淄博市部分学校高三阶段性诊断考试数学试题答案

分
y1y2 = (kx1 + m)(kx2 + m) = k2x1x2 + km(x1 + x2 ) + m2
= k 2 4m2 − 4 + km −8km + m2 = m2 − 4k 2
4k 2 +1
4k 2 +1
4k 2 +1
OA OB
=
x1x2
+
y1 y2
=
4m2 4k 2
−4 +1
+
………………7 分
所以
MA1
MN
m m
= =
0
，即
0
3z = 0
−
3x + 1 2
y
+
，取 x = 3z = 0
3 ，解得 y = 6, z = 0 ，
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( ) 所以 m = 3,6,0 ，
………………………………9 分
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( ) CA =
所以 sin = 5 . 13
………………………………12 分
21．（12 分）解：（1）依题意可得 e = c = 3 ， a2
……………………1 分
设 F1PF2 = ，由余弦定理可知： 4c2 = PF1 2 + PF2 2 − 2 PF1 PF2 cos ，
所以1+ cos = 2b2 (
3 ，得 1 ac sin B = 22
3 ，且 B = 60 ，得 ac = 2 ；………6 分 2
由③ a = 2 或 1 ，不仿取 a = 2 ，联立 ac = 2 ，得 a = 2，c =1；………8 分
c
2
c
余弦定理： b2 = a2 + c2 − ac = 4 +1− 2 = 3 ，得 b = 3 ，④成立；……10 分
解得 a = 2,b =1,c = 3 ，
………………………………………4 分
所以椭圆方程为 x2 + y2 = 1 4
……………………………………………5 分
（2）当直线 l 斜率不存在时，直线 l 的方程为 x = n ，
所以 n2 + 4n2 = 4 ， n2 = 4 ，此时 d = 2 5 ，………………………………6 分
=
(n
−1){22
+ [−2(n 2
−1)
+
24]}
+
25
，
= −n2 + 25n − 24 + 25
= −n2 + 25n +1
…………………………………10 分
由于二次函数 y = −x2 + 25x +1在 x = 25 时取得最大值， 2
所以数列{an}的最大值为 a12 = a13 = 157 ．………………………………12 分 19．（12 分）解：（1）由于两种接种方案都是1000 人接受临床试验，接种成功人数 10 g / 次剂量组 900 人， 20 g / 次剂量组 973 人， 973 900 ，
所以 AMNP 是平行四边形，………2 分
所以 MN //AP ，
因为 AP 平面 ACC1A1 ，
所以直线 MN // 平面 ACC1A1 ．……4 分
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（2）连结 CM ，由已知可得，
MB = BC = CM ，所以 MBC 为等边三角形，
所以方案 20 g / 次剂量组接种效果好；
………………………………2 分
由公式
k=
n(ad − bc)2
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
= 2000 (900 27 −100 973)2 ， 1000 1000 1873 127
44.806 10.828
………………………………4 分
3
， C1 −
3,1, 22
3 ， B1 −
3,3, 22
3 ，
…………………………………6 分
所以 M
3 2
,
1 2
,
0
，
N
−
3 ,1, 2
3 ，
( ) 所以 MA1 = 0,0,
3
，
MN
=
−
3, 1 , 2
3
，
设平面 A1MN 的法向量为 m = ( x, y, z) ，
c
2
c
即 3c2 = 1，得 c = 1, a = 2 ； ………………………………………………8 分
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从而得 1 ac sin B = 2
3 2
， SABC
=
3 ，①成立； 2
………………10 分
18．解：（1）由定义知： b1 = a2 − a1,b2 = a3 − a2 ,b3 = a4 − a3,b4 = a5 − a4 ；
m2 − 4k 2 4k 2 +1
=
5m2 − 4k 2 − 4 4k 2 +1
=
0，
( ) 5m2 − 4k2 − 4 = 0 ， 5d 2 1+ k 2 − 4k 2 − 4 = 0 ，恒成立，
( )( ) 即 5d 2 − 4 k 2 +1 = 0 恒成立，
所以 5d 2 − 4 = 0 ，所以 d = 2 5 ， 5
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………………………………4 分
所以有 99.9% 的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关…………5 分
（2）假设 20 g / 次剂量组临床试验接种一次成功的概率为 p ，
由数据，三次接种成功的概率为 973 = 0.973 ，不成功的概率为 27 = 0.027 ，
从而
cos
B
=
5c2 − 4c2
3
；
同时 sin2 B + cos2 B = 1 ，得 3c4 −10c2 + 7 = 0 ，得 c = 1或 7 ， 3
当c
=
1时，得
a c
=2 ，由余弦定理得： b2
=1
=
a2
+ c2
− 2ac cos B ，且 b
=
3 ，得
cos B = 1 ，即 B = 60 ；即 b2 = a2 + c2 − ac 成立，②成立； 2
得 b1 + b2 = a3 − a1 = 42 ， b3 + b4 = a5 − a3 = 34 ；
………………2 分
设数列{bn}的公差为 d ， (b3 + b4 ) − (b1 + b2 ) = 4d = −8 ，
即得 d = −2,b1 = 22 ，
………………………………………6 分
数列{bn}的通项公式为 bn = − 2n + 24 ； …………………………………7 分
5
5
