第二十章 成本最小化

s 2
1x1 2 x2 0
这说明要素需求曲线有负的(或至少是零的)斜率。 如果x1是变化的，要素价格与对要素的需求一定反 方向变化。
20.3
规模报酬和成本函数
平均成本是生产y单位产量的单位成本。 平均成本函数为：
c( w1 , w2 , y) Ac( w1 , w2 , y) . y
MC C ( y) 4 y
'
y 10 5 min{ AVC
AFC
F 1000 y y
y0
练习
1.已知L的价格为r,K的价格为w,生产函数为,
(1) y 5 L 3 K
1
2
3
(2) y min(3L, K )
(3) y 3L K
求厂商长期生产的扩展线方程 2、需求曲线ywenku.baidu.com11-0.5P,供给曲线y＝1＋1.5P 1）试求均衡点。 2）如果政府对售出的每单位产品征收1.00元的从量税， 新的均衡点是？ 3）在这1.00元中，消费者负担多少？生产者负担多少？
C ( w1 , w2 , y ) y min(w1 ,
w2 ) 2
2. 3.
x1 ( w1 , w2 , y ) y y x2 ( w1 , w2 , y ) 2
w2 C ( w1 , w2 , y ) ( w1 ) y 2
b a b
aw2 x1 ( w1 , w2 , y ) ( ) bw1
x1 0
f ( x1 , x 2 ' ' ) y
x1 0
Cs Cl min w1 x1 w2 x2 min min w1 x1 w2 x2 min w1 x1 w2 x2
x1 , x2 0 x2 0 x1 0


s.t.
f x1 , x2 y
例题1
1/ 3 2/ 3 生产函数为 y x1 x2 投入的价格分别为w1,w2，产量为y。 求各投入的有条件的要素需求函数。
w1 y / x1 x w2 y / x2 2x
* 2 * 1

