淄博市部分学校高三阶段性诊断考试数学试题答案
山东省淄博市高三数学复习阶段性诊断考试 理(淄博二模)
高三复习阶段性诊断考试试题理科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}{}{},,,,,,,,,U U a b c d e M a d N a c e M C N ===⋃，则为 A.{},,,a c d eB.{},,a b dC.{},b dD.{}d2.已知i 是虚数单位，则32ii -+等于 A.1i -+B.1i --C.1i +D.1i -3.“a b c d a >>>且是“c bd?”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内填 A.4k > B. k >5 C. k >6 D. k >75.设,a b 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是 A.若a b a b a b +=-⊥，则 B.若a b a b a b ⊥+=-,则C.若a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=D. 若存在实数λ，使得a b λ=，则a b a b +=-6.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 A.203B.6C.4D.437.下列函数是偶函数，且在[]0,1上单调递增的是 A.cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.212cos 2y x =-C.2y x =-D.()sin y x π=+8.二项式24展开式中，x 的幂指数是整数的项共有A.3项B.4项C.5项D.6项9.3名男生3名女生站成两排照相，要求每排3人且3名男生不在同一排，则不同的站法有A.324种B.360种C.648种D.684种10.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1212,,4F F F F =，P 是双曲线右支上的一点，2F P y 与轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，若1PQ =，则双曲线的离心率是A.3B.2第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知3sin ,tan 25παπαα⎛⎫∈==⎪⎝⎭，，则________.12.已知等比数列{}3481298n a a a a a a a =⋅⋅⋅=若，则________. 13.若log 41,a b a b =-+则的最小值为_________.14.已知x ，y 满足2211,0x y x y z x y y ⎧+≤⎪+≤=-⎨⎪≥⎩则的取值范围是________.15.在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集(){},,,D a a x yx R y R =∈∈上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量()()11122212,,,,a x y a x y a a ==“”当且仅当“12x x >”或“1212x x y y =>且”.按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若()()()12121,0,0,1,00,0,0e e e e ===则；②若1223,a a a a ，则13a a ；③若12a a ，则对于任意12,a D a aa a ∈++；④对于任意向量()12120,00,0,aa a a a a a =⋅>⋅，若则.其中真命题的序号为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分 16.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()(),2,1,2cos ,//m b c a n A m n =-=且. （I ）求B ；（II ）设函数()211sin 2cos cos sin cos 222f x x B x B B π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，求函数()04f x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，上的取值范围.17.（本题满分12分）某学校组织了一次安全知识竞赛，现随机抽取20名学生的测试成绩，如下表所示（不低于90分的测试成绩称为“优秀成绩”）：（I ）若从这20人中随机选取3人，求至多有1人是“优秀成绩”的概率；（II ）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校全体学生中（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望. 18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC,PB ⊥AC,,AD CD AD⊥且2CD PA ===，点M 在线段PD 上.（I ）求证：AB ⊥平面PAC ；（II ）若二面角M-AC-D 的大小为45，试确定点M 的位置.19.（本题满分12分）某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施.已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放最比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量()0m m >万吨.（I ）从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量（万吨）依次构成数列{}n a ，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式； （II ）证明：数列{}10n a m -是等比数列；（III ）若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围.20.（本题满分13分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 的一个焦点在抛物线2y =的准线上，且椭圆C 过点1,2⎛ ⎝⎭. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）点A 为椭圆C 的右顶点，过点()1,0B 作直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE,AF 与直线3x =分别交于不同的两点M,N ，求EM FN ⋅的取值范围. 21.（本题满分14分） 已知函数()()1 1.xf x x e =--（I ）求函数()f x 的最大值；（II ）若()()0ln 110xx g x e x λ≥=+--≤时，，求λ的取值范围.（III ）证明：111123n n n eee++++++ (12)eln 2n <+（n *N ∈）高三复习阶段性诊断考试数学试题参考答案2014.4一、选择题： BDDAC ADCCB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11． 34-12． 512 ． 13． 1 14． ⎡⎤⎣⎦15．（文科） 7 15．（理科） ①②③ .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）解法一：因为//m n ，所以 2cos 2b A c a =- …………………………………2分由余弦定理得222222b c a b c a bc+-⋅=-，整理得222=+ac a c b -所以222+1cos =22a cb B ac -= ……………………………4分又因为0B π<<，所以3B π=. ………………………………………6分解法二：因为//m n ，所以2cos 2b A c a =- ………………………………2分 由正弦定理得 2sin cos 2sin sin B A C A =- 所以()2sin cos 2sin sin B A A B A =+- 整理得2sin cos sin 0A B A -=因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B = ……………………4分 又因为0B π<<，所以3B π=. …………………………………………6分（Ⅱ）211()sin 2cos cos sin cos()222f x x B x B B π=+++11cos 2sin 242x x +=1sin 2cos 244x x =+1sin(2)23x π=+ ………………8分因为 04x π≤≤，则52+336x πππ≤≤， ………………………10分 所以1sin 2+23x π≤≤（）1， 即()f x 在[0,]4π上取值范围是11[,]42. ……………………12分 17．（文科 本题满分12分）解：(Ⅰ)设该校总人数为n 人， 由题意，得5010100300n =+，所以2000n = ………………3分 故2000(100300150450600)400z =-++++=． …………5分 (Ⅱ)设所抽样本中有m 个女生．因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，所以40010005m=，解得2m =． ………………………7分 也就是抽取了2名女生，3名男生，分别记作12123,,,,A A B B B ，则从中任取2个的所有基本事件为(12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )，(21,A B )，(22,A B )，(23,A B )，(12,B B )，(13,B B )，(23,B B )，共10个； …………………9分 其中至少有1名女生的基本事件有7个： (12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )， (21,A B )，(22,A B )，(23,A B ) …………………………11分 所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为710P =． …………………12分 17．（理科 本题满分12分）解：（Ⅰ）由表知：“优秀成绩”为4人． ………………………………1分 设随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”为事件A ，则3211616433202052()57C C C P A C C =+=． ……………………………………………5分 （Ⅱ）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率15P =． ………6分 ξ可取0,1,2,3 ………………………………………………………7分00331464(0)()()55125P C ξ===；1231448(1)()()55125P C ξ===；2231412(2)()()55125P C ξ===；3303141(3)()()55125P C ξ===．ξ的分布列：……………………………………11分6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………………12分 或 1(3,)5B ξ, 13355E ξ=⨯=． ………………………12分18．（文科 本题满分12分）证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂平面ABCD所以 PA AC ⊥,PA AB ⊥ …………………………………2分 又因为PB AC ⊥，PA AC ⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PAPB P =,所以AC ⊥平面PAB …………………………………3分 又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥AB …………………………………4分 因为AC ⊥AB ，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PAAC A =,所以 AB ⊥平面PAC ………………………6分 （Ⅱ）方法一取PC 的中点E ,连接QE 、ED . 因为Q 是线段PB 的中点，E 是PC 的中点，所以 QE ∥BC ,12QE BC =………8分 因为 AD ∥BC ,2BC AD =所以 QE ∥AD ,QE AD =所以 四边形AQED 是平行四边形，………………………………9分所以 AQ ∥ED , ………………………………10分 因为AQ ∥ED ,AQ ⊄平面PCD ,ED ⊂平面PCD所以 AQ ∥平面PCD . …………………………………………12分 方法二取BC 的中点E ,连接AE 、QE . 因为 2BC AD = 所以AD EC = 又 AD ∥EC ，所以 四边形ADCE 是平行四边形， 所以AE ∥CD因为AE ⊄平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,所以AE ∥平面PCD ……………8分 因为Q ，E 分别是线段PB ，BC 的中点，所以QE ∥PC ，所以QE ∥平面PCD ……………………………10分 因为QEAE E =，所以平面AEQ ∥平面PCD ……………………11分因为AQ ⊂平面AEQ ，所以AQ ∥平面PCD . ………………………12分 18．（理科 本题满分12分）解证：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂ 平面ABCD 所以 PA AC ⊥,PA AB ⊥ …………………………………2分 又因为PB AC ⊥，PA AC ⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PAPB P =,所以AC ⊥平面PAB …………………………………3分 又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥AB …………………………………4分因为AC ⊥AB ，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PA AC A =,所以 AB ⊥平面PAC ………………………6分 （Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，又由（Ⅰ）知BA AC ⊥， 建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -.则()0,0,0A ,()0,4,0C ,()2,2,0D -，()0,0,2P ,()2,2,2PD =--,()0,4,0AC =设(),,M x y z ，PM tPD =,则 ()(),,22,2,2x y z t -=--，故点M 坐标为()2,2,22t t t --,()2,2,22AM t t t =-- ………………8分设平面MAC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ………………9分所以()40,22220.y tx ty t z =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩令1z =，则11(01)tt-=，，n . ………………………………10分 又平面ACD 的法向量2(0,0,1)=n所以1212cos 45⋅==⋅n n n n , 解得1=2t故点M 为线段PD 的中点. ………………………………12分 19．(本题满分12分)解：（Ⅰ）由已知，1400.9a m =⨯+,10.9n n a a m +=+（1n ≥）.………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：()1100.990.910n n n a m a m a m +-=-=-，所以数列{}10n a m -是以110369a m m -=-为首项、0.9为公比的等比数列.………6分（Ⅲ）由（Ⅱ）得：()1103690.9n n a m m --=-⋅ ，即()13690.910n n a m m -=-⋅+ . ……………………8分 由()13690.91055n m m --⋅+≤ ，得1155360.9 5.540.9 1.541090.910.910.9n n n n n m ---⨯-⨯≤==+-⨯--恒成立（*n N ∈） …11分 解得： 5.5m ≤；又0m > ，综上，可得(]0,5.5m ∈. …………………………12分20．（文科 本题满分13分）解：（Ⅰ）连接1AF ，因为2AF AB ⊥，211F F =，所以211F F AF=， 即c a 2=，则)0,21(2a F ，)0,23(a B -. ……………… 3分 ABC Rt ∆的外接圆圆心为)0,21(1a F -，半径a B F r ==221 ………4分 由已知圆心到直线的距离为a ，所以a a =--2321， 解得2=a ，所以1=c ，3=b ， 所求椭圆方程为13422=+y x . ………………6分 （Ⅱ）因为)0,1(2F ，设直线l 的方程为：)1(-=x k y ，),,(11y x M ),(22y x N . 联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y ，消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……………… 7分则2221438kk x x +=+，22121436)2(k k x x k y y +-=-+=+， MN 的中点为)433,434(222k k k k +-+. ………………8分 当0=k 时，MN 为长轴，中点为原点，则0=m . ………………9分当0≠k 时，MN 垂直平分线方程).434(1433222kk x k k k y +--=++ 令0=y ，所以43143222+=+=kk k m 因为032>k ，所以2344k +>，可得410<<m ， …………12分 综上可得，实数m 的取值范围是).41,0[ ………………13分 20．（理科 本题满分13分）解：（Ⅰ）抛物线x y 342=的准线方程为：3-=x ……………1分 设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则c =依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++=143132222b ab a ，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………3分 （Ⅱ）显然点)0,2(A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得(1,E F，(3,M N ， 所以1EM FN ⋅=. ………………………………5分（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)E x y F x y ,显然0k = 时，不符合题意.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. …………………6分 则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.……………7分 直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---， 令3x =，则1212(3,),(3,)22y y M N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--. ………9分 所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅-- 121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+-- 2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅-- 2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++ 222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++ 22221653()(1)414k k k k +-=⋅++22216511164164k k k +==+++. …………………11分 因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈.