二次根式大小比较方法
比较二次根式大小的几种方法
比较二次根式大小的几种方法一、比较系数法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a>b，那么√a>√b；如果a<b，那么√a<√b。
例如，比较√5和√7的大小。
由于5<7，所以√5<√7二、平方法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a²>b²，那么√a>√b；如果a²<b²，那么√a<√b。
例如，比较√3和√8的大小。
由于3²=9，8²=64，所以√3<√8三、绝对值法：对于形如√a和√b的二次根式，如果，a，>，b，那么√a>√b；如果，a，<，b，那么√a<√b。
例如，比较√(-2)和√(-5)的大小。
由于，-2，=2，-5，=5，所以√(-5)<√(-2)。
四、化简法：对于形如√a的二次根式，如果a可以化简为形式p²×q（p和q为正整数），那么√a=√(p²×q)=p√q。
例如，化简√72、首先可以将72分解为2²×3²×2，然后利用根式的乘法法则和化简法则，得到√72=2×3√2=6√2五、近似法：如果无法直接通过上述方法比较二次根式的大小，可以使用近似法。
通过计算近似值，可以比较二次根式的大小。
例如，比较√3和√2的大小。
可以使用计算器或手算，得到√3≈1.732，√2≈1.414，所以√2<√3需要注意的是，以上方法比较的是二次根式的大小，而不是数值的大小。
当a和b的大小关系无法确定时，使用以上方法可以对二次根式的大小关系进行比较。
初三数学知识点归纳整理
初三数学知识点归纳整理最全初三数学知识点归纳篇一一、二次根式1、二次根式：一般地，式子叫做二次根式。
注意：（1）若这个条件不成立，则不是二次根式。
（2）是一个重要的非负数，即；≥0。
2、积的算术平方根：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
3、二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小。
（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小。
（3）分别平方，然后比大小。
4、商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
5、二次根式的除法法则：（1）分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。
6、最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
①被开方数的因数是整数，因式是整式。
②被开方数中不含能开的尽的因数或因式。
（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母。
（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式。
（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。
7、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
8、二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用。
（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等。
二、一元二次方程1、一元二次方程的一般形式：a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c；其中a 、 b，、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式。
2、一元二次方程的解法：一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少。
二次根式数学知识点
二次根式数学知识点二次根式数学知识点11.乘法规定：(a≥0，b≥0)二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
推广：(1)(a≥0，b≥0，c≥0)(2)(b≥0，d≥0)2.乘法逆用：(a≥0，b≥0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;3.除法规定：(a≥0，b>0)二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。
推广：，其中a≥0，b>0，。
方法归纳：两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得得结果相乘。
