线段大小的计算与证明 专题训练
线段大小的计算与证明 专题训练
一、应用线段和差倍分关系
1．如图，AB=8cm ，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段CB 的中点，求AD 的长度。
2．如图，已知AB=80cm ，M 为AB 的中点，点P 在MB 上，点N 为PB 的中点，且NB=14cm ，求PA 的长。
二、利用全等（翻折、平移、旋转）
1．如图，A 、E 、F 、B 四点共线，AC ⊥CE 于E ，BD ⊥DF 于D ，AE=BF ，AC=BD 。 求证：CF=DE 。
2．在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AN 为过点A 的一直线，BD ⊥AN 于点D ，CE ⊥AN 于点E ，若BD>CE ，线段BD 、DE 、CE 之间有怎样的数量关系？
*三、分大补小（截长补短、折半加倍和相等转化）
1．在△ABC 中，已知AB>AC ，求证：∠C ＞∠B 。（这就是“大边对大角”定理）
A B
C
D
A B
M P N A B
C
D E F A
B
C C
D
E
解法1 截长法
解法2 补短法
2．在△ABC 中，已知AB=AC ，∠BAC=108°，BD 平分∠ABC 。求证：BC=CD+AB 。
3．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 在AD 上，EB 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD 。求证：BC=AB+CD 。
4．△ABC 中，已知AB=7，AC=5，求BC 边上的中线AD 的取值范围。
*四、利用三角形三边的不等关系
1．已知：如图，AD 是△ABC 的中线。求证：AB+AC>2AD 。
A
B C
A
B C D
A B C D
E
A
B
C
D
2．如图，在△ABC 中，已知AC>AB ，AD 是∠BAC 的平分线，P 为AD 上任一点。 求证：PC －PB 3．如图，P 为△ABC 内部任一点。求证：AB+AC >PB+PC 。 4．如图，试说明AB+AC >BD+DE+EC 。 五、利用角平分线、线段垂直平分线性质 1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，M 为BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，ME ⊥AC 于E 。 求证：MD= ME 。 2．在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E 点，已知AB=10cm ，求△DEB 的周长。 A C B D P A B C D E M A B C D E A C B P A B C D E 3．已知：在等边△ABC 中，BN 、CN 分别平分∠ABC 、 ∠ACB ，它们相交于N ，DE 、GF 分别垂直平分BN 、CN ，垂足为D 、G ，交BC 于点E 、F 。 求证：BE=EF=FC 。 六、利用等腰三角形的等角对等边性质 1．已知：△ABC 中，AB=AC ，D ，E 分别是AB 和BC 上的点，连接DE 并延长与AC 的延长线交于点F ，DE=EF 。 求证：BD=CF 。 七、利用“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半” 1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AC 的垂直平分线交AC 于点E ，交BC 于点F 。求证：BF=2CF 。 八、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 1．如图，△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD ，垂足为D ，DE 交BC 于点E 。 求证：CD=12 BE 。 A B C D E F B C E D A A B C F E A B C D G E F N 九、利用三角形、梯形中位线性质 1．如图，△ABC 中，D 是边BC 上的中点，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E 。 求证：AE=12 CE 。 十、利用平行四边形（矩形、菱形、正方形、等腰梯形）性质 1．已知：如图，过□ABCD 的各个顶点作直线l 的垂线AA 1、BB 1、CC 1、DD 1。 求证：AA 1+ CC 1= BB 1+ DD 1。 十一、勾股定理 1．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠B=2∠C 。 求证：⑴CD=AB+BD ； ⑵AC 2=AB 2+AB *BC 。 十二、等积法 1．在△ABC 中，∠C=90°，AD 为中线，BC=4，AC=3，求点D 到AB 的距离。 A C B D A A 1 B B 1 C C 1 D D 1 A B C D E F A B C D 2．在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 的面积是28cm 2，AB=20 cm ，AC=8 cm ，求DE 的长。 十三、利用相似 1．如图，在⊙O 中，AB=AC ，AD 交BC 于点E ，AE=2，ED=4。