贝塞尔函数与三角函数

 
第一 一类贝塞 塞尔函数 数
在柱坐标 标系中对 对拉普拉斯 斯方程 尔方 方程 0 对应于贝塞尔方 方程的通解 解为 （ （2） 或 （3） 上述第一 一种解的表达式只 只对 为整数阶 阶时， 种解 解的表达式 式对任意 意 把 1 均成立 立。 为非 非整数情况 况是成立的，因为 为当 ，两个解 解不是独立 立的解；第 第二 （ （1） 0进行 行分离变量 量法得到贝 贝塞
塞尔函数。 称为第一类贝塞
图1
0 阶、1 阶和 2 阶第一类贝 贝塞尔函数（J
线 x ）曲线

 
第一类贝塞尔函数的级数表达式
1 ! 伽马函数 , 1 1; 2 1；当 n 为正整数时， 0 1 1 2 k 0 4
！ 
整数阶贝塞尔函数的母函数
把e 和e 分别展开为绝对收敛级数，然后逐项相乘而得到
e
1 x m n ! n! 2
1 1 n! |m| 1 1
z
x n ! 2 J|
| |
z
J
x z
|
x z
J 因此 e
x z
（5）
称为整数阶第一类贝塞尔函数的母函数。 这是丹麦
天文学家汉森于1843 年提出的。
雅可比-安格尔恒等式
在（4）式中，令 ，则 （6） 

 
也可以变换为 （7） 雅可比-安格尔恒等式在物理（平面波与柱面波相互转换）和信 号处理（描述调频信号）中非常有用。 由于 为整数阶时， 2 利用欧拉公式 边的实部、虚部分别相等，得到 2 2 同理，可得 2 2 2 2 1 1 1 cos 2 cos 2 1 1 ，则式（7）变为 （8） 
，等式（8）两