4.除法逆用：(a≥0，b>0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
二次根式数学知识点2二次根式的概念形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√（x2+1），√（x—1）（x≥1）等是二次根式，而√（—2），√（—x2—7）等都不是二次根式。
二次根式取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。
知识点三：二次根式√a（a≥0）的非负性√a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，√a（a≥0）是一个非负数，即√a≥0（a≥0）。
注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即√a≥0（a≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若√a+√b=0，则a=0，b=0；若√a+|b|=0，则a=0，b=0；若√a+b2=0，则a=0，b=0。
二次根式大小的比较方法
二次根式大小的比较方法二次根式大小的比较，有些同学感到很困难，不知道如何进行，下面，就给大家介绍几种常用的方法。
一、求差法基本思路：设a 、b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据“当a －b ＜0时，a ＜b ；当a －b=0时，a=b ；当a －b ＞0时，a ＞b ”来比较a 与b 的大小。
例1、比较7－2和5－3的大小解：（7－2）－（5－3）=（7－5）+（3－2）7－5＞0，3－2＞0，∴（7－5）+（3－2）＞0 即：7－2＞5－3二、求商法基本思路：设a 、b 为任意两个实数，先求出a 与b 的商，再根据“当b a ＜1时，a ＜b ；当时，当b a =1时，a=b ；当ba ＞1时，a ＞b ”来比较a 与b 的大小。
例2、比较π与π3的大小 解： π÷π3=π×3π=3π＞1 ∴ π＞π3三、倒数法基本思路：设a 、b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据“当a 1＜b 1时，a ＞b ；当a 1=b 1时，a=b ；当a 1＞b1时，a ＜b ”来比较a 与b 的大小。
例3、比较14－13与13－12的大小解： 13141-=14+13，12131-=13+12∴ 13141-＞12131- ∴14－13＜13－12四、平方法基本思路：先将两个要比较的数分别平方，再根据“a ＞0,b ＞0时，可由a 2＞b 2得到a ＞b ”来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。
例4、比较2+6与3+22的大小解： 2+6＞0，3+22＞0∴（2+6）2=10+46，（3+22）2=11+46∴10+46＜11+46∴2+6＜3+22五、移动因式法基本思路：当a ＞0,b ＞0时，若要比较形如a a 与b b 的两数大小，可先把根号外的正因数a 与b 的平方后移入根号内，再根据被开放数的大小进行比较。
例5、比较﹣33与﹣27的大小解：﹣33=﹣27，﹣27=﹣28﹣27＞﹣28∴﹣33＞﹣27。
二次根式的化简与比较大小
二次根式的化简与比较大小二次根式是数学中常见的一种形式，它可以表示为根号下一个数的形式。
在数学中，我们经常需要对二次根式进行化简和比较大小的操作。
本文将探讨二次根式的化简和比较大小的方法。
一、二次根式的化简化简二次根式是将其写成最简形式的过程。
最简形式是指分子和分母互质，且分母不含根号的形式。
1. 化简含有相同根号的二次根式当二次根式中含有相同根号时，可以将它们合并为一个根号下的数。
例如，化简√3 + √3。
由于√3 + √3 = 2√3，所以√3 + √3可以化简为2√3。
2. 化简含有不同根号的二次根式当二次根式中含有不同根号时，可以尝试将其化简为一个根号下的数。
例如，化简√2 + √8。
首先，我们可以将√8写成√(2 × 4)，即√(2 × 2 × 2)。
然后，我们可以将√2 + √(2 × 2 × 2)化简为√2 + 2√2，即3√2。
二、二次根式的比较大小比较二次根式的大小时，可以使用以下方法：1. 平方比较法平方比较法是将二次根式的平方进行比较。
由于平方是非负数，所以比较二次根式的平方可以得到它们的大小关系。
例如，比较√5和√7的大小。
首先，我们可以计算它们的平方，即5和7。
由于5小于7，所以√5小于√7。
2. 通分比较法通分比较法是将二次根式的分母进行通分，然后比较分子的大小。
通分后，分母不再含有根号，可以直接比较分子的大小。
