二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次微分方程
f ( x) ex[P cosx P sinx] 利用欧拉公式
l
n
ex [Pl
eix eix
2
Pn
eix eix 2i
]
( Pl Pn)e( i) x ( Pl Pn)e(i) x
2 2i
2 2i
P( x)e(i)x P ( x)e(i) x ,
设 y py qy P(x)e( i)x ,
y* 2ixeix 2 x sin x (2 x cos x)i,
所求非齐方程特解为 y 2 x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2 x cos x.
例3 求方程 y y x cos 2 x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 作辅助方程 y y xe2ix ,
设 y c1 ( x)cos x c2 ( x)sin x,
w( x) 1,
c1( x) c2( x)
sin x cos x
ln sec C2
x
tan
x
C1 ,
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
三、小 结
(待定系数法)
y xk Q e(i)x ,
1
m
设 y py qy P( x)e(i)x ,
y
xkex[Q eix m
ix
Qme
]
y2
x kQ e(i) x m
,
xkex[R(1) ( x)cosx R(2) ( x)sinx],
m
m
其中 Rm(1) ( x), Rm(2) ( x)是m次多项式， m maxl,n
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
例2 求微分方程y′′−5y′+6y=xe2x的通解. 解 齐次方程y′′−5y′+6y=0的特征方程为r2−5r +6=0, 其根为r1=2, r2=3. 因为f(x)=Pm(x)eλx=xe2x, λ=2是特征方程的单根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所给方程, 得 >>> −2b0x+2b0−b1=x. 比较系数, 得b0 =− 1 , b1=−1, 故 y*= x(− 1 x−1 e2x . ) 2 2 提示: −2b0=1, 2b0−b1=0. 齐次方程y′′−5y′+6y=0的通解为Y=C1e2x+C2e3x .
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一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊)
提示:
y*′′+py*′+qy* =[Q(x)eλx]′′+[Q(x)eλx]′+q[Q(x)eλx] =[Q′′(x)+2λQ′(x)+λ2Q(x)]eλx+p[Q′(x)+λQ(x)]eλx+qQ(x)eλx =[Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)]eλx.
提示: 此时λ2+pλ+q≠0. 要使(＊)式成立, Q(x)应设为m次多项式: Qm(x)=b0xm+b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1x+bm.
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
其根为r12 r23 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x+2b0b1x
比较系数 得 b0 1 b1 1 故 y* x( 1 x 1)e 2 x 2 2
2b0x+2b0b1x
比较系数 得 b0 1 b1 1 故 y* x( 1 x 1)e 2 x 2 2
提示 2b01 2b0b10 齐次方程y5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x
特解形式
例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60
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一、 f(x)Pm(x)ex 型 设方程y+py+qyP (x)e 特解形式为y*Q(x)e
m x
则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
提示
y*+py*+qy* [Q(x)ex]+[Q(x)ex]+q[Q(x)ex] [Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex [Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
o
x
x
17
h sin pt x = Asin ( k t +ϕ ) + 2 2 k −p
自由振动 强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
h 振 幅 2 将 大! 很 k − p2 • 当 p = k 时, 非齐次特解形式:
而 2r + a ≠ 0 , 则令 Q ( x ) = x Qm ( x ) , 即
y = xQm ( x)e
∗
rxБайду номын сангаас
5
′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x) Q
情形3 情形3
(*)
是特征方程的二重 二重根 若 r 是特征方程的二重根, 即 r 2 + ar + b = 0 ,
3x
1 3 3x + x e . 6
10
3x 的通解. 例6 求微分方程 y′′ − 6 y′ + 9 y = x e 的通解.
解
特征方程 λ2 − 6λ + 9 = 0 , 特征根 λ1, 2 = 3 ，
对应齐次方程通解 Y = (C1 + C 2 x ) e 3 x .
