波函数及其统计诠释
大学物理波函数
18
例1:已知描述粒子的归一化波函数为(t,x,y,z)，求在t时刻、 在x到x+dx的无限大薄层内发现粒子的概率。
( t,x ,y ,z ) d x d y d z 解: 体积元内的概率为
Ψ
2
7
4.用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 先看经典波： 声波的干涉
振幅矢量相加
i t A ( x ) e 通过上缝的声波用 描述 1 it )e 描述 2(x 通过下缝的声波用 A
A A ) e 双缝 齐开时的声波为 ( 1 2
i t
8
A A ) e 双缝 齐开时的声波为 ( 1 2
薛定谔方程
§15-1 §15-2 §15-3 §15-4 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 力学量的算符表示和平均值 一维势阱和势垒问题
1
波函数的统计解释 一、波函数和概率波
二、物理对波函数的要求
三、自由粒子的波函数
2
一、波函数和概率波
1. 波函数
物质波波函数写成 ( r ,t )
2.玻恩（M.Born）假设 物质波不代表实在物理量的波动 而是刻划粒子在空间概率分布的概率波
10
•双缝齐开时 电子可通过上缝 也可通过下缝 通过上 下缝各有一定的概率 总概率幅
Ψ Ψ Ψ 12 1 2
2 12 2 2
21
| Ψ | | Ψ Ψ | 总概率密度 P 12 1
2 1 2 2
12
出现了干涉
干涉项
11
结论 1)干涉是概率波的干涉 是由于概率幅的线性叠加产生的 2)即使只有一个电子 当双缝齐开时
归一化条件
( r , t ) ( r , t ) d 1
波函数及其统计诠释
概率密度表示为 ρ(x, y, z, t) = ψ ∗ (x, y, z, t)ψ (x, y, z, t)
2. 波函数是单值的、连续的和有限的。
3
3. 波函数允许包含一个任意的常数因子
了同一波个函量数子ψ态(rv，,t对) 和于空Aψ间(r任v, t意) (两A是点常rvi 数和)描rvj 述有
§2-6 波函数及其统计诠释 一、经典物理学中的波函数
微观粒子的运动状态称为量子态， 用
波函数 ψ (rv, t) 来描述的，这个波函数所
反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。 (量子力学的基本假设之一)
二、在量子力学中波函数的统计意义
1926年玻恩指出：德布罗意波或波函数 ψ (rv,t) 不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空 间的概率分布的概率波。 在统计意义下波函数具有下面的性质：
系统的可能的量子态，那么它们的线性叠加为
∑ ψ(rv, t) =c1ψ1(rv, t)+c2ψ2(rv, t)+⋅⋅⋅ = ciψi (rv, t) i 也是这个系统的一个可能的量子态 5
1. 量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有 直接物理意义的, 具有直接物理意义的是的模的 平方，它代表了粒子出现的概率。
2
微观粒子的概率波的波函数表示为
ψ(rv,t) =ψ(x, y,z,t)
那么在t时刻、在空间(x,y,z)附近的体积元dxdydz内 粒子出现的概率正比于
ψ(x, y, z,t) 2 dxdydz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ψ ( rvi , t ) 2 ψ ( rvj , t ) 2
=
Aψ ( rvi , t ) 2 Aψ ( rvj , t ) 2
波函数的统计诠释
波函數的統計詮釋現在，讓我們回頭再來看薛丁格的波動力學。
其實，當時在波動力學中還存在一個懸而未決的大問題，這就是波動方程式中包含的波函數ψ的物理意義究竟是什麼。
最初，薛丁格認為ψ函數負數模的平方式電荷的密度，這就好像電子分解成電子雲似的。
但是，哥本哈根的物理學家們並沒有像接受薛丁格的理論那樣給以讚賞。
與之相反，薛丁格對波函數的解釋遭到波耳的批評和反對。
波耳邀請薛丁個到家中討論這個問題，最後，兩人馬拉松式的討論竟把薛丁格累得病倒在波耳家中。
然而，主人卻堅持在床頭繼續與薛丁格討論。
波耳既善良熱情又很有涵養，可是在及其重要的物理學問題面前，他實在難以抑制激情。
1926年，玻恩把薛丁格波動方程用於量子力學散射過程，從而提出了波函數的統計詮釋（statistical interpretation）。
玻恩是當時享有盛名的物理學家，他1882年12月11日生於普魯士，1907年獲哥廷根大學博士學位，1921年起任該校物理系主任。
玻恩不但個人成就卓越，對學生和晚輩的提攜更是不遺餘力，海森伯、泡利等人都曾是他的研究助手。
