《线性代数》教材801汇总678
考研数学线性代数教材和习题范围(同济五版)
第四章 向量组的线性相关性 核心考点： 1 表示性问题：线性表示的概念、结论与原理 2 相关性问题：向量组的线性相关与线性无关 3 等价性问题：向量组的等价的条件与本质 4 代表性问题：向量组的秩与向量组的极大无关组 习题范围： 习题四： 第 1 题、第 2 题、第 3 题、第 4 题、第 5 题、第 6 题、第 8 题、
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第 18 题、第 19 题、第 20 题、第 22 题、第 23、24 题、第 25 题、 第 26 题、第 27 题、第 28 题、
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 核心考点： 1 矩阵的初等变换的原理与初等矩阵 2 矩阵的秩及秩的性质的应用 3 线性方程组解的结构与性质 4 含参数的线性方程组的解法及方程组的公共解讨论 习题范围： 习题三： 第 1 题、第 4 题、第 5、6 题、第 7 题、第 10 题、第 12 题、第 13 题 第 14 题、第 15 题、第 16 题、第 17 题、第 18 题、第 19 题、 第 21 题
《线性代数》教材内容与习题范围浓缩版 同济大学第五版
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式 ,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式243122421----=D.(-14)例3. 求解方程094321112=xx（32==xx或）例4. 解线性方程组.5573422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-zyxzyxzyx解先计算系数行列式573411112--=D069556371210≠-=----+-=再计算321,,DDD第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第5节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ij a的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaD11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaD212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiii=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=nD解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r1+=n D n .从而解得 1+=n D n .例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D()1i j n i j x x ≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证 用归纳法因为 =-==1221211x x x x D ()21i j i j x x ≥>≥-∏ 所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n 时成立，要证对n 时也成立.为此，设法把nD 降阶；从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有()()()()()()213112213311222221331111110000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x ---------=---（按第一列展开，并提出因子1x x i -）行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。
线性代数（同济教材,第六版）知识点的细分目录
线性代数（同济教材，第六版）知识点的细分目录第一章行列式0101 排列与逆序数0102 行列式定义0103 几个特殊行列式0104 行列式性质0105 行列式按行（列）展开0106 单元小结0107 单元测试第二章矩阵及其运算0201 矩阵的引入0202 矩阵的运算0203 矩阵的转置与对称矩阵0204 逆矩阵0205 伴随矩阵与克拉默法则0206 分块矩阵0207 单元小结0208 单元测试第三章矩阵的初等变换与线性方程组0301 矩阵的初等变换030101 用消元法求解线性方程组030102 矩阵的初等变换及其相关定理030103 矩阵之间的等价关系0302 初等矩阵030201 初等矩阵的定义030202 有关初等矩阵的定理030203 用初等变换求逆矩阵030204 用初等变换解矩阵方程0303 矩阵的秩030301 k阶子式的概念030302 矩阵秩的概念和基本性质030303 矩阵秩的计算030304 矩阵秩的性质续（放在辅导难点部分）0304 线性方程组的解030401 线性方程组解的判定030402 线性方程组的解法030403 两个推广（放在辅导难点部分）0305 单元小结0306 单元测试第四章向量组的线性相关性0401 向量组及其线性组合040101 n维向量空间的概念040102 向量组的线性组合040103 向量组之间的线性表示0402 向量组的线性相关性040201 线性相关、线性无关的概念040202 线性相关性的判定040203 线性相关、线性无关的性质0403 向量组的秩040301 最大线性无关组与向量组的秩040302 矩阵的秩与向量组的秩的关系040303 向量组之间的线性表示和秩的关系0404 线性方程组的解的结构040401 齐次线性方程组040402 非齐次线性方程组0405 向量空间040501 向量空间的概念040502 子空间040503 基、维数与坐标040504 过渡矩阵和坐标变换0406 单元小结0407 单元测试第五章相似矩阵及二次型0501向量的内积、长度及正交性050101向量的内积及长度050102向量的正交性050103施密特正交化方法050104正交矩阵及正交变换0502方阵的特征值与特征向量050201特征值与特征向量的概念050202特征值与特征向量的性质0503相似矩阵050301相似矩阵的概念及性质050302矩阵的相似对角化0504对称矩阵的对角化050401实对称矩阵050402实对称矩阵的正交对角化0505二次型及其标准型050501二次型及其标准形050502用正交变换化二次型为标准形0506用配方法化二次型为标准形0507正定二次型050701正定二次型的概念及惯性定理050702正定二次型的判定0508 单元小结0509 单元测试。
线性代数教材(1)
线性代数教材简介线性代数是现代数学的一个重要分支，它主要研究向量空间及其上的线性变换。
线性代数在计算机科学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
本教材旨在为初学者提供全面且易于理解的线性代数知识，以帮助他们建立对线性代数基本概念和技术的扎实理解。
目录1.引言–什么是线性代数–线性代数的历史和应用–线性代数的基本概念2.向量–向量的定义和表示–向量的加法和减法–向量的数量乘法–向量的线性组合–向量的内积和外积3.矩阵–矩阵的定义和表示–矩阵的加法和减法–矩阵的数量乘法–矩阵的乘法–矩阵的转置和逆4.线性方程组–线性方程组的定义和表示–线性方程组的解集–线性方程组的求解方法5.线性变换–线性变换的定义和表示–线性变换的性质–线性变换的矩阵表示–线性变换的复合和逆变换6.特征值与特征向量–特征值和特征向量的定义–特征值与特征向量的计算–特征值与特征向量的应用7.矩阵的相似性–矩阵的相似性定义–矩阵的相似对角化–矩阵的特征分解详细内容1. 引言什么是线性代数线性代数是研究向量空间及其上的线性变换的数学学科。
它研究向量的线性结构、线性方程组的解集、线性变换以及与线性变换有关的矩阵、特征值和特征向量等内容。
线性代数的历史和应用线性代数作为一门学科可以追溯到19世纪，当时数学家对线性方程组和矩阵理论进行了研究。
随着时间的推移，线性代数渐渐成为现代数学的一个重要分支，并在自然科学、社会科学、工程学等领域得到广泛应用。
线性代数的基本概念在学习线性代数之前，我们首先需要理解一些基本概念，包括向量、矩阵、线性方程组和线性变换等。
本教材将逐一介绍这些基本概念，并提供一些实际应用的例子，以帮助读者理解这些概念的含义和用途。
2. 向量向量的定义和表示向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对或有序三元组表示。
向量可以表示空间中的位置、速度、力量等物理量。
向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量的对应分量相加或相减，得到一个新的向量。
同济大学《线性代数》定理整理
定理 4.2 向量组B : b1, b2, . . . , bl能由向量组A : a1, a2, . . . , am线性表示的充 分必要条件是矩阵A = (a1, a2, . . . , am)的秩等于矩阵(a1, . . . , am, b1, . . . , bl)的 秩, ...