求AB 的长。 *十四、式子灵活变形 1．一个正方形的面积是()()()()12341x x x x +++++，求其边长。（x >0） 十五、分类讨论 1．已知AB=10cm ，在直线AB 上画线段BC=3 cm ，求AC 的长。 2．□ABCD 中，一个角的平分线把一条边分成3cm 和4cm 两部分，求这个平行四边形的周长。 A B C D E F B D 十六、方程思想 1．如图，已知AC=57 CB ，AD=511 CB ，AB 的长是66cm ，求CD 的长。 十七、整体思想 1．如图，点P 在线段AB 上，AB=10cm ，点M 是AP 的中点，点N 是BP 的中点，求MN 的长。 A B D C A B P 证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分 一、证明线段或角的倍分 1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍 2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问 题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。 3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或 利于利用已知条件而添。 4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与 被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。参考例 4、例 5、例6。 例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和 AC 为边向形外作的正方形。求证：FH=2AD / BAC+ / ACN=180 证明：延长AD 至N 使AD=DN 则ABNC 是平行四边形 CN=AB=FA AC=AH 又/ FAH+ / BAC=180 ???△ FAHY NCA ??? FH=AN 例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C , AD 是高，M 是BC 边上的中点。 $ ??? 1 求证：DM=2 AB / 2=Z B ???/ 2=2Z 1 ???/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND ? DM=2 A B 1 贝J BFAC ??? BF=AE ???△ AEC 心 BFD ?DF 二CE 二 CD=2CE 作业: 1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1 线交AC 于F ,求证：AF=2 FC 2、AB 和AC 分别切? O 于B 和C, BD 是直径。求证/ BAC 二Z CBD 3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。求证：BD=2CE 例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E , 证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN 贝J MN // AC / 1 = / C ??? DM=DN 例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是 AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。求证：CD=2CE 证明：过B 作CD 的中线BF V AB=AC , E 是AB 的中点 又 DB=AC 1.如图，下列各式中错误的是（） A.AB=AD+DB B.CB=AB-AC C.CD=CB-DB D.AC=CB-DB 2.如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树 叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（） A.垂线段最短 B.经过一点有无数条直线 C.经过两点，有且仅有一条直线 D.两点之间，线段最短 3.已知点A、B、C在同一条直线上，线段AB=5，BC=3，则线段AC的长度（） A. 8或2 B. 2 C. 8 D.以上都不对 4.如图，点C是线段AB上一点，点M是AC的中点，点N是BC 的中点，如果MC比NC长2cm，AC比BC长（） A.2cm B.4cm C.1cm D.6cm 5.线段AB=3cm，BC=4cm，那么AC的长一定是（） A.7cm B.1cm C.7cm或1cm D.不能确定 6.如图，线段AB和线段CD的重合部分CB的长度是线 段AB长的．M、N分别是线段AB和线段CD的中点， AB=18，MN=13，则线段AD的长为（） A.31 B.33 C.32 D.34 7.如图，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB=8cm，线段CD的长度为（） A.2cm B.4cm C.5cm D.6cm 8.如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．