基本不等式提高题
【复习】基本不等式(基础训练+典型例题+能力提升+答案)
基本不等式 ◇考纲解读① 了解基本不等式的证明过程． ② 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．◇知识梳理1．常用的基本不等式和重要的不等式①0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当 ，②22,______,2a b a b ab ∈+≥则 ③,_____a b ∈，则ab b a 2≥+， ④222)2(2b a b a +≤+2．最值定理:设,0,x y x y >+≥由① 如积(xy P x y =+定值），则积有______② 如积2(2Sx y S x y += 定值），则积有______（） 运用最值定理求最值的三要素：________________________________________________ ◇基础训练1．若1a b +=，恒有 （ ）A ．41≤ab B ．41≥ab C ．1622≤b a D ．以上均不正确 2．当12x >时，821y x x =+-的最小值为 . 3．已知01x <<，则(12)y x x =-的最大值为 .4．实数,a b 满足22a b +=，则39a b +的最小值为 .◇典型例题例1．求函数(5)(2)(1)1x x y x x ++=>-+的最小值.例2．已知+∈R b a ,，且191,a b+=求a b +最小值.◇能力提升1．若+∈R b a ,，1)(=+-b a ab ，则b a +的最小值是（ ）A ．222+ B.25+ C.222- D.222.下列命题中正确的是( )A .x x y 1+=的最小值是2B .2322++=x x y 的最小值是2 C .4522++=x x y 的最小值是25 D .xx y 432--=的最大值是342- 3. 若+∈R b a ,满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是________________.4.若1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是____________. 5.若(4,1)x ∈-,求2221x x x -+-的最大值.6.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x 台（x 是正整数）,且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用()x f ；（2）能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.1. ① 当且仅当0a =取等号, ②R , ③R +.2. ① 最小值, ②最大值. 一正，二定，三相等◇基础训练 1. A 2. 92 3. 184. 6 ◇典型例题例1. 解：∵ 1x >-，∴ 10x +>，∴2(5)(2)(1)(1)441(1)111x x x x y x x x x ++++++===++++++13≥+例2. 解：∵191,a b +=∴199()()10()1016b a a b a b a b a b +=++=++≥+ ， ∴a b +最小值为16.◇能力提升1.A2. C ,,3. [)9,+∞,4. (],3-∞5. 解：∵(4,1)x ∈-，∴ 10x -<，2222(1)111(1)(1)()1111x x x x x x x x x -+-+⎡⎤==-+=--+⎢⎥----⎣⎦2≤-=- 当且仅当111x x-=-，即0x =时取等号. ∴2221x x x -+-的最大值为2-. 6. 解：（1）设题中比例系数为k ,若每批购入x 台,则共需分x 36批,每批价值为20x 元. 由题意 ()x k xx f 20436⋅+⋅= 由 x =4时,y =52 得 518016==k ()()*,3604144N x x x xx f ∈≤<+=∴ （2）由（1）知 ()()*,3604144N x x x x x f ∈≤<+=()4841442=⨯≥∴x x x f （元） 当且仅当 x x4144=,即 6=x 时,上式等号成立. 故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.。
专题14 基本不等式(解析版)
专题14 基本不等式1．已知关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42<<x x ，则=a b ． 【难度】★ 【答案】31-2．若关于实数x 的不等式a x x <++-35无解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】(]8,∞-【解析】因为35++-x x 表示数轴上的动点x 到数轴上的点3-、5的距离之和，而()835min=++-x x ，所以当8≤a 时，a x x <++-35无解．热身练习3．不等式212+<-x x 的解集为 ． 【难度】★【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-331， 4．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】3≥a 或3-≤a5．若关于x 的不等式164222--≤++x x b ax x 对R x ∈恒成立，则=+b a ． 【难度】★★★ 【答案】10-1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．·基本不等式的几何解释：因为()02≥-y x ，令a x =，b y =，代入展开可得2b a ab +≤知识梳理模块一：利用基本不等式求最值·基本不等式的几何解释：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连结AD ，BD .由射影定理或三角形相似可得CD ＝ab ，由CD 小于或等于圆的半径a ＋b 2， 可得不等式ab ≤a ＋b2.当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．【例1】（1）已知，如果，那么的最小值为__________；（2）已知，如果，那么的最小值为______；（3）若，则的最小值为 ； （4）已知，且，则的最大值为.【难度】★【答案】（1）2 （2）12 （3）22 （4）1162．基本不等式及有关结论(1)基本不等式：如果a >0，b >0，则a ＋b2a b +∈R 、1ab =a b +a b +∈R 、1a b +=22a b +0x >2x x+,x y R +∈41x y +=x y ⋅_____典例剖析≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)重要不等式：a ∈R ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)几个常用的重要结论① b a ＋ab ≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)；② a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)；③ ab ≤2)2(ba (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b时取等号)；④ 21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b22(a ，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数【例2】已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的？（1）abba ≥+2； （2）abb a 222-≥+； （3）ab b a ≥+22； （4）2≥+baa b （5）21≥+a a ； （6） 2≥+abb a （7）222)(2b a b a +≥+）（【难度】★【答案】（2）（3）（6）（7）（1）错误。
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值. 18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCDCABCCC二．填空题 11.12 12.3600 13. 212- 14.对 三、解答题15．ab 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
基本不等式精选练习题答案
基本不等式精选练习题答案基本不等式是初中数学中的重要内容，掌握它对于有关不等式的学习和应用都十分重要。
本文就给出一些基本不等式的精选练习题及参考答案，以帮助读者更好地理解和应用基本不等式。
题目一：对于任意正整数 n，证明 1＋1/2²＋1/3²＋……＋1/n²＞1＋1/2＋1/3＋……＋1/n。
解题思路：利用级数收敛性来证明，由于调和级数收敛，它的平方收敛，而级数 1＋1/2²＋1/3²＋……＋1/n²大于等于级数 1＋1/2＋1/3＋……＋1/n，即可得证。
题目二：对于任意三个正实数 a，b，c，证明 3(a^2＋b^2＋c^2)＞(a＋b＋c)²。
解题思路：将不等式中的左边展开，可以得到 3(a^2＋b^2＋c^2)＞a²＋b²＋c²＋2(ab＋bc＋ca)，再次进行变形可以得到 2(a^2＋b^2＋c^2- ab＋bc＋ca)＞0，由此可以看出原不等式成立。
题目三：对于任意正实数 a，b，c，证明 a/b＋b/c＋c/a≥3。
解题思路：将不等式中的左边按照“平均数大于等于中间数”原理进行拆分，可以得到 a/b＋b/c＋c/a≥3(abc)^(1/3)/(abc)^(2/3)，即可得证。
题目四：对于任意正实数 a，b，c，证明 a^2/b＋b^2/c＋c^2/a≥a＋b＋c。
解题思路：将不等式左边的分子进行展开，可以得到 a^3c＋b^3a＋c^3b≥a^2bc＋ab^2c＋abc^2，两边同时减去 a^2bc＋ab^2c＋abc^2 可以得到 a^3c＋b^3a＋c^3b-a^2bc-ab^2c-abc^2≥0，又根据爱德华·魏尔斯不等式 (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2≥0 可以得到 a^3c＋b^3a＋c^3b-a^2bc-ab^2c-abc^2≥(a-b)²(b-c)²(c-a)²≥0，即可得证。
利用基本不等式求最值提高训练(最新整理)
利用基本不等式求最值提高训练方法总结：1、创设应用基本不等式的条件：(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．2、常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接．(1)a ＋≥2(a>0，且a ∈R)，当且仅当a ＝1时“＝”成立．1a(2)＋≥2(a>0，b>0，a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．b a a b(3)使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用对勾函数单调性法．一般地函数y ＝ax ＋，当a>0，b>0b x时函数在[－，0)，(0, ]上是减函数，在(－∞，－)，( ，＋∞)上是增函数；当a<0，b<0时，可b a b a b a b a作如下变形：y ＝－[(－ax)＋(－)]来解决最值问题．b x1、。
且且且且)0(22>+=x x x y 2、。
且且且且)210)(21(21)(<<-=x x x x f 3、。
.)2(4122且且且且>-+=x x x y 4、的最小值。
)1(11462->+++=x x x x y 5、的最大值。
)2(2122<-+-=x x x x y 6、设，求得最小值.0>>b a )(112b a a ab a -++7、且且且且且且且且y x y x R y x lg lg ,2052,,+=+∈+8、..)(log ,2,124lg 且且且且且且且且ab a a b =>9、已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( C )1a 1bab A ．2 B ．2 C ．4 D ．52解析：因为＋＋2≥2＋2＝2(＋)≥4，当且仅当＝，且＝，1a 1b ab 1ab ab 1ab ab 1a 1b 1abab 即a ＝b 时，取“＝”号．10、已知x>0，y>0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则＋的最小值是( D )1x 1yA ．2B ．433C ．2＋ D ．4＋233解析：lg2x ＋3y ＝lg2，所以x ＋3y ＝1，而＋＝(＋)(x ＋3y)＝4＋＋≥4＋2.1x 1y 1x 1y x y 3y x311、已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋)(y ＋)的最小值为________．1x 1y解一：因为对a>0，恒有a ＋≥2，从而z ＝(x ＋)(y ＋)≥4，所以z 的最小值是4.1a 1x 1y解二：z ＝＝(＋xy)－2≥2－2＝2(－1)，所以z 的最小值是2(－1)．2＋x 2y 2－2xy xy 2xy 2xy ·xy 22【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．【正确解答】 z ＝(x ＋)(y ＋)＝xy ＋＋＋＝xy ＋＋＝＋xy －2，1x 1y 1xy y x x y 1xy x ＋y 2－2xy xy 2xy 令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤()2＝，由f(t)＝t ＋在(0，]上单调递减，故当t ＝时， f(t)＝t ＋有最小值x ＋y 2142t 14142t，所以当x ＝y ＝时z 有最小值.33412254应用基本不等式解决实际问题(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答．1、围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【分析】 (1)首先明确总费用y ＝旧墙维修费＋建新墙费，其次，列出y 与x 的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论．【解】 (1)如图，设矩形的另一边长为a m.则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝，360x所以y ＝225x ＋－360(x>2)．3602x(2)∵x>2，∴225x ＋≥2＝10800.3602x225×3602∴y ＝225x ＋－360≥10440.当且仅当225x ＝时，等号成立．3602x 3602x即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．2、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如上图）。
基本不等式解答题能力提升训练