...
D = ai1 ai2 . . . ain + ai1 ai2 . . . ain
... ...
...
... ...
...
an1 an2 . . . ann an1 an2 . . . ann
性质 1.6 把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的 元素上去, 行列式不变.
λa11 λa12 . . . λa1n
λA
=
Aλ
=
λa21 ...
λa22 ...
...
λa2n
...
λam1 λam2 . . . λamn
定义 2.4 设A = (aij)是一个m × s矩阵, B = (bij)一个s × n矩阵, 那么规定矩 阵A与矩阵B的乘积是一个m × n矩阵C = (cij), 其中
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... ...
...
am1 am2 . . . amn
3
称为m行n列矩阵, 简称m × n矩阵.为表示它是一个整体, 总是加一个括弧, 并用 大写黑体字母表示它, 记作
《线性代数》知识点归纳整理-大学线代基础知识.docx
《线性代数》知识点归纳整理-⼤学线代基础知识.docx 《线性代数》知识点归纳整理诚毅学⽣编01、余⼦式与代数余⼦式................................................................... - 2 -02、主对⾓线............................................................................. - 2 -03、转置⾏列式........................................................................... - 2 -04、⾏列式的性质......................................................................... - 3 -05、计算⾏列式........................................................................... - 3 -06、矩阵中未写出的元素................................................................... - 4 -07、⼏类特殊的⽅阵....................................................................... - 4 -08、矩阵的运算规则....................................................................... - 4 -09、矩阵多项式........................................................................... - 6 -10、对称矩阵............................................................................. - 6 -11、矩阵的分块........................................................................... - 6 -12、矩阵的初等变换....................................................................... - 6 -13、矩阵等价............................................................................. - 6 -14、初等矩阵............................................................................. - 7 -15、⾏阶梯形矩阵与⾏最简形矩阵......................................................... - 7 -16、逆矩阵............................................................................... - 7 -17、充分性与必要性的证明题............................................................... - 8 -18、伴随矩阵............................................................................. - 8 -19、矩阵的标准形：....................................................................... - 9 -20、矩阵的秩：........................................................................... - 9 -21、矩阵的秩的⼀些定理、推论............................................................. - 9 -22、线性⽅程组概念....................................................................... - 10 -23、齐次线性⽅程组与⾮齐次线性⽅程组（不含向量）......................................... - 10 -24、⾏向量、列向量、零向量、负向量的概念................................................. - 11 -25、线性⽅程组的向量形式................................................................. - 11 -26、线性相关与线性⽆关的概念.......................................................... - 12 -27、向量个数⼤于向量维数的向量组必然线性相关............................................ - 12 -28、线性相关、线性⽆关；齐次线性⽅程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题................. - 12 -29、线性表⽰与线性组合的概念.......................................................... - 12 -30、线性表⽰；⾮齐次线性⽅程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................... - 12 -31、线性相关（⽆关）与线性表⽰的3个定理................................................. - 12 -32、最⼤线性⽆关组与向量组的秩........................................................... - 12 -33、线性⽅程组解的结构................................................................... - 12 -01、余⼦式与代数余⼦式a 22 a 23对M ii 的解释：划掉第1⾏、第1列，剩下的就是⼀个⼆阶⾏列式a a ,这个 a 32 a 33⾏列式即元素an 的余⼦式M ii 。
线性代数知识点全面总结.ppt
初
等
变
换
与
初等方阵
线
性
方
程
组
矩 阵的 秩
线 性 方程 组
矩阵的初等变换
1.对换矩阵的i, j两行（列）.
概念
2.用k≠0乘矩阵的第i行（列）.
3.把某i行（列）的k倍加到另一行 （列）的对应元素上去.
1.初等变换不改变矩阵的秩.
性质
2.对A经过有限次初等变换得到B，
则A等价B.
~ ~ 求逆，
行
三、重要公式
1、矩阵的秩
(1) r(A) = r(AT) ;
(2) r(A+B) ≤ r(A) + r(B)
(3) r(AB) ≤ min{ r(A) r(B)}
(4) 若P、 Q可逆，则r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)= r(A)
r(A), k ≠ 0 ,
(5) r(kA) =
0 , k = 0;
|A| = 0 , A不可逆 . AB = E , A与B互逆. 反证法.