若想求出MN 的长度，那么只需条件（） A.AB=12 B.BC=4 C.AM=5 https://www.360docs.net/doc/5d13645433.html,=2 9.有阜阳到合肥的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：阜阳-淮南-水家湖-合肥，那么要为这次列车制作的火车票有（） A.3种 B.4种 C.6种 D.12种 10.有下列生活，生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上． ②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设． ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线． ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（） A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 11.已知点A、B、P在一条直线上，则下列等式中，能判断点P是线段AB的中点的个数有（） ①AP=BP；②BP=AB；③AB=2AP；④AP+PB=AB． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.如图，在线段AB上，画1个点，可得3条线段；画2个不同点，可得6条线段；画3个不同点，可10条线段，…照此规律，画n个不同点，可得 ______ 条线段． 教学内容：比例和比例线段 【重点、难点、考点】 重点：应用平行线分线段成比例定理及其推论和比例的性质进行有关的计算和证明。 难点：熟练应用比例的性质进行各种比例变形。 考点：平行线分线段成比例定理及其推论和比例的性质是学习相似形的重要基础，但各地中考试题中单独考核该项内容较少。 【经典范例引路】 例1 如图已知BE AB =ME AM =CE AC 。 求证：BC CA BC AB ++=ME AE 【解题技巧点拨】 本题要通过观察找出已知条件和待证结论之间的内在联系，然后灵活运用等比性质和合比性质达到证题的目的 例2 如图，延长正方形ABCD 的一边CB 至E ，ED 与AB 相交于点F ，过F 作FG ∥BE 交AE 于G ，求证GF ＝FB ． 【解题技巧点拨】 本题要善于从较复杂的几何图形中，分离出“平行线分线段成比例定理的推论”的基本图形，“A 型”或“ 型”，得到相应的比例式，并注意由公共线段“ED ” 产生“中间比”，最后使问题得证。 【综合能力训练】 一、填空题 1．）已知a ∶b ＝3∶1且a ＋b ＝8，则a －b ＝ 。 2．）已知n m =q p =32 (n+q ≠0)，则q n p m ++＝ 。 3．一个三角形三边的比为2∶3∶4则这个三角边上的高的比为 。 4．线段a ＝3，b ＝4，c ＝5则b ，a ，c 的第四比例项是 ，b 、c 的比例中项是 ． 5．直角三角形的三边为a ，a+ b ，a+2b 且a ＞0,b ＞0则a ∶b ＝ 。 6．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，若AP ＞BP ，AP=5-1，则AB ＝ 。 7．△ABC 的周长为100cm ，如图若AB AE =AC AF =BC EF =53 ，△AEF 的周长 为 。 题型复习(四)综合计算题 第1讲力学计算 题型之一压强和浮力的综合计算 1．(2017·威海 )夏鸥在研究某种物质的属性时发现该物体要浸没在煤油中保存．于是他将体积为1×10－3 m3、重为6 N的该物体用细线系在底面积为250 cm2的圆柱形容器的底部，并浸没在煤油中，如图所示．(煤油的密度为×103kg/m3，g取10 N/kg)求： (1)细线受到的拉力是多大 (2)若细线与物体脱落，待物体静止后煤油对容器底的压强变化了多少 2．(2017·咸宁)底面积为100 cm2的平底圆柱形容器内装有适量的水，放置于水平桌面上．现将体积为500 cm3、重为3 N的木块A轻放入容器内的水中，静止后水面的高度为8 cm，如图甲所示，若将一重为6 N的物体B用细绳系于A的下方，使其恰好浸没在水中，如图乙所示(水未溢出)，不计绳重及其体积，ρ水＝×103kg/m3，g取10 N/kg，求： (1)图甲中木块A静止时浸入水中的体积． (2)物体B的密度．甲乙 (3)图乙中水对容器底部的压强． 3．(2017·天水 ) 如图甲所示，不吸水的长方体物块放在底部水平的容器中，物块的质量为kg，物块的底面积为50 cm2，物块与容器底部用一根质量、体积均忽略不计的细绳相连，当往容器中缓慢 注水至如图乙所示位置，停止注水，此时，物块上表面距水面10 cm ，绳子竖直拉直，物块水平静止， 绳子的拉力为2 N ．已知ρ水＝×103 kg /m 3 ，g 取10 N /kg .求： (1)物块的重力． (2)物块的密度． 甲 乙 (3)注水过程中，绳子刚好竖直拉直时到图乙所示位置时，水对物块下表面压强的变化范围． 4．(2017·贵港)如图甲所示，放在水平桌面上的圆柱形容器的底面积为100 cm 2，装有20 cm 深的水，容器的质量为 kg ，厚度忽略不计．A 、B 是由密度不同的材料制成的两实心物块，已知B 物块 的体积是A 物块体积的1 8 .当把A 、B 两物块用细线相连放入水中时，两物块恰好悬浮，且没有水溢出， 如图乙所示，现剪断细线，A 物块上浮，稳定后水对容器底的压强变化了60 Pa ，物块A 有1 4 体积露出 水面．