基本不等式提高题

基本不等式提高题
1．已知直线l1：a2x+y+2=0与直线l2：bx﹣（a2+1）y﹣1=0互相垂直，则|ab|的最小值为（）A．5B．4C．2D．1
2．已知a＞0，b＞1且2a+b=4，则+的最小值为（）
A．8B．4C．2D．
3．设a＞b＞0，则a++的最小值为（）
A．2B．3C．4D．3+2
4．已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为（）
A．16 B．18 C．20 D．24
5．实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则x﹣y的最大值为（）
A．B．C．D．2
6．已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，
则xy的最大值为（）
A．B．C．D．
7．若一个三角形某边长为4，周长为10，则此三角形面积的最大值为（）
A．2B．4C．D．3
8．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）
A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4
9．设a＞1，b＞0，若a+b=2，则的最小值为（）
A．3+2B．6C．4D．
10．已知正数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则S=的最小值为（）
A．3B．C．4D．2（+1）
11．设x＞0，y＞0，x+y﹣x2y2=4，则的最小值等于（）
A．2B．4C．D．
12．已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（）
B．0C．1D．
A．
﹣
13．若x，y∈R，函数f（x）=（x+y）2+（﹣y）2的最小值是（）
A．4B．0C．2D．1
14．设a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+b2+c2=12，则c的最大值和最小值的差为（）A．2B．C．D．
15．“”称为a，b，c三个正实数的“调和平均数”，若正数x，y满足“x，y，xy的调和平均数为3”，
则x+2y的最小值是（）
A．3B．5C．7D．8
16．若实数x、y、z满足x2+y2+z2=2，则xy+yz+zx的取值范围是（）
A．[﹣1，2] B．[1，2] C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]
17．已知x，y满足x≥0，x2+（y﹣2）2=2，则w=的最大值为（）
A．4B．5C．6D．7
18．若k＞1，a＞0，则k2a2+取得最小值时，a的值为（）
A．1B．C．2D．4
19．已知a＞0，b＞0，f=，则f的最小值为（）
A．8B．16 C．20 D．25
20．若正数x，y满足+=1，则+的最小值为（）
A．1B．4C．8D．16
21．若正数a，b，c满足c2+4bc+2ac+8ab=8，则a+2b+c的最小值为（）
A．B．2C．2D．2
22．设a，b＞0，且2a+b=1，则2﹣4a2﹣b2的最大值是（）
A．+1 B．C．D．﹣1
23．已知实数x＞0，y＞0，0＜λ＜2，且x+y=3，则的最小值为（）A．B．2C．D．3
24．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sin2A+sin2B+sin2C=，面积S∈[1，2]，则下列 A．（a+b）＞16 B．bc（b+c）＞8 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24
=•，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交
于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，则+的最大值为__________
26．设f（x）=a2﹣2﹣b2x（ab≠0），当﹣1≤x≤1时，f（x）≥0恒成立，当取得最小值时，a=__________
27．在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围是__________ 28．已知x，y，z∈R+，且x+4y+9z=1，则++的最小值是__________
29．已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=+μ（1＜λ≤a，1＜μ≤b）
的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为 __________
30．设实数a，b，c，d满足ab=c2+d2=1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为__________
参考答案
1．（2015•嘉兴一模）已知直线l1：a2x+y+2=0与直线l2：bx﹣（a2+1）y﹣1=0互相垂直，则|ab|的最小值为（）
A．5B．4C．2D．1
考点：基本不等式；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
专题：计算题．
分析：由题意可知直线的斜率存在，利用直线的垂直关系，求出a，b关系，然后求出ab
的最小值．
解答：解：∵直线l
与l2的斜率存在，且两直线垂直，
1
∴a2b﹣（a2+1）=0，
∴b=＞0，
当a＞0时，|ab|=ab=a+≥2；当a＜0时，|ab|=﹣ab=﹣a﹣≥2，
综上，|ab|的最小值为2．
故选C
