昆明理工大学 线性代数 第4章 习题册答案

1

习题4.1（线性方程组解的结构）

一、下列齐次线性方程组是否有非零解？

分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ⇔=⇔<；仅有零解0()A R A n ⇔≠⇔=

（1）1234123412341

23442020372031260

x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪

--+=⎪⎨++-=⎪⎪--+=⎩ ；

解：1142111231

7

21

312

6

A ----=

---21

3241

31142005404540

2

16

8

r r r r r r ---=-------21

054054544544004016

8

2

16

8

2

16

8

r r -=

---=-=-≠--------

仅有零解。

（2）12451234123453020426340

x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪

-+-=⎨⎪

-++-=⎩ .

分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ⇔≤；仅有零解()R A n ⇔= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。

二、求齐次线性方程组12341234123420

363051050

x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪

+--=⎨⎪

++-=⎩的一个基础解系。

解：32

21

12

31

412351

21101

2110120103

61300

04000

0100

510

1

5000

4

000

00r r r r r r r r r A --------=--→-→--⎡⎤

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣

⎦⎣⎦

所以原方程组等价于1243

20

0x x x x +-=⎧⎨=⎩（24,x x 可取任意实数）

原方程组的通解为1

122

1342

20x k k x k x

x k =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩（12,k k R ∈）

2

改写为

11221

211

12

342

222210100

00000

01x k k k k x k k x k k x x k k -+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝

⎭⎝⎭⎝⎭（12,k k R ∈）

因此齐次线性方程组的基础解系为12

21100

001ξξ-⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

三、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且

()12

3

4

5T

η=，()231

23

4T

ηη=+, 求该方程组的通解。

解：由于矩阵的秩为3，n -r =4-3=1，故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量， 且由于321,,ηηη均为非齐次线性方程组的解，由解的性质得

123121232()()()4

()()56ηηηηηηη⎛⎫ ⎪

-+=-+-= ⎪ ⎪+= ⎪⎝⎭

齐次解齐次解齐次解

，为齐次线性方程组的基础解系，

故此非齐次线性方程组的通解：⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=543

26543k x ，)(R k ∈

四、设123ααα，，是方程组A X =0的一个基础解系，证明：向量组123123αααααα++-，，也是A x =0的一个基础解系.

解：123ααα，，是方程组A X =0的一个基础解系，所以A x =0的任意三个线性无关解向量的都是它的基础解系；且123ααα，，是方程组A X =0的线性无关解向量组。 由齐次线性方程组的解的性质得123123αααααα++-，，也是A x =0的解。

3

设1123

12

3

βαααβααβα=++-23==得111

1

10200

1

C =-=-≠，

由（P64）定理8知123123αααααα++-，，线性无关。

因此，向量组123123αααααα++-，，也是A x =0的一个基础解系。

五、设*

η是非齐次线性方程组A x=b (b ≠0)的一个解，ξ1，…，ξn -r 是对应的齐次线性方程

组的一个基础解系（r R (A )=），证明：

（1）*η，ξ1，…，ξn -r 线性无关；（2）*η,ηξ*1+，…，ηξ*

n -r +线性无关.

证明 (1)反证法,假设1,,,n r ηξξ*

- 线性相关,则存在着不全为0的数01,,,n r c c c - 使得下式成立: 0110n r n r C C C ηξξ*

--+++= (1)

其中,00c ≠否则,1,,n r ξξ- 线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。

由于η*

为特解，1,,n r ξξ- 为基础解系，故得b C A C C C C A r n r n 00110)(==+++*--*ηξξη 而由(1)式可得011()0n r n r A C C C ηξξ*

--+++= 故0b =，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得0b = 产生矛盾,假设不成立, 故1,,,n r ηξξ*- 线性无关. (2)反证法,假使1,,,n r ηηξηξ*

*

*

-++ 线性相关. 则存在着不全为零的数01,,,n r c c c - 使得下式成立:

011()()0n r n r c c c ηηξηξ*

*

*

--+++++= （2）

即0111()0n r n r n r c c c c c ηξξ*

---++++++=

1) 若010n r c c c -+++= ,由于1,,n r ξξ- 是线性无关的一组基础解系,

2) 故010n r c c c -==== ,由(2)式得00c =此时010n r c c c -==== 与假设矛盾.