波函数及其统计诠释

§15-1波函数及其统计诠释

在经典物理学中我们已经知道，一个被看作为质点的宏观物体的运动状态，是用它的位置矢量和动量来描述的。但是，对于微观粒子，由于它具有波动性，根据不确定关系，其位置和动量是不可能同时准确确定的, 所以我们也就不可能仍然用位置、动量以及轨道这样一些经典概念来描述它的运动状态了。微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数ψ(r, t)来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。

在经典物理学中，我们曾经用波函数y(x, t) = a cos(ωt-kx)表示在t时刻、在空间x处的弹性介质质点离开平衡位置的位移，用波函数e(r, t) = e0 cos(k⋅r-ω t)和b(r, t) = b0 cos (k⋅r-ω t)分别表示在t时刻、在空间r处的电场强度和磁场强度。那么在量子力学中描述微观粒子的波函数ψ(r, t)究竟表示什么呢？

为了解释微观粒子的波动性，历史上曾经有人认为，微观粒子本身就是粒子，只是它的运动路径像波；也有人认为，波就是粒子的某种实际结构，即物质波包，波包的大小就是粒子的大小，波包的速度(称为群速)就是粒子的运动速度；还有人认为，波动性是由于大量微观粒子分布于空间而形成的疏密波。实验证明，这些见解都与事实相违背，因而都是错误的。

1926年玻恩(m.born, 1882-1970)指出，德布罗意波或波函数ψ(r, t)不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。对波函数的这种统计诠释将量子概念下的波和粒子统一起来了。微观粒子既不是经典概念中的粒子，也不是经典概念中的波；或者说，微观粒子既是量子概念中的粒子，也是量子概念中的波。其量子概念中的粒子性表示它们是具有一定能量、动量和质量等粒子的属性，但不具有确定的运动轨道，运动规律不遵从牛顿运动定律；其量子概念中的波动性并不是指某个实在物理量在空间的波动，而是指用波函数的模的平方表示在空间某处粒子被发现的概率。

但是，在量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有直接物理意义的, 具有直接物理意义的是波函数的模的平方，它代表了粒子出现的概率。如果某微观粒子的概率波的波函数是ψ(r, t)=ψ(x,y,z, t)，那么在t时刻、在空间(x,y,z)附近的体积元d x d y d z内粒子出现的概率正比于

或,其中ψ*(x,y,z,t)是ψ(x,y,z,t)的共轭复数(或称复共轭)。于是，在t时刻、在空间(x,y,z)附近单位体积内粒子出现的概率，即概率密度可以表示为

.(15-1)

既然波函数与粒子在空间出现的概率相联系，所以波函数必定是单值的、连续的和有限的。

在经典物理学中，波函数ψ(r, t)和aψ(r, t)(a是常数)代表了能量或强度不同的两种波动状态；而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态，或者说代表了同一个概率波，因为它们所表示的概率分布的相对大小是相同的。也就是说，对于空间任意两点r i和r j下面的关系必定成立

. (15-2)

所以，波函数允许包含一个任意的常数因子。

如果粒子被限制在一个有限的空间内运动，那么在任意时刻在全空间找到这个粒子的概率必定等于1，即

,(15-3)

式中v是波函数存在的全空间。上式就称为波函数的归一化条件。由归一化条件可以确定波函数中的常数因子。满足归一化条件的波函数的绝对值的平方所代表的概率，称为绝对概率；不满足归一化条件的波函数的绝对值的平方所代表的概率，称为相对概率。量子力学中并不排斥使用一些不能归一的理想波函数，如描述自由粒子的平面波波函数。

在经典的波动学中，我们曾经讨论过波动所遵从的叠加原理，即各列波共同在某质点引起的振动，是各列波单独在该质点所引起的振动的合成。在量子力学中也有一个类似的原理，这个原理称为态叠加原理，是量子力学原理的一个基本假设，适用于一切微观粒子的量子态。态叠加原理可以表述为：如果波函数ψ1(r, t), ψ2(r, t), ……都是描述系统的可能的量子态，那么它们的线性叠加

, (15-4) 也是这个系统的一个可能的量子态。式中c1 , c2 ,…一般也是复数。

最后简要介绍关于宇称的概念。如果将描述粒子状态的波函数的所有坐标改变符号(即r →-r，或x →-x, y®-y, z ®-z)，这称为波函数的空间反演。宇称就是描述微观粒子波函数在空间反演下所具有的一种对称性。如果波函数经空间反演后，波函数的数值和符号都不改变，即

,(15-5)

就称该波函数具有偶宇称(或正宇称)；如果波函数经空间反演后，波函数的数值不变而符号改变，即

,(15-6)

就称该波函数具有奇宇称(或负宇称)。