综上所述，EM FN ⋅的取值范围是5[1,)4. ………………………13分21．（文科 本题满分14分）解：（Ⅰ）()x f x xe '=-， ……………………………………1分 当0x =时，()0f x '=；当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减；………………………3分故max ()(0)0f x f ==． ………………………………………………4分 （Ⅱ）由2()(1)1x g x x e x λ=-+-，得()(2)x g x x e λ'=--．…………6分 当0λ≤时，由（Ⅰ）得2()()()0g x f x x f x λ=+≤≤成立； …………8分 当102λ<≤时，因为(0,)x ∈+∞时()0g x '<，所以0x ≥时， ()(0)0g x g ≤=成立； ……………………………………………………10分 当12λ>时，因为(0,ln 2)x λ∈时()0g x '>，所以()(0)0g x g >=．…13分 综上，知λ的取值范围是1(,]2-∞． ……………………………………14分 21．（理科 本题满分14分）解证：（Ⅰ）()x f x xe '=-， ……………………………………1分 当0x =时，()0f x '=；当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减；…………………3分故max ()(0)0f x f ==． ……………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：(1)()11x x x e g x e x x λλ--'=-=--， …………………5分当0λ≤时，因为(0,1)x ∈时()0g x '>，所以0x >时，()(0)0g x g >=；……………………………………………………………………………6分 当01λ<<时，令()(1)x h x x e λ=--，()x h x xe '=-．当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，且(0)(1)(1)()0h h λλ=--<， 故()h x 在(0,1)内存在唯一的零点0x ，使得对于0(0,)x x ∈有()0h x >， 也即()0g x '>．所以，当0(0,)x x ∈时()(0)0g x g >=； ……………8分当1λ≥时，(0,1)x ∈时(1)(1)1()()0111x x x e x e f x g x x x xλ----'=≤=<---，所以，当0x ≥时()(0)0g x g ≤=． …………………………………9分 综上，知λ的取值范围是[1,)+∞． …………………………………10分解法二： (1)()11x x x e g x e x x λλ--'=-=--， ……………………5分 令()(1)x h x x e λ=--，()x h x xe '=-．当[0,1)x ∈时，()0h x '≤，所以()h x 单调递减． …………………6分 若在[0,1)内存在使()(1)0xh x x e λ=-->的区间0(0,)x ，则()g x 在0(0,)x 上是增函数，()(0)0g x g >=，与已知不符． ………8分 故[0,1)x ∈，()0h x ≤，此时()g x 在[0,1)上是减函数，()(0)0g x g ≤=成立． 由()(1)0x h x x e λ=--≤，[0,1)x ∈恒成立，而()0h x '≤，则需()h x 的最大值(0)0h ≤，即()0100e λ--≤，1λ≥， 所以λ的取值范围是[1,)+∞． ……………………10分（Ⅲ）在（Ⅱ）中令1λ=，得0x >时，1ln(1)x e x <--． ……………11分将1111,,,,1232x n n n n =+++代入上述不等式，再将得到的n 个不等式相加，得11111232ln 2n n n n e e e e n +++++++<+． ………………………14分。
山东省2025届高三上学期第一次诊断考试 数学含答案
山东省2025届高三第一次诊断考试数学试题（答案在最后）2024.10说明：本试卷满分150分。
试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{ln(3)},{2}A x y x B x x ==+=∣∣ ,则下列结论正确的是A.A B⊆ B.B A ⊆ C.A B = D.A B ⋂=∅2.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为A.152-B.152C.52-D.523.已知()()cos f x x a x =+为奇函数,则曲线()y f x =在点(π,(π))f 处的切线方程为A.ππ0x y +-= B.ππ0x y -+= C.π0x y ++= D.0x y +=4.在ABC 中,“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.由0,1,2,,9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有A.98个B.105个C.112个D.210个6.已知函数()f x 在R 上满足()()f x f x =-,且当(,0]x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<成立,若()0.60.6221122,ln 2(ln 2),log log 88a f b f c f ⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.c a b>>7.若1cos 3sin αα+=,则cos 2sin αα-=A.-1B.1C.25-D.-1或25-8.已知函数225e 1,0(),()468,0x x f x g x x ax x x x ⎧+<⎪==-+⎨-+≥⎪⎩,若(())y g f x =有6个零点,则a 的取值范围是A.(4,)+∞ B.174,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[4,5]D.2017,(4,5]32⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.已知0a b >>,下列说法正确的是A.若c d >，则a c b d ->-B.若0c >,则b b c a a c+<+C.2ab a b <+D.11a b b a+>+10.已知,A B 分别为随机事件A ,B 的对立事件,()0,()0P A P B >>,则A.()()1P B A P B A +=∣∣ B.()()()P B A P B A P A +=∣∣C.若A ,B 独立,则()()P A B P A =∣ D.若A ,B 互斥,则()()P A B P B A =∣∣11.已知函数()(1)ln (0)f x x x ax a a =---≠在区间(0,)+∞上有两个不同的零点1x ,2x ,且12x x <,则下列选项正确的是A.a 的取值范围是(0,1) B.121x x =C.()()12114x x ++> D.1214ln 2ln ln 23x a x x a +<<++三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若1~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且51Y X =+,则()D Y =___________.13.已知二次函数2()2()f x ax x c x =++∈R 的值域为[1,)+∞,则14a c+的最小值为___________.14.一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.现随机地将骰子抛掷三次（各次抛掷结果相互独立），其向上的点数依次为123,,a a a ，则事件“1223316a a a a a a -+-+-=”发生的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
山东省淄博市2020届部分学校高三阶段性诊断考试试题数学试卷(附参考答案)
17．（10 分）解：
方案一：如果①②③，则④；
……………………………………2 分
证明：由②得 b2 = a2 + c2 − ac ，得 cos B = 1 ，即 B = 60 ；…………4 分 2
由① SABC =
3 ，得 1 ac sin B = 22
3 ，且 B = 60 ，得 ac = 2 ；………6 分 2
求经过点 A1, M , N 的平面 A1MN 与平面 ACC1A1 所成二面角的正弦值．
21．（12 分）
已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1 a b 0 的左右焦点分别为 F1, F2 ，离心率是
3 ，P 为 2
椭圆上的动点．当 F1PF2 取最大值时， PF1F2 的面积是 3 ．
（1）求椭圆的方程；
的最大值为
1 4
高三数学试题 第 2 页（共 6 页）
11．华为 5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：
c1
c2 (a1
a2
)
b11 b21
b12 b22
，其中 c1
a1b11
a2b21 ， c2
a1b12
a2b22
．
已知定义在 R 上不恒为 0 的函数 f (x) ，对任意 a,b R 有：
由① SABC =
3 ，得 1 ac sin B = 22
3 ，且 B = 60 ，得 ac = 2 ；……6 分 2
由④ b = 3 ，且 b2 = a2 + c2 − ac ，得 a2 + c2 − ac = 3 ； …………8 分
从而 (a + c)2 = 3 + 6 = 9 a + c = 3 ， (a − c)2 = 3 − 2 = 1 a − c = 1 ；
山东省淄博市高三数学复习阶段性诊断考试 理(淄博二模
高三复习阶段性诊断考试试题理科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}{}{},,,,,,,,,U U a b c d e M a d N a c e M C N ===⋃，则为 A.{},,,a c d eB.{},,a b dC.{},b dD.{}d2.已知i 是虚数单位，则32ii -+等于 A.1i -+B.1i --C.1i +D.1i -3.“a b c d a >>>且是“c bd?”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内填 A.4k > B. k >5 C. k >6 D. k >75.设,a b r r 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是A.若a b a b a b +=-⊥r r r r r r ，则B.若a b a b a b ⊥+=-r r r r r r ,则C.若a b a b +=-r r r r，则存在实数λ，使得a b λ=r r D. 若存在实数λ，使得a b λ=r r ，则a b a b +=-r r r r6.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 A.203B.6C.4D.437.下列函数是偶函数，且在[]0,1上单调递增的是 A.cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.212cos 2y x =- C.2y x =-D.()sin y x π=+8.二项式243x x ⎛+ ⎪⎝⎭展开式中，x 的幂指数是整数的项共有 A.3项 B.4项 C.5项 D.6项9.3名男生3名女生站成两排照相，要求每排3人且3名男生不在同一排，则不同的站法有A.324种B.360种C.648种D.684种10.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1212,,4F F F F =，P 是双曲线右支上的一点，2F P y 与轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，若1PQ =，则双曲线的离心率是A.3B.2C.3D.2第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知3sin ,tan 25παπαα⎛⎫∈==⎪⎝⎭，，则________.12.已知等比数列{}3481298n a a a a a a a =⋅⋅⋅=若，则________. 13.若log 41,a b a b =-+则的最小值为_________.14.已知x ，y 满足2211,0x y x y z x y y ⎧+≤⎪+≤=-⎨⎪≥⎩则的取值范围是________.15.在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集(){},,,D a a x y x R y R =∈∈r r上也可以定义一个称“序”的关系，记为“?”.定义如下：对于任意两个向量()()11122212,,,,a x y a x y a a ==u r u u r u r u u r?“”当且仅当“12x x >”或“1212x x y y =>且”.按上述定义的关系“?”，给出如下四个命题：①若()()()12121,0,0,1,00,0,0e e e e ===u r u u r r u r u u r r ??则；②若1223,a a a a u r u u r u u r u u r ??，则13a a u r u u r ?；③若12a a u r u u r ?，则对于任意12,a D a a a a ∈++r u r r u u r r ?；④对于任意向量()12120,00,0,a a a a a a a =⋅>⋅r r r u r u u r r u r r u u r??，若则.其中真命题的序号为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分 16.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()(),2,1,2cos ,//m b c a n A m n =-=u r r u r r且.（I ）求B ；（II ）设函数()211sin 2cos cos sin cos 222f x x B x B B π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，求函数()04f x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，上的取值范围.17.（本题满分12分）某学校组织了一次安全知识竞赛，现随机抽取20名学生的测试成绩，如下表所示（不低于90分的测试成绩称为“优秀成绩”）：（I ）若从这20人中随机选取3人，求至多有1人是“优秀成绩”的概率；（II ）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校全体学生中（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望. 18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC,PB ⊥AC,,AD CD AD⊥且22,2CD PA ===，点M 在线段PD 上.（I ）求证：AB ⊥平面PAC ；（II ）若二面角M-AC-D 的大小为45o，试确定点M 的位置.19.（本题满分12分）某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施.已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放最比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量()0m m >万吨.（I ）从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量（万吨）依次构成数列{}n a ，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式； （II ）证明：数列{}10n a m -是等比数列；（III ）若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围.20.（本题满分13分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 的一个焦点在抛物线2y =的准线上，且椭圆C 过点1,2⎛ ⎝⎭. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）点A 为椭圆C 的右顶点，过点()1,0B 作直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE,AF 与直线3x =分别交于不同的两点M,N ，求EM FN ⋅u u u u r u u u r的取值范围.21.（本题满分14分） 已知函数()()1 1.xf x x e =--（I ）求函数()f x 的最大值；（II ）若()()0ln 110xx g x e x λ≥=+--≤时，，求λ的取值范围.（III ）证明：111123n n n eee++++++ (12)eln 2n <+（n *N ∈）高三复习阶段性诊断考试数学试题参考答案2014.4一、选择题： BDDAC ADCCB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11． 34-12． 512 ． 13． 1 14． ⎡⎤⎣⎦15．（文科） 7 15．（理科） ①②③ .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）解法一：因为//m n u r r，所以 2cos 2b A c a =- …………………………………2分由余弦定理得222222b c a b c a bc+-⋅=-，整理得222=+ac a c b -所以222+1cos =22a cb B ac -=……………………………4分 又因为0B π<<，所以3B π=. ………………………………………6分解法二：因为//m n u r r，所以2cos 2b A c a =- ………………………………2分由正弦定理得 2sin cos 2sin sin B A C A =- 所以()2sin cos 2sin sin B A A B A =+- 整理得2sin cos sin 0A B A -=因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B = ……………………4分 又因为0B π<<，所以3B π=. …………………………………………6分（Ⅱ）211()sin 2cos cos sin cos()222f x x B x B B π=+++11cos 2sin 242x x +=+1sin 224x x =+1sin(2)23x π=+ ………………8分因为 04x π≤≤，则52+336x πππ≤≤， ………………………10分 所以1sin 2+23x π≤≤（）1， 即()f x 在[0,]4π上取值范围是11[,]42. ……………………12分 17．（文科 本题满分12分）解：(Ⅰ)设该校总人数为n 人，由题意，得5010100300n =+，所以2000n = ………………3分 故2000(100300150450600)400z =-++++=． …………5分(Ⅱ)设所抽样本中有m 个女生．因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，所以40010005m=，解得2m =． ………………………7分 也就是抽取了2名女生，3名男生，分别记作12123,,,,A A B B B ，则从中任取2个的所有基本事件为(12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )，(21,A B )，(22,A B )，(23,A B )，(12,B B )，(13,B B )，(23,B B )，共10个； …………………9分 其中至少有1名女生的基本事件有7个： (12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )， (21,A B )，(22,A B )，(23,A B ) …………………………11分 所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为710P =． …………………12分 17．