二、重要定理
1、设A、B是n阶矩阵，则|AB|=|A||B|。
2、若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵惟一。
3、n阶矩阵A可逆⇔ |A| ≠ 0 ⇔ R(A)=n ⇔ A为满秩矩阵。
4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 。 5、若A为对称矩阵，则AT ＝A 。 6、若A为反对称矩阵，则AT＝－A 。
一、向量组的线性相关性主要知识网络图
运算
概念
n 线性表示
维
判定
向 量 组 的 线
向 量 线性相关
概念
判定 概念
充要条件 充分条件
性 相
线性无关
【精品】线性代数各章知识点及脉络图(含例题)-假期预习必备
一、行列式知识结构网络图概念性质展开式计算证明0A =应用经转置行列式的值不变；某行有公因数k ，可把k 提到行列式外；某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和； 两行互换行列式变号；某行的k 倍加至另一行．行列式的值不变；不同行、不同列的n 个元素之积的代数和1nn ik ik k D a A ==∑（按i 行展开）1nn kj kj k D a A ==∑（按j 行展开）余子式、代数余子式给定（i ,j ）元的值未给定（i ,j ）元的值化三角形－加边法、爪型行列式；公式法－特殊行列式、范德蒙德行列式； 递推、数学归纳法；等用行列式性质计算； 用矩阵性质计算； 用方阵的特征值；等克拉默法则；判断方阵的可逆，利用伴随几种求逆矩阵； 线性相关性的判定；求矩阵的秩，并判断线性方程组的解存在情况； 求方阵的特征值。
()n n R n ⨯<A ；0是方阵A 的特征值；=-A A行列式行列式是线性代数中的重要工具，在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值、判断二次型的正定性等方面都要用到．本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计算行列式．行列式的计算除了利用性质及展开定理外，还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法等，计算方法多，技巧性强，这是难点所在．要掌握好这些方法，首先必须具体分析所求行列式元素分布的规律，针对其特点采取适当的方法；其次是要注意总结、积累经验，不断提高运算能力．行列式的性质【例】：已知531，252，234都是9的倍数，利用行列式的性质（而不是展开），证明522353124也是9的倍数。
解答：522353124231321010r r ,r r ++522353531252234139r 5229353582726【例】：如果除最后一行外，从每一行减去后面的一行，而从最后一行减去原先的第一行，问行列式值如何变化？解答：设原行列式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A αα 1det ，则新的行列式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-113221det ααααααααn n n B ， ()00,,3,2det 11321113221=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=--ααααααααααααααn n n i n n n n i r r B特殊行列式1、（主）对角行列式、上（下）三角行列式1111111111221122221111111niii nnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a ====∏2、（次）对角行列式、上（下）三角行列式()()12111111212212121111111n n n n n nn,n,n ,n ,n iii n n,n nnn n a a a a a a a a a a aa a a a a ----=-===-∏3、分块三角行列式 形式简记为：*==⨯*A O A AB BO B，()1k n⨯*==-⨯*O A AA B BB O4、范德蒙德行列式()211112112122222221212121111111121121111111,,,11n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x --------------==()()121,,,n ijn i j f x x x x x ≥>≥=-∏ ()()()()()1213211212111,,,n nj n j j j n j n j j j f x x x xx xx xx x x --≥≥-≥≥≥≥≥≥=-⋅---∏∏∏∏()()()()1221n n n n n n x x x x x x x x --=----()()()()()()()12131211323121n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -------------认识范德蒙德行列式可以将n 阶范德蒙德行列式看成式关于n 个变量12,,,n x x x 的函数，即()12,,,n n D f x x x =。
考研线性代数公式速记大全
概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ○注：全体n 维实向量构成的集合nR 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量○注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+<⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩有非零解=-⎫⎪≅⎪−−−→⎬⎪⎪⎭具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量87p 教材； ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑1√ 行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OA A O A BO B O B BOAAA BB OB O*==**=-1（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-1 （即：所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和）⑤范德蒙德行列式：()1222212111112ni j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m n A a ⨯=或m nA ⨯()1121112222*12n Tn ijnnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:① 1A A A *-= ○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 主换位副变号②1()()A E E A -−−−−→ 初等行变换③1231111213a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 方阵的幂的性质：mnm nA A A+= ()()m n mn A A =√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭ ⇔i i A c β= ，(,,)i s = 1,2⇔i β为i Ax c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ⇔12,,,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，TA 为系数矩阵.即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ √ 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量； 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√ 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A OC B B CA B ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫=⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B B B A**⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) A B E X −−−−→ 初等行变换(I)的解法：构造()()T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示.向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示.⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<；m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=.⑨ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0⑪ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ； 对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r =向量组12,,,n ααα 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααA 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⑫ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ B =，,P Q 可逆⇔()(),,,r A r B A B A B =≠>为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑬ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔AX B =有解⇔12(,,,)=n r ααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；p 教材94,例10⑯ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑰ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑱ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑲ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关. √ 矩阵的秩的性质：①()A O r A ≠⇔若≥1 ()0A O r A =⇔=若 0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n②()()()T T r A r A r A A == p 教材101,例15③()()r kA r A k =≠ 若0④()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥()()()()A r AB r B B r AB r A ⇒=⇒=若可逆若可逆 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B OA AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧()rrE O E O r A r A A O O O O ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70 ⑩()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭121212,,,0,,,()(),,,A n n A n Ax A n Ax Ax r A r A Ax A n βαααβαααβββααα⇔=−−−−−→=<⇔⇒⇔=⇔=⇔=⇔=−−−−−→≠⇒=⇔⇒ 当为方阵时当为方阵时有无穷多解0表示法不唯一线性相关有非零解可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一 线127()(),,,()()()1()n Ax r A r A Ax r A r A r A r A οββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⇔=⎪⎩⎧⇔≠⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩教材72讲义8性无关只有零解不可由线性表示无解 ○注：AxAx ββ⇒=<≠⇒=<≠有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解Ax β=1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11212(,,,)n n x x x αααβ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k kk k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =⇒()()r A r A β= ⇒Ax β=一定有解，当m n <时,一定不是唯一解⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β 和的上限.