数形结合思想在解题中的应用外文文献翻译
【论文】数形结合思想在解题中的应用毕业论文
【关键字】论文数形结合思想在解题中的应用张上兰湛江师范学院数学与计算科学学院广东湛江524048摘要：本文揭示了初中数学中的有理数、一次函数、一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式它们在图象上达到高度的统一，构建了数学的和谐美，充分显示了数形结合思想在解题中的魅力. 数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将枯燥的知识趣味化，把算理变明晰，把学生头脑中模糊的概念变清晰，把复杂的问题变得更加简单，经抽象的知识变得直观. 这样不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效，从而让学生体会到数学教学充满乐趣.关键词：数形结合；几何意义；应用.数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法. 数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形是数学知识体系中两大根底概念，把刻画数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，根据研讨问题的需要，把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算，即数与形的灵活转换、相互作用，进而探求问题的解答就是数形结合的思想方法. 数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠连壁合，交相辉映. 下面我从四个方面谈谈数形结合思想方法在初中数学教学解题中的应用.1 以“数”化“形”由于“数”和“形”是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题.我们能够从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模式”，这种模式是指数与形的一种特定关系或结构.这种把数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法，就是图形分析法.数量问题图形化是数量问题转化为图形问题的条件，将数量问题转化为图形问题一般有三种途径：应用平面几何知识，应用立体几何知识，应用解析几何知识将数量问题转化为图形问题.解一个数学问题，一般来讲都是首先对问题的结构进行分析，分解成已知是什么（条件），要求得到的是什么（目标），然后再把条件与目标相互比较，找出它们之间的内在联系.因此，对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路：明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题.1.1 有理数教学中体现的数形结合思想数轴的引入是有理数体现数形结合思想的力量源泉. 由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）. 相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的. 尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则. 相关内容的中考试题，应用数形结合的思想可顺利得以解决.1.2 不等式（组）中蕴藏着数形结合思想北师大版八年级《数学》下册第一章内容是“一元一次不等式和一元一次不等式组”.教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解.这里蕴藏着数形结合的思想方法. 在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步.确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效. 相关内容的中考试题，也着重考察学生对数形结合思想方法的应用.2 以“形”变“数”虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算.解题的基本思路：明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等.2.1 二元一次方程组、一元一次不等式的图象解法中蕴藏着数形结合思想北师大版八年级《数学》上册第七章第六节“二元一次方程与一次函数”讲用图象法解二元一次方程组，具体方法是先把每个二元一次方程变形成一次函数解析式，然后画出图象，两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解，这充分体现了数形结合的思想，构建了数与形的和谐美. 正如数学家华罗庚所说的:“数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离”.2.2 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式及其图象凸显数形结合思想由于在直角坐标系中，有序实数对(x , y)与点P的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然. 一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助. 因此，函数及其图象凸显了数形结合的思想方法. 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式它们之间的关系在图象上得到了高度的统一，充分显示了数形结合思想在解题中的魅力，请看我在教学中的做法：由此观之，二次函数、一元二次方程、一元二次不等式它们之间的关系是整体与局部的关系，具体可归纳如下：(1)、抛物线与x轴交点的横坐标就是，当y=0时，一元二次方程的解.(2)、抛物线在x轴上方的图象投影在x坐标上的点所表示的数,就是当y>0时，一元二次不等式的解集.(3)、抛物线在x轴下方的图象投影在x坐标上的点所表示的数,就是当y<0时，一元二次不等式的解集.“数以形而直观，形以数而入微”这是数学家华罗庚对数学结合思想的精辟论述. 数形结合的思想，是通过数形间的对应与互助来研究并解决问题的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛，初中数学中常在研究函数的性质，求解函数的有关问题时发挥着重要作用.数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法.初中《数学课程标准》把数学的精髓——数学思想方法纳入了根底知识的范畴，这是加强数学素质教育的一项创举. 数学思想方法既是数学的根底知识，是知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，用好了就是能力. 因此我们数学老师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的应用.参考文献[1] 张志淼. 数学学习与数学思想方法[M]. 河南：郑州大学出版社.[2] 顾泠沅. 数学思想方法[M]. 北京：中央广播电视大学出版社.[3] 钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M]. 北京：北京师范大学出版社.[4]《全日制义务教育数学课程标准(实验稿). 北京师范大学出版社.[5] 陈裕兴.《发挥数形结合思想在数学教学中的功能》. 数学通讯，1999年第3期.[6] 蒋巧君.《数形结合是促进学生意义建构的有效策略》. 小学数学教师，2005年第5期.[7] 候敏义主编. 数学思维与数学方法. 东北师范大学出版，1991年5月陈军.[8]《捕捉生成性资源，引导建构数学模型. 江苏教育, 2006年第4期.[9]《数学思想方法教学的意义、现状和策略》. 徐颖峰2000.[10]《数学》八年级上、下册. 北京师范大学版社.[11]《数学课程标准》. 北京师范大学版社.[12]《课堂教学的原理、策略与研究》. 华东师大出版社.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
数形结合思想在解题上的应用
数形结合思想在解题上的应用作者：王安琪来源：《山东青年》2018年第07期摘要：数形结合思想作为一种重要的数学思想方法，建立起“数”与“形”的优势互补，在学生的数学学习与解题中发挥着不容忽视的关键作用。
并且，数形结合思想在“双基”的基础上，对学生的综合能力发展提出了更高的要求，是学生提升探索创新能力与培养发散性思维的一个强大助力。
关键词：数形结合；解题；发散性思维；思想方法一、数形结合的内涵数学作为一门以客观世界中的空间形式与数量关系作为研究对象的科学。
其中既有形的直观，又带着数的抽象，两者看似对立，实则却是密不可分、相辅相成。
数学家拉格朗日说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”。
因此，数与形两者的相互结合是数学学习以及研究发展的必然趋势，其体现的数形结合思想也是不容忽视的一个关键。
在中学的数学学习中，数形结合作为重要的数学思想方法之一，是学生学习过程中解决数学问题的得力手段。
“数形结合”主要指的是数与形之间的一一对应关系。
简而言之，数形结合就是指将直观的几何位置、图形关系、抽象的数量关系、数学语言相结合，同时通过“以数解形”“以形助数”的方式使抽象问题具体化、复杂问题简单化，从而优化解题方法。
即通过形象思维和抽象思维的结合优化解题途径。
[1]抓住了形的生动性、数的可操作性，取长补短，才能相得益彰。
二、数形结合思想的教育价值2.1 数形结合思想有利于学生将代数问题形象化、直观化，便于求解代数问题往往繁琐机械，若适当与图形相结合，能够简化问题的求解过程，为学生的数学学习减轻负担。
做到数与形的双向沟通，促进表征对象与表征目标间本质结构的深层理解，并且认为这是通过解题而获得数学理解的一条有效途径。
[2]换言之，数形结合思想融合代数与几何，做到了优化解决数学问题并加深了对数学问题的理解。