基本不等式解答题能力提升训练1．设a ，b ，c 为非零实数，且2223a b c ++=，证明：（1）3a b c ++≤；（2）44422222232a b c b c a c a b ++≥+++. 1．【解析】（1）因为()()()2222222239a b c a b c ab bc ac a b c ++=+++++++≤=，所以3a b c ++≤，当且仅当1a b c ===±时取“=”.（2）4222224a b c a b c ++≥+，当且仅当2222a b c =+时取“=”， 同理可得4222224b a c b a c ++≥+，当且仅当2222b a c =+时取“=”， 4222224c b a c b a ++≥+，当且仅当2222c a b =+时取“=”， 所以444222222222322a b c a b c b c a c a b ++++≥=+++，当且仅当2221a b c ===时取“=”. 2．已知a ，b ，c 都是正数，求证：（1）()2()4a b ab cabc ++；（2）若2a b c ++=，则11194a b b c c a+++++． 2．【解析】（1）因为a ，b ，c 都是正数，所以0a b +≥>，22220ab c abc +=，所以()()224a b ab c abc ++≥=，所以当且仅当2a bab c=⎧⎨=⎩，即a b c ==时等号成立，所以()()24a b ab c abc ++≥．（2）1111111[()()()]4a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++ ⎪++++++⎝⎭1193(3222)444a b b c b c c a c a a b b c a b c a b c a b c a ++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦当且仅当“23a b c ===”时等号成立． ∴11194a b b c c a ++≥+++． 3．已知,,a b c 是正实数.（1）证明：a b cab bc +++（2）若2a b c ++=，证明：11192a b c++. 3．【解析】（1）因为0,0,0a b c >>>，所以a b +≥a b =时，等号成立，b c +≥，当且仅当b c =时，等号成立，a c +≥，当且仅当a c =时，等号成立，所以a b b c a c +++++≥所以a b c ++≥a b c ==时，等号成立. （2）1111111()()2a b c a b c a b c ++=++++⋅1(111)2b c a c a ba ab bc c=++++++++1(32≥+19(3222)22=+++=，当且仅当23a b c ===时，等号成立. 4．已知,(0,),1a b a b ∈+∞+=，求12y a b=+的最小值.解法如下： 12122()33b a y a b a b a b a b⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2b aa b =，即1,2a b =则12y a b=+的最小值为3+应用上述解法，求解下列问题：（1）已知,,(0,),1a b c a b c ∈+∞++=，求111y a b c=++的最小值； （2）已知10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求1812y x x=+-的最小值. 4．【解析】(1) 111y a b c =++()111a b c a b c ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭3b a c a c b a b a c b c ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭∵6b a c a c b a b a c b c+++++≥当且仅当,,b a c b c ba b a c b c ===，即13a b c ===时等号成立则9y ≥，即111y a b c=++的最小值为9. (2) 1812y x x=+- ()28212212x x x x ⎛⎫=++-⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭ 1221028212x xx x-=+⋅+⋅- 而10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴122288212x x x x -⋅+⋅≥=- 当且仅当12228212x xx x -⋅=⋅-，即110,62x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时等号成立 则18y ≥，即1812y x x=+-的最小值为18. 5．已知点(,)P a b 在圆C ：22(,(0,))x y x y x y +=+∈+∞上，（1）求11a b+的最小值； （2）是否存在a ，b ，满足1)(14a b ++=()？如果存在，请说明理由. 5．【解析】（1）由题意，点(,)P a b 在圆22:(,(0,))C x y x y x y +=+∈+∞上，可得22a b a b +=+又由0,0a b >>，可得221122a b a b aba b ab ab ab+++==≥=，当且仅当1a b ==时，等号成立， 所以11a b+的最小值为2. （2）存在，因为点(,)P a b 在圆22:C x y x y +=+上，可得22a b a b +=+，由222a b ab +≥，可得()222()22()a b a b a b +≤+=+，即2()2()0a b a b +-+≤，又由,(0,)a b ∈+∞，所以02a b <+≤，所以22(1)(1)22(1)(1)422a b a b ++++⎡⎤⎡⎤++≤≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 因此存在1,1a b ==，满足1)(14a b ++=()． 6．已知正数a 、b 满足111a b+=. （1）求+a b 的最小值； （2）求4911a ba b 的最小值； （3）求22242a b ab 的最小值.6．【解析】111a b+=，即b a ab ，11ab b a ，()()111a b --=，1a >，1b >，（1）因为a 、b 是正数，所以()11224a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立，故+a b 的最小值为2.（2）因为1a >，1b >，所以10a ->，10b ->， 则4949494913225111111a b a b a b a b ，当且仅当53a =、52b =时等号成立， 故4911aba b 的最小值为25.（3）因为10a ->，10b ->，()()111a b --=， 所以2222242242213a b a b a a b b22211322113223a b a b ，当且仅当412a、412b 时等号成立，故22242a b ab 的最小值为3.7．已知0a >，0b >，0c >.（1）若2a b +=，求212a b a b +++的最大值M ； （2）若4a b c ++=，求22249a b c ++的最小值.7．【解析】（1）∵0a >，0b >，2a b +=，∴2141143()3()[(1)(2)]1212512a b a b a b a b a b +=-+=-++++++++++ 124(1)163[5]3(54)51255b a a b ++=-++≤-+=++，当且仅当22(1)b a +=+，即23a =，43b =时等号成立，∴212a b a b +++的最大值65M =； （2）∵22222()(491)(231)()164923a b a b c c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即222168494917a b c ++≥=++，当且仅当32231ba c ==，即87a =、187b =、72c =时等号成立，∴22249a b c ++的最小值为87.8．已知0x >，0y >，4xy x y a =++．（1）当12a =时，求xy 的最小值； （2）当0a =时，求41x y x y+++的最小值．8．【解析】（1）当12a =时，412xy x y =++，(4)12x y x -=+，显然4x ≠，所以124x y x +=-，由0y >，得4x >， 所以124x xy x x +=⋅-(44)(416)4x x x -+-+=-2(4)20(4)644x x x -+-+=-644204x x =-++-2036≥=， 当且仅当12x =，3y =时等号成立， 所以xy 的最小值为36.（2）当0a =时，由4xy x y a =++得4xy x y =+，得141y x+=，所以41x y x y +++41()()1x y x y =+++4411y x x y =++++66410≥+=+=， 当且仅当6,3x y ==时，等号成立. 所以41x y x y+++的最小值为10． 9．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：（1）已知正数x 、y 满足21x y +=，求12x y+的最小值.甲给出的解法是：由21x y +=≥，则128x y +≥=≥，所以12x y +的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值. 9．【解析】（1）甲的解法错误，原因是：使用了两次基本不等式，两次基本不等式取等号的情况不能同时成立.正确解法：()12122221459y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当13x y ==时等号成立. （2）令x m =，12x n -=，则0m >，0n >，即可将“求函数()1312f x x x =+-最小值”转化为“已知21m n +=，求min13m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭”，因为()13136255n mm n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭m =等号成立，所以当x =时，函数()1312f x x x =+-取最小值，最小值为5+10．已知正实数x ，y 满足441x y +=.（1）求xy 的最大值； （2）若不等式2415a a x y+≥+恒成立，求实数a 的取值范围. 10．【解析】（1）441x y +=，所以14x y =+≥164xy ≤， 当且仅当18x y ==取等号，∴xy 的最大值为164. （2）()414116444202036y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当16x =，112y =取等号，∴2536a a +≤，解得94a -≤≤. 即a 的取值范围是[]9,4-.11．（1）当1(0,)2x ∈时，求(12)y x x =-的最大值；（2）设2x ≥，求函数(1)1x x y x +=-的最小值. 11．【解析】（1）2112121(12)2(12)()2228x x y x x x x +-=-=⨯-≤⨯=，当且仅当212x x =-，即14x =时等号成立， y ∴的最大值为18.（2）由题意，设1t x =-(1)t ≥，则1x t =+， 则(1)1x x y x +=-(1)(2)t t t++=，232t tt++=23t t =++3≥，当且仅当2t t=时，即t =时，即1x =时取等号，所以函数(1)1x x y x +=-的最小值为3． 12．（1）已知正数a b 、满足121a b+=，求ab 的最小值；（2）已知1x <，求函数1()1f x x x =+-的最大值． 12．【解析】（1）因为正数a ，b 满足121a b+=，所以12a b +≥=8ab ≥， 当且仅当12a b=时，即2,4a b ==时取等号，则ab 的最小值为8； （2）因为1x <，所以1<0x -，所以()11()111111f x x x x x =+=-++≤-=--- 当且仅当111x x -=-，即0x =时取等号， 所以1()1f x x x =+-的最大值为－1． 13．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50100x ≤≤，单位：千米/小时).假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油22360x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升，司机工资为每小时18元.（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 13．【解析】（1）运货卡车行驶的时间为130()t h x=，则2130181306(2)360x y x x ⨯=⋅⋅++2306130()360x x x=+30130(),[40,100]60x x x =+∈，（2）由（1）得3030130()130213026060x xy x x =+≥⨯⋅= 当且仅当3060xx =，即302x =时取等号， 所以当302x =（/km h ）时，行车的总费用最低为1302元14．如图所示是一个金属支架的示意图，其中60AOB ∠=︒． 2.5OA >米，且A 到B 的距离比OB 的长小1米，设OA x =米，OB y =米，制作支架OA 的金属价格是2万元/米，制作支架OB 的金属价格是1万元/米．（宽度忽略不计）（1）将y 表示为x 的函数；（2）求制作支架成本的最小值，并求此时,OA OB 的长度． 14．【解析】（1）由题意OA x =米，OB y =米，则1AB y =-在AOB 中，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠即()2221122y x y xy -=+-⨯，得212x y x -=- 所以将y 表示为x 的函数是：212x y x -=-()2.5x >（2）设制作支架成本为v ，则21222x v x y x x -=+=+- ()()2433332223282328142222x v x x x x x x x x x -+=+=+++=-++≥-⨯=----当且仅当()3322x x -=-，即3x =时，取得等号.此时913,832OA OB -===- 所以制作支架成本的最小值为14万元，此时3,8OA OB ==.15．某变异病毒感染的治疗过程中，需要用到某医药公司生产的A 类药品．该公司每年生产此类药品的年固定成本为160万元，每生产x 千件需另投入成本为21()2010C x x x =+（万元），每千件药品售价为60万元，此类药品年生产量不超过280千件，假设在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完. （1）求公司生产A 类药品当年所获利润y （万元）的最大值；（2）当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润. 15．【解析】（1）由题可得0280x <≤，()22211120200360160840384010101040160x x x x y x x ⎛⎫=--=-+-=- ⎪⎝++≤⎭-，当且仅当200x =时，max 3840y =，所以当年产量为200千件时，在这一药品的生产中所获利润最大为3840万元； （2）可知平均利润为240001161x xx -+-16040403210x x ⎛⎫++≤--= ⎪⎝=⎭. 当且仅当16010x x=，即40x =时等号成立 所以当年产量为40千件时，每千件药品的平均利润最大为32万元．16．某花卉种植基地为了增加经济效益，决定对花卉产品以举行展销会的方式进行推广、促销．经分析预算，投入展销费为x 万元时，销售量为m 万个单位，且()2104x m x x-=<≤，假设培育的花卉能全部销售完．已知培育m 万个花卉还需要投入成本21m +万元（不含展销费），花卉的售价为411m+万元/万个单位．（注：利润＝售价×销售量－投入成本－展销费）（1）试求出该花卉基地利润y 万元与展销费为x 万元的函数关系式并化简； （2）求该花卉基地利润的最大值，并指出此时展销费为多少万元？ 16．【解析】（1）42111(21)9393x y m m x m x x m x-⎛⎫=+-+-=+-=⨯+- ⎪⎝⎭， ∴921y x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，(]0,4x ∈． （2）由题921y x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，(]0,4x ∈，∵96x x+≥=（当且仅当3x =时取等号）， max min 92115y x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭， 所以当3x =时，该花卉基地利润的最大值为15万元，此时展销费为3万元．17．垃圾分类，是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.垃圾分类后，大部分运往垃圾处理厂进行处理.为了净化环境，保护水资源，某化工企业在2020年底投入100万元购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.（1）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；（2）问：该企业污水处理设备使用几年年平均污水处理费用最低？最低年平均费用是多少万元？ 17．【解析】（1）依题意得，该企业使用该设备x 年的维护费为(2462)x ++++万元， 则总费用为[1000.5(2462)]x x ++++++万元， 因此1000.5(2462)x x y x ++++++= ()*100 1.5x x N x=++∈. （2）由（1）及*x ∈N 可得，100 1.5 1.521.5y x x =++≥=， 当且仅当100x x=，即10x =时等号成立.即当10x =时，y 取得最小值. ∴该企业污水处理设备使用10年年平均费用最低，最低年平均费用是21.5万元.18．已知快递公司要从A 地往B 地送货，A ，B 两地的距离为100km ，按交通法规，A ，B 两地之间的公路车速x 应限制在60~120km/h （含端点），假设汽车的油耗为2742400x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元/时，司机的工资为70元/时（设汽车为匀速行驶），若燃油费用与司机工资都由快递公司承担，（1）试建立行车总费用y 元关于车速x 的函数关系：（2）若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少?