希特勒上台後，玻恩被迫流亡英國，先後在劍橋大學和愛丁堡大學任教。
1953年退休後，波恩回到了德國，直到1970年1月5日逝世。
玻恩在1926年發表的一篇論文中指出，薛丁格波函數是一種機率振幅（probability amplitude），它的絕對值的平方對應於測量到的電子的機率分佈。
直到這時，波函數的物理含意才變得明確了。
不過，一個力學理論竟然給出了機率，這簡直是太令人震驚了！在電子的繞射圖中，底片上暗環實際上就是許多電子集中到達的地方，亮環處就是電子幾乎沒有到達過的位置。
按繞射環的半徑統計出每個環中電子留下的黑斑數目，物理學家馬上就發現，以環的半徑為橫座標、相應半徑的黑斑數為縱座標作的圖，其形狀與光以及X射線繞射的密度分佈曲線相同。
這是偶然的巧合，還是另有什麼深刻的含意呢？由於這一分佈曲線也呈波的形狀，而且對應的是電子射中底片某點的機率，玻恩建議把這種波命名為機率波。
03讲-Schrodinger Equation
1
(2)3
2
( p)eipr /d 3 p
(
pi
)eipi
r
/
i
可见，| ( pi ) |2 代表 (r ) 中含有平面波
eipi r / 的成分，因此，| ( pi ) |2 应该代表粒子具
有动量 pi 的概率。
13
二、力学量的平均值(2)——动量
d
d 0 粒子数目在全空
dt
s
dt
间中保持不变
26
四、薛定谔方程（4） 能量本征方程
薛定谔方程
i
(r ,
t
)
[
2
2
V
(r ,
t)]
(r ,
t)
t
2m
若V (r,t)不显含 t
，则可令
(r ,
t)
E
(r )
f
(t)，有
i f (t)
s
ds
电磁学：左边表示在
量子力学：左边表示在
区域 内电荷在单位
区域 内找到粒子概率
时间内的增量，右边
单位时间内的增量，右
单位时间内通过 的
边单位时间内通过 的
封闭表面 S 流入 内 的总电流。电荷守恒
封闭表面 S 流入 内
的概率。概率守恒
d
d
j
ds
附近的概率，那么粒子坐标的平
均值，例如 x 的平均值 x ，由概率论，有
x
| (r ) |2
xd 3r
物质波及其统计诠释波函数
物质波的发现
德布罗意提出
1924年，法国物理学家路易·德布罗 意提出所有微观粒子都具有波动性质 ，即物质波。
实验验证
随后，科学家们通过双缝干涉实验等 证实了微观粒子具有波动性质，证明 了德布罗意的物质波理论。
物质波的应用
粒子探测
01
物质波的干涉和衍射现象可用于探测微观粒子的位置和动量。
光学仪器
02
03
波函数是量子力学中的基本概念，是描述微观世界的
基本工具之一。
04
物质波与波函数的关系
物质波与波函数的联系
物质波描述了微观粒子在空间 中的分布和运动状态，而波函 数是描述粒子状态的数学工具。
物质波的幅度和相位可以通 过波函数来描述，波函数的 模方表示粒子在某一位置出
现的概率密度。
物质波和波函数都遵循波动方 程，如薛定谔方程，描述了粒 子在时间和空间中的行为。
03
物质波与其他物理现象的交叉研究
物质波与光学、电磁学等领域有密切的联系，未来将有更多跨学科的研
究，以探索物质波与其他物理现象的相互作用和相互启发。
物质波及其统计诠释在未来的应用前景
量子信息处理
利用物质波的干涉和衍射等性质，可以实现量子比特的控制和操 作，为量子计算和量子信息处理提供新的工具和手段。
物质波及其统计诠释波函数
目录
• 物质波的简介 • 物质波的统计诠释 • 波函数的介绍 • 物质波与波函数的关系 • 物质波及其统计诠释波函数的发
展前景
01
物质波的简介
物质波的概念
物质波
与机械波不同，物质波是微观粒子如 电子、光子等具有的波动性质。
德布罗意波长
物质波的波长λ=h/p，其中h是普朗克 常数，p是粒子的动量。
12-4 12-5物质波及其统计诠释,波函数
质子、中子、原子、分子…也有波动性
9
1993年美国科 学家移动铁原 子，铁原子距 离0.9纳米
“量子围栏”
48个铁原子排列在 铜表面
证明电子的波动性
10
波粒二象性是普遍的结论
宏观粒子也具有波动性
m大
0
例：m = 0.01kg v = 300m/s 的子弹
h h 6.63 1034 2.21 10 m P m 0.01 300
( x, t ) ( x )e
i Et
, ( x ) Ae （空间因子）
33
i px
自由粒子波函数：
( x ) Ae
三维：
( r ) Ae
2 2
i px
p>0：向右
p<0：向左
i p r
概率密度： A const.
空间位置完全不确定，动量取确定值
分析: 原子线度 r ∼ 10 -10 m 若电子Ek = 10eV 则
由不确定关系有 ΔP 2Δr
2E 6 10 m /s m
ΔP Δ 6 105 m/s m 2m Δr
轨道概念不适用! 代之以电子云概念
24
在宏观现象中，不确定度关系可以忽略。
p const.