（理科 本题满分12分）解：（Ⅰ）由表知：“优秀成绩”为4人． ………………………………1分 设随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”为事件A ，则3211616433202052()57C C C P A C C =+=． ……………………………………………5分（Ⅱ）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率15P =． ………6分 ξ可取0,1,2,3 ………………………………………………………7分00331464(0)()()55125P C ξ===；1231448(1)()()55125P C ξ===；2231412(2)()()55125P C ξ===；3303141(3)()()55125P C ξ===．ξ的分布列：……………………………………11分6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………………12分 或 1(3,)5B ξ:, 13355E ξ=⨯=． ………………………12分18．（文科 本题满分12分）证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂平面ABCD所以 PA AC ⊥,PA AB ⊥ …………………………………2分 又因为PB AC ⊥，PA AC ⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PA PB P =I , 所以AC ⊥平面PAB …………………………………3分 又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥AB …………………………………4分 因为AC ⊥AB ，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I , 所以 AB ⊥平面PAC ………………………6分 （Ⅱ）方法一取PC 的中点E ,连接QE 、ED . 因为Q 是线段PB 的中点，E 是PC 的中点，所以 QE ∥BC ,12QE BC =………8分 因为 AD ∥BC ,2BC AD =所以 QE ∥AD ,QE AD =所以 四边形AQED 是平行四边形，………………………………9分所以 AQ ∥ED , ………………………………10分 因为AQ ∥ED ,AQ ⊄平面PCD ,ED ⊂平面PCD所以 AQ ∥平面PCD . …………………………………………12分 方法二取BC 的中点E ,连接AE 、QE . 因为 2BC AD = 所以AD EC = 又 AD ∥EC ，所以 四边形ADCE 是平行四边形， 所以AE ∥CD因为AE ⊄平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,所以AE ∥平面PCD ……………8分 因为Q ，E 分别是线段PB ，BC 的中点，所以QE ∥PC ，所以QE ∥平面PCD ……………………………10分 因为QE AE E =I ，所以平面AEQ ∥平面PCD ……………………11分 因为AQ ⊂平面AEQ ，所以AQ ∥平面PCD . ………………………12分 18．（理科 本题满分12分）解证：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂ 平面ABCD 所以 PA AC ⊥,PA AB ⊥ …………………………………2分 又因为PB AC ⊥，PA AC ⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PA PB P =I , 所以AC ⊥平面PAB …………………………………3分 又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥AB …………………………………4分因为AC ⊥AB ，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I , 所以 AB ⊥平面PAC ………………………6分 （Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，又由（Ⅰ）知BA AC ⊥， 建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -.则()0,0,0A ,()0,4,0C ,()2,2,0D -，()0,0,2P ,()2,2,2PD =--u u u r ,()0,4,0AC =u u u r设(),,M x y z ，PM tPD =u u u u r u u u r,则 ()(),,22,2,2x y z t -=--，故点M 坐标为()2,2,22t t t --,()2,2,22AM t t t =--u u u u r………………8分设平面MAC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u rn n ………………9分 所以()40,22220.y tx ty t z =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩令1z =，则11(01)tt-=，，n . ………………………………10分 又平面ACD 的法向量2(0,0,1)=n 所以12122cos 452⋅==⋅on n n n , 解得1=2t故点M 为线段PD 的中点. ………………………………12分 19．(本题满分12分)解：（Ⅰ）由已知，1400.9a m =⨯+,10.9n n a a m +=+（1n ≥）.………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：()1100.990.910n n n a m a m a m +-=-=-，所以数列{}10n a m -是以110369a m m -=-为首项、0.9为公比的等比数列.………6分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得：()1103690.9n n a m m --=-⋅ ，即()13690.910n n a m m -=-⋅+ . ……………………8分 由()13690.91055n m m --⋅+≤ ，得1155360.9 5.540.9 1.541090.910.910.9n n n n nm ---⨯-⨯≤==+-⨯--恒成立（*n N ∈） …11分 解得： 5.5m ≤；又0m > ，综上，可得(]0,5.5m ∈. …………………………12分 20．（文科 本题满分13分）解：（Ⅰ）连接1AF ，因为2AF AB ⊥，211F F =，所以211F F AF =， 即c a 2=，则)0,21(2a F ，)0,23(a B -. ……………… 3分 ABC Rt ∆的外接圆圆心为)0,21(1a F -，半径a B F r ==221………4分由已知圆心到直线的距离为a ，所以a a =--2321， 解得2=a ，所以1=c ，3=b ，所求椭圆方程为13422=+y x . ………………6分 （Ⅱ）因为)0,1(2F ，设直线l 的方程为：)1(-=x k y ，),,(11y x M ),(22y x N .联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y ，消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……………… 7分则2221438k k x x +=+，22121436)2(kkx x k y y +-=-+=+， MN 的中点为)433,434(222k kk k +-+. ………………8分 当0=k 时，MN 为长轴，中点为原点，则0=m . ………………9分当0≠k 时，MN 垂直平分线方程).434(1433222kk x k k k y +--=++ 令0=y ，所以43143222+=+=kk k m 因为032>k ，所以2344k +>，可得410<<m ， …………12分 综上可得，实数m 的取值范围是).41,0[ ………………13分20．（理科 本题满分13分）解：（Ⅰ）抛物线x y 342=的准线方程为：3-=x ……………1分设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则c =依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++=143132222b ab a ，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………3分 （Ⅱ）显然点)0,2(A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得(1,E F，(3,M N ，所以1EM FN ⋅=u u u u r u u u r. ………………………………5分（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)E x y F x y ,显然0k = 时，不符合题意.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. …………………6分 则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.……………7分直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---， 令3x =，则1212(3,),(3,)22y yM N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--u u u u r ，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--u u u r . ………9分 所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅--u u u u r u u u r121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+-- 2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅--2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++ 22221653()(1)414k k k k +-=⋅++22216511164164k k k +==+++. …………………11分因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈u u u u r u u u r . 综上所述，EM FN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是5[1,)4. ………………………13分21．（文科 本题满分14分）解：（Ⅰ）()xf x xe '=-， ……………………………………1分 当0x =时，()0f x '=；当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减；………………………3分故max ()(0)0f x f ==． ………………………………………………4分 （Ⅱ）由2()(1)1xg x x e x λ=-+-，得()(2)xg x x e λ'=--．…………6分 当0λ≤时，由（Ⅰ）得2()()()0g x f x x f x λ=+≤≤成立； …………8分 当102λ<≤时，因为(0,)x ∈+∞时()0g x '<，所以0x ≥时， ()(0)0g x g ≤=成立； ……………………………………………………10分当12λ>时，因为(0,ln 2)x λ∈时()0g x '>，所以()(0)0g x g >=．…13分 综上，知λ的取值范围是1(,]2-∞． ……………………………………14分21．（理科 本题满分14分）解证：（Ⅰ）()xf x xe '=-， ……………………………………1分当0x =时，()0f x '=；当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减；…………………3分故max ()(0)0f x f ==． ……………………………………………………4分（Ⅱ）解法一：(1)()11x xx e g x e x xλλ--'=-=--， …………………5分 当0λ≤时，因为(0,1)x ∈时()0g x '>，所以0x >时，()(0)0g x g >=；……………………………………………………………………………6分当01λ<<时，令()(1)xh x x e λ=--，()xh x xe '=-．当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，且(0)(1)(1)()0h h λλ=--<， 故()h x 在(0,1)内存在唯一的零点0x ，使得对于0(0,)x x ∈有()0h x >， 也即()0g x '>．所以，当0(0,)x x ∈时()(0)0g x g >=； ……………8分当1λ≥时，(0,1)x ∈时(1)(1)1()()0111x x x e x e f x g x x x xλ----'=≤=<---，所以，当0x ≥时()(0)0g x g ≤=． …………………………………9分 综上，知λ的取值范围是[1,)+∞． …………………………………10分解法二： (1)()11x xx e g x e x xλλ--'=-=--， ……………………5分 令()(1)xh x x e λ=--，()xh x xe '=-．当[0,1)x ∈时，()0h x '≤，所以()h x 单调递减． …………………6分 若在[0,1)内存在使()(1)0xh x x e λ=-->的区间0(0,)x ，则()g x 在0(0,)x 上是增函数，()(0)0g x g >=，与已知不符． ………8分 故[0,1)x ∈，()0h x ≤，此时()g x 在[0,1)上是减函数，()(0)0g x g ≤=成立． 由()(1)0xh x x e λ=--≤，[0,1)x ∈恒成立，而()0h x '≤， 则需()h x 的最大值(0)0h ≤，即()0100e λ--≤，1λ≥，所以λ的取值范围是[1,)+∞． ……………………10分 （Ⅲ）在（Ⅱ）中令1λ=，得0x >时，1ln(1)xe x <--． ……………11分 将1111,,,,1232x n n n n=+++L 代入上述不等式，再将得到的n 个不等式相加，得11111232ln 2n n n nee een +++++++<+L L ． ………………………14分。
山东省淄博市淄博第四中学2024-2025学年高三上学期第一次阶段性考试数学试卷(含答案)
试卷类型：A淄博四中2022级高三上学期第一次阶段性考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，则（ ）A.（0，2）B. C. D.2.“”是“，成立”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若，，，则（ ）A. B. C. D.4.已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.5.已知，，，下列错误的选项是（ ）A.且 B. C. D.6.已知函数（）图象的一个对称中心为，则（ ）A.在区间上单调递增B.是图象的一条对称轴C.在上的值域为D.将图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于轴对称7.已知函数为上的奇函数，为偶函数，则（ ）{}24xA x =<}1B =≤A B = [)1,2[]1,2()0,1()2,2b ∈-x ∀∈R 210x bx -+≥sin1a =()lg tan1b =12c =c b a<<b a c<<b c a<<a c b<<()(),023,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩12x x ≠()()12120f x f x x x -<-a ()0,1()2,+∞10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭0a >0b >a b ab +=1a >1b >4ab ≥49a b +≤11b a b+>()()sin 2f x x ϕ=+π2ϕ<π,06⎛⎫⎪⎝⎭()f x ππ,83⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5π6x =()f x ()f x ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎡-⎢⎣()f x 5π12y ()f x R ()1f x +A. B.C. D.8.已知函数，若关于的方程有且只有两个不同实数根，则的取值范围是（ ）A. B.C. D.二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.9.已知三次函数（）有极小值点，则下列说法中正确的有（ ）A. B.函数有三个零点C.函数的对称中心为D.过可以作两条直线与的图象相切10.已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）A. B.C.为递减数列 D.的前5项和为11.对于具有相同定义域的函数和，若存在函数（，为常数），对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线：为曲线与的“分渐近线”.给出定义域均为的四组函数，其中曲线与存在“分渐近线”的是（ ）A.， B.，C.， D.，()()20f x f x --+=()()1f x f x -=+()()22f x f x +=-()20230f =()()()201ln 0xx x f x x x x⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩x ()()()210f x m f x m +--=m 1,2e⎛⎫ ⎪⎝⎭()()1,11,0,2e⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭()1,0,2e⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()()1,0,11,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()325f x x bx =++0b <2x =3b =-()f x ()f x ()1,3()1,1-()y f x ={}n a n n S 24a =742S =54a =21522n S n n =+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭421D ()f x ()g x ()h x kx b =+k b m 0x D ∈x D ∈0x x >()()()()00f x h x m h x g x m ⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩l y kx b =+()y f x =()y g x ={}1D x x =>()y f x =()y g x =()2f x x =()g x =()102xf x -=+()23x g x x-=()21x f x x +=()ln 1ln x x g x x +=()221x f x x =+()()21e x g x x -=--三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分12.等比数列的前项和为，若，则______.13.已知，，则______.14.设方程，的根分别为，，函数，令，，则，，的大小关系为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分。
2014山东省淄博市高三三模试卷 数学答案