√ 判断12,,,s ηηη 是Ax ο=的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηη 线性无关； ② 12,,,s ηηη 都是Ax ο=的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.本帖为考研加油站 和考研论坛 网友songhonger 原创，原创帖子地址 /viewthread.php?tid=2097349&page=1&extra=page%3D1√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξ 是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη* 线性无关 √ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 两个齐次线性线性方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔()()A r r A r B B ⎛⎫==⎪⎝⎭. √ 两个非齐次线性方程组Ax β=与Bx γ=都有解，并且同解⇔()()A r r A r B B βγ⎛⎫==⎪⎝⎭. √ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）；101p 教材 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）. √ 关于公共解的三中处理办法：① 把(I)与(II)联立起来求解；② 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设123,,ηηη是(I)的基础解系, 45,ηη是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解⇔基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即：1231231425(,,)(,,)r r c c ηηηηηηηη=+当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设11122c c ξηη++是(I)的通解，233c ξη+是(II)的通解，两方程组有公共解⇔2331c ξηξ+-可由12,ηη线性表示. 即：12122331(,)(,)r r c ηηηηξηξ=+-③ 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。
线性代数
28
两个线性空间的直积 • U×V = { (u,v) | u∈U,v∈V }
• Jordan标准形
9
课程内容
六、一般数域上的矩阵相似问题（10学时）
• 特征方阵
• 行列式因子、不变因子、初等因子
• 相似标准形
• 实相似与复相似
10
课程内容
七、内积空间（10学时）
• 内积、Euclid空间
• 标准正交基、正交变换
• 正交方阵、实规范方阵
• 实方阵的正交相似、正交相抵
• 酉内积、酉空间
• 双线性函数
11
课程内容
八、二次型（8学时）
• 二次型的定义
• 二次型的相合标准形
• 二次型的正定性
• 二次型的应用
12
一、数域与多项式
• 域：定义了加法、乘法运算的非空集合，满足性质： （A1）加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
（A2）加法交换律
（A3）有加法单位元0 （A4）有加法逆元
• 每个整数/多项式矩阵A都可表为A=QR的形式，其中Q 是幺模阵, R是上三角阵。 • Smith标准形：每个整数/多项式矩阵A都可表为A=PDQ 的形式，其中P,Q是幺模阵, D=diag(d1,…,dr,O)是对角
阵，d1|…|dr≠0。
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三、线性空间
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域F上的线性空间(V,F,+,∙) • 线性空间V：具有加法、数乘运算的非空集合。
段正敏主编《线性代数》习题解答
线性代数习题解答1张应应胡佩2013-3-1目录第一章行列式 (1)第二章矩阵 (22)第三章向量组的线性相关性 (50)第四章线性方程组 (69)第五章矩阵的相似对角化 (91)第六章二次型 (114)附录：习题参考答案 (129)1教材：段正敏，颜军，阴文革:《线性代数》，高等教育出版社，2010。
第一章 行列式1．填空题：（1）3421的逆序数为 5 ；解：该排列的逆序数为00235t =+++=. （2）517924的逆序数为 7 ；解：该排列的逆序数为0100337t =+++++=. （3）设有行列式2311187001234564021103152----=D =)(ij a ∆， 含因子543112a a a 的项为 -1440，0 ； 解：(23154)31223314554(1)(1)526831440t a a a a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅=-(24153)41224314553(1)(1)506810t a a a a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅=所以含因子543112a a a 的项为-1440和0.（4）若n 阶行列式=-∆==∆=)(,)(ij ij n a D a a D 则()1na-；解：Q 行列式中每一行可提出一个公因子，()()()1()1n nij ij D a a a ∴=∆-=-∆=-.（5）设328814412211111)(x x x x f --=，则0)(=x f 的根为 1，2，-2 ；解：是一个Vandermonde 行列式，()(1)(2)(2)(21)(22)(21)0f x x x x ∴=--+-----=的根为1，2，-2.（6）设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式=132213321x x x x x x x x x 0 ； 解：根据条件有332123123123()()()()x px q x x x x x x x x x x x ax x x x ++=---=-+++-比较系数可得：1230x x x ++=，123x x x q =-再根据条件得：311322333x px q x px q x px q⎧=--⎪=--⎨⎪=--⎩原行列式333123123123=3()33()0x x x x x x p x x x q q ++-=-++--⋅-=.（7）设有行列式10132x x x-=0，则x = 1，2 ； 解：2231032(1)(2)001xx x x x x x -=-+=--= 1,2x ∴=.（8）设=)(x f 444342343331242221131211a a a xa a x a a x a a x a a a ，则多项式中的系数为 0 ；解：按第一列展开11112121313141()f x a A a A a A xA =+++，Q 112131,,A A A 中最多只含有项，∴含有的项只可能是()()12134141222433343123413242233132234122433(1)a a x xA x a x a xa a x x a a a a a a x a a a a a a +=-⎡⎤ =-++-++⎣⎦Q 不含项，∴中的系数为0.（9）如果330020034564321x=0，则x = 2 ；解：12346543122(512)(63)000265330033xx x =⋅=--=2x ∴=.（10）00000000000dc b a = -abcd ；解：将行列式按第一行展开：1400000000(1)0000000000a b b a c abcd c dd+=⋅-=-. （11）如果121013c b a =1，则111425333---c b a = 1 ； 解：1323323133301302524121111111Tr r AA r r a a b c a b c b c -=+---=. （12）如333231232221131211a a a a a a a a a =2，则333232312322222113121211222222222222a a a a a a a a a a a a ---= -16 ， 332313231332221222123121112111323232a a a a a a a a a a a a a a a ------= -4 ，3212000332313322212312111a a a a a a a a a = -4 ；解：1112131121312122231231222321233132331323332T a a a a a a A a a a A a a a a a a a a a αααβββ======()()1112121332122222312231223313232331221232222222222222222288016a a a a a a a a a a a a A αααααααααααααα--=-=-- =+-=-=-()1121112131122212223212123121231323132333122311232323232323232a a a a a a a a a a a a a a a ββββββββββββββββββ----=--=---- =-+-- =()1223122123224T A ββββββββββ-=- =-=-11213114122232132333000212423T a a a A a a a a a a + ⋅=-按第一行展开（-1）.（13）设n 阶行列式=，且中的每列的元素之和为b ，则行列式中的第二行的代数余子式之和为=a b；解：11121111211112121222121212111=n n n n n n nn n n nn n n nna a a a a a a a a a a ab b b b a a a a a a a a a L L L L L LM M M M M M M M M L L L每行元素加到第二行 ()212220n b A A A a+++=≠L 按第二行展开∴212220,0n b A A A ≠+++≠L 且21222n aA A A b∴+++=L 实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之和12,1,2,,i i in aA A A i n b+++==L K . （14）如果44434234333224232214131211000a a a a a a a a a a a a a =1，则24231211444342343332242322000a a a a a a a a a a a a a = -1 ， 443424433323423222a a a a a a a a a =111a ；解：令222324323334424344a a a B a a a a a a =，则111213142223241111113233341142434401(1)10,000a a a a a a a a B a B a a a a a a a +=⋅-= ⇒ ≠=≠且 2223243233344111114243441112232400(1)10a a a a a a a B a B a a a a a a a +=⋅-=-=- 223242233343112434441T a a a a a a B B a a a a ===.