【思考】自由粒子波函数能归一化吗？
34
5、状态叠加原理 量子力学要求：若体系具有一系列互异的可 能状态 1，2 ，则它们的线性组合
C n n
也是该体系的一个可能的状态。展开系数Cn 为 任意复常数。
若叠加中各状态间的差异无穷小， 则应该用 积分代替求和： C d
16-1-2 波函数及其统计诠释
5. 波函数满足态叠加原理。 ——量子力学理论的一个基本假设
如果波函数 1 (r , t ) , 2 (r , t ), …都是描述系统的可能 的量子态，那么它们的线性叠加
(r ,t ) c1 1 (r ,t ) c2 2 (r ,t ) ci i (r ,t )
二、在量子力学中波函数的统计意义 1、经典物理学中的波函数 力学： 电磁学：
y( x, t ) A cos(t kx)
E (r , t ) E0 cos(k r t ) B(r , t ) B0 cos(k r t )
在经典物理学中，从波动现象中得到波函数， 波函数表达出某一个具体的物理量随时间的变化 规律，以及该物理量随空间位置的变化规律。 波函数是具有物理意义的。
t 时刻粒子出现在空间某点 r 附近体积元 dV
中的概率，与波函数平方及 dV 成正比。 出现在 dV 内概率：
dW Ψ (r , t ) dV
2
dV=dx dy dz
( x, y, z, t ) dxdydz 或 ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )dxdydz
2
则在t 时刻、在空间（x,y,z）附近的单位体积内粒子 出现的概率，即概率密度，为
( x , y , z , t ) ( x, y , z , t )
2
( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
1882～1970
他的相关作品: 《晶体点阵动力学》（1915年） 《爱因斯坦相对论》（1920年） 《固态原子理论》（1923年） 《原子动力学问题》（1926年） 《原子物理学》（1935年） 《晶格动力学》（1954年） 《物理学实验与理论》（1943年） 《我们一代的物理学》（1956年） 《物理学与政治学》（1962年）
22-2 波函数及统计解释
玻恩 (M． Born ， 1882 － 1970) 在这个观念的启 发下，马上将其推广到 Ψ 函数上： |Ψ|2 必须是电子 （或其它粒子）的几率密度” 。
第22章 量子力学
22-2 波函数及统计解释
（r,t）的物理意义：
波函数的模的平方（波的强度）代表时刻 t、在 空间r点处，单位体积元中微观粒子出现的概率。
( x, t ) 0e
第22章 量子力学
22-2 波函数及统计解释
或由关系
E ,
可将波函数改写为
p k
( x, t ) 0e
i ( Et px )
——0为待定常数
若粒子为三维自由运动，波函数可表示为
(r , t ) 0 e
i
( pr E t)
•
第22章 量子力学
22-2 波函数及统计解释
波函数应满足的条件
统计诠释对波函数提出的要求
1 有限:
根据波函数的统计诠释，要求在空间任何有 限体积元中找到粒子的概率为有限值*
第22章 量子力学
22-2 波函数及统计解释
2
归一化条件
粒子出现在dV 体积内的几率为：
(r , t )dV (r , t ) dV
粒子在空间各点的概率总和应为 l
* (r , t ) (r , t )dV 1
2
(x,t)
x
—( 全空间)
第22章 量子力学
22-2 波函数及统计解释
3
单值
从而保证概率密度——|ψ(r)|2在任意时刻t 都是 确定的单值
4 连续
波函数满足的微分方程为二阶的（见后），要 求波函数的一阶导数连续，波函数本身必须连续。 总之，波函数应满足的条件： 单值、有限、连续和归一
波函数及其统计解释
动量分布概率（1）
设子设有平出 动 面pr现 量波 px在的ixip点波的y函pjr概y数j附z率k为近p如，zk的何则为概表(|粒r率示)(子r。？) 的|2eip动|r /量(x,，y, z那) |2么表粒示子粒具
任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开
(r )
1
(2)3
2
( p)eipr / d 3 p
*
(
p)
p
(
p)d
3
p
p
*
(r )
pˆ
(r )d
3r
,
pˆ
力学量用算符表示
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
20
三、力学量用算符表示(5)
力学量 A 的平均值为
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
其 问中 题，：Aˆ坐为标力r学的量平A均的值算符r 。
*
(r )r
(r )d
该如何理解波函数的物理意义？为此，人们
提出了波函数的统计诠释来作为对波函数物
理意义的一种理解。
4
