浅谈优化向量运算的策略探究
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．
ｌ ０ Ｎ Ｉ ∈（ 去， ｌ ， 所以Ｉ ａ － ＋ － ｂ Ｉ Ｅ （ １ ］ ．
’ 厶 厶 一
第３ ２卷第 ３ 期
２ ０ １ ３年 ３月
数学教学研究
３ ７
浅谈 优 化 向量 运算 的策略 探 究
叶 兴 炎
（ 浙 江 省 绍兴 县柯 桥 中学 ３ １ ２ ０ ３ ０ ）
解决平 面向量 问题 ， 许多学 生习惯运用 向
一
ｌ ＡＢＩ ＋ ｌ Ｐ ＱＩ ．
量的加减法、 坐标法等代数手段， 但在操作中 又 ｌ Ａ Ｂｌ 一４ ｌ Ｐ ＣＩ ， ｌ Ｐ ＱＩ － － ２ ｌ Ｐ ＣＩ ， 常会出现计算繁杂、 举步维艰 的情况， 而且体 所 以 ２ （ Ｉ Ｐ ＡＩ 。 ＋Ｉ Ｐ ＢＩ 。 ） ＝２ ０ Ｉ Ｐ Ｃ Ｉ 。 ， 现不出平面向量集数形于一身 ， 是沟通代数与 几何的天然桥梁的地位． 本文 以形助数， 使向 答 案选 Ｄ． 点 评 构 造平 行 四边 形 Ａ ＱＢ Ｐ后 ， 发 现 量问题 的解决直观 化 、 简单化 ， 并 帮助学 生“ 理 可 以用平 行 四边形 的两 邻边 及两 对角线 长 的 解数学运算的意义与价值 ， 发展运算能力” ． 等量关系， 这样既简化 了运算又挖掘 了题 目 策略 １ ： 构 造常规 模 型 根据平面向量的加法、 减法的三角形 、 平 的本质． 策略 ２ ： 构造 特 殊模型 行 四边形法则 ， 可以根据试题背景 ， 构造三角 当常规模型不易发挥作 用时， 可以构造 形、 平行 四边形、 矩形 、 菱形等常规模型， 运用 圆等特殊模型， 简化解题过程． 数形结合 的思想 ， 使 问题得到解决． 例３ （ ２ ０ １ ２ 年浙江省绍兴市高三教学 例ｌ （ ２ ０ １ ２年新课标高考题）已知向 ， ｂ ， ｃ 满足 Ｉ ａ Ｉ ＝Ｉ ｂ Ｉ 量ａ ， ｂ夹角 为 ４ ５ ， 且Ｊ ａ ｌ 一１ ， Ｉ ２ 口 一ｂ ｌ ＝ 质量调测题）已知向量 口 ￣ － ａ・ ｂ －２ ， （ 口 一ｃ ）・ （ ６ —２ ｃ ） 一０ ， 则Ｉ ６ 一ｃ Ｉ 则 一 ． 的最小值 为 （ ） ． 解 如图 １ ， 令 ＝ ２ ａ ，
ＡＢ上运 动． 记 一口 ，
图４
图 ５ 图６
＝６ ， 线段 Ａ Ｂ中点 为 Ｎ， 则
ａ ｔ ｂ
一 ＿
．
当点 ０ 在 优 弧 Ａ Ｂ上 运 动 时，
１
例６ （ ２ ０ １ ２ 年浙江省宁波市高三 ４ 月高
， ．
考模拟题）已知 ０为ＡＡ Ｂ Ｃ的外心， ｆ Ａ 引一
１ ６ ， ｉ Ｉ 一１ ０ ’ 若 ＝ ＝ ＝ ＋ ， 且 ３ ２ ｘ － ＋ － ２ ５ ｙ ＝２ ５ ， 则 一— — ． 解 如图 ６ ， 由 一 ＋３ ， ， 则 一 ｚ 蕊 。 ＋Ｙ ．