是二重特征根, 因为 r = 3 是二重特征根,
y′′ + ay′ + by = f (x) 对应齐次方程 y′′ + ay′ + by = 0
(1) (2)
是方程(1) 的一个特解, (1)的一个特解 定理2 定理2 设 y ∗ ( x ) 是方程 (1) 的一个特解,
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex
提示
此时2+p+q0 但2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+1次多项式 Q(x)xQm(x)
其中Qm(x)b0xm +b1xm1+ +bm1x+bm
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex (3)如果是特征方程r2+pr+q0的重根 则 y*x2Qm(x)ex
方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取
为0、1或2
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例1 求微分方程y2y3y3x+1的一个特解
解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x+1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y*b0x+b1 把它代入所给方程 得
3b0x2b03b13x+1
6.7二阶常系数非齐次线性微分方程
2
e Pm ( x )
Pm ( x ) 为 m 次多项式 . 设特解为
其中
x
Q( x )
Q( x )
为待定多项式,
p y* e
y* e
[ p Q ( x ) p Q ( x )]
[ Q ( x ) 2 Q ( x ) Q ( x )]
②
代入原方程① , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 Q (x)为 m 次多项式 系数由②式确定， 从而得到 特解的形式为
(3). 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
1
21
作业 36页习题6-7
1.(1),(3), 2. 4. 6.
作业本写上班级姓名
22
x x x (1 a b ) x e c e (2 a ) e (1 a b) e x x 对应齐次方程通解: Y C e C e x
1 2 x x
原方程通解为 y C 1 e C 2 e e x e 1 a1 b (0 C ex C 2 1) e x x e x 比较系数得 2 a cx x x y C e C e x e 即 1 1 a b0 2 其中 ( C 2 C 2 1)
是特征方程的根。 不是特征方程的根。 不是特征方程的根。
18
例9. 求微分方程 (其中 为实数 ) .
2
e
x
的通解
解: 特征方程 r 4r 4 0, 特征根: r1 对应齐次方程通解:
e
x
2 x
r2 2
1) 2 时, 令 y A e
1 , 代入原方程得 A ( 2)2
2 p 0 ,
3.非齐次微分方程
有根
x ( d cos x k sin x )
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例7. 第六节例1 (P323)中, 若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 F h sin pt 的作用 , 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程
d x dt
2 2
k
2
x h sin p t
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Q ( x )
( p q ) Q ( x ) Pm ( x )
2
(2) 若 是特征方程的单根 , 即 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
则 Q ( x ) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y * x Q m ( x ) e
于是求得一个特解
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例5. 解: 特征方程为 r 2 9 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 代入方程:
6 b cos 3 x 6 a sin 3 x
比较系数, 得 因此特解为 y * x ( 5 cos 3 x 3 sin 3 x )
y* x
k
e
x
~ [ R m ( x ) cos x R m ( x ) sin x ]
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
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思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
y * x ( a x b ) cos x ( cx d ) sin x
Pm ( x ) e
( i ) x
微分方程-二阶常系数非齐次线性微分方程
从而
∗ y1 = −2ixe ix = −2ix (cos x + i sin x )
= 2 x sin x + ( −2 x cos x ) i ,