已知水的密度为×103 kg /m 3 ，g 取10 N /kg .求： (1)如图甲所示，容器对水平桌面的压强． (2)细线被剪断前后水面的高度差． 甲 乙 (3)A 、B 两物块的密度． 5．(2016·柳州)正方体塑料块A 的边长为L A ＝ m ，它所受的重力G A ＝6 N ，另一圆柱体B 高h B ＝ m ，底面积S B ＝5×10－3 m 2，它的密度ρB ＝×103 kg /m 3 .(已知水的密度为ρ水＝×103 kg /m 3，g 取10 N /kg )求： 第一讲 线段、角的计算与证明问题 【前言】 中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中，难题了。大家研究今年的北京一模就会发现，第二部分，或者叫难度开始提上来的部分，基本上都是以线段，角的计算与证明开始的。城乡18个区县的一模题中，有11个区第二部分第一道题都是标准的梯形，四边形中线段角的计算证明题。剩下的7个区县题则将线段角问题与旋转，动态问题结合，放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。可以说，线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。在这个专题中，我们对各区县一模真题进行总结归纳,分析研究，来探究线段，角计算证明问题的解题思路。 第一部分 真题精讲 【例1】（2018，崇文，一模） 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，° ，，．求AB 的长． 【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC 以及△BDC 是等腰直角三角形,所以要把未知的AB 也放在已知条件当中去考察.做AE,DF 垂直于BC,则很轻易发现我们将AB 带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下. 【解析】 作AE BC ⊥于E DF BC ⊥，于F ． DF ∥AE ∴， AD BC ∴ ∥，四边形AEFD 是矩形． 专题训练(五) 线段的有关计算 类型1直接计算线段的长度 1．如图，线段AB＝2，线段AC＝5，延长BC到D，使BD＝3BC，求AD的长． 2．如图，线段AB＝22 cm，C是AB上一点，且AC＝14 cm，O是AB的中点，求线段OC的长度． 类型2运用方程思想求线段的长度 3．如图，线段AB被点C、D分成了3∶4∶5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40 cm，求AB的长． 类型3运用整体思想求线段的长度 4．如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点． (1)如果AB＝10 cm，AM＝3 cm，求CN的长； (2)如果MN＝6 cm，求AB的长． 5．如图，C为线段AB上一点，D是线段AC的中点，E为线段CB的中点． (1)如果AC＝6 cm，BC＝4 cm，试求DE的长； (2)如果AB＝a，试求DE的长度； (3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b，D、E分别为AC、BC的中点，你能猜想DE的长度吗？写出你的结论，不要说明理由． 类型4运用分类讨论思想求线段的长度 6．已知线段AB＝60 cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝20 cm，点D是AC的中点，求CD的长度． 7．已知，线段AB、BC均在直线l上，若AB＝12 cm，AC＝4 cm，M、N分别是AB、AC的中点，求MN的长． 参考答案 1．因为AB ＝2，AC ＝5，所以BC ＝AC －AB ＝3.所以BD ＝3BC ＝9.所以AD ＝AB ＋BD ＝11. 2.因为点O 是线段AB 的中点，AB ＝22 cm ，所以AO ＝12AB ＝11 cm.所以OC ＝AC －AO ＝14－11＝3(cm)． 3.设AB 的长为x cm.因为线段AB 被点C 、D 分成了3∶4∶5三部分， 所以AC ＝312x cm ，CD ＝412x cm ，DB ＝512 x cm. 又因为AC 的中点M 和DB 的中点N 之间的距离是40 cm ， 所以MC ＝324x cm ，DN ＝524x cm.所以324x ＋412x ＋524 x ＝40.解得x ＝60.所以AB 的长为60 cm. 4.(1)因为M 是AC 的中点，所以AC ＝2AM.因为AM ＝3 cm ，所以AC ＝2×3＝6(cm)． 因为AB ＝10 cm ，所以BC ＝AB －AC ＝10－6＝4(cm)． 又因为N 是BC 的中点，所以CN ＝12BC ＝12 ×4＝2(cm)． (2)因为M 是AC 的中点，所以MC ＝12 AC.因为N 是BC 的中点， 所以NC ＝12CB.所以MC ＋CN ＝12AC ＋12CB ＝12(AC ＋CB)＝12AB ，即MN ＝12 AB. 又因为MN ＝6 cm ，所以AB ＝2×6＝12(cm)． 5.(1)由题意，得CD ＝12AC ＝3 cm ，CE ＝12 BC ＝2 cm ，所以DE ＝CD ＋CE ＝3＋2＝5(cm)． (2)由题意得，CD ＝12AC ，CE ＝12BC ，所以DE ＝CD ＋CE ＝12AC ＋12BC ＝12(AC ＋BC)＝12AB ＝12a. (3)DE ＝12 b. 6.