紧支试函数加权余量法_92120129

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移动最小二乘近似
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MLS近似可以精确地重构包含在基底中的任何 函数pi(x)，即
∑ N ( x) p ( x ) = p ( x)
I =1 I i I i
n
对于线弹性断裂问题，基函数可以取为
pT ( x ) = [1, x, y, r cos θ , r sin θ , r sin θ sin θ , r cos θ sin θ ] 2 2 2 2 或简化为 p T ( x ) = [1, x, y, r ]
] 分片近似，易于构造 ] 系数矩阵带状稀疏
Ø 紧支函数形式与定义区域的拓展
è 无网格法
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紧支试函数加权余量法
加权余量法 Ø 配点法、伽辽金法、 最小二乘法等 Ø 试函数为定义在全域 中的函数，系数矩阵 为满阵，计算量大 紧支试函数 Ø 只在局部支持域中 非零
紧支试函数加权余量法 系数矩阵为带状稀疏阵，计算量小
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移动最小二乘近似（MLS）
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近似函数
u h ( x, x ) = ∑ pi ( x )ai ( x ) = p T ( x )a ( x )
i =1 m
pi ( x ) — 基函数（多项式或其它已知函数） ai ( x ) — 待定系数
线性基： p T ( x ) = [1, x , y , z ], m = 4 二次基： p T ( x ) = [1, x , y , z , x 2 , xy , y 2 , yz , z 2 , xz ], m = 10
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紧支试函数
移动最小二乘近似 (Moving Least Square) 核函数近似 (Kernel approximation) | 重构核近似(Reproducing Kernel approximation) | 单位分解法 (Partition of Unity) | 径向基函数（Radial Basis Functions） | 点插值/径向点插值（[Radial] Point Interpolation） | 自然邻接点插值 | Kriging插值（课下调研）
= N ( x )u
_
N ( x ) = N ( x, x ) x = x
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= pT ( x ) A−1 ( x ) B( x )
x
xI
x
移动最小二乘近似
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当基函数中最高阶完备多项式的阶数k = 0时， MLS形函数退化为为Shepard函数 w( x − xI ) N I ( x) = N ∑ w( x − xI )
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局部Petrov-Galerkin法的讨论： Ø 子域VI通常以各节点为中心：球形、椭球、立 方体 Ø 检验函数
] 移动最小二乘(MLS)权函数 ] Dirac
δ函数
] 微分方程的基本解：局部边界积分方程 ] 单位阶跃函数：无域内积分，效率高 ] 试探函数：与Galerkin法等价
u( x ) w( x − x , h)d Ω x
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加权余量法
∫
V
RiWI dV = 0, i = 1,2,3; I = 1,2,, N
3. 最小二乘法 (Least-Square) ∂R ∂ R 2 dV = 2∫ Ri i dV = 0 V ∂aiI ∫V i ∂aiI ∂R WI = i ∂aiI 令余量的均方和为最小 4. 伽辽金法 (Galerkin)
加权余量法不要求余量在各点均为零，而要求余量的 加权积分为零 — 平均意义上满足方程
∫
V
vi , vi
Ri vi dV + ∫ Ri vi dS = 0
Sσ
N
等效积分形式
加权余量法求解合适的待定 参数，强迫余量在某种平均 意义下为零
检验函数/权函数 Test function/Weight function
无网格法
紧支试函数加权余量法
紧支试函数加权余量法
线弹性力学的控制方程 加权余量法 | 紧支试函数加权余量法 | 紧支试函数
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线弹性力学的控制方程
平衡方程 应变-位移关系 应力-应变关系 边界条件
σ ij , j + fi = 0
ε ij = 1 (ui , j + u j ,i )
Ø 最终得到的求解方程的系数矩阵一般是不对称
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加权余量法
用于无网格法的单一格式： Ø Galerkin Ø Collocation/Least Square Collocation Ø Local Petrov-Galerkin Ø Weighted Least Square | 用于无网格法的组合格式 Ø Galerkin Least Square Ø Galerkin Collocation
I
A( x )a ( x ) = B( x )u
N I =1
a( x) = A−1 ( x ) B( x )u
A( x ) = ∑ wI ( x ) p( x I ) p T ( x I ) B ( x ) = [ w1 ( x ) p( x1 ) w2 ( x ) p( x2 ) wN ( x ) p( x N ) ]
| 有限元法
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移动最小二乘近似
有限元
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移动最小二乘近似
N N ⎡m ⎤ 2 h ⎤ J = ∑ wI ( x ) ⎡ ⎣u ( x , x I ) − u( x I )⎦ = ∑ wI ( x ) ⎢∑ pi ( x I ) ⋅ ai ( x ) − uI ⎥ ⎣ i =1 ⎦ I =1 I =1 2
䅵ㅫ⚍ঞ݊ ᅮНඳ
㡖⚍ঞ݊ ᬃᣕඳ
N ⎡m ⎤ ∂J = 2∑ wI ( x ) ⎢ ∑ pi ( x I ) ⋅ ai ( x ) − uI ⎥ p j ( x I ) = 0 ∂a j ( x ) I =1 ⎣ i =1 ⎦
∑⎢∑ w ( x ) p ( x ) p ( x )⎥ a ( x ) = ∑ w ( x ) p ( x )u
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2 N ⎧ ⎡m ⎤ ⎪ J = ∑ ⎨ wI(0) ( x ) ⎢ ∑ pi ( x I )ai ( x ) − u I ⎥ + I =1 ⎪ ⎣ i =1 ⎦ ⎩
∑ w α ( x) ⎢ ∑ α ⎣
=1 ( ) I
nd
⎡
∂pi ( x I ) ⎤ ai ( x ) − θα I ⎥ ∂xα i =1 ⎦
近似解： ui = ∑ φI aiI
I =1
i = 1, 2,3
