数学建模(公司人力资源配置方案的最优设计)
招聘人力资源规划数学建模
招聘人力资源规划数学建模引言在当前竞争激烈的人力资源市场中，企业的人力资源规划变得愈发重要。
招聘是人力资源规划的核心环节之一，而数学建模则在此过程中发挥重要的作用。
本文将介绍如何使用数学建模来辅助招聘人力资源规划的决策过程，并探讨其优势和实际应用。
招聘人力资源规划概述招聘人力资源规划旨在预测和满足企业未来的人力需求。
准确的招聘计划能够帮助企业根据业务需求和发展目标，合理配置人力资源，从而提高人员的配对度、减少人员的流动性、降低招聘成本。
而数学建模则基于大量的历史数据和变量来分析和预测招聘人力资源规划中的多个方面，如招聘周期、用人需求等。
数学建模在招聘人力资源规划中的应用数据收集和分析在数学建模中，数据是非常关键的一部分。
通过收集并分析历史的招聘数据，构建一个完整的数据集。
这些数据可能包括候选人的简历、面试结果、录用率等信息。
通过对这些数据进行统计分析、可视化处理，我们可以更好地了解企业的招聘情况，发现与业务目标不符的地方，并对未来的招聘人力资源规划做出精确的预测。
模型建立和分析在数学建模中，我们可以利用多种建模技术来构建相应的模型。
例如，可以使用人力资源决策树来预测不同招聘渠道和策略对人员流动性的影响；也可以使用线性规划模型来优化招聘成本，最大化人力资源的利用效率。
这些模型可以帮助企业在不同情况下进行决策，从而使招聘人力资源规划更加灵活和高效。
预测和优化数学建模可以帮助企业预测未来的人力资源需求，并根据实际情况提供相应的优化方案。
通过对历史数据的统计和分析，我们可以发现招聘需求的季节性或周期性变化，并基于这些变化来调整招聘计划。
同时，数学建模还可以通过考虑不同的约束条件，如组织结构、薪资预算等，生成最优的人力资源规划方案，从而提高企业的绩效。
数学建模在实际招聘人力资源规划中的案例分析招聘计划优化案例假设一家互联网公司需要招聘50名软件工程师。
通过数学建模，可以分析不同的招聘渠道和策略对于招聘成本和招聘周期的影响。
数学建模-聘用方案问题
聘用方案问题问题：（1）某服务部门一周中每天需要不同数目的雇员：周一到周四每天至少50人, 周五和周日每天至少80人, 周六至少90人. 现规定应聘者需连续工作5日， 试确定聘用方案, 即周一到周日每天聘多少人, 使在满足需求条件下聘用总人数最少.（2）上面指的是全时雇员 (一天工作8小时)，如果可以用两个临时聘用的半时雇员(一天工作4小时, 不需要连续工作)代替一个全时雇员，但规定半时雇员的工作量不得超过总工作量的四分之一. 又设全时雇员和半时雇员每小时的酬金分别为5元和3元，试确定聘用方案, 使在满足需求的条件下所付酬金总额最小。
问题（1）⏹ 问题分析要求应聘者需连续工作五日，那么，为了模型的建立，我们令每个人工作且仅连续工作五日，且认为每个人都长期工作，则每一周都是等同的。
设从星期i 开始工作的人有x i 个，那么他他将工作到星期（i+4）,当i+4>7时则工作到下一周的星期（i-3），这同时意味着他在本周的星期1，…，i-3,也工作了。
例如星期一的x 1个人工作的日子为星期1，2，3，4，5，星期五的x 5个人工作的日子为星期1，2，5，6，7。
其他天的情况同理可知。
那么星期一工作的人有x1+x4+x5+x6+x7个，要求星期一工作的人数至少为50，那么就有x1+x4+x5+x6+x7>=50，其他的日子也可以同样地写出来。
于是就有了下面（模型建立中）的限制条件。
我们要求的是总人数最少，即目标函数z=∑x i 7i=1最小。
设定x i >=0，且为整数。
⏹ 模型建立Min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t.x1+x4+x5+x6+x7>=50 x1+x2+x5+x6+x7>=50 x1+x2+x3+x6+x7>=50 x1+x2+x3+x4+x7>=50 x1+x2+x3+x4+x5>=80 x3+x4+x5+x6+x7>=80 x2+x3+x4+x5+x6>=90 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0x5>=0x6>=0x7>=0⏹编写程序在lindo软件下编写程序Min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7s.t.1) x1+x4+x5+x6+x7>=502) x1+x2+x5+x6+x7>=503) x1+x2+x3+x6+x7>=504) x1+x2+x3+x4+x7>=505) x1+x2+x3+x4+x5>=806) x3+x4+x5+x6+x7>=807) x2+x3+x4+x5+x6>=908) x1>=0x2>=0x3>=0x4>=0x5>=0x6>=0x7>=0endgin 7⏹运行结果Global optimal solution found.Objective value: 90.00000Objective bound: 90.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 5Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 1.000000 X2 10.00000 1.000000 X3 30.00000 1.000000 X4 10.00000 1.000000 X5 30.00000 1.000000 X6 10.00000 1.000000 X7 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 90.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.000000 10 10.00000 0.000000 11 30.00000 0.000000 12 10.00000 0.000000 13 30.00000 0.000000 14 10.00000 0.000000 15 0.000000 0.000000⏹ 解释结果使得z=∑x i 7i=1最小且满足限制条件的x i 取值为x 1=0，x 2=10，x 3=30，x 4=10，x 5=30，x 6=10，x 7=0，Min z=90.⏹ 具体方案由以上讨论得，使得周一到周四每天至少50人, 周五和周日每天至少80人, 周六至少90人且聘用人数最少的方案是：周一开始的不聘，周二开始工作的聘10人，周三开始工作的聘30人，周四开始工作的聘10人，周五开始工作的聘30人，周六开始工作的聘10人，周日开始工作的不聘。
关于企业利益最大化的数学建模论文
《数学建模与数学实验综合实验》课程设计任务书一、设计目的通过《数学建模与数学实验综合实验》课程设计，使学生能够将课堂上学到数学建模的理论知识与实际问题相联系，在提高学生学习兴趣的同时逐渐培养实际操作技能，强化对课程内容的了解。
本课程设计不仅有助于学生提高学生的建模能力，而且也有助于培养学生门的创新意识和动手能力。
二、设计教学内容本题要求运用数学建模知识解决人力资源管理中所遇到的问题。
本论文针对各项工程对技术人员限制的实际需求，充分合理地对专业技术人员进行合理配置，最终给出了该模型下的最优解，使公司收益最大化。
在模型求解过程中运用matlab软件得出模型中技术力量配置的最优解，最终解决了本题中的人力资源安排问题。