1/ 3 * 2/ 3 y ( x* ) (x2 ) 1
由目标函数 w1 x1 w2 x2 c
w1 c x2 x1 w2 w2
当我们变换c的数值时可以得到一簇等成本线，一条等成本线 上的每一点都表示同样的成本c，较高的等成本线表示较高的 成本。
x2
Slopes = -w1/w2.
c” w1x1+w2x2
c’ w1x1+w2x2
生产技术的规模报酬性质决定成本随产量变化的状况。 假定某厂商目前产量为y’ ，各要素价格不变，为(w1,w2) 。 如果该厂商生产2y’ 时，技术条件不变，该厂商成本如何变化？ 如果某厂商生产技术显示规模报酬不变，则该厂商产量由y’ 增长1倍到2y’ 要求投入要素也增长1倍。 总生产成本增长1倍。 平均生产成本不变. 如果某厂商生产技术显示规模报酬递增，则该厂商产量由y’ 增长1倍到2y’ 要求投入要素增长幅度小于1倍。 总生产成本增长幅度小于1倍。 平均生产成本下降。 如果某厂商生产技术显示规模报酬递减，则该厂商产量由y’ 增长1倍到2y’ 要求投入要素增长幅度大于1倍。 总生产成本增长幅度大于1倍。 平均生产成本上升。
y
1 ab
b 1 w1 a a w C ( w1 , w2 , y ) (a b) ( ) b ( 2 ) a b y a b a b
1 bw1 a a x2 ( w1 , w2 , y ) ( ) b y a b aw2
20.2
显示成本最小化
假定我们考虑两组要素价格(w1t,w2t)和(w1s,w2s)，与 此相关的厂商的选择为(x1t,x2t)和(x1s,x2s) 。假定这组 选择中的每一种都生产同样的产量y。 一个寻求成本最小化的厂商（在产出不能变化时）， 其实际生产选择一定满足：
20.4
y
x2
短期成本和长期成本
在完全竞争条件下，生产某一既定产量，长期成本一定不会 大于短期成本。
y
y
长期产出 扩展线
x 2 x 2 x 2 x1 x1 x1
短期产出 扩展线
STC(y) ≥LTC(y)
x1
短期成本函数被定义为在只有可变生产要素可以调整的情 况下，生产既定水平的产量的最小成本， 长期成本函数则表示在一切生产要素都可调整的情况下， 生产既定产量的最小成本。 长 期 短 期
x1 , x2 0
min w1 x1 w2 x2
x1 x1 ( w1 , w 2 , y ) x 2 x 2 ( w1 , w 2 , y ) x1 x1 ( w1 , w2 , x2 ' ' , y ) x2 x2 ' '
f ( x1, x2 ) y
min w1 x1 w2 x2 ' '
第二十章
成本最小化
成本最小化 显示成本最小化 规模报酬和成本函数 短期成本和长期成本
20.1
成本最小化
总成本函数
假定厂商使用两种投入生产一定量产出，成本最小 化问题可以表述为：
minc minw1 x1 w2 x2 s.t . y f ( x1 , x2 )
解这类成本最小化问题—即实现合宜的产量水平所 必需的最小成本——取决于w1,w2,和y的值，所以我们 把它计作c(w1,w2, y)，这一函数叫做成本函数。 成本函数c(w1,w2, y)度量的是指当要素价格为(w1,w2) 时，生产y单位产量的最小成本。
②短期
2 2 y y 0.5 0.5 0.5 x1 2 w1w2 y y x1 x2 Cs w1 w2 x2 x2 x2
练习
对于生产函数 租赁价格为1元，劳动的工资为1元，固定投入为1000元。 1）写出成本曲线。 2）计算AC, AVC, AFC, MC 3）计算minAC和minAVC时的AC,AVC,y。
例子
设y＝x0.51x0.52，在生产要素价格w1和w2下的长期与短期成本 函数，假定在短期内x2不变，等于x”2。 ①长期
0.5 w2 x1 y x2 w1 MP 1 w MP x w1 0.5 Cl 2w1w2 y 2 1 2 0.5 w1 y x 0.5 x 0.5 1 2 x2 w y 2
练习
假设某企业Ａ的生产函数为： yA 10L K 另一家企业Ｂ的生产函数为： y 10L K B 其中y为产量，Ｋ和Ｌ分别为资本和劳动的投入量。 ａ. 如果两家企业使用同样多的资本和劳动，哪一 家企业的产量大？ ｂ. 如果资本的投入限于９单位，而劳动的投入没 有限制，哪家企业劳动的边际产量更大？
t t t t t s t s w1 x1 w2 x2 w1 x1 w2 x2 s s t s t w1s x1s w2 x2 w1s x1 w2 x2
(w w ) x (w w ) x (w w ) x (w w ) x
t 1 s 1 t 1 t 2 s 2 t 2 t 1 s 1 s 1 t 1 s 1
1 2 3 5
1 2 2 5
Increasing cost
c’ < c”
等成本线
x1
产量一定，成本最小。 x2 c3可能，但不是最小； c1小，但不可能； c2可能范围内最小。 显然，等产量线与等成本线 相切。 即 MP w1 1
TRS
MP2

c3
w2
c1
c2 y
MP w1 1 MP2 w2
练习
求条件要素需求和成本函数 1． y x1 2 x2 2． y min(x1 ,2 x2 ) 3． y x a x b
1 2
答案
1.
w2 y if w 1 2 w x1 ( w1 , w2 , y ) 0 y if w1 2 2 w2 0 if w 1 2 w2 0 if w 1 2 w y x2 ( w1 , w2 , y ) 0 if w1 2 2 2 y w2 if w 1 2 2
x1
20.1
s.t. y f ( x1 , x2 )
成本最小化
min c min w1 x1 w2 x2 L w1 x1 w2 x2 y f ( x1 , x2 ) L f w1 0 x1 x1 L f w2 0 x2 x2 f w1 x1 MP 1 w2 f MP2 x2
* * x1 ( w 1 , w 2 , y ), x 2 ( w 1 , w 2 , y )

w 2/ 3 2w 1/ 3 1 2 y, y . 2w 1 w 2
例题2
生产函数为 y min{ 4x1 , x 2 } 投入的价格分别为w1,w2，产量为y。 求各投入的有条件的要素需求函数。
y * x1 ( w 1 , w 2 , y ) 4
* 1 1
* x 2 ( w 1 , w 2 , y ) y.
* 2 2
c( w1 , w 2 , y ) w x ( w1 , w 2 , y ) w x ( w1 , w 2 , y ) y w1 w1 w 2 y w 2 y 4 4
y k1/ 4l1/ 4 ，有两种可变投入k、l，资本的
c( y) 2 y 1000
2
min{ AC
C ( y) 1000 2y } y y AC 40 5 AVC 20 5 TVC ( y ) 2 y} y AC does not exist. AVC 0
C ( y) 1000 AC 2y y y TVC ( y) AVC 2y y