数形结合论文翻译文章
数形结合论文翻译文章 勾股定理不是211=+，或者一个古老的数学定理的证明勾股定理是一个古老的数学定理，它一直占据着重要位置，即使现在它仍然是灵感的源泉。
在本文中我们尝试给出一个有前途的新的证明方法，我们的结果会更加直观。
关键词：勾股定理 几何变换 欧几里得几何学最古老的数学定理之一—勾股定理指出：直角三角形斜边（直角所对的边）所画正方形的面积等于另外两条边（直角边）所画正方形的面积的和。
就是222c b a =+。
如果我们分别用a,b ，c 表示三角形三遍的长度。
卢米斯收集了数百种勾股定理的证明，并将其分类。
马奥尔追溯了勾股定理的演变以及它对数学和我们的文化的影响。
网络上包含了约93种勾股定理的证明。
我们的目标是通过一种新方法给出证明，准确的说是定理的另一类型。
定理1：如果在简单的直角三角形中勾股定理成立，那么在任意直角三角形中都成立。
当然我们必须给出证明说明我们的假设是正确的。
这就涉及到几何变换的属性，我们将用到：在给定的方向上收缩或拉伸欧几里得平面（见图1）。
图1.转换让我们假设T 是这样一个收缩/拉伸系数为a 的转变。
我们可以认为这种转化为在三维空间内平面之间的平行投影的效果，如图2所示。
图2.拉伸和收缩转换T 明显具有的性质：·转换T 通过系数a 收缩/拉伸一个平面图形的面积，如果P 是一个平面图形，那么()P P T aS S =·它与不相交的图形的面积的可加性是兼容的，如果P,Q 是两个不相交的图形，那么()()()Q T P T Q P T S S S +=⋃·它保留了以下森斯的填充率：让P 是面积为A 的正多边形，并修复他的边缘L 。
让我们假设T 把它转换为面积为aA 的多边形Q = T （P ），并假设图形L 转换为K 。
然后将填充率定义为()的相似多边形上P 'K Q QS S k =与多边形边的长度和收缩/拉伸方向无关（见图3）。
图3.不变性现在让我们考虑一个直角三角形的两条直角边的长度为a 和b 。
数形结合思想在解题中的应用
几何问题转化为代 数问题：将几何图 形的问题转化为代 数方程，利用代数 方法求解
数形结合思想的应 用：在解题中，将 代数与几何相结合 ，利用各自的优势 ，简化问题
相互转化的方法： 通过坐标系、函数 图像等手段实现代 数与几何的相互转 化
利用图形解决代数问题
代数问题：难以直观理解的问题 图形优势：直观、形象、易于理解 应用场景：求解方程、不等式、函数等问题 解题步骤：将代数问题转化为图形问题，利用图形性质求解
掌握数形结合的基本技巧：如比例尺、等比数列求和、函数图像的绘制等，这些技巧可以帮助 我们更好地运用数形结合思想。
练习数形结合的题目：通过大量的练习，可以加深对数形结合思想的理解，提高应用能力。
练习数形结合的题目
题目：已知函数 f(x) = x^2 - 2x，求 f(x) 在区间 [0, a] 上的最小值。
数形结合思想的重要性
数学解题中的常见问题：抽象、难以理解 数形结合思想的引入：将抽象问题具体化、形象化 数形结合思想在解题中的应用：提高解题效率、增强理解能力 数形结合思想的意义：培养数学思维、提高数学素养
02
数形结合思想在数学解题中的应用
代数问题与几何问题的相互转化
代数问题转化为几 何问题：通过建立 代数方程，将其转 化为几何图形，利 用几何性质求解
拓展知识面：了解数学与其他学科的联系，如物理、工程等，加深 对数形结合思想的理解和应用。
掌握数形结合的基本方法
理解数形结合的概念：数形结合是指将数学中的数量关系和空间形式结合起来，通过几何图形 或图像的方式表达数学问题。
掌握数形转化的方法：在解题过程中，可以将数量关系转化为图形或图像，或将图形或图像转 化为数量关系，以便更好地理解和分析问题。
数形结合思想在中学数学教学中的应用1
数形结合思想在中学数学教学中的应用学生姓名：张夏学号：20075030050数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师：张留伟职称：讲师摘要：本文首先给出了数形结合思想的主要内容，然后从三个方面结合实例具体地分析了数形结合思想在中学数学教学中的应用．关键词：数; 形; 数形结合思想; 数形结合The Applications of Number Shape Union Thought in middle schoolmathematical teachingAbstract：This article firstly introduced main contents about the number shape union thought, then unified many examples from three aspects to specificly analyze the number shape union in mathematics application.Key words：Number；Shape；Number shape union thought；Number shape union0前言数形结合的思想方法是中学数学中的一种重要的思想方法．数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形是数学知识体系中的两大基础概念，把刻画数量关系的数和具体直观的图形有机结合，根据研讨问题的需要，把数量关系的比较转化为图形性质或位置关系的讨论，或把图形的待定关系转化为相关元素的数量计算，即数形结合的思想方法．数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠联璧合，相映生辉．著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.有些数量关系，借助图形的性质，可以使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化；而图像的一些性质借助与数量的计算和分析，得以严谨化．初中生若能掌握这种思想方法,那么对题目以后的学习和成长都会产生巨大的影响．下面我将列出中学数学中主要有哪些内容蕴藏着数形结合思想．1在中学数学中蕴藏着数形结合思想1.1有理数内容体现的数形结合思想数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉．由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴cb（图1）ACDEB（图2）上的对应位置关系进行的（实数的大小比较也是如此），相反数、对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的．尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则．例1 实数c b a 、、在数轴上的对应点如图1所示,化简 ________a b +-=答案：c b +应用题内容隐含的数形结合思想列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，往往就是要根据题意画出相应的示意图，这里隐含着数形结合的思想方法．例2 一小船由A 港到B 港顺流需6小时，由B 港到A 港逆流需8小时．一天，小船从早餐6点由A 港出发顺流到B 港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，一小时后找到救生圈．问：（1）若小船按水流速度由A 港漂流到B 港需要多少小时？ （2）救生圈是在何时掉入水中的？分析 （1）答：小船按水流速度由A 港漂流到B 港需用48小时．（2）如图2，设救生圈是在上午x 点钟落入水中C 点的．当小船由C 点顺流行驶到B 港时，救生圈由C 点顺流漂到D 点;当小船由B 港用一小时逆流行驶到E 点找到救生圈时，救生圈同时用一小时由D 点顺流漂到了E 点．于是1(12),6CB x =⨯-1(12)48CD x =⨯-,118BE =⨯,1148DE =⨯，因为BD DB =,所以有BE DE CD CB +=- 从而得到方程1111(12)(12)11648488x x ⨯--⨯-=⨯+⨯解方程，得x =11 ，所以救生圈是在上午11点钟掉入水中（C 点）的．不等式内容蕴藏着数形结合思想“九义”教材《代数》第一册（下）第六章内容是“一元一次不等式和一元一次等式组”，教学时，为了加深初一学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表达出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解．这里蕴藏着数形结合的思想方法．在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示又前进了一步．确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效．相关内容的中考题，也着重考察学生对数形结合思想方法的应用．例3（1）解不等式63432x x +-≤+ 并把它的解集在数轴上表示出来．（2）若关于x 的不等式组121x m x m <+⎧⎨>-⎩无解，则m 的取值范围是（ ）．答案：（1）3x ≥- （如图3） （2） 2m ≥提示 不等式组有解时，211m x m -<<+ (如图4)，其中121m m +>-;不等式组无解时，121m m +≤- (如图5) ∴2m ≥（注意不要漏掉等号）函数及其图像内容凸显了数形结合思想由于在直角坐标系中，有序实数对（x , y ）点P 的一一对应，使函数与其图像的数形结合成为必然．一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提高了很大的帮助．因此，函数及其图像内容凸显了数形结合的思想方法．教学时老师若注意了数形结合思想方法的渗透，将会收到事半功倍的效果．21m -x21m -（图4）-3（图3）x（图5）6 4 8 10(图6)例4 （1）已知0k <，则正比列函数y kx =的图像与反比例函数ky x=的图像大致是（ ）（2）如图例函数6y x-=(0)x <的图像上任取一点P ，过点P 分别作x N M 、，那么四边形ONPM 的面积为（ ）答案：（1）C (2) 6初步统计内容融入了数形结合思想在初步统计中，一组数据反映在坐标平面上就是一群离散点．