最少费用为多少? 18．【解析】（1）设车速为x /km h ，则时间为100h x，依题意可得2100771120042704004x x y x x ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，[]60,120x ∈；（2）7112002804x y x =+≥=， 当且仅当7112004x x=，即80x =时取等号， 所以以80km/h 车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少，最少费用为280元.19．某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用为2000元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为4立方米时，支付的保险费用为18000元.（长方体保护罩最大容积为10立方米） （1）求该博物馆需支付保护这件文物的总费用y 与保护罩容积x 之间的函数关系式；（2）求该博物馆支付总费用的最小值，并求出此时长方体保护罩的容积.19．【解析】（1）设保险费用为1t y x=，代入4x =，118000y =，解得72000t =， 则总费用720002000(0.5)(0.510)y x x x=-+<≤， 即7200020001000(0.510)y x x x=+-<≤. （2）由基本不等式可得72000200010001000y x x =+-≥24000100023000=-=， 当且仅当7200020006x x x =⇒=立方米，在定义域范围内. 故当长方体保护罩容积为6立方米时，总费用最小值为23000元.20．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面是面积为212m 的矩形，房高为3m .因地理位置的限制，房屋侧面的宽度x 不得超过5米，房屋正面的造价为400元/2m 房屋侧面的造价为150元/2m ，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，不计房屋背面的费用，设房屋的总造价为y 元.（1）求y 用x 表示的函数关系式；（2）当x 为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？20．【解析】（1）因为侧面宽度为x 米，所以正面长度为12x米， 依题意得：12321504005800y x x ⎛⎫=⨯+⨯+ ⎪⎝⎭()16900580005x x x ⎛⎫=++<≤ ⎪⎝⎭ （2）因为161628x x x x +≥⋅=， 当且仅当16x x=即4x =时取等号， 所以1690058009008580013000...x x ⎛⎫++≥⨯+= ⎪⎝⎭， ∴4x =时，min 13000y =（元），所以当侧面的宽度为4米时，总造价最低，最低总造价为13000元.21．如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中ABCD )的围墙，且要求中间用围墙EF隔开，使得ABEF 为矩形，EFDC 为正方形，设AB ＝x 米，已知围墙(包括EF )的修建费用均为每米800元，设围墙(包括EF )的修建总费用为y 元．（1）求出y 关于x 的函数解析式；（2）当x 为何值时，围墙(包括EF )的修建总费用y 最小？并求出y 的最小值．21．【解析】（1）设AD ＝t 米，则由题意得xt ＝600，且t >x ，故t ＝600x>x ，可得0<x 6则y ＝800(3x ＋2t )＝800(3x ＋2×600x )＝2400(x ＋400x)， 所以y 关于x 的函数解析式为y ＝2400(x ＋400x)(0<x 6． （2）y ＝2400(x ＋400x )， 因为400400240x x x x+≥⨯=（基本不等式） 所以当x ＝400x ，即x ＝20时，y 有最小值，最小值为96000元． 22．湖南株洲市某高科技企业决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台，需要另投入成本()h x （万元），当年产量小于60台时，()220=+h x x x （万元）；当年产量不少于60台时()98001022080=+-h x x x（万元）.若每台设备的售价为100万元，通过市场分析，假设该企业生产的电子设备能全部售.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式？（2）年产量为多少台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大？22．【解析】（1）由题意可得：060x <<时，()221002050080500y x x x x x =-+-=-+-， 当60x ≥时，98001022080490010050015802x y x x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭ 所以年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式为：280500,060490015802,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， （2）由（1）得060x <<时，280500y x x =-+-，开口向下的抛物线，对称轴为40x =， 此时40x =时，2max 4080405001100y =-+⨯-=万元，当60x ≥时，4900158021580158022701300y x x ⎛⎫=-+≤-=-⨯⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当4900x x=即70x =时等号成立，max 1300y =， 综上所述：年产量为70台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大．。
高中数学基本不等式专题50练(含答案)
高中数学基本不等式（含答案）【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．【答案】1【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，yx y x 2422++的最小值是 ． 【答案】 22，2【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >时，则353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______. 【答案】8【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______. 【答案】3322+【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 . 【答案】]22,22[-【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .【答案】12-【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是 ． 【答案】]0,2[-【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221a b c ，则b 的取值范围是 ． 【答案】]7,6(【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则24a b cM b a++=-的最小值为___________【答案】8 【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S += ．【答案】85【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为 ． 【答案】]3,1(【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x 的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ，则2210x y xy +-的最小值为 .【答案】36-【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为 ，xy y x ++224 的最小值为 ． 【答案】3627+；845【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则2212a b +的最小值为 .【答案】2【习题16】设R b a ∈,，满足43=+-ab b a ，则33-+b a 的最小值是______． 【答案】332-【习题17】已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b+++的最大值是 . 【答案】3332+ 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ，则yx M 21111+++=的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知0>a ，0>b ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是_______，此时=a _______.【答案】212+；2【习题20】已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ；221aba +的最大值是 . 【答案】16；413- 【习题21】已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是 （ ） A ．33 B ．26 C ．25 D ．21 【答案】C【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥，则x y +的最小值是 . 【答案】2【习题23】已知实数a ，b 满足：1,2a b R ≥∈，且||1a b +≤，则12b a +的取值范围是 ．【答案】]23,12[-【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是________. 【答案】224-【习题25】已知实数R b a ∈,，若322=+-b ab a ，则1)1(222+++b a ab 的值域为 ．【答案】]716,0[【习题26】设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 . 【答案】222-【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 ． 【答案】5【习题28】若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_________. 【答案】51【习题29】若0x >，0y >，则xyy x x ++2的最小值为___________． 【答案】212-【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=，则y 的最大值为__________，当且仅当___________.【答案】31；1=x【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ，则y x 2+的取值范围为__________. 【答案】)1,2[--【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ，则xy 的最小值为________，22y xy x +-的最小值为_______.【答案】3-，1【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ，则)(|2|b a b a +-的取值范围是________. 【答案】]3,3[-【习题35】已知0>a ，0>b ，且满足ab a b a +=+23，则b a +2的最小值为________. 【答案】223+【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ，则xy y x ++)(22的最大值为 . 【答案】241+【习题37】若164622=++xy y x ，R y x ∈,，则22y x -的最大值为_______.【答案】51【习题38】设正实数y x ,，则21||y xy x ++-的最小值为（ ）A. 47B. 2233C. 2D. 32【答案】A【习题39】已知b a ,均为正数，且1=+b a ，1>c ，则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______.【答案】522+【习题41】若1≥≥≥z y x ，且4=xyz ，则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______.【答案】]4,34[【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ，则y x xy 45++的最小值为________. 【答案】55【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+，则yx yx 332727++的取值范围是_________.【答案】9[1,]8【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ，且32≥>b a ，则22b a ba +-的最大值为___________.【答案】3097【习题45】若正数b a ,满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B 【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知y x ,为正实数，若12=+y x ，则xyxy x ++22的最小值为 ．【答案】222+【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值为_________. 【答案】432- 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯b a b b a a ， 则b a 32+的取值范围为__________________． 【答案】]2,1(【习题50】设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 【答案】24。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
基本不等式培优专题(推荐)
基本不等式培优专题(推荐) 高中数学——基本不等式培优专题目录1.常规配凑法2.“1”的代换3.换元法4.和、积、平方和三量减元5.轮换对称与万能k法6.消元法（必要构造函数求异）7.不等式算两次8.齐次化9.待定与技巧性强的配凑10.多元变量的不等式最值问题11.不等式综合应用1.常规配凑法1.（2018届温州9月模拟）已知 $2a+4b=2$（$a,b\in R$），则 $a+2b$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$。
2.已知实数 $x,y$ 满足 $x+\frac{1}{6}y=2$，且$\frac{(x+y)^2}{2xy-3}=1$，则 $x^2+y^2$ 的最大值为$\frac{27}{4}$。
3.（2018春湖州模拟）已知不等式$(x+my)(y+\frac{1}{x})\geq 9$ 对任意正实数 $x,y$ 恒成立，则正实数 $m$ 的最小值是 $6$。
4.（2017浙江模拟）已知 $a,b\in R$，且 $a\neq 1$，则$a+b+\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}\geq 4$。
5.（2018江苏一模）已知 $a>0,b>0$，且$\frac{2}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=ab$，则 $ab$ 的最小值是 $\frac{3}{4}$，$\frac{a-1}{b}+\frac{b-1}{a}$ 的最小值是$2$。
6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知 $a>b>0$，$a+b=1$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{ab}\geq 6$。