记线段 ＡＢ， ＡＣ的 中点 Ｍ ， Ｎ， 因为 ０为 △ＡＢ Ｃ的外心 ， 则
的圆上． 所 以当 ｝ ６ 一ｃ Ｉ 即Ｉ Ｂ Ｃｌ 取最小值 时， 点 Ｃ为线段 Ｂ Ｍ 与圆Ｍ 的交点 ， 此时 ｌ ６ 一ｃ Ｉ
图２
的最小值
一 ， 答案选 Ｒ
３ ８
数学教学研 究
第３ ２卷第 ３ 期
２ ｏ １ ３年 ３ 月
点评 通 过 构 造 圆 Ｍ ， 使得 貌似凌乱、 复杂 的条 件 在 图 中和谐 共 存 ， 而 所 求 问题 自
记线 段 ＭＮ 中点 为 Ｑ， 则在正 ／ ￣ Ｏ ＭＮ
中， 根据 数量 积 的几 何意义 ，
・
然转化成学生熟悉的求圆外一点到圆上一点 距离 的最 小值 ． 例４ （ ２ ０ １ ２年 浙 江省 名 校 新 高考 研 究 联盟第 二 次 联 考 题 ）非 零 向 量 ４ ， ｂ夹 危 为 ６ Ｏ 。 ， 且Ｉ ａ —ｂ Ｉ 一１ ， 则Ｉ Ｃ ｔ ＋ｂＩ 的取 值 范 围为
ｐ为线 段 ｃ Ｄ 的中点 ， 则止
（ ） ．
一
可变形 为
（ Ａ） ２ （ Ｂ） ４ （ Ｃ） ５ （ Ｄ） １ ０
（ ｃ 一 口 ） ． ｆ ｃ 一 １ ＝ ｏ ，
即 ・ ‘ 一ｏ ， 则点 ｃ在以ＡＤ为直径端点
解
如图 ２ ， 在 Ｃ Ｄ 延
长线上取 Ｉ Ｄ Ｑｌ —ｌ Ｐ ＤＩ ， 则 四边形 Ａ Ｑ Ｂ Ｐ为平行 四边 形， 所 以 ２ （ Ｉ Ｐ Ａｌ 。 ＋ｌ Ｐ ＢＩ ）
解
ｏ
蔺一 Ｉ Ｉ ． ｌ Ｉ ＝ 吉 ．
・ ， 再 根据 几何 意义 ， 直接 得到 开后较复杂 的计算．
所 以 — 取值 的集合是 ｛ １ ） ． 点评 通过 的两 个 数 量积运 算 ， 得到
如图 ４ ， 构 造 半
Ａ
答案 ， 避免 了 ・
径为 的 圆 Ｍ ， 弦ｌ ＡＢ ｌ １ ， 点 ０ 为 圆 Ｍ 上 除 点 Ａ， Ｂ外 一点 ， 点 ０ 在优 弧
． － －
，ຫໍສະໝຸດ Baidu
－ ｏ ／ ｝ ＝６ ， 则赢 一２ ａ －ｂ ， 所 以在
△Ｏ Ａ Ｂ中， 由余弦定理可得 Ｉ ｂ ｌ
一３ ．
（ Ａ ） 遣
（ ｃ） ．
（ Ｂ ）
（ Ｄ ） 譬
点评
如 果通 过 对 ｌ ２ Ｄ 一
图１
解
如图 ３ ， 令 一ｎ ，
Ｉ —ｊ ｉ － ６ 两边平方来解 ， 不仅费
时， 而且 没有这 种直 观 的认 识 ．
峦一６ ， 因为ｌ 口 Ｉ —ｌ ｂ Ｉ 一口・ ｂ
＝２ ， 则正ＡＡ Ｂ Ｃ中， Ｉ Ｏ ＡＩ 一 ２ ， 记Ｏ Ｂ中点为 Ｄ ， Ａ Ｄ中点 为Ｍ 因为
（ ａ －ｃ ）・（ ６ —２ ｃ ） ＝Ｏ
图３
例２ （ ２ ０ １ ２年江西省高考题）在直角 三 角形 ＡＢＣ中 ， 点 Ｄ 是 斜 边 ＡＢ 的 中点 ， 点
ｌ ０ Ｎ Ｉ ∈（ 去， ｌ ， 所以Ｉ ａ － ＋ － ｂ Ｉ Ｅ （ １ ］ ．
