矩阵不等式

令Mr=|arr|+
如果A按行严格对角占优，则
(5.1.5)
且当ars=0(s>r)时，式(5.1.5)中等号成立。
证明：由于A按对角占优，所以det(A)0.
考虑方程组
因为A按行对角占优，因此A1也按行对角占优。
从而A1可逆。上述线性方程组有唯一解
x(1)=(2,…,n)T.
可以证明|k|=max {|2|,…,|n|} <1,
则|yHBy| .
定理5.2设ACn×n，则A的任一特征值 满足
| | ||A||
(5.1.3)
(5.1.4)
推论:Hermite矩阵的特征值都是实数;
反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数。
事实上，当A为Hermite矩阵时，由式（5.1.4）
知Im( )=0,即 为实数；
当A为反Hermite矩阵时，由式（5.1.3）知
4). |xTBy|=| |
而 (xTx)1/2(yTy)1/2
由此可以有||(1/2)
思考题：对于(1)式，利用定理特征值都是实数。
事实上，当A这实对称矩阵时，M=0.
由定理5.1可得Im( )=0,即 为实数。
引理1设BCn×n,列向量yCn满足||y||2=1,
易证明||x||1||y||/((||x||2)2+(||y||2)2) /2.
(显然，不妨假设(||x||2)2+(||y||2)2=1,
设||y||=t=cos(),则y必为tej的形式（为什么？），
从而极值转化为求解如下最大值问题：
max||x||1,满足约束(||x||2)2=1t2
这样有均值不等式||x||1 ||x||2= (1t2)1/2,
不妨设a1,…,an线性无关，则对它们进行Gram-schmidt
正交化过程得到：
a1=b1
a2=b2+21b1
…
an=bn+n1b1+n2b2+…+n,n1bn1
其中b1,b2,…bn为正交向量。
从而||ai||2||bi||2
记B=(b1,b2,…bn).
则A=BL,其中L为单位下三角矩阵。
|det(A)|2=|det(B)|2=det(BTB)=||b1||2||b2||2…||bn||2.
事实上，若|k|=0则显然成立。若|k|0，我们有
ak1+ =0 (2kn)
则有 (2kn)
如果|k|1,则可得
(2kn)
这和A对角占优矛盾。
因此|k|=max {|2|,…,|n|} <1成立。
利用分块矩阵的性质和x(1)的定义，我们有
det(A)=det
= det
其中
b11=a11+ , |s|<1 (s=2,…,n)
Re( )=0,即为 为零或纯虚数。
定义.5.1设
,
则称矩阵A按行(弱)对角占优。
定义5.2设ACn×n。如果AT按行严格对角
占优，则称A按列严格对角占优；
如果AT按行（弱）对角占优，
则称A按列（弱）对角占优。
对直接估计矩阵特征之乘积的模的界，
再给出以下两个方法。
定理5.3设A=(ars)Cn×n,
其中 =+i.显然x,y为实向量，且x,y为
线性无关的向量。
经整理A(x,y)=(x,y)B,
其中B= 。
从而(x,y)TA(x,y)=(x,y)T(x,y)B
展开有
=
+
(求等式两边矩阵的对角元之和，可得
(xTx+yTy)=xTAx+yTAy(1)
等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元
可得：
(xTx+yTy)=xT(AAT)y
从而我们需要求解t(1t2)1/2的最大值，设t=cos()
可得t(1t2)1/2的最大值为1/2.从而得证。)
因此||||B||1 /2.
3).由于bii=0,i=1,2,…,n,bij=bji,
因此|xTBy|2=| |2
(2M)2
(利用(a1+a2+…+an)2n((a1)2+(a2)2+…+(an)2)
(2M)2(n(n1)/2)
(2M)2(n(n1)/2)
=M2(n(n1))2[ (xTx)(yTy)(xTy)2]
利用[ (xTx)(yTy)(xTy)2](xTx)(yTy)可得
||M(2n(n1))1/2(xTx)1/2(yTy)1/2/(xTx+yTy)
M(2n(n1))1/2/ 2
=M (n(n1)/2)1/2
|det(A)|2[(a1,a1)maxk>1|(a1,ak)|2/(ak,ak)]det(A1)（*）
从而m1|b11|M1,其余类推可得
0<
定理5.4（Hadamard’s inequality）
设A=(ars)Cn×n,则有
(5.1.7)
且式(5.1.7)中等号成立的充分条件是某
as0=0或者（ar,as）=0(rs),
这里a1,…,an表示A的n个列向量。
证明：若a1,…,an线性相关，则式(5.17)显然成立。
|| a1||2||a2||2…||an||2.
推广的定理5.4（Hadamard’s inequality）
设A=(ars)Cn×n,则有
证明：由于|det(A)|2=det（AHA）
=det
= det
利用对于任给的0有
从而有|det(A)|2[(a1,a1)|H|2/HA1]det(A1)
我们可以取=ek,这样我们就有
5.1特征值的估计
一、特征值的界
首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的
一些方法
定理5.1设A=(ars)Rn×n,令
M=
表示A任一特征值，则 的虚部Im( )
满足不等式
|Im()|||AAT||2/ 2
|Im()|||AAT||1 /2.
证明：设x+iy为对应于 的A的特征向量，
则A(x+iy)=(+i)(x+iy)
本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，
即
特征值的估计
广义特征值问题
实对称矩阵（一般是Hermite矩阵）特征值的
极小极大原理，其次也涉及到一些特征值
和奇异值的扰动问题,最后简要地介绍矩阵
直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解
方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的
理论研究与实际应用当中都有着相当重要
的作用。
1).
记B=AAT,则|xTBy|||x||2||B||2||y||2
从而||||x||2||B||2||y||2/((||x||2)2+(||y||2)2)
利用ab/(a2+b2)1/2可得||||B||2/2.
2).
由于|xTBy|||Bx||1||y||||B||1||x||1||y||
从而||||B||1||x||1||y||/((||x||2)2+(||y||2)2)