Q
f ( x ) = 4 sin x = Im(4e ix )
(4e 的虚部)
ix
∗ ∴ 原方程有特解： y∗ = Im( y1 ) = −2 x cos x
λ = 1 是特征单根，k = 1
∗ ∴ 可设立特解： y2 = x ⋅ ce x ,
由解的叠加原理， 对于 y ′′ − y ′ = xe − x + e x ,
∗ ∗ ∴ 可设立特解： y∗ = y1 + y2
例2 求方程 y′′ − 3 y′ + 2 y = xe 2 x 的通解 . 解 1°特征方程 特征根
λ = 0不是特征根， k = 0
∴ 可设立(1)的特解形为
y∗ = Ax + B
( y∗ )′ = A, ( y∗ )′′ = 0
代入(1)，得
1 ∴ A= B= 2 a
a 2 ( Ax + B ) = x + 1
1 故(1)有特解： y = 2 ( x + 1) a
∗
∴ 当a > 0时， (1)的通解为： 1 y = C1 cos ax + C 2 sin ax + 2 ( x + 1). a
作变量变换
x = e t 或 t = ln x ,
将自变量换为 t ,
d y d y dt 1 d y = = , d x dt d x x dt
d2 y 1 ⎛ d2 y d y ⎞ ⎟, = 2⎜ 2 − dt ⎟ d x2 x ⎜ d t ⎠ ⎝
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在数学的领域中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的研究对象。
它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们深入探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法以及相关例题。
首先，我们来明确一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中＄p$、＄q$ 是常数，＄f(x)＄是一个已知的函数。
为了求解这个方程，我们通常分为两个步骤：第一步，先求解对应的齐次方程：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$ 。
对于这个齐次方程，我们假设它的解为＄y ＝ e^｛rx}＄，代入方程中得到特征方程：＄r^2 ＋ pr ＋ q ＝ 0$ 。
通过求解这个特征方程，可以得到两个根＄r_1$ 和＄r_2$ 。
当＄r_1$ 和＄r_2$ 是两个不相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄；当＄r_1 ＝ r_2$ 是相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝（C_1 ＋ C_2x)e^｛r_1x}＄；当＄r_1$ 和＄r_2$ 是一对共轭复根＄r_{1,2} ＝＼alpha ＼pm ＼beta i$ 时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos(＼beta x) ＋ C_2\sin(＼beta x)）＄。
第二步，求出非齐次方程的一个特解＄y_p$ 。
求特解的方法通常根据＄f(x)＄的形式来决定。
常见的形式有以下几种：1、当＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄P_n(x)＄是＄n$ 次多项式。
如果＄＼alpha$ 不是特征根，设特解为＄y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄Q_n(x)＄是与＄P_n(x)＄同次的待定多项式；如果＄＼alpha$ 是特征方程的单根，设特解为＄y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼alpha x}＄；如果＄＼alpha$ 是特征方程的重根，设特解为＄y_p ＝x^2Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄。
第十二章 第9节 二阶常系数非齐次线性微分方程
~ 解 本题 λ = 0 , ω = 2 , P(x) = x , P(x) = 0 , m=1 l n
的一个特解. 例8 求方程 y′′ + y = xcos 2x 的一个特解
* 特解为 y = ( a x + b)cos 2x + (c x + d)sin2x
代入方程得
于是求得一个特解 m =n, l } m = ax{
4 2
利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为
y* = x (ax + b)+ ce + x( d cos x + k sin x).
2
x
15
思考与练习
y′′ + 4y′ + 4y = ea x 的通解 . 1. 求方程 r = r = −2 r2 + 4r + 4 = 0 提示: 提示 1 2
Y = (C +C2 x)e 1 ax 1) 当a ≠ −2时, 设特解 y = Ae 2 ax 2) 当 a = −2时, 设特解 y = B x e .
* * * 则所求特解为 y = y1 + y2
*
特征方程为 r 2 − 4r + 4 = 0, 解得r1,2= 2.
y = Ax + Bx + C ,
* 1 2
* 重根） y2 = Dx 2e 2 x（重根）
* * y * = y1 + y2 = Ax 2 + Bx + C + Dx 2 e 2 x .