三、设计时间2011—2012学年第1学期：第16周共计1周教师签名:2010年12月12日摘要随着现代企业的发展，企业之间的竞争力越来越大，如何尽量满足客户的要求并且符合公司的人力资源，使企业的收益最大，这就涉及人员的分配问题。
合理的人力资源配置应使人力资源的整体功能强化，使人的能力与岗位要求相对应。
企业的岗位有层次与种类之分，它们占据着不同的位置，处于不同的能级水平。
每个人也都具有不同水平的能力，在纵向上处于不同的能级位置。
企业岗位人员的配置，应能做到能级对应，也就是说每一个人所具有的能级水平与所处的层次和岗位的能及要求相对应。
本文针对各项工程对技术人员限制的实际需求，充分合理地对专业技术人员进行合理配置，最终给出了该模型下的最优解，使公司收益最大化。
首先明确目标函数为公司最大收益，根据题目要求综合考虑了各项目客户对公司各专业技术人员人数的限制及总技术人员人数的限制，以及公司各类专业技术人员资源的限制等因素，将这些因素量化，即为本题的约束条件。
再利用Matlab软件得出模型中技术力量配置的最优解，即得以解决了本题中的人力资源安排问题。
关键词：多目标规划，最优化模型，约束量化1 问题的重述"E公司"有专业技术人员共41人，人员结构可以分为高级工程师、工程师、助理工程师以及技术员，人员结构对应的工资水平各有不同。
数模-公司工作人员调整问题
公司工作人员调整问题摘要：一个现代企业应该具有完善的用人制度，特别是考核制度。
本文根据数学建模的思想，通过对人员考核结果以及各岗位的素质需求等进行综合分析，为现代企业提供了科学实用的内部人员调整途径。
首先，根据工作人员工作意向、单位评价和各岗位对工作人员的要求，结合单位录用人员的一般经验，建立经验评判模型，得出初步的调整方案。
然后，将决策的目标分解为公司满意度和员工满意度，其中，公司满意度分解为四个工作岗位对员工的满意度，它是综合公司对员工以往工作的考核结果以及各个岗位对每种职工能力的要求程度，它是通过层次分析法将定性的量定量化得到的；员工的满意度分解为四名员工对各个岗位的满意度，它是综合员工的志愿以及每个志愿之间的待遇差别，进行层次分析得到的。
其次，在得到每个员工对每个工作岗位的满意度以及每个工作岗位对每个员工的满意度的基础上，我们再通过0-1规划模型求出最优解；最后，对所求得的最优解的模型进行改进，对两个满意度指标的权重进行灵敏度分析，也证明模型的有效性，使得决策更加合理。
最终确定最优的人员调整方案为：分别将员工1、2、3、4分配到岗位4、3、1、2。
关键词：经验判断模型满意度层次分析法 0-1模型灵敏度分析Ⅰ问题背景及问题重述一、问题背景对员工的调整，虽说是一种现代企业制度的管理机制，但并不是说用人单位可以随意对员工的岗位进行变动，其调整的依据，一方面是用人单位生产经营需求，即各个岗位对于所需员工各方面的能力（工作能力、管理水平、综合处理能力、技术水平）的要求，另一方面就是员工的工作意向。
只有充分考虑两方面的因素，才能使用人单位以及员工都满意，那样生产效率才会更高。
二、问题重述人力资源的合理分配已成为当今社会发展的重要课题，受到社会各界的广泛关注。
某单位为了尽可能发挥工作人员的作用，拟将4名工作人员的工作岗位进行适当调整。
单位根据以往的工作表现对4名工作人员的工作能力，综合处理能力，管理水平，技术水平等四方面进行了评价，已知四名工作人员的工作意向和各岗位的工资待遇，工作环境，工作强度晋升机会和对工作人员希望达到的要求。
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
(数学建模)人力资源安排模型
(数学建模)人力资源安排模型文档：人力资源安排模型一、教学内容本节课我们将学习人力资源安排模型，这是数学建模中的一个重要内容。
我们将通过一个具体的例子来引入这个模型，然后讲解其数学原理和应用。
教材的章节为《数学建模》中的第9章，具体内容为“人力资源安排模型”。
二、教学目标1. 理解人力资源安排模型的概念和原理；2. 学会如何应用人力资源安排模型解决实际问题；3. 培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点重点：理解人力资源安排模型的概念和原理，学会如何应用人力资源安排模型解决实际问题。
难点：如何将实际问题转化为数学模型，并求解。
四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔；学具：纸、笔、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：以一个公司的员工排班为例，讲解人力资源安排模型的实际应用。
2. 讲解人力资源安排模型的概念和原理：介绍人力资源安排模型的定义，讲解其数学原理和应用。
3. 例题讲解：给出一个具体的人力资源安排问题，引导学生如何将其转化为数学模型，并求解。
4. 随堂练习：让学生自己尝试解决一个人力资源安排问题，然后进行讲解和讨论。
5. 板书设计：将人力资源安排模型的数学公式和步骤板书在黑板上，方便学生理解和记忆。
6. 作业设计：给出一个人力资源安排问题，让学生课后解决，并写上下节课的PPT演示稿。
六、作业设计题目：某公司有三个部门，每个部门需要安排一名员工值班。
假设三个部门的员工分别为A、B、C，他们的值班时间分别为2小时、3小时和4小时。
要求每个部门的员工都不能连续值班，问如何安排员工的值班表？答案：可以安排如下：A值班：0002B值班：0205C值班：0509七、课后反思及拓展延伸本节课通过一个具体的例子引入了人力资源安排模型，让学生了解了其概念和原理，并学会了如何应用这个模型解决实际问题。
在教学过程中，我发现有些学生对于如何将实际问题转化为数学模型还有一定的困难，因此在课后我需要加强对这部分学生的辅导，让他们更好地理解和掌握这个模型。
数学建模-人员安排问题及参考答案
Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 18000.00 18000.00 18000.00 18000.00 18000.00 18000.00 18000.00 18000.00 18000.00 21000.00 21000.00 21000.00 21000.00 21000.00 21000.00 21000.00 21000.00 21000.00 19200.00 19200.00 19200.00 19200.00 19200.00 19200.00
目标函数值：203400 元； 费用增加量：203400-198000=5400 元； 当重新安排工程师甲到工期 2 时的损失不超过 5400 元时， 可以将 他的工作重新安排。 5.2 问题三 模型构成： 增加约束条件： （不一起工作可理解为不同时在一个项目中工 作） ： 0 x2 jk x3 jk 1 , j 1, 2,3 , k 1, 2,3 ； 求解： 最 优 解 ： x123 x131 x132 1 ， x213 x222 x231 1 ， x313 x331 x332 1 ，
Value 3000.000 3500.000 3200.000 3900.000 3.000000 2.000000 5.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000
数学建模最优化模型
有约束最优化问题的数学建模
有约束最优化模型一般具有以下形式：
m in f (x)
m ax f (x)
x
或
x
s .t. ......
