超静定问题解法例说
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05-扭转超静定问题及其解法 课件在线观看
扭转超静定问题的解法
♦扭转超静定问题的解法
扭转超静定问题
求解方法 解除多余约束法
♦扭转超静定问题的解法，
例1.两端固定的圆截面等直杆48 ,在截面C处受 扭 转力偶矩皿作用，如图所示。已知杆的扭转刚 度 为G/p。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的 扭 转角。
♦扭转超静定问题的解法
解：受力分析可知，圆杆有二个未知约束力偶、，MB，但只有一个独立的 静力平衡方程：
基本静定系应满足如下的的变形相容条件:
^ 一如 BMe
MB
♦扭转超静定问题的解法
物理方程代入变形相容方程中:
_ Mea =瓦瓦 MBl
补充方程
♦扭转超静定问题的解法
由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶MB为:
M B
Mea
=~f~
(-。
另一约束力偶M4可由平衡方程求得为：
♦扭转超静定问题的解法
根据截面法，圆杆刀。段横截面上的扭矩为
E MX = 0, MA - Me + MB = 0
一次超静定
♦扭转超静定问题的解法， 亠
解除圆杆8端约束，代以多余约束力偶的，得到基本静定系
♦扭转超静定问题的解法
基本静定系
1. 静定结构 2. 作用有初始荷载和多余未知约束力 3. 在多余约束处的位移需满足变形相容条件才等价 于原超静定结构
从而有
、 a - Me1aGbT/z
♦扭转超静定问题的解法
扭转超静定问题的一般解法
1. 受力分析，列出静力平衡方程，确定超静定次 数；
2. 解除多余约束,施加多余未知力,得到基本静定 系；
3. 在多余约束处列出变形相容方程，物理方程代 入，得到补充方程；
___ 4. 联立求解得到所有约束反力。
♦扭转超静定问题的解法
扭转超静定问题
求解方法 解除多余约束法
♦扭转超静定问题的解法，
例1.两端固定的圆截面等直杆48 ,在截面C处受 扭 转力偶矩皿作用，如图所示。已知杆的扭转刚 度 为G/p。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的 扭 转角。
♦扭转超静定问题的解法
解：受力分析可知，圆杆有二个未知约束力偶、，MB，但只有一个独立的 静力平衡方程：
基本静定系应满足如下的的变形相容条件:
^ 一如 BMe
MB
♦扭转超静定问题的解法
物理方程代入变形相容方程中:
_ Mea =瓦瓦 MBl
补充方程
♦扭转超静定问题的解法
由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶MB为:
M B
Mea
=~f~
(-。
另一约束力偶M4可由平衡方程求得为：
♦扭转超静定问题的解法
根据截面法，圆杆刀。段横截面上的扭矩为
E MX = 0, MA - Me + MB = 0
一次超静定
♦扭转超静定问题的解法， 亠
解除圆杆8端约束，代以多余约束力偶的，得到基本静定系
♦扭转超静定问题的解法
基本静定系
1. 静定结构 2. 作用有初始荷载和多余未知约束力 3. 在多余约束处的位移需满足变形相容条件才等价 于原超静定结构
从而有
、 a - Me1aGbT/z
♦扭转超静定问题的解法
扭转超静定问题的一般解法
1. 受力分析，列出静力平衡方程，确定超静定次 数；
2. 解除多余约束,施加多余未知力,得到基本静定 系；
3. 在多余约束处列出变形相容方程，物理方程代 入，得到补充方程；
___ 4. 联立求解得到所有约束反力。
超静定问题解法例说
超静定问题解法例说-1-超静定问题解法例说[浙江永嘉县上塘中学 35100 钱呈祥]物理习题中，未知量的个数与独⽴⽅程的数⽬⼀致时，称为静定问题。
即能够由独⽴⽅程的求解，确定该系统中所有的未知量；若未知量个数⼤于独⽴平衡⽅程数⽬，则称为超静定问题。
对于超静定问题，常需根据题⽬的相关材料，建⽴补充⽅程（辅助⽅程），再与独⽴⽅程联⽴，才能求解，⼀般难度较⼤。
超静定问题，实则为补充⽅程如何建⽴的问题。
例⼀：如图1所⽰，刚性板由三根相同的弹簧悬挂，其重量为G ，重⼼在O 处，试求三根弹簧的受⼒。
[解析]AB 板受⼒如图，由∑=0F ，得F 1+F 2+F 3=G （1）由∑=0M ，得F 1〃223lF aG l=+ （2）据平衡条件只有这两个⽅程，⽽未知量有三个，因此它属于超静定⽅程。
由变形情况的⼏何关系有：△l 1+△l 3=2△l 2 由胡克定律，上式即化为2312F k F k F =+ （3）联合（1）（2）（3），得F 1=G （l a-31），F 2=3G ，F 3=G （l a+31）评论：该超静定问题的求解，除了建⽴原⼒系的平衡⽅程外，关键在于找出变形的⼏何关系，再代⼊胡克定律，以建⽴补充⽅程。
在进⾏变形分析时，变形与受⼒的假设⽅向须保持⼀致。
例⼆：已知地球半径为R ，地球表⾯的重⼒加速度为g ，求：（1）在距地⾯⾼h 的轨道上的⼈造地球卫星的速度；（2）该卫星的周期。
[解析]地球对⼈造卫星的万有引⼒提供卫星做圆周运动的向⼼⼒，可列出独⽴⽅程：)()(22h R V m h R GMm +=+ （1），式中M 和V均为未知量。
可列出补-2- 充⽅程：g R GM mg R GMm ==22,即（2）联合（1）、（2）式可得 V 2=g h R Rh R V h R T h R g R V h R g R h R GM ++=+=+=+?=+)(2)(2,,2ππ从⽽评论：在应⽤万有引⼒定律解题时，常已知星球表⾯引⼒加速度⽽不知星球质量或者已知星球质量⽽不知星球表⾯引⼒加速度，此时均可⽤补充⽅程G g R M =2。
材料力学简单的超静定问题
1.94
37
小 结
