基本不等式提高题

基本不等式提高题

1．已知直线l1：a2x+y+2=0与直线l2：bx﹣（a2+1）y﹣1=0互相垂直，则|ab|的最小值为（）A．5B．4C．2D．1

2．已知a＞0，b＞1且2a+b=4，则+的最小值为（）

A．8B．4C．2D．

3．设a＞b＞0，则a++的最小值为（）

A．2B．3C．4D．3+2

4．已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为（）

A．16 B．18 C．20 D．24

5．实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则x﹣y的最大值为（）

A．B．C．D．2

6．已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，

则xy的最大值为（）

A．B．C．D．

7．若一个三角形某边长为4，周长为10，则此三角形面积的最大值为（）

A．2B．4C．D．3

8．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）

A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4

9．设a＞1，b＞0，若a+b=2，则的最小值为（）

A．3+2B．6C．4D．

10．已知正数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则S=的最小值为（）

A．3B．C．4D．2（+1）

11．设x＞0，y＞0，x+y﹣x2y2=4，则的最小值等于（）

A．2B．4C．D．

12．已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（）

B．0C．1D．

A．

﹣

13．若x，y∈R，函数f（x）=（x+y）2+（﹣y）2的最小值是（）

A．4B．0C．2D．1

14．设a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+b2+c2=12，则c的最大值和最小值的差为（）A．2B．C．D．

15．“”称为a，b，c三个正实数的“调和平均数”，若正数x，y满足“x，y，xy的调和平均数为3”，

则x+2y的最小值是（）

A．3B．5C．7D．8

16．若实数x、y、z满足x2+y2+z2=2，则xy+yz+zx的取值范围是（）

A．[﹣1，2] B．[1，2] C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]

17．已知x，y满足x≥0，x2+（y﹣2）2=2，则w=的最大值为（）

A．4B．5C．6D．7

18．若k＞1，a＞0，则k2a2+取得最小值时，a的值为（）

A．1B．C．2D．4

19．已知a＞0，b＞0，f=，则f的最小值为（）

A．8B．16 C．20 D．25

20．若正数x，y满足+=1，则+的最小值为（）

A．1B．4C．8D．16

21．若正数a，b，c满足c2+4bc+2ac+8ab=8，则a+2b+c的最小值为（）

A．B．2C．2D．2

22．设a，b＞0，且2a+b=1，则2﹣4a2﹣b2的最大值是（）

A．+1 B．C．D．﹣1

23．已知实数x＞0，y＞0，0＜λ＜2，且x+y=3，则的最小值为（）A．B．2C．D．3

24．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sin2A+sin2B+sin2C=，面积S∈[1，2]，则下列 A．（a+b）＞16 B．bc（b+c）＞8 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24

=•，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交

于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，则+的最大值为__________

26．设f（x）=a2﹣2﹣b2x（ab≠0），当﹣1≤x≤1时，f（x）≥0恒成立，当取得最小值时，a=__________

27．在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围是__________ 28．已知x，y，z∈R+，且x+4y+9z=1，则++的最小值是__________

29．已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=+μ（1＜λ≤a，1＜μ≤b）

的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为 __________

30．设实数a，b，c，d满足ab=c2+d2=1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为__________

参考答案

1．（2015•嘉兴一模）已知直线l1：a2x+y+2=0与直线l2：bx﹣（a2+1）y﹣1=0互相垂直，则|ab|的最小值为（）

A．5B．4C．2D．1

考点：基本不等式；直线的一般式方程与直线的垂直关系．

专题：计算题．

分析：由题意可知直线的斜率存在，利用直线的垂直关系，求出a，b关系，然后求出ab

的最小值．

解答：解：∵直线l

与l2的斜率存在，且两直线垂直，

1

∴a2b﹣（a2+1）=0，

∴b=＞0，

当a＞0时，|ab|=ab=a+≥2；当a＜0时，|ab|=﹣ab=﹣a﹣≥2，

综上，|ab|的最小值为2．

故选C

点评：此题考查了直线的一般式方程与直线的垂直关系，以及基本不等式的运用，熟练掌

握直线垂直时满足的关系是解本题的关键．

2．（2015•重庆模拟）已知a＞0，b＞1且2a+b=4，则+的最小值为（）

A．8B．4C．2D．

考点：基本不等式．

专题：导数的综合应用．

分析：

a＞0，b＞1且2a+b=4，由b=4﹣2a＞0，解得0＜a＜2．则+==f

（a），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答：解：∵a＞0，b＞1且2a+b=4，

∴b=4﹣2a＞1，解得0＜a＜．

则+===f（a），