（15）设有行列式101321x x -，则元素的余子式2的代数余子式（16）设3214214314324321=D =)(ij a ∆，ij ij a A 表示元素的代数余子式，则=+++44342414432A A A A 0 ；解：方法一：14243444234A A A A +++可看成中第一列各元素与第四列对应元素代数余子式乘积之和，故其值为0.方法二：11424344412312342234034134124A A A A +++=推论.（17）设cdb a ac bd a d b c d c b a D ==)(ij a ∆，ij ij a A 表示元素的代数余子式，则=+++44342414A A A A 0 ；解：1424344411011a bc c bd A A A A d b c a b d +++=推论4.（18）设6000000000000002000230023402345)(x x x x x x f --=，则的系数为 6 ；解：方法一：5425525432543243200432032000()66(1)(1)63200200002000000000006x x x x x f x x x x x x xx⨯--===⋅-⋅-⋅=--方法二：Q 只有一项非0()()54321615243342516610255543204320032000()12000000000006(1)(1)66t x x x f x a a a a a a x x x x -∴==-- =-⋅-⋅⋅=综上所述：的系数为6.（19）设1112121222121112111121212222122212120m m m m mm n m n m n n nnn n nma a a a a a a a a Db b bc c c b b b c c c b b b c c c =KK M M L M K K KK K MM LM MM LM KK， 且111212122212m mm m mma a a a a a a a a a =KK M M L M K111212122212n n n n nnb b b b b b b b b b =K K M M L M K，则=()1mnab - ； 解：方法一：令111212122212m m m m mm a a a a a a A a a a a ==L LM M M L，111212122212nnn n nnb b b b b b B b b b b ==L LM M M L则1A O D A B ab CB==⋅=,()()211mnmnO AD A B ab B C==-⋅=-证明：根据行列式性质2和5，将行列式变成下三角行列式，得到：11112121222212121212mm m m m mmm m ma a a a a a a a a A a a a a a a a a a a '====''LL L M MM M M O LL行列式、的变换和行列式的变换完全相同，得到：1212121111211112121222212221212m m m m n m n n n nm n n nna a a a a a D c c cb b bc c c b b b c c c b b b '''='''''''''M M O L L LL L M M M M M M LL1212122111211112121222212221212m m m nm n m n n nnn n nm a a a a a a D b b b c c c b b b c c c b b b c c c '''='''''''''MM O L LL L L M M M M M M LL分别将、第一次按第一行展开（变成第一行），第二次按第二行展开（变成第一行），……，总共进行m 次第一行展开，得到：112m D a a a B A B ab ==⋅=L ；()()()()()11111121211111n n n mn mnm D a a a B A B ab ++++++=-⋅--⋅=-⋅⋅=-L证毕.方法二：设()ij m m A a ⨯=，()pq n n B b ⨯=，()()()ij m n m n A O D d C B +⨯+⎛⎫== ⎪⎝⎭其中：(), 1:,1:, 1:,1:,, , 1:,1:, ij ij pq pja i m j m db i m m n j m m n p i m q j mc i m m n j m p i m ==⎧⎪==++=++=-=-*⎨⎪=++==-⎩那么：()(){}{}1111111,,,,1,,1m m m n m m m n m n t p p p pp mp m p m n p p p m n A O D d d d d C B +++++++=+==-∑L L L L L L ()()()()(){}{}{}{}()()()(){}{}{}{}()(){}{}()(){}11111111111111111111,,1,,,,1,,11,,1,,,,1,,11,,1,,,,11111m n m nm m n n m nmm n n m n m m t p p m l m l p mp l nl p p m l l n t p p t l l p mp l nl p p m l l n t p p t l l p mp l nl p p m l l a a b b a a b b a a b b *++=====-⎡⎤=-⋅-⎣⎦⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 由{}1,,n A B ab=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=⋅=∑L1112121222122111211112121222212221212m m m m mmn m n m n n nn n n nma a a a a a a a a Db b bc c c b b b c c c b b b c c c =L L M M M L L L L L M M M M M M LL中依次与12,,,n b b b g g g L 对换，使得在下面；()1m a - g 依次与12,,,n b b b g g g L 对换，使得()1m a - g 在下面，在上面；……依次与12,,,n b b b g g g L 对换，使得在下面，在上面； 总共进行了mn 次对换。
考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结归纳)
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线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1,a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2,…………a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=b m,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由m?n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m?n型矩阵.例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个4?5矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a11 a12… a1n a11 a12… a1n b1A= a21 a22… a2n 和(A|?)= a21 a22… a2n b2…………………a m1 a m2… a mn a m1 a m2… a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,? ,a n的向量可表示成 a1(a1,a2,? ,a n)或 a2 ,┆a n请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n矩阵,右边是n?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m?n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为?1,??2,? ,?n时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(?1,??2,? ,?n).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量?和?相等(记作?=?),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m?n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m?n矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m?n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m?n的矩阵,记作c A,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A.④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.⑤ c A=0? c=0 或A=0.转置:把一个m?n的矩阵A行和列互换,得到的n?m的矩阵称为A的转置,记作A T(或A?).有以下规律:① (A T)T=A.② (A+B)T=A T+B T.③ (c A)T=c A T.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当?是列向量时,?? T表示行向量,?当?是行向量时,? T表示列向量.向量组的线性组合:设?1,??2,…,?s是一组n维向量, c1,c2,…,c s是一组数,则称c1?1+c2?2+…+c s?s为?1,??2,…,?s的(以c1,c2,…,c s为系数的)线性组合.n维向量组的线性组合也是n维向量.(3) n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|?),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|?).(2)用(B|?)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ?,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|?)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|?0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|?),则?就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵?A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵?A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵?A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立?(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12 (1)a21 a22 (2)……… .a n1 a n2… a nn如果行列式的列向量组为?1,??2, … ,?n,则此行列式可表示为|?1,??2, … ,?n|.意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:a11 a12a21 a22 = a11a22-a12a21 .a11 a12 a13a21 a22 a23 = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32-a13a22a31- a11a23a32-a12a21a33.a31 a32 a33一般地,一个n阶行列式a11 a12 (1)a21 a22 (2)………a n1 a n2… a nn的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定?(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n的逆序数(意义见下面),则项nnj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21nj j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:023********,??