1、明确超静定、超静定次数、多余约束、 多余未知力、基本静定系等基本概念。 2、能判断超静定次数。 3、理解超静定问题的基本解法为考虑静 力平衡、变形相容和物理关系三个方面。 4、对于二次或二次以下的超静定问题， 能合理地选取基本静定系，正确地列出 变形几何方程。 5、初步学习利用对称性降低超静定次数、 选取基本静定系的技巧。
超静定次数： 未知力个数与独立平衡方程数之差，也等于多 余约束数。由于超静定结构能有效降低结构的内力 及变形，在工程上（如桥梁等）应用非常广泛。
4
二、求解超静定问题的基本方法
1.静定与超静定的辩证关系 多余约束的两种作用： 增加了未知力个数，同时增加对变形的限制与约束 前者使问题变为不可解；后者使问题变为可解。 2.超静定的处理方法 平衡方程
解除B端多余约束，代之以约束反力 R B
8
§6-2
拉压超静定问题
A
E1 A1
（2）建立变形协调方程。
AB BF BB 0
（3）物理方程。
F 1 BF AC () E1 A1 BB AB RB ( 1 2 )() E1 A1 E2 A2
目录
A
B FBy
C
(d)
3 FAy F ( ) 4
33
§6-4 简单超静定梁
例 8 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度 均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。 解 从B 处拆开，使超静定结构变 成两个悬臂梁。 变形协调方程为： yB1 yB 2
(3)代入物理关系，建立补充方程
②
2
A
3
超静定问题PPT课件
FN1 cos FN2 cos FN3 F 0
FN1
FN 3
EA cos2
E3 A3
FN3 1 2
F EA
cos2
E3 A3
FN1
FN 2
1 2cos
F
E
E3 A3
A cos2
第13页/共59页
B 1
1
Δl3
D
3
C 2
A
3 F2
A
Δl1A' NhomakorabeaFA A C
F
B FB
14
b
a
l
第六章 简单的超静定问题
例题2 求图a所示等直杆AB上,下端的约束力， 并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。
解: 1. 列平衡方程 有两个未知约束力FA , FB(见图a)，但只有一个独 立的平衡方程
FA+FB-F=0 为一次超静定问题。
第14页/共59页
2. 取固定端B为“多余”约束。相应 的相当系统如图b，它应满足相容条件 ΔBF+ΔBB=0，参见图c，d。
MA 0
F a F 2a 0
A
B
P
FN1 a
A
FN2 a
FN3 B
P
第17页/共59页
变形协调方程：
ΔL 1
L1 L3 2(L2 L3 ) （2）
物理方程：
l1
FN 1l EA
l2
FN 2l EA
l3
FN 3l EA
（3）
联解（1）（2）（3）式得：
F 5P 6
F
2
1 3
P
F
3
1 6
D
由位移相容条
简单的超静定问题 超静定问题及其解法
( wB ) FBy
C C F F
8FBy a 3 3EI
(b) (b)
B B
所以
3 14 Fa 3 8FBy a 0 3EI 3EI
MA
MA MA
A A
B B (c) (c) B B B (d) (d) FBy FBy
FA y
A A A
C C
7 FBy F 4
4）由整体平衡条件求其他约束反力
第六章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法
§6-2 拉压超静定问题
§6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
§6-1 超静定问题及其解法
超静定问题与超静定结构：未知力个数多于独立 的平衡方程数。 超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差。 变形几何相容方程：有多余约束的存在，杆件（或 结构）的变形受到多于静定结构的附加限制。根据 变形的几何相容条件，建立附加的方程。
7-6
目录
采用超静定结构
MA MA FA y FA y
A A 2a 2a (a) (a) A A
B B a a
F F
C C
例 求梁的支反力，梁的抗弯 刚度为EI。 解：
1）判定超静定次数
(b) (b)
B B F F FBy FBy B B B
C C
2）解除多余约束，建立相当系统 3）进行变形比较，列出变形协调 条件
FN1 FN 2 33.3kN
FN 2 2 33.3MPa A2
FN 1 1 66.7MPa A1
例：设温度变化为t，1、2杆的膨胀系数为1， 3杆
的膨胀系数为3，由温差引起的变形为l= •t •l,
求各杆温度应力。
材料力学超静定全版
F3 b 3 EA
4. 变形几何协调条件
F1 A
F2
③
2 2 1
3 31
B
C
D F
位移法 1. 假设θ已知 2. 变形几何协调条件
θ
A
①
②
③ D F
1 l
2 2l
3 3l
3. 三杆轴力 EA EA F1 1 l b b
EA EA F2 2 2l b b EA EA F3 3 3l b b
3
A 0
ql 2 MA 8
§2 拉压超静定问题 例1. EA已知，求B处约束力。
A a C B F b
(1)
(2)求B处位移
AC
F FB a
EA EA
BC
FB b EA
A C B FB
B
F FB a FB b
EA
F
(3)变形协调
B 0
B
C
q
A B
C
C FCD
A
B
C
q
FCD C A B FCDl A B C
FCD
A
B
C
ql2/2
A B C q B C A FCDl
ql2/2 A
B
C
q A B C q B C A FCDl B
ql2/2 -FCDl
A
B
C
ql2/2 A
FCD C
q2l 3 ql 2 / 2 FCD l 2l ql 4 FCD l 3 C l 24 EI 3 EI 8 EI 3 EI
C
B1 B 2
§2-8 拉伸、压缩超静定问题.