s .t. ......
其中f(x)为目标函数，省略号表示约束式子，可以是 等式约束，也可以是不等式约束。
最优化方法主要内容
f1='-2*exp(-x).*sin (x)';
[xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)
运行结果： xmin = 3.9270 xmax = 0.7854
ymin = -0.0279 ymax = 0.6448
例2 有边长为3m的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以 制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
例1：求函数y=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最 大值与最小值。
解：令f(x)=y=2x3+3x2-12x+14
f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1) 解方程f’(x)=0，得到x1= -2，x2=1，又 由于f(-3)=23，f(-2)=34，f(1)=7，f(4)=142， 综上得， 函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
ya11a3ln1a2expxa5a4
其中 a1 a2 a3 a4 和a 5 待定参数,为确定这些参数,
对x.y测得m个实验点: x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2, x m ,y m .
试将确定参数的问题表示成最优化问题.
基于数学建模的资源优化分配模型
基于数学建模的资源优化分配模型资源优化分配模型是一种基于数学建模方法的决策模型，旨在通过合理的资源分配策略来实现资源的最大化利用和效益。
在资源优化分配模型中，首先需要确定目标函数，即所需优化的目标。
目标函数可以根据具体的应用场景来确定，如最大化利润、最小化成本、最大化效益、最大化服务质量等。
根据目标函数的设定，可以进一步确定约束条件和决策变量。
约束条件是指对资源分配进行限制的条件。
这些约束条件可以是资源的供给限制、技术限制、市场条件等。
例如，一家生产企业在分配生产资源时可能会考虑工人的工作时间、机器的使用时间、原材料的供应量等。
这些约束条件需要根据实际情况加以确定，并在模型中进行描述和考虑。
决策变量是指在资源分配过程中可供调整的变量。
决策变量的选取与模型的复杂性和实际可行性有关。
常见的决策变量包括：产品生产量、资源的分配比例、生产线的配置等。
在实际应用中，决策变量的选取需要综合考虑多个方面的因素，例如成本、效益、风险等。
在基于数学建模的资源优化分配模型中，常用的数学方法包括线性规划、整数规划、动态规划、模拟等。
不同的数学方法适用于不同的问题，根据实际情况选择合适的方法进行建模和求解。
线性规划是一种常用的数学方法，适用于目标函数和约束条件都是线性关系的问题。
线性规划通过数学优化理论和算法来求解最优的资源分配方案。
整数规划则是在线性规划的基础上增加了整数变量的限制，在某些问题中可以更好地反映实际情况。
动态规划是一种适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题的优化方法。
通过将问题分解为多个子问题，并保存子问题的最优解，动态规划可以高效求解问题的最优解。
在资源优化分配模型中，动态规划可以用于处理具有时序关系的问题，例如生产计划、库存管理等。
模拟是一种基于随机数生成的数学方法，适用于对不确定性因素进行建模和分析的问题。
通过随机数的生成和运算，模拟可以模拟一系列可能的情况，从而评估各种资源分配策略的效果。
在资源优化分配模型中，模拟可以用于评估不同决策方案的风险和不确定性。
人力资源规划的数学模型
一问题描述公司有以下三种工作人员：不熟练工、半熟练工和熟练工。
公司目前已经拥有一批工作一年以上的职员，通过对未来三年的工作量预测得到了未来几年的各类职员的需求表格（如下表）。
表1为满足这些需求，公司可以考虑以下四种人事变动途径：（1）招聘职员；（2）培训职员；（3）辞退多余职员（4）用临时工。
公司出于对不同公司目标的前提下，提出问题：问题一：如果公司的目标是尽量减少辞退职员。
提出相应的招聘和培训计划。
问题二：如果公司的政策是尽量减少费用，则额外费用和辞退的职员人数将会怎样变化。
二问题分析公司为了满足公司职员的需要，将考虑一下四种途径：招聘职员、培训职员、辞退职员、招临时工。
然而由于人才具有流动性强的特点，每年都会存在员工自然跳槽的事件发生。
公司可与根据职员的发展潜力而对职员进行培训，也可以把一些能力不足的职员进行将等处理，而对于那些能力太差的职员，公司将采取辞退职员的措施。
由于员工跳槽具有随机性，所以公司可以在任意时刻针对员工跳槽后采取额外招聘来填充缺少的职员。
对于问题一，公司的目的是尽量减少辞退公司职员。
而我们先分析三类职员在未来几年的需求情况:不熟练员工逐年减少，半熟练和熟练员工具有逐年增加的趋势。
公司为了减少辞退职员，也就是说三类职员中辞退的职员总数应该取最小值。
而为了达到公司的目的，就应该充分利用公司内部职员，不进行额外招聘、不招临时工，而且要尽量不从公司外招聘职员。
对于某一个岗位来说，原有的职员中会有职员进行跳槽，在招进来的新人中也有一些人会跳槽，同时，公司会对一些比较有发展潜力的职员进行培训，同样，公司也可能对一些职员进行降等处理和辞退处理。
正是有了这些人事变动才构成了这一岗位职员人数的变化。
此时对于每一类职员，都有这样一个数量关系：前一年的所有职员中除去跳槽的人数+招聘的新人中除去跳槽的人数-本级培训到上一级职员的人数+下一级职员培训到本级的人数-辞退职员的人数-本级降等到下一级的职员人数+上一级降等到本级的职员人数=下一年的总工作职员数。
数学建模人力资源安排问题
欢迎阅读一.问题重述本题目是一个关于创设最佳方案来实现最佳人力资源分配以求公司最大收益。
目前公司接了四个工程项目，其中两项是Ａ、Ｂ两地的施工现场监视，另两项是Ｃ、Ｄ两地的工程设计，工作主要办公室完成。
公司人员结构、工资及收费情况见下表。
表3：各项目对专业技术人员结构的要求另外：１、项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；２、高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备有不能３、由于４、41.2.3.C,DW表示该公司每天的直接收益F表示调派过程中除去固定部分后的利润H表示各项目所需固定人员每天的直接利益C ij 为各公司各技术人员每天的直接收费[扣除工资和管理开支后的收费]，i=1时表示高级工程师的直接受费，i=2时为工程师的每天的直接收费，i=3时为助理工程师每天的直接收费，i=4时为技术员的每天的直接收费。