高三阶段性复习诊断考试数学试题参考答案及评分说明 2014.5第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．B 8．C 9．B 10．A第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．2-13． 414．（文科）*12()3nn N ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭14．（理科）(,3)-∞15．①②④三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（文科 本题满分12分）解：（Ⅰ）()f x m n =⋅2cos cos 444x x x+111cos sin 2222262x x x π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭ 因为()1f x =，所以1sin 262x π⎛⎫+=⎪⎝⎭…………………………………4分 21cos 12sin 3262x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos 332x x -=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………6分 （Ⅱ）因为()2cos bcos a c B C -=由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=……………………7分 所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -= 所以()2sin cos sin A B B C =+因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠ 所以1cos ,23B B π== ……………………8分 所以203π<A <……………………9分所以1,sin 6262226A A ππππ⎛⎫<+<<+<1⎪⎝⎭……………………10分 又因为()f x =m n 1sin 262x π⎛⎫=++⎪⎝⎭ 所以()f A 1sin 262A π⎛⎫=++⎪⎝⎭ ……………………11分 故函数()f A 的取值范围是 31,2⎛⎫⎪⎝⎭……………………12分 16．（理科 本题满分12分）解：（Ⅰ）()f x m n =⋅2cos cos 444x x x +=111cos sin 22222262x x x π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭ 因为()1f x =，所以1sin 262x π⎛⎫+=⎪⎝⎭ ……………………………………4分2cos 12sin 3262x +=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos cos 332x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……………………6分 （Ⅱ）因为()2cos bcos a c B C -=由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -= ……………………7分 所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -= 所以()2sin cos sin A B B C =+因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠ 所以1cos ,23B B π== ……………………8分 所以23A C π+=，因为ABC ∆为锐角三角形 所以02π<A <且 02C π<<，即232A ππ0<-< 所以02π<A <且263A ππ<<，所以62ππ<A < ……………………9分所以5,sin 426122264A A ππππ⎛⎫<+<<+<⎪⎝⎭…………………10分 又因为()f x =m n 1sin 262x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，所以()f A 1sin 262A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……11分故函数()f A 的取值范围是⎝⎭. ……………………12分C 1CB 1NBA 1AMPO 17．（文科 本题满分12分）证明：（Ⅰ）取1A B 的中点P ，连接PM ,PN . 因为 M ,P 分别是AB ,1A B 的中点， 所以 PM ∥1AA ,112PM AA = ………2分 又因为1AA ∥1CC ,所以 PM ∥CN 且=PM CN 所以 四边形PMCN 为平行四边形，所以 PN ∥CM ．………………………………………………………………4分 又因为 CM ⊄平面1A BN ，PN ⊂平面1A BN ，所以CM ∥平面1A BN ． ………………………………………………………6分 （Ⅱ）取AC 的中点O ,连结BO ，ON . 由题意知 BO ⊥AC ，又因为 平面11A ACC ⊥平面ABC ，所以 BO ⊥平面11A ACC ． …………………………………………8分因为 1AC ⊂平面11AACC 所以1BO AC ⊥ 因为 四边形11A ACC 为菱形，所以 11AC AC ⊥又因为 ON ∥1AC , 所以 1AC ON ⊥所以 1AC ⊥平面BON ， 又 BN ⊂平面BON …………………………10分 所以 1AC BN ⊥． ……………………………………………12分 17．（理科 本题满分12分） 解证：（Ⅰ）证明：方法一取AC 的中点O ,连结BO ，ON ,由题意知 BO ⊥AC ． 又因为平面11A ACC ⊥平面ABC ， 所以 BO 11A ACC ．………………2分 因为1AC ⊂平面11A ACC 所以 1BO AC ⊥ 因为 四边形11A ACC 为菱形，所以 11AC AC ⊥又因为 ON ∥1AC , 所以 1AC ON ⊥ 所以 1AC ⊥平面BON ………………4分又 BN ⊂平面BON ， 所以 1AC BN ⊥．…6分 方法二取AC 的中点O ,连结BO ，1AO , 由题意知 BO AC ⊥，1AO AC ⊥.又因为 平面11A ACC ⊥平面ABC ，所以 1AO ⊥平面ABC以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz -. ……………………2分 则()0,0,0O,)B,(1A，30,,22N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,()0,1,0C ，(10,1,AC =. 3,22BN ⎛= ⎝⎭ ……………………4分 因为 ()1330302AC BN =++-=，所以1AC BN ⊥……………………6分 （Ⅱ）取AC 的中点O ,连结BO ，1AO , 由题意知 BO AC ⊥，1AO AC ⊥.又因为 平面11A ACC ⊥平面ABC ，所以 1AO ⊥平面ABC以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz -. ……………………7分 则()0,0,0O ,)B,(1A ，30,2N ⎛ ⎝⎭,130,,22A N ⎛=- ⎝⎭, (13,0,A B =.设平面1A BN 的法向量为1(,,)x y z =n ，则11110,0.A N AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,20.y z⎧-=⎪⎨-= 令1x =.所以1(1,1)3=n . …………………………………………9分 又平面1A NC 的法向量2(1,0,0)=n …………………………………10分设二面角1B A N C --的平面角为θ，则1212cos θ⋅==⋅n n n n .……………12分18．（文科 本题满分12分）解: (Ⅰ) 用(,)a b (a 表示第一次取到球的编号,b 表示第二次取到球的编号) 表示先后两次取球构成的基本事件, ………………………………1分 则基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),共12个. ……………………………………3分 设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除”为事件A , 则事件A 包含的基本事件有:(2,1),(2,4),(4,2),共有3个, …………5分所以 31()124P A == …………………………6分 (Ⅱ) 基本事件有: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3)(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个. ……………8分设“直线10ax by ++=与圆22116x y +=有公共点”为事件B14≤， 即2216a b +≥ ……………………………10分 则事件B 包含的基本事件有:(1,4),(2,4),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共有8个,所以 81()162P B == …………………………………12分 18．（理科 本题满分12分）解：（Ⅰ）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ,“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ,则由题意知，事件A 与事件B 互为对立事件………………2分因为 1147391()3C C P B C == …………………………………………4分所以 12()1()133P A P B =-=-= ……………………………………5分 （Ⅱ）X 的取值为 1,2,3,4 ……………………………6分122127273949(1)84C C C C P X C +=== ………………………………………7分 122125253925(2)84C C C C P X C +=== ……………………………………8分 12212323399(3)84C C C C P X C +=== ……………………………………9分 3911(4)84P X C === ………………………………10分 X 的分布列为：………………………11分492591130651234848484848442EX =⨯+⨯+⨯+⨯==………………………12分 19．(文科 本题满分12分)解：（Ⅰ）由题设可得，1312132()()235a a a a a a -=-+-=+= 同理2532311a a -=+=所以3153()()16a a a a -+-=， …………………2分 从而，有5116a a -=，所以，517a =； ……………………3分（Ⅱ）由题设知，212132nn n a a +--=+， ……………………4分 所以，1212332n n n a a ----=+ 2232532n n n a a ----=+… …25332a a -=+13132a a -=+ ……………………6分将上述各式两边分别取和，得121211(333)2(1)n n a a n ---=++⋅⋅⋅++-所以，2135222n n a n -=+-． ……………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ），可得231222n n a n =+-，……………………9分 所以，212343nn n n b a a n -=+=+- ……………………10分所以12(333)4(12)3nn S n n =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-1233222n n n +=+--．……12分 19．(理科 本题满分12分)解：（Ⅰ）由题设可得，1312132()()235a a a a a a -=-+-=+=同理2532311a a -=+=所以3153()()16a a a a -+-=， …………………2分 从而，有5116a a -=，所以，517a =； ……………………3分（Ⅱ）由题设知，212132nn n a a +--=+， ……………………4分 所以，1212332n n n a a ----=+ 2232532n n n a a ----=+… …25332a a -=+13132a a -=+ ……………………6分将上述各式两边分别取和，得：121211(333)2(1)n n a a n ---=++⋅⋅⋅++-，所以2135222n n a n -=+-．…………7分（Ⅲ）由（Ⅱ），可得231222n n a n =+-，所以212343n n n a a n -+=+-………8分 1°当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅+222332222n n n +=+--，………………10分2°当n 为奇数时，若1n =，则111S a ==. 若3n ≥,则123421()()()nn n n S a a a a a a a --=++++⋅⋅⋅++11212213(1)33(333)4(12)()2222n n n n n +---=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-++- 1223222n n n+=+--． 综上可得22212233()222232()22n n n n n n S n nn ++⎧⎪=+--⎪=⎨⎪+--⎪⎩为偶数为奇数 ……………………12分(方式二）由（Ⅱ），可得231222n n a n =+-， 不妨记212343nn n n b a a n -=+=+- ……………………8分1°当n 为偶数时，令2n m =，1234112()()()n n n m S a a a a a a b b b -=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+ 12(333)4(12)3m m m =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-1233222m m m +=+--，即22232222n n n n S +=+--．……………………10分 2°当n 为奇数时，若1n =，则111S a ==. 若3n ≥，令21n m =-，12342112121()()()n n n n m m S a a a a a a a b b b a ----=++++⋅⋅⋅+++=++⋅⋅⋅++231352(1)22222m m m m m =+---++-23231m m m =+--， 即1223222n n n nS +=+--． 综上可得22212233()222232()22n n n n n n S n nn ++⎧⎪+--⎪=⎨⎪+--⎪⎩为偶数为奇数 ……………………12分 20．（文科 本题满分13分）（Ⅱ）证明∵直线l 的斜率为，且不过(1,)P 点，联立方程组221,431.2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++-=． ………………6分 又设1122(,)(,)A x y B x y 、，∴12212,3,02 2.x x m x x m m +=-⎧⎪=-⎨⎪∆>⇒-<<⎩，1212332211PA PBy y k k x x --+=+--12121212(2)()23()1x x m x x m x x x x +-+-+=-++0.= 所以 PB PA k k +为定值。
2023-2024学年山东省淄博市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＜3，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2}2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．−15B ．−85C ．−15iD ．−85i3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞24．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1+a n1−a n(n ∈N ∗)，则a 2023＝（ ） A ．12B ．3C ．﹣2D ．−135．已知O 为△ABC 的外心，且AO →=λAB →+(1−λ)AC →．若向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，则cos∠AOC 的值为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．126．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ） A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种7．已知函数y ＝xf （x ）是R 上的偶函数，f （x ﹣1）+f （x +3）＝0，当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝2x ﹣2﹣x +x ，则（ ）A ．f （x ）的图象关于直线x ＝2对称B ．4是f （x ）的一个周期C ．f(2023)=52D ．f(12)＞f(0．50.2)8．设函数f （x ）={x +|lnx|−2，x ＞0，sin(ωx +π4)−12，−π≤x ≤0有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．[134，174) B ．[174，214) C ．[4912，6512)D ．[6512，7312)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（ ）A ．样本的众数为6712B ．样本的80%分位数为7212C ．样本的平均值为66D ．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人10．正数a ，b 满足a ＜b ，a +b ＝2，则（ ） A ．1＜b ＜2B ．2a ﹣b ＞1C ．√a +√b ＜2D ．1a+2b≥311．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A ．P(A)=37B ．P(B)=1742 C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(B|A)=1212．已知偶函数f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的周期为π，将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，下列结论正确的是（ ）A ．g(x)=2cos(2x −π6)B ．函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称C ．不等式g （x ）≥1的解集为{x|kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z} D ．g(x)=12f 2(x 2)在(0，π2)上有两个相异实根 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在（x 2√x ）8的展开式中，含x 2项的系数为 ． 14．已知向量a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，则sin2α3−2sin 2α= ．15．若项数为n 的数列{a n }，满足：a i ＝a n +1﹣i （i ＝1，2，3，…，n ），我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{c n }为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2，…，c k +1是公差为﹣2的等差数列，数列{c n }的最小项等于﹣10，记数列{c n }的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1＝﹣50，则k 的值为 ． 16．若对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a 恒成立，则实数a 的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①a 2﹣c 2＝bc ；②b +bcosA =√3asinB ；③sinA =√3sinC ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 18．（12分）已知函数f(x)=(1x+1)ln(1+x)．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求函数f （x ）的单调增区间．19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．（1）求第三回合甲发球的概率；（2）设前三个回合中，甲的总得分为X ，求X 的分布列及期望．20．（12分）已知公差为d 的等差数列{a n }和公比q ＞0的等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2+b 3＝8，a 3+b 2＝9．（1）求数{a n }列{b n }和的通项公式；（2）删去数列{b n }中的第a i 项（其中i ＝1，2，3，⋯），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和S n ．