时被固定,杆的上下两段的面积分别
=cm2 ， =cm2，当温度升至T2
=25℃时,求各杆的温度应力。 a (线膨胀系数 =12.5× 106 / C N1 a 弹性模量E=200GPa) 解：、平衡方程： ；
Y N N
1
2
0
、几何方程：
a
L LT LN 0
A A1 100 0 0 A
3、脆性、塑性及相对性
以 5 0 0 为界
四、无明显屈服现象的塑性材料
0.2
名义屈服应力:
0.2
，即此类材料的失效应力。
.
bL
五、铸铁拉伸时的机械性能
ｂL ---铸铁拉伸强度极限（失效应力）
E t g ; 割线斜率
六、材料压缩时的机械性能
应力越高蠕变越快
蠕变变形是不可恢复的塑性变形。
2、应力松弛：
在一定的高温下，构件上的总变形不变时，弹性变形会随时 间而转变为塑性变形（原因为蠕变），从而使构件内的应力变小 。这种现象称为应力松弛。
加静载
经过较长时间后 卸载
杆也是自己长了一段！
温度不变 3 2 1
初始弹性应变不变
T1T2 T3
§2－8 拉伸、压缩超静定问题 一、超静定问题及其处理方法 不 稳 定 平 衡 稳 定 平 衡
静定问题 超静定问题 1、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力 （外力、内力、应力）的问题。 2、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理 方程相结合，进行求解。
例11 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
N ( x) P() P()
其中“P()”与“P()”均为x点左侧与右侧部分的 所有外力。
=cm2 ， =cm2，当温度升至T2
=25℃时,求各杆的温度应力。 a (线膨胀系数 =12.5× 106 / C N1 a 弹性模量E=200GPa) 解：、平衡方程： ；
Y N N
1
2
0
、几何方程：
a
L LT LN 0
A A1 100 0 0 A
3、脆性、塑性及相对性
以 5 0 0 为界
四、无明显屈服现象的塑性材料
0.2
名义屈服应力:
0.2
，即此类材料的失效应力。
.
bL
五、铸铁拉伸时的机械性能
ｂL ---铸铁拉伸强度极限（失效应力）
E t g ; 割线斜率
六、材料压缩时的机械性能
应力越高蠕变越快
蠕变变形是不可恢复的塑性变形。
2、应力松弛：
在一定的高温下，构件上的总变形不变时，弹性变形会随时 间而转变为塑性变形（原因为蠕变），从而使构件内的应力变小 。这种现象称为应力松弛。
加静载
经过较长时间后 卸载
杆也是自己长了一段！
温度不变 3 2 1
初始弹性应变不变
T1T2 T3
§2－8 拉伸、压缩超静定问题 一、超静定问题及其处理方法 不 稳 定 平 衡 稳 定 平 衡
静定问题 超静定问题 1、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力 （外力、内力、应力）的问题。 2、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理 方程相结合，进行求解。
例11 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
N ( x) P() P()
其中“P()”与“P()”均为x点左侧与右侧部分的 所有外力。
简单的超静定问题
M A Me M B 0
Me MB
A
C
B
2、变形协调方程
B 0
即
BM BM 0
e B
Me
MB
A
C
B
3、补充方程
BM
e
M e a GI p
BM
BM Bl GI p NhomakorabeaM e a M Bl 0 GI p GI p
M ea MB l
4、联立解得
3、物理方程
FN 1l l1 EA FN 3 l l 3 EA FN 2 l l 2 EA
得
FN 1 FN 2 FN 3
F 12 F 3
C′
补充方程 FN 1 FN 3 2FN 2
7F 12
例题3：如图所示结构，杆①、②的刚度为EA，梁BD 为刚体，载荷F=50kN，许用应力[s]160MPa。试确 定各杆的横截面积。 解： 1、确定各杆内力 取横梁为研究对象 平衡方程
FB aEAT
由平衡方程得 FA FB aEAT
例题5：如图所示结构，三杆的刚度均为EA，杆③的长 度比设计长度l短了d。试求装配后各杆的轴力。
A
D
① ③ a a C′ C l2 ②
B
解：对称结构，内力对称 变形协调方程
l1 d l 3 cos a
l
d
l3 l1
lt a1 T l1 a 2 T l 2
A
l1
C
l2
B
约束力产生的变形
l FB FB l1 F l B2 E1 A1 E2 A2
lt
FB
变形协调方程
力法解超静定结构举例
最后内力( 图 最后内力(M图): M = M 1 X 1 + M 2 X 2 + M 3 X 3 支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关 吗? 这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何? 这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何? M k Mds M k Mds k = ∑ ∫ + k = ∑ ∫ ∑ FRi ci EI EI
试求图示两端固定单跨梁在下属情况 下的M 下的M图. (a) A端逆时针转动单位转角. 端逆时针转动单位转角. (b) A端竖向向上移动了单位位移. 端竖向向上移动了单位位移. (c) A,B两端均逆时针转动单位转角. 两端均逆时针转动单位转角. (d) A,B两端相对转动单位转角. 两端相对转动单位转角. (e) A端竖向向上,BFP 端竖向向上, 端竖向向下移动了单 位位移. 位位移.
t 0 = 30 t = 10
FN = 1
有关. 温度改变引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关.