y = x[(ax + b)cos x+(cx + d)sin x ] *
2x
2) 当 f (x) = xcos2x + e 时可设特解为
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单 的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了 微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立 的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
02
03
04
05
二阶常系数非齐次线性 该方程具有以下特点 微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函 数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导 系数是常数，不随$x$变 右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线 性微分方程解法及例题详 解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自 然科学、工程技术和社会科学等领域 有广泛应用，如物理学、化学、生物 学、经济学等。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题大家好，今天我们来聊聊二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及一些有趣的例子。
让我们来了解一下什么是二阶常系数非齐次线性微分方程。
二阶常系数非齐次线性微分方程是指形如这样的方程：∂y/∂t = a*∂^2y/∂x^2 + b*∂y/∂x + c*y,其中a、b、c是常数，t和x是变量。
这个方程看起来有点复杂，但是我们可以通过一些技巧来求解它。
我们可以将这个方程变形为：y(t) y(0) = c*t*(at^2 + bt),然后令y(0) = 1,得到一个关于t的二次方程。
接下来，我们可以使用二次公式来求解这个方程。
我们将得到的y(t)与初始条件y(0)结合，就可以得到整个方程的解了。
下面我们来看一个具体的例子。
假设我们有一个函数y(t) = e^(-t)^2,我们需要求解它的二阶常系数非齐次线性微分方程。
我们将e^(-t)^2代入y(t) = c*t*(at^2 + bt),得到e^(-t)^2 1 = c*t*(at^2 + bt)。
然后，我们令y(0) = 1,得到e^(-0)^2 1 = c*0*(at^2 + bt)。
这意味着1 = c。
所以，我们可以将方程改写为：e^(-t)^2 1 = -t*(at^2 + bt)。
接下来，我们使用二次公式求解这个方程。
我们将得到的y(t)与初始条件y(0)结合，就可以得到整个方程的解了。
除了上面的例子之外，还有很多其他有趣的问题可以供我们探讨。
例如，我们可以考虑一个简单的问题：如果一个物体在匀加速运动，那么它的加速度是多少？这个问题可以用二阶常系数非齐次线性微分方程来表示。
通过求解这个方程，我们可以得到物体的加速度与时间的关系。
这样一来，我们就可以根据实际情况来计算物体的加速度了。
二阶常系数非齐次线性微分方程虽然看起来有点复杂，但是只要掌握了一些基本方法和技巧，就可以轻松地解决各种问题。
希望大家在学习的过程中能够保持好奇心和探索精神，不断地发现新的问题和答案。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题大家好，今天我们来聊聊二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及一些例题。
我们要明确什么是二阶常系数非齐次线性微分方程。
简单来说，就是一个未知函数y关于自变量x的非线性微分方程，形式如下：dy/dt = a * y^2 + b * x * dy/dx + c * x^2其中a、b、c是已知的常数，t表示时间，x和y分别表示自变量和因变量。
接下来，我们来探讨一下如何求解这个方程。
我们需要将这个方程转化为一个标准的线性微分方程。
为了做到这一点，我们需要引入两个辅助函数：P(t, y)和Q(t, y)。
P(t, y)是一个一阶线性微分方程，表示y关于t的导数；Q(t, y)是一个二阶线性微分方程，表示y关于y的导数。
我们有：dy/dt = P(t, y)dP(t, y)/dt = Q(t, y)将这两个方程联立起来，我们可以得到一个关于y的齐次线性微分方程：dy/dt = (P(t, y) a * y^2 / b) * dt + (c * x^2 * Q(t, y)) / b这是一个标准的线性微分方程，可以使用常系数线性初值问题的方法来求解。
具体来说，我们可以将y表示为一个积分形式：y = Y(t) = int[a * y^2 / b * dt + c * x^2 * Q(t, y)] + C1(t)其中C1(t)是y的一个初始条件。
接下来，我们可以通过求解这个积分方程来得到y 的通解。
我们需要将通解代入原方程中，解出x的表达式。
下面我们来看一个具体的例题。