j=1表示A 项目，j=2表示B 项目，j=3表示C 项目，j=4表示D 项目。
四.问题分析在各个项目中，客户对不同的技术人员结构都有最低要求，其对应利润是固定的，在调派过程中除1）.该模型的核心是合理分配人力资源，使公司每天的直接受益最大化。
该公司的总收入来自客户对各个专业人员的支付。
而公司的支出有两项，四种专业人员的日工资和若在C 、D 两项目工作的办公室管理费用。
所以公司的总日收益是总收入减去总支出。
由题中的表1和表2中的数据以及办公室管理费用可得 表5：由表4和表5可得：H=750*1+1250*2+1000*2+700*1+600*2+600*2+650*2+550*2+430*2+530*2+480*2+480*1+390*1+490*3+240*1+340*0=162102）.由表3和表5所给条件可将各项目对专业技术人员结构的要求以及人员结构进行简化可得 调派部分不同项目对专业技术人员分配要求和剩余人员结构表6i i x ∑=41<=3（该公司剩余可供分配的高级工程师不超过3人）i i y ∑=41<=9（该公司剩余可供分配的工程师不超过9人）341<=∑-i i m （该公司剩余可供分配的助理工程师不超过3人）i i n ∑=41=0（该公司已无剩余可供分配的技术员）（2）项目A对专业技术人员结构的要求，则有0<=x1<=2(A项目对高级工程师的要求)0<=y1(A项目对工程师的要求)0<=m1(A项目对助理工程师的要求)0<=n1(A项目对技术员的要求)x1+y1+m1+n1<=4(A项目对总人数的限制)（3）（4）X3+y3+m3+n3<=4(C项目对总人数的限制) （5）项目D对专业技术人员结构的要求，则有0<=x4<=1(D项目对高级工程师的要求)0<=y4<=6(D项目对工程师的要求)0<=m4(D项目对助理工程师的要求)0<=n4(D项目对技术员的要求)X4+y4+m4+n4<=14(D项目对总人数的限制)(6)该公司分配给各个项目的专业技术人员必须是正整数六.模型求解用Lingo10进行求解。
人力资源安排的最优化模型
人力资源安排的最优化模型【摘要】本文主要探讨了人力资源安排的最优化模型，通过分析其重要性、研究背景和研究意义。
在介绍了人力资源安排最优化模型的基本原理、已有研究成果分析、影响因素分析、建立方法和实例分析。
结论部分分析了人力资源安排最优化模型的实际应用价值和未来研究方向，并进行了总结。
通过本文的内容，读者可以深入了解人力资源安排的最优化模型在实践中的重要性及其未来发展方向，为相关领域的研究和实践提供参考。
【关键词】人力资源安排、最优化模型、引言、研究背景、研究意义、基本原理、已有研究成果分析、影响因素分析、建立方法、实例分析、结论、实际应用价值、未来研究方向、总结。
1. 引言1.1 人力资源安排的最优化模型的重要性人力资源安排的最优化模型在现代企业管理中起着至关重要的作用。
随着经济的全球化和市场竞争的激烈化，企业需要更有效地利用人力资源，提高生产效率和员工满意度。
通过建立合理的人力资源安排模型，可以帮助企业更好地分配人力资源，合理安排员工的工作任务和轮岗计划，提高工作效率，降低成本，增强企业竞争力。
人力资源安排的最优化模型能够充分考虑员工的个体特点和技能水平，通过合理的匹配和调度，实现员工的最佳配置，提高员工的工作积极性和专业技能。
优化模型还可以根据企业的实际情况和需求，灵活调整人力资源的数量和结构，让企业在面对市场变化时能够迅速适应，保持竞争力。
建立健全的人力资源安排模型还可以帮助企业预测未来的人力需求，提前做好人才储备，为企业的发展提供保障。
人力资源安排的最优化模型对于企业的长期发展和持续经营至关重要，只有建立科学合理的模型，才能更好地实现人力资源的最大化利用和价值创造。
1.2 研究背景人力资源安排的最优化模型是一种帮助企业有效管理人力资源并提高生产效率的重要工具。
在当今竞争激烈的市场环境中，企业需要更加科学合理地安排人力资源，以适应市场变化和提高竞争力。
而随着信息技术的不断发展和应用范围的扩大，人力资源安排的最优化模型越来越受到企业的重视和青睐。
数学建模人力计划
数学建模协会竞赛题目设计所选题目：人力计划人力计划摘要某公司正经历一系列变化，这要影响到它在未来几年中的人力需求。
由于装备了新机器，对不熟练工人的需求相对减少，对熟练和半熟练工人的需求相对增加；同时，预期下一年度的贸易量将下降，从而减少对各类人力的需求，公司希望确定目标如下：（1）解雇人数最小化（2）费用最小化通过考虑题目中全部因素，并将因素转换为线性规划优化设计中的限制条件。
通过对目标一和目标二的模型建立，并利用数学软件lingo 进行求解，进而在规定范围内得出最优结果。
目录第一部分问题重述,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,(3)第二部分问题分析,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,(4)第三部分模型的假设,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(5)第四部分定义与符号说明,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,(6)第五部分模型的建立与求解,,,,,,,,,,,,, ,,,,,(7)1．变量的决策 (7)2．目标函数的说明 (10)3.lingo的目标代码 (10)第六部分模型的评价与改进,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(16)第七部分团队心得与体会,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(16)第八部分附录,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,(18)一、问题重述某公司正经历一系6列变化，这要影响到它在未来几年中的人力需求。
由于装备了新机器，对不熟练工人的需求相对减少，对熟练和半熟练工人的需求相对增加；同时，预期下一年度的贸易量将下降，从而减少对各类人力的需求。
现有人数及对未来三年人力需求的估计数见下表：为此，公司希望为未来三年确定（1）招工，（2）人员再培训，（3）解雇和超员雇用，（4）设半日工的计划方案。
因工人自动离职和其他原因，存在自然减员的问题。