例如，比较√3/√2和√5/√2的大小。
首先，我们可以将分母通分为2，得到√3/2和√5/2。
由于√3小于√5，所以√3/2小于√5/2。
三、综合运用在实际问题中，我们常常需要综合运用化简和比较大小的方法来解决问题。
例如，我们需要比较√3 + √2和√5的大小。
首先，我们可以将√3 + √2化简为√6。
然后，我们可以比较√6和√5的大小。
由于6大于5，所以√6大于√5。
因此，√3 +√2大于√5。
又如，我们需要比较√3 - √2和√5的大小。
初中数学比较二次根式大小的八种方法
初中数学比较二次根式大小的八种方法本文介绍了八种比较含二次根式大小的方法，包括平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等。
其中，作商法是比较二次根式大小的常用方法之一，特别适用于由分母和分子两部分组成的二次根式。
此外，还有分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行比较。
例如，对于比较6＋11与14＋3的大小，可以使用平方法，计算它们的平方，然后比较大小。
对于比较a＋1/a＋2与a＋2/a＋3的大小，可以使用作商法，计算它们的商，然后比较与1的大小关系。
对于比较15－14与14－13的大小，可以使用分子有理化法，将它们的分子有理化后再比较大小。
对于比较11/(2－3)与3/(3－2)的大小，可以使用分母有理化法，将它们的分母有理化后再比较大小。
对于比较19－12/33与1/3的大小，可以使用作差法，将它们相减后再比较大小。
对于比较已知x＝n＋3－n＋1，y＝n＋2－n的大小，可以使用倒数法，将它们的倒数比较大小。
对于比较x，x^2，x(0<x<1)的大小，可以使用特殊值法，找到一个特殊值，代入比较。
对于比较5－a与a－6的大小，可以使用定义法，将它们的定义式代入比较。
总之，比较含二次根式大小需要根据具体情况选择合适的方法，灵活运用各种方法可以得到简洁的解法。
文章格式错误严重，需要重新整理。
同时，文章中存在明显的错误和不完整的段落，需要删除。
以下是对原文的修改和改写：题目11：已知 n + 3 + n + 1.n + 2 + n，求证 x < y。
解：将式子化简得 n。
-2，因此 x。
-2.又因为 x + y。
0，所以 y。
-x。
综合两式得 x < y。
题目：已知 5 - a ≥ 1/2，求证 a - 6 < 0.解：将不等式两边同时减去 1/2，得 9/2 - a ≥ 0.因为 9/2.4，所以a ≤ 4.又因为 a - 6 < a - 5 ≤ -4 + 5 = 1，所以 a - 6 < 0.题目3：该段落不完整，删除。
比较二次根式大小的方法
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√ ＋√１＜ ＋√Ｉ ． ５ ３ √７ １
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“ 国际护士 节＂ 是在 每年 的哪 一天？５月 １ （ ２日）
…
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思考题：你能看 出待 比较 的两个式子的关系特征吗？ 自己编
几道类似的题试试看 ！
四、运用求差法进行 比较
比较依据 ：若 ａ ｂ Ｏ — ＞ ，则 ａ ｂ ＞；
解：． √ ＝√ ２ ‘３ ２ ３ ＝√ｌ，√ ＝ ２ ３ １， ／８√ｌ， 。 × ８ ２ ３ √ 一√ ２ 而、 ＞ ２ × ／ １
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３
＞ ２
．
二 、运 用根 式 的定 义 进 行 比较 比较 依 据 ： 二次 根 式 的定 义 ．
例 ２ 比 ／ 一 与 一 的大小． 较， ａ ３ ２
解 ： 由题 意 得 ２ ａ ， ．口 ． ．ａ ３ ０ ． ａ ＜ ． － ≥０ ’ ≤２ 。 一 ＜ ． 。 一３ ０ ． ． ．
又ｘ２ ，． ， 一 ＞， 一 ． ／一 ≥０ 。／ 口 ／ ３ ．２ ａ
三、运用平方法进行 比较
比较 依 据 ： 当 ａ Ｏ ＞ ＞ ，ｂ Ｏ时 ，若 ＞ ６，则 ａ ｂ ＞．
七 、运用 分母有 理化进 行 比较 对 于分母 中含二 次根式 的式 子的大 小 比较 问题 ，常用此法 ． 嵫
＝
与
，
的
．
４ ＋３ ￣ｖ
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八 、运 用不等 式的传 递性进 行 比较 比较依据 ：若 ａ ｂ ＞ ，则 ａ ｃ ＞ ，ｂ ｃ ＞．
初中数学 如何比较两个二次根式的大小
初中数学如何比较两个二次根式的大小比较两个二次根式的大小是初中数学中的一个重要概念。
在比较二次根式的大小之前，我们需要掌握一些基本的概念和方法。