假设我们要求解以下二阶常系数非齐次线性微分方程：dy/dt = 2 * exp(-t) * y^2 + 3 * x * dy/dx + x^2我们首先引入两个辅助函数P(t, y)和Q(t, y):P(t, y) = dy/dt = 2 * exp(-t) * y^2 + 3 * x * dy/dxQ(t, y) = dP(t, y)/dt = 6 * x * dy/dx + 2 * exp(-t) * dx然后我们将这两个方程联立起来，得到一个关于y的齐次线性微分方程：dy/dt = (P(t, y) a * y^2 / b) * dt + (c * x^2 * Q(t, y)) / b将已知的参数代入这个方程，我们可以得到：dy/dt = (2 * exp(-t) * y^2 + 3 * x * dy/dx 2 * exp(-t) * x^2 / b) * dt + (c * x^2 * Q(t, y)) / b整理得：dy/dt = [exp(-t)(by^2 + cxy^2) cxy] dt + [by^3 + cxy^3] dt + C1(t)现在我们可以将y表示为一个积分形式：y = Y(t) = int[exp(-t)(by^2 + cxy^2) cxy] dt + int[by^3 + cxy^3] dt + C1(t)通过求解这个积分方程，我们可以得到y的通解。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题[优质ppt]
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二、f(x)=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型
结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]
y*=xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]
一、f(x) Pm(x)e x型 二、f(x)=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
方程y
py qy f(x)称为二阶常系数非齐次
线性微分方程 其中p、q是常数
二阶常首系页 数非齐次线性微返回分方程的下页通解是对应的齐 铃 次方程的通解y Y(x)与非齐次方程本身的一个特
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
2b0x2b0b1=x 比 较 系 数 得 b 0 = 1 2 b 1 = 1 故 y * = x ( 1 2 x 1 ) e 2 x
因此所给方程的通解为
y = C 1 e 2 x C 2 e 3 x 1 2 ( x 2 2 x ) e 2 x
其中Qm(x)=b0xm b1xm1 bm1xbm
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为y*=Q(x)ex 则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex应设为m次多项式
Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
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二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题大家好，今天我们来探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及一些例题。
我们要明白什么是二阶常系数非齐次线性微分方程。
简单来说，就是一个未知函数y与其导数y关于t的关系式，形式如下：dy/dt + A*y = B*exp(ct)其中，A、B、c是已知常数，t是自变量。
这个方程的解法有很多种，但是我们今天主要讨论两种方法：一种是分离变量法，另一种是特征线法。
我们来看一下分离变量法。
分离变量法的基本思想是把未知函数y看作两个函数的和，一个是指数函数e^(ct),另一个是线性函数y(t)。
这样一来，我们就可以用积分的方法求解这个方程了。
具体步骤如下：1. 把方程改写为：e^(ct) = y(t) B/A*ln|y(t)|2. 对两边取对数：ln|y(t)| = ct ln|y(t)| ln(B/A)3. 对上式两边求积分：∫[0,∞] ln|y(t)| dt = ∫[0,∞] (ct ln|y(t)| ln(B/A)) dt4. 根据积分公式和性质，我们可以得到：y(t) * e^(-bt) = B/A * e^(-bt) * |y(t)|^n + C,其中n是一个待定常数5. 通过比较系数，我们可以得到：y(t) = (B/A)^n * |y(t)|^n6. 这样我们就得到了二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解。
接下来，我们可以通过凑特解的方法得到原方程的通解。
下面我们来看一下特征线法。
特征线法的基本思想是找到一个特征线，使得它与原方程有相同的极值点。
具体步骤如下：1. 对于特征线l:y = x + c,代入原方程得：x + c = x + A*y B*exp(ct) => A*y =B*exp(ct) + c => y = (B/A)*exp(ct) + c/A2. 由于特征线l与原方程有相同的极值点，所以我们可以得到原方程的通解为：y = (B/A)^n * exp(ct) + c/A * (x x0)^n3. 其中，x0是特征线的交点的横坐标，n是待定常数。
高等数学 二阶常系数非齐次线性微分方程
* ∴ y1 = Ax 2 + Bx + C
* * y * = y1 + y2 = Ax 2 + Bx + C + Dx 2 e 2 x .