7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知$a>0,b>0$，且 $\frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{a+1}=1$，则$a+2b$ 的最小值是 $2$。
2.“1”的代换8.（2019届温州5月模拟13）已知正数 $a,b$ 满足$a+b=1$，则 $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}$ 的最小值是 $4$。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
基本不等式强化练习50练(答案)
基本不等式（答案）【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．【答案】1【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，yx y x 2422++的最小值是 ．【答案】 22，2【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______. 【答案】8【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______.【答案】3322+【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 .【答案】]22,22[-【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .【答案】12【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是 ． 【答案】]0,2[-【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221a b c ，则b 的取值范围是 ．【答案】]7,6(【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则24a b cM b a++=-的最小值为___________ 【答案】8【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S += ．【答案】85【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为 ． 【答案】]3,1(【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ，则2210x y xy +-的最小值为 . 【答案】36-【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为 ，xy y x ++224 的最小值为 ． 【答案】3627+；845【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则2212a b +的最小值为 . 【答案】2【习题16】设R b a ∈,，满足43=+-ab b a ，则33-+b a 的最小值是______． 【答案】332-【习题17】已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是 . 【答案】3332+ 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ，则yx M 21111+++=的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知0>a ，0>b ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是_______，此时=a _______. 【答案】212+；2【习题20】已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ；221ab a +的最大值是 . 【答案】16；413- 【习题21】已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是 （ ） A ．33 B ．26 C ．25 D ．21 【答案】C【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥，则x y +的最小值是 . 【答案】2【习题23】已知实数a ，b 满足：1,2a b R ≥∈，且||1a b +≤，则12b a +的取值范围是 ． 【答案】]23,12[-【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是________.【答案】224-【习题25】已知实数R b a ∈,，若322=+-b ab a ，则1)1(222+++b a ab 的值域为 ．【答案】]716,0[【习题26】设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 . 【答案】222-【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 ． 【答案】5【习题28】若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_________. 【答案】51 【习题29】若0x >，0y >，则xyy x x ++2的最小值为___________．【答案】212-【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=，则y 的最大值为__________，当且仅当___________.【答案】31；1=x 【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ，则y x 2+的取值范围为__________.【答案】)1,2[--【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ，则xy 的最小值为________，22y xy x +-的最小值为_______. 【答案】3-，1【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ，则)(|2|b a b a +-的取值范围是________.【答案】]3,3[-【习题35】已知0>a ，0>b ，且满足ab a b a +=+23，则b a +2的最小值为________.【答案】223+【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ，则xy y x ++)(22的最大值为 .【答案】241+【习题37】若164622=++xy y x ，R y x ∈,，则22y x -的最大值为_______.【答案】51【习题38】设正实数y x ,，则21||y xy x ++-的最小值为（ ） A. 47B. 2233C. 2D.32【答案】A【习题39】已知b a ,均为正数，且1=+b a ，1>c ，则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______. 【答案】522+【习题41】若1≥≥≥z y x ，且4=xyz ，则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______.【答案】]4,34[【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ，则y x xy 45++的最小值为________. 【答案】55【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+，则yx yx 332727++的取值范围是_________. 【答案】9[1,]8【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ，且32≥>b a ，则22ba ba +-的最大值为___________. 【答案】3097【习题45】若正数b a ,满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知y x ,为正实数，若12=+y x ，则xyxy x ++22的最小值为 ．【答案】222+【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值为_________.【答案】432- 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯babbaa， 则ba 32+的取值范围为__________________． 【答案】]2,1(【习题50】设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 【答案】24。
专题07 基本不等式学霸必刷100题(解析版)
基本不等式学霸笔刷100题1．在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．212+ B ．312+ C ．32D ．52【答案】B 【解析】 如下图所示：3BP PC =，即()3AP AB AC AP -=-，1344AP AB AC ∴=+， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1AB AM λ∴=，1AC AN μ=，1344AP AM AN λμ∴=+，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=. ()133331211444444λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫∴+=++=++≥⋅=+ ⎪⎝⎭， 当且仅当3μλ=时，等号成立，因此，λμ+31+，故选B.2．已知,,2a b R a b ∈+=，则221111a b +++的最大值为（ ） A ．1 B ．65C．12D ．2【答案】C 【解析】因为,,2a b R a b ∈+=，则()2222222112111+++=+++++a b a b ab a b ()()()()()()()22222222421626221251414+-+----====++-+-+-+-+a b ab ab ab ab ab a b ab ab ab ab ab ， 令1=-t ab ，则()()2242142414---=+-+ab t t ab ，再令42-=t m，则42-=mt ， 所以()22242443248324844-===+-+-+-+t m m t m m m m m ，由基本不等式可得32+≥m m，当且仅当m =，2=-t4328≤=+-m m，所以221111a b +++的最大值为12. 故选：C3．正数a ,b 满足9a b ab +=,若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A ．[)3,+∞ B ．(]3,-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】A 【解析】9a b ab +=,191a b∴+=，且a ,b 为正数，199()()1010216b a b a b a b a b a b a ∴+=++=+++=，当且仅当9b a a b=，即4,12a b ==时，()16min a b +=，若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立， 则216218x x m ≥-++-对任意实数x 恒成立， 即222m x x ≥-++对任意实数x 恒成立，2222(1)33x x x -++=--+，3m ∴≥，故选：A4．设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．94D ．3【答案】B【解析】x ，y ，z 为正实数，且22340x xy y z -+-=，根据基本不等式得22344z xy x y xy +=+，当且仅当x=2y 取等号，所以x=2y 时，xyz取得最大值1, 此时，221222222212y x y x x x y z xy xy xy x ++--+-=-==224444242x x x x x x--⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭,当1122x x =⇔=时,244x x -+取最大值1，212x y z+-的最大值为1,故选B. 5．已知实数,x y 满足()()22254x y -+-=，则()2221xy x x y -+-的最大值为（ ）AB ．617C ．1225D ．2512【答案】A 【解析】所求式()()2222(1)2121xy x x y x y x y --=+-+-，上下同除以(1)x y -得1211xy y x-+-，又1y x -的几何意义为圆上任意一点(),M x y 到定点()0,1N 的斜率，由图可得，当过()0,1N 的直线与圆相切时取得临界条件．当过M 坐标为()0,5时相切为一个临界条件，另一临界条件设:1(0)MN l y k x -=-，化成一般式得10kx y -+=，因为圆与直线相切，故圆心()2,5到直线10kx y -+=的距离225121k d k -+==+，所以221k k -=+22441k k k -+=+，解得34k =，故134y +x -⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭，．设1y k x -=，则112121x y k y xk=-++-，又34k +⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭，，故222k k k k +≥⋅=2k =1122124221x y k y xk=≤-++-，故选A ．6．若两个正实数x ，y 2222x y=246x y m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()(),82,-∞-⋃+∞B ．()(),28,-∞-+∞C ．(),2-∞D ．()2,8-【答案】D2222x y=1x y =.44x y x y x y ⎛⎫=+ 1616448y y x x xy x y ==+182166y xx y≥+⋅=.当且仅当16y xxy=，即64x =，4y =时等号成立， 若使得246x y m m +>-恒成立则需2166m m >-，即26160m m --<，解得28m -<<. 所以实数m 的取值范围是()2,8-.故选：D7．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则21e 2e 2+的最小值为（） A ．6 B ．3 C ．6D ．3【答案】C【解析】设椭圆长轴12a ，双曲线实轴22a ，由题意可知：1222F F F P c ==， 又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=，两式相减，可得：122a a c -=，22112122242222e a a a c ce c a ca ++=+=， ()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++. ， 2222222222a a cc c a c a +≥⋅=，当且仅当2222a c c a =时等立，21e 2e 2∴+的最小值为6， 故选:C ．8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3sin cos()62A A π++=，4b c +=，则ABC ∆周长的取值范围是（ ）A ．[6,8)B ．[6,8]C ．[4,6)D ．(4,6]【答案】A【解析】∵ sin 62A cos A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1222sinA cosA sinA ∴+-=，可得：3sin A π+=（）40333A A ππππ∈+∈（，），（，），2 33A ππ∴+=，解得3A π=， ∵4b c +=，∴由余弦定理可得222222163a b c bccosA b c bc bc bc =+-=+--=-（），∵由4b c +=，b c +≥ ，得04bc ≤＜，∴2416a ≤＜，即24a ≤＜．∴ABC 周长4[68L a b c a =++=+∈，） ．故选A ． 9．