研究一组数据的集中趋势（平均数、众数、中位数），相当于考察这群离散点的分布状态；而研究一组数据的波动大小（方差、标准差），就相当于考察坐标平面上这群离散点的分布规律．这里融入了数形结合的思想方法，教学中老师若注意到了这一数形结合的思想方法，可加深学生对平均数、众数、中位数、方差、标准差概念的理解．例5 如图7是某单位职工的年龄（取正整数）的频率分布直方图，根据图形提供的信息，回答下列问38岁但小于44岁42岁的职工有4人，那么年龄在42岁以上的职工有几人？答案：（1）该单位职工有50人．（2）不小于38岁但小于44岁的职工人数占总人数的60％． （3）年龄在42岁以上的职工15人． 平面几何内容充满了数形结合思想平面几何研究的是图形的性质及其位置关系，然而平面几何内容中又充满了数形结合的思想和方法．例如，三角形的内角和定理、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比列定理、解直角三角形、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系、切线长定理、相交弦定理、正多边形的有关计算、三角形的面积、平行四边形的面积、梯形的面积、圆的面积、扇形的面积、弓形的面积等内容中，无一不与数量关系紧密相联．教学时老师若注重了相应内容中体现出来的数形结合思想，对于学生学好平面几何无疑是大有脾益的．例6 如图8，设C 为线段AB 中点，BCDE 是以BC 为一边的正方形，以B 为圆心，BD 为半径的圆与AB 及其延长线相交与K H 、,证明：AC AH AK 2=⋅BCDMQ （图9）分析 本题一般可用几何证法，但下面代数的证法更显得数形结合简捷： 设BC x =,则AC x =, BD =,又2AK x =+,2AH x =-,于是AC x AH AK 2222==⋅．例7 如图9，ABC ∆是一块锐角三角形余料，边80=AD 毫米，120=BC 毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个定点分别在AC AB ,上，设该矩形的长y QM =毫米，宽x MN =毫米． (1) 求证：31202y x =-； (2) 当x 与y 分别取什么值时，矩形PQMN 的面积最大？最大面积是多少？分析 (1)由APN ∆∽ABC ∆得PN BC 即120y ＝8080x -， y=120-32x ． (2)设矩形PQMN 的面积为S ，则S xy =，即233(120)12022S x x x x =-=-+ 当x =40时，S 有最大值为2400，此时y =60．∴当x =40毫米时，y =60毫米时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积为2400平方毫米．2结合中学生的特点，因材施教中学生的特点及数形结合思想教学的四个阶段由于生理和心理的特点，中学生的思维还处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，因而基本上，他们的思维仍然有感性经验相关联．“数形结合”就是把抽象的“数”转化为具体的“形”，通过解决具体的“形”而达到解决抽象的“数”，这种思想正符合初中生的心理特点，乐于被他们接受．因此，作为一项教学改革，需要我们教师在教学中加强这方面的训练指导，也需要我们的中学生加强这方面的练习．对中学生来说，数形结合思想的形成一般要经历四个阶段．由于数形结合的思想以知识AB为载体，但数学知识是逐步深化的，这就导致了在知识的不同发展阶段对数形结合思想的不同层次的要求，因此在考虑实施数形结合思想教学时主要可分四个阶段进行．第一阶段渗透孕育起期．由于学生刚升入中学，他们对数形结合的认识主要还停留在用线段图解应用题这种简单浅显的层次，因此这一时期的要求不能太高，因以“数轴”、“相反数”、“绝对值”、“有理数是计算”等内容为载体，以数轴为结合点．在数学中提出数与形的问题，使学生感受到“数”与“形”间存在着相互联系、相互转化的辩证关系．并且通过问题的解决，察觉到数轴的作用．如：设点A 在数轴上的数为-3，点B 在数轴上，且点B 到点A 的距离是 5, 则点B 所表示的数是多少？这个对刚升入中学的学生来说比较抽象，若借助数轴将抽象的数的关系转化为直观的位置关系，则问题就容易解决了．第二阶段体会领悟期．这一时期，代数以“不等式”的知识为载体继续向学生介绍数形结合思想，使学生明白如果不借助“数轴”这个工具，就不容易找出不等式组的解集．由此而领悟到，数形结合对解决数学问题不是可有可无的，而是一种非常重要的办法．另一方面，学生开始学习几何知识，几何入门比较难，但借助以学过的代数知识，将直观图形数量化转化为代数运算加以解决，可降低机几何学习的难度．具体的做法有：不考虑几何问题中的位置关系，直接采用代数和的方法解题．例８ 如图10，已知090AOB ∠=, AOC ∠为锐角, ON 平分AOC ∠, OM 平分COB ∠ ，求MON ∠的度数．解 ON AOC ∠平分 12AON AOC ∴∠=∠OM BOC ∠平分 12BOM BOC ∴∠=∠MON MOA AON ∴∠=∠+∠1902BOM AOC =-∠+∠0119022BOC AOC =-∠+∠0190()2BOC AOC =-∠-∠01902AOB =-∠045=．通过几何知识的学习，使学生意识到数形结合思想不仅可以用“形”的直观表达抽象的数也可以将直观的图形数量化，转化为“代数运算” 进而解决问题．这种领悟可以使学生对知识的理解达到更深刻的程度，同时也体会到数形结合思想在几何中也有广阔的应用背景．第三阶段形成尝试期．以平面几何知识为载体．由于知识深化“数” 与“形”之间的A BCD EFMN(图11)ADEF 因果关系不那么明显，因此学生在解决问题时很难将“数”与“形”有效的结合进行思考．这个阶段的教学可分为两个层次进行：①理解迁移．深刻理解数学知识中蕴含的数形结合思想，找出概念、定理、性质中“数”与“形” 的特征．如勾股定理，代数的特征是是这三个数是某直角三角形的三边．解决相关问题时可以引导学生与已有的知识经验“直角三角形——求线段长——解方程”产生关联，找出解题途径．例9 如图11点P 是矩形ABCD 内一点，3=PA ,4=PD ,求PB 的长．分析 求线段的长度需要有直角三角形，但图中没有现成的直角三角形，故需添辅助线． 解 过P 作EF //BC 交DC AB 、与F D 、,过 P 作MN //AB 交AD 与BC M 、与N ,并设x BN =,y CN =,h PN =，则2222222345x yy h ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩ 即2222718y xy h ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 解得2218y h +=即218PB =PB ∴=②提炼方法．作为第二层次的教学,应该引导学生从解决问题的技巧中提炼出蕴含数、形结合思想且又易于操作的办法．进而理解这些办法的实质．比如在一些问题的解决中,都用到从面积的角度去思考探索证明途径．这一技巧其实质就是利用公式(方程的思想)为问题的解决铺平道路．例10 如图12在等腰ABC ∆中,5==AC AB ,6=BC ,P 是底边上任一点,求P 到两腰的距离的和．解 过P 作AB PD ⊥于D ,作AC PE ⊥于E ,过B 作AC BF ⊥于F ,连接AP ,S S S APC APB ABC ∆∆∆+=，即PE AC PD AB BF AC ⋅+⋅=⋅212121 5AB AC ==ABCD1+x1+x1-y 15（图13）BF BP PE ∴=+222AB AF BF =+,222()BC BF CA AF =+- ∴AF =75 ∴BF =245 ，即PD PE +=245． 第四阶段应用发展期．这个阶段主要以方程、函数和知识为载体,以解决问题为主要教学方式,突出数形结合思想在解题中的指导作用(见例12)．指导学生正确、迅速地找出问题中数形转化的等价关系,展现由“数”思“形”,由“形”定“数”的思维过程．例11 (由“数”思“形”)解方程⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-)2...(..............................521)1(..................................................1y x y x分析 方程(2)可变形为: )3....(..........)15()2()1(222=--+y x ,显然0>0>.由于(3)与勾股定理形式类似,因此可构造(13)ABC Rt ∆,使090=∠C ,并延长CA 至D 使1+==x AB AD ，2-=y CA ,就把题中的数量关系转化为图中的几何关系15=BC ,1+=x AB ,512=++-=x y DC ∴15+-=x AC , 设a x =+1 ∴a AC -=5在ABC Rt ∆中152-=a AC ∴1552-=-a a ∴15102522-=+-a a a ∴4=a ,从而15=x ,3=y ．例12 (由“形”定“数”)若方程2210ax x -+=(0)a >的两根满足: 11x <,203x <<,求a 的取值范围．分析121x x a=0a >,20x > 101x ∴<<原方程化为2210y x x a a=-+=(0)a >设2210y x x a a=-+= 依题意,画示意图(图14)从上看出当1=x 时，0<y ………①当3=x 时，0>y ………②,这样就把图中的几何条件转化为数的条件．① 与②组成不等式组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-<+-01690121aa aa (0)a >解得519a <<． 综上所述，在数学教学中应经常引导学生用图形直观地研究数、式问题，用数、式对图形性质进行更为丰富、精确、深刻的探讨．这对培养学生分析问题、解决问题的能力及用互相联系、互相转化的辩证唯物主义观点分析事物是大有裨益的． 数形结合数形能培养学生哪些方面的能力中学阶段，数形结合中的“形”是数轴、函数图像、几何图形等．