有不少在受雇后干不满一年就自动离职；干满一年后，离职的情况就少了。
考虑到这一因素，设自然减员率如下表：现在没有招工。
数学建模与最优化技术
《数学建模与最优化技术》读书笔记赵金玲学号：200920373 硕2010级6班本书是由董文永主编，清华大学出版社出版。
该书主要分为五部分：数学建模与最优化的背景、数学建摸的基本概念与分类、数学建模举例、最优化的基本概念与分类、数学建摸与最优化的关系。
通过阅读本书，我主要有以下收获。
1 数学建模与最优化的背景1.1 数学建模的历史与意义数学建模的历史和数学的历史基本上是一样的，古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量，古印度几何学的起源则与宗教密切相关，中国的《周批算经》是讨论天文学测量的巨著。
大约公元前５世纪，毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。
17世纪出现了笛卡尔、牛顿、莱布尼兹等数学家，奠定了微积分的基础，其研究的对象包括行星运动、流体运动、机械运动、植物生长等均属于数学建模的范畴；19世纪后期，数学成为了研究数与形、运动与变化的学问。
可以说，数学是模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。
1.2 最优化的历史与意义最优化问题有相当长的发展历史，最早可以追溯到牛顿、拉格朗日时代，由于牛顿等对微积分的重要贡献，才使得差分方程法解决最优化问题成为可能，这其中的先锋者包括贝诺利(Bemot)，欧拉(Eller)和拉格郎日等。
20世纪50年代出现了高速计算机，最优化的发展进入旺盛期，出现了大量的新算法。
Dantzig提出了解决线性规划问题的simplex方法；Bellman提出了动态规划最优化最优性原理，使得约束最优化成为可能性；Kuhn和Tucher提出的最优化规划问题的充分和必要条件开创了非线性规划优化技术的基础。
构成现代优化理论的相关技术是模拟退火SA、遗传算法GA、蚁群算法、禁忌搜索、神经网络、EDA、CMA-ES 等现代启发式最优化算法，他们均是从60年代发展起来的，这些算法的产生同样来源于建模。
公司人力资源优化配置工作方案
公司人力资源优化配置工作方案一、现状分析要明确我们公司目前的人力资源状况。
员工总数、各部门人员配置、岗位设置、员工能力与公司发展需求的匹配程度，这些都是我需要关注的点。
我闭上眼睛，想象着一张张员工的面孔，他们的能力和潜力在我的脑海中浮现。
1.1员工总数及结构公司现有员工200人，其中管理人员20人，技术人员50人，销售人员30人，后勤人员100人。
这个比例看起来有些失衡，管理人员和技术人员较少，后勤人员较多。
1.2岗位设置与人员配置目前公司岗位设置较为完善，但部分岗位人员配置不合理，有的岗位人员过剩，有的岗位人员不足。
1.3员工能力与公司发展需求员工整体能力较强，但部分员工的能力与公司发展需求不匹配，需要通过培训和教育来提升。
二、优化配置目标我要明确人力资源优化配置的目标。
这不仅仅是提高工作效率，更是为公司未来的发展奠定基础。
2.1提高工作效率通过对人力资源的优化配置，提高员工的工作效率，降低成本，提升公司整体竞争力。
2.2培养人才通过内部培训、外部招聘等手段，为公司培养一批具有潜力的年轻人才，为公司的长远发展储备力量。
2.3实现员工与岗位的合理匹配通过对员工的评估和岗位分析，实现员工与岗位的合理匹配，让每个人都能发挥自己的优势。
三、具体措施有了目标和现状分析，就是具体的措施了。
这些措施需要具有可操作性和创新性。
3.1优化岗位设置根据公司发展需求和员工能力，重新调整岗位设置，确保每个岗位都有合适的人选。
3.2人员调整与招聘对于人员过剩的岗位，进行内部调整，将合适的人才调整到人员不足的岗位。
对于确实需要的人才，进行外部招聘。
3.3培训与教育针对员工能力与公司发展需求不匹配的问题，开展内部培训和教育，提升员工的专业技能和综合素质。
3.4建立激励机制设立合理的激励机制，鼓励员工积极进取，提升工作效率。
3.5建立人才储备机制通过内部培养、外部招聘等手段，为公司储备一批具有潜力的年轻人才。
四、实施步骤我要明确实施步骤，确保方案的顺利推进。
用数学建模解决人力资源规划问题——以深圳市业伟达电子科技有限公司为例
跳槽 的现象 ， 公司可 以将 绩效 表现差 的员工进行 降 级 处理 ， 而对 工作态 度好 的员 工开展 针对 性 的个 人 能 力强化 训 练 ， 后 ， 于 那些 能 力 和 工 作态 度 均 最 对 较 差 的员工 ， 司可 以将其 解 雇 ． 虑 到 员 工跳 槽 公 考 的随机性 ， 以公 司可 以在任 意时刻 采取 额外 招聘 所
６ ）培训假定． 在本方案中， 设定对员工的降级
计 划 和培训计 划是 相矛 盾 的 ， 不能在 一年 中同时 出
现．
７ ）降级 假定 ． 假定 在本方 案 中 ， 司 降级使 用 公 员 工是 为满 足 因员 工 的随机跳 槽 ， 而采用 的一种 人 事变 动措施 ； 工人 降级 使 用会 引 起 工人 的不 满 ， 把 假定 一半 的工人 自动离 职 ； 定公 司对 降级使 用 的 假 员工 和解雇 的员 工都是 工作一 年 以上 的员工 ， 招聘 的新 人不参 与 降级 ． 对 熟 练工 的降 级使 用 中 ， 在 公 司不 会安排 越两 级降级 使用 ， 即降熟练工 可 以降为 半熟 练工使 用 ， 不能 降为不 熟练 工． 却
的岗位都必须至少为零 ， 解雇和降级的人数不能超
过 原有 的 岗位人数 等 ． 通过对 约束 条件 和 问题 的 目 标 函数 的挖 掘 ， 可 以得 出尽 量减 少解 雇员 工方 案 便
４ ）跳 槽假 定 ． 跳槽 的可能存 在 于所 有员 工 中 ， 但 临时工 除外 ． 假定 工龄 高于一 年 的工 人 自动离 职
常青 的必然 选择 ．
数学模 型 ， 并提 出 了改善该 企业 人力 资源建 设 的建
议．
１ 问题 与解 决 思 路
深圳 市业伟 达 电子科 技 有 限公 司成 立 于 ２０ ０５
人力资源问题的数学模型
人力资源问题的数学模型引言：人力资源管理是组织中十分重要的一个方面，它涉及到招聘、培训、员工福利、绩效评估等各个方面。
如何科学地管理人力资源成为组织追求高效运作的关键。
为了更好地管理人力资源，数学模型成为解决这一问题的强有力工具。
本文将探讨人力资源管理问题的数学建模方法，并给出一些实例分析。
一、招聘效率模型招聘新员工是组织发展的重要环节，而招聘的效率直接影响到新员工的质量和组织整体的效率。
建立招聘效率模型能够帮助企业预测招聘过程中所需的时间和资源，并找到提高效率的方法。