FNK = 0
FNK = 0.5
M图
MK M s d + ∑FNKα t0 l Ky = ∑∫ EI αt . α + ∑ ∫ MKds = 3475 l ↑ h
FNK
返 章 首
温度低的一侧受拉,此结论同样适用于温度 温度低的一侧受拉,此结论同样适用于温度 同样 引起的超静定单跨梁. 引起的超静定单跨梁.
问题: 用拆除上 问题:若用拆除上 弦杆的静定结构作 为基本结构, 为基本结构,本题 应如何考虑? 应如何考虑?
FP
FP 基 本 体 系
解:力法方程的实质为:" 3,4两结点的 力法方程的实质 的实质为 等于所拆除杆的拉( 相对位移 34 等于所拆除杆的拉(压 )变形 l 34" 互乘求Δ1P
试求图示两端固定单跨梁在下属情况 下的M 下的M图. (a) A端逆时针转动单位转角. 端逆时针转动单位转角. (b) A端竖向向上移动了单位位移. 端竖向向上移动了单位位移. (c) A,B两端均逆时针转动单位转角. 两端均逆时针转动单位转角. (d) A,B两端相对转动单位转角. 两端相对转动单位转角. (e) A端竖向向上,BFP 端竖向向上, 端竖向向下移动了单 位位移. 位位移.
t 0 = 30 t = 10
FN = 1
有关. 温度改变引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关.
FNK = 0
FNK = 0.5
M图
MK M s d + ∑FNKα t0 l Ky = ∑∫ EI αt . α + ∑ ∫ MKds = 3475 l ↑ h
FNK
返 章 首
温度低的一侧受拉,此结论同样适用于温度 温度低的一侧受拉,此结论同样适用于温度 同样 引起的超静定单跨梁. 引起的超静定单跨梁.
问题: 用拆除上 问题:若用拆除上 弦杆的静定结构作 为基本结构, 为基本结构,本题 应如何考虑? 应如何考虑?
FP
FP 基 本 体 系
解:力法方程的实质为:" 3,4两结点的 力法方程的实质 的实质为 等于所拆除杆的拉( 相对位移 34 等于所拆除杆的拉(压 )变形 l 34" 互乘求Δ1P
工程力学-简单的超静定问题
工程力学
第十章 简单超静定问题
例10.7 如图10.14所示 结构，在梁BCD受载荷作用 以前，拉杆AB内没有内力。已知梁和拉杆用同种材 料制成，材料的弹性模量为E，梁横截面的惯性矩 为I，拉杆的横截面积为A。试求拉杆的内力。
（a）
（b）
（c）
工程力学
第十章 简单超静定问题
解：梁BCD除受C处的固定铰约束和D处的活动铰约束，还 在B处受拉杆AB的约束，故为一次超静定梁。在此设拉杆
工程力学
第十章 简单超静定问题
又如细长悬臂梁，为了减小其最大弯矩和最大挠度，通 常在自由端增加一个支座，如图10.2所示。这也构成了 超静定问题
（a） 图10.2
（b）
工程力学
第十章 简单超静定问题
3. 求解方法
只有独立方程的个数与未知力的个数相等，才能 求出全部未知力，所以对于超静定问题，必须寻 找补充的方程。
图10.10
工程力学
第十章 简单超静定问题
解：设内轴承担的扭转力偶矩为 M 1 外轴承担的扭转力偶矩为 M 2 则可首先列出静力学方程：
M1 M2 Me
（a）
由于内、外轴紧密地粘和在一起，因此当该组合轴在扭
转力偶矩作用下发生扭转变形时，内轴左右两端截面的
相对扭转角与外轴左右两端截面的相对扭转角大小相同、
FN1 FN2 F 0
（a）
， 由于实心圆杆和套筒在两刚性板之间，所以二者的变形量 是相等的，可得补充方程：
l1 l2
l1
FN1l E1 A1
（b）
l2
FN 2 l E2 A2
（c）
工程力学
第十章 简单超静定问题
把（d）代入（c）可得：
FN1 FN2 E1 A1 E2 A2
工程力学：11第十一章 简单的超静定问题
第十一章
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
❖ 静定问题：其约束力或构件内力可通过静力平衡方 程求解的问题
❖ 超静定问题：仅凭静力学平衡方程不能求解的问题 ❖ “多余约束”：在超静定问题中多于维持平衡所需
的约束，如支座、杆件等 ❖ 超静定次数：未知力超过平衡方程的数目（个数） ❖ 变形几何相容方程：根据多余约束处的几何相容条
件建立的构件变形关系。
超静定梁 基本静定系
静定梁 约束反力比平衡方程数多1
C点的变形状况： wC=0
❖ 超静定问题的解法
1、选定多余约束，解除多余约束，根据约束状况代 以约束反力，得到基本静定系。
2、建立平衡方程
3、由几何相容条件，建立补充方程。
(a) 确定被解除约束点的实际位移（角位移、线位 移）；
(b) 根据基本静定系计算各反力在该点的位移代数 和并让其等于实际位移值，得到该点的位移方程；
© 将物理方程带入该点的位移方程，从而得到有 约束反力表示的补充方程；
4、联立上述方程，从而解得该点约束反力。
11-1 拉压超静定问题
❖ 拉压超静定问题实例
已知l1＝l2＝l， E1＝E2＝E， A1=A2=A， l3 ，E3，A3 求P作用下结构各杆件的轴力
F
FN 3
1
2