“数”是指代数、三角形等．数形结合就是充分利用“形”的直观性和“数”的准确性,培养学生思维的灵活性、广阔性是初中数学中值得探索的方法，那么学好数形结合究竟能提高学生哪些方面的能力呢？下面我将结合实际来谈谈．1．数形结合，培养解题思维的独创性思维的独立创造性是指敢于超越传统习惯的束缚,摆脱原有知识范围和思维定势的禁锢,善于把头脑中已有的知识信息重新组织,产生具有进步意义的新设想和新发现．利用形的直观性,探寻到具有创新意识的简捷妙法,可避开繁琐运算,简捷解题,提高解题速度,达到培养思维的独创性之目的．2．形结合，培养解题思维的准确性正确是指解题结果完全符合预期的设想．在解题过程中,准确是解题的关键．数形结合,可用利用“形”的直观性提高“数”的准确性．3．数形结合，培养解题思维的广阔性思维的广阔性是指思维活动中避开单一狭隘的思维模式，对所学知识融会贯通,多角度、全方位思考问题、解决问题的程度．思维越广解决处理的方法越多．利用数形结合，用大树知识解决几何问题,或用几何知识解决代数问题，避免以代数解代数，几何解几何的单一模式．数形结合解题就是根据数量的特征与图形结构，使数与形相互转化,开辟解题新途径．4．数形结合,培养解题思维的灵活性思维的灵活性是指思维活动具有较高的灵活程度，能善于沿着不同角度，顺着不同方向，选择不同方法，对同一问题从多方位、多侧面的认识．数形结合思想引导学生多方位思考，审时度势，适时突破常规的思维定势，有利于培养解题思维的灵活性．中学生怎样去形成用数形结合思想解题的能力在中学阶段数形结合思想具体体现在用代数方法解决几何问题或几何方法解决代数问题．代数方法精确深刻，几何方法形象直观，两者的结合开辟了新的解题思路，能促进学生数学思维的发展．现在中学学生在代数中已经学过代数式、方程、函数，在几何中已经学过点、线、三角形、四边形、圆的知识，这两种学科间联系密切，是互相统一的．因此，我们必须重视数形结合的教学．1．加强学生对数形结合概念的理解代数和几何两种学科间的联系、两种知识面的统一是随着数轴、平面直角坐标系与函数的深入学习,才逐渐沟通与深化的．所以在这一段的教学中为使学生形成数形结合的统一意识，教师就要讲清数轴、平面直角坐标系、函数图像等的性质，应在知识领域理凸显数形结合的思想方法．2．坐标系的建立为数形结合开拓了思路数形结合的载体是数轴，数轴能反映出数与点的对应关系，这是学生学习数学的一大飞跃．运用数形结合的思想方法思考问题，能给抽象的数量关系以形象的几何凸显，也能把几何图形问题转化为数量关系问题去解决．通过数形结合的数学思想方法来学习相反数、绝对值的定义、有理数大小比较的法则、函数等，可以大大降低学生这些知识的难度．数形结合思想的教学应贯穿于整个数学教学的是始终．3．注意培养学生用数形结合的数学方法分析问题、解决问题的能力不论用代数方法研究几何问题,还是用几何图形研究代数式，都贯穿着数形结合方法分析问题和解决问题的思想．因此教师应加强对学生的数形结合意识的渗透和能力的培养．我们可通过数量关系的讨论来研究几何图形的性质，比如解析几何这门学科就是建立在这种思想方法的基础上，另一方面是利用几何图形的直观性，揭示数量关系的许多特征,深刻理解这一观点，有利于提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学素养．如列一元一次方程解应用题的关键在于分析题中的数量关系，可以通过画直线形(或圆形)示意图直观地显示出来．一旦学生掌握了这种数形结合的分析方法，对较为复杂的习题就能独立分析和解决了．4．善于观察图形,以揭示图形中蕴含的数量关系观察是人们认识客观事物的开始,直观是图形的基本特征,观察图形的形状、大小和相互位置关系,并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系,是认识、掌握数形结合的重要进程．1） 正确绘制图形,以反映图形中相应的数量关系观察图形,既要定性也要定量,借助图形来完成某些题时,仅画出示意图是不够的,还必须反映出图形中的数量关系．2）切实把握“数”与“形”的对应关系,以图识性以性识图数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系,熟知这些对应关系,深化两者的联系,才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应图形的特征之间的关联,以求相辅相成,相互转化．3）灵活运用“数”与“形”的转化,提高思维的灵活性和创造性在中学数学中,数形结合的思想和方法体现得最充分的是解析几何,此外,函数与图像之间,复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对于关系是实现转化的先决条件,而强化这种转化训练的则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．总之，在教学中教师应充分利用图形、图像,使学生正确理解和掌握所学的概念和知识，通过运用数形结合的思想方法实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观，让学生逐步理解数与形间的相互联系与转化的辩证．3.学好数形结合思想能提高中学生的知识水平数学是研究现实世界的中的数量关系与空间形式的科学．数与形是数学额中最基本的两个概念,二者相辅相成．因此许多代数问题均可根据其题设与结论的特征通过观察、联想构造出相应的几何模型，然后根据图形的性质得到一种简捷的解法．这种以数辅形的方法对解求值问题、恒等式证明、不等式证明等尤为巧妙简捷．构造三角形有些代数问题如题设或结论中出现形如公式222c b a =+,222cos 2c ab b a =-+α,)R c b (+∈、、a 及其变形或三角形的面积公式可联想到构造三角形求解．例13 正数c ,b ,a 满足25322=++b ab a ,9322=+c b ,1622=++a ac c ,计算ac bc ab 32++的值．P Q R Oac0120 (图15) 3b 解 将题设改写为22025)3(150cos )3(2=+-bba a ,2223)3(=+c b,22024120cos 2=+⋅-a ac c ，而222543=+因此联想到构造PQR Rt ∆使4=QR ,5=RP ,并在其内取一点O 使得090=P ∠OQ ,0120QOR =∠,0015ROP =∠且c OQ =, a OR =,3bOP =(如图15)． RPO RQO PQR △△△S S S S QPO ++= ,即00150sin 321120sin 213213421⋅⋅+⋅+⋅⋅=⨯⨯b a ac b c , 整理得32432=++ac bc ab ．构造四边形例14 已知正数c ,b ,a ,p n m ,,满足k n c n b m a =+=+=+,求证2k cm bp an <++．证一 由结论联想到矩形面积公式又由题设可构造边长为k 的正方形ABCD (如图17),由图便知2k cm bp an <++．证二 由题目特征还可构造边长为k 的三角形ABC(如图16),易知ABC CFG BEF AEG △△△△S S S S <++,即020060sin 2160sin 2160sin 21⋅<⋅+⋅k an bp , 亦即2k cm bp an <++．B C A 1 B 1 C 1D 1 （图18） A D构造长方形例15 已知正数c ,b ,a 满足1222=++c b a ,求证)(3-1-1-1222c b a c b a ++->++．证 依题设联想到长方体三度平方和等于对角线平方,因而可构造长方体1111D C B A ABCD -(如图18),使a AA =1,b B A =11,c D A =11．由1222=++c b a 得11=AC ,21-1c AB =,21-1b AD =,211-1a C A =,在11C AB △中1111AC C B AB >+,即1-12>+c c ,1-12>+a a , 1-12>+b b ．三式相加即得)(3-1-1-1222c b a c b a ++->++.总结:以上几个方面总结了以形辅数解代数问题的途径，从中可见此法的优越性是直观、简捷．这种方法的基本思想要点是联想、构造、转化．它对于培养学生的求异思维与创造性思维能力是很有益．A B C EF G a bcm n p AB Ca m k（图16） （图17）结束语由于“数形结合”具有形象直观、易于接受的优点，它对于沟通知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生的思路，发展学生的智能，提高学生的数学水平有着独到的作用．这种教学方法能够培养学生的创造思维能力和开拓精神，使学生充分张扬个性，充分发挥潜能，真正实现个体的最优化发展．参考文献：[1]罗洪信．在初中数学中蕴藏着数形结合思想[M].桂林市教育学院学报，2001，15（2）：58-61．[2]九年义务教育初中《数学教学大纲》[M].北京:人民教育出版社，2000．[3]九年义务教育初中数学课本[M].北京:人民教育出版社，2003．[4]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准[S].北京:北京师范大学出版社,2001．[5]肖鸣.浅谈初中数学中的数形结合思想的教学[M].厦门教育学院学报，1999，2，62-65．[6]陈小菲.初中代数中的数形结合教学[J].丽水师专学报（自然科学版），2001，23：16-18．[7]吴水英.谈初中数学中的数形结合教学[J]. 湖州师范学院学报，2001，23：16-18．[8]冯客诚.何曼青.学生能力培养与训练实用全书[M].北京：人民出版社，1998．[9]贺信淳.数学结合方法的使用.中学数学教学，1996，6．[10]黄刚.初中数形结合思想教学过程探讨.曲靖师专学报，1998，17（5-6），36．[11]叶洪康. “以形辅数”巧解代数问题[M].宁德师专学报（自热科学版），1994，6（1），64-68．。
高中数学教学论文《数形结合思想》在解题中应用
《数形结合思想》在解题中的应用一、数形结合思想的提出在高中数学解析几何这一模块中，处理问题的方法常见有代数法和几何法。
代数法是从“数”的角度解决问题、几何法从“形”的角度解决问题，这两种方法相辅相成，相得益彰。