21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金x i （亿元）与年销售额y i （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y ＝α+βx 2，②y ＝e λx +t ，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金x i 和年销售额y i 的数据，i ＝1，2，⋯，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2(i =1，2，⋯，12)，v i ＝lny i （i ＝1，2，⋯，12），经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如表：根据小概率α＝0.001的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关． 附：①相关系数r =∑(x i −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2∑n i=1(y i −y)2i=1，回归直线y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑x i y i −nxy ni=1∑x i 2−x2ni=1=∑(x i−x)(y i −y)ni=1∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ；②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ；③参考数据：308＝4×77．22．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣a），a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x＝e处取得极值，f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x1）＝f′（x2），x1＜x2，证明：2＜x1+x2＜e．2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＜3，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2}解：因为B ＝{x |x ＜3，x ∈N }＝{0，1，2}，A ＝{0，1，2，3}，因此A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：D ．2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．−15B ．−85C ．−15iD ．−85i解：∵（1+2i ）z ＝3﹣2i ， ∴z =3−2i 1+2i =(3−2i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−15−85i ， ∴z 的虚部为−85． 故选：B ．3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞2解：由|x |＞2解得：x ＜﹣2或x ＞2，找“|x |＞2”的一个充分不必要条件，即找集合{x |x ＜﹣2或x ＞2}的真子集， ∵{x |x ＞2}⫋{x |x ＜﹣2或x ＞2}，∴“|x |＞2”的一个充分不必要条件是{x |x ＞2}． 故选：D ．4．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1+a n1−a n(n ∈N ∗)，则a 2023＝（ ） A ．12B ．3C ．﹣2D ．−13解：因为a 1=12，a n+1=1+an 1−a n(n ∈N ∗)，所以a 2=1+a 11−a 1=1+121−12=3，a 3=1+a 21−a 2=1+31−3=−2， a 4=1+a31−a 3=1−21+2=−13，a 5=1+a 41−a 4=1−131+13=12，a 6=1+a 51−a 5=1+121−12=3，所以数列{a n }是周期为4的周期数列， 所以a 2023＝a 505×4+3＝a 3＝﹣2． 故选：C ．5．已知O 为△ABC 的外心，且AO →=λAB →+(1−λ)AC →．若向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，则cos∠AOC 的值为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．12解：因为AO →=λAB →+(1−λ)AC →=λAB →+AC →−λAC →， 所以CA →+AO →=λAB →+λCA →=λ(CA →+AB →)，即CO →=λCB →，所以O 在BC 上，故△ABC 的外接圆以O 为圆心，BC 为直径， 所以△ABC 为直角三角形，且AC ⊥AB ，O 为BC 中点， 过A 作BC 的垂线AQ ，垂足为Q ，因为向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，所以OA →在BC →上的投影向量为OQ →=BQ →−BO →=34BC →−12BC →=14BC →， 因为|OA →|=12|BC →|，所以cos ∠AOC =|OQ||OA|=|OQ →||OA →|=14|BC →|12|BC →|=1412=12． 故选：D ．6．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ） A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种解：根据题意，可分为四类：①当甲乙都未选中，则不同的选择方案有A44=24种；②当甲选中，乙未选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；③当甲未选中，乙选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；④当甲乙都选中，则由C42种选法，先安排甲，再安排乙，若甲去了金华赛区，则有A33=6；若甲未去金华赛区，则有C21C21A22=8，则不同的安排方案有C42×(6+8)=84种，由分类计数原理，可得共有24+72+72+84＝252种不同的安排方案．故选：D．7．已知函数y＝xf（x）是R上的偶函数，f（x﹣1）+f（x+3）＝0，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝2x﹣2﹣x+x，则（）A．f（x）的图象关于直线x＝2对称B．4是f（x）的一个周期C．f(2023)=52D．f(12)＞f(0．50.2)解：∵函数y＝xf（x）是R上的偶函数，∴﹣xf（﹣x）＝xf（x），∴﹣f（﹣x）＝f（x），即y＝f（x）为奇函数，对于A：∵f（x﹣1）+f（x+3）＝0，∴f（x）+f（x+4）＝0，从而f（﹣x）+f（﹣x+4）＝0，∴﹣f（x）+f（﹣x+4）＝0即f（﹣x+4）＝f（x），即f（x）的图象关于直线x＝2对称，A正确；对于B：∵f（﹣x+4）＝f（x），∴﹣f（x﹣4）＝f（x），即f（x﹣4）+f（x）＝0，∴f（x﹣8）+f（x﹣4）＝0，∴f（x）＝f（x﹣8），∴f（x）是以8为周期的函数，B错误；对于C：f(2023)=f(253×8−1)=f(−1)=12−2−1=−52，C错误；对于D：当x∈[﹣2，0]时，y＝2x，y＝﹣2﹣x，y＝x均为单调递增函数，∴f（x）＝2x﹣2﹣x+x在[﹣2，0]上单调递增，又y＝f（x）为奇函数，∴y＝f（x）在[0，2]上单调递增，又0＜12=0．51＜0．50.2＜2，∴f(12)＜f(0．50.2)，D错误．故选：A．8．设函数f（x）={x+|lnx|−2，x＞0，sin(ωx+π4)−12，−π≤x≤0有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A．[134，174)B．[174，214)C．[4912，6512)D．[6512，7312)解：∵当0＜x＜1时，f（x）＝x﹣lnx﹣2，f′(x)=1−1x＜0恒成立，f（x）单调递减，且f（e﹣2）＝e﹣2＞0，f（1）＝﹣1＜0，此时f（x）有且只有一个零点；当x≥1时，f（x）＝x+lnx﹣2单调递增，且f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝ln2＞0，此时f（x）有且只有一个零点，∴当﹣π≤x≤0时，f(x)=sin(ωx+π4)−12有5个零点，即方程sint=12在[−ωπ+π4，π4]上有5个实根，则−5π−π6＜−ωπ+π4≤−4π+π6，即4912≤ω＜6512．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（）A ．样本的众数为6712 B ．样本的80%分位数为7212C ．样本的平均值为66D ．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人 解：对于选项A ，样本的众数为65+702=6712，故正确；对于选项B ，∵0.03×5+0.05×5+0.06×5＝0.7＜0.8， 0.03×5+0.05×5+0.06×5+0.04×5＝0.9＞0.8， ∴样本的80%分位数在（70，75]之间， 70+0.8−0.70.04×5×5＝7212，故正确；对于选项C ，样本的平均值为57.5×0.03×5+62.5×0.05×5+67.5×0.06×5+72.5×0.04×5+77.5×0.02×5＝66.75， 故错误； 对于选项D ，该校男生中低于60公斤的学生大约为2000×0.03×5＝300人，故正确； 故选：ABD ．10．正数a ，b 满足a ＜b ，a +b ＝2，则（ ） A ．1＜b ＜2 B ．2a ﹣b ＞1C ．√a +√b ＜2D ．1a+2b≥3解：因为a +b ＝2， 所以a ＝2﹣b ，由题意得2﹣b ＜b 且2﹣b ＞0， 故1＜b ＜2，A 正确； 因为a ＜b ，即a ﹣b ＜0， 所以2a ﹣b ＜1，B 错误；因为（√a+√b 2）2≤a+b2=1，显然等号无法取得， 故√a +√b ＜√2，C 正确；1a+2b=a+b 2a+a+b b=32+b 2a+a b≥32+√2，当且仅当b =√2a 且a +b ＝2，即a ＝2√2−2，b ＝4﹣2√2时取等号，D 错误． 故选：AC ．11．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A ．P(A)=37B ．P(B)=1742 C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(B|A)=12解：由题意P(A)=37，故A 正确； P(B)=37×36+47×26=1742，故B 正确； P(AB)=37×36=314， 因为P(A)P(B)=37×1742=1798≠P(AB)，所以事件A 与事件B 不相互独立，故C 错误； P(B|A)=P(AB)P(A)=31437=12，故D 正确．故选：ABD ．12．已知偶函数f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的周期为π，将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，下列结论正确的是（ ）A ．g(x)=2cos(2x −π6)B ．函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称C ．不等式g （x ）≥1的解集为{x|kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z} D ．g(x)=12f 2(x 2)在(0，π2)上有两个相异实根解：f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)=2cos(2ωx +π3+φ)， 则T =2π2|ω|=π，ω＞0，解得，ω＝1， 又f （x ）为偶函数，所以π3+φ=kπ，k ∈Z ，即φ=−π3+kπ，k ∈Z ， 又|φ|＜π2，所以φ=−π3，所以f （x ）＝2cos2x ，其向右平移π6个单位长位得y =g(x)=2cos(2x −π3)，A 错误；g(π6)=2cos(2×π6−π3)=2，所以函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称，B 正确； 令g(x)=2cos(2x −π3)≥1，解得kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ，C 正确：； g(x)=12f 2(x2)，即2cos(2x −π3)=12(2cosx)2，整理得sin2x =√33，根据y ＝sin2x 的图象明显可得方程sin2x =√33在(0，π2)有两个相异实根，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在（x 2√x ）8的展开式中，含x 2项的系数为 1120 ． 解：（x 2√x ）8的展开式的通项公式为 T r +1=C 8r•（﹣2）r •x 8−3r2， 令8−3r 2=2，求得 r ＝4，可得含x 2项的系数为C 84×（﹣2）4＝1120， 故答案为：1120．14．已知向量a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，则sin2α3−2sin 2α=47．解：因为a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →， 所以a →⋅b →=−2cos α+sin α＝0，所以tan α＝2， 所以sin2α3−2sin 2α=2sinαcosα3(sin 2α+cos 2α)−2sin 2α=2sinαcosαsin 2α+3cos 2α=2tanαtan 2α+3=2×222+3=47．故答案为：47．15．若项数为n 的数列{a n }，满足：a i ＝a n +1﹣i （i ＝1，2，3，…，n ），我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{c n }为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2，…，c k +1是公差为﹣2的等差数列，数列{c n }的最小项等于﹣10，记数列{c n }的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1＝﹣50，则k 的值为 5或4． ．解：由于c 1，c 2，⋯，c k +1是公差为﹣2的等差数列，故c 1，c 2，⋯，c k +1单调递减，所以c k +1＝﹣10， 故c 1﹣2k ＝﹣10，则c 1＝﹣10+2k ，c k ＝c k +1+2＝﹣8．又S 2k +1＝﹣50，故2（c 1+c 2+⋯+c k ）+c k +1＝﹣50，即c 1+c 2+⋯+c k ＝﹣20， 由等差数列前n 项和公式有k(−10+2k−8)2=−20，化简得k 2﹣9k +20＝0，解得k ＝5或k ＝4． 故答案为：5或4．16．若对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a 恒成立，则实数a 的最大值为 ﹣1 ．解：∵x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a ，对任意的x 1，x 2∈[1，π2]恒成立，∴sinx 1x 1+a x 1＜sinx 2x 2+a x 2对任意的x 1，x 2∈[1，π2]恒成立．令f(x)=sinx x +a x ，x ∈[1，π2]， 即对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，当x 1＜x 2时，f （x 1）＜f （x 2）， 则f(x)=sinx x +a x ，x ∈[1，π2]为单调递增函数， 即f ′(x)=xcosx−sinx−a x 2≥0在[1，π2]上恒成立，令g （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣a ，x ∈[1，π2]， g ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ＜0， 即g （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣a 在[1，π2]上单调递减， 可得g(x)min =g(π2)=π2cos π2−sin π2−a ≥0， 即﹣1﹣a ≥0，解得a ≤﹣1． 即实数a 的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①a 2﹣c 2＝bc ；②b +bcosA =√3asinB ；③sinA =√3sinC ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 证明：选①②当条件，③当结论 由②得sinB +sinBcosA =√3sinAsinB ， 因为sin B ＞0，所以1+cosA =√3sinA ，即sin(A −π6)=12，0＜A ＜π， 所以A =π3，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ，由①知，a 2＝c 2+bc ，代入可得，b ＝2c ，所以a =√3c ， 即sinA =√3sinC ；选①③作条件，②当结论，由③得：a=√3c，因为a2＝c2+bc，所以3c2＝c2+bc，则b＝2c，所以cosA=b2+c2−a22bc=12，0＜A＜π，所以A=π3，由③知，sinA=√3sinC，所以sinC=sinA√3=12，所以C=π6，所以B=π2，所以，b+bcosA=2c+c=3c=√3×√3c=√3a=√3asinB；选②③作条件，①当结论，由②得：sinB+sinBcosA=√3sinAsinB，而sin B＞0，所以1+cosA=√3sinA，即√3sinA−cosA=1，根据辅助角公式可得，sin(A−π6)=12，所以，A=π3，由③，sinA=√3sinC，所以sinC=sinA3=12，得：C=π6，所以B=π2，所以sinA=√3sinC，sin B＝2sin C，则a=√3c，b＝2c，即：a2﹣c2＝bc．18．（12分）已知函数f(x)=(1x+1)ln(1+x)．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调增区间．解：（1）因为f(x)=(1x+1)ln(1+x)，定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），所以f′(x)=−1x2ln(1+x)+(1x+1)11+x=x−ln(x+1)x2，又f′（1）＝1﹣ln2，f（1）＝2ln2，所以切线方程为y＝（1﹣ln2）（x﹣1）+2ln2，即y＝（1﹣ln2）x+3ln2﹣1．（2）函数f（x）定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），f′(x)=x−ln(x+1)x2，设g（x）＝x﹣ln（x+1），x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），所以g′(x)=1−1x+1=xx+1，当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递递增，所以g （x ）min ＞g （0）＝0，所以g （x ）＝x ﹣ln （x +1）＞0恒成立， 所以f ′(x)=x−ln(x+1)x 2＞0在（﹣1，0）∪（0，+∞）上恒成立， 所以函数f （x ）在（﹣1，0）和（0，+∞）上单调递增， 所以函数f （x ）单调增区间为（﹣1，0）和（0，+∞）．19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．（1）求第三回合甲发球的概率；（2）设前三个回合中，甲的总得分为X ，求X 的分布列及期望．解：（1）若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲，或者甲乙甲， 故第三回合甲发球的概率为35×35+(1−35)×15=1125．（2）设甲在第i 回合得分记为事件A i ，乙在第i 回合得分记为事件 B i ，i ∈{1，2，3}， 则P(A 1A 2A 3)=(35)3=27125，此时甲得3分， P(A 1A 2B 3)=(35)2×25=18125，此时甲得2分， P(A 1B 2A 3)=35×25×15=6125，此时甲得2分， P(A 1B 2B 3)=35×25×45=24125，此时甲得1分， P(B 1A 2A 3)=25×15×35=6125，此时甲得2分， P(B 1A 2B 3)=25×15×25=4125，此时甲得1分， P(B 1B 2A 3)=25×45×15=8125，此时甲得1分， P(B 1B 2B 3)=25×45×45=32125，此时甲得0分， 故X 的分布列为：故E(X)=0×32125+1×36125+2×30125+3×27125=176125． 