EA E3 A3 cos3
11-2 装配应力、温度应力
一、装配应力 二、温度应力
11-3 扭转超静定问题
11-4 简单超静定 梁
未知反力的数目多于平衡方程的 数目，仅由静力平衡方程不能求 解的梁，称为超静定梁
例:已知q、l,求A、B支座反力。
解除B 处约束， 代之以约束反力
RB
存在变形协调条件
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
❖ 静定问题：其约束力或构件内力可通过静力平衡方 程求解的问题
❖ 超静定问题：仅凭静力学平衡方程不能求解的问题 ❖ “多余约束”：在超静定问题中多于维持平衡所需
的约束，如支座、杆件等 ❖ 超静定次数：未知力超过平衡方程的数目（个数） ❖ 变形几何相容方程：根据多余约束处的几何相容条
件建立的构件变形关系。
超静定梁 基本静定系
静定梁 约束反力比平衡方程数多1
C点的变形状况： wC=0
❖ 超静定问题的解法
1、选定多余约束，解除多余约束，根据约束状况代 以约束反力，得到基本静定系。
2、建立平衡方程
3、由几何相容条件，建立补充方程。
(a) 确定被解除约束点的实际位移（角位移、线位 移）；
(b) 根据基本静定系计算各反力在该点的位移代数 和并让其等于实际位移值，得到该点的位移方程；
© 将物理方程带入该点的位移方程，从而得到有 约束反力表示的补充方程；
4、联立上述方程，从而解得该点约束反力。
11-1 拉压超静定问题
❖ 拉压超静定问题实例
已知l1＝l2＝l， E1＝E2＝E， A1=A2=A， l3 ，E3，A3 求P作用下结构各杆件的轴力
F
FN 3
1
2
EA E3 A3 cos3
11-2 装配应力、温度应力
一、装配应力 二、温度应力
11-3 扭转超静定问题
11-4 简单超静定 梁
未知反力的数目多于平衡方程的 数目，仅由静力平衡方程不能求 解的梁，称为超静定梁
例:已知q、l,求A、B支座反力。
解除B 处约束， 代之以约束反力
RB
存在变形协调条件
第六章简单的超静定问题
例1 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和 木材的许用应力分别为[]1=160M Fa和[]2=12MFa，弹性模
量分别为E1=200GFa 和 E2 =10GFa；求许可载荷P。 P 解：平衡方程: y Y 4F F P 0
N1
N2
4FN1
FN2
几何方程
2 FN1 FN3
X F
Y F
FN2
N1
N1
sin FN 2 sin 0
A P
cos FN 2 cos FN 3 P 0
A P
B 3
D
1
A
2
C 几何方程——变形协调方程： L1 L3 cos
物理方程——弹性定律：
L1 FN 1 L1 E1 A1 L3 FN 3 L3 E3 A3
(a)
Tb Ta
(b)
解: 1. 铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩 ── 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程
Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。
2. 位移相容条件为
Ba Bb
Tb Ta
(b)
3. 利用物理关系得补充方程为
Ga I pa Tal Tbl ，即 Ta Tb Ga I pa Gb I pb Gb I pb
P1 A11 / 0.07 308.6 160/ 0.07 705.4kN
FN 2 0.72P A2 2
P2 A2 2 / 0.72 2502 12 / 0.72 1042kN
求结构的许可载荷： 方法2:
1 L1 / E1 0.8mm 2 L 2 / E2 1.2mm
第六章简单超静定问题-PPT精品文档68页
D’
B’
FN2
6Fco2s 4co3s1
二、温度应力和装配应力
1. 温度应力 静定结构中当温度变化时，内部不会产生应力。
超静定结构中当温度变化时，内部会产生附加 应力。
A
B
A
B
温度应力：超静定结构因温度变化而产生的应力。
例题
两端固支的直杆AB，长度为l ，抗拉刚度为EA， 热膨胀系数为α l。
B
12
Eco2s 2co3s1l
l
2
3
1
3
2Eco3s 2co3s1l
Aδ
1
2
0.5103200109
2
3 2
3
11
3 2
2
32.6M
Pa
20.5103200109
例题
图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同，均为 EA， 3
杆比设计尺寸短了δ，若：3根杆均为圆钢杆 d 4 0 m m , E 2 0 0 G P a , l 1 m , 0 . 5 m m , 3 0 0
DC
B
2 31
l
Aδ
求：3根杆的装配应力。
解：
3根杆的装配内力为：
温度应力的大小是很大的，工程中应当设法避免
常使用的方法：
1、结构中适当留一
A
B
些间隙，（如钢轨,
桥梁,水泥路面）
A
B
2、结构中适当采用伸
缩节（如管道）
2.装配应力