若正实数x y 、满足1x y +=，则2221x yx y +++的最小值是（ ） A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】B【解析】设x 2s +=，y 1t +=，则s t x y 34+=++=，所以2221x y x y +=++22(2)(1)4142s t s t s t s t --⎛⎫⎛⎫+=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4141()62s t s t s t ⎛⎫⎛⎫=+++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为41141149()5444t s s t s t s t s t ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2,1s t ==时取等号. 所以221214x y x y +≥++.故选:B . 10．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球体积为（ ）A ．22πB ．823π C ．1423π D ．42π【答案】B【解析】依题意可知BC ⊥平面11ACC A .设,AC a BC b ==，则2224a b AB +==.111111323B A ACC V AC AA BC AC BC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯22114232323AC BC +≤⨯=⨯=，当且仅当2AC BC ==时取得最大值.依题意可知1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B ，故半径221111222OB A B AA AB ==⨯+=.所以外接球的体积为()34π82π233⋅=. 特别说明：由于BC ⊥平面11ACC A ，1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B 为定值，即无论阳马11B A ACC -体积是否取得最大值，堑堵111ABC A B C -外接球保持不变，所以可以直接由直径1A B 的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B11．设a ，b ，c ，d 均为大于零的实数，且abcd ＝1，令m ＝a （b +c +d ）+b （c +d ）+cd ，则a 2+b 2+m 的最小值为（ ） A ．8B ．3C ．3D ．3【答案】B 【解析】a ，b ，c ，d 均大于零且1abcd =，()()m a b c d b c d cd =+++++，2222()()a b m a b a b c d ab cd ∴++=++++++22243ab ab cd ab cd ab cd +++=++4234abcd +=+，当且仅当a b =，c d =，3ab cd =，即141()3a b ==，143c d ==时取等号，22a b m ∴++的最小值为4+B ．12．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC ∆的面积为2244a b +-，则ABC ∆面积的最大值为（） A．B1C ．D 1【答案】D【解析】∵2c =，22222444ABC a b a b c S ∆+-+-==2cos 1sin 42ab C ab C==. ∴tan 14CCπ，由余弦定理得2222242cos c a b ab C a b ==+-=+2ab ≥-，∴4ab ≤=+(11sin422ABC S ab C ∆=≤⨯+1=.故选：D .13．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2163n n S a++的最小值为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．2【答案】A【解析】∵a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1，∴a 32=a 1a 13， ∴（1+2d ）2=1+12d ，d ≠0，解得d =2．∴a n =1+2（n -1）=2n -1．S n =n +()12n n -×2=n 2．∴2163n nS a ++=221622n n ++=()2(1)2191n n n +-+++=n +1+91n +-，当且仅当n +1=91n +时取等号，此时n =2，且2163n nS a ++取到最小值4， 故选:A ．14．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，设A 为抛物线上的动点，则AO AF的最大值为（） ABC ．5D ．3【答案】D【解析】由抛物线方程为：22(0)y px p =>，可得：焦点(2pF ，0)， 设(,)A m n ，则22n pm =，0m >，设A 到准线2px =-的距离等于d ，则||||||22AO AO AF d m m =====++． 令24p pm t -=，24p t >-，则4t p m p =+，∴2||11||3AOAF =+=234p t = 时，等号成立）． 故||||AO AF ，故选：D ． 15．若正数a 、b 满足()25ab a b =++，设()()412y a b a b =+---，则y 的最大值是（ ） A ．12 B ．-12C ．16D ．-16【答案】A 【解析】()25ab a b =++52ab a b -∴+=0a >、0b >52ab a b -∴+=≥解得25ab ≥()()412y a b a b =+---5541222ab ab y --⎛⎫⎛⎫∴=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭132922ab ab y --⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2132912116224ab ab y ab --⎛⎫⎛⎫∴==--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭25ab ≥，max 12y ∴=当且仅当25ab =时取得最大值，故选：A16．过抛物线C ：24y x =焦点的直线交该抛物线C 于点A ，B ，与抛物线C 的准线交于点P ，如图所示，则PA PB ⋅的最小值是（ ）A ．8B ．12C ．16D ．18【答案】C【解析】因为双曲线的焦点(1,0)F ,所以设直线AB 的方程为(1)y k x =-,1122(,),(,)A x y B x y ,则(1,2)P k --,将(1)y k x =-代入到24y x =,整理得2222(24)0k x k x k -++=, 则212222442k x x k k ++==+,21221k x x k==, 所以1212124(1)(1)()2y y k x k x k x x k k+=-+-=+-=,1212124416164y y x x x x =-⋅=-=-=-, 所以11221212(1,2)(1,2)(1)(1)(2)(2)PA PB x y k x y k x x y k y k ⋅=++⋅++=+++++21212121212()4x x x x y y k y y k =+++++++2244121424k k k k=+++-+⨯+ 222244482488816k k k k =++≥⋅=+=,当且仅当2244k k=,即1k =±时取得等号.故选:C 17．已知01x <<，则1221x x +-的最小值为（ ）. A ．9B ．92C ．5D ．52【答案】B【解析】()111122522221121x x x x x x x x-+=+=++---.01x <<，0x ∴>且10x ->，()()111122222211x x x x x x x x--+⋅=--≥， 当且仅当()11221x x x x -=-，即13x =时，()11221x x x x-+-取得最小值2. 1221x x ∴+-的最小值为59222+=.故选B . 18．如图，在ΔABC 中，∠BAC =3π，3AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若△ABC的面积为332，则AP 的最小值为（ ）A ．3B 3C 6D ．6【答案】B【解析】因为3AD DB =，所以1223AP mAC AB mAC AD =+=+，由,,C P D 三点共线可得， 213m +=，即13m =，所以1132AP AC AB =+，由向量的模的公式可得，22222111111934964AP AC AB AC AB AC AB AC AB ，而133sin 23ABCS AB AC π==，可得6AB AC =，根据基本不等式， 2221111123964366APAC AB AC AB AB AC AB AC ，所以AP 的最小值为3B ．19．已知0>ω，若()22cos sin cos f x x x x ωωω=+在区间72,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调时，ω的取值集合为A ，对()2,x ∀∈+∞不等式902x x ω+->-恒成立时，ω的取值集合为B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】()22cos sin cos f x x x x ωωω=+1cos 2112sin 2cos 2sin 21222x x x x ωωωω+=⋅+=++()sin 2A x ωθ=+，可知函数周期22T ππωω==，由题可知函数在区间72,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故该区间长度需小于等于半个周期，及2763121222T ππππωω-=≤=⇒≤，∴(0,6]A ⊆， 对于不等式902x x ω+->-，()2,x ∈+∞；设2x t -=，()0,t ∈+∞，2x t =+； ∴不等式等价于920t tω++->恒成立，及min 92t t ω⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，对于()0,t ∈+∞，96t t +≥=，∴8ω<，及集合()0,8B =，∴A B ⊆， “x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，故选：A 20．已知数列{}n a 满足121a =，14n n a a n +-=，则na n的最小值为（ ） A．2- B ．454C ．10D ．11【答案】D【解析】因为121a =，14n n a a n +-=， 所以2141a a -=⨯，3242a a -=⨯⋯14(1)n n a a n --=⨯-累加得：14[123(1)]2(1)n a a n n n -=⨯++++-=-，所以22221n a n n =-+，故2122n a n n n=+-， 由于2121222n n n n+⋅212n n =，即2212n =，由于n N +∈， 所以当3n =时，na n的最小值为67211+-=.故选：D 21．已知直线l 与抛物线24x y =交于A 、B 两点，若四边形OAMB 为矩形，记直线OM 的斜率为k ，则k的最小值为（ ）． A ．4 B ．C ．2D【答案】B【解析】设()00,M x y ,()11,A x y ,()22,B x y 设直线l :y mx t =+ ，将直线l 与24x y =联立方程组,消掉y :24y mx tx y=+⎧⎨=⎩ 得: 2440x mx t --=，由韦达定理可得:124x x m += ┄①,124x x t =- ┄② OA OB ⊥，故0OA OB ⋅=,可得:12120x x y y +=┄③ ()11,A x y ，()22,B x y ，是24x y =上的点,∴2114x y = 2224x y =, 可得:()2121216x x y y =┄④由③④可得:12160x x+=,结合②可得:4t =AB 和OM 相互平分,由中点坐标公式可得012012x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，结合①②可得:0124m x x x =+=,()22212121202444x x x x x x y +-=+= 221632484m m +==+， 故2004824k y m m x m m+===+，根据对勾函数(对号函数)可知0m >时,2m m+≥当且仅当m =)，0m <时,2mm+≤-.(当且仅当m=) 所以k ≥故选:B.22．已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b ，如果关于x 的实系数方程21291299()0x a a a x b b b -++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=有实数解，那么以下九个方程20i i x a x b -+=（1,2,3,,9i =⋅⋅⋅）中，无实数解的方程最多有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为1d 不为零,等差数列{}n b 的公差为2d ，因为关于x 的实系数方程21291299()0x a a a x b b b -++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=有实数解，所以()()2129129490a a a b b b ∆=++⋅⋅⋅+-⨯++⋅⋅⋅+≥，即()()21919993622a a b b ++⎡⎤⎡⎤≥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,化简得2554a b ≥，所以第五个方程有解.设方程2110x a x b -+=与方程2990x a x b -+=的判别式分别为1∆和9∆，则()()()()21922191199194442a a ab a b b b +∆+∆=-+-≥-+()()2525552422402a b a b =-⨯=-≥,所以10∆<和90∆<至多一个成立,同理可知,20∆<和80∆<至多一个成立,30∆<和70∆<至多一个成立,40∆<和60∆<至多一个成立, 所以在所给的9个方程中无实数解的方程最多4个.故选:B 23．正数,a b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[3,)+∞ B ．(,3]-∞C ．(,6]-∞D ．[6,)+∞【答案】D 【解析】190,0,1a b a b >>+=，199()1010216b a b a b a b a b a b a ⎛⎫∴+=++=+++= ⎪⎝⎭当且仅当3a b =，即4, 12a b ==时，“=”成立， 若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则241816x x m -++-≤，即242x x m -++≤对任意实数x 恒成立，2242(2)66x x x -++=--+≤6m ∴≥ ，实数m 的取值范围是[6,)+∞.故选D.24．已知数列的前项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为，所以.两式相减化简可得，公比，由可得，，则，解得， ，当且仅当时取等号，此时，解得，取整数，均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当时，取最小值为，故选B.25．若正数,x y 满足1915x y x y++=+，且1x y +≤，则（ ） A ．x 为定值，但y 的值不定 B ．x 不为定值，但y 是定值 C ．x ，y 均为定值 D ．x ，y 的值均不确定【答案】C【解析】由题得1999()()1919216y x y x x y x y x y x y++=+++≥++=，因为 1x y +≤，则有191516x y x y ++=+≤且1916x y +≥，故有191516x y x y++=+=，解方程组11916x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得13,44x y ==，x ，y 均为定值，故选C 。
2025届高考数学复习：历年(基本不等式)好题基础与提升练习(附答案)
A.15
B.14
C.13
D.12
7.(多选题)(2024ꞏ海南海口模拟)已知 a>0,b>0,且 a+2b=2,则(
A.ab 的最大值为
1
)
)
4
B.a+ 的最小值为 4
2
C.a2+4b2 的最小值为 2
2
1
D.
的最大值为 4
√ꞏ2
2,得
,所以
2 √ꞏ2 ,所以
2,所以 xy≤4,当且仅当√=2 即 x=4,y=1 时,等号成立,所以 xy
的最大值是 4.
9.2√2
过程详解 因为 ab=a-b+3,解得 b=
=1+
,则 a+b=a+1+
2√2,当且仅当
a=√2-1,b=√2+1 时,等号成立,故 a+b 的最小值为 2√2.
10.9
过程详解 (
√
√
)(√+4 )=5+
√
√
√
√
√
5+2√4=9,当且仅当
√
√
√
,即
x=4y>0 时,等号成立,
所以(
√
√
)(√+4 )的最小值为 9.