20．（12分）已知公差为d 的等差数列{a n }和公比q ＞0的等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2+b 3＝8，a 3+b 2＝9．（1）求数{a n }列{b n }和的通项公式；（2）删去数列{b n }中的第a i 项（其中i ＝1，2，3，⋯），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和S n ．解：（1）由已知得{a 2+b 3=1+d +q 2=8a 3+b 2=1+2d +q =9，解得d ＝3，q ＝2，∴a n =3n −2，b n =2n−1；（2）由已知得数列{c n }：b 2，b 3，b 5，b 6，b 8，b 9，…， 当n 为偶数时，S n =(b 2+b 5+b 8+⋯+b 3(n 2)−1)+(b 3+b 6+b 9+⋯+b 3(n 2)) =2(1−8n 2)1−8+4(1−8n 2)1−8=6(8n2−1)7， 当n 为奇数（n ≥3）时，S n =b 2+(b 3+b 6+⋯+b3(n−12))+(b 5+b 8+b 11+⋯+b 3(n−12)+2) =2+4(1−8n−12)1−8+16(1−8n−12)1−8=20(8n−12−1)7+2，当n ＝1时，S 1＝2，符合上式，故S n ={6(8n2−1)7，n 为偶数20(8n−12−1)7+2，n 为奇数．21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金x i （亿元）与年销售额y i （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y ＝α+βx 2，②y ＝e λx +t ，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金x i 和年销售额y i 的数据，i ＝1，2，⋯，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2(i =1，2，⋯，12)，v i ＝lny i （i ＝1，2，⋯，12），经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如表：根据小概率α＝0.001的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关． 附：①相关系数r =∑(x i −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2∑ n i=1(y i −y)2i=1，回归直线y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑x i y i −nxy ni=1∑x i 2−x2ni=1=∑(x i−x)(y i −y)ni=1∑n i=1(x i −x)2，a =y −b x ；②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ；③参考数据：308＝4×77．解：（1）r 1=∑(u i −u)(y −y)12i=1√∑(u i −u)2i=1∑(y i −y)2i=1=3125000×200=2150025000=4350=0.86，r 2=∑(x i −x)(v i −v)12i=1√∑(x i −x)2i=1∑(v i −v)2i=1=14√770×0.308=1477×0.2=1011≈0.91，则|r1|＜|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx+t的拟合程度更好．（2）先建立v关于x的线性回归方程，由y＝eλx+t，得lny＝t+λx，即v＝t+λx，由于λ=∑(x i−x)(v i−v)12i=1∑(x i−x)212i=1=14770≈0.018，t=v−λx=4.20−0.018×20=3.84，所以v关于x的线性回归方程为v=0.02x+3.84，所以lny=0.02x+3.84，则y=e0.02x+3.84．（3）零假设为H0：对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关，χ2=(200×150−100×150)2350×250×300×300≈0.029＜10.828，根据小概率α＝0.001独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即H0成立，该地区对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关．22．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣a），a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x＝e处取得极值，f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x1）＝f′（x2），x1＜x2，证明：2＜x1+x2＜e．解：（1）函数f（x）＝x2（lnx﹣a）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x（lnx﹣a）+x＝x（2lnx﹣2a+1），令f′（x）＝0，所以lnx=2a−12，得x=e2a−12，当x∈(0，e 2a−12)，f′（x）＜0，当x∈(e 2a−12，+∞)，f′（x）＞0，所以函数f（x）递减区间为(0，e 2a−12)，递增区间为(e2a−12，+∞)．（2）证明：因为函数f（x）在x＝e处取得极值，所以x=e 2a−12=e，得a=32，所以f(x)=x2(lnx−32)，f′（x）＝x（2lnx﹣2）＝2x（lnx﹣1），令g（x）＝2x（lnx﹣1），g′（x）＝2lnx，因为当x＝1时，g′（x）＝0，所以当x∈（0，1），g′（x）＜0，当x∈（1，+∞），g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，又当x∈（0，e）时，g（x）＝2x（lnx﹣1）＜0，当x∈（e，+∞）时，g（x）＝2x（lnx﹣1）＞0，所以0＜x1＜1＜x2＜e．①先证x1+x2＞2，需证x2＞2﹣x1，因为x2＞1，2﹣x1＞1，下面证明g（x1）＝g（x2）＞g（2﹣x1），设t（x）＝g（2﹣x）﹣g（x），x∈（0，1），则f′（x）＝﹣g′（2﹣x）﹣g′（x），t′（x）＝﹣2ln（2﹣x）﹣2lnx＝﹣2ln[（2﹣x）x]＞0，所以t（x）在（0，1）上为增函数，所以t（x）＜t（1）＝g（1）﹣g（1）＝0，所以t（x1）＝g（2﹣x1）﹣g（x1）＜0，则g（2﹣x1）＜g（x1）＝g（x2），又因为g（x）在（1，+∞）单调递增，所以2﹣x1＜x2，即得x1+x2＞2，②下面证明：x1+x2＜e，因为x1∈（0，1），g（x1）＝2x1（lnx1﹣1）＜﹣2x1，当x∈（1，e）时，设h（x）＝g（x）﹣（2x﹣2e）＝2xlnx﹣4x+2e，因为在（1，e）上h′（x）＝2lnx﹣2＜0，所以h（x）在（1，e）上单调递减，所以h（x）＞h（e）＝2e﹣4e+2e＝0，所以h（x2）＞0，g（x2）＞2x2﹣2e，因为g（x1）＝g（x2），所以2x2﹣2e＜g（x2）＝g（x1）＜﹣2x1，即x1+x2＜e，所以2＜x1+x2＜e．。
山东省淄博市高三数学复习阶段性诊断考试 文(淄博二模
高三复习阶段性诊断考试试题文科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}{}{},,,,,,,,,U U a b c d e M a d N a c e M C N ===⋃，则为 A.{},,,a c d eB.{},,a b dC.{},b dD.{}d2.已知i 是虚数单位，则32ii -+等于 A.1i -+B.1i --C.1i +D.1i -3.“a b c d a >>>且是“c bd?”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内填 A.4k > B. k >5 C. k >6 D. k >75.设,a b r r是两个非零向量，则下列命题为真命题的是A.若a b a b a b +=-⊥r r r r r r ，则B.若a b a b a b ⊥+=-r r r r r r ,则C.若a b a b +=-r r r r，则存在实数λ，使得a b λ=r rD. 若存在实数λ，使得a b λ=r r，则a b a b +=-r r r r6.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 A.203B.6C.4D.437.下列函数是偶函数，且在[]0,1上单调递增的是 A.cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.212cos 2y x =- C.2y x =-D.()sin y x π=+8.已知()()()34,1log ,1a a x a x f x x x --<⎧⎪=-∞+∞⎨≥⎪⎩是，上的增函数，那么a 的取值范围是 A.()1,+∞B.(),3-∞C.()1,3D.3,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭9.函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可以是A.()sin f x x x =+B.()cos xf x x =C.()cos f x x x =D.()322f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭10.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1212,,4F F F F =，P 是双曲线右支上的一点，2F P y 与轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，若1PQ =，则双曲线的离心率是 A.3 B.2C.3D.2第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知3sin ,tan 25παπαα⎛⎫∈==⎪⎝⎭，，则________.12.已知等比数列{}3481298n a a a a a a a =⋅⋅⋅=若，则________. 13.若log 41,a b a b =+则的最小值为_________.14.已知x ，y 满足2211,0x y x y z x y y ⎧+≤⎪+≤=-⎨⎪≥⎩则的取值范围是________.15.对任意正整数()[]511,,,1i k k m f m k ma i =+=+∑记，其中表示不大于a 的最大整数，则()2,2f =_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分 16.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()(),2,1,2cos ,//m b c a n A m n =-=u r r u r r且.（I ）求B ；（II ）设函数()211sin 2cos cos sin cos 222f x x B x B B π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，求函数()04f x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，上的取值范围.17.（本题满分12分）某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表：按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高三有10人. （I ）求z 的值；（II ）用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率. 18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，BC=2AD ，PB ⊥AC ，Q 是线段PB 的中点. （I ）求证：AB ⊥平面PAC ； （II ）求证：AQ//平面PCD. 19.（本题满分12分）某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施.已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放最比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量()0m m >万吨.（I ）从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量（万吨）依次构成数列{}n a ，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式； （II ）证明：数列{}10n a m -是等比数列；（III ）若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围. 20.（本题满分13分）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足11222,,,BF F F AB AF A B F =⊥u u u uu r u u u r ，且过三点的圆与直线330x y --=相切.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴相交于点P （m ，0），求实数m 的取值范围.21.（本题满分14分） 已知函数()()1 1.x f x x e =-- （I ）求函数()f x 的最大值；（II ）若()()200x g x f x x λλ≥=+≤时，，求的取值范围.高三复习阶段性诊断考试数学试题参考答案2014.4BDDAC ADCCB 11．34-12．512 13.1 14.⎡⎤⎣⎦ 15.716．解：（Ⅰ）解法一：因为//m n u r r，所以 2cos 2b A c a =- ………………2分由余弦定理得222222b c a b c a bc+-⋅=-，整理得222=+ac a c b -所以222+1cos =22a cb B ac -=……4分 又因为0B π<<，所以3B π=. ………………………………………6分解法二：因为//m n u r r，所以2cos 2b A c a =- ………………………………2分由正弦定理得2sin cos 2sin sin B A C A=- 所以()2sin cos 2sin sin B A A B A =+-整理得2sin cos sin 0A B A -=因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B = ……………………4分 又因为0B π<<，所以3B π=. …………………………………………6分（Ⅱ）211()sin 2cos cos sin cos()222f x x B x B B π=+++11cos 2sin 24224x x +=+-1sin 224x x =+1sin(2)23x π=+ ………………8分 因为 04x π≤≤，则52+336x πππ≤≤， ………………………10分所以 1sin 2+23x π≤≤（）1，即()f x 在[0,]4π上取值范围是11[,]42.……12分17． 解：(Ⅰ)设该校总人数为n 人，由题意，得5010100300n =+，所以2000n = ………………3分 故2000(100300150450600)400z =-++++=． …………5分(Ⅱ)设所抽样本中有m 个女生．因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，所以40010005m=，解得2m =． ………………………7分 也就是抽取了2名女生，3名男生，分别记作12123,,,,A A B B B ，则从中任取2个的所有基本事件为(12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )，(21,A B )，(22,A B )，(23,A B )，(12,B B )，(13,B B )，(23,B B )，共10个； …………………9分 其中至少有1名女生的基本事件有7个： (12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )， (21,A B )，(22,A B )，(23,A B ) …………………………11分 所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为710P =． …………………12分 18． 证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂平面ABCD所以 PA AC ⊥,PA AB ⊥ …………………………………2分 又因为PB AC ⊥，PA AC ⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PA PB P =I , 所以AC ⊥平面PAB …………………………………3分 又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥AB …………………………………4分 因为AC ⊥AB ，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I , 所以 AB ⊥平面PAC ………………………6分 （Ⅱ）方法一:取PC 中点E ,连接QE 、ED . 因为Q 是线段PB 的中点，E 是PC 的中点，所以 QE ∥BC ,12QE BC =………8分 因为 AD ∥BC ,2BC AD =所以 QE ∥AD ,QE AD =所以 四边形AQED 是平行四边形，………………………………9分所以 AQ ∥ED , ………………………………10分 因为AQ ∥ED ,AQ ⊄平面PCD ,ED ⊂平面PCD所以 AQ ∥平面PCD . …………………………………………12分 方法二:取BC 的中点E ,连接AE 、QE . 因为 2BC AD = 所以AD EC = 又 AD ∥EC ，所以 四边形ADCE 是平行四边形， 所以AE ∥CD因为AE ⊄平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,所以AE ∥平面PCD ……………8分 因为Q ，E 分别是线段PB ，BC 的中点，所以QE ∥PC ，所以QE ∥平面PCD ……………………………10分 因为QE AE E =I ，所以平面AEQ ∥平面PCD ……………………11分 因为AQ ⊂平面AEQ ，所以AQ ∥平面PCD . ………………………12分 19．解：（Ⅰ）由已知，1400.9a m =⨯+,10.9n n a a m +=+（1n ≥）.………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：()1100.990.910n n n a m a m a m +-=-=-，所以数列{}10n a m -是以110369a m m -=-为首项、0.9为公比的等比数列.………6分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得：()1103690.9n n a m m --=-⋅ ，即()13690.910n n a m m -=-⋅+ . ……………………8分由()13690.91055n m m --⋅+≤ ，得1155360.9 5.540.9 1.541090.910.910.9n n n n nm ---⨯-⨯≤==+-⨯--恒成立（*n N ∈） …11分 解得： 5.5m ≤；又0m > ，综上，可得(]0,5.5m ∈. ………12分 20．解：（Ⅰ）连接1AF ，因为2AF AB ⊥，211F F BF =，所以211F F AF =，即c a 2=，则)0,21(2a F ，)0,23(a B -. ……………… 3分ABC Rt ∆的外接圆圆心为)0,21(1a F -，半径a B F r ==221………4分由已知圆心到直线的距离为a ，所以aa =--2321，解得2=a ，所以1=c ，3=b ，所求椭圆方程为13422=+y x . ………………6分（Ⅱ）因为)0,1(2F ，设直线l 的方程为：)1(-=x k y ，),,(11y x M ),(22y x N . 联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y ，消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k .…… 7分则2221438k k x x +=+，22121436)2(k k x x k y y +-=-+=+， MN 的中点为)433,434(222kkk k +-+. ………………8分 当0=k 时，MN 为长轴，中点为原点，则0=m . ………………9分 当0≠k 时，MN 垂直平分线方程).434(1433222k k x k k k y +--=++令0=y ，所以43143222+=+=k kk m 因为032>k，所以2344k +>，可得410<<m ， …………12分 综上可得，实数m 的取值范围是).41,0[ ………………13分21．解：（Ⅰ）()xf x xe '=-， ……………………………………1分当0x =时，()0f x '=；当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减；……3分故max ()(0)0f x f ==． ………………………………………………4分（Ⅱ）由2()(1)1x g x x e x λ=-+-，得()(2)xg x x e λ'=--．…………6分 当0λ≤时，由（Ⅰ）得2()()()0g x f x x f x λ=+≤≤成立； …………8分 当102λ<≤时，因为(0,)x ∈+∞时()0g x '<，所以0x ≥时， ()(0)0g x g ≤=成立； ……………………………………………………10分当12λ>时，因为(0,ln 2)x λ∈时()0g x '>，所以()(0)0g x g >=．…13分 综上，知λ的取值范围是1(,]2-∞． ……………………………………14分。