静定结构中当结构尺寸有误差时，只会引起 结构几何位置的变化，内部不会产生应力。
图示静定结构，1杆短，2杆长，装配时不会 产生装配应力。
9-简单超静定结构的解法解析
例4 两铸件用两钢杆1、2连接如图，其间距为 l=200mm。现需 将制造得过长e=0.11mm的铜杆3装人铸件之间，并保持三杆 的轴线平行且有等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知： 钢杆直径d=10mm，铜杆横截面为20mm 30mm的矩形，钢的 弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E=100GPa。铸件很厚，其 变形可略去不计。
最后，补充方程变为
7 qa4 FNa3 FNl 12 EI EI EA
解得
FN
7qa4 A 12(Il Aa3 )
B
D
在静定问题中，只会使结构的几 何形状略有改变，不会在杆中产生 附加的内力。如1杆较设计尺寸过长， C 仅是A点的移动。
3
1 aa
2
A''
A'
e
A
在超静定问题中，由于有了多余 约束，就将产生附加的内力。
附加的内力称为装配内力,与之相 应的应力则称为装配应力,装配应力 是杆在荷载作用以前已经具有的应 力，也称为初应力。
土建工程中的预应力钢筋混凝土构件，就是利 用装配应力来提高构件承载能力的例子。
(2)温度应力
静定问题：由于杆能自由变形，由温度所引起的变 形不会在杆中产生内力。
超静定问题：由于有了多余约束，杆由温度变化所 引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力。这 种内力称为温度内力。
与之相应的应力则称为温度应力。
M x 0, M A M B M e 0
变形协调条件：根据原超静定杆的约束情况，基 本静定系在B端的扭转角应等于零, 即补充方程为
B 0
按叠加原理：
B BB BM 0
BB、BM分别为MB、Me 引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
弯曲超静定问题及其解法
E MA (F) = 0, FB - / + M - 2 ql2 = 0
3个平衡方程 一次超静定
♦弯曲超静定问题的解法
视支座a为多余约束,解除并代之以约束反力好,得到原超静定梁的 基本
静定系。
♦弯曲超静定问题的解法
基本静定系需在支座a处满足以下变形相容方程才可与原超静定问题
等价。
♦弯曲超静定问题的解法
根据叠加法，可得到心截面挠度的表达式为:
+ = 0 WBq WBFB
♦弯曲超静定问题的解法 _ _
___ 将物理方程代入上述变形相容方程，即得到补充方程:
也 ql _
=0
8 EI 3EI
___ 从而解得多余未知力为：
FB = 8 qi
♦弯曲超静定问题的解法
将所得约束反力e代入静力平衡方程中，即得到剩余三个约束力：
弯曲超静定问题的解法
♦弯曲超静定问题的解法
弯曲超静定问题
♦弯曲超静定问题的解法
弯曲超静定问题
♦弯曲超静定问题的解法
求解方法
解除多余约束法
♦弯曲超静定问题的解法，
例1.试做出下图48梁的剪力图与弯矩图。
♦弯曲超静定问题的解法
解：受力分析如图所示
4个未知力
列静力平衡方程：
E F =0, FAX =0 E Fy = 0, FA + FB - q = 0
= FAx 卩做出梁刀3的剪力图与弯矩图：
♦弯曲超静定问题的解法
思考1
A多余约束的选取是否唯一？ A基本静定系是否唯一？
♦弯曲超静定问题的解法
刀端为多余约 束
吼为多余未知 力
基本静定系：简支 梁
Q =0
♦弯曲超静定问题的解法
3个平衡方程 一次超静定
♦弯曲超静定问题的解法
视支座a为多余约束,解除并代之以约束反力好,得到原超静定梁的 基本
静定系。
♦弯曲超静定问题的解法
基本静定系需在支座a处满足以下变形相容方程才可与原超静定问题
等价。
♦弯曲超静定问题的解法
根据叠加法，可得到心截面挠度的表达式为:
+ = 0 WBq WBFB
♦弯曲超静定问题的解法 _ _
___ 将物理方程代入上述变形相容方程，即得到补充方程:
也 ql _
=0
8 EI 3EI
___ 从而解得多余未知力为：
FB = 8 qi
♦弯曲超静定问题的解法
将所得约束反力e代入静力平衡方程中，即得到剩余三个约束力：
弯曲超静定问题的解法
♦弯曲超静定问题的解法
弯曲超静定问题
♦弯曲超静定问题的解法
弯曲超静定问题
♦弯曲超静定问题的解法
求解方法
解除多余约束法
♦弯曲超静定问题的解法，
例1.试做出下图48梁的剪力图与弯矩图。
♦弯曲超静定问题的解法
解：受力分析如图所示
4个未知力
列静力平衡方程：
E F =0, FAX =0 E Fy = 0, FA + FB - q = 0
= FAx 卩做出梁刀3的剪力图与弯矩图：
♦弯曲超静定问题的解法
思考1
A多余约束的选取是否唯一？ A基本静定系是否唯一？
♦弯曲超静定问题的解法
刀端为多余约 束
吼为多余未知 力
基本静定系：简支 梁
Q =0
♦弯曲超静定问题的解法
第6章简单的超静定问题
试校核该梁的强度.