(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 至此我们可以写出n 阶行列式的值: a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(n n nnj j j j j j j j j a a a τ-∑… … … a n1 a n2 … a nn这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij 的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.3.其它性质行列式还有以下性质:①把行列式转置值不变,即|A T|=|A| .②某一行(列)的公因子可提出.于是, |c A|=c n|A|.③对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量???????则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量?换为?或??所得到的行列式.例如|?,?1+?2???|=|?,?1???|+|?,?2???|.????④把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.⑥某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.⑦如果A与B都是方阵(不必同阶),则A * = A O =|A||B|.O B * B范德蒙行列式：形如1 1 1 (1)a1 a2 a3 … a na12 a22 a32… a n2…………a1n-i a2n-i a3n-i… a n n-i的行列式(或其转置).它由a1,a2 ,a3,…,a n所决定,它的值等于因此范德蒙行列式不等于0? a1,a2 ,a3,…,a n两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D1/D, D2/D,?,D n/D),这里D是系数行列式的值, D i是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A|?)作初等行变换,使得A变为单位矩阵:(A|?)?(E|?),?就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A| 0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1 a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例3 1+x1 1 1 11 1+x2 1 1 .1 1 1+x3 11 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 33x2-29 x3 6 -6例7求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x4和x3的系数.0 b x+1 12 2 1 x例8 设4阶矩阵A=(?, ?1, ?2 ,?3),B=(?, ?1, ?2 ,?3),|A|=2, |B|=3 ,求|A+B| .例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.1 -z x+3 yy-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01)2 2 2 20 -7 0 05 3 -2 23.几个n 阶行列式 两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a n b 1 c 2 0 … 0 0证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)ni i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111nni i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … … b n ?????????? … 0 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 另一个常见的n 阶行列式: 例13 证明a+b b 0 … 0 0 a a+b b … 0 0… … … … = 11n n nn i ii a b a b a b ++-=-=-∑(当a ?b 时).0 0 0 … a+b b 0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.4.关于克莱姆法则的题例14设有方程组x1+x2+x3=a+b+c,ax1+bx2+cx3=a2+b2+c2,bcx1+acx2+abx3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等.(2)在此情况求解.参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x3(x+4). ③ a3(a+10).例2 1875.例3 x1x2x3x4+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3.例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a2-a3+a4-a5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x1=a,x2=b,x3=c..第三讲矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a11 a12... a1n b11 b12... b1s c11 c12 (1)A= a21 a22... a2n B= b21 b22... b2s C=AB=c21 c22 (2)………………………a m1 a m2… a mn ,b n1 b n2… b ns ,c m1 c m2… c ms ,则c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a in b nj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A?0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A?0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质 (c A)B=c(AB).③结合律 (AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n 阶矩阵A 和B 都可以相乘,乘积AB 仍是n 阶矩阵.并且有行列式性质: |AB |=|A ||B |.如果AB =BA ,则说A 和B 可交换.方幂 设k 是正整数, n 阶矩阵A 的k 次方幂A k 即k 个A 的连乘积.规定A 0=E . 显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则: ① A k A h = A k+h . ② (A k )h = A kh .但是一般地(AB )k 和A k B k 不一定相等! n 阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m +a m-1x m-1+…+a 1x+a 0,对n 阶矩阵A 规定 f(A )=a m A m +a m-1A m-1+…+ a 1A +a 0E .称为A 的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E .乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有: (A ?B )2=A 2?2AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A和B,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A的纵向切割和B的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A11 A12 B11 B12 = A11B11+A12B21 A11B12+A12B22A21 A22 B21 B22 A21B11+A22B21 A21B12+A22B22要求A ij的列数B jk和的行数相等.准对角矩阵的乘法:形如A1 0 0A= 0 A2 0………0 0 …A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A1,A2,…,A k都是方阵.两个准对角矩阵A1 0 ... 0 B1 0 0A= 0 A2 ... 0 , B= 0 B2 0………………0 0 …A k 0 0 …B k如果类型相同,即A i和B i阶数相等,则A1B1 0 0AB = 0 A2B2 … 0 .………00 …A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是m?n矩阵B是n?s矩阵. A的列向量组为?1,?2,…,?n,B的列向量组为?1,??2,…,?s, AB的列向量组为?1,??2,…,?s,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):①AB的每个列向量为:?i=A?i,i=1,2,…,s.即A(?1,??2,…,?s)=(A?1,A?2,…,A?s).②?=(b1,b2,…,b n)T,则A?= b1?1+b2?2+…+b n?n.应用这两个性质可以得到:如果?i=(b1i,b2i,…,b ni)T,则?i=A?I=b1i?1+b2i?2+…+b ni?n.即:乘积矩阵AB的第i个列向量?i是A的列向量组?1,??2,…,?n的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量?i的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵?从左侧乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵?从右侧乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(?,?,?), C=(?+2?-?,3?-?+?,?+2?),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(i?j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j 列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B 有s列,设B=(?1,??2,…,?s),则X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=?i,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B 有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)?(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)?(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0?B=0；AB=AC?B=C.(左消去律)；BA=0?B=0；BA=CA?B=C. (右消去律) 如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C?B=A-1C. BA=C?B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理 n阶矩阵A可逆?|A|?0.证明“?”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|?0. (并且|A-1|=|A|-1.) “?”因为|A|?0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E?BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c?0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵①计算逆矩阵的初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E)?