11.C 过程详解 设斜边 c=2√2,直角边为 a,b,则 a2+b2=8,因为 2ab≤a2+b2,所以
a2+b2+2ab≤2(a2+b2),即(a+b)2≤16,当且仅当 a=b=2 时,等号成立,此时 a+b 取最大值,则
基本不等式(提升)专题训练
基本不等式(提升)专题训练全国名校高考数学复优质专题、学案汇编（附详解）巩固练】1.设$a>1$，$0<b<1$，则$log_a b+log_b a$的取值范围为（）A．$\left[2,+\infty\right)$B．$\left(2,+\infty\right)$C．$\left(-\infty,-2\right)$D．$\left(-\infty,-2\right]$2.设$x>0$，$P=2x+2-x$，$Q=\left(\sin x+\cos x\right)^2$，则（）A．$P\geq Q$B．$P\leq Q$C．$P>Q$D．$P<Q$3.命题$p$：若$a$，$b\in R$，则$|a|+|b|>1$是$|a+b|>1$的充分而不必要条件。
命题$q$：函数$y=x-1-2$的定义域是$\left(-\infty,-1\right]\cup\left[3,+\infty\right)$。
则（）A．“$p$或$q$”为假B．“$p$且$q$”为真C．$p$真$q$假D．$p$假$q$真4.如果$a$，$b$，$c$满足$c<b<a$，且$ac<0$，那么下列选项中不一定成立的是（）A．$ab>ac$B．$c(b-a)>0$XXX<ab^2$D．$ac(a-c)<0$5.若$|a-c|<|b|$（$a$，$b$，$c$均为不等于零的实数），则下列不等式成立的是（）A．$a<b+c$B．$a>c-b$C．$|a|<|b|+|c|$D．$|a|>|b|-|c|$6.设$p+q=1$，$p>0$，$q>0$，则不等式$log_x\left(pq\right)<1$成立的一个充分条件是（）A．$0<x<\dfrac{1}{2}$B．$\dfrac{1}{2}<x<1$C．$1<x<2$D．$x>2$7.设$x$，$y\in R^+$且$x+2y=4$，则$\lg x+\lg y$的最大值是（）A．$-\lg 2$XXX 2$C．$2\lg 2$D．$2$8.设$a>0$，$b>0$，则以下不等式中不恒成立的是（）A．$(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\geq 4$B．$a^3+b^3\geq 2ab^2$C．$a^2+b^2+2\geq 2a+2b$D．$a-b\geq a^2b^2$9.设$0<x<1$，$a$，$b$为正常数，则$\dfrac{x}{1-x}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)$的最小值为（）A．$4ab$B．$2\left(a^2+b^2\right)$C．$\left(a+b\right)^2$D．$\left(a-b\right)^2$10.设$a\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$，则$x+y$的最小值为_________11.设$x$，$y\in R^+$且$xy-(x+y)>0$，则下列不等式中正确的是（）A．$x^2+y^2\geq 2xy$B．$x^2+y^2<2xy$C．$x+y<2\sqrt{xy}$D．$x+y>2\sqrt{xy}$12.若$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}<0$，已知下列不等式：①$a+b<ab$②$|a|>|b|$③$a<b$④$\sqrt{ab}>2$。
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式（一）1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0ab <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3.设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．3-3- 14.设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B.C.5.若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有（ ） Ａ．最大值16Ｂ．最小值116Ｃ．最小值16Ｄ．最大值1166.若a ,b ,c ∈R ，且ab +bc +ca =1,则下列不等式成立的是（） A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111a b c ++≥．a b c ++≤7.若x >0,y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是（）A ．114x y ≤+B ．111x y+≥C 2 D ．11xy ≥8.a ,b 是正数，则2,2a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ）Ａ．22a b ab a b ++22a b ab a b +≤≤+Ｃ．22ab a b a b ++Ｄ．22ab a b a b +≤+ 9.某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x +=Ｂ．2p q x +<Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p q x +≥ 10.下列函数中，最小值为4的是（ ） Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+(0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+Ｄ．3log 4log 3x y x =+11.函数y =的最大值为.12.建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是.14.若x ,y 为非零实数，代数式22228()15x y x y y x y x+-++的值恒为正，对吗？答. 三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15.已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>,求mx +ny 的最大值.16.设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c---≥ 17.已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值. 18.是否存在常数c ,使得不等式2222x y x y c x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x ,y 恒成立？试证明你的结论. 《基本不等式》综合检测一、选择题二．填空题11.1212.3600 14.对 三、解答题15略 17. (1)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)17418．存在，23c =。
高考数学核心素养提升练习 基本不等式
核心素养提升练三十五基本不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共35分)1.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )A.a+b≥2B.+>C.+≥2D.a2+b2>2ab【解析】选C.因为ab>0，所以>0，>0，所以+≥2=2，当且仅当a=b时取等号.2.若2x+2y=1，则x+y的取值范围是( )A.[0，2]B.[-2，0]C.[-2，+∞)D.(-∞，-2]【解析】选D.因为1=2x+2y≥2=2，所以≤，所以2x+y≤，得x+y≤-2.3.(2019·深圳模拟)已知f(x)=(x∈N*)，则f(x)在定义域上的最小值为( ) A. B. C. D.2【解析】选B.f(x)==x+，因为x∈N*，所以x+≥2 =2，当且仅当x=，即x=时取等号.但x∈N*，故x=5或x=6时，f(x)取最小值，当x=5时，f(x)=，当x=6时，f(x)=，故f(x)在定义域上的最小值为.4.已知f(x)=x+-2(x<0)，则f(x)有( )A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-4【解析】选C.因为x<0，所以f(x)=--2≤-2-2=-4，当且仅当-x=，即x=-1时，取等号.5.若a≥0，b≥0，且a(a+2b)=4，则a+b的最小值为( )A. B.4 C.2 D.2【解析】选C.因为a≥0，b≥0，所以a+2b≥0，又因为a(a+2b)=4，所以4=a(a+2b)≤，当且仅当a=a+2b=2时等号成立.所以(a+b)2≥4，所以a+b≥2.6.已知x>0，y>0，且4xy-x-2y=4，则xy的最小值为( )A. B.2 C. D.2【解析】选D.因为x>0，y>0，x+2y≥2，所以4xy-(x+2y)≤4xy-2，所以4≤4xy-2，即(-2)(+1)≥0，所以≥2，所以xy≥2.7.(2018·衡水模拟)若a>0，b>0，lg a+lg b=lg(a+b)，则a+b的最小值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2【解析】选C.由a>0，b>0，lg a+lg b=lg(a+b)，得lg(ab)=lg(a+b)，即ab=a+b，则有+=1，所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4，当且仅当a=b=2时等号成立，所以a+b的最小值为4. 二、填空题(每小题5分，共15分)8.设P(x，y)是函数y=(x>0)图象上的点，则x+y的最小值为________.【解析】因为x>0，所以y>0，且xy=2.由基本不等式得x+y≥2=2，当且仅当x=y时等号成立. 答案:29.已知x，y为正实数，则+的最小值为________.【解析】因为x，y为正实数，则+=++1=++1，令t=，则t>0，所以+=+t+1=+t++≥2+=，当且仅当t=时取等号.所以+的最小值为.答案:10.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9平方米，且高度不低于米，记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y米，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x=________.【解析】设横断面的高为h，由题意得AD=BC+2·=BC+x，h=x，所以9=(AD+BC)h=(2BC+x)·x，故BC=-，由得2≤x<6，所以y=BC+2x=+(2≤x<6)，从而y=+≥2 =6，当且仅当=(2≤x<6)，即x=2时等号成立.答案:2(20分钟40分)1.(5分)当0<m<时，若+≥k2-2k恒成立，则实数k的取值范围为( )A.[-2，0)∪(0，4]B.[-4，0)∪(0，2]C.[-4，2]D.[-2，4]【解析】选D.因为0<m<，所以×2m×(1-2m)≤×=，当且仅当2m=1-2m，即m=时取等号，所以+=≥8，又+≥k2-2k恒成立，所以k2-2k-8≤0，所以-2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[-2，4].2.(5分)(2018·石家庄模拟)若a，b是正数，直线2ax+by-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2，则t=a取得最大值时a的值为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为圆心到直线的距离d=，则直线被圆截得的弦长L=2=2=2，所以4a2+b2=4，则t=a=·(2a)·≤××[(2a)2+()2]=·[8a2+1+2(4-4a2)]=，当且仅当时等号成立，此时a=.3.(5分)(2019·邯郸模拟)设x>0，y>0，且=，则当x+取最小值时，x2+=________. 【解析】因为x>0，y>0，所以当x+取最小值时，取得最小值，因为=x2++，又=，所以x2+=+，所以=+≥2 =16，所以x+≥4，当且仅当=，即x=2y时取等号，所以当x+取最小值时，x=2y，x2++=16，所以x2++=16，所以x2+=16-4=12.答案:124.(12分)已知x，y∈(0，+∞)，x2+y2=x+y.(1)求+的最小值.(2)是否存在x，y满足(x+1)(y+1)=5?并说明理由.【解析】(1)因为+==≥=2，当且仅当x=y=1时，等号成立，所以+的最小值为2.(2)不存在.理由如下:因为x2+y2≥2xy，所以(x+y)2≤2(x2+y2)=2(x+y).又x，y∈(0，+∞)，所以x+y≤2.从而有(x+1)(y+1)≤≤4，因此不存在x，y满足(x+1)(y+1)=5.5.(13分)某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-(k为常数).如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件.已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数.(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大?【解析】(1)由题意知，当m=0时，x=1(万件)，所以1=3-k⇒k=2，所以x=3-，每件产品的销售价格为1.5×(元)，所以2018年的利润y=1.5x×-8-16x-m=-+29(m≥0).(2)因为m≥0时，+(m+1)≥2=8，所以y≤-8+29=21，当且仅当=m+1，即m=3(万元)时，y max=21(万元).故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，为21万元.关闭Word文档返回原板块。