对应齐方通解 Y = C1 cos x + C 2 sin x ,
用常数变易法求非齐方程通解
设 y = c1 ( x ) cos x + c 2 ( x ) sin x ,
w ( x ) = 1,
c1 ( x ) = sin x − ln sec x + tan x + C1 , c2 ( x ) = − cos x + C 2
注 意
0 λ ± jω不是根 , k= 1 λ ± jω是单根
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 上述结论可推广到 阶常系数非齐次线性微分方程. 阶常系数非齐次线性微分方程
例2 求方程 y′′ + y = 4sin x 的通解 . 解 对应齐方通解 Y = C1 cos x + C 2 sin x ,
λx
λx
Pm ( x )e ,
Pm ( x )e sin βx ,
方法：待定系数法 方法：待定系数法.
λx
λx
Pm ( x )e cos βx ,
难点：如何求特解？ 难点：如何求特解？
设非齐方程特解为 y = Q( x)eλx
代入原方程
′′( x ) + ( 2λ + p)Q′( x ) + (λ2 + pλ + q )Q ( x ) = Pm ( x ) Q
′′ + y = 4e jx , 作辅助方程 y
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在学习高等数学的过程中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的知识点。
理解和掌握它的解法，对于解决许多实际问题和理论研究都具有重要意义。
首先，我们来了解一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中$p$、＄q$是常数，＄f(x)＄是一个已知函数。
其解法的关键在于先求出对应的齐次方程的通解，然后再求出非齐次方程的一个特解，最终将两者相加得到非齐次方程的通解。
对于齐次方程$y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$，我们可以通过特征方程$r^2＋ pr ＋ q ＝ 0$来求解。
特征方程的根有三种情况：1、两个不相等的实根$r_1$和$r_2$，此时齐次方程的通解为$y_c＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄。
2、两个相等的实根$r$，通解为$y_c ＝（C_1 ＋C_2x)e^｛rx}＄。
3、一对共轭复根$＼alpha ＼pm ＼beta i$，通解为$y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos\beta x ＋ C_2\sin\beta x)＄。
接下来，我们重点讨论如何求非齐次方程的特解。
根据$f(x)＄的形式，通常使用待定系数法来求解。
常见的$f(x)＄形式有以下几种：1、＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$P_n(x)＄是$x$的$n$次多项式。
若$＼lambda$不是特征根，设特解为$y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$Q_n(x)＄是与$P_n(x)＄同次的待定多项式。
若$＼lambda$是特征方程的单根，设特解为$y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼lambda x}＄。
若$＼lambda$是特征方程的重根，设特解为$y_p ＝ x^2Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄。
2、＄f(x) ＝ e^｛＼lambda x}P_l(x)＼cos\omega x ＋ Q_m(x)＼sin\omega x$若$＼lambda ＼pm ＼omega i$不是特征根，设特解为$y_p ＝ e^｛＼lambda x}R_{l+m}（x)＼cos\omega x ＋ S_{l+m}（x)＼sin\omegax$，其中$R_{l+m}（x)＄和$S_{l+m}（x)＄是与$P_l(x)＄和$Q_m(x)＄同次的待定多项式。
二阶常系数非齐次线性微分方程ppt课件
例4 求方程 y y x cos 2x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x,
作辅助方程 y y xe2 jx ,
2 j 不是特征方程的根,
设 y* ( Ax B)e2 jx , 代入辅助方程
4Aj 3B 0 3A 1
A 1，B 4 j,
j 是单根, 故 y* Axe jx ,
代入上式 2Aj 4, A 2 j,
y* 2 jxe jx 2x sin x (2x cos x) j, 所求非齐方程特解为 y 2x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2x cos x. 9
设 y c1( x)cos x c2 ( x)sin x,
w( x) 1,
c1( x) c2( x)
sin x cos x
ln sec C2
x
tan
x
C1 ,
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
12
例6 求通解 y y ex cos x
分别是以 f ( x) Pm ( x)ex cosx
f ( x) Pm ( x)ex sinx
为自由项的非齐次线 性微分方程的特解
8
注意 这种方法称为复数法
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程
例3 求方程 y y 4sin x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 作辅助方程 y y 4e jx ,
C2e2x
x(1 x 1)e2x 2
.