(E|A-1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.②伴随矩阵若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为 A11 A21… A n1A*= A12 A22… A n2 =(A ij)T.………A1n A2n… A mn请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc?0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A； n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.计算题例1??=(1,-2,3) T,?=(1,-1/2,1/3)T, A=?? T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A=?? T,则A k=(?T?)k-1A=(tr?A??)k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如?T?的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1??T= -1 1 -1 ，求?T?.（2003一）??????????????②设?=(1,0,-1)T, A=??T,求|a E-A n|.③?n维向量?=(a,0,?,0,a)T, a<0, A=E-??T, A-1=E+a-1?? T,求a. (03三,四)④ n维向量?=(1/2,0,?,0,1/2)T, A=E-?? T, B=E+2?? T,求AB. (95四)⑤ A=E-?? T,其中?,?都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求?T?.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)?????????????????????????例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n=A n-2+A2-E. (2) 求A n.????????????????????????????例4??设A为3阶矩阵, ?1,?2,?3是线性无关的3维列向量组,满足A?1=?1+?2+?3, A?2=2?2+??3, A?3=2?2+3?3.求作矩阵B,使得A(?1,?2,?3)=(?1,?2,?3)B. (2005年数学四)例5设3阶矩阵A=(?1,?2,?3),|A|=1,B=(?1+?2+?3,?1+2?2+3?3,?1+4?2+9?3),求|B|.(05)例6 3维向量?1,??2,??3,??1,??2,??3满足?1+?3+2?1-?2=0,?3?1-?2+?1-?3=0,???2+?3-?2+?3=0,已知??1,??2,??3|=a,求|??1,??2,??3|.例7设A是3阶矩阵,??是3维列向量,使得P=(?,A?,A2?)可逆,并且A3?=3A?-2A2?.又3阶矩阵B满足A=PBP-1.(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X.-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X.1 -1 1例11 4阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知1 0 0 0A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11.2 13 0 0 -1例13设?1=(5,1,-5)T,??2=(1,-3,2)T,??3=(1,-2,1)T,矩阵A满足A?1=(4,3) T, A?2=(7,-8) T, A?3=(5,-5) T,求A.2.概念和证明题例14 设A是n阶非零实矩阵,满足A*=A T.证明:(1)|A|>0.(2)如果n>2,则?|A|=1.例15 设矩阵A=(a ij)3?3满足A*=A T,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A 0 ,则C*=0 B(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆.讨论: 如果f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)?0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设?是n维非零列向量,记A=E-??T.证明(1) A2=A??T? =1.(2)??T? =1? A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B都是n阶矩阵,证明E-AB可逆? E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab?0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆? B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B都是n阶对称矩阵, E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例135A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1① 3.② a2(a-2n). ③ -1. ④ E. ⑤ 4.例2 O.例3 (1)提示: A n=A n-2+A2-E?A n-2(A2-E)=A2-E ? A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例 4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例 6 –4a.例 7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例 9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例 10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例 11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例 12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例 13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例 17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19 E(i,j).例22 提示:用克莱姆法则.例如证明 ,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例 24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:计算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系设?1,?2,…,?s是一个n维向量组.如果n维向量?等于?1,?2,…,?s的一个线性组合，就说?可以用?1,?2,…,?s线性表示.如果n维向量组?1,??2,…,?t?中的每一个都可以可以用?1,?2,…,?s线性表示,就说向量?1,?2,…,?t可以用?1,?2,…,?s线性表示.判别“?是否可以用?1,??2,…,?s线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程x1?1+?x2?2+…+x s?s=?是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以??1,??2,…,?s????为增广矩阵的线性方程组.反之,判别“以?A???为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“?是否可以用A的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题.????????向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB的每个列向量都可以表示为A的列向量组的线性组合,从而AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示;反之,如果向量组?1,?2,…,?t可以用?1,?2,…,?s线性表示,则矩阵(?1,?2,…,?t)等于矩阵(?1,?2,…,?s)和一个s?t矩阵C的乘积.C可以这样构造: 它的。
南方科技大学2023年《801线性代数》考研专业课真题试卷
南方科技大学2023年硕士研究生招生考试试题科目代码： 801 科目名称：高等代数考生注意：答案要写在答题纸上，写在试题纸上无效1、线性方程组{x1+4x2+2x3+3x4=b3x1+12x2+6x3+8x4=92x1+8x2+4x3+8x4=12。
（1）b为何值时，方程组有解；（2）有解时，求一般解。
2、A为n阶实矩阵，且A3=2A+4E，求所有满足条件的A。
3、B是n阶可逆实方阵，A=(E BB T O)。
求A的正、负和零特征值的个数。
4、若复方阵A，B满足B2=A，则称B是A的一个平方根。
（1）举一个2阶复方阵无平方根的例子；（2）证明：所有二阶可逆复方阵一定有平方根；（3）n阶(n≥3)可逆复方阵是否一定有平方根？说明理由。
5、W=ℝn×2是n×2实矩阵生成的线性空间，映射τ：W→W，τX=AX，其中A是秩为r的n阶实方阵。
（1）验证τ为线性变换；（2）求di̇m Ker τ，dⅈm Im τ。
6、A，B是n阶复方阵，满足A+B=AB。
求证：AB=BA。
7、E1，⋯，E2n−1是{1,2,⋯,n}的非空子集的一个排序，矩阵A(2n−1)×(2n−1)中元素aⅈj={0,Eⅈ∩E j=ϕ1,Eⅈ=E j≠ϕ。
求det A(2n−1)×(2n−1)。
8、设Σ是n阶实方阵构成的线性空间，U是Σ的子空间且U中所有非零元素都是可逆矩阵，φ(n)=maxU∈Σdⅈm U。
证明：（1）n为奇数时，φ(n)=1；（2）n为偶数时，φ(n)≤n。
9、(V，（，）)是n维实内积空间，向量组S={a1,⋯,a k}⊂V且(aⅈ,a j)<0，1≤ⅈ≠j≤n。
求证：k≤n+1。
线性代数-工程版(同济大学第六版)ppt课件
二、历史与发展
线性代数作为一个独立的分支在20世纪才 形成，而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼” 问题就是一个简单的线性方程组求解的问题。 最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中 国古代东汉年初成书的数学著作《九章算术·方 程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所 述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩 阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
27
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则 并不适用！
26
2. 三阶行列式的计算 ——对角线法则/三角形法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
D1 D
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
D2 D
24
例1
求解二元线性方程组
3 x1 2 2 x1
x2 x2
12 1
3 2
解 因为 D
3 (4) 7 0
21
12 2
D
12 (2) 14
11 1
3 12
D
3 24 21
2 21
所以
x1
线性代数-课程学习必备的教材
分块对角矩阵的性质：
1） A A1 A2 As ;
A11 1 2） 若 Ai 0 ，则有 A ; As 1
A1 B1 A ,B , 3）若 As Bs A1 B1 则有 AB ; As Bs
D , 当 i j, aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
n
D , 当 i j, aki Akj D ij 0 , 当 i j; k 1
n
1 , 当 i j， ij 0 , 当 i j.