现举例如下：若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，求k 的取值范围.解：（代数法）曲线方程可化为)0(122≥=+x y x ，把k x y +=代入)0(122≥=+x y x可得：012222=-++k kx x （0≥x ），由题意可知方程仅有一个非负根①当方程有等根时，即)1(8)2(22--=∆k k =0，可得2±=k ，当2=k 时，方程可化为012222=++x x ，得22-=x 不合题意；当2-=k 时，方程为012222=+-x x 得22=x 符合题意，可知2-=k ； ②当方程根为0=x 时，得012=-k ，1±=k ，当1-=k 时，方程为0222=-x x ，得方程两个根为01=x ，12=x 不合题意应舍去；当1=k 时，方程为0222=+x x ，得方程两个根为01=x ，12-=x 适合题意，可知1=k ； ③当方程根为一正一负时，只需021221<-=k x x ，可得11<<-k 。
综上所述：所求 k 的取值范围为2-=k 或11≤<-k 。
（几何法）曲线21y x -=是单位圆122=+y x 的右半圆（0≥x ），k 是直线k x y +=在y 轴上的截距.在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时，2-=k ，由图形：可得2-=k 或11≤<-k 。
上述两种解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错；而利用几何法即一种数形结合的思想方法，却能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独特的指导作用。
二、数形结合思想的概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。
浅谈数形结合思想在解题中的运用
浅谈数形结合思想在解题中的运用王克卓数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，且数与形是数学的两种表达形式，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。
数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，使抽象思维和形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。
显然数形结合，不是两者简单的堆砌，而是有机的结合，“数”具有精确性定特征，它可以阐明“形”的某些属性，并且可以通过运算法则、公式进行运算，比较具体（虽然有时却比较繁复），“形”具有几何的直观性，它也可以表示数之间的某些关系，“形”可以通过逻辑推理得到一些结果，其推理过程较简捷（但可能有时比较抽象）。
但两者结合，各取所长，则往往威力巨大，因此华罗庚教授说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一,高中数学新教材之中的每一章节内容都有以数形结合的问题形式出现，能很好地培养和发展学生的数形结合思想。
新教材中渗透这一方法，对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法明显带有指导性作用，通过对问题进行正确的分析、比较、合理联想，训练学生思维、拓宽视野，逐步形成正确的解题观；还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。
下面举例说明数形结合思想在各模块中的应用。
一、利用数形结合解决集合问题对于集合中各种概念、运算的理解，直接从自然语言和符号语言上理解，往往难以搞清其本质；若借助简单的韦恩图表示两集合间的关系，可使问题变得直观、具体，易于认清集合的特征，便于准确、快速地解决问题。
这就是数形结合思想的应用，显然准确地将集合问题转化为图形关系是关键。
解题时常借助韦恩图或用数轴、简单函数的图像等形来集合问题，往往可以把问题中的条件直观化、形象化，从而使原题灵活、简捷、准确地获解。
毕业设计(论文)-数形结合思想在解题中的应用[管理资料]
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数形结合思想在解题中的应用摘要数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，将数量关系与直观的图形的相互转化来解决数学问题。
数形结合方法是数学解题中常用的思想方法。
它被广泛地应用于解决数学问题之中。
数形结合方法可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到解决问题的目的。
本文阐述数形结合在中学数学中的应用，并结合适当的例题来加以说明。
关键词数形结合思想解题应用抽象直观Several form combining the application in problem solving thinkingAbstract Several form combining, is according to the fractal number and the corresponding relation between the quantity relationship, with intuitive graphic conversion to solve mathematics problems. Several form combining method is used in mathematics problem-solving thought method .It is widely used in solving mathematical problems. Several form combining method can make complex problem is simplified, abstract problem specific, achieve the purpose of solving problems. This paper describes Shuoxingjiege Mathematics in secondary schools, combined with appropriate examples to illustrate.Keywords Several form combining ideas problem-solving application目录一、前言 (5)二、正文 (6)（一）解决实数比较大小问题 (6)（二）解决集合问题 (6)（三）解决函数问题 (7)（四）解决方程与不等式的问题 (9)（五）解决三角函数问题 (11)（六）解决线性规划问题 (12)（七）解决数列问题 (14)（八）解决解析几何问题 (14)（九）解决立体几何问题 (16)三、结束语 (18)四、参考文献 (19)五、致谢 (20)数与形是数学中的两个最古老、最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数形结合思想在解题中的一些应用
数形结合思想在解题中的一些应用
743400 甘肃省静宁县红寺初级中学 甘肃 静宁 时 春
【摘 要】 数学的研究对象是现实世界 的空间形成和数量关系，在解题时往往会遇 到一些困难。可是，当在解题中将几何与代 数结合起来，根据问题的具体情况，把数量 问题转化为图形问题，或把图形问题转化为 数量问题，这样往往会使抽象问题具体化， 复杂问题简单化，达到化难为易的目的。 【关键词】数形结合；数学解题；应用 在十六世纪以及在十七世纪大部分时间 里，Pacioli，Cardan，Tartaglia ，Ferrari 和 其他人都给代数法则作出几何证明。随后， Descartes 用代数帮助几何做图解是，代数依 赖与几何的状况开始有点逆转过来了。 后来， Marino Ghetaldi （1566-1627） 在所著 《Apollonius 著作的现代阐释》的一篇章中对确定的几何 问题的代数解法作了系统研究，他反过来又 用几何来证明代数法则。17 世纪，Descartes 在他的《几何》一书中把代数应用到几何中。 随后，Fermat 和 Descartes 的坐标几何改变了 数学的面貌，其几何概念可用代数表示，几 何的目标可通过代数达到。 一、以形助数 我们会经常遇到一些数学问题，使我们 束手无策，可是将一些数的问题借助于几何 图形，使问题变得直观形象化，从而问题会 迎人而解。 例 1： 设 A= {( x, y ) x + y + 5 x ≤ 0} ， 求 {3x + 4 y} min {3x + 4 y} max ，( ) 。 ( ) 5 5 x+ + y = ，① 0 得 解：由 x 2 + y 2 + 5 x = 2 2 5 5 − ,0 ①式表示圆心在 ，半径为 2 2 的圆。 2 2 故满足 x + y + 5 x ≤ 0 的点 ( x, y ) 在此圆内或圆周 上。
浅谈数形结合思想在小学数学中的渗透与应用
浅谈数形结合思想在小学数学中的渗透与应用摘要数形结合（Teh combination of number and shape）是一种数学思想方法，把抽象的数学语言数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
数形结合应用包括以数解形和以形助数两方面。
关键词：数形结合、思想、渗透、应用数学是研究数量关系与空间形式的科学。
”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。
小学数学中虽然不像初中数学那样,将数形结合的思想系统化, 但作为学习数学的启蒙和基础阶段，数形结合的思想已经渐渐渗透其中，为更好的学习数与代数、空间与图形两方面的知识服务，同时也在培养抽象思维，解决实际问题方面起了较大的作用。
那么在小学数学教学中如何去挖掘并恰当地加以渗透与应用呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的粗浅见解。
一．运用图形，建立表象，理解本质从人类发展史来看，具体的事物是出现在抽象的文字、符号之前的，人类一开始用小石子，贝壳记事，慢慢的发展成为用形象的符号记事，最后才有了数字。