量子力学的基本假定之一
基本假定Ⅰ：波函数假定 微观粒子的状态可以被一个波函数完全 描述，从这个波函数可以得出体系的所 有性质。波函数一般满足连续性、有限 性和单值性三个条件。 说明：波函数一般是粒子坐标和时间的 复函数，波函数的模方代表粒子空间分 布的概率密度。
量子力学
波函数及其统计解释 粒子的动量分布 不确定度关系——进一步讨论
1
简短回顾
1、自由粒子的波函数 既然粒子具有波动性，那么就应该用一
个反映波动的函数来加以描述。 由平面波公式 Asin(kxt)
自由粒子的波函数
xk ~ 1, 由p k , 可得出xp ~
k / a
20
五、测不准关系(不确定度关系)(4)
严格证明表明，对一般粒子，有 xp 物理意义：粒子的坐标和动量不可能同 时被准确测量。或者说，微观粒子的位 置（坐标）和动量不能同时具有完全确 定的值。
21
五、测不准关系(不确定度关系)(5)
例3：有限长波列
1 ik0 x e , | x | a ( x ) 2a 0, | x | a a 1 2 | | d x a 2a d x 1
1 (k ) 2
x a
a
a
e
ik0 x ikx
2 sin[(k0 k )a] e dx ( k0 k )
16
五、测不准关系(不确定度关系)(1)
经典粒子：可以同时具有确定的动量和空 间位置，即 px 0和 x 0 可以同时成立。 px 0 和 x 0 不能同时成立。 微观粒子： 例1：设一维自由粒子具有确定的动量 ， p 0 即 p0 ，其相应的波函数为平面波 故 且 ip0 x / p0 ( x) e | p0 ( x) |2 1
测不准关系是微观粒子波粒二象性所带来 的必然结果。这是因为，对波动而言，不 能提“空间某一点x的波长”。从而，对 微观粒子，只要承认其具有波粒二象性， “微观粒子在空间某一点x的动量”，这 样的提法也没有意义。所以，对一个给定 点x，动量只能是不确定的，这就是不确 定度关系。
22
六、波尔的互补原理（1）
3
一、自由粒子的波函数（1）
自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动 的质点。因此，其能量E和动量 p pep 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频 率和波长分别为 n=E/h，λ= h /p (1.1-1) 又因为波矢为 k ke ，其中k=2π/λ，因此，自由 粒子的 n和k都为常量。由(1.1-1)得到
第14讲 玻恩的统计解释
设粒子的质量为
m，通
S
*
过水平臂 2 的时间为 T，
1
2 M
P H M2
求这一相移。
解：在引力场中，机械能守恒
1 mv 2 + mgz const.
M1
P
2 视重力加速度为常数
g1
H
S mvdv mgdz mgH *
Dv gH
2
M
M2
v
设粒子通过水平臂 2 的时间为 T，
则波程差为 DvT
Dv gH v
设粒子通过水平臂 2 的时间为 T，
则波程差为 DvT
h h
M1
P
p mv
DfCOW
2π DvT
2pmgH/h
g1
S
*
2 M
H M2
第14讲 玻恩的统计解释
小 1. 德布罗意波是一种概率波。
结 2. 波函数(r，t)：描述实物粒子运动状态的数学
表达式。
波函数统计诠释：实物粒子的波函数在给定时刻
在空间某点的模平方
|
， 2
|
表示该时刻在该点附近出现粒
子的概率密度。
波函数满足条件：单值、连续、有限。
(r，t)2dV 1
V
3. 波函数的性质
(1) (r，t)与C (r，t)表示微观粒子的同一状态。
(2) 态叠加原理
若体系具有一系列不同的可能状态 1，2， 3，···，则它们的线性组合 C11 + C22 + C33 + ···也是该体系的一个可能的状
态。其中 C1、C2、C3、···为任意复常数。
[Q4.14.1] 若粒子 1 处于 y1 态，粒子 2 处于 y2 态，那么由粒子 1 和粒子 2 组成 的体系的态是否是 y1 + y2？
13-07 波函数的统计解释 薛定谔方程
第十三章 量子物理 十三章
薛定谔（ 薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887~1961）奥地利物理学家 . ） 1926年建立了以薛定谔方程 年建立了以薛定谔方程 为基础的波动力学， 为基础的波动力学，并建立了量 子力学的近似方法 . 年间， 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等 矩阵力学和波动力学 力学和波动 价的理论 —— 矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学（ 狄拉克）： ）：描述高 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高 速运动的粒子的波动方程 .
