超静定问题解法例说

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超静定问题解法例说

[浙江永嘉县上塘中学 35100 钱呈祥]

物理习题中，未知量的个数与独立方程的数目一致时，称为静定问题。即能够由独立方程的求解，确定该系统中所有的未知量；若未知量个数大于独立平衡方程数目，则称为超静定问题。对于超静定问题，常需根据题目的相关材料，建立补充方程（辅助方程），再与独立方程联立，才能求解，一般难度较大。超静定问题，实则为补充方程如何建立的问题。

例一：如图1所示，刚性板由三根相同的弹簧悬挂，其重量为G ，重心在O 处，试求三根弹簧的受力。

[解析]AB 板受力如图，由∑=0F ，得F 1+F 2+F 3=G （1）

由∑=0M ，得F 1〃223l

F a

G l

?=?+ （2）

据平衡条件只有这两个方程，而未知量有三个，因此它属于超静定方程。由变形情况的几何关系有：△l 1+△l 3=2△l 2 由胡克定律，上式即化为23

1

2F k F k F =+ （3）

联合（1）（2）（3），得

F 1=

G （l a

-31），F 2=3G ，F 3=G （l a

+31）

评论：该超静定问题的求解，除了建立原力系的平衡方程

外，关键在于找出变形的几何关系，再代入胡克定律，以建立

补充方程。在进行变形分析时，变形与受力的假设方向须保持一致。

例二：已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，求：（1）在距地面高h 的轨道上的人造地球卫星的速度；（2）该卫星的周期。

[解析]地球对人造卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，可列出独立方程：)()(2

2h R V m h R GMm +=+ （1），式中M 和V

均为未知量。可列出补

-2- 充方程：

g R GM mg R GMm ==22,即 （2）联合（1）、（2）式可得 V 2=g h R R

h R V h R T h R g R V h R g R h R GM ++=+=+=+?=+)(2)(2,,2ππ从而 评论：在应用万有引力定律解题时，常已知星球表面引力加速度而不知星球质量或者已知星球质量而不知星球表面引力加速度，此时均可用补充方程G g R M =2

。 例三：把一个标有“10V ，2W ”的纯电阻用电器甲，接入一个电动势ε恒定的电源时，甲实际消耗的功率为2W ；把一个“10V ，5W ”的纯电阻用电器乙接入同一电源时，乙实际消耗的功率是否有可能小于2W ？如认为不可能，请说明理由；如认为可能，请找出条件。设用电器的电阻值不随温度改变。

[解析]用电器甲的电阻R 1=)(502

102

121欧==P U ，用电器乙的电阻R 2=)(205102222欧==P U ，据题意知：P 1=50)50(2,)(2121?+=?+r

R r R εε即可化为, r 2.010+=ε （1）

，这一个独立方程包含两个未知数，则既解不出电源电动势ε，也解不出电源内阻r ，属于超静定方程。可以用自洽的方法，假设乙用电器实际消耗功率可能小于2W ，建立一个补充方程：)(2)('2222W R r R P

（2）联合方程（1）和不等式（2）可解得r>1010（伏），由此可见，用电器乙实际功率小于2W 是可能的，条件是电源电动势ε>（10+210）伏，内阻r>1010欧，且同时满足ε=10+0.2r 的关系。

评论：该超静定问题是用全电路欧姆定律及补充方程解得的，此外还可以用U-I 图线法讨论。