这个过程和小学生学习数学的阶段和过程有着很大的相似之处。
一年级的小学生学习数学，也是从具体的物体开始认数，很多知识都是从具体形象逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。
这方面的例子很多，如低年级开始学习认数、学习加减法、乘除法，到中年级的分数的初步认识、高年级的认识负数等都是以具体的事物或图形为依据，学生根据已有的生活经验，在具体的表象中抽象出数，算理等等。
高中数学教学论文数形结合思想在解题中的应用Word版
数形结合思想在解题中的应用知识要点：1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
2．所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式。
3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在三角函数解题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。
考点一：利用数形结合的方法解决有关方程和不等式问题：【例题分析】例1. 若关于的方程的两根都在区间(－1，3）内，求的取值范围。
1，3）内，例2. 已知，则方程的实根个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 1个或2个或3个解：判断方程的根的个数就是判断图象的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选B。
说明：数形结合法可以解决一些既不是无理方程，也不是二次或三次方程的其他方程或不等式，也就是超越方程或者不等式。
例如本例题中的方程。
考点二：利用数形结合法解决有关最大值最小值的问题 例3. 如果实数满足，则的最大值为（ ） A.B.C.D.解：等式有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为，半径，（如图），而则表示圆上的点与坐标原点（0，0）的连线的斜率，如此一来，该问题可转化为如下几何问题：动点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由下图可见，当点在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最大值为360tan。
数学毕业论文---数形结合在初等数学解题中的应用
数形结合在初等数学解题中的应用学生姓名：马文静指导教师：郝建华引言：数形结合是中学数学中重要的思想方法之一,是数学的本质特征。
华罗庚先生曾指出:数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事非。
就代数本身而言，缺乏直观性，就几何本身而言，缺乏严密性。
只有将二者有机地结合起来，互相取长补短，才能突破思维的限制，加快数学的发展。
法国数学家拉格朗日所指出的“只要代数同几何分道扬镶，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”。
在解决数学问题时,将抽象的数学语言同直观的图形相结合,实现抽象的概念与具体形象的联系和转化,使数与形的信息相互渗透,可以开拓我们的解题思路,使许多数学问题简单化。
一、利用数形结合思想解代数问题借助图形直观地研究数学问题,不仅可以加深对数量关系的理解,而且还可以简化运算过程。
（一）利用数形结合思想解决方程问题1.利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题利用函数y=f(x)的图象直观解决问题。
例1:a为何值时,方程2222210++-=的两根在(-1,1)之内?a x ax a图1分析:显然2a≠0,我们可从已知方程联想到相应的二次函数2222210a x ax a ++-=的草图,从图像上我们可以看出,要使抛物线与x 轴的两个交点在(-1,1)之间,必须满足条件: 即2(1)0a ->1()02f -≤ 2102a -≤ f(1)>0 2(1)0a +>从而可解得a 的取值范围为a ≥22或a ≤22-且a ≠±1.例2：如果方程220x ax k ++=的两个实根在方程2240x ax a ++-=的两实根之间,试求a 与k 应满足的关系式.图2分析:我们可联想对应的二次函数22122,24y x ax k y x ax a =++=++-的草图.这两个函数图像都是开口向上,形状相同且有公共对称轴的抛物线(如图2).要使方程220x ax k ++=的两实根在方程2240x ax a ++-=的两实根之间,则对应的函数图像1y 与x 轴的交点应在函数图像2y 与x 轴的交点之内,它等价于抛物线1y 的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线2y 的顶点纵坐标.由配方法可知1y 与2y 的顶点分别为: 2212(,),(,4)Pa a k P a a a --+--+-.故2240a a a k -+-<-+≤.故可求出a 与k 满足的关系式为: 24a k a -<≤.2.利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题通过构造函数,把求方程解的问题,转化为两函数图像的交点问题.例3:解方程32x x =-.图3分析:由方程两边的表达式我们可以联想起函数3xy =与y=2-x,作出这两个函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解,可以看出方程的近似解为x ≈0.4.（二）利用数形结合思想解决不等式的证明和求解问题1.利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集时,只要联想对应的二次函数的图像,确定抛物线的开口方向和与x 轴的交点情况,便可直观地看出所求不等式的解集.例4:解不等式260x x -->.图4分析:我们可先联想对应的二次函数26y x x =--的图像(见图4).从260x x --=解得122,3x x =-=,知该抛物线与x 轴交点横坐标为-2,3,当x 取交点两侧的值时,即x<-2或x>3时,y>0.即260x x -->.故可得不等式 260x x -->的解集为:{x|x<-2或x>3}.2.利用三角函数的图像解不等式通过构造函数,把不等式问题转化为两个函数图像的关系问题.如:例5:解不等式|cosx|>|sinx|,x ∈[0,2π].分析:不等式两边的表达式我们可以看成两个函数1y =|cosx|, 2y =|sinx|.在[0,2π]上作出它们的图像(图5),得到四个不同的交点,横坐标分别为: 4π, 34π, 54π,74π,而当x 在区间[0, 4π),( 34π, 54π),( 74π,2π]内时, 1y =|cosx|的图像都在2y =|sinx|的图像上方.所以可得到原不等式的解集为:{0≤x< 4π或34π<x< 54π或74π<x ≤2π}.3.利用单位圆中的有向线段解决三角不等式问题在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线,余弦线,正切线,并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像.如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线,应用它解决三角不等式问题,简便易行.例6:解不等式sinx> 12-.图6分析:因为正弦线在单位圆中是用方向平行于y 轴的有向线段来表示.我们先在y轴上取一点P,使OP= 12-恰好表示角x 的正弦线sinx= 12-,过点P 作x 轴的平图5行线交单位圆于点1P , 2P (如图6),在[3,22ππ-]内, 12,OPOP 分别对应于角7,66ππ-,(这时所对应的正弦值恰好为12-).而要求sinx> 12-的解集,只需将弦12P P 向上平移,使12,OPOP 重合(也即点P 向上平移至与单位圆交点处).这样12,OP OP 所扫过的范围即为所求的角.原不等式的解集为:{x|2k π- 6π<x<2k π+76π,k ∈Z.}4.利用三角形的二边和大于第三边关系和余弦定理证明不等式对于有些不等式证明,可造图形,使之与三角形的三边相联系,利用三角形的二边之和大于第三边来证。
数形结合思想在高中数学解题中的应用探讨
数形结合思想在高中数学解题中的应用探讨数形结合思想是指在数学解题中通过运用几何图形的性质来证明或者求解一些与数学有关的问题。
这种思想是数学研究中的一种重要方法。
在高中数学的教学中，数形结合思想也被广泛运用。
一、常用的数形结合方法1. 利用图像求解问题在很多数学解题中，通过绘制几何图形可以直观的反映出问题的本质，进而较为方便地解决问题。
例如，计算圆的面积、周长等问题就可以通过绘制几何图形直观理解，进而计算。
此外，数轴和平面直角坐标系中的问题也可以通过画图解决。
2. 构造图形证明问题利用图像进行证明也是数形结合思想的一种常用方法。
例如在证明平面内两个角度等时，可以构造一个等腰三角形，利用等腰三角形的性质证明。
在解决几何问题时，构造图形证明法经常被运用。
3. 利用几何代数相互转化在很多数学问题中，也可以利用几何代数之间的相互转化，实现数形结合思想的应用。
例如，在解决离散数学问题时，有时可以利用罗德里格斯公式将问题转换为正交多项式，亦或者利用计数问题对应几何问题的方式来解决。
4. 构造数学模型利用几何图形构造数学模型也是数形结合思想的一种重要应用。
例如，在线性规划中，可以通过绘制几何图形来构造线性规划问题。
在概率统计中，也可以通过构造数学模型来计算概率分布、期望等问题。
二、数形结合思想的优势1. 直观明了通过绘制几何图形，数学问题的解题过程可以变得更加直观、明了。
这有助于学生理解问题本质，加深对问题的理解。
2. 提高思维灵活性利用数形结合思想解决问题，需要把数学知识和几何图形知识很好结合起来，这可以大大提高学生的思维灵活性和思考能力。
3. 便于记忆通过构造几何图形解决问题，可以让学生在解题时可以很好的进行记忆和理解，这也可以加深对数学知识点的理解和记忆。