本文将详细介绍如何比较两个二次根式的大小，并提供具体的步骤和实例演示。
一、二次根式的概念和性质回顾在比较二次根式的大小之前，我们需要回顾一些基本的概念和性质：1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
2. 同底数比较大小：如果两个二次根式的底数相同，那么它们的大小关系取决于它们的指数。
当指数相同时，二次根式的大小相同；当指数不同时，指数较大的二次根式更大。
3. 底数相同的二次根式可以合并：如果两个二次根式的底数相同，我们可以将它们合并为一个二次根式，然后比较它们的系数。
二、比较两个二次根式的大小的步骤下面是比较两个二次根式大小的步骤：步骤一：化为同底数如果两个二次根式的底数不同，我们需要将它们化为同底数。
步骤二：合并同类项将化为同底数的二次根式合并为一个二次根式，然后比较它们的系数。
步骤三：化为小数比较大小如果无法化为同底数，我们可以将二次根式化为小数，然后比较它们的大小。
三、实例演示让我们通过一些实际的例子来说明如何比较两个二次根式的大小：例子1：比较√2和√5的大小。
步骤一：化为同底数无法化为同底数。
步骤二：化为小数比较大小使用计算器或手算将√2和√5分别化为小数，得到约等于1.41和约等于2.24。
因此，√5>√2。
例子2：比较√8和√18的大小。
步骤一：化为同底数将√8和√18分别乘以√18和√8，得到√8*√18和√18*√8。
步骤二：合并同类项将√8*√18和√18*√8合并为√8*√18。
步骤三：化为小数比较大小使用计算器或手算将√8*√18化为小数，得到约等于7.75。
因此，√18>√8。
通过这些示例，我们可以看到如何比较两个二次根式的大小。
我们需要先将它们化为同底数，然后比较它们的系数。
如果无法化为同底数，我们可以将二次根式化为小数，然后比较它们的大小。
巧用方法比较根式的大小
巧用方法比较根式的大小二次根式是八年级上学期的重要内容，而比较根式的大小是必须掌握的根式问题。
在解答这类问题时，有些学生感觉有点困难。
如果不顾题目的特征而盲目地运用方法，那么题目运算量大，计算难度也大，并且非常容易出现错误。
其实，只要根据不同根式的特点采取相适应的方法，就能做到既简捷又准确。
现举例如下：一、比较形如a与c的形式的大小，把因式移入根号内，变为比较被开方数的大小这种方法是比较根式大小的基本方法。
例如：比较15和11的大小解：15＝11＝∵2475＞1815∴15＞11二、把两数平方后，先比较它们的平方的大小，再比较根式的大小这种方法是比较根式大小的一种常用的方法。
例如：比较＋与的大小解：∵（＋）2＝7＋2＝7＋（）2 ＝10＝7＋7＋＞7＋∴＋＞要特别注意：当两数都为正数时，它们的大小关系与平方后的大小关系是一致的，两数为负数时，则与平方后的大小关系相反。
如：比较－与-的大小解：（－）2＝10－2＝10－（-）2＝5＝10－（－）2＜（-）2∴－＞-三、将两数求差，再将其差与0进行比较1、如果a－b＞0，则a＞b；2、如果a－b＝0，则a＝b；3、如果a－b＜0，则a＜b。
例如：比较与的大小解: －＝＝＜0∴＜三、将两数相除，看商是否大于11、如果＞1，则a＞b；2、如果＝1，则a＝b；3、如果＜1，则a＜b。
例如：比较（＋）10 与（8＋2）5 的大小解：＝＝＝（）5 ＞15＝1∴（＋）10 ＞（8＋2）5四、把分母或分子进行有理化后再进行比较例如：⑴比较与的大小解：∵＝＝4＋＝＝6＋∴＜⑵比较－与－的大小解：∵（－）（＋）＝14－13＝1－）（＋）＝13－12＝1∴（－）（＋）＝（－）（＋）又∵＋＞＋∴－＜－将⑴中分母进行有理化；⑵中两式相当于把分子进行有理化，这样很容易得出比较结果。
五、选取合适的中间数，比较各数与中间数的大小，从而得出比较结果例如：比较与0.53的大小解∵＞10.53＜1∴＞0.53总之：比较根式的大小的方法有很多种，我们在学习中根据题目特征，巧用方法，就能使许多问题迎刃而解。
比较二次根式大小的8种方法
比较二次根式大小的8种方法要比较二次根式的大小，我们可以使用以下八种方法：方法一：使用绝对值对于任意两个正实数a和b，如果a>b，则√a>√b。
这是因为二次根式对应的数值是非负数，而且二次根式是单调递增的。
因此，我们可以比较二次根式的大小，先计算其数值，然后使用绝对值比较大小。
方法二：使用二次根式的平方对于任意正实数a和b，如果a>b，则a²>b²。
因此，我们可以比较二次根式的大小，先计算其平方，然后比较平方的大小。
注意这种方法只适用于非负的二次根式，对于负二次根式需要使用其他方法。
方法三：使用分数形式将二次根式转换为分数形式可以更直观地比较大小。
对于任意正实数a和b，如果a>b，则√a>√b。
通过将二次根式转换成相同的分母，我们可以直接比较分子的大小。
方法四：使用当量形式对于任意非负实数a和b，如果a>b，则√a>√b。