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φ I — 试探函数(trial function) aiI — 待定系数
加权余量法
∫
V
Ri vi dV + ∫ Ri vi dS = 0
Sσ
N
如何选取权函数？
取： vi = ∑ WI biI
I =1
暂不考虑边界积分项
N V
∫
V
Γ Iu Γ It VI
WI
LI
=0
Γ Iu = ∂VI ∩ Su
Γ It = ∂VI ∩ Sσ
LI = ∂VI − Γ Iu − Γ It
Γ Iu Γ It VI
∫
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VI
σ ijWI , j dV − ∫ σ ij n jWI dΓ = ∫ tiWI dΓ + ∫ f iWI dV
加权余量法
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紧支试函数
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函数u(x)可以近似为：
u ( x ) ≈ u h ( x ) = ∑ N I ( x )uI = N ( x ) u
I =1 n
大多数无网格法形函数不满足插值特性，即
u h ( x I ) ≠ uI , N I ( x J ) ≠ δ IJ
形式上与有限元类似，但有限元形函数Βιβλιοθήκη Baidu满足插值特性
u h ( x, x ) = pT ( x ) A−1 ( x) B( x)u = N ( x, x )u N ( x, x ) = pT ( x ) A−1 ( x ) B( x )
u ( x ) ≈ u h ( x ) = u h ( x, x )
x=x
u (x) u h (x) uI
) u h (x, x
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σ ij = Dijkl ε kl
σ ij n j = Ti
on Sσ
i = 1, 2,3 j = 1, 2,3
ui = ui
on Su
张量指标 Einstein求和约定 如何求解？
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加权余量法（加权残量/加权残值法）
复杂问题 è 近似解
Ri = σ ij , j + f i ≠ 0, i = 1, 2,3 in V Ri = σ ij n j − Ti ≠ 0 on Sσ
WI = φI
在有限元法中主要采用伽辽金法
∫
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V
RiφI dV = 0
加权余量法
5. 局部彼得洛夫-伽辽金法 (Local Petrov-Galerkin) 余量在各子域VI上消除，且检验函数和试探函数取 自不同的函数空间
∫
VI
WI (σ ij , j + f i )dV = 0
∫
LI
σ ij n jWI dΓ + ∫ σ ij n jWI dΓ + ∫ tiWI dΓ − ∫ (σ ijWI , j − f iWI )dV = 0
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参考书目： [1] 王勖成. 有限单元法, 清华大学出版社, 2003. [2] 张雄, 刘岩. 无网格法, 清华大学出版社/Springer, 2004.
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紧支试函数加权余量法
近似函数定义在全求解域 Ø 不易构造 Ø 系数矩阵为满阵 | 紧支试函数 Ø 有限元法
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对于声场分析，基函数可以取为
pT ( x) = [1,cos(kx),sin(kx)]
思考题1：试证明MLS近似的重构性质 思考题2：如果是弹塑性断裂问题，基函数有何建议？
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广义移动最小二乘近似
MLS要求近似函数在各节点处误差的平方和为 最小，但对近似函数导数的误差没有任何约束 | Atluri等人在分析欧拉梁时，要求近似函数及其 导数在各点处误差的平方和最小
m
2
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
可只将函数在边界各节点处的导数作为自变量，要求 近似函数在所有节点处误差的平方和与近似函数导数 在边界各点处误差的平方和之和最小
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核函数近似
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函数u(x) 用积分核变换近似 u( x ) = ∫ u( x )δ ( x − x )d Ω x
Ω
uh ( x) =
h
∫
Ω
I =1
如果在MLS近似中将权函数在域内取为1，在域 外取为0，则MLS近似退化为标准的最小二乘近似 | 计算时通常不直接对A矩阵求逆，而是求解线性 方程组
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A( x ) q( x ) = p( x )
N ( x ) = p T ( x ) A−1 ( x ) B ( x ) = q T ( x ) B ( x )
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移动最小二乘近似 — 待定系数的确定
— 令uh(x)在单元节点I处等于函数u(x) 在该节点处的函数值uI Ø 待定系数的个数必须等于单元自由度 Ø uh(xI) = uI — 具有插值特性 Ø 依赖于网格 | MLS — 使uh(x)在节点处的误差在加权最小二乘 意义下取极小值 Ø 精度高，并且可具有高阶连续性 Ø 能够精确重构基底中的任何函数 Ø 计算量大 Ø uh(xI) ≠ uI — 不具有插值特性 (拟合)
1. 配点法 (Collocation)
WI = δ ( x − x I ), I = 1,2,, N Ri ( x I ) = 0, i = 1,2,3; I = 1,2,, N
令余量在域内N个离散点上为零 2. 子域法 (Sub-domain) ⎧ 1 x ∈V ⎪ I WI = ⎨ , I = 1,2,, N 0 x ∉VI ⎪ ⎩ 令余量在N个子域VI上的积分为零
Ri vi dV = ∫ Ri ∑ WI biI dV = ∑ biI ∫ RiWI dV = 0
V I =1 I =1
N
∫
V
RiWI dV = 0, i = 1,2,3; I = 1,2,, N
选择不同的权函数，得到不同类型的加权余量格式
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加权余量法
∫
V
RiWI dV = 0, i = 1,2,3; I = 1,2,, N
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i =1 ⎣ I =1 I i I j I
m
⎡N
⎤ ⎦
N
i
I
j
I
I
I =1
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移动最小二乘近似
a ( x) = ∑ w ( x) p ( x )u ∑⎢ ∑ w ( x) p ( x ) p ( x ) ⎥ ⎣ ⎦
i =1 I =1 I i I j I i I =1 I j I m
⎡
N
⎤
N