解析几何竞赛题求解的几种常见策略

解析几何竞赛题求解的几种常见策略 陈硕罡 吴国建（浙江省东阳中学322100）

解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在30分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。

一、用函数(变量)的观点来解决问题

函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。抓住问题中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示出来，从而变成一个函数的问题， 这就是解决问题的函数观点。在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解析几何的一种重要方法。

【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线2

6y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且

124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值.

【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB 中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB 中点的纵坐标作为主变量，这样只要把∆ABC 的面积表示成以AB 中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。 【解析】设线段AB 的中点M 坐标为（0(2,)y ，则 则直线AB 的斜率：121222

1212120

63

66

--=

===-+-y y y y k y y x x y y y 线段AB 的中垂线方程：0

0(2)3

-=--y y y x ，易知线段AB 的中垂线与x 轴的交点为定点(5,0)C 直线AB 的方程：00

3(2)-=

-y y x y ，联立抛物线方程消去x 可得：22

0022120-+-=y y y y （1），

由题意，12,y y 是方程（1）的两个实根，且12≠y y

，所以22

00044(212)0∆=-->⇒-

弦长12|||=-==AB y y 点C(5，0)到直线AB

的距离：||==h CM

则1||2∆=

⋅==ABC S AB h

≤=当且仅当

22

00

9242+=-y y ，

即

0=y ，

点

66(

(33

+A B

或

66(

(33-A B 时等号成立，所以∆ABC

。 【评析】在解答过程中用韦达定理代入消元转化，蕴含了“设而不求”的解题策略，把面积S 表示为中点坐标0y 的函数，同时注意0y 的取值范围，体现了函数问题首先关注定义域，在对函数求最值的过程中运用了基本不等式，其实也可设

2

09,[9,21)+=∈y t t ，转化为一个t 的三次函数，利用导数求最值也是一种常用技巧。

【例2】（2009全国高中数学联赛试题）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612

x y +=交于不同两点A ，B ，与

双曲线22

1412

x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=u u u r u u u r ，若存在，指出这样的直线有多少条若不存

在，请说明理由．

【分析】通过分析可以看出本题的根本变量是直线方程中的,k m ,所以其余各量均可用,k m ，所以我们这里可用一个二元函数

(,)f k m 来表示+u u u r u u u r

AC BD ，本题就转化为解二元方程(,)0=f k m .

【解析】由2211612

y kx m x y =+⎧⎪

⎨+

=⎪⎩消去y 化简整理得:()

2223484480k x kmx m +++-=

设()11A x y ，，()22B x y ，，则122

834km x x k

+=-+,()()()

2

22184344480km k m ∆=-+-> ① 由221412

y kx m x y =+⎧⎪

⎨-

=⎪⎩消去y 化简整理得:()

22232120k x kmx m ----=

设()34C x y ，，()44D x y ，，则342

23km x x k +=-,()()()

222

2

243120km k m ∆=-+-+> ② 因为0AC BD +=u u u r u u u r

，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．

由1234x x x x +=+得2282343km km

k k -

=

+-． 所以20km =或22

41

343k k -=

+-．由上式解得0k =或0m =． 当0k =时，由①和②得2323m -<<．因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3． 当0m =，由①和②得33k -<<．因k 是整数，所以1k =-，0，1． 于是满足条件的直线共有9条．

【评析】如果题目中的主变量需要用两个变量来表示时，可先把这个因变量表示为一个两元函数，如题设中有其他条件能找到这两个变量间的关系，那只需用一个两来表示另一个量，这时就可转化为一元函数，这也体现了解析几何中“设而不求”的思想；如题设条件不能直接给出两变量者之间的关系，我们可直接对二元函数进行处理.

二、用平面几何的知识来解决问题

解析几何是用坐标法把几何问题代数化，用代数的方法来解决几何问题，但说到底解析几何还是几何。在解决某些解析几何问题的时候，如果其平面几何背景非常明显的时候，我们往往可以借助平面几何知识来快速准确解决问题。 【例3】(2012全国高中数学联赛试题)抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足

3

AFB π

∠=

．设线段ＡＢ的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是________

【分析】根据梯形的中位线定理和抛物线的定义，|MN=|AF|+|BF|，结合3

AFB π

∠=

，可用余弦定理得出等量关系。 【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2

AF BF

MN +=

在AFB ∆中,由余弦定理得 222

2cos 3

AB AF BF AF BF =+-⋅π

2()3AF BF AF BF =+-⋅

22()3(

)2AF BF AF BF +≥+-2

2().2

AF BF MN +== 当且仅当AF BF =时等号成立.故

MN

AB

的最大值为1. 【评析】一些解析几何客观题，往往需要借助圆锥曲线的定义和平面几何的一些性质进行解题。 【例4】（2005全国高中数学联赛试题）过抛物线y=x 2一点A (1,1)作抛物线的切线交x 轴于D ，交y 轴于B ，C 在抛物线上，E 在线段AC 上，

1λ=EC AE ，F 在线段BC 上，2λ=FC

BF

，且λ1+λ2=1，线段CD 与EF 交于P ，当C 在抛物线上移动时，求P 的轨迹方程。

【分析】通过初略计算可知D 为AB 的中点，而题设中有很多的线段比例关系，可考虑用三角形的面积之比来解决问题。

【解析】AB 的方程为),0,2

1(),1,0(,12D B x y --=故D 是AB 的中点.