当点C 在线段AB 上时，如图1： CD ＝12(AB －BC)＝12(60－20)＝12×40＝20(cm)；当点C 在线段AB 的延长线上时，如图2： CD ＝12(AB ＋BC)＝12(60＋20)＝12 ×80＝40(cm)．所以CD 的长度为20 cm 或40 cm. 7.当点C 在线段AB 上时，如图1： 因为点M 是线段AB 的中点，点N 是线段AC 的中点，所以AM ＝12AB ＝6 cm ，AN ＝12 AC ＝2 cm.所以MN ＝AM －AN ＝6－2＝4(cm )．当点C 在线段BA 的延长线上时，如图2：因为点M 是线段AB 的中点， 点N 是线段AC 的中点，所以AM ＝12AB ＝6 cm ，AN ＝12AC ＝2 cm.所以MN ＝AM ＋AN ＝6＋2＝8(cm)．即MN ＝4 cm 或8 cm. 欢迎您的下载，资料仅供参考！ 如何证比例线段 在我们这个科技高速发展的时代中,初等几何已经是必不可少了。而如何证明比例线段是几何中的重要成分。 1.利用相似或位似来证明比例线段∶证明两个图形相似或位似，那它们的对应边的比例相等。例如 如图所示,AB∥CD,证明∶。 证：∵AB∥CD ∴∠1∠6，∠2∠5 又∵∠3∠4 ∴△ABE∽△CDE ∴ 2.利用中位线定理证明比例线段∶三角形的中位线与底边之比是1比2，梯形的中位线与两底之和的比也是1比2，…… 例如：点D、E、F、G和H是AB、AC、EH、EC和BC的中点，如图所示，求证:。 证：∵点D、E、F、G是AB、AC、EH、EC的中点 ∴DE、FG分别是△ABC、△EHC的中位线 ∴,即 又∵H是BC的中点 ∴DE＝HC ∴ 3. 利用重心来证明比例线段∶三角形的三条中线交与一点,这点到顶点的距离与它到对边中点距离之比为2∶1, 如图所示, 。 4.利用面积比来证明比例线段∶ 如图,在△ABC中,DE∥BC,且S△ADE∶S△DEB＝1∶3,求DE∶BC？ 解:∵S△ADE∶S△DEB＝1∶3 ∴AF∶FG＝1∶3 又∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴DE∶BC＝1∶4 5. 利用平行截线段来证明比例线段∶如图，如果直线a∥b∥c,那么 ,,。 6. 利用黄金分割来证明比例线段∶如图所示,△ABC∽△ BCD,＝0.618……这就是黄金分割定理。 7.利用角平分线定理来证明比例线段∶如图所示，AD是∠BAC 的平分线，那么。 8. 利用切割线定理来证明比例线段∶如图所示，PT是圆O的切线，直径AB和弦CD的延长线交于点P，则PT 2＝PA·PB=PD·PC,即,,。这就是切割线定理。 9. 利用相交弦定理来证明比例线段∶如图所示，AB、CD都是圆O的弦，它们相交于点P，则PA·PB＝PC·PD，即。 2014中考综合计算题专题训练 1.在弹簧测力计下挂一圆柱体，从盛水的烧杯上方某一高度缓慢下降，圆柱体浸没后继续下降，直到圆柱体底面与烧杯底部接触为止，如图17所示是圆柱体下降过程中弹簧测力计读数F 随圆柱体下降高度h 变化的图像。求： （1） 分析图像可知，圆柱体重力是________N ； （2） 圆柱体浸没在水中时，受到的浮力是______N ； （3） 圆柱体的体积是_________m 3； （4） 圆柱体的密度是_________kg /m 3； (5)线断后沉底，圆柱体对杯底的压强多大？ (6)若圆柱体以5cm/s 的速度匀速下降，图像中的横坐标的数值，表示 时间，容器中的水原来有多深？圆柱体触底后，水对杯底的压强有多 大？ 2.（2013泰安）29.利用轮船上的电动机和缆绳从水库底竖直打捞出一长方体物体，下图P-t 图像中表示了电动机输出的机械功率P 与物体上升时间t 的关系。已知0～80s 时间内，物体始终以m/s 1.0=v 的速度匀速上升，当s 80=t 时，物体底部恰好平稳的放在轮船的水平甲板上。已知电动机的电压是200V ，物体上升过程中的摩擦阻力不计，g 取10N/kg 。求： （1）湖水的深度h 1，甲板离水面距离h 2 。 （2）物体的重力。 （3）浸没时，物体所受到的浮力。 （4）物体的密度。 （5）打捞处水对水库底的压强多大？打捞上来后，物体对甲板的压强多大？ （6）整个打捞过程中，物体克服重力做了多少功？ （7）若电动机电能转换为机械能的效率为80%，求在0～50s 内，电动机线圈中电流的大小。 3在图中，定性画出铁块自河底升至滑轮处的过程中，绳子拉力的功率P随铁块上升高度h 变化关系的图象． 4（2013泸州）如图甲所示是一艘海事打捞船正在打捞一沉人海底的物体，乙图是钢绳将物体竖直向上匀速提起的简化示意图，物体从海底被提升到离开海面一定距离的整个过程中速度均保持不变，从提升物体开始经过时间120s后物体刚好全部出水，已知物体的体积V＝2m3，密度ρ＝3×103kg/m3，已知物体浸没在水中的上升过程中，钢绳提升物体的功率P＝40kW，(忽略水的阻力和钢绳重量，海水的密度取ρ水＝1.0×103kg/m3，g取10N/kg)求：(1)物体浸没在水中的上升过程中，钢绳提升物体的 拉力； (2)物体全部离开水面后的上升过程中，钢绳提升物 体的功率； (3)打捞处海水对海底的压强。 证明线段比例式或等积式的方法 （一）比例的性质定理： （二）平行线中的比例线段： ①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例（图1、2）。 ②平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例（图 3、4）。 ③平行于三角形的一边，且与其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例（图3、4）。 （三）三角形中比例线段： ①相似三角形中一切对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长…）的比都相等，等于相似比。 ②相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。 ③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（图5）。 ④射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（图5）。 直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项（图5）。 ⑤正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等（图6）。即/sinA=b/sinB=c/sinC ⑥余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积 的二倍（图6）。 如a2 = b2+c2 - 2 b·c·cosA （四）圆中的比例线段： 圆幂定理： ①相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等（图7）。 （推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半为它分直径所成两线段的比例中项。图8） ②切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项（图9）。 ③割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等（图10）。 （五）比例线段的运算： ①借助等比或等线段代换。 ②运用比例的性质定理推导。 ③用代数或三角方法进行计算。 图形的认识（线段的计算和证明） 【课前热身】 1、过一点可以画______条直线，经过两点可以画______条直线. 2、将一个细木条固定在墙上，只需要两个钉子，这样的依据是____________________. 3、下列语句： ⑴点a在直线l上；⑵直线的一半就是射线；⑶延长直线AB到C；⑷射线OA与射线AO 是同一条射线.其中正确的语句有() A．0句B．1句C．2句D．3句 4、平面上有三点A、B、C，①连结其中任意二点，共可得线段_______条；①经过任意二点画直线，共可得到直线________条. 5、过平面上A、B、C、D四点中任意两点画一条直线，共可画__________________条直线.【本讲说明】 在学习了直线、射线、线段的知识之后，我们来重点学习线段的计算与证明。线段的计算与证明是初中几何的重要内容之一，同学们们在学习中会遇到证明线段相等、和差倍分关系以及计算线段的长度。线段的证明可以培养同学们的逻辑推理能力与几何分析能力，在线段的计算中，我们将进入方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等的应用。 【课程引入】 已知，如图，AB＝16㎝，C是BC的中点，且AC=10㎝，D是AC的中点，E是BC的中点，求线段DE的长。 【典例分析】 【知识点1】线段证明计算与方程思想 【例题1】如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD＝3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF＝24，求线段AB、BC、CD的长. 【举一反三】 1、如图,M、N为线段AB上两点，且AM:MB＝1:3，AN:NB＝5:7.若MN＝2，求AB的长. A B C D E ··· 【典型例题】 [例1] 填空 如图，把线段AB 延长到点C ，使BC=2AB ，再延长BA 到点D ，使AD=3AB ，则 ① DC=_____AB=_____BC ② DB=_____CD=_____BC 分析：可以设线段AB 的长为1份，则BC 的长就为2份，AD 的长为3份。 答案：① DC= 6 AB= 3 BC ，② DB= 2/3 CD= 2 BC [例2] 填空 如图，点M 为线段AC 的中点，点N 为线段BC 的中点 ① 若AC=2cm ，BC=3cm ，则MN=_____cm ② 若AB=6cm ，则MN=_____cm ③ 若AM=1cm ，BC=3cm ，则AB=_____cm ④ 若AB=5cm ，MC=1cm ，则NB=_____cm A B C M N 答案：① MN=2.5cm ② MN=3cm ③ MN=5cm ④ MN=1.5cm 。 [例3] 根据下列语句画图并计算 （1）作线段AB ，在线段AB 的延长线上取点C ，使BC=2AB ，M 是线段BC 的中点，若AB=30cm ，求线段BM 的长 （2）作线段AB ，在线段AB 的延长线上取点C ，使BC=2AB ，M 是线段AC 的中点，若AB=30cm ，求线段BM 的长 答案：分别画出（1）（2）的图形，如图 （1） ∵ BC=2AB ，且AB=30 ∴ BC=60 ∵ 点M 是BC 的中点 ∴ BM=2 1 BC=30cm （2） ∵ BC=2AB ，且AB=30 ∴ BC=60 ∴ AC=AB+BC=90 ∵ 点M 是AC 的中点 ∴ AM= 2 1 AC= 45 ∴ BM=AM －AB= 45－30=15cm. [例4] 如图，已知AB= 40，点C 是线段AB 的中点，点D 为线段CB 上的一点，点E 为线段DB 的中点，EB=6，求线段CD 的长。 A B C D E 专题复习一 线段比例关系的证明和应用 证明线段成比例，一般先根据比例式确定相似三角形，然后用相似三角形的性质得出线段成比例.若根据比例式不能确定相似三角形，则利用等量代换进行条件转化． 1.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论中，一定正确的是(A ). （第1题）（第2题）（第3题） （第4题） 2.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF 的长为(B ). 3.如图所示，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ，则下列结论中不一定成立的是(B ). A. PD PA =PB PC B.PA ·PD=PB ·PC C. PD PB =PA PC D.PA ·PB=PC ·PD 4.如图所示，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连结DF 并延长交AC 于点E.若AB=10，BC=16，则线 段EF 的长为(B ). A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，P 是AD 边上一点，连结PB ，PC ，且AB 2=AP ·PD ，则图中有 3 对相似三角形． （第5题） （第6题） （第7题） 6.如图所示，在△ABC 中，AD 是角平分线，∠ADE=∠B ，若AE=4，AB=5，则AD= 25 . 7.如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AB 上一点，作DE ⊥BC 于点E ，连结AE ，若BE=AC ，BD=25，DE+BC=10，则线段AE 的长为 42 ． 8.如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED=∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AC AD =CG DF . （第8题） （1）求证：△ADF ∽△ACG. （2）若AC AD =21，求FG AF 的值. 【答案】(1)∵∠AED=∠B ，∠DAE=∠DAE ，∴∠ADF=∠C.又∵ AC AD =CG DF ，∴△ADF ∽△ACG. (2)∵△ADF ∽△ACG ，∴ 六年级数学上册 计算题专项练习一 1、直接写出得数 67 ÷3= 35 ×15= 2-3 7 = 1＋2%= 78 ÷710 = 5÷23 = 43 ×75% = 78 ×4×87 = 16 ＋56 ×15 = 12 ×99＋99×12 = 2、解方程 X －27 X=114 X ÷18 =15×23 40%X-14 =712 3、下面各题怎样简便就怎样算 72 ×58 －32 ÷85 1－58 ÷2528 －310 （23 ＋415 ×56 ）÷2021 45 ÷[（35 ＋1 2 ）×2] 4、列综合算式或方程计算 1、一个数的20%是100；这个数的3 5 是多少？ 2、一个数的58 比20少4；这个数是多少？ 计算题专项练习二 1、直接写出得数。 6×45= 94109?＝ 75 5÷= 100×25%＝ =÷331 =-5131 51 :201＝ （比值） 4)2141(?+＝ 3285÷＝ 21)211(÷+＝ 2、解方程。 92×x ＝181 16%20=-x x 6 543=÷x 21441=+x 1021 2=+x x 3、计算下面各题；能简算的就简算。 61946594?+? 1185185367-÷- 52835383?+? 514365512+??? ??+? 7 22110233-?- 4、列式计算。 ① 4减去 41的差乘5 3 ；积是多少？ ② 比18的20%多0.35的数是多少? ③一个数与71的和相当于9 4 的45%；这个数是多少？ ④ 28比某数的3倍少2；求这个数。（列方程解） ⑤ 甲数的5 2 和乙数相等；甲数和乙数的比是多少？ 计算题专项练习三 （1）直接写出得数。 43÷43= 71×103= 1.8×61= 3 1÷3= 3.2－ 109= 21＋5 1 = 10÷10%= 6.8×80= （2）怎样算简便就怎样算。 6÷103－103÷6 31×43÷（43－12 5） 21×3.2＋5.6×0.5＋1.2×50% [35－(52＋43)]÷4 31 99×9897 11.58－（711 5＋1.58） (3)解方程 21X ＋31X=4 3 17－120%X=5 X －12%X=2.816 54×41－21X=20 1 (4)列式计算。 A 、54与4 1 的差是它们和的几分之几 B 、甲乙两数的比是3 ：4；乙数减甲数得14 5 ；求 乙数。 计算题专项练习四 1．口算： 43×53 45×94 245÷10 0÷83 1 5.4×94 54÷163 0.65×8 1 50%－0.05 2．