w=Ψ
2
=Ψ Ψ
正实数
玻恩对波函数物理意义的解释 微观粒子某时刻在 微观粒子某时刻在 x→x+dx，y→y+dy，z→z+dz 概率为 对应体积元 中出现的粒子的概率 对应体积元 dV = dxdydz中出现的粒子的概率为
dP = Ψ dV = ΨΨ dV
2 *
13 – 7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 波函数及其统计诠释
Ψ ( x, t ) = Ψ 0 e
i 2 π ( Et px ) h
Ψ0 称为波函
数的复振幅
三维空间传播的自由粒子 三维空间传播的自由粒子
vv i [ Et pr ] v Ψ (r , t ) = Ψ 0 e h
13 – 7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 波函数及其统计诠释
第十三章 量子物理 十三章
粒子在恒定势场中的运动 粒子在恒定势场中的运动 恒定势场
h2 2ψ ( x) 1 f (t ) 1 2m x2 +U ( x)ψ ( x) ψ ( x) = ih t f (t ) = E
波函数的引入
2. 不确定关系的应用 不确定关系常常可用来做数量级的估算 例1.设子弹 m = 0.01kg，枪口直径d = 0.5cm，试用不确定 关系估算子弹出枪口时的横向速度的不确定量。
解：子弹出枪口时的横向位置不确定量
x = d = 0.5cm
设子弹出枪口时的横向速度的不确定量为vx， 则
x mv x / 2 → v x = / 2mx = 1.110−30 m/s
= 5.8105 m s
说明
氢原子中电子速率约为 106 m/s。速率不确定量与速率本身 的数量级基本相同，因此原子中电子的位置和速度不能同时 完全确定，也没有确定的轨道。
例3. 动能Ek 108 eV的电子射入威尔逊云室中，径迹的线度 10-4cm，问 “轨道”概念适用？
分析：电子位置的不确定量 x 10-4cm。由此可计算动量
对单个粒子， Ψ 2 给出粒子的概率分布； 对N个粒子，N Ψ 2 给出粒子数的分布。
(r ,t ) 2……称为概率密度。 (r ,t ) ……称为“概率（振）幅”。
玻恩
获得1954年诺 贝尔物理学奖
2、概率幅应满足的条件 （1）归一化条件 粒子在空间各点的概率总和应为l，即
(r→, t) * (→r , t)dV =1
二 .玻恩对波函数的统计诠释
1. 波函数（wave function） 要具体的应用物质波的概念，就要有物质波的波函数。
平面简谐波 (x, t= Ae −i(t−kx)
物质波：一维 （x, t）； 三维 Ψ(r , t )
⚫ 波函数Ψ本身并无物理意义，但其模平方
1. 不确定关系（测不准关系）（Heisenberg，1927）
动量为 p 的电子沿 z 方向通过狭缝后，假设全部散布在
曾谨言量子力学教程第3版知识点总结笔记课后答案
1.Schrödinger方程的引进
在势场V（r）中的粒子的波函数满足的微分方程，称为Schrödinger
波动方程，它揭示了微观世界中物质运动的基本规律．
2.Schrödinger方程的讨论
（１）定域的概率守恒
对于一个粒子来说，在全空间中找到它的概率之总和应不随时间改变．即
以下讨论一个极为重要的特殊情况——假设势能V不显含t（经典力学中，在这种势场中的粒子的机械能是守恒量）．
其中ψE（r）满足下列方程：
（2）
在有的条件下，特别是束缚态边条件，只有某些离散的E值所对应的解才是物理上可以接受的．这些E值称为体系的能量本征值（energy eigen value），而相应的解ψ（r）称为能量本征函数（energy eigen unction）．方程（2）就是势场V（r）中粒子的能量本征方程，也称为不含时（time-independent）Schrödinger方程．
（1）
（1）式为概率守恒的微分表达式，其形式与流体力学中的连续性方程相同．
（2）初值问题，传播子
Schrödinger方程给出了波函数（量子态）随时间演化的因果关系， 取初始时刻为t‘，则t时刻波函数可以表示为
式中
称为传播子（propagator）．可以证明
就是t时刻在r点找到粒子的概率波幅．
3.能量本征方程
stationary state）．
5.多粒子体系的Schrödinger方程
设体系由N个粒子组成，粒子质量分别为mi（i=1，2，3，…，N）．体系的波函数表示为ψ（r1，…，rN，t）．设第i个粒子受到的外势场为Ui（ri），粒子之间相互作用为V（r1，…，rN，t），则Schrödinger方程表示为
量子力学课件(曾谨言)第一章
(
r
)
2
d
3r
1
(r) 是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数；
( p) 是以动量 p 为自变量的波函数，
动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态.
八、不确定度关系
Heisenberg不确定度关系（Uncertainty
三、波函数及统计诠释
一般情况，用一个函数来描述粒子的波，并称这个 函数为波函数，它是一个复数，写成
(r,t)
粒子波是时间和位置的函数，其动量和能量不再是常 量，用较复杂的波描写.
是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？ 描写的是什么样的波呢？
衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子
由波函数振幅绝对值的平方就可以得到粒子 在空间任意一点出现的概率.
波函数描写了体系的量子状态（简称状态或态）
当粒子处于某一量子态时，它的力学量（如坐标、 动量等）一般有许多各种可能值.这些可能值各自以 一定的几率出现，这些几率都可由波函数得到.
五、波函数的性质
根据波函数的概率解释，波函数有如下性质： （1）归一化
p d 3 p ( p) 2 p d 3 p*( p) p( p)
d 3 pd 3r *(r)
1
(2
)3
eipr
2
p( p)
A
归一化的波函数
没有归一化的函数
1 A 为归一化因子
若
(r ) 2d 3
（全）
,
则
A0
,这是没有意义的.
