，求向量θ夹角与的取值范围；（2）若以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），设11(,0),()F c Q x y ，261)m c =，||OQ 当取最小值时，求此双曲线的方程。
参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ADDCDADB B A11．29 12．9 13．（-3,3） 14．（0,±3） 15．90º16．[2,6]17．（1）∵F 、E 分别是正三棱柱中AB 和AB 1的中点，∴BB 1∥FE又BB 1⊄平面EFM ，FE ⊂平面EFM ，∴BB 1∥平面EFM （2）∵正三棱柱的侧棱BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥BC∵BB 1∥FE ，∴BC ⊥FE又∵MF ⊥BC ，∴BC ⊥平面EFM ，∴BC ⊥MF18．由10110xx x +⎧>⎪-⎨⎪+>⎩，解得11x -<<原不等式等价于12(1)1x x x +>+-，(1)(21)10,112x x x x +-<<<-即有解之得； 原不等式的}121|{<<x x 解集为．19．连结BD ，∵BB 1⊥平面ABCD ，又B 1D ⊥BC ，∴BD ⊥BC （三垂线逆定理） ∵DC=AB=4，BC=2，∴BD=322422=- 又∵BB 1⊥平面ABCD∴∠B 1DB 是B 1D 与面ABCD 所成的角，即∠B 1DB=30º。
在Rt △B1BD 中，BB 1= 230tan =︒⋅BD ∴382322=⋅⋅=⋅=h S V 面积体积20．（1）解法一：∵PA ⊥面ABCD 且AB ⊥BC ，AB 是PB 面ABCD 内的射影∴PB ⊥BC （三垂线定理） ∴PB ⊥面PAB 且BC ⊂面PBC ∴面PBC ⊥面PAB 其交线为PB过A 在平面PAB 内作AH ⊥PB 于H ，则AH ⊥面PBC ∴AH 即为点A 到平面PBC 的距离 又∵AD ∥BC∴∠PDA 即为PD 与BC 所成的角，即∠PDA=30º ∵AD=3，∴PA=AD 330tan =︒⋅，PB=2，AB=1∴23=⋅=PB AB PA AH 解法二：（等积法）设点A 到平面PBC 的距离为d∵PA ⊥面ABCD ，∴PBC A ABC P V V --= 即d S PA S PBC ABC ⋅⋅=⋅⋅∆∆3131 ∵AB=BC=1且∠ABC=90º ，∴21=∆ABC S ，解得23=d（2）∵PA ⊥面ABCD 且PA ⊂面PAC ，∴面PAC ⊥面ABCD 其交线为AC过点B 在平面ABCD 内作BM ⊥AC 于M ，则BM ⊥面PAC又过点M 在平面PAC 内作MN ⊥PC 于N ，连结MN ，则BN ⊥PC （三垂线定理） ∴∠BNM 即为二面角A —PC —B 的平面角 在552512=⋅=⋅=∆PC BC PB BN PBC Rt 中 在22=⋅=∆AC BC AB BM ABC Rt 中 ∴在410sin ==∠∆BN BM BNM BMN Rt 中 即二面角A —PC —B 的平面角的正弦值为41021．（1）由题意得22n n n a a S +=……①，又有21112++++=n n n a a S ……②由②—①得：221112n n n n n a a a a a --+=+++化简整理得))((111n n n n n n a a a a a a -+=++++ ∵0>n a ，∴01>++n n a a ，∴11=-+n n a a又由1021112111=>=+=a a S a a a S n 解得及且∴}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列，∴}{n a 的通项公式为n a n = （2）证明：111)1(111+-=+=+n n n n a a n n∴12231111111111(1)()()1122311n n a a a a a a n n n +++=-+-++-=-<-+ 22．（1）由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=-⋅.cos ||||,62)sin(||||21m FQ OF FQ OF θθπ，∴tan m θ=42m <<∴1tan 43ππθθ<<<<则（2）设所求的双曲线方程为),(),,(),0,0(111112222y c x FQ y x Q b a by a x -=>>=-则点∵△OFQ 的面积62||||211=y OF ，∴c y 641±= 又由2111)146()(),)(0,(c c c x y c x c FQ OF -=-=-=⋅，∴c x 461= .||4,129683||222121最小时当且仅当，c cc y x =≥+=+=此时Q的坐标为)6,6()6,6(-或， 由此可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-161662222b a b a解得22224 1.41212a x yb ⎧=⎪-=⎨=⎪⎩故所求方程为。