1.1 招聘时间模型假设某公司需要招聘N名新员工，每天能面试K名候选人，那么招聘需要的时间可以通过以下公式计算：招聘时间 = 向上取整(N/K)例如，公司需要招聘100名新员工，每天能面试10名候选人，那么招聘需要的时间为10天。
1.2 招聘成本模型招聘成本包括广告费、招聘人员的工资等。
招聘成本可以通过以下公式计算：招聘成本 = 广告费 + 招聘人员工资例如，某公司在招聘过程中投入了10000元的广告费，招聘人员的月薪为5000元，招聘时间为10天，那么招聘成本为：招聘成本 = 10000 + 5000 * (10/30) = 18333.33元1.3 招聘效率改进方法通过数学模型，可以进行各种假设和模拟实验来改进招聘效率。
例如，通过调整面试官的数量和候选人的预筛选方式，可以减少招聘时间和成本。
二、培训需求模型培训是人力资源管理中的核心环节，它能提高员工的能力水平和工作满意度。
为了合理安排培训资源，需要建立培训需求模型。
2.1 员工绩效评估模型员工绩效评估是确定员工培训需求的重要依据。
通过对员工的绩效指标进行评估和分析，可以确定出需要培训的员工群体。
2.2 培训资源分配模型根据员工的培训需求和组织的培训资源，可以建立培训资源分配模型。
该模型可以通过数学方法来优化培训资源的利用率，使得培训资源得到最大化的利用。
三、员工流失预测模型员工流失对组织的稳定运作造成负面影响，通过建立员工流失预测模型，可以提前预测员工流失的概率，采取相应的措施来降低员工的流失率。
数学建模“教你如何进行人员分配”的问题
如何进行人员分配“A公司”是一家从事建筑工程的公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示：表1 人员结构及工资情况目前，公司承接4个工程项目，其中2项是现场施工，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。
由于4个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不同，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2：表2 不同项目和各种人员的收费标准为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3所示：表3 各项目对专业技术人员结构的要求说明：（1）项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；（2）高级工程师相对稀少，而且是保证质量的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备要求不能少于一定数目的限制。
各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；（3）各项目客户对总人数都有限制；（4）由于C，D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支；由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41，应如何合理地分配现有的人员力量，使公司每天的直接受益最大？2011年高教社杯全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目如何进行人员分配摘要人力资源管理是一个公司进行人力资源分配的重要工作，合理地安排人力资源，能够为企业带来最大的经济效益。
公司不只要对现有的人员进行任务分配，还要使公司的人力资源结构保持一个科学的比例。
本模型旨在为A建筑公司提供一个良好的人员分配方案，达到公司获利最大的目的，以及怎样在以后的人员招聘中使人力资源结构保持一个良好的比例。
在公司现有的情况下，通过分析各种影响因素，排除掉一些不必要的干扰因素，运用整数线性规划和分支定界法的知识建立数学模型，并使用LINGO软件进行编程求解，得出公司人员分配的最佳方案。
人员优化分配模型
人员优化分配模型背景在企业内部的人员分配与管理中，人力资源部门常面临着如何最优化地分配与调配人员的问题。
为了解决这个问题，业界出现了人员优化分配模型，这是一种能够帮助企业更好地进行人员分配的数学模型。
什么是人员优化分配模型人员优化分配模型是一种数学模型，其主要目的是帮助企业最优化地分配人员。
通俗地说，它能够根据企业内部的人员特点，预测不同岗位需要多少人员，同时对人员进行合理地分配，以提高企业的生产效率和减少人力资源浪费。
人员优化分配模型的实现方法人员优化分配模型的实现方法主要分为以下几个方面：1. 定义目标人员优化分配模型的第一步是明确目标。
这个目标通常是企业的生产效率，也可以是企业内部的某一具体指标。
例如，某企业的目标是提高在岗员工的生产力，那么实现这个目标就需要根据不同的岗位和工作内容，分配合适的人员。
2. 收集数据收集数据是实现人员优化分配模型中的一个非常关键的步骤。
在收集数据的过程中，需要了解以下几个方面的信息：•不同岗位的工作内容和负责人；•不同岗位需要的人员数量；•不同员工的能力和技能水平。
收集这些数据可以通过各种途径，例如调查问卷、员工档案等。
3. 建立模型在收集完数据之后，接下来需要建立人员优化分配模型。
这个模型需要结合实际情况进行设计，因为不同的企业有不同的特点。
在建立模型的过程中，需要根据数据确定不同岗位需要的人员数量，同时考虑员工的能力和技能水平，以便对人员进行合理的分配。
4. 运行模型运行模型的过程中，需要将人员优化分配模型应用于企业的实际情况。
在运行模型的时候，需要注意以下几个问题：•与员工沟通，了解员工的实际情况；•根据实际情况对模型进行调整；•对不同岗位的人员进行分配，并在实际工作中查看模型的有效性。
5. 分析结果对模型运行的结果进行分析，可以发现模型中存在的问题，并为后续优化提供方向。
例如，如果模型中出现了过多的浪费，可以考虑调整模型中的参数，以提高企业的效率。
人员优化分配模型的优势与局限人员优化分配模型的主要优势在于它能够帮助企业最优化地分配人员，提高生产效率。
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公司人力资源配置方案的最优设计摘要人力资源管理是一个公司进行人力资源分配的重要工作，合理地安排人力资源，能够为企业带来最大的经济效益。
公司不只要对现有的人员进行任务分配，还要使公司的人力资源结构保持一个科学的比例。
本模型旨在为A建筑公司提供一个良好的人员分配方案，达到公司获利最大的目的，以及怎样在以后的人员招聘中使人力资源结构保持一个良好的比例。