量子力学第2讲 波函数
讨论对象：电磁场的波幅、波矢、能量等 D
B 0 B E jm t D H j t
k
6
Maxwell 方程组
二、量子力学讨论的对象：波函数（3）
量子力学讨论的对象是什么？
根据de Broglie的 “波粒二象性”假设 ：一切 实物粒子具有波粒二象性，即具有确定动量 p 和 确定能量 ν 和波长 的实物粒子相当于频率为 为 的波。满足de Broglie关系：
1926年，M. Born提出： 波函数 ( x, y, z ) 为刻画 粒子在空间的概率分布的 2 ( x, y, z ) 表征 概率波， 了粒子出现在点 ( x, y, z ) 附近的概率大小的一个量。
M. Born （1882-1970） Nobel Prize in Physics(1954)
量子力学
光电子科学与工程学院 王可嘉
第二讲
波函数及其统计诠释
1
第2讲目录
• • • • • • • 一、简短的回顾 二、量子力学讨论的对象：波函数 三、自由粒子的波函数 四、一般粒子的波函数及其物理意义 五、波函数的统计诠释及其性质 六、动量分布概率 七、再论不确定度关系
2
一、简短的回顾（1）
1、波粒二象性
“波动性” 强调得是波的相干 叠加性，而不是某 种实在物理量的空 间分布做周期性变21 化
四、一般粒子的波函数及其物理意义（11）
22
四、一般粒子的波函数及其物理意义（12）
4、统计诠释：
粒子的波粒二象性可以用波函数来表示：
( x, y, z) ( x, y, z) ei ( x, y, z )
波函数的统计诠释的概念
波函数的统计诠释的概念波函数的统计诠释是量子力学中描述微观粒子行为的一种理论解释。
波函数是量子力学中的基本概念，它可以描述粒子的位置、动量以及相应的概率分布。
波函数的统计诠释是指通过波函数的模的平方来描述粒子在不同位置的概率分布，而不是用经典物理学中的确定性描述。
在经典物理学中，我们可以用牛顿运动定律来描述物体的运动规律，而量子力学中的波函数则描述了微观粒子的运动规律。
波函数的统计诠释认为，粒子的物理状态在某一给定时刻是不确定的，而只能用概率来描述。
通常情况下，粒子的运动状态由波函数表示，波函数的平方的绝对值表示了粒子在不同位置上的概率。
波函数的统计诠释最早由德国物理学家马克斯·玻恩（Max Born）于1926年提出。
他通过研究波动方程和波函数的性质，得出了波函数的平方表示了测量粒子位置的概率密度。
根据这一理论，波函数的平方的绝对值越大，粒子在该位置出现的概率就越大。
这就解释了为什么在双缝干涉实验中，粒子在干涉条纹上的概率更大，而在暗区的概率很小。
波函数的统计诠释揭示了微观粒子行为的非经典性质。
在经典物理学中，粒子的位置和动量是可以同时确定的，而量子力学中却存在不确定原理的限制，即海森堡不确定性原理。
根据不确定性原理，我们无法完全确定粒子的位置和动量，只能得到它们的概率分布。
这就意味着，我们无法预测粒子在某一时刻的确切位置和动量，只能通过波函数的统计诠释来获得它们的概率分布。
波函数的统计诠释也带来了量子纠缠和量子隐形传态等奇特现象。
由于波函数的统计诠释，当两个或多个粒子处于量子纠缠态时，它们之间的相互作用会导致它们的状态处于相关的状态。
这就意味着，当我们测量其中一个粒子的状态时，另一个粒子的状态也会瞬间塌缩到与之相关的状态上。
这种现象违反了经典物理学中的因果关系，被称为“量子非局域性”。
波函数的统计诠释还揭示了量子测量的本质。
根据量子测量原理，当我们对粒子的某一物理量进行测量时，其波函数将塌缩到与测量结果相对应的本征态上。
第4讲2波函数统计解释态叠加原理
振荡着。拒绝服从经典定律，按与高斯定律截然
不同的波定律分布，呈波样状。
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几率进入物理学
• 被晶体发射的电子在照相底片上留下痕迹。这些痕迹形成的分 布曲线，玻恩建议称为德布罗意波。电子波决定电子射中照相 底片上的某点的几率，因此玻恩建议给它取个更恰当的名称－ 几率波。
• 经典物理学中，从未遇到几率这个名称。牛顿公式不能直接应 用于气体分子的运动。
• 状态在经典和量子力学中的解释 • 态迭加原理内容 • 与经典波的叠加原理的区别 • 电子的衍射解释 • 态迭加原理的应用和推论
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状态在经典和量子力学中的解释
• 经典粒子的状态
• 描述：坐标和动量 • 因果律：已知初始的坐标和动量便可知以后任一时刻的。 • 轨道：粒子的轨道运动与其在任时刻确定的坐标和动量
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描述波的函数
• 回顾电子的行为：电子的衍射说明电子波不是由 粒子形成；再回顾玻尔理论遇到的困难—无法解 释电子的跃迁过程(光谱产生的过程)。