但对于负实数，我们需要使用当量形式来进行比较。
当a和b都是负数时，如果a>b，则√a<√b。
因此，在比较负二次根式大小时，我们需要将其写成当量形式。
方法五：使用图形方法可以通过绘制二次根式的图形来比较大小。
对于平方根函数√x来说，当x增大时，其图像也增大。
因此，我们可以绘制二次根式的图像，并观察两个二次根式的位置关系，从而比较其大小。
方法六：使用近似值如果我们只是需要大致比较二次根式的大小，而不需要精确值，可以使用近似值来进行比较。
通过计算二次根式的近似值（如保留小数点后两位），然后比较近似值的大小，可以得到二次根式大小的一个估计。
方法七：使用指数运算对于任意正实数a和b以及正整数n，如果a>b，则aⁿ>bⁿ。
因此，我们可以将二次根式的指数提取出来，然后比较指数运算的结果。
这种方法适用于有多项式表达式中的二次根式。
方法八：使用代数方法对于给定的二次根式，我们可以使用代数方法将其转化为有理数。
比较二次根式大小的几种方法
比较二次根式大小的几种方法比较含有二次根式的式子的大小，如果不允许查表和使用计算器，会感到棘手，因此在学习中掌握几种比较的方法是非常必要的。
一、移动法把根号外的非负因式移到根号内比较被开方数大小。
例1. 比较62和53的大小。
解：因为6226722=⨯= 5335752=⨯=所以6253<.二、平方法例2. 比较72和63的大小.解：因为()72492982=⨯= ()633631082=⨯=所以 7263<.三、作差法例3. 比较225-和52-的大小. 解：因为()()22552225523225---=--+=-又因为()()3218252022== 所以 322532250<-< 所以 22552-<-四、配方法 例4. 比较8215-和1263-的大小.解：82155215353-=-+=-12639227333-=-+=-因为53< 所以8251263-<-五、分子或分母有理化例5. 比较76-和65-的大小.解：因为76-()()=-++767676 =+17665-()()=-++656565=+165因为 7665+>+所以 7665-<-.例6. 比较176-和152-的大小. 解：将分母有理化因为17676-=+， 15252-=+ 因为 7654+>+ 所以 176152->-六、借助中间值比较法例7. 比较52+和371-的大小.解：因为53<所以525+< 因为376> 所以 3715-> 所以 52371+<-七、缩放法在解题时，有时则需要将某个式子适当地放大或缩小，进行比较。
例8. 比较()323-与32的大小.解：()32332333332-=+<+=. 所以 ()32332-<.例9. 比较18981+与20011-的大小.解：因为189811849143144+>+=+= 2001145144-<-=所以 1898120011+>-.。
专训2比较二次根式大小的八种方法
专训2比较二次根式大小的八种方法比较二次根式的大小是数学中常见的问题。
在本文中，将介绍八种常见的方法来比较二次根式的大小。
这些方法包括化简、通过比较系数、平方、提取公因数、借助图像、使用近似值、利用性质、以及使用不等式。
通过掌握这些方法，可以更加灵活地处理二次根式的大小关系问题。
第一种方法是化简。
化简是将二次根式转化为最简形式，并比较它们的系数和根号中的数值来判断大小关系。
例如，对于√2和√3，可以将它们分别化简为1.414和1.732，然后进行比较。
在进行比较时，可以直接比较这些数的大小。
第二种方法是比较系数。
对于形如a√b和c√d的二次根式，可以通过比较a和c的大小来判断它们的大小关系。
如果a>c，则a√b>c√d；如果a=c，则需要比较b和d的大小；如果a<a，则a√b<c√d。
第三种方法是平方。
如果对于正实数a，有a²>b，则√a>√b。
这个性质可以推广到二次根式的比较中。
例如，对于√5和2，可以计算它们的平方分别为5和4，可以得出结论√5>2第四种方法是提取公因数。
如果两个二次根式的根号中的数值相同，可以将它们提取出来，然后比较系数的大小。
例如，对于√3和2√3，可以将它们都提取出√3，然后比较系数的大小，可以得出结论2>1，即2√3>√3第五种方法是借助图像。
可以将二次根式的值表示在数轴上，并比较它们在数轴上的位置来判断大小关系。
例如，可以将√2和√3在数轴上表示出来，并比较它们的位置关系。
第六种方法是使用近似值。
可以利用计算器或其他工具将二次根式近似为小数，然后直接比较这些小数的大小。
例如，可以近似计算出√2≈1.414和√3≈1.732，然后比较它们的大小。
第七种方法是利用性质。
可以利用二次根式的性质来进行推导和比较。
例如，可以利用开方的非负性质来判断二次根式的大小关系，即对于非负实数a，有√a>0。
第八种方法是使用不等式。
比较二次根式大小的8种方法
接下来就让带大家一起来学习比较二次根式大小的8种方法：