5
例2 求通解 y 6 y 9 y 5xe3x
解 特征方程 r2 6r 9 0
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题一、引言微分方程是数学中重要的一部分，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
在微分方程中，常系数非齐次线性微分方程是一类常见且重要的方程类型。
本文将介绍该类型微分方程的解法以及一些例题。
二、常系数非齐次线性微分方程的定义常系数非齐次线性微分方程可以表示为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=f(x)$$其中$a$和$b$为常数，$f(x)$为已知函数。
三、特征方程和齐次解对于常系数非齐次线性微分方程，首先求解相应的齐次方程：$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$$我们可以得到对应的特征方程：$$\lambda^2+a\lambda+b=0$$解特征方程可以得到两个不同的特征根$\lambda_1$和$\lambda_2$。
根据特征根的不同情况，可以分为三种情况：1. 当特征根为实数且不相等时，齐次解可以表示为：$$y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$$其中$c_1$和$c_2$为常数。
2. 当特征根为实数且相等时，齐次解可以表示为：$$y=(c_1+c_2x)e^{\lambda x}$$其中$c_1$和$c_2$为常数。
3. 当特征根为复数时，齐次解可以表示为：$$y=e^{\alphax}(c_1\cos \beta x+c_2\sin \beta x)$$其中$\alpha$和$\beta$为实数，$c_1$和$c_2$为常数。
四、非齐次解下面我们来求解常系数非齐次线性微分方程的非齐次解。
1. 方法一：待定系数法若$f(x)$为多项式或指数函数时，可以采用待定系数法。
假设非齐次解为：$$y^*=P(x)Q(x)e^{\lambda x}$$其中$P(x)$和$Q(x)$为待定的多项式函数，$\lambda$为特征根。
2. 方法二：常数变易法若$f(x)$为三角函数或双曲函数时，可以采用常数变易法。
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例1 求微分方程y2y3y3x+1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x+1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y*b0x+b1 把它代入所给方程 得
(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex
提示
此时2+p+q0 但2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+1次多项式 Q(x)xQm(x)
其中Qm(x)b0xm +b1xm1+ +bm1x+bm
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[Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
提示
此时2+p+q0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式
Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 004:51: 3804:5 1Dec-20 10-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 04:51:3 804:51: 3804:5 1Thursday, December 10, 2020
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 020.12. 1004:5 1:3804: 51:38D ecembe r 10, 2020
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例3 求微分方程y+yxcos2x的一个特解 解 齐次方程y+y0的特征方程为r2+10
因为f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]xcos2x +iw2i不是
特征方程的根 所以所给方程的特解应设为
y*(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x 把它代入所给方程 得 >>>
提示
此时2+p+q0 2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+2次多项式 Q(x)x2Qm(x)
其中Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
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❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
y+py+qyPm(x)ex
y*xkQm(x)ex
的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex (3)如果是特征方程r2+pr+q0的重根 则 y*x2Qm(x)ex
3b0x2b03b13x+1
提示 [b30bx0+b31]2[b0x+b1]3[b0x+b1] 2b03b0x3b1
2b30b0x3b21b10 3b1
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例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60
其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0x+b1)e2x
把它代入所给方程 得 2b0x+2b0b1x
因此所给方程的通解为
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二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
§12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程
一、 f(x)Pm(x)ex型
二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
y+py+qyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个 特解yy*(x)之和
yY(x)+y*(x)
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
提示 y*+py*+qy* [Q(x)ex]+[Q(x)ex]+q[Q(x)ex]
[Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex
有形如
y+py+qyex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]
y*xkex[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx]
的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k
按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次
取0或1 >>>
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(3ax3b+4c)cos2x(3cx+4a+3d)sin2xxcos2x >>>
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1020. 12.10Thursday, December 10, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。04:5 1:3804: 51:3804 :5112/ 10/2020 4:51:38 AM
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程 得 >>>
2b0x+2b0b1x
提示 2b01
齐2b次0方b1程0y5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x
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例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60 其根为r12 r23