• 解决办法：电子的行为用波函数表示。这波函数 的自变量为电子的坐标和时间。因为由该波函数 应该可以得到粒子的状态。
• 定义—复函数(r,t)（波粒二象性） • 例子—自由运动的粒子
• 用几率法则、统计法则描述气体运动，确信深藏在这些法则后 面的是牛顿力学的精确定律。
• 几率法则：不可能设想每一瞬时所有分子都具有相同的速度。 对于一个分子而言的不规则性当应用于大数量分子时则转化为
规则性。
• 统计法则：分子运动不存在不规则性，每一次碰撞，每一个分 子的个别运动都可以用牛顿定律表述出来。
• 与经典的区别：用统计性完全确定这个状态。 • 和经典力学不同，量子力学用一个分布来描写系统的行为，
波函数的统计解释
波函数的统计解释波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
它包含了粒子的可能位置、动量等信息，但并不直接表示物理实体。
波函数的统计解释是指通过波函数计算出的统计规律，用来预测大量粒子的行为。
1.概率解释：波函数的模的平方表示在一些空间点找到粒子的概率。
例如，对于一维运动的粒子，在其中一时刻，波函数的模的平方在一些位置上的积分就给出了粒子在该位置出现的概率。
这一概率解释使得波函数的统计解释与经典物理中的概率概念有了相似之处。
2.叠加解释：波函数的叠加原理使得多个波函数之间可以相互叠加。
这意味着多个波函数所代表的可能状态同时存在，并以一定的概率进行叠加。
这种叠加解释可以用来解释干涉和衍射等现象，这些现象是波粒二象性的体现。
3.线性解释：波函数的时间演化可以通过薛定谔方程进行描述。
根据薛定谔方程，波函数的演化是线性的，即满足叠加率和线性性质。
这一线性解释意味着多个波函数之间可以相互干涉和叠加，形成新的波函数。
4.统计解释：波函数可以用来确定粒子的期望值和方差等统计量。
例如，位置算符对应的期望值可以表示粒子的平均位置，动量算符对应的期望值可以表示粒子的平均动量。
通过对波函数进行数学计算，可以得到这些统计量，并与实验结果进行比较。
5.状态解释：波函数可以表示粒子的状态，包括其位置、动量和自旋等特征。
通过对波函数进行适当的测量，可以得到特定的物理量。
测量过程会导致波函数的坍缩，从而使得粒子的状态变为测量得到的特定值。
这一解释与量子力学的测量原理密切相关。
需要注意的是，波函数的统计解释并不是完美的，它依赖于量子力学中的一些基本假设和数学工具。
例如，波函数的坍缩是一个不可逆的过程，且测量结果具有一定的不确定性。
波函数的统计解释只能给出概率分布等统计规律，而无法提供关于单个粒子行为的具体预测。
总而言之，波函数的统计解释通过描述波函数的数学属性，从而预测大量粒子的行为。
它包括概率解释、叠加解释、线性解释、统计解释和状态解释等多个方面，为我们理解量子力学中的粒子行为提供了重要的物理和数学工具。
1-波函数的统计解释与薛定鄂方程
专题1−波函数的统计诠释在量子力学中，我们用波函数),(t x ψ来描述一个微观粒子的状态，从这个波函数我们可以得到微观粒子的所用信息。
如何从波函数得到微观粒子的信息是量子力学的一个主要内容。
波恩的统计诠释：{}2.(,)baa b x t dx t ψ=⎰在时刻发现粒子处于和之间的几率也就是说，ψψ=ψ*2),(t x 是几率密度，它给出在t 时刻粒子处于x 处单位体积内的几率。
由于波函数的诠释，物理上的波函数必须是归一化1),(2=ψ⎰∞∞-dx t x（或者说是可归一化的，dx t x ⎰∞∞-ψ2),( 积分为有限值）由波函数的统计诠释，波函需要满足标准条件：有限性（不排除在个别点上，ψ和它的微商在保持平方模可积条件下可以趋于无限大。
）；单值性（ψ应该是坐标和时间的单值函数，这样才能使粒子的几率密度在时刻t，坐标x有唯一确定值）；连续性（由于几率密度应当连续，波函数和它的微商也必须连续，不排除微商在势能为无限大处不连续）。
由波函数的统计解释，对处于ψ态的一个粒子，对其坐标多次测量的平均值（期待值）是期待值是对含有相同体系的一个系综中不同体系的重复测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。
.测量引起波函数的坍塌存在两类完全不同的物理过程:“正常”类，波函数按薛定鄂方程“从容不迫”的演化，“测量”类，由于测量，波函数突然和不连续的坍塌。
对于坐标这个力学量，由波函数我们可以得出它的信息(几率密度、期待值)，那么其他力学量呢？ 力学量的期待值当粒子处于态),(t x ψ时，对于一个力学量，如果我们还想知道测量这个力学量可以得到那些特定值，得到某个特定值的几率是多少，那么该如何做？波函数的统计解释（广义统计解释）给出。
首先，我们需要知道这个力学量的本征函数。
,n n n F Φ=Φ∧λ ,...3,2,1=n 分立谱本征函数满足正交归一条件（分立谱）nm n mdx δ=ΦΦ⎰∞∞-*将体系的状态波函数ψ用算苻ˆF的本征函数nΦ展开nnncΦ=ψ∑则在ψ态中测量力学量ˆF得到结果为nλ的几率是2n c，在测量后波函数坍塌为nΦ。
