武汉大学数学物理方法5_4用电像法求某些特殊区域的狄氏格林函数

的球体中情况

为半径为中心任意小，则应考虑以若e 00)2(M r =1

),,()1(000-=----=D òòòòòò

dxdydz

z z y y x x dxdydz G e

t t

d ，由òòò

-=D ®e

t e )

2(1lim

Gdxdydz 即

îí

ì=Î----=D 0

|,),,(1000s t

d G M z z y y x x G 、三维我们已求得

思路t d Î----=D M z z y y x x G ),,,(:000Q 故希望将现在的定解问题看成两部分迭加,有意识使其中一部分为前面讨论过的

),(),(),(000M M g M M F M M G +=令)

(),(00M M M M F --=D d 使二、狄氏格林函数

ì Dg = 0 ï 对于三维问题即求 : í 1 ï g |s = - 4pr |s î ìDg = 0 ï 对于二维问题即求 : í 1 1 ï g |l = - 2p ln r |s î
三 、用电象法求某些边界形状的狄氏格林函数

ìDu = 0 , r < a的解 ï 1、求í ïu |r = a = f ( M ) î
(5.2.12) 得 : 由P244
u(M ) = -
r1
M1
òò
s
¶G f (M 0 ) ds 0 ¶n0
1 G(M , M 0 ) = +g 4pr ìDg = 0 ï 1 í ïg |r =a = - 4pr + g î
r =a
r0
r1

(1)分析 : 求u ® 求G ® g 即求M点电位 ® 求边界面上感应电荷在M ìDg = 0 ï 产生电位í 1 ï g | r = a = - 4pr |r = a î

2、用电象法求 g（不好求） (1)若能在s外M 0的象M1点放一适当负电荷 - q 设之与M的距离为r1 -q 则 D( ) = 0 在s内 4pe 0r1 q 1 |s = |s 4pe 0r1 4pr q 则即为g 4pe 0 r1
(*)

\问题在于 : r1 = ? q = ? 虽然对于某些好的 边界形状r1是易于确定的 如 :
r
M
M0
M1
r1
故由 (*)可确定q
\ 求g ® (1)确定 象点M 1 , (2)确定 q大小问题 ® 可由(*)

( 2 )求 G : ìì 1 +g ï ïG = 4pr ïí ïï r2
r1
M1
r rM 0 r1 r0
r0 a 即 = a r1
则M1 - M 0象点 设 MM 0 = r , M1M 0 = r1

1 |s = ? 对于 M 在 r = a 上 r Q D OM 0 M ∽ D OM 1 M
r0 a r \ = = a r1 r1 1 r0 a |r = a = |r 即 r1 r
=a
a r0 1 |r = a = |r = a 4p r 4p r1
e 0a r 0 |r = a = 4pe 0 r1

e 0a -e 0 a r 0 - a r0 g = \q = = 4 pe 0 r1 4 p r1 r0
1 a r0 \G = 4pr 4pr1
(3)电象法：
这种在象点放一虚构的电荷
来等效代替界面上的感应电荷所产生的电位 的方法称之为电象法
3 求 u(M )
2 r = r 2 + r 0 + 2 rr 0 cos g

2 r1 = r 2 + r1 - 2 rr1 cos g
¶G 1 é ¶ æ 1 ö a ¶ æ 1 öù ç ÷ú = ê ç ÷¶n 4p ê ¶r è r ø r 0 ¶r ç r1 ÷ ú è øû ë r0 a r = = 2 2 r1 r1 a Q r = r + r 0 - rr 0 cos g
1 = r
1
2 r 2 + r0 - 2 rr0 cos g
2 r 2 + r0 - r 2 ® r0 cos g = 2r
(*)

¶ 1 ¶ = ¶n r ¶r =*
1
2 r 2 + r 0 - 2 rr0 cos g r - r 0 cos g 2 2 + r 0 - 2 rr0 cos g
(r
)
3 2
=-
2 2 r 2 - r 2 - r0 + r 2
2 rr 3
=
2 r0 - r 2 - r 2
2 rr 3

格林函数演示

1 无穷大接地导体平面上方放一平行均匀带电直导线，导体所在半无界空间的静电场由对称性可归结为二维点源的边值问题。

2 无穷长接地导体圆筒内平行于筒轴放置一无穷长均匀带电直导线，筒内的静电场由对称性可归结为平面圆内点源的边值问题。

以下各图将演示场的等势线和电力线