在公司现有的情况下，通过分析各种影响因素，排除掉一些不必要的干扰因素，运用整数线性规划和分支定界法的知识建立数学模型，并使用LINGO软件进行编程求解，得出公司人员分配的最佳方案。
在对本模型优缺点评价之后，根据公司可能会采取临时招聘技术人员的情况，对模型进行了改进，通过模型计算，为公司提供了一个合理的人员招聘方案。
关键字：线性规划，人员分配，最大收益，LINGO软件目录一、问题重述 (1)二、问题分析 (1)三、问题假设 (2)四、模型建立 (2)五、模型求解 (4)六、结果分析 (5)七、模型评价 (6)八、模型改进 (6)九、附录 (8)参考文献： (11)一、问题重述企业的人力资源管理是一门科学，而人力资源管理最主要的任务是如何把企业现有的人力资源安排到合适的工作岗位，以使企业能够获得更高的经济效益。
尤其是在人力资源稀缺的情况下，合理的安排各人员的任务更是显得至关重要。
接下来我们将要解决的就是一个企业人员分配的问题。
在这个问题中，A建筑工程公司有高级工程师、工程师、助理工程师、技术员等四种不同级别的工作人员，并且公司同时承接了A、B、C、D四个不同的工程项目。
公司不同级别的技术人员的工资是固定不变的，各级别技术人员的数量也是一定的，为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，在各项目的收费标准也是一定的情况下，合理的安排现有的技术人员的任务，将使公司获得一个最大的利润。
那么，为了获得最大收益，A公司到底应该如何把这四种不同级别的技术人员安排到四个不同的项目中去呢？本文中，我们将重点对该问题进行分析。
二、问题分析该问题的任务是，通过合理分配人员，使公司每天的直接收益最大。
公司的主要收入来源是对各项目所收取的费用，支出主要有两项：四种不同级别的技术人员的工资和项目期间的办公费用。
公司的直接收益是总收入减去总支出。
A公司对各个项目的不同技术人员的收费标准都高于对应技术人员的总支出费用。
我们可以得出不同项目对应不同级别技术人员的利润表如下：注：该表中的利润值是已经减去办公费用的值同时，技术人员的分配受到不同项目对技术人员结构要求的约束，由于公司人员有限，各项目的技术人员安排不可能同时达到所需的最大数量，我们要将现有的41名技术人员对最大55个可用岗位进行安排。
从以上分析结果，我们可以确定这是一个线性规划问题，对公司现有的各级别技术人员进行合理的任务安排，可以使公司获得一个最大利润。
接下来，我们就将问题转化到如何将A公司各级别技术人员安排到55个岗位上来，使公司获得最大利润。
三、问题假设1、公司的现有技术人员数量和结构保持不变，即公司不会再临时招聘专业技术人员；2、一旦任务分配好之后，不会再出现人员变动的情况，并且不可能出现同一个技术人员同时担任两个项目的工作；3、对项目的收费标准和专业技术人员的工资水平保持不变；4、排除人员因生病、请假等不能正常工作的情况，排除天气对项目进行的影响；5、假设四个项目工期相同，即四个项目每天都在同时运行。
四、模型建立1、决策变量：对各项目分配的技术人员数目设如下变量：2、目标函数：设公司每天的利润为M元，根据利润表和人员分配表，公司每天的总利润可以表示为：M=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+390*x41+490*x42+240*x43+340*x443、约束条件：（1) 各项目的不同技术人员数量约束如下：1≤x11≤32≤x12≤5x13=21≤x14≤2x21≥2x22≥2x23≥22≤x24≤8x31≥2x32≥2x33≥2x34≥1x41≥1x42≥3x43≥1x44=0（2）各项目安排的总人员约束如下：x11+x21+x31+x41≤10x12+x22+x32+x42≤16x13+x23+x33+x43≤11x14+x24+x34+x44≤18（3）各级别技术人员总数约束如下：x11+x12+x13+x14≤9x21+x22+x23+x24≤17x31+x32+x33+x34≤10x41+x42+x43+x44≤5五、模型求解对于这种整数规划类型的问题，可以用分支定界法来进行求解。
但是由于该模型的变量比较多，用分支定界法进行手工求解是比较麻烦的，而lingo软件求解整数规划问题时，正是基于这种方法，所以我们可以借助lingo软件进行求解。
编写lingo程序如下：model:max=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+ 430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+390*x41+490*x42+240*x43+340*x44;x11+x12+x13+x14<=9;x21+x22+x23+x24<=17;x31+x32+x33+x34<=10;x41+x42+x43+x44<=5;x11+x21+x31+x41<=10;x12+x22+x32+x42<=16;x13+x23+x33+x43<=11;x14+x24+x34+x44<=18;x11>=1;x11<=3;x12>=2;x12<=5;x13=2;x14>=1;x14<=2;x21>=2;x22>=2;x23>=2;x24>=2;x24<=8;x31>=2;x32>=2;x33>=2;x34>=1;x41>=1;x42>=3;x43>=1;x44=0;End运行程序（运行结果见附录一），求得最优解为27150 元，即为公司每天最大直接收益。
各项目的专业技术人员最优分配表如下：六、结果分析从运行结果（详见附录一）可以看出，公司的41名技术人员都能分配到任务，且完全符合各项目对技术人员结构的要求。
而且，从其“影子价格”一栏可得知，在其他条件不变的情况下，每增加一名高级工程师，公司的最大直接收益就增加700元；每增加一名工程师，公司的最大直接收益就增加550元；每增加一名助理工程师，公司的最大直接收益增加480元；每增加一名技术员，公司的最大直接收益增加440元。
因此，在不影响公司正常业务的情况下，应减少助理工程师和技术员的人数，增加高级工程师和工程师的人数，以使公司获得最大的直接收益。
七、模型评价1．模型优点：（1）该模型对问题用线性规划进行分析，而且列出了利润表对问题进行简化，使得问题变得简单，也减少了模型变量的数量，使得分析问题变得简单；（2）模型用lingo软件进行求解，通过影子价格来分析问题，简化了手工计算的工作量；（3）结果分析了各级别技术人员数量增加时对企业利润的影响，给人力资源结构调整作了一个参照，以及今后公司扩展业务时应该招聘的人员比例。
2．模型缺点：（1）本模型忽略了实际作业时的多种因素，例如天气、人员缺勤等不确定因素；（2）本模型未对公司实际作业时的其他支出进行考虑，如购买工具、设备折旧等；（3）当公司招聘临时技术人员时，会对公司利润造成影响，本模型未对其进行考虑。