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基本不等式提高题1．已知直线l1：a2x+y+2=0与直线l2：bx﹣（a2+1）y﹣1=0互相垂直，则|ab|的最小值为（）A．5B．4C．2D．12．已知a＞0，b＞1且2a+b=4，则+的最小值为（）A．8B．4C．2D．3．设a＞b＞0，则a++的最小值为（）A．2B．3C．4D．3+24．已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为（）A．16 B．18 C．20 D．245．实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则x﹣y的最大值为（）A．B．C．D．26．已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为（）A．B．C．D．7．若一个三角形某边长为4，周长为10，则此三角形面积的最大值为（）A．2B．4C．D．38．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+49．设a＞1，b＞0，若a+b=2，则的最小值为（）A．3+2B．6C．4D．10．已知正数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则S=的最小值为（）A．3B．C．4D．2（+1）11．设x＞0，y＞0，x+y﹣x2y2=4，则的最小值等于（）A．2B．4C．D．12．已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（）B．0C．1D．A．﹣13．若x，y∈R，函数f（x）=（x+y）2+（﹣y）2的最小值是（）A．4B．0C．2D．114．设a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+b2+c2=12，则c的最大值和最小值的差为（）A．2B．C．D．15．“”称为a，b，c三个正实数的“调和平均数”，若正数x，y满足“x，y，xy的调和平均数为3”，则x+2y的最小值是（）A．3B．5C．7D．816．若实数x、y、z满足x2+y2+z2=2，则xy+yz+zx的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[1，2] C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]17．已知x，y满足x≥0，x2+（y﹣2）2=2，则w=的最大值为（）A．4B．5C．6D．718．若k＞1，a＞0，则k2a2+取得最小值时，a的值为（）A．1B．C．2D．419．已知a＞0，b＞0，f=，则f的最小值为（）A．8B．16 C．20 D．2520．若正数x，y满足+=1，则+的最小值为（）A．1B．4C．8D．1621．若正数a，b，c满足c2+4bc+2ac+8ab=8，则a+2b+c的最小值为（）A．B．2C．2D．222．设a，b＞0，且2a+b=1，则2﹣4a2﹣b2的最大值是（）A．+1 B．C．D．﹣123．已知实数x＞0，y＞0，0＜λ＜2，且x+y=3，则的最小值为（）A．B．2C．D．324．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sin2A+sin2B+sin2C=，面积S∈[1，2]，则下列 A．（a+b）＞16 B．bc（b+c）＞8 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24=•，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，则+的最大值为__________26．设f（x）=a2﹣2﹣b2x（ab≠0），当﹣1≤x≤1时，f（x）≥0恒成立，当取得最小值时，a=__________27．在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围是__________ 28．已知x，y，z∈R+，且x+4y+9z=1，则++的最小值是__________29．已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=+μ（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为 __________30．设实数a，b，c，d满足ab=c2+d2=1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为__________参考答案1．（2015•嘉兴一模）已知直线l1：a2x+y+2=0与直线l2：bx﹣（a2+1）y﹣1=0互相垂直，则|ab|的最小值为（）A．5B．4C．2D．1考点：基本不等式；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题．分析：由题意可知直线的斜率存在，利用直线的垂直关系，求出a，b关系，然后求出ab的最小值．解答：解：∵直线l与l2的斜率存在，且两直线垂直，1∴a2b﹣（a2+1）=0，∴b=＞0，当a＞0时，|ab|=ab=a+≥2；当a＜0时，|ab|=﹣ab=﹣a﹣≥2，综上，|ab|的最小值为2．故选C点评：此题考查了直线的一般式方程与直线的垂直关系，以及基本不等式的运用，熟练掌握直线垂直时满足的关系是解本题的关键．2．（2015•重庆模拟）已知a＞0，b＞1且2a+b=4，则+的最小值为（）A．8B．4C．2D．考点：基本不等式．专题：导数的综合应用．分析：a＞0，b＞1且2a+b=4，由b=4﹣2a＞0，解得0＜a＜2．则+==f（a），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．解答：解：∵a＞0，b＞1且2a+b=4，∴b=4﹣2a＞1，解得0＜a＜．则+===f（a），∴f′（a）=+=，当时，f′（a）＜0，此时函数单调递减；当＞时，f′（a）＞0，此时函数单调递增．∴当a=时，f（a）取得极小值即最小值，=．∴+的最小值为．故选：D．点评：本题考查了导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2015•哈尔滨校级二模）设a＞b＞0，则a++的最小值为（）A．2B．3C．4D．3+2考点：基本不等式．专题：不等式．分析：由题意可得a﹣b＞0，a++=（a﹣b）+++b，由基本不等式可得．解答：解：解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴a++=（a﹣b）+++b≥4=4当且即当（a﹣b）===b即a=2且b=1时取等号，∴a++的最小值为：4故选：C．点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键．4．（2015•烟台一模）已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为（）A．16 B．18 C．20 D．24考点：基本不等式；平面向量数量积的运算．专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：由，∠BAC=，利用数量积运算可得，即bc=4．利用三角形的面积计算公式可得S△ABC==1．已知△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．可得，化为x+y=．再利用基本不等式==即可得出．解答：解：∵，∠BAC=，∴，∴bc=4．∴S△ABC===1．∵△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．∴，化为x+y=．∴===18，当且仅当y=2x=时取等号．故的最小值为18．故选：B．点评：本题考查了数量积运算、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5．（2015•上海二模）实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则x﹣y的最大值为（）A．B．C．D．2考点：基本不等式．专题：三角函数的求值．分析：x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cosθ，2xy=2sinθ，θ∈[0，2π）．化简利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cosθ，2xy=2sinθ，θ∈[0，2π）．则（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=4cos2θ﹣4sinθ=5﹣4（sinθ+）2≤5，∴x﹣y．故选：C．点评：本题考查了平方法、三角函数代换方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（2015•河南一模）已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为（）A．B．C．D．考点：基本不等式；平面向量的基本定理及其意义．专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：如图所示，，．由于点P是线段DE上的任意一点，利用向量共线定理可得：存在实数k使得=k+，与=x+y比较可得2x+y=，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：如图所示，，．∵点P是线段DE上的任意一点，∴存在实数k使得=k+，与=x+y比较可得：，∴2x+y=，∴，化为xy≤，当且仅当2x=y=时取等号．故选：B．点评：本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．）A．2B．4C．D．3考点：基本不等式．专题：解三角形．分析：设三角形另外两边分别为a，b．可得a+b=6．由余弦定理可得：42=a2+b2﹣2abcosC，化为，利用=5ab﹣25，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：设三角形另外两边分别为a，b．则4+a+b=10，∴a+b=6．由余弦定理可得：42=a2+b2﹣2abcosC，∴16=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC，化为，∵，∴==5ab﹣25=20，当且仅当a=b=3时取等号．∴．故选：A．点评：本题考查了三角形的周长及其面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．8．（2014•重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出解答：解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）=log2，∴log4（3a+4b）=log4（ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b=a+=a+=a+3+=（a﹣4）++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号．故选：D．点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．9．（2014•淄博一模）设a＞1，b＞0，若a+b=2，则的最小值为（）A．3+2B．6C．4D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵a＞1，b＞0，a+b=2，∴a﹣1＞0，a﹣1+b=1．∴==3+=3+2．当且仅当b=（a﹣1），a+b=2，即a=，b=2﹣时取等号．∴的最小值为．故选：A．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．10．（2015春•和平区校级月考）已知正数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则S=的最小值为（）A．3B．C．4D．2（+1）考点：基本不等式；二维形式的柯西不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得1﹣z2=x2+y2≥2xy，从而可得≥，由基本不等式和不等式的性质可得≥≥4解答：解：由题意可得0＜z＜1，0＜1﹣z＜1，∴z（1﹣z）≤（）2=，当且仅当z=（1﹣z）即z=时取等号，又∵x2+y2+z2=1，∴1﹣z2=x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等号，∴≥1，∴≥1，∴≥，∴≥≥4，当且仅当x=y=且z=时取等号，∴S=的最小值为4故选：C点评：本题考查基本不等式，涉及不等式的性质和配凑的方法，属中档题．11．（2015•赫章县校级模拟）设x＞0，y＞0，x+y﹣x2y2=4，则的最小值等于（）文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.A．2B．4C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由x+y﹣x2y2=4可得x+y=x2y2+4，x＞0，y＞0．于是==xy+，再利用基本不等式即可得出．解答：解：由x+y﹣x2y2=4可得x+y=x2y2+4，x＞0，y＞0．∴=，当且仅当xy=2时取等号，因此的最小值等于4．故选：B．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．12．（2014•鸠江区校级自主招生）已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（）B．0C．1D．A．﹣考点：基本不等式．专题：三角函数的求值．分析：由a2+b2=1，可设a=cosθ，b=sinθ，θ∈[0，2π）．利用倍角公式、同角三角函数基本关系式、二次函数的单调性即可得出．解答：解：∵a2+b2=1，∴可设a=cosθ，b=sinθ，θ∈[0，2π）．∴a4+ab+b4=cos4θ+cosθsinθ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2﹣2sin2θcos2θ+cosθsinθ=+1=，当sin2θ=﹣1时，上式取得最小值为0．故选：B．点评：本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式、二次函数的单调性，考查了转化方法，属于中档题．13．（2014•四川二模）若x，y∈R，函数f（x）=（x+y）2+（﹣y）2的最小值是（）A．4B．0C．2D．1文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 考点：基本不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：f（x）=（x+y）2+（﹣y）2表示（x，）与（﹣y，y）两点间距离的平方，则问题转化为求曲线y=上的点到y=﹣x上的点的距离的最小值的平方，由曲线的性质可求答案．解答：解：f（x）=（x+y）2+（﹣y）2表示（x，）与（﹣y，y）两点间距离的平方，则问题转化为求曲线y=上的点到y=﹣x上的点的距离的最小值的平方，而两曲线关于y=x对称，∴（1，1）或（﹣1，﹣1）到（0，0）的距离的平方即为所求，d=2=2，故选：C．点评：该题考查函数的最值问题，考查转化思想，解决该题的关键是熟练式子的几何意义并能正确转化．222）A．2B．C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将c看成常数，求出a+b，ab，构造方程x2﹣（2﹣c）x+c2﹣2c﹣4=0，应用判别式不小于0，解出不等式，求出c的最大值和最小值，作差即可．解答：解：∵a+b+c=2，∴a+b=2﹣c．∵a2+b2+c2=12，∴（a+b）2﹣2ab+c2=12，∴（2﹣c）2﹣2ab+c2=12，∴ab=c2﹣2c﹣4．于是a，b可以看成是关于x的方程x2﹣（2﹣c）x+c2﹣2c﹣4=0的两根，∴△=（2﹣c）2﹣4（c2﹣2c﹣4）≥0，解得，﹣2≤c≤，∴c的最大值为，最小值为﹣2，即c的最大值和最小值的差为．故选C．点评：本题主要考查多元最值问题，解决的方法是将其中的一个看作常数，应用基本不等式或二次方程有实数解的条件，判别式不小于0，解出不等式．15．（2014•金华模拟）“”称为a，b，c三个正实数的“调和平均数”，若正数x，y满足“x，y，xy的调和平均数为3”，则x+2y的最小值是（）A．3B．5C．7D．8考点：基本不等式．专题：综合题；不等式的解法及应用．