平方法、作商法、分子有理化、分母有理化、作差法、倒数法、特殊值法、定义法
方法一：平方法
……根号内的数相加为同一个数时。
平方法是对要比较大小的两个数先平方，根据平方后数据的大小来确定原数的大小。
方法二：作商法
……向1靠拢，化同类项。
作商法是把要比较大小的两个数相除，根据除得的商来判断原来数值的大小，除得的商分大于1，等于1，或小于1。
方法三：分子有理化法
……根号内的数差为同一个数时，将分子化1，比分母。
分子有理化法是专门针对二次根式比较大小来说的，通过对分子有理化来判断出大小，再确定原数值的大小。
方法四：分母有理化法
……根号内的数相似，化同为目标。
分母有理化是通过对二次根式乘以有理化因式后，将原来的二次根式化简成最简二次根式再比较大小。
方法五：作差法（最常用）
作差法就是将比较大小的两个数相减，根据所得的差来看两数的大小，也是平时比较大小最常用的方法。
方法六：倒数法
倒数法就是先求出原数倒数的大小，再根据倒数的大小来确定原来数值的大小。
方法七：特殊值法
特殊值法就是通过对比较大小的代数式子赋特殊值的方法来确定大小的方法。
方法八：定义法
以上就是比较二次根式大小的8种方法，其中第5种最常用！这8种方法你掌握了几种呢。
二次根式知识点总结大全
二次根式知识点总结大全二次根式是含有平方根的代数表达式，在高中数学中，学习和掌握二次根式的相关知识点是非常重要的。
下面是二次根式的知识点总结：一、二次根式的定义与性质1.定义：二次根式是形如√a的代数式，其中a为非负实数。
2.平方根的性质：a)非负实数的平方根是唯一的。
b)负实数不能作为平方根。
3.二次根式的性质：a)如果a≥0，则√a≥0。
即非负数的平方根是非负数。
b)如果a≥b≥0，则√a≥√b。
c)如果a>b≥0，则√a>√b。
二、二次根式的化简与运算1.化简二次根式：a) 利用化简公式√(ab) = √a · √b，可以将二次根式中的因数分解为二个较简单的二次根式。
b)利用化简公式√(a/b)=√a/√b，可以将二次根式中的因式进行有理化，即分子或分母有理化。
2.二次根式的四则运算：a)加减：对于同根号下的项，进行加减运算，其他项保持不变。
b)乘法：将同根号下的对应项相乘，其他项保持不变。
c)除法：将被除数和除数分别有理化后进行除法运算。
三、二次根式的大小比较1.二次根式的大小比较：a)在同号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分大小比较一致。
b)在异号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分的大小关系相反。
2. 已知ab≥0，√a ≥ √b的条件：a)若a≥0，b≥0，则√a≥√b。
b)若a<0，b<0，则√a≤√b。
c)若a<0，b≥0，则√a≤√b。
d)若a≥0，b<0，则√a≥√b。
四、求二次根式的值1.简单二次根式的值：如求√4的值等，可以直接得到结果。
2.复杂二次根式的值：如求√(2+√3)的值等，可以通过有理化的方法，先进行化简，再进行求值。
五、二次根式的应用1.几何应用：二次根式可以用来计算各种几何图形的边长、面积、体积等。
2.物理应用：在物理学中，二次根式可以用来求解力、速度、加速度等物理量。
3.经济应用：在经济学中，二次根式可以用来描述成本、效益等经济指标。
二次根式的大小比较方法
（一）
蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（ ）的嘴角，好像有话要跟你说。在 那极富 个性的 嘴角和 眼神里 ，悄然 流露出 恬静、 淡雅的 微笑。 那微笑 ，有时 让人觉 得舒畅 温柔， 有时让 人觉得 略含哀 伤，有 时让人 觉得十 分亲切 ，有时 又让人 觉得有 几分矜 （ ）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是 那样耐 人寻味 ，难以 捉摸。 达·芬奇 凭着他 的天才 想象为 和他那 神奇的 画笔， 使蒙娜 丽莎转 瞬即逝 的面部 表情， 成了永 恒的美 的象征 。
方法 1 平方法
1．比较 6 11 与 14 3 的大小． 解：因为( 6 11 )2＝17＋2 66 , ( 14 3 )2＝17＋
2 42 ，17＋2 66 ＞17＋2 42 ， 所以( 6 11 )2>( 14 3 )2，又因为 6 11 >0，
14 3 >0，所以 6 11 ＞ 14 3 .