山东省淄博市2020届高三阶段性诊断考试试题数学(含答案)2020.6
A．两条直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
5．已知
a
log4
2,
b
(
1 2
)
1 2
,
c
(
1) 3
1 3
，则
A． a c b
B． a b c
C． c a b
D． c b a
6．在平行四边形 ABCD 中， DE 3EC ，若 AE 交 BD 于点 M ，则 AM
A． AM 1 AB 2 AD 33
B． AM 3 AB 4 AD 77
C． AM 2 AB 1 AD 33
D． AM 2 AB 5 AD 77
高三数学试题 第 1 页（共 6 页）
7．某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、乙、
丙、丁四人对竞选结果做了如下预测：
甲说：丙或丁竞选成功； 乙说：甲和丁均未竞选上；
解可以为
A． 10
B． 3
C． 4.5
D． 5
10．已知动点 P 在双曲线 C :
x2
y2 3
1上，双曲线 C 的左右焦点分别为 F1, F2 ，
下列结论正确的是
A． C 的离心率为 2
B． C 的渐近线方程为 y 3 x 3
C．动点 P 到两条渐近线的距离之积为定值
D．当动点
P
在双曲线 C
的左支上时，
C． (1,0) (0,1) D． (1,0) (1,3)
2．设复数 z 满足 z (1 i) 2 i ，则 z 的虚部是
A． 3 2
B． 3 i 2
C． 3 2
D． 3 i 2
3．在正项等比数列{an}中，若 a3a7 4 ，则 (2)a5
山东省淄博实验中学2021届高三数学下学期第一次(4月)教学诊断考试试题 理(含解析).doc
淄博实验中学高三年级第二学期第一次教学诊断考试试题数学(理科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：的解集为，定义域为，故.考点：集合交集.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2.设复数,则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数除法和加法的法则求解即可得到结果．【详解】∵，∴．故选D．【点睛】本题考查复数的运算，解题的关键是熟记运算的法则，在进行乘除运算时要注意把换为，属于基础题．3.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．【详解】角的终边经过点p（﹣1，），其到原点的距离r 2故cos，sin∴sin cos.故选：B．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．4.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（）附：若随机变量，则，.A. 0.1359B. 0.7282C. 0.8641D.0.93205【答案】D【解析】【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即可得到答案．【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：，故所求的概率为.故选D.【点睛】本题主要考查了几何概型中概率的计算，以及正态分布密度曲线的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的对称性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5.已知函数，则“a =0”是“函数为奇函数的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若，则，则，则，即是奇函数，即充分性成立，若函数是奇函数，则满足，即，则，即必要性成立，则“”是“函数为奇函数”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及充分条件和必要条件的判断，利用函数奇偶性的定义以及对数函数的运算性质是解决本题的关键．6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图知该几何体是棱长为4的正方体截去一个圆柱体，结合图中数据求出它的表面积．【详解】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去一个圆柱体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为．故选：D．【点睛】本题考查了利用三视图求简单组合体的表面积应用问题，是基础题．7.若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据函数的性质得到的取值范围后可得结果．详解：由题意得，∵，∴，∴．∴．故选A．点睛：比较大小时，可根据题意构造出函数，然后根据函数的单调性进行判断．若给出的数不属于同一类型时，可先判断出各数的符号（或各数所在的范围），然后再比较大小．8.若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得，故得平移后的解析式为，根据所的图象关于点对称可求得，从而可得，进而可得所求最小值．【详解】由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度所得图象对应的解析式为，因为平移后的图象关于点对称，所以，故，又，所以．所以，由得，所以当或，即或时，函数取得最小值，且最小值为．故选C．【点睛】本题考查三角函数的性质的综合应用，解题的关键是求出参数的值，容易出现的错误是函数图象平移时弄错平移的方向和平移量，此时需要注意在水平方向上的平移或伸缩只是对变量而言的．9.已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是A. -6B.C. -1D. 6【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，由得，然后平移直线并结合图形找到最优解，进而可得所求最值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由由得．平移直线，由图形可得，当直线经过可行域内的点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最大值．由题意得点坐标为，所以．故选D．【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求．10.等差数列的首项为1，公差不为0. 若成等比数列，则前6项的和为( )A. －24B. －3C. 3D. 8【答案】A【解析】∵等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.a2,a3,a6成等比数列，∴a23=a2⋅a6，∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且a1=1，d≠0，解得d=−2，∴{a n}前6项的和为 .本题选择A选项.点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．11.抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由抛物线定义得所以由得,因此所以，选D.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．12.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将不等式变形后，构造函数g(x)，结合选项对m讨论，利用导数分析函数的单调性及函数值的分布情况，对选项排除验证即可．【详解】原不等式转化为>0在上恒成立，记g(x)＝，由基本初等函数的图象及导数的几何意义可知，y=x+1与y=x-1分别为y=与y=的切线，即,(x=0时等号成立)，（x=1时等号成立），可得(x=0时等号成立)，∴m时，在上恒成立，又在上恒成立，∴在上恒成立，∴m时符合题意，排除A、B；当m>0时，验证C选项是否符合，只需代入m=3，此时g(x)＝，则，此时0，令)在上单调递增，且，∴在上恒成立，即在上单调递增，而0，∴在上恒成立，∴g(x)在上单调递增,又g(0)=0，∴g(x)在上恒成立，即m=3符合题意，排除D,故选C.【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数的单调性、最值问题，考查了分类讨论思想，注意小题小做的技巧，是一道综合题．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
山东省淄博市2023-2024学年高三下学期阶段性诊断检测数学试题答案
参照秘密级管理★启用前2023−2024学年度部分学校高三阶段性诊断检测试题数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B ；2．A ；3．C ；4．A ；5．A ；6．D ；7．B ；8．C ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．AD ；10．BCD ；11．ACD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12；13；14．5． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）解：（1）当1a =时，()2ln f x x x x =+−， ……………2分 且()121f x x x=+−′，()12f ′= ……………………4分 又()12f =， ……………5分 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20x y −=． ……………6分 （2）因为函数在区间[]1,3上是减函数，所以()2121210ax x f x ax x x+−=+−=≤′在区间[]1,3上恒成立． 当且仅当2210ax x +−≤在[]1,3上恒成立， ……………8分 则21122a x x≤−在[]1,3上恒成立， ……………10分 令()2211111()22228h t t t t =−=−−，11,13t x =∈ ，显然()h t 在区间11,32 上单调递减，在区间1,12上单调递增， 则()min1128a h t h≤==−， ……………12分得18a ≤−，实数a 的取值范围为1,8−∞−……………13分 16．（15分）解：（1）由题意得1(12345)35x =++++=， ……………1分 1(1012172026)175y =++++=， ……………2分 2115521529555()164ii i i i i i xy x y y ====−=∑∑∑，，，400.9760.7541r =>≈>， 因此，销量y 与年份代码x 有较强的线性相关关系： ……………6分5125215ˆ45i ii i i x y x ybx x ==−⋅=−∑∑， ……………8分 ˆ17435ay bx =−=−×=， ……………9分 y 关于x 的线性回归方程为ˆ45y x =+. ……………10分 （2）由题意知，该地区100名购车车主中，男车主有70名，女性车主有30名，购置新能源汽车的男性车主有30名，购置新能源汽车的女性车主有15名．“一位车主购得新能源汽车”记作事件A ，“车主是女性”记作事件B ，………12分 一位车主购得新能源汽车，这位车主是女性的概率为：15()1100(|)3015()3100100P AB P B A P A ===+． ……………15分18．（17分）解证：（1）由题意ce a ==2ab =4， …………………1分 又222a b c =+，解得224,1b a ==， …………………3分 所以椭圆的标准方程为2214x y +=． …………………4分（2）①设直线AB 的方程为y kx m =+，设()()1122,, ,A x y B x y联立2244y kx m x y =+ +=，得()()222148410k x kmx m +++−= …………6分 ()()()2222284414116(41)0km k m k m ∆−+×−=−+>(*)()12221228144114km x x k m x x k −+= +− = +…………………7分 ()()()2212121212y kx m kx m k x x km x x m y =++=+++=222414m k k −+12124x x y y = ，222224(1)441414m m k k k−−∴=×++， 整理得241k =，12k ∴=±…………………9分 21212122218414BCy y m m k k km x x x x k k k+==+=+=−−+++ 又 …………………10分 2141044AB BCk k k k kk −=∴=+−= 所以直线AB 和直线BC 的斜率之和为定值0． ……………11分②由①，不妨取12AB k =−，则()212122,21x x m x x m +==− ……………12分 设原点到直线AB 的距离为d ，则211||||2AOB S AB d x x =⋅=−………14分1≤，所以1AOB S ≤ …………………15分 当且仅当21m =时取等号． …………………16分44AOB ABCDS S =≤ 四边形． 即四边形ABCD 的面积的最大值为4． …………………17分 19．（17分）解：（1）当0mod 2x ≡（）成立时，则x 能被2整除，得2,*x n n =∈N ， 即{|2,*}A x x n n ==∈N …………………2分 当3(log )0mod 2x ≡（）成立时，则3log x 能被2整除，得3(log )2,*x n n =∈N ， 即239,*nn x n ==∈N ，则{|9,*}n B x x n ==∈N ………………4分 显然集合A 为全体正偶数组成的集合，集合B 中所有的元素都是奇数，所以A B =∅ 6分 （2）若选择①，将集合A 中的元素按从小到大排列构成的数列{}n a 为等差数列，其通项公式为：2,*n a n n =∈N ； …………………7分 设2)1(12(1)n ann n c na +==+， …………………9分方法一：111(1)1n n c n ++=++， 由二项式定理得：0011222211111(1)C ()C ()C ()C ()1(1)1(1)(2)1!111!2!3!!11112112111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!!n n n n n n n n n c n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n =+=++++−−−=+×+×+×++×−=++×−+×−×−++×−×−××−………… …………………11分11111211(1)(1)(1)2!13!111121(1)(1)(1)!111112(1)(1)(1)(1)!111n c n n n n n n n n n n n n n +=++×−+×−×−++++−+×−×−××−++++×−×−××−++++……… 显然1n n c c +<， …………………13分所以数列22(1),*nan nc n a =+∈N 为单调递增数列， …………………14分同时01232311111(1)C C C C C n n n n nn n n nc n n n n n =+=++++⋅⋅⋅+， 当2k ≥时，1(1)(2)(1)1211C (1)1(1)11111(1)1(1)1k nk k n n n n k n n n n k n n k k n n n n k k k k k k k k−−⋅⋅⋅−+−−−+==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅≤≤=−−⋅⋅⋅−−…………………15分则1111111(1)111332231n n c n n n n=+≤++−+−+⋅⋅⋅+−=−<−（）（）（）， …………………16分且111(1)231c =+=<，所以数列22(1),*nann a +∈N 有界 …………………17分方法二：要证明数列2)1(12(1)n ann n c na +==+单调递增，两边取对数，只需证明数列1ln(1),*n n n+∈N 单调递增， …………………10分令1x n =，构造函数ln(1)(),01x f x x x+=<≤， …………………11分 只需证明函数ln(1)()x f x x+=在区间(0,1]上单调递减， 则211ln(1)1()x x f x x −−++′=， 再设1()1ln(1)1g x x x=−−++，则2211()0(1)1(1)xg x x x x ′=−=−<+++， 所以函数()g x 在区间(0,1]上单调递减，且(0)0g =，所以函数()g x 在区间(0,1]上小于零，从而()f x ′在区间(0,1]上小于零， 所以函数()f x 在区间(0,1]上单调递减， …………………12分 显然1n n c c +<， …………………13分所以数列22(1),*nan nc n a =+∈N 为单调递增数列， …………………14分同时01232311111(1)C C C C C n n n n nn n n nc n n n n n =+=++++⋅⋅⋅+， 当2k ≥时，1(1)(2)(1)1211C (1)1(1)11111(1)1(1)1k nk k n n n n k n n n n k n n k k n n n n k k k k k k k k−−⋅⋅⋅−+−−−+==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅≤≤=−−⋅⋅⋅−−…………………15分则1111111(1)111332231n n c n n n n=+≤++−+−+⋅⋅⋅+−=−<−（）（）（）， …………………16分且111(1)231c =+=<，所以数列22(1),*nan nc n a =+∈N 有界 …………………17分若选择②，将集合B 中的元素按从小到大排列构成的数列{}n b 为等比数列，其通项公式为：9,*n n b n =∈N ； …………………7分设1111,*191n nnii i i c i b ===∈−−=∑∑N ， …………………9分 显然111101911n n n n c c b +++−==>−−， …………………11分 所以数列11,*1nn i i c i b ==∈−∑N 单调递增， …………………12分 其中11111111191899189i i i i i b −−−==≤×−−×+−， 1121111111111(1)1898999nn n i n i i ic b −−===≤=+++⋅⋅⋅+−∑∑， 所以111()119199(1)1186496419nnn ni i c b =−=≤×=−<−−∑， …………………16分 所以数列11,*1nn i ic i b ==∈−∑N 有界. …………………17分。
【2014淄博二模】山东省淄博市2014届高三复习阶段性诊断考试 理科数学试题 PDF版含答案
1 3 1 cos 2 x 3 sin 2 x 4 2 2 4 1 3 1 sin 2 x cos 2 x sin(2 x ) 2 3 4 4
因为 0 x 所以 ………………8 分
4
，则
3
2 x+
因为 0 A ，所以 sin A 0 ，所以 cos B 又因为 0 B ，所以 B （Ⅱ） f ( x )
3
1 2
……………………4 分
.
