二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题

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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex (3)如果是特征方程r2+pr+q0的重根 则 y*x2Qm(x)ex
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0x+b1)e2x
把它代入所给方程 得 2b0x+2b0b1x
因此所给方程的通解为
特解形式
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二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
[Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
§12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程
一、 f(x)Pm(x)ex型
二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
y+py+qyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个 特解yy*(x)之和
3b0x2b03b13x+1
提示 [b30bx0+b31]2[b0x+b1]3[b0x+b1] 2b03b0x3b1
2b30b0x3b21b10 3b1
特解形式
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例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60
其根为r12 r23
(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex
提示
此时2+p+q0 但2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+1次多项式 Q(x)xQm(x)
其中Qm(x)b0xm +b1xm1+ +bm1x+bm
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方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取
为0、1或2
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例1 求微分方程y2y3y3x+1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x+1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y*b0x+b1 把它代入所给方程 得
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 004:51: 3804:5 1Dec-20 10-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 04:51:3 804:51: 3804:5 1Thursday, December 10, 2020
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 020.12. 1004:5 1:3804: 51:38D ecembe r 10, 2020
提示
此时2+p+q0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式
Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
(3ax3b+4c)cos2x(3cx+4a+3d)sin2xxcos2x >>>
特解形式
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1020. 12.10Thursday, December 10, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。04:5 1:3804: 51:3804 :5112/ 10/2020 4:51:38 AM
提示
此时2+p+q0 2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+2次多项式 Q(x)x2Qm(x)
其中Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
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❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
y+py+qyPm(x)ex
y*xkQm(x)ex
的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程 得 >>>
2b0x+2b0b1x
提示 2b01
齐2b次0方b1程0y5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x
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例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60 其根为r12 r23
yY(x)+y*(x)
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
提示 y*+py*+qy* [Q(x)ex]+[Q(x)ex]+q[Q(x)ex]
[Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例3 求微分方程y+yxcos2x的一个特解 解 齐次方程y+y0的特征方程为r2+10
因为f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]xcos2x +iw2i不是
特征方程的根 所以所给方程的特解应设为
y*(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x 把它代入所给方程 得 >>>
有形如
y+py+qyex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]
y*xkex[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx]
的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k
按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次
取0或1 >>>
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