点评：此题考查了直线的一般式方程与直线的垂直关系，以及基本不等式的运用，熟练掌
握直线垂直时满足的关系是解本题的关键．
2．（2015•重庆模拟）已知a＞0，b＞1且2a+b=4，则+的最小值为（）
A．8B．4C．2D．
考点：基本不等式．
专题：导数的综合应用．
分析：
a＞0，b＞1且2a+b=4，由b=4﹣2a＞0，解得0＜a＜2．则+==f
（a），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
解答：解：∵a＞0，b＞1且2a+b=4，
∴b=4﹣2a＞1，解得0＜a＜．
则+===f（a），
∴f′（a）=+=，
当时，f′（a）＜0，此时函数单调递减；当＞时，f′（a）＞0，
此时函数单调递增．
∴当a=时，f（a）取得极小值即最小值，=．
∴+的最小值为．
故选：D．
点评：本题考查了导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档
题．
3．（2015•哈尔滨校级二模）设a＞b＞0，则a++的最小值为（）
A．2B．3C．4D．3+2
考点：基本不等式．
专题：不等式．
分析：
由题意可得a﹣b＞0，a++=（a﹣b）+++b，由基本不等式可得．
解答：解：解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，
∴a++=（a﹣b）+++b≥4=4
当且即当（a﹣b）===b即a=2且b=1时取等号，
∴a++的最小值为：4
故选：C．
点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键．4．（2015•烟台一模）已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为（）
A．16 B．18 C．20 D．24
考点：基本不等式；平面向量数量积的运算．
专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用．
分析：
由，∠BAC=，利用数量积运算可得，即
bc=4．利用三角形的面积计算公式可得S△ABC==1．已知△MBC，△MCA，△
MAB的面积分别为，x，y．可得，化为x+y=．再利用基本不等式
==即可得出．
解答：
解：∵，∠BAC=，
∴，∴bc=4．
∴S△ABC===1．
∵△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．
∴，化为x+y=．
∴===18，当且仅当
y=2x=时取等号．
故的最小值为18．
故选：B．
点评：本题考查了数量积运算、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
5．（2015•上海二模）实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则x﹣y的最大值为（）A．B．C．D．2
考点：基本不等式．
专题：三角函数的求值．
分析：x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cosθ，2xy=2sinθ，θ∈[0，2π）．化简利用三角函数的单调性即可得出．
解答：解：x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，
设x+y=2cosθ，2xy=2sinθ，θ∈[0，2π）．
则（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=4cos2θ﹣4sinθ=5﹣4（sinθ+）2≤5，
∴x﹣y．
故选：C．
点评：本题考查了平方法、三角函数代换方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（2015•河南一模）已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为（）
A．B．C．D．
考点：基本不等式；平面向量的基本定理及其意义．
专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用．
分析：
如图所示，，．由于点P是线段DE上的任意一点，利用向量共线
定理可得：存在实数k使得=k+，与
=x+y比较可得2x+y=，再利用基本不等式的性质即可得出．
解答：解：如图所示，
，．
∵点P是线段DE上的任意一点，
∴存在实数k使得=k+，
与=x+y比较可得：，
∴2x+y=，
∴，
化为xy≤，当且仅当2x=y=时取等号．
故选：B．
点评：本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
）A．2B．4C．D．3
考点：基本不等式．
专题：解三角形．
分析：设三角形另外两边分别为a，b．可得a+b=6．由余弦定理可得：42=a2+b2﹣2abcosC，化为，利用=5ab﹣25，再利用基本不
等式的性质即可得出．
解答：解：设三角形另外两边分别为a，b．则4+a+b=10，
∴a+b=6．
由余弦定理可得：42=a2+b2﹣2abcosC，
∴16=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC，
化为，
∵，
∴==5ab﹣
25=20，当且仅当a=b=3时取等号．
∴．
故选：A．
点评：本题考查了三角形的周长及其面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
8．（2014•重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）