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第３ ２卷第 ３ 期
２ ０ １ ３年 ３月
数学教学研究
３ ７
浅谈 优 化 向量 运算 的策略 探 究
叶 兴 炎
（ 浙 江 省 绍兴 县柯 桥 中学 ３ １ ２ ０ ３ ０ ）
解决平 面向量 问题 ， 许多学 生习惯运用 向
一
ｌ ＡＢＩ ＋ ｌ Ｐ ＱＩ ．
量的加减法、 坐标法等代数手段， 但在操作中 又 ｌ Ａ Ｂｌ 一４ ｌ Ｐ ＣＩ ， ｌ Ｐ ＱＩ － － ２ ｌ Ｐ ＣＩ ， 常会出现计算繁杂、 举步维艰 的情况， 而且体 所 以 ２ （ Ｉ Ｐ ＡＩ 。 ＋Ｉ Ｐ ＢＩ 。 ） ＝２ ０ Ｉ Ｐ Ｃ Ｉ 。 ， 现不出平面向量集数形于一身 ， 是沟通代数与 几何的天然桥梁的地位． 本文 以形助数， 使向 答 案选 Ｄ． 点 评 构 造平 行 四边 形 Ａ ＱＢ Ｐ后 ， 发 现 量问题 的解决直观 化 、 简单化 ， 并 帮助学 生“ 理 可 以用平 行 四边形 的两 邻边 及两 对角线 长 的 解数学运算的意义与价值 ， 发展运算能力” ． 等量关系， 这样既简化 了运算又挖掘 了题 目 策略 １ ： 构 造常规 模 型 根据平面向量的加法、 减法的三角形 、 平 的本质． 策略 ２ ： 构造 特 殊模型 行 四边形法则 ， 可以根据试题背景 ， 构造三角 当常规模型不易发挥作 用时， 可以构造 形、 平行 四边形、 矩形 、 菱形等常规模型， 运用 圆等特殊模型， 简化解题过程． 数形结合 的思想 ， 使 问题得到解决． 例３ （ ２ ０ １ ２ 年浙江省绍兴市高三教学 例ｌ （ ２ ０ １ ２年新课标高考题）已知向 ， ｂ ， ｃ 满足 Ｉ ａ Ｉ ＝Ｉ ｂ Ｉ 量ａ ， ｂ夹角 为 ４ ５ ， 且Ｊ ａ ｌ 一１ ， Ｉ ２ 口 一ｂ ｌ ＝ 质量调测题）已知向量 口 ￣ － ａ・ ｂ －２ ， （ 口 一ｃ ）・ （ ６ —２ ｃ ） 一０ ， 则Ｉ ６ 一ｃ Ｉ 则 一 ． 的最小值 为 （ ） ． 解 如图 １ ， 令 ＝ ２ ａ ，
ＡＢ上运 动． 记 一口 ，
图４
图 ５ 图６
＝６ ， 线段 Ａ Ｂ中点 为 Ｎ， 则
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．
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考模拟题）已知 ０为ＡＡ Ｂ Ｃ的外心， ｆ Ａ 引一
１ ６ ， ｉ Ｉ 一１ ０ ’ 若 ＝ ＝ ＝ ＋ ， 且 ３ ２ ｘ － ＋ － ２ ５ ｙ ＝２ ５ ， 则 一— — ． 解 如图 ６ ， 由 一 ＋３ ， ， 则 一 ｚ 蕊 。 ＋Ｙ ．
记线段 ＡＢ， ＡＣ的 中点 Ｍ ， Ｎ， 因为 ０为 △ＡＢ Ｃ的外心 ， 则