21、怠惰是贫穷的制造厂。 22、先知三日，富贵十年。 23、自信是向成功迈出的第一步。——爱因斯 坦 24、一个人除非自己有信心，否则不能 带给别 人信心 ；已经 信服的 人，方 能使人 信服。 ——麦 修·阿诺 德 25、凡是挣扎过来的人都是真金不怕火 炼的； 任何幻 灭都不 能动摇 他们的 信仰： 因为他 们一开 始就知 道信仰 之路和 幸福之 路全然 不同， 而他们 是不能 选选择 的，只 有往这 条路走 ，别的 都是死 路。这 样的自 信不是 一朝一 夕所能 养成的 。你绝 不能以 此期待 那些十 五岁左 右的孩 子。在 得到这 个信念 之之前 ，先得 受尽悲 痛，流 尽眼泪 。可是 这样是 好的， 应该要 这样… …——罗 曼·罗 兰 26、一个人在科学探索的道路上，走过 弯路， 犯过错 误，并 不是坏 事，更 不是什 么耻辱 ，要在 实践中 勇于承 认和改 正错误 。——爱因斯 坦88我 们的理 想应该 是高尚 的。我 们不能 登上顶 峰，但 可以爬 上半山 腰，这 总比待 在平地 上要好 得多。 如果我 们的内 心为爱 的光辉 所照亮 ，我们 面前前 又有理 想，那 么就不 会有战 胜不了 的困难 。——普列姆 昌德 27、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计 分板上 。
教学反思二次根式大小比较的几种方法
二次根式大小比较的几种方法二次根式的大小比较，除了掌握实数大小比较的法则外，还需掌握一定的技巧，下面介绍几种二次根式大小的比较方法与技巧。
一、 比差法要比较两个二次根式的大小，可以让这两个根式相减，视其差值的正负就可以判断它们的大小：若0>-b a ，则b a >；若0<-b a ，则b a <；若0=-b a ，则b a =。
例1， 比较35-和32-的大小 解：∵()()01293233235<-=-=+-- ∴3235+<-“比差法”是一种常用的比较方法，一般说如果两个二次根式出现某些同类二次根式，就要考虑采用这种方法。
二、 比商法如果a 、b 都是正实数，若1>b a ，则b a >；若1<ba ，则b a <；若1=b a ，则b a =。
例2， 比较的大小与2557解：∵2557=125282528>= ∴2557> 三、 化同法先将两个二次根式化为一个数的算术平方根，根据被开方数的大小，就可以判断两个根式的大小。
例3， 比较31527与的大小 解：∵6373= 60152=，而6063> ∴15273>这种方法适用于两个单个二次根式的比较或一个根式与一个有理数的比较。
四、 平方法就是先将两个根式各自平方，然后比较平方后的大小，再说明原数的大小，即，若0>a ，0>b ，且22b a >，则b a >；若0<a ，0<b ，且22b a >，则b a <。
例4， 比较的大小与87105++ 解：∵0105>+ 087>+ 而50215)105(2+=+56215)87(2+=+ 又5621550215+<+ ∴22)87()105(+<+ ∴87105+<+ 对于根式d c b a ±±与，若d c b a +=+，可用此法。
比较二次根式的大小
对于进行大小比较的二次根式，通常是不易直接计算其值的，那么怎样才能正确、灵活地解答这类问题呢？下面向同学们介绍几种方法。
一、根号外因式内移法
根据：口＞６＞ｏ。
则√口＞√乱
例ｌ比较３√２和２√５的大小。
解：３压＝瓜，２店＝湎．
・．－瓜＜厕，．・．３在＜２压
二、平方法
根据：ａ＞Ｏ，厶＞０，若扩＞厶２，则口＞６；若口２＝６２，＿贝！ｌ口＝６；若口２＜６２，则口（ｋ
例２比较后＋再和在＋属的大小。
解：・．・压＋万＞ｏ，在＋屈＞ｏ，
又（厣＋矗）２＝８＋２邝，（在＋佰）２＝８＋２巾．
・．‘邝＞佃，．・．（居＋扫）２＞（压＋屈）２．
辫５＋６＞压＋嫡．
・２２・
厢一万＝照铲＝赤，
、１６’ｔｓｔ６七４ｓ
又・．・后＋２＜佰＋后，
．・．；Ｌ＞去，即居一２＞厢一压
０５＋２０６＋０５
八、化同次根式法
当两个根式的根指数不同时，先化成同次后，再进行大小比较。
例８比较筘和压的大小。
解：・．・扣＝两，居＝征；，
又・．・瓶＜拼晒，
７．扫＜届．
练一练
∽＋石驰砺２・赤镑；
３．０一尽耶一再；４．ｒｊ与一再；
５小在与２在．６．鲽与等
（答案：１．＞；２．＞；３．＜；４．＞；５．＜；６．＜．）
・２５・。
八年级数学 二次根式化简求值及比较大小(含知识点练习题)
8设
S1
1 1 12
1 22
，
S2
1
1 22
1 32
，
S3
1
1 32
1 42
，
…，
Sn
1
1 n2
1
n 12
．
若
S S1 S2 … Sn ，求 S（用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数）．
9 已知
x
y 1
z
2
1 2
(x
y
z)
，求
x
、
y
随堂练习
x 3.1 当 x 0 时， x2 的值为（ ）
A． 1
B．1
x3 x 1
3.2 化简
x ，得（ ）
C． 1
D．x
A． x 1 x
B． 1 x x
C． x 1 x
D． x 1 x
3.3 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则 (a +b)2 +a 的化简结果为____．
(
x x