列静力平衡方程
q
Fy 0
A
C
L2 FA
L2 FC
变形协调方程
B
FA FB FC qL 0
MA 0
FB
FC
L 2
FBL
qL2 2
0
C q C FC 0
7.5kNm
5qL4 FC L3 384EIZ 48EIZ
0
FC
5 qL 8
FB
3 16
qL
M 7.5kNm max
mA
1 ql2 qL4 8 8EIZ
3FEBqLIZ3
A
FA
5 8
ql
L
5
ql
8
3 FB 8 ql
0
B
3 FB 8 ql
kN
B
1
B18
ql
2
3 ql 8
B2
B FB
9 ql 2 128
kNm
例题 6.7 图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均布荷载.已
知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径d=100mm,[σ]=100MPa.
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的 工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束.
未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数.
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面.
2.拉压超静定问题 一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F,
L1
F1 38.52kN
F2 119.26kN
计算1，2杆的正应力
L2
简单超静定梁的解法
4m
3m
2m
A
B
D
C
30KN
D
C
A
B
30KN
在基本静定系上绘 出剪力图（图C）和 弯矩图（图d）。
32.05
47.95
18.40
11.64
(c)
31.80
1.603m
(d)
D
C
A
B
30KN
弯曲超静定例题1
弯曲超静定例题2
§6-6 简单超静定梁的解法
一、 基本概念
超静定梁
“多余”约束
单凭静力平衡方程不能求出 全部支反力的梁 , 称为 超静定梁
多于维持其静力平衡所 必需的约束
Hale Waihona Puke ABCP
P
A
B
超静定梁的“多余”约束的 数目就等于其超静定次数。
与“多余”相应的支座反力
超静定次数
“多余”反力
A
B
C
P
P
A
方法二
代以与其相应的多余反力 偶
（图6 -12）
得基本静定系
变形相容条件为
请同学们自行完成 ！
A
B
q
(a)
图 6—11
A
B
q
(a)
A
B
q
图 6 -12
例题 6-9 梁 A C 如图所示, 梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC 铰接, 在梁受荷载作用前, 杆 AD 内没有内力, 已知梁和杆用同样的钢材制成, 材料的弹性模量为 E, 钢梁横截面的惯性矩为 I, 拉杆横截面的面积为 A, 其余尺寸见图 a, 试求钢杆 AD 内的拉力 N。
a
2a
A
B
材料力学--简单的超静定问题
故为一次超静定问题。
Mx 0， M A Me MB 0
2. 变形几何方程为：
AB 0
24
MA
MB
(a)
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：
AB
M Bb GI p
(M B Me )a GI p
0
MB
Mea l
另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为
MA
A
A
2EA a
C
C
RA 解: 放 松B端，加支反力RA、RB
则，RA RB F 0 (1) 变形协调条件 : l总 0
F 2a
B EA
F
lAC
lCB
F RB a
2EA
RB 2a
EA
0
(2)
B
由（1）、（2）式得
RB
RB
F 5
,
RA
4F 5
14
B
D
C (2) 几何方程
1
3
aa
2
AA1 0
A
A0
l1 ( l3 ) cosa
(3) 物理方程及补充方程：
FN1l1 ( FN3l3 ) cosa
E1 A1
E3 A3
l3 A1
(4) 解平衡方程和补充方程，得:
FN1
FN2
l3
1
E1A1 cos2 a 2 cos3 a E1A1 /
(a)
26
Tb Ta
(b)
解: 1. 设铜杆和钢管的横截面上内力矩分别
Mx 0， M A Me MB 0
2. 变形几何方程为：
AB 0
24
MA
MB
(a)
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：
AB
M Bb GI p
(M B Me )a GI p
0
MB
Mea l
另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为
MA
A
A
2EA a
C
C
RA 解: 放 松B端，加支反力RA、RB
则，RA RB F 0 (1) 变形协调条件 : l总 0
F 2a
B EA
F
lAC
lCB
F RB a
2EA
RB 2a
EA
0
(2)
B
由（1）、（2）式得
RB
RB
F 5
,
RA
4F 5
14
B
D
C (2) 几何方程
1
3
aa
2
AA1 0
A
A0
l1 ( l3 ) cosa
(3) 物理方程及补充方程：
FN1l1 ( FN3l3 ) cosa
E1 A1
E3 A3
l3 A1
(4) 解平衡方程和补充方程，得:
FN1
FN2
l3
1
E1A1 cos2 a 2 cos3 a E1A1 /
(a)
26
Tb Ta
(b)
解: 1. 设铜杆和钢管的横截面上内力矩分别
简单的超静定问题
wB wB q wB FBy wB M B
32
目录
I、超静定梁旳解法
q MA
A
l
B
q
MB
l
A或 B 0