的圆上． 所 以当 ｝ ６ 一ｃ Ｉ 即Ｉ Ｂ Ｃｌ 取最小值 时， 点 Ｃ为线段 Ｂ Ｍ 与圆Ｍ 的交点 ， 此时 ｌ ６ 一ｃ Ｉ
图２
的最小值
一 ， 答案选 Ｒ
３ ８
数学教学研 究
第３ ２卷第 ３ 期
２ ｏ １ ３年 ３ 月
点评 通 过 构 造 圆 Ｍ ， 使得 貌似凌乱、 复杂 的条 件 在 图 中和谐 共 存 ， 而 所 求 问题 自
记线 段 ＭＮ 中点 为 Ｑ， 则在正 ／ ￣ Ｏ ＭＮ
中， 根据 数量 积 的几 何意义 ，
・
然转化成学生熟悉的求圆外一点到圆上一点 距离 的最 小值 ． 例４ （ ２ ０ １ ２年 浙 江省 名 校 新 高考 研 究 联盟第 二 次 联 考 题 ）非 零 向 量 ４ ， ｂ夹 危 为 ６ Ｏ 。 ， 且Ｉ ａ —ｂ Ｉ 一１ ， 则Ｉ Ｃ ｔ ＋ｂＩ 的取 值 范 围为
ｐ为线 段 ｃ Ｄ 的中点 ， 则止
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可变形 为
（ Ａ） ２ （ Ｂ） ４ （ Ｃ） ５ （ Ｄ） １ ０
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即 ・ ‘ 一ｏ ， 则点 ｃ在以ＡＤ为直径端点
解
如图 ２ ， 在 Ｃ Ｄ 延
长线上取 Ｉ Ｄ Ｑｌ —ｌ Ｐ ＤＩ ， 则 四边形 Ａ Ｑ Ｂ Ｐ为平行 四边 形， 所 以 ２ （ Ｉ Ｐ Ａｌ 。 ＋ｌ Ｐ ＢＩ ）
解
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蔺一 Ｉ Ｉ ． ｌ Ｉ ＝ 吉 ．
・ ， 再 根据 几何 意义 ， 直接 得到 开后较复杂 的计算．
所 以 — 取值 的集合是 ｛ １ ） ． 点评 通过 的两 个 数 量积运 算 ， 得到
如图 ４ ， 构 造 半
Ａ
答案 ， 避免 了 ・
径为 的 圆 Ｍ ， 弦ｌ ＡＢ ｌ １ ， 点 ０ 为 圆 Ｍ 上 除 点 Ａ， Ｂ外 一点 ， 点 ０ 在优 弧
． － －
，ຫໍສະໝຸດ Baidu
－ ｏ ／ ｝ ＝６ ， 则赢 一２ ａ －ｂ ， 所 以在
△Ｏ Ａ Ｂ中， 由余弦定理可得 Ｉ ｂ ｌ
一３ ．
（ Ａ ） 遣
（ ｃ） ．
（ Ｂ ）
（ Ｄ ） 譬
点评
如 果通 过 对 ｌ ２ Ｄ 一
图１
解
如图 ３ ， 令 一ｎ ，
Ｉ —ｊ ｉ － ６ 两边平方来解 ， 不仅费
时， 而且 没有这 种直 观 的认 识 ．
峦一６ ， 因为ｌ 口 Ｉ —ｌ ｂ Ｉ 一口・ ｂ
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（ ａ －ｃ ）・（ ６ —２ ｃ ） ＝Ｏ
图３
例２ （ ２ ０ １ ２年江西省高考题）在直角 三 角形 ＡＢＣ中 ， 点 Ｄ 是 斜 边 ＡＢ 的 中点 ， 点