x2 1)2
2x (x
1 1)2
，其中
x
3 2
．
二：多重二次根式 例 3.2.1 化简：（1） 4 12 （2） 4 15
例 3.2.2 化简： 10 8 3 2 2 ． 例 3.2.3 若正整数 a 、 m 、 n 满足 a2 4 2 m n ，则 a 、 m 、 n 的值依次是_______．
4.3 已知 a 2 1， b 2 2 6 ， c 6 2 ，那么 a ， b ， c 的大小关系是（ ）
二次根式大小比较的常用方法
二次根式大小比较的常用方法1.利用平方根的性质：如果两个数的平方根相同，那么这两个数一定相等。
即对于任意正实数a和b，如果√a=√b，则a=b。
利用这个性质，我们可以对二次根式进行大小比较。
2.化简二次根式：利用二次根式的性质，我们可以将二次根式化简为最简形式。
例如，对于√2和√3，我们可以将它们化简为√6和√3，然后比较它们的大小。
通常情况下，我们将二次根式化简为含有最小素数因子的形式，这样可以更容易比较大小。
3.平方根的分子分母相等法：对于二次根式的大小比较，我们可以通过比较它们的分母。
如果分母相等，那么我们可以通过比较分子的大小来确定二次根式大小的关系。
例如，对于√5和√2，我们可以将它们分别表示为(√5)/(√1)和(√2)/(√1)，由于分母相等，在分子的大小比较中，√5大于√2，因此√5大于√24.乘法法则：对于以二次根式为因子的乘法式，我们可以通过乘法法则来确定它们的大小关系。
根据乘法法则，如果一个数的平方大于另一个数的平方，那么这个数就大于另一个数。
例如，对于√3和√5来说，我们可以将它们相乘得到√15和√1，由于15大于1，所以√15大于√1、通过这个乘法法则，我们可以对多个二次根式的大小进行比较。
5.通过比较被开方数的大小：被开方数的大小也决定了二次根式的大小关系。
例如，对于√7和√5来说，我们可以通过比较7和5的大小来确定它们的大小关系。
由于7大于5，所以√7大于√5、这个方法适用于对没有公共因子的二次根式进行大小比较。
在实际运用中，我们可以根据需要选择合适的方法进行二次根式大小比较。
有时候需要结合多种方法来确定二次根式的大小关系。
熟练掌握这些方法，可以帮助我们更好地理解二次根式的性质和进行大小比较。
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比较二次根式大小的巧妙方法
一、移动因式法
将根号外的正因式移入根号内,从而转化为比较被开方数的大小。
例1:比较的大小。
解:
＞
∴＞
二、运用平方法
两边同时平方,转化为比较幂的大小。
此法的依据就是:两个正数的平方就是正数,平方大的数就大;两个负数的平方也就是正数,平方大的数反而小。
例2:比较与的大小。
解:∵,
＞0,＞0
∴＜
三、分母有理化法
此法就是先将各自的分母有理化,再进行比较。
例3:比较与的大小。
解:
∴＞
四、分子有理化法
此法就是先将各自的分子有理化,再比较大小。
例4:比较与的大小
解:∵
＞
∴＞
五、求差或求商法
求差法的基本思路就是:设为任意两个实数,先求出与的差,再根据“当
＜0时,＜;当时,;当＞0时,＞”来比较与的大小。
求商法的基本思路就是:设为任意两个实数,先求出与的商,再根据“①
同号:当＞1时,＞;＝1时,;＜1时,＜。
②异号:正数大于负数”来比较与的大小。
例5:比较的大小。
解:∵
＜∴＜
例6:比较的大小。
解:∵＞1
∴＞
六、求倒数法
先求两数的倒数,而后再进行比较。
例7:比较的大小。
解:∵
＞
∴＜
七、设特定值法
如果要比较的二次根式中含有字母,为了快速比较,解答时可在许可的条件下设定特殊
值来进行比较。
例9:比较与的大小。
解:设,则:
＝1,＝
∵＜1,∴＞
九、局部缩放法
如果要比较的二次根式一眼瞧不出有什么特点,又不准求近似值,可采取局部缩放法,以确定它们的取值范围,从而达到比较大小的目的。
例10:比较的大小。
解:设,
∵,7＜＜8,即7＜＜8
,8＜＜9,即8＜＜9
∴＜,即＜
例11:比较与的大小。
解:∵＞
∴＞
十、“结论”推理
通过二次根式的不断学习,不难得出这样的结论:“＞(＞＞0)”,利用此结论也可以比较一些二次根式的大小(结论证明见文末)。
例12:比较1与的大小。
解:∵,
由＞(＞＞0)可知:
＞
即＞
又∵＞
∴＞,即1＞
总的来说,比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种,除此之外诸如移项、拆项法,类比推理法,数形结合法,数轴法,还有假设推理法等等,但不管使用哪种方法,都必须在掌握二次根式的基本性质与运算法则上进行,要根据问题的特征,二次根式的结构特点,多角度地探索思考,做到具体问题具体分析,针对不同问题采取不同的策略,另外还应多做这方面的训练,方能达到熟练而又快捷,运用自如的程度。
附:“＞(＞＞0)”的证明。
证明:∵,,
＞
∴＞(＞＞0)。