4. 实现跨学科融合数形结合思想的应用，可以使学生在数学领域之外的学科中运用到所学的数学知识，让他们更好地跨学科融合。
1. 学会几何图形的基本概念和性质运用数形结合思想解决问题，需要掌握几何图形的基本概念和性质，并且熟知它们之间的联系和转换方式。
数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想在解题中的应用数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路．数学中有很多概念：如距离、角度、斜率、点集都是很容易转化成“形”的；因此题目中涉及到这些问题时，可以用数形结合法来解决．有些表达式容易化为“形”，比如，(x －a)2＋(y －b)2，实际上是点(x ，y)到原点(a ，b)的距离的平方；ax by --是(x ，y)与(a ，b)两点的斜率；函数y =)(x f 在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =)(x f 在点P(x 0，y 0)处的切线斜率，这就为解决几何中曲线的切线问题提供了代数工具；“曲线”与“方程”是同一对象(即点的轨迹)的两种表现形式，曲线是轨迹的几何形式，方程是轨迹的代数形式．它们在表现和研究轨迹的性质时，各有所长．几何形式具有直观形象的优点，代数形式具有便于运算的优势，因而具有操作程序化的长处．具体解题时最好将二者结合起来，这就是“数形结合”思想．一、与函数有关的问题，函数的图象为数形结合带来了便利条件，从图象上寻找突破口常常是解决问题的关键．例1 设A = {x |1＜x ＜3}，又设B 是关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤+-.052,0222bx x a x x 的解集，试确定a ，b 的取值范围，使A ⊆B ．解：设)(x f = x 2－2x＋a = (x －1)2＋a －1， g(x) = x 2－2bx ＋5 = (x －b)2＋5－b 2．要使A ⊆B ，则必须使)(x f ，g(x)在[1，3]上的函数图象落在x 轴下方，即：⎩⎨⎧≤≤.0)3(,0)1(f f ⇒⎩⎨⎧≤+≤-.03,01a a ⇒ a ≤－3，且⎩⎨⎧≤≤.0)3(,0)1(g g ⇒⎩⎨⎧≤-≤+-.0614,062b b ⇒ b ≥3． ∴满 足条件的a 、b 取值范围为a ≤－3且b ≥3．评析：数形结合避免了解不等式和集合求交集的运算，解法简练、思路清晰，是一种生动活泼的思维方式．例2 已知集合A = {(x ，y)|123=--x y ，x ，y ∈R}，B ={(x ，y)| y = ax ＋2，x ，y ∈R}，若A B = φ，求a 的值．解：集合A 表示不含点(2，3)的直线l ：y = x ＋1，集合B 表示直线m ：y = ax ＋2．⑴． 当直线l 与直线m 平行时，A B = φ， 此时a =1．⑵． 当直线m 经过点(2，3)时，A B = φ，y =(f＋1y =21此时3 = 2a ＋2，解得a =21．所以所求的a 的值是1或21．评析：用数形结合法解题，即利用直观的几何图形来处理会起到意想不到的效果．例3 若函数y = log a (－x 2+ log a 2x) 的定义域是(0 ，21)，求实数a 的取值范围．解：由题意，问题可等价转化为不等式x 2－log a2x ＜0的解集．．为(0，21)，记C 1：y = x 2，C 2：y = log a 2x ，作图形C 1与C 2，如图，只需C 2过点(21，41)∴0＜2a ＜1，即0＜2a ＜1，且log a221= (21)2即可．解得：a =321． 评析：通过分析已知函数式的几何意义，画出图象，得到极为简捷的解法，否则，若仅从代数的角度考虑数量关系，解题思路是很难寻觅的．例4 对于每个x ，设)(x f 是4x ＋1，x ＋2和－2x ＋4，三个函数中的最小值，求)(x f 的最大值．解：在同一坐标系下作出y 1= 4x ＋1，y 2= x ＋2和y 3=－2x ＋4的图象，依题意，)(x f 的图象是由这三个函数图象的最下面的部分构成的折线，由图形观察知)(x f 的最大值是y 2与y 3交点的纵坐标，解方程组⎩⎨⎧+-=+=.42,2x y x y ⇒ y =38．所以函数)(x f 的最大值是38．评析：借助于图象的直观性，十分简捷地解决了问题，若不借助于图象，则需用解不等式的方法求出)(x f 在每一段的表达式，再根据每段函数的单调性才能解决，计算量较大．二、如果方程自身或方程两边(或通过变形)的表达式有明显的几何意义，可以把抽象的数量关系转化为图形来解决．例5 实数p 取什么值时，方程| x 2－4x ＋3| = px 有四个不同的实数根．解：设⎩⎨⎧=+-=②px y ①x x y .,|34|2 这两个方程表示的曲线如图所示，由图中不难看出，当方程②表示的直线和x 轴重合时，直线与曲线有2个交点；当方程②表示的直线和曲线y =－(x2－4x ＋3)相切时，方程②、①表示的直线与曲线有3个交点；当方程②表示的直线在x 轴和切线1l 之间时，直线与曲线有4个公共点，即原方程有4个不等实数根．⎩⎨⎧=+--=.,)34(2px y x x y x ∈[1，3]． 消去y 得方程x 2＋(p －4)x ＋3 = 0，x ∈[1，3]．∆= (p －4)2－12 = p 2－8p ＋4，令∆= 0，解得p = 4±23．l又当p = 4＋23时，x =－3∉[1，3]，所以舍去， 当p = 4－23时，x =3∈[1，3]．故当0＜p ＜4－23时方程有四个不同的实数根．评析：数形结合的直观思考，离不开代数知识或几何知识的严格的逻辑推理．例6 设)(x f 是定义在区间(－∞，＋∞)上以2为周期的函数，对k ∈Z ，用I k 表示取间(2k －1，2k ＋1]，已知当x ∈I 0时，)(x f = x2．⑴．求)(x f 在I k 上的解析式； ⑵．对自然数k ，求集合M k = {a |使方程)(x f = ax 在I k 上有两个不相等的实根}．解：⑴．由题设条件，)(x f 以2为周期，x ∈I 0，)(x f = x 2，由图可知当x ∈I k 时，)(x f = (x －2k)2．⑵．当k 为自然数时，由条件x ∈I k ，有(x －2k)2= ax ，即两函数y 1= (x －2k)2与y 2= ax 在(2k －1，2k ＋1]上的图象有两个不同的交点，可作出它们的图象．由图象可知，直线y = ax 的斜率为a ，根据题意其取值范围应是⎥⎦⎤⎝⎛+1210k ，． 评析：此例如用纯代数的方法求解是相当麻烦的，利用数形结合，却容易获得解题捷径．例7 已知方程| x －2n | = k x (n ∈N *)在区间(2n －1，2n ＋1]上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．解：设y 1= | x －2n |，y 2= k x ，在同一坐标系内作出两个函数的图象，则原方程在(2n －1，2n ＋1]上有两个不相等的实数根，等价于图中半条抛物线与线段有两个交点，又等价于：⎪⎩⎪⎨⎧-≤+.012,112＞n k n k ⇒0＜k ≤121+n ．即k 的取值范围为0＜k ≤121+n ．评析：此例如用纯代数的方法求解是相当麻烦的，利用数形结合，却容易获得解题捷径．例8 解方程842++x x +2082+-x x =10． 解：将原方程配方，得4)2(2++x +4)4(2+-x =10． 令y 2= 4，即有22)2(y x ++ +22)4(y x +-=10．根据椭圆定义，它表示以(－2，0)、(4，0)为焦点，长、短半轴分别为5、4的椭圆25)1(2-x +162y =1，将y 2= 4代入椭圆方程中，解得x =1±235． 经检验，x =1±235均是原方程的解．评析：这是一种典型的“由形到数”的解题模式，这样解题，使问题解得简单、直观、明了，省略了繁杂的运算。
数形结合思想方法在中学中的应用文献综述
数形结合思想方法在中学中的应用文献综述摘要：众所周知，数学是研究数量关系和空间形式的科学，简单的说就是研究数与形的科学,两个研究对象相辅相成.由数与形结合而得来的数学方法也成为了古今中外众多学者重点研究的方面,本文将从数形结合思想方法的背景与研究意义、演变过程、理论基础以及学习数形结合思想的意义等四个方面的研究情况进行综述。
关键词：数形结合;文献综述引言数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化.中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系,即数形结合包括两个方面:第一种情形是“以数解形"，而第二种情形是“以形助数”.本文将从问题研究的背景和意义、演变简史、理论依据、教育价值、与其他学科的联系等五个方面的研究情况进行综述。
一、问题研究的背景和研究意义数量关系与空间形式共同构成了数学教育研究中两个核心的组成要素。
数学重点研究的是“数"与“形”关系，数形结合思想是义务教育阶段数学学习的重要内容，它贯穿于初中各年级的数学教材之中，数形结合思想不仅体现了各个学科彼此之间的内部关联性和统一性,而且体现了人们对数学的整体认识。
继2012年教育部审核通过了七年级数学教材，2013年相继审核通过了八年级和九年级数学教材。
新教材的投入使用，教师对新教材的使用情况及评价，使得数形结合思想已成为数学教育研究的问题之一.对教师来说,宋玉军(2010）认为，课程改革提出了新的课程标准，作为教者与学生如何贯彻好课改精神，从培养学生的自身解题能力上出发，让教者不只是为了教而教,而是通过解题分析在给学生传授着一种数学思想.让学生学会这种思维的方式与方法--数形结合法。
数形结合法不仅是中学数学中一种很重要的思想方法.同时也是数学解题中要求掌握的重点思想方法之一。
浅谈数形结合思想在数学中的应用
浅谈数形结合思想在数学中的应用摘要：．本文通过“以形助数”和“以数助形”这两大题型的具体分析，并就如何体现数形结合思想，数形结合在中学数学以及数学分析中的应用，介绍一些常用的方法与技巧，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，从而使解决数学问题的渠道变得优化．关键词：数形结合 不等式 导数 函数 积分引言：数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。