A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4
考点：基本不等式；对数的运算性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：
利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出
解答：解：∵3a+4b＞0，ab＞0，
∴a＞0．b＞0
∵log4（3a+4b）=log2，
∴log4（3a+4b）=log4（ab）
∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0
∴＞0，
∴a＞4，
则a+b=a+=a+=a+3+=（a﹣4）
++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号．
故选：D．
点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．
9．（2014•淄博一模）设a＞1，b＞0，若a+b=2，则的最小值为（）A．3+2B．6C．4D．
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：变形利用基本不等式即可得出．
解答：解：∵a＞1，b＞0，a+b=2，
∴a﹣1＞0，a﹣1+b=1．
∴
==3+
=3+2．
当且仅当b=（a﹣1），a+b=2，
即a=，b=2﹣时取等号．
∴的最小值为．
故选：A．
点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
10．（2015春•和平区校级月考）已知正数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则S=的最小值为（）A．3B．C．4D．2（+1）
考点：基本不等式；二维形式的柯西不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：
由题意可得1﹣z2=x2+y2≥2xy，从而可得≥，由基本不等式和不等式的性
质可得≥≥4
解答：解：由题意可得0＜z＜1，0＜1﹣z＜1，
∴z（1﹣z）≤（）2=，
当且仅当z=（1﹣z）即z=时取等号，
又∵x2+y2+z2=1，∴1﹣z2=x2+y2≥2xy，
当且仅当x=y时取等号，∴≥1，
∴≥1，∴≥，
∴≥≥4，
当且仅当x=y=且z=时取等号，
∴S=的最小值为4
故选：C
点评：本题考查基本不等式，涉及不等式的性质和配凑的方法，属中档题．11．（2015•赫章县校级模拟）设x＞0，y＞0，x+y﹣x2y2=4，则的最小值等于（）
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A．2B．4C．D．
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：
由x+y﹣x2y2=4可得x+y=x2y2+4，x＞0，y＞0．于是==xy+，
再利用基本不等式即可得出．
解答：解：由x+y﹣x2y2=4可得
x+y=x2y2+4，x＞0，y＞0．
∴
=，当且仅当xy=2时取等号，
因此的最小值等于4．
故选：B．
点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
12．（2014•鸠江区校级自主招生）已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（）
B．0C．1D．
A．
﹣
考点：基本不等式．
专题：三角函数的求值．
分析：由a2+b2=1，可设a=cosθ，b=sinθ，θ∈[0，2π）．利用倍角公式、同角三角
函数基本关系式、二次函数的单调性即可得出．
解答：解：∵a2+b2=1，∴可设a=cosθ，b=sinθ，θ∈[0，2π）．
∴a4+ab+b4=cos4θ+cosθsinθ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2﹣2sin2θcos2θ+cos
θsinθ
=+1
=，
当sin2θ=﹣1时，上式取得最小值为0．
故选：B．
点评：本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式、二次函数的单调性，考查了转
化方法，属于中档题．
13．（2014•四川二模）若x，y∈R，函数f（x）=（x+y）2+（﹣y）2的最小值是（）A．4B．0C．2D．1
文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 考点：基本不等式．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：
f（x）=（x+y）2+（﹣y）2表示（x，）与（﹣y，y）两点间距离的平方，则问题
转化为求曲线y=上的点到y=﹣x上的点的距离的最小值的平方，由曲线的性质可
求答案．
解答：
解：f（x）=（x+y）2+（﹣y）2表示（x，）与（﹣y，y）两点间距离的平方，
则问题转化为求曲线y=上的点到y=﹣x上的点的距离的最小值的平方，
而两曲线关于y=x对称，
∴（1，1）或（﹣1，﹣1）到（0，0）的距离的平方即为所求，
d=2=2，
故选：C．
点评：该题考查函数的最值问题，考查转化思想，解决该题的关键是熟练式子的几何意义
并能正确转化．
222）A．2B．C．D．
考点：基本不等式．
专题：计算题．
分析：将c看成常数，求出a+b，ab，构造方程x2﹣（2﹣c）x+c2﹣2c﹣4=0，应用判别式不小于0，解出不等式，求出c的最大值和最小值，作差即可．