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§15-1波函数及其统计诠释
在经典物理学中我们已经知道，一个被看作为质点的宏观物体的运动状态，是用它的位置矢量和动量来描述的。
但是，对于微观粒子，由于它具有波动性，根据不确定关系，其位置和动量是不可能同时准确确定的, 所以我们也就不可能仍然用位置、动量以及轨道这样一些经典概念来描述它的运动状态了。
微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数ψ(r, t)来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。
在经典物理学中，我们曾经用波函数y(x, t) = a cos(ωt-kx)表示在t时刻、在空间x处的弹性介质质点离开平衡位置的位移，用波函数e(r, t) = e0 cos(k⋅r-ω t)和b(r, t) = b0 cos (k⋅r-ω t)分别表示在t时刻、在空间r处的电场强度和磁场强度。
那么在量子力学中描述微观粒子的波函数ψ(r, t)究竟表示什么呢？
为了解释微观粒子的波动性，历史上曾经有人认为，微观粒子本身就是粒子，只是它的运动路径像波；也有人认为，波就是粒子的某种实际结构，即物质波包，波包的大小就是粒子的大小，波包的速度(称为群速)就是粒子的运动速度；还有人认为，波动性是由于大量微观粒子分布于空间而形成的疏密波。
实验证明，这些见解都与事实相违背，因而都是错误的。
1926年玻恩(m.born, 1882-1970)指出，德布罗意波或波函数ψ(r, t)不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。
对波函数的这种统计诠释将量子概念下的波和粒子统一起来了。
微观粒子既不是经典概念中的粒子，也不是经典概念中的波；或者说，微观粒子既是量子概念中的粒子，也是量子概念中的波。
其量子概念中的粒子性表示它们是具有一定能量、动量和质量等粒子的属性，但不具有确定的运动轨道，运动规律不遵从牛顿运动定律；其量子概念中的波动性并不是指某个实在物理量在空间的波动，而是指用波函数的模的平方表示在空间某处粒子被发现的概率。
但是，在量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有直接物理意义的, 具有直接物理意义的是波函数的模的平方，它代表了粒子出现的概率。
如果某微观粒子的概率波的波函数是ψ(r, t)=ψ(x,y,z, t)，那么在t时刻、在空间(x,y,z)附近的体积元d x d y d z内粒子出现的概率正比于
或,其中ψ*(x,y,z,t)是ψ(x,y,z,t)的共轭复数(或称复共轭)。
于是，在t时刻、在空间(x,y,z)附近单位体积内粒子出现的概率，即概率密度可以表示为
.(15-1)
既然波函数与粒子在空间出现的概率相联系，所以波函数必定是单值的、连续的和有限的。
在经典物理学中，波函数ψ(r, t)和aψ(r, t)(a是常数)代表了能量或强度不同的两种波动状态；而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态，或者说代表了同一个概率波，因为它们所表示的概率分布的相对大小是相同的。
也就是说，对于空间任意两点r i和r j下面的关系必定成立
. (15-2)
所以，波函数允许包含一个任意的常数因子。
如果粒子被限制在一个有限的空间内运动，那么在任意时刻在全空间找到这个粒子的概率必定等于1，即
,(15-3)
式中v是波函数存在的全空间。
上式就称为波函数的归一化条件。
由归一化条件可以确定波函数中的常数因子。
满足归一化条件的波函数的绝对值的平方所代表的概率，称为绝对概率；不满足归一化条件的波函数的绝对值的平方所代表的概率，称为相对概率。
量子力学中并不排斥使用一些不能归一的理想波函数，如描述自由粒子的平面波波函数。
在经典的波动学中，我们曾经讨论过波动所遵从的叠加原理，即各列波共同在某质点引起的振动，是各列波单独在该质点所引起的振动的合成。
在量子力学中也有一个类似的原理，这个原理称为态叠加原理，是量子力学原理的一个基本假设，适用于一切微观粒子的量子态。
态叠加原理可以表述为：如果波函数ψ1(r, t), ψ2(r, t), ……都是描述系统的可能的量子态，那么它们的线性叠加
, (15-4) 也是这个系统的一个可能的量子态。
式中c1 , c2 ,…一般也是复数。
最后简要介绍关于宇称的概念。
如果将描述粒子状态的波函数的所有坐标改变符号(即r →-r，或x →-x, y®-y, z ®-z)，这称为波函数的空间反演。
宇称就是描述微观粒子波函数在空间反演下所具有的一种对称性。
如果波函数经空间反演后，波函数的数值和符号都不改变，即
,(15-5)
就称该波函数具有偶宇称(或正宇称)；如果波函数经空间反演后，波函数的数值不变而符号改变，即
,(15-6)
就称该波函数具有奇宇称(或负宇称)。