数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入．一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示.一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论.数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物.华罗庚先生说过:“数与形是两依椅，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微”.“数”与“形”是数学的基本研究对象，他们之间存在着对立辩证统一的关系．数形结合是一种重要的数学思想，是人们认识，理解，掌握数学的意识，它是我们解题的重要手段，是根据数理与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻求解决问题的方法的一种数学思想．它是在一定的数学知识，数学方法的基础上形成的.它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，解决数学问题能起到促进和深化的作用.一 利用数形结合思想解决不等式问题例1、已知,,,,,,a b c x y z m 为正数，且a x b y c z m +=+=+=， 试证： 2ay bz cx m ++<分析1：观察求证的结论，使我们联想到矩形和正方形的面积公式，便可构造以m 边长的正方形ABCD ，如图1：由图可得： S 正方形 ABCD =2m ， S 阴影=cx bz ay ++ 即：S 阴影﹤S 正方形 ABCD ∴2ay bz cx m ++<．xzaA B c1图分析2：由z c y b x a +=+=+m =，便可联想到以m 为边长正△EFG ，分别在各边上取点H 、I 、J ，使得：EH =x ，FI =y ，GJ =z ，HF =a ，IG =b ，EJ =c由S 阴影﹤S 正EFG又S阴影=S△HFI＋S△GIJ＋S △EHJ=21ay ⋅ 60sin ＋21bz ⋅ 60sin ＋21cx ⋅ 60sin=43ay ＋43bz ＋43cxS 正△EFG =212m ⋅ 60sin =432m ∴43ay ＋43bz ＋43cx ﹤432m 即：cx bz ay ++﹤2m例2.≥（a 与c ，b 与d 不同时相等）．分析：考察不等号两边特点，其形式类同平面上两点间距离公式．在平面直角坐标系中设A （b a ,），),(d c B ，)0,0(O .xbIF2图如图3，AB =AO =BO = A 、B 、O三个点不共线时，BO AO AB +<.当A 、B 、O 三点共线，且A 、B 在O 点同侧时，BO AO AB +<.当A 、B 、O 三点共线，且A 、B 在O 点异侧时，或A 、B 之一与原点O 重合时，BO AO AB +=．综上≥例3 解不等式x a x x -≥-+223解:这里出现了参数a ，讨论起来会很困难，而用图像法则十分简洁.∵223x x y -+=的图像是4)1(22=+-y x ，是此圆的上半部，再令x a y -=，这是斜率为-1的平行直线束，它在y 轴上的截距为a ，不难从图中看出: 1)当1-≤a 时，解为x []3,1-∈; 2)当1-<3≤a 时，解为[]3,a x ∈;3)当1223+<<a 时，解为[]βα,∈x ，其中βα,为方程4)()1(22=-+-x a x 的两根：()()72121,7212122++-++=++--+=a a a a a a βα 4）当122+=α时，解为21+=x ；5）当122+>α时，解集为φ.此题采用数形结合，避免了复杂的讨论，体现了以数求形的优越性.二 利用数形结合思想解决函数问题例4、对于每个实数x ， 设)(x f 是14+x ，2+x ，42+-x 三个函数的最小值，则)(x f 的最大值为______________．解：在同一个坐标系内做出三个函数的图像，如图5依题意，)(x f 的图像是三个函数图像的最下面的部分构成的折线，由图5知，)(x f 的最大值是1y 与2y 图像交点的纵坐标，解38422=⇒⎩⎨⎧+-=+=y x y x y ，)(x f 的最大值为38.例5．若12≥+y x ，试求函数x x y y 4222++-=ω的最小值。
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勾股定理
（外文翻译从原文第一段开始翻译，翻译了约 2000字）
勾股定理是已知最早的古代文明定理之一。
这个著名的定理被命名为希腊的数学家和哲学家
毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯在意大利南部的科托纳创立了毕达哥拉斯学派。
虽然其中一些可能实际上一直是他学生的工作。
毕达哥拉斯定理是毕达哥拉斯最著名的数学贡 献。
据传说，毕达哥拉斯在得出此定理很高兴，曾宰杀了牛来祭神，以酬谢神灵的启示。
后 来又发现2的平方根是不合理的，因为它不能表示为两个整数比，极大地困扰毕达哥拉斯和他的
追随者。
他们在自己的认知中，二是一些单位长度整数倍的长度。
因此 理的，他们就尝试了知识压制。
它甚至说，谁泄露了这个秘密在海上被淹死。
毕达哥拉斯定理是关于包含一个直角三角形的发言。
毕达哥拉斯定理指出,
对一个直角三角形斜边为边长的正方形面积，等于剩余两直角为边长正方形面积的总和
根据勾股定理，在两个红色正方形的面积之和 A 和B ,等于蓝色的正方形面积，正方形三区
他在数学上有许多贡献,
2的平方根被认为是不合
2
Area Square B =b
Area Square C = /
的数字显示。
在广场的地方就可以表现在两个不同的方式: 1。
由于两个长方形和正方形面积的总和:
2。
作为一个正方形的面积之和四个三角形:
2 2 /ab\ 2 (a +b) = c 1= c + 2ab
因此，毕达哥拉斯定理指出的代数式是:
2 2 2 a +b = c
对于一个直角三角形的边长 a ，b 和c . 其中c 是斜边长度。
虽然记入史册的是著名的毕达哥拉斯定理, 但是巴比伦人知道某些特定三角形的结果比毕达哥拉
斯早一千年。
现在还不知道希腊人最初如何体现了勾股定理的证明。
如果用欧几里德的算法使用,
很可能这是一个证明解剖类型类似于以下内容: "一个大广场边a+ b 是分成两个较小的正方形的边
a 和
b 分别与两个矩形 A 和B ,这两个矩形各 可分为两个相等的直角三角形，有相同的矩形对角线
c 。
四个三角形可安排在另一侧广场
a+b 中
该公式将产生所有勾股数最早出现在书欧几里德的元素 X ：
现在，建立上面2个方程，求解得
2 2 2 a +b +2ab = c +2ab
因此，对c 的平方等于a 和b 的平方和（伯顿1991） 有许多的勾股定理其他证明方法。
一位来自当代中国人在中国现存最古老的含正式数学理论能找 到对Gnoman 和天
坛圆路径算法的经典文本。
被列入书Vijaganita ，（根计算），由印度数学家卜 哈斯卡瑞。
卜哈斯卡瑞的唯一解释是他的证明，简单地说，“看”。
这些发现证明和周围的几何定理的毕达哥拉斯是导致在作为 之一。
毕达哥拉斯问题:
方案:
2 2 2 I +y =E
有三个整数（X , y ，z ）满足这个方程，则称为勾股数。
部分勾股数:
5 12 13 7 24 25 9 40 41 11 60 61
这勾股定理证明是一个鼓舞人心的数字证明,
Pythgorean 数论问题的最早的问题
找到所有的边的长度为直角三角形边长的组成,
从而找到在毕达哥拉斯方程的正整数所有的解决
I = 2miL
其中n 和m 是.正整数，且不同为奇数或偶数 在他的书中算术，丢番图证实，他能利用这个公式直角三角形，虽然他给了一个不同的论证。
勾股定理可在初中向学生介绍。
在高中这个定理变得越来越重要。
仅仅这样还不够，为勾股定理 代数公式，学生需要看到的几何连接以及在教学和学习中的勾股定理，可丰富和通过使用增强点
纸，geoboards ，折纸，和计算机技术，以及许多其他的教学材料。
通过对教具和其他教育资源 的使用，毕达哥拉斯定理可能意味着更多的学生不仅仅是插上数字的公式。
以下是对勾股定理的证明包括欧几里德一个品种。
这些证明，随着教具和技术提高，可以大 大提高学生对勾股定理的理解。
F 面是一个由欧几里德其中最有名的数学家之一证明的总结。
这个证明可以在书欧几里德的《元 素》中找到。
2 2 2 a +b = c
欧几里德开始在上面图 2所示的毕达哥拉斯配置。
然后，他建造了一个垂直线，从 C 做DJ 就关
于斜边垂线。
这点 H 和G 是本与斜边上的正方形的边垂足。
它位于的三角形 ABC 的高。
见图3。
命题：直角三角形上斜边的平方等于在直角边的平方和。
|
下一步，欧几里德表明，矩形HBDGT积等于BC上正方形的和与矩形的HAJG正方形的面积关系。
他证明了这些等式利用相似的概念，三角形ABC AHC和CHB相似，HAJG面积=(HA)(AG),AJ=AB, HAJG面积=(HA)(AB),三角形ABC与三角形AHC相似，即:
AB AC AC" " HA o
因此,
以同样的方式，三角形ABC的和CHG是相似的。
所以
AB BC
B T =丽
(BC)^ = (BHXAB) = (BHXBD)
矩形的AHGJ 面积是三角形JAC 面积的两倍，以及 ACLE 面积是三角形 BAE 面积的两倍。
这两个三 角形全等采用SAS 在同样的结果如下，为其他类似的方式长方形和正方形。
点击这里，普惠制动画来说明这方面的证据。
接下来的三个证据更容易看到了毕达哥拉斯定理证明，将高中数学学生的理想选择。
其实，这些 都是可以证明，学生可以自己在某个时候兴建。
由于这两个矩形的面积之和，是对斜边正方形的面积，这样就完成了证明。
欧几里德急于把这个结果在他的工作尽快得出结果。
然而, 由于他的工作与相似联系不大，直至 图书第五和第六，他必须与另一种方式来证明了勾股定理。
因此，他采用平行四边形的结果是相
同的基础上翻一番，并在同一平行线之间的三角形。
连接
CJ 和 BE
（卡茨，1993年）。