分析：由调和平均数的定义，结合已知得到x=，再由x＞0得到y＞1，把x=代入x+2y，整理后利用基本不等式求最值．解答：解：由“调和平均数”定义知，x，y，xy的调和平均数为，整理得：x+y+1=xy，x=，∵x=＞0，∴y＞1．则x+2y=====．当且仅当2（y﹣1）=，即y=2时上式等号成立．∴x+2y的最小值是7．故选：C．点评：本题考查了基本不等式求最值，在利用调和平均数的定义结合已知得到x、y的关系后，关键在于整理变形，使得要求最小值的式子能利用基本不等式求解，是中档题．222）A．[﹣1，2] B．[1，2] C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2≥0，可得x2+y2+z2≥xy+xz+yz，又（x+y+z）2=x2+y2+z2+2（xy+yz+xz）≥0，即可得出．解答：解：∵（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2≥0，∴x2+y2+z2≥xy+xz+yz，∴xy+yz+zx≤2；又（x+y+z）2=x2+y2+z2+2（xy+yz+xz）≥0，∴xy+xz+yz≥=﹣1．综上可得：﹣1≤xy+xz+yz≤2．故选：A．点评：本题考查了不等式的性质和灵活应用乘法公式的能力，属于中档题．17．（2014•惠州模拟）已知x，y满足x≥0，x2+（y﹣2）2=2，则w=的最大值为（）A．4B．5C．6D．7考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：首先将w的式子展开成3+，要求w的最大值，即求的最大值，运用不等式x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等号，结合条件x2+（y﹣2）2=2，求出x，y，从而得到最大值．解答：解：w=可化为w=3+，要求w=的最大值，即求的最大值，∵x≥0，x2+（y﹣2）2=2，∴x≥0，2﹣≤y≤2，若x=0，则y=2，w=3，若x≥0，y=0，则不成立，∴x＞0，y＞0．∵x2+y2≥2xy，∴≤1，当且仅当取等号，即x=y=1时，w=取最大值，且为4．故选：A．点评：本题主要考查基本不等式及变形的运用，应注意等号成立的条件，即取最值的条件，有时要检验．18．（2014•武清区三模）若k＞1，a＞0，则k2a2+取得最小值时，a的值为（）A．1B．C．2D．4考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由基本不等式可得k2a2+≥当且仅当a=时取等号，又≥16，当且仅当=，即k=2时取等号，代入a=，可得答案．解答：解：∵k＞1，a＞0，由基本不等式可得k2a2+≥2=当且仅当k2a2=，即a=时取等号，又==8（+）≥16当且仅当=，即k=2时取等号，∴当k=2即a=时，k2a2+取得最小值故选：B．点评：本题考查基本不等式，准确变形并注意等号成立的条件是解决问题的关键，属中档题．19．（2014•上海模拟）已知a＞0，b＞0，f=，则f的最小值为（）A．8B．16 C．20 D．25考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：两次利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a＞0，b＞0，∴f=≥==≥16，当且仅当a=4b，=2，即a=4，b=1时取等号．故选：B．点评：本题考查了基本不等式的性质，注意等号成立的条件，属于基础题．20．（2014•和平区校级模拟）若正数x，y满足+=1，则+的最小值为（）A．1B．4C．8D．16考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由正数x，y满足+=1，可得x﹣1=．（y＞1），代入利用基本不等式即可得出．解答：解：∵正数x，y满足+=1，∴（y＞1），∴x﹣1=．则+=（y﹣1）+=4，当且仅当y=3（x=）时取等号．∴+的最小值为4．故选：B．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．21．（2014•唐山二模）若正数a，b，c满足c2+4bc+2ac+8ab=8，则a+2b+c的最小值为（）A．B．2C．2D．2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于正数a，b，c满足c2+4bc+2ac+8ab=8，利用乘法公式和基本不等式可得：（a+2b+c）2=a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc≥4ab+c2+4ab+2ac+4bc=8，即可得出．解答：解：∵正数a，b，c满足c2+4bc+2ac+8ab=8，∴（a+2b+c）2=a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc≥4ab+c2+4ab+2ac+4bc=8，当且仅当a=2b＞0时取等号．∴，因此a+2b+c的最小值为．故选：D．点评：本题考查了乘法公式和基本不等式的应用，属于中档题．22）A．+1 B．C．D．﹣1考点：基本不等式．专题：计算题．分析：先将2a+b=1两边平方，然后将2﹣4a2﹣b2化简一下，然后利用二次函数求出ab文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.的最值，从而可求出所求．解答：解：∵2a+b=1，∴（2a+b）2=1，∴S=2﹣4a2﹣b2=4ab+2﹣1，∴ab有最大值时S有最大值．∵2a+b=1，∴2ab=b﹣b2=﹣（b﹣）2≤，∴当b=时，2ab有最大值∴当b=时，a=，S有最大值+﹣1=故选C．点评：本题主要考查了基本不等式，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．23．（2014春•沙坪坝区校级期末）已知实数x＞0，y＞0，0＜λ＜2，且x+y=3，则的最小值为（）A．B．2C．D．3考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于实数x＞0，y＞0，x+y=3，可得2x+（2﹣λ）y+λy=6．变形为∴=，利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵实数x＞0，y＞0，x+y=3，∴2x+（2﹣λ）y+λy=6．∴==3，当且仅当2x=（2﹣λ）y=λy，x+y=3，即x=1，y=2，λ=1时取等号．∴的最小值为3．故选：D．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．24．（2015•南宁二模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sin2A+sin2B+sin2C=，面积S∈[1，2]，则下列不等式一定成立的是（）A．（a+b）＞16B．b c（b+c）＞8 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24考点：基本不等式；三角形中的几何计算．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：利用和差化积可得：sin2A+sin2B+sin2C=4sinCsinAsinB，可得sinCsinAsinB=，设外接圆的半径为R，利用正弦定理可得及S=，可得sinAsinBsinC==，即R2=4S，由于面积S满足1≤S≤2，可得2≤R≤，即可判断出．解答：解：∵sin2A+sin2B+sin2C=2sin（A+B）cos（A﹣B）+2sinCcosC=2sinC[cos（A﹣B）﹣cos（A+B）]=4sinCsinAsinB，∴4sinCsinAsinB=，即sinCsinAsinB=，设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：=2R，由S=，可得sinAsinBsinC==，即R2=4S，∵面积S满足1≤S≤2，∴4≤R2≤8，即2≤R≤，由sinAsinBsinC=可得8≤abc，显然选项C，D不一定正确，A．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，B．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，故选：B．点评：本题考查了三角函数和差化积、三角形的面积计算公式、正弦定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．（2014•怀远县校级模拟）已知点F（0，1），直线l：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且=•，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，则+的最大值为（）A．2B．3C．2D．3考点：基本不等式；平面向量的综合题．专题：不等式的解法及应用；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：如图所示，设P（x，y），则Q（x，﹣1），由=•，利用数量积运算得到动点P的轨迹C为：x2=4y．设M．（a∈R）．得到⊙M的方程为：=．令y=0，则x2﹣2ax+a2=4，可得A（a+2，0），B（a﹣2，0）．利用两点之间的距离公式可得|DA|=l1，|DB|=l2．当a≠0时，+==变形利用基本不等式即可得出．a=0，直接得出．解答：解：如图所示，设P（x，y），则Q（x，﹣1），∵=•，∴（0，y+1）•（﹣x，2）=（x，y﹣1）•（x，﹣2），∴2（y+1）=x2﹣2（y﹣1），化为x2=4y．∴动点P的轨迹C为：x2=4y．设M．（a∈R）．则⊙M的方程为：=．化为．令y=0，则x2﹣2ax+a2=4，解得x=a+2，或a﹣2．取A（a+2，0），B（a﹣2，0）．∴|DA|=l1=，|DB|=l2=．当a≠0时，+=====2≤2=2，当且仅当a=时取等号．当a=0时，+=2．综上可得：+的最大值为2．故选：C．点评：本题综合考查了数量积的运算、点的轨迹方程、两点之间的距离公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分类讨论的思想方法，属于难题．26．（2014•凉山州模拟）设函数f（x）=a2﹣2﹣b2x（ab≠0），当﹣1≤x≤1时，f（x）≥0恒成立，当取得最小值时，a的值为（）A．B．C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用一次函数的单调性可得a2﹣b2≥2．再利用基本不等式可得≥=，令|b|=t＞0，g（t）=，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．解答：解：∵函数f（x）=a2﹣2﹣b2x（ab≠0），当﹣1≤x≤1时，f（x）≥0恒成立，∴f（1）=a2﹣2﹣b2≥0，化为a2﹣b2≥2．∴≥=，令|b|=t＞0，g（t）=，则==，令g′（t）=0，解得t2=1．令g′（t）＞0，解得t2＞1，此时函数g（x）单调递增；令g′（t）＜0，解得0＜t2＜1，此时函数g（x）单调递减．∴当t2=1时，函数g（t）取得最小值，g（1）=12．此时a2=b2+2=1+2=3，解得a=．故选：D．点评：本题考查了一次函数的单调性、基本不等式、利用导数研究其单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．27．（2014春•红岗区校级期末）在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围是（）A．[2，] B．[2，] C．[3，] D．[3，]考点：基本不等式．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：由三角形的面积公式可得S△ABC==bcsinA，可得sinA，由余弦定理可得cosA，可得≤，再由基本不等式可得≥2，综合可得．解答：解：∵BC边上的高AD=BC=a，∴S△ABC==bcsinA，∴sinA=，∵cosA==（），∴=2cosA+sinA=sin（A+α）≤，其中tanA=2，又由基本不等式可得≥2=2，∴的取值范围是[2，]．故选：A点评：本题考查三角形的面积公式，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式以及基本不等式，属中档题．28．（2014春•龙华区校级期末）已知x，y，z∈R+，且x+4y+9z=1，则++的最小值是（）A．9B．16 C．36 D．81考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形可得++=（++）（x+4y+9z）=14+（+）+（+）+（+），由基本不等式可得．解答：解：∵x，y，z∈R+，且x+4y+9z=1，∴++=（++）（x+4y+9z）=14++++++=14+（+）+（+）+（+）≥14+2+2+2=36当且仅当=且=且=时取到故选：C点评：本题考查基本不等式，准确变形是解决问题的关键，属基础题．29．（2014秋•安徽期末）已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=+μ（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为（）A．5B．4C．9D．5+4考点：基本不等式；平面向量的基本定理及其意义．专题：不等式的解法及应用．分析：如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．利用向量的夹角公式可得cos∠CAB=，利用四边形EFGH的面积S==8，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解答：解：如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．∵=（3，1），=（1，3），=（﹣2，2），∴=，=，=．∴cos∠CAB===，．∴四边形EFGH的面积S==8，∴（a﹣1）（b﹣1）=1，即．∴4a+b=（4a+b）=5+=9，当且仅当b=2a=3时取等号．∴4a+b的最小值为9．故选：C．文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.点评：本题考查了向量的夹角公式、数量积运算性质、平行四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．30．（2014春•榕城区校级期中）设实数a，b，c，d满足ab=c2+d2=1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．+1 B．3+2C．﹣1 D．3﹣2考点：基本不等式．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，分别画出函数y=x，y=，圆x2+y2=1的图象．由于对称性，只考虑第一象限内的最小距离即可．联立方程解出点A，B的坐标，再利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：如图所示，画出函数y=x，y=，圆x2+y2=1的图象．由于对称性，只考虑第一象限内的最小距离即可．联立解得x=y=1；联立，解得．∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值==3．故选：D．.。