解答：解：∵a+b+c=2，∴a+b=2﹣c．
∵a2+b2+c2=12，
∴（a+b）2﹣2ab+c2=12，
∴（2﹣c）2﹣2ab+c2=12，
∴ab=c2﹣2c﹣4．
于是a，b可以看成是关于x的方程x2﹣（2﹣c）x+c2﹣2c﹣4=0的两根，
∴△=（2﹣c）2﹣4（c2﹣2c﹣4）≥0，
解得，﹣2≤c≤，
∴c的最大值为，最小值为﹣2，
即c的最大值和最小值的差为．
故选C．
点评：本题主要考查多元最值问题，解决的方法是将其中的一个看作常数，应用基本不等式或二次方程有实数解的条件，判别式不小于0，解出不等式．
15．（2014•金华模拟）“”称为a，b，c三个正实数的“调和平均数”，若正数x，y满足“x，y，xy
的调和平均数为3”，则x+2y的最小值是（）
A．3B．5C．7D．8
考点：基本不等式．
专题：综合题；不等式的解法及应用．
分析：
由调和平均数的定义，结合已知得到x=，再由x＞0得到y＞1，把x=代
入x+2y，整理后利用基本不等式求最值．
解答：解：由“调和平均数”定义知，
x，y，xy的调和平均数为，
整理得：x+y+1=xy，x=，
∵x=＞0，
∴y＞1．
则x+2y===
==
．
当且仅当2（y﹣1）=，即y=2时上式等号成立．
∴x+2y的最小值是7．
故选：C．
点评：本题考查了基本不等式求最值，在利用调和平均数的定义结合已知得到x、y的关
系后，关键在于整理变形，使得要求最小值的式子能利用基本不等式求解，是中档
题．
222）A．[﹣1，2] B．[1，2] C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2≥0，可得x2+y2+z2≥xy+xz+yz，又（x+y+z）2=x2+y2+z2+2（xy+yz+xz）≥0，即可得出．
解答：解：∵（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2≥0，
∴x2+y2+z2≥xy+xz+yz，
∴xy+yz+zx≤2；
又（x+y+z）2=x2+y2+z2+2（xy+yz+xz）≥0，
∴xy+xz+yz≥=﹣1．
综上可得：﹣1≤xy+xz+yz≤2．
故选：A．
点评：本题考查了不等式的性质和灵活应用乘法公式的能力，属于中档题．
17．（2014•惠州模拟）已知x，y满足x≥0，x2+（y﹣2）2=2，则w=的最大值为（）A．4B．5C．6D．7
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：
首先将w的式子展开成3+，要求w的最大值，即求的最大值，运用
不等式x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等号，结合条件x2+（y﹣2）2=2，求出x，y，
从而得到最大值．
解答：
解：w=可化为w=3+，
要求w=的最大值，
即求的最大值，
∵x≥0，x2+（y﹣2）2=2，
∴x≥0，2﹣≤y≤2，
若x=0，则y=2，w=3，
若x≥0，y=0，则不成立，
∴x＞0，y＞0．
∵x2+y2≥2xy，
∴≤1，
当且仅当取等号，
即x=y=1时，w=取最大值，且为4．
故选：A．
点评：本题主要考查基本不等式及变形的运用，应注意等号成立的条件，即取最值的条件，
有时要检验．
18．（2014•武清区三模）若k＞1，a＞0，则k2a2+取得最小值时，a的值为（）
A．1B．C．2D．4
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：
由基本不等式可得k2a2+≥当且仅当a=时取等号，又≥16，当且仅当=，即k=2时取等号，代入a=，可
得答案．
解答：解：∵k＞1，a＞0，由基本不等式可得
k2a2+≥2=
当且仅当k2a2=，即a=时取等号，
又==8（+）≥16
当且仅当=，即k=2时取等号，
∴当k=2即a=时，k2a2+取得最小值
故选：B．
点评：本题考查基本不等式，准确变形并注意等号成立的条件是解决问题的关键，属中档题．
19．（2014•上海模拟）已知a＞0，b＞0，f=，则f的最小值为（）A．8B．16 C．20 D．25
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：两次利用基本不等式的性质即可得出．
解答：解：∵a＞0，b＞0，
∴f=≥==≥
16，当且仅当a=4b，=2，即a=4，b=1时取等号．
故选：B．
点评：本题考查了基本不等式的性质，注意等号成立的条件，属于基础题．20．（2014•和平区校级模拟）若正数x，y满足+=1，则+的最小值为（）A．1B．4C．8D．16
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由正数x，y满足+=1，可得x﹣1=．（y＞1），代入利用基本不等式即可得出．
解答：
解：∵正数x，y满足+=1，
∴（y＞1），∴x﹣1=．
则+=（y﹣1）+=4，当且仅当y=3（x=）时取
等号．
∴+的最小值为4．
故选：B．
点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．
21．（2014•唐山二模）若正数a，b，c满足c2+4bc+2ac+8ab=8，则a+2b+c的最小值为（）A．B．2C．2D．2
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由于正数a，b，c满足c2+4bc+2ac+8ab=8，利用乘法公式和基本不等式可得：（a+2b+c）2=a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc≥4ab+c2+4ab+2ac+4bc=8，即可得出．