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当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y = kx + m , A(x1, y1), B(x2, y2 ) ,
m
原点 O 到直线 l 的距离为 d ,所以
=d，
1+ k2
整理得 m2 = d 2 (k 2 +1) ，
………………………………7 分
所以选用 20 g / 次剂量组方案，参与该试验的1000 人比此剂量只接种一次成功人数
平均提高 273人．
………………………………12 分
20．（12 分）解：（1）取 A1C1 的中点 P ，连结 AP, NP ，
所以
PN //A1B1
，且
PN
=
1 2
A1B1 ，
所以 PN //AM ，且 PN = AM ，
所以 ABC = 60 ， BAC = 30 ，所以 ACB = 90 ，
即 BC ⊥ AC ，
…………………………………5 分
所以 AC = 3 ，据已知可以建立如图所示的空间直角坐标系，相关点的坐标如下：
( ) A
3, 0, 0
， A1
3,1, 22
3 ，
( ) C (0,0,0) ， B (0,1,0)， D1 0,0,
由
x2 4
+
y2
= 1，可得 (4k 2
+ 1) x 2
+ 8kmx + 4m2
−4
=
0，
y = kx + m
= (8km)2 − 4(4k 2 +1)(4m2 − 4) = 16(4k 2 − m2 +1) 0 ,
x1
+
x2
=
−
8km 4k 2 +1,
x1x2
=
4m2 4k 2
−4 +1
…………………………………………9
当c =
7
时，得
a
=
2
7 3 ，由余弦定理得：b2 = a2 + c2 − 2ac cos B ，且 b =
3，
3
c =
7 3
得 cos B = 13 ，即 B = 60 不成立；即 b2 = a2 + c2 − ac 不成立，②不成立； 14
方案四：如果②③④，则①； …………………………………………………2 分
方案二：如果①②④，则③；
……………………………………2 分
证明：由②得 b2 = a2 + c2 − ac ，得 cos B = 1 ，即 B = 60 ；…………4 分 2
由① SABC =
3 ，得 1 ac sin B = 22
3 ，且 B = 60 ，得 ac = 2 ；……6 分 2
由④ b = 3 ，且 b2 = a2 + c2 − ac ，得 a2 + c2 − ac = 3 ； …………8 分
从而 (a + c)2 = 3 + 6 = 9 a + c = 3 ， (a − c)2 = 3 − 2 = 1 a − c = 1 ；
得
a c
= =
2 1
或
a c
=1 =2
，得
a c
=
2
或
1 2
，③成立；
…………10 分
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方案三：如果①③④，则②；（错．误．选．择．，．零．分．）
3, 0, 0 ， CC1 = −
3,1, 22
3
设平面 ACC1A1 的一个法向量为 n = ( x1, y1, z1 ) ，
( ) 同理可求， n = 0, 6, − 3 ，
………………………………10 分
设平面 A1MN 与平面 ACC1A1 所成二面角的大小为 ，
所以 cos = m n = 36 = 12 ， m m 39 13
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部分学校高三阶段性诊断考试试题
数学参考答案
一、单项选择题：DCCB
ABDC
二、多项选择题：9．BC；10．AC；11．AD；12．ACD；
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．− 3 ；14． 7 ；15． 4 3 ；16．1，[ 2π , 7π ]（本题第一空 2 分，第二空 3 分）．
1000
1000
由于三次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等，
所以 (1− p)3 = 0.027 ，得 p = 0.7 ，
………………………………7 分
设参与试验的1000 人此剂量只接种一次成功的人数为 X ，
显然 X B(1000,0.7) ， EX =10000.7 = 700
参与试验的1000 人此剂量只接种一次成功的人数平均为 700 人，…………10 分 且 973− 700 = 273 ，
2
)2 2b2 = 2b2 ，
PF1 PF2 PF1 + PF2
a2
当且仅当 PF1 = PF2 （即 P 为椭圆短轴端点）时等号成立，且 F1PF2 取最大值；
…………………3 分
此时
PF1F2
的面积是
1 2
2c
b
=
bc
=
3，
同时 a2 = b2 + c2 ，联立 bc = 3 和 c = 3 a2
证明：由① SABC =
3 ，得 1 ac sin B =
2
2
3， 2
由③ a = 2 或 1 ，不仿取 a = 2 ，得 c2 sin B = 3 ，即 sin B = 3 ；
c
2
c
2
2c2
由④ b = 3 ，且 b2 = a2 + c2 − 2ac cos B ， a = 2 ，得 5c2 − 4c2 cos B = 3 ， c
证明：由②得 b2 = a2 + c2 − ac ，得 cos B = 1 ，即 B = 60 ； 2
………4 分
由④ b = 3 ，且 b2 = a2 + c2 − ac ，得 a2 + c2 − ac = 3 ；
………6 分
由③ a = 2 或 1 ，不仿取 a = 2 ，代入 a2 + c2 − ac = 3 ，
…………………………………11 分
所以定圆 C 的方程是 x2 + y2 = 4 5
5
5
3
36
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）解：
方案一：如果①②③，则④；
……………………………………2 分
证明：由②得 b2 = a2 + c2 − ac ，得 cos B = 1 ，即 B = 60 ；…………4 分 2
由① SABC =
（2）由于 b1 = a2 − a1,b2 = a3 − a2 ,b3 = a4 − a3,b4 = a5 − a4 ,，bn−1 = an − an−1 ，
累加可得：
an = (an − an−1) + (an−1 − an−2 ) ++ (a2 − a1) + a1 = bn−1 + bn−2 ++ b1 + a1