A A q A M A A M B 0
33
目录
I、超静定梁旳解法
q
q FQc
MC q
A
l
B
C
l/2
M
C
l/2
C
利用对称性 FQc=0
FQc
再利用对称性 c=0
C C qC M C
, l2
l3
FN 2l2 E2 A2
8
目录
§6.2 拉压超静定问题
成果：由平衡方程、几何相容方程、物理 关系联立解出。
N1
1
FP 2E2 A2l1
,
E1 A1l2
E2 A2l1
FN2
FN3
E1 A1l2 1 2E2 A2l1
FP
E1 A1l2
9
目录
例题6-1
木制短柱旳4个角用4个40mm×40mm×4mm旳等边角
4 20 2 4 8.75 125 kN m
目录
例题6-2
B
1
C 2 30
30
3
D
列出变形几何关系，将A点旳位移分
量向各杆投影，得
A
l1 y sin x cos
F
l2 x
y
l3 y sin x cos
A x 几何相容关系为 l3 l1 2l2 cos
y
代入物理关系 2FN3l 2FN1l 3FN 2l
3EA3 3EA1 EA2
A
解：设AC杆杆长为l，则AB、AD杆长为
32
目录
I、超静定梁旳解法
q MA
A
l
B
q
MB
l
A或 B 0
A A q A M A A M B 0
33
目录
I、超静定梁旳解法
q
q FQc
MC q
A
l
B
C
l/2
M
C
l/2
C
利用对称性 FQc=0
FQc
再利用对称性 c=0
C C qC M C
, l2
l3
FN 2l2 E2 A2
8
目录
§6.2 拉压超静定问题
成果：由平衡方程、几何相容方程、物理 关系联立解出。
N1
1
FP 2E2 A2l1
,
E1 A1l2
E2 A2l1
FN2
FN3
E1 A1l2 1 2E2 A2l1
FP
E1 A1l2
9
目录
例题6-1
木制短柱旳4个角用4个40mm×40mm×4mm旳等边角
4 20 2 4 8.75 125 kN m
目录
例题6-2
B
1
C 2 30
30
3
D
列出变形几何关系，将A点旳位移分
量向各杆投影，得
A
l1 y sin x cos
F
l2 x
y
l3 y sin x cos
A x 几何相容关系为 l3 l1 2l2 cos
y
代入物理关系 2FN3l 2FN1l 3FN 2l
3EA3 3EA1 EA2
A
解：设AC杆杆长为l，则AB、AD杆长为
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-1-
超静定问题解法例说
[浙江永嘉县上塘中学 35100 钱呈祥]
物理习题中，未知量的个数与独立方程的数目一致时，称为静定问题。
即能够由独立方程的求解，确定该系统中所有的未知量；若未知量个数大于独立平衡方程数目，则称为超静定问题。
对于超静定问题，常需根据题目的相关材料，建立补充方程（辅助方程），再与独立方程联立，才能求解，一般难度较大。
超静定问题，实则为补充方程如何建立的问题。
例一：如图1所示，刚性板由三根相同的弹簧悬挂，其重量为G ，重心在O 处，试求三根弹簧的受力。
[解析]AB 板受力如图，由∑=0F ，得F 1+F 2+F 3=G （1）
由∑=0M ，得F 1〃223l
F a
G l
⋅=⋅+ （2）
据平衡条件只有这两个方程，而未知量有三个，因此它属于超静定方程。
由变形情况的几何关系有：△l 1+△l 3=2△l 2 由胡克定律，上式即化为23
1
2F k F k F =+ （3）
联合（1）（2）（3），得
F 1=
G （l a
-31），F 2=3G ，F 3=G （l a
+31）
评论：该超静定问题的求解，除了建立原力系的平衡方程
外，关键在于找出变形的几何关系，再代入胡克定律，以建立
补充方程。
在进行变形分析时，变形与受力的假设方向须保持一致。
例二：已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，求：（1）在距地面高h 的轨道上的人造地球卫星的速度；（2）该卫星的周期。
[解析]地球对人造卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，可列出独立方程：)()(2
2h R V m h R GMm +=+ （1），式中M 和V
均为未知量。
可列出补
-2- 充方程：
g R GM mg R GMm ==22,即 （2）联合（1）、（2）式可得 V 2=g h R R
h R V h R T h R g R V h R g R h R GM ++=+=+=+⋅=+)(2)(2,,2ππ从而 评论：在应用万有引力定律解题时，常已知星球表面引力加速度而不知星球质量或者已知星球质量而不知星球表面引力加速度，此时均可用补充方程G g R M =2。
例三：把一个标有“10V ，2W ”的纯电阻用电器甲，接入一个电动势ε恒定的电源时，甲实际消耗的功率为2W ；把一个“10V ，5W ”的纯电阻用电器乙接入同一电源时，乙实际消耗的功率是否有可能小于2W ？如认为不可能，请说明理由；如认为可能，请找出条件。
设用电器的电阻值不随温度改变。
[解析]用电器甲的电阻R 1=)(502
102
121欧==P U ，用电器乙的电阻R 2=)(205102222欧==P U ，据题意知：P 1=50)50(2,)(2121⋅+=⋅+r
R r R εε即可化为, r 2.010+=ε （1）
，这一个独立方程包含两个未知数，则既解不出电源电动势ε，也解不出电源内阻r ，属于超静定方程。
可以用自洽的方法，假设乙用电器实际消耗功率可能小于2W ，建立一个补充方程：)(2)('2222W R r R P <⋅+=ε
（2）联合方程（1）和不等式（2）可解得r>1010（伏），由此可见，用电器乙实际功率小于2W 是可能的，条件是电源电动势ε>（10+210）伏，内阻r>1010欧，且同时满足ε=10+0.2r 的关系。
评论：该超静定问题是用全电路欧姆定律及补充方程解得的，此外还可以用U-I 图线法讨论。