解答：解：∵正数a，b，c满足c2+4bc+2ac+8ab=8，
∴（a+2b+c）2=a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc≥4ab+c2+4ab+2ac+4bc=8，当且仅当a=2b＞0
时取等号．
∴，
因此a+2b+c的最小值为．
故选：D．
点评：本题考查了乘法公式和基本不等式的应用，属于中档题．
22）A．+1 B．C．D．﹣1
考点：基本不等式．
专题：计算题．
分析：先将2a+b=1两边平方，然后将2﹣4a2﹣b2化简一下，然后利用二次函数求出ab
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的最值，从而可求出所求．
解答：解：∵2a+b=1，
∴（2a+b）2=1，
∴S=2﹣4a2﹣b2=4ab+2﹣1，
∴ab有最大值时S有最大值．
∵2a+b=1，
∴2ab=b﹣b2=﹣（b﹣）2≤，
∴当b=时，2ab有最大值
∴当b=时，a=，S有最大值+﹣1=
故选C．
点评：本题主要考查了基本不等式，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
23．（2014春•沙坪坝区校级期末）已知实数x＞0，y＞0，0＜λ＜2，且x+y=3，则的
最小值为（）
A．B．2C．D．3
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由于实数x＞0，y＞0，x+y=3，可得2x+（2﹣λ）y+λy=6．变形为∴
=，利
用基本不等式的性质即可得出．
解答：解：∵实数x＞0，y＞0，x+y=3，
∴2x+（2﹣λ）y+λy=6．
∴=
=3，
当且仅当2x=（2﹣λ）y=λy，x+y=3，即x=1，y=2，λ=1时取等号．
∴的最小值为3．
故选：D．
点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．24．（2015•南宁二模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sin2A+sin2B+sin2C=，面积
S∈[1，2]，则下列不等式一定成立的是（）
A．（a+b）＞16B．b c（b+c）＞8 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24
考点：基本不等式；三角形中的几何计算．
专题：解三角形；不等式的解法及应用．
分析：
利用和差化积可得：sin2A+sin2B+sin2C=4sinCsinAsinB，可得sinCsinAsinB=，设
外接圆的半径为R，利用正弦定理可得及S=，可得sinAsinBsinC==，
即R2=4S，由于面积S满足1≤S≤2，可得2≤R≤，即可判断出．
解答：解：∵sin2A+sin2B+sin2C=2sin（A+B）cos（A﹣B）+2sinCcosC=2sinC[cos（A﹣B）﹣cos（A+B）]=4sinCsinAsinB，
∴4sinCsinAsinB=，即sinCsinAsinB=，
设外接圆的半径为R，
由正弦定理可得：=2R，
由S=，
可得sinAsinBsinC==，
即R2=4S，
∵面积S满足1≤S≤2，
∴4≤R2≤8，即2≤R≤，
由sinAsinBsinC=可得8≤abc，显然选项C，D不一定正确，
A．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，
B．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，
故选：B．
点评：本题考查了三角函数和差化积、三角形的面积计算公式、正弦定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
25．（2014•怀远县校级模拟）已知点F（0，1），直线l：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且=•，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，则+的最大值为（）
A．2B．3C．2D．3
考点：基本不等式；平面向量的综合题．
专题：不等式的解法及应用；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：
如图所示，设P（x，y），则Q（x，﹣1），由=•，利用数量积运算得
到动点P的轨迹C为：x2=4y．设M．（a∈R）．得到⊙M的方程为：
=．令y=0，则x2﹣2ax+a2=4，可得A
（a+2，0），B（a﹣2，0）．利用两点之间的距离公式可得|DA|=l1，|DB|=l2．当a≠
0时，+==变形利用基本不等式即可得出．a=0，直接得出．
解答：解：如图所示，
设P（x，y），则Q（x，﹣1），
∵=•，
∴（0，y+1）•（﹣x，2）=（x，y﹣1）•（x，﹣2），
∴2（y+1）=x2﹣2（y﹣1），
化为x2=4y．
∴动点P的轨迹C为：x2=4y．
设M．（a∈R）．
则⊙M的方程为：=．
化为．
令y=0，则x2﹣2ax+a2=4，
解得x=a+2，或a﹣2．
取A（a+2，0），B（a﹣2，0）．
∴|DA|=l1=，
|DB|=l2=．
当a≠0时，
+=====2≤2=2，当且仅当a=时取等号．
当a=0时，+=2．
综上可得：+的最大值为2．
故选：C．
点评：本题综合考查了数量积的运算、点的轨迹方程、两点之间的距离公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分类讨论
的思想方法，属于难题．