5、矩阵的分块及运算规则 对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，
经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运 算. 具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成 许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块，以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似. A1 Ai i 1,2, s A2 , 分块对角矩阵 A 都是方阵. As
As 1 A1 则 A 1 , 4）若 A ; A A 1 s 1 Ai i 1,2, s 均为可逆方阵. A1n A1 则 An , 5）若 A ; As n As
矩阵方程
AX B XA B
AXB C
解
X A 1 B X BA 1 X A 1 C B 1
证明 D1 D2
n 1
a12 b a 22 an2 b
1
a1n b1 n a 2 n b2 n , a nn
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或 可表为 其中
Ax b,
x11 x22 xnn b,
A 1,2 ,
, n .
关于第二章 线性方程组的编写
内容是全书最难理解的。 编写的准则是不求最简，只求容易接受
第二章 线性方程组
第一节 线性方程组
一、克拉默(Cramer)法则
二、线性方程组的消元法
第一类 64课时；48课时 第二类 32课时 考试：期中、期末统一考试，统一改卷。
戴跃进 蔡丽娟 林玉闽 陈桂芝
本书结构
第一章 矩阵
第二章 线性方程组 第三章 矩阵的特征值和特征向量 第四章 二次型 第五章 线性空间
将行列式放在矩阵一章的好处之一：
突出矩阵这一符号在本课程中的中心地位
mn
b1 b2 . . b m m
将行列式放在矩阵一章的好处之二：
行列式对矩阵计算几乎没有价值
例如
0.1 0.1 A 0.1 1000
det A 101000.
进一步引入：
a12 a12 a11 a11 a a a a 21 22 21 22 a a a m 2 am 2 m1 m1
n x1 b1 a1n a1 a x b a2 n 2 n 2 2 , , amn a xn b
何时无穷多解！解之间的关系！
（1）书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 谢谢观看 （2）黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。 献给大家几句我很喜欢的话 （3）读书要三到：心到、眼到、口到 （4）一日无书，百事荒废。 ——陈寿 天将降大任于斯人也 （5）我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。 ——高尔 必先劳其筋骨 坚持的人才会成功 基 爱好学习的人才有梦想 （6）书到用时方恨少，事非经过不知难。 ——陆游 没有谁一开始就拥有一切 （7）读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。 ——笛卡 努力就有未来 儿 （8）理想的书籍是智慧的铜匙。 ——列夫托尔斯泰 （9）书籍是造就灵魂的工具。 ——雨果 （10）书籍是全世界的营养品，生活里没有书籍就好像 没有阳光；智慧里没有书籍就好像鸟儿没有翅膀。 —— 莎士比亚 坚持才会成功 （11）问渠哪得清如许，为有源头活水来。 ——朱熹
mn
, x x1 , x2 ,
, xn , b b1 , b2 ,
T
, bm .
T
介绍了矩阵分块运算，问题
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , amn xn bm .
希望解答的问题仍然是：该方程组何时 无解？ 有唯一解？如何求解？ 何时无穷多解？解之间的关系。
再推广：一般n元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , amn xn bm .
介绍了矩阵运算，所研究的问题
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , amn xn bm .
可表为
Ax b,
其中
A aij
一、向量组的秩 二、向量组的等价 三、向量组的秩与矩阵秩的关系
可以通过例子说明： 最大无关组的存在性，不唯一性。 秩唯一吗？
用向量组间的关系来论述秩的唯一性
第四节 线性方程组解的结构
一、齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构
已经得到问题：
Ax b
何时
无解！
有唯一解！如何求解！
再回头看一下我们讨论的问题：
Ax b
已经解决的问题：该方程组何时
无解！
有唯一解！如何求解！
何时无穷多解！解之间的关系？
第二节 向量间的线性关系
一、n 维向量
二、向量的运算
三、线性相关性
强调向量组线性相关定义的重要性； 强调向量组线性相关与齐次线性方程组解的关系
直至与系数矩阵秩的关系
第三节 向量组的秩与最大无关组
计算机能够表示的最小的正数
%计算机可以表示的最小的正实数 x=1; while x+x>x x=x/2 pause(.02) end
4.94 10
324
.
第一章 矩阵
第一节 矩阵的概念 第二节 矩阵的运算
第三节 矩阵的分块
第四节 矩阵的行列式
第五节 可逆矩阵
第六节 矩阵的秩 第七节 矩阵的初等变换
Xiamen University
《线性代数》教材
厦门大学数学科学学院 陈桂芝
编写线性代数教材的初衷
目前我校线性代数选材情况来自经管类 高等学校经济管理学科数学基础
《线性代数》中国人民大学 卢刚主编，高等教育出版社
理工类
工科数学
《线性代数》同济大学，高教出版社
线性代数管理情况
秋季开课分为：
教学中的引例：二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
几何意义：
无解
唯一解
无穷多解
推广：n元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , ann xn bn .
仍希望解答的问题仍然是：该方程组何时 无解？ 有唯一解？如何求解？ 何时无穷多解？解之间的关系。
数学也是一门符号的艺术，问题不同符号不同 问题：
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , amn xn bm .