…………………………………………6 分
1 1 sin 2 x cos B cos 2 x sin B cos( B ) 2 2 2
本题满分 12 分）
证明：（Ⅰ）因为 PA 平面 ABCD ， AC , AB 平面 ABCD 所以 PA AC , PA AB …………………………………2 分
又因为 PB AC ， PA AC ， PA, PB 平面 PAB ， PA PB P , 所以 AC 平面 PAB 又因为 AC 平面 PAB ， AB 平面 PAB ， 所以 AC AB …………………………………4 分 …………………………………3 分
因为 m // n ，所以 2b cos A 2c a 由正弦定理得 2sin B cos A 2sin C sin A 所以 2sin B cos A 2sin A B sin A 整理得 2sin A cos B
容量为 5 的样本，所以 的所有基本事件为( A1 , A2 )， ( A1 , B1 )， ( A1 , B2 )， ( A1 , B3 )， ( A2 , B1 )， ( A2 , B2 )， ( A2 , B3 )，( B1 , B2 )，( B1 , B3 )，( B2 , B3 )，共 10 个； ( A1 , B3 )， ( A2 , B1 )，( A2 , B2 )，( A2 , B3 ) 所以从中任取 2 人，至少有 1 名女生的概率为 P 17． （理科 本题满分 12 分） ………………………………1 分 …………………9 分 其中至少有 1 名女生的基本事件有 7 个： ( A1 , A2 )，( A1 , B1 )，( A1 , B2 )， …………………………11 分
3月份淄博市阶段检测数学答案
| AB |= 2 2 ，
所以 ∆ABP= 的面积 S 12= | AB | d1 2d1 ． 因为 d1 ∈[ 2,3 2] ，所以 S ∈[2, 6] ，即 ∆ABP 面积的取值范围是[2, 6] ．
高三数学试题 第 1 页（共 12 页）
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7.B.【解析】 函数 g(x=) f (x) + x + a 存在 2 个零点，即关于 x 的方程 f (x) =−x − a 有 2 个不同的实根，即函数
……………………………12 分
19．解：(1)由题设知，平面 CMD ⊥平面 ABCD 面 CMD 面 ABCD=CD ．
因为 BC ⊥ CD ， BC ⊂ 平面 ABCD ，所以 BC ⊥平面 CMD ，
故 BC ⊥ DM ．
……………………………………2 分
因为 M 为 C�D 上异于 C ， D 的点，且 DC 为直径，所以 DM ⊥ CM
8b
23b
23b−6 × 1 23b
=2 × 2−3
=1 4
，当且仅当 23b−6
=
1 23b
，即 b = 1时等号成立．
15. 3 −1， 2 【解析】 设椭圆的右焦点为 F (c, 0) ，双曲线 N 的渐近线与椭圆 M 在第一象限内的交点为 A ，由
高三数学试题 第 4 页（共 12 页）
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又 BC CM = C ， BC ⊂ 面 BCM ， CM ⊂ 面 BCM ，
所以 DM ⊥平面 BMC ．
……………………………4 分
而 DM ⊂ 平面 AMD ，故平面 AMD ⊥平面 BMC ．………………………5 分
(2)以 D 为坐标原点， DA 的方向为 x 轴正
2023-2024学年山东省淄博实验中学、淄博齐盛高中高三下学期3月阶段性诊断检测数学试题+答案解析
2023-2024学年山东省淄博实验中学、淄博齐盛高中高三下学期3月阶段性诊断检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则()A. B. C. D.2.复数z满足，则()A. B. C. D.3.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为()A. B. C. D.4.现从2个男生2个女生共4人中任意选出2人参加巴蜀中学高三年级的百日誓师大会，则选出的2人中一个是男生另一个是女生的概率为()A. B. C. D.5.已知等比数列的前n项和为，若，则()A.127B.254C.510D.2556.已知，则()A. B. C. D.7.已知抛物线的焦点为F，抛物线上两点A､在第一象限，且满足，则直线AB的斜率为()A. B. C.1 D.8.已知函数的图象恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列结论正确的是()A.数据64，91，72，75，85，76，78，86，79，92的第60百分位数为79B.若随机变量服从二项分布，则C.若随机变量服从正态分布，，则D.某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人10.已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是PC，AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则以下结论正确的是()A.异面直线EF、PD所成角的大小为B.直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为C.周长的最小值为D.存在点M使得平面MEF11.已知曲线C：，为C上一点，则()A.的取值范围为B.的取值范围为C.不存在点，使得D.的取值范围为12.已知且，，则下列说法中错误的是()A.B.若关于b的方程有且仅有一个解，则C.若关于b的方程有两个不同解，，则D.当时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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部分学校高三阶段性诊断考试试题
数学参考答案
一、单项选择题：DCCB
ABDC
二、多项选择题：9．BC；10．AC；11．AD；12．ACD；
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．− 3 ；14． 7 ；15． 4 3 ；16．1，[ 2π , 7π ]（本题第一空 2 分，第二空 3 分）．
所以 AMNP 是平行四边形，………2 分
所以 MN //AP ，
因为 AP 平面 ACC1A1 ，
所以直线 MN // 平面 ACC1A1 ．……4 分
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初高中数学学习资料的店
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（2）连结 CM ，由已知可得，
MB = BC = CM ，所以 MBC 为等边三角形，
3 ，得 1 ac sin B = 22
3 ，且 B = 60 ，得 ac = 2 ；………6 分 2
由③ a = 2 或 1 ，不仿取 a = 2 ，联立 ac = 2 ，得 a = 2，c =1；………8 分
c
2
c
余弦定理： b2 = a2 + c2 − ac = 4 +1− 2 = 3 ，得 b = 3 ，④成立；……10 分
…………………………………11 分
所以定圆 C 的方程是 x2 + y2 = 4 5
3
， C1 −
3,1, 22
3 ， B1 −
3,3, 22
3 ，
…………………………………6 分
所以 M
3 2
,
1 2
,
0
，
N
−
3 ,1, 2
3 ，
( ) 所以 MA1 = 0,0,
3
，
MN
=
−
3, 1 , 2
3
，
设平面 A1MN 的法向量为 m = ( x, y, z) ，
所以 sin = 5 . 13
………………………………12 分
21．（12 分）解：（1）依题意可得 e = c = 3 ， a2
……………………1 分
设 F1PF2 = ，由余弦定理可知： 4c2 = PF1 2 + PF2 2 − 2 PF1 PF2 cos ，
所以1+ cos = 2b2 (
得 b1 + b2 = a3 − a1 = 42 ， b3 + b4 = a5 − a3 = 34 ；
………………2 分
设数列{bn}的公差为 d ， (b3 + b4 ) − (b1 + b2 ) = 4d = −8 ，
即得 d = −2,b1 = 22 ，
………………………………………6 分
数列{bn}的通项公式为 bn = − 2n + 24 ； …………………………………7 分
所以选用 20 g / 次剂量组方案，参与该试验的1000 人比此剂量只接种一次成功人数
平均提高 273人．
………………………………12 分
20．（12 分）解：（1）取 A1C1 的中点 P ，连结 AP, NP ，
所以
PN //A1B1
，且
PN
=
1 2
A1B1 ，
所以 PN //AM ，且 PN = AM ，
（2）由于 b1 = a2 − a1,b2 = a3 − a2 ,b3 = a4 − a3,b4 = a5 − a4 ,，bn−1 = an − an−1 ，
累加可得：
an = (an − an−1) + (an−1 − an−2 ) ++ (a2 − a1) + a1 = bn−1 + bn−2 ++ b1 + a1
证明：由②得 b2 = a2 + c2 − ac ，得 cos B = 1 ，即 B = 60 ； 2
………4 分
由④ b = 3 ，且 b2 = a2 + c2 − ac ，得 a2 + c2 − ac = 3 ；
………6 分
由③ a = 2 或 1 ，不仿取 a = 2 ，代入 a2 + c2 − ac = 3 ，
从而 (a + c)2 = 3 + 6 = 9 a + c = 3 ， (a − c)2 = 3 − 2 = 1 a − c = 1 ；
得
a c
= =
2 1
或
a c
=1 =2
，得
a c
=
2
或
1 2
，③成立；
…………10 分
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初高中数学学习资料的店
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方案三：如果①③④，则②；（错．误．选．择．，．零．分．）
c
2
c
即 3c2 = 1，得 c = 1, a = 2 ； ………………………………………………8 分
第2页（共9页）
初高中数学学习资料的店
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从而得 1 ac sin B = 2
3 2
， SABC
=
3 ，①成立； 2
………………10 分
18．解：（1）由定义知： b1 = a2 − a1,b2 = a3 − a2 ,b3 = a4 − a3,b4 = a5 − a4 ；
从而
cos
B
=
5c2 − 4c2
3
；
同时 sin2 B + cos2 B = 1 ，得 3c4 −10c2 + 7 = 0 ，得 c = 1或 7 ， 3
当c
=
1时，得
a c
=2 ，由余弦定理得： b2
=1
=
a2
+ c2
− 2ac cos B ，且 b
=
3 ，得
cos B = 1 ，即 B = 60 ；即 b2 = a2 + c2 − ac 成立，②成立； 2
分
y1y2 = (kx1 + m)(kx2 + m) = k2x1x2 + km(x1 + x2 ) + m2
= k 2 4m2 − 4 + km −8km + m2 = m2 − 4k 2
4k 2 +1
4k 2 +1
4k 2 +1
OA OB
=
x1x2
+
y1 y2
=
4m2 4k 2
−4 +1
+
当c =
7
时，得
a
=
2
7 3 ，由余弦定理得：b2 = a2 + c2 − 2ac cos B ，且 b =
3，
3
c =
7 3
得 cos B = 13 ，即 B = 60 不成立；即 b2 = a2 + c2 − ac 不成立，②不成立； 14
方案四：如果②③④，则①； …………………………………………………2 分
1000
1000
由于三次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等，
所以 (1− p)3 = 0.027 ，得 p = 0.7 ，
………………………………7 分
设参与试验的1000 人此剂量只接种一次成功的人数为 X ，
显然 X B(1000,0.7) ， EX =10000.7 = 700
参与试验的1000 人此剂量只接种一次成功的人数平均为 700 人，…………10 分 且 973− 700 = 273 ，
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初高中数学学习资料的店
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………………………………4 分
所以有 99.9% 的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关…………5 分
（2）假设 20 g / 次剂量组临床试验接种一次成功的概率为 p ，
由数据，三次接种成功的概率为 973 = 0.973 ，不成功的概率为 27 = 0.027 ，
5
5
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初高中数学学习资料的店
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当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y = kx + m , A(x1, y1), B(x2, y2 ) ,
m
原点 O 到直线 l 的距离为 d ,所以
=d，
1+ k2
整理得 m2 = d 2 (k 2 +1) ，
………………………………7 分
证明：由① SABC =
3 ，得 1 ac sin B =
2
2
3， 2
由③ a = 2 或 1 ，不仿取 a = 2 ，得 c2 sin B = 3 ，即 sin B = 3 ；
c
2
c
2
2c2
由④ b = 3 ，且 b2 = a2 + c2 − 2ac cos B ， a = 2 ，得 5c2 − 4c2 cos B = 3 ， c
所以方案 20 g / 次剂量组接种效果好；
………………………………2 分
由公式
k=
n(ad − bc)2
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
= 2000 (900 27 −100 973)2 ， 1000 1000 1873 127
44.806 10.828
………………………………4 分
解得 a = 2,b =1,c = 3 ，
………………………………………4 分
所以椭圆方程为 x2 + y2 = 1 4
……………………………………………5 分