26．（2014•凉山州模拟）设函数f（x）=a2﹣2﹣b2x（ab≠0），当﹣1≤x≤1时，f（x）≥0恒成立，当取
得最小值时，a的值为（）
A．B．C．D．
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：
利用一次函数的单调性可得a2﹣b2≥2．再利用基本不等式可得≥
=，令|b|=t＞0，g（t）=，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
解答：解：∵函数f（x）=a2﹣2﹣b2x（ab≠0），当﹣1≤x≤1时，f（x）≥0恒成立，
∴f（1）=a2﹣2﹣b2≥0，
化为a2﹣b2≥2．
∴≥=，
令|b|=t＞0，g（t）=，
则==，
令g′（t）=0，解得t2=1．
令g′（t）＞0，解得t2＞1，此时函数g（x）单调递增；令g′（t）＜0，解得0
＜t2＜1，此时函数g（x）单调递减．
∴当t2=1时，函数g（t）取得最小值，g（1）=12．
此时a2=b2+2=1+2=3，解得a=．
故选：D．
点评：本题考查了一次函数的单调性、基本不等式、利用导数研究其单调性极值与最值等
基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
27．（2014春•红岗区校级期末）在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围是（）
A．[2，] B．[2，] C．[3，] D．[3，]
考点：基本不等式．
专题：解三角形；不等式的解法及应用．
分析：
由三角形的面积公式可得S△ABC==bcsinA，可得sinA，由余弦定理可得cosA，
可得≤，再由基本不等式可得≥2，综合可得．
解答：解：∵BC边上的高AD=BC=a，
∴S△ABC==bcsinA，∴sinA=，
∵cosA==（），
∴=2cosA+sinA=sin（A+α）≤，其中tanA=2，
又由基本不等式可得≥2=2，
∴的取值范围是[2，]．
故选：A
点评：本题考查三角形的面积公式，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式以及基本不等式，属中档题．
28．（2014春•龙华区校级期末）已知x，y，z∈R+，且x+4y+9z=1，则++的最小值是（）A．9B．16 C．36 D．81
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：
变形可得++=（++）（x+4y+9z）=14+（+）+（+）+（+），由
基本不等式可得．
解答：解：∵x，y，z∈R+，且x+4y+9z=1，
∴++=（++）（x+4y+9z）
=14++++++
=14+（+）+（+）+（+）
≥14+2+2+2=36
当且仅当=且=且=时取到
故选：C
点评：本题考查基本不等式，准确变形是解决问题的关键，属基础题．
29．（2014秋•安徽期末）已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=+μ
（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为（）A．5B．4C．9D．5+4
考点：基本不等式；平面向量的基本定理及其意义．
专题：不等式的解法及应用．
分析：如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题
意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．利用向量的夹
角公式可得cos∠CAB=，利用四边形EFGH的面积
S==8，再利用“乘1法”与基本不等式的性
质即可得出．
解答：解：如图所示，
延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，
NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P
（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．
∵=（3，1），=（1，3），=（﹣2，2），∴=，=，=．
∴cos∠CAB===，．
∴四边形EFGH的面积S==8，
∴（a﹣1）（b﹣1）=1，即．
∴4a+b=（4a+b）=5+=9，当且仅当b=2a=3时取等号．
∴4a+b的最小值为9．
故选：C．
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点评：本题考查了向量的夹角公式、数量积运算性质、平行四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
30．（2014春•榕城区校级期中）设实数a，b，c，d满足ab=c2+d2=1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．+1 B．3+2C．﹣1 D．3﹣2
考点：基本不等式．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
如图所示，分别画出函数y=x，y=，圆x2+y2=1的图象．由于对称性，只考虑第一象
限内的最小距离即可．联立方程解出点A，B的坐标，再利用两点间的距离公式即可得
出．
解答：
解：如图所示，画出函数y=x，y=，圆x2+y2=1的图象．
由于对称性，只考虑第一象限内的最小距离即可．
联立解得x=y=1；
联立，解得．
∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值==3．
故选：D．
.。