八、模型改进针对模型的以上缺点，我们对其进行了以下改进：四个项目同时要求的总人数为55人，而公司实际人口为41人，如果公司招聘更多的技术人员会使利润增加，但应该招多少高级工程师、工程师、助理工程师和技术员，才能使公司的直接收益最大呢？下面我们对此问题进行求解。
假设其他条件不变，新招聘的技术人员的工资标准和现有人员的相同。
我们编写如下lingo程序并进行求解：model:max=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+390*x41+490*x42+240*x43+340*x44;x11+x21+x31+x41<=10;x12+x22+x32+x42<=16;x13+x23+x33+x43<=11;x14+x24+x34+x44<=18;x11>=1;x11<=3;x12>=2;x12<=5;x13=2;x14>=1;x14<=2;x21>=2;x22>=2;x23>=2;x24>=2;x24<=8;x31>=2;x32>=2;x33>=2;x34>=1;x41>=1;x42>=3;x43>=1;x44=0;End结果（详见附录二）显示：当招录高级工程师3人，工程师7人，助理工程师4人时，公司的直接收益最大，且最大收益为35020元。
各项目的专业技术人员最优分配表如下：表中的各级别的技术人员比例是最优的人员配置，当A公司保持这种人员比例时，会使公司的利润最大化。
这就给今后公司的进行人员招聘提供了一个比较科学的参照。
九、附录附录一：原模型运行结果Global optimal solution found.Objective value: 27150.00Total solver iterations: 7Variable Value Reduced CostX11 1.000000 0.000000X12 5.000000 0.000000X13 2.000000 0.000000X14 1.000000 0.000000X21 6.000000 0.000000X22 3.000000 0.000000X23 6.000000 0.000000X24 2.000000 0.000000X31 2.000000 0.000000X32 5.000000 0.000000X33 2.000000 0.000000X34 1.000000 0.000000X41 1.000000 0.000000X43 1.000000 0.000000X44 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 27150.00 1.0000002 0.000000 700.00003 0.000000 550.00004 0.000000 480.00005 0.000000 440.00006 0.000000 50.000007 0.000000 50.000008 0.000000 100.00009 14.00000 0.00000010 0.000000 0.00000011 2.000000 0.00000012 3.000000 0.00000013 0.000000 500.000014 0.000000 200.000015 0.000000 0.00000016 1.000000 0.00000017 4.000000 0.00000018 1.000000 0.00000019 4.000000 0.00000020 0.000000 0.00000021 6.000000 0.00000022 0.000000 -100.000023 3.000000 0.00000024 0.000000 -100.000025 0.000000 0.00000027 0.000000 0.00000028 0.000000 -300.000029 0.000000 -100.0000附录二：改进后模型运行结果：Global optimal solution found. Objective value: 35020.00Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced CostX11 3.000000 0.000000X12 5.000000 0.000000X13 2.000000 0.000000X14 2.000000 0.000000X21 4.000000 0.000000X22 6.000000 0.000000X23 6.000000 0.000000X24 8.000000 0.000000X31 2.000000 0.000000X32 2.000000 0.000000X33 2.000000 0.000000X34 8.000000 0.000000X41 1.000000 0.000000X42 3.000000 0.000000X43 1.000000 0.000000X44 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 35020.00 1.0000002 0.000000 600.00003 0.000000 600.00005 0.000000 480.00006 2.000000 0.0000007 0.000000 150.00008 3.000000 0.0000009 0.000000 650.000010 0.000000 350.000011 1.000000 0.00000012 0.000000 220.000013 2.000000 0.00000014 4.000000 0.00000015 4.000000 0.00000016 6.000000 0.00000017 0.000000 70.0000018 0.000000 -170.000019 0.000000 -70.0000020 0.000000 -170.000021 7.000000 0.00000022 0.000000 -210.000023 0.000000 -110.000024 0.000000 -410.000025 0.000000 -140.0000参考文献：【1】姜启源等，《数学建模》（第三版），北京，高等教育出版社，2003年；【2】胡运权等，《运筹学基础及应用》（第四版），北京，高等教育出版社，2003年；【3】赵静等，《数学建模与数学实验》，北京，高等教育出版社&施普林格出版社，2000年；【4】马莉，《MATLAB数学实验与建模》，北京，清华大学出版社，2010年。