求未知数χ 8.6÷Ⅹ=2 21 Ⅹ×（1＋21）=36 Ⅹ÷151=29 2 O D C B A E D C B A 线段、角的计算与证明问题 1、如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，．求 AB 的长． 2、已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90DCB ∠=?，AC BD ⊥于点O ，2,4DC BC ==，求AD 的长. 3、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ∠=?，=25AD BC =， ，E 为DC 中点，4 tan 3 C = ．求AE 的长度 4、如图，在梯形CD AB 中，AB DC ∥，DB 平分ADC ∠，过点A 作AE BD ∥，交CD 的延长线于点E ，且2C E ∠=∠，30BDC ∠=?，3AD =，求CD 的长． A B D E 5 、已知：PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长； 6、已知ABC ?，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ． ⑴ 求 AE AC 的值； ⑵ 若AB a =，FB EC =，求AC 的长． 7、如图3，△ABC 中，∠A=90°，D 为斜边BC 的中点，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE=3，CF=4，试求EF 的长． A B F E D P Q N M E D C B A 8、如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ?和BCE ?都是等边三角形，AB 、 BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形， 并证明你的结论． 9、已知：如图，BC 是⊙O 的弦，点A 在⊙O 上，AB = AC = 10，4sin 5 ABC ∠= ． 求：（1）弦BC 的长； （2）∠OBC 的正切的值． 10．如图，△ABC 中，AB=AC ，5 4 cos =∠ABC ，点D 在边BC 上，BD =6，CD=AB . (1) 求AB 的长； (2) 求ADC ∠的正切值. （第9题图） 线段与角----必考卷检测3 1、下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个的是（） 2、在时刻8：30，时钟上的时针和分针的夹角是为 3、如果∠α＝20°，那么∠α余角的补角等于 4、3.76°=______度_____分_______秒． 5、已知线段AB＝10cm，直线AB上有一点C，且BC＝2cm，点D是线段AB的中点，求线段DC的长． 6、已知一条射线OA,如果从点O再引两条射线OB和OC,使∠AOB=60°, ∠BOC=20°,求 ∠AOC的度数. 7．如图，线段AB被点C、D分成了3︰4︰5三部分，且AC的中点M和DB的中点N 之间的距离是80 cm，求AB的长． 第25题图E A / D C B A 8. 如图，将书页一角斜折过去，使角的顶点A 落在A /处，BC 为折痕，BD 平分 ∠A /BE ，求∠CBD 的度数. 9、如图,延长线段AB 到C,使BC=2AB,取AC 的中点D,已知BD=5cm,求AC 的长 10.如图，已知2BOC AOC =∠∠，OD 平分AOB ∠，且20COD =o ∠，求AOB ∠的度数． A C D B 11、一个角的余角比它的补角的4 1还少12°,请求出这个角. 12、 如图所示, 直线AB 、CD 相交于O, OE 平分∠AOD, ∠FOC=900, ∠1=360, 求∠2和∠ 3的度数. 13、如图,已知∠AOE 是平角,∠DOE=20°,OB 平分∠AOC,且∠COD:∠BOC=2:3,求∠AOC 的度数. 14、如图，∠AOC=∠BOD=90o，∠AOD=130o，求∠BOC的度数。 15．如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°（1）请你数一数，图中有多少个小于平角的角； （2）求出∠BOD的度数； （3）请通过计算说明OE是否平分∠BOC. 16、如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF的大小。 D C B A O 题型复习(四) 综合计算题 第1讲力学计算 题型之一压强和浮力的综合计算 1．(2017·威海 )夏鸥在研究某种物质的属性时发现该物体要浸没在煤油中保存．于是他将体积为1×10－3 m3、重为6 N的该物体用细线系在底面积为250 cm2的圆柱形容器的底部，并浸没在煤油中，如图所示．(煤油的密度为0.8×103kg/m3，g取10 N/kg)求： (1)细线受到的拉力是多大？ (2)若细线与物体脱落，待物体静止后煤油对容器底的压强变化了多少？ 2．(2017·)底面积为100 cm2的平底圆柱形容器装有适量的水，放置于水平桌面上．现将体积为500 cm3、重为3 N的木块A轻放入容器的水中，静止后水面的高度为8 cm，如图甲所示，若将一重为6 N的物体B用细绳系于A的下方，使其恰好浸没在水中，如图乙所示(水未溢出)，不计绳重及其体积，ρ水＝1.0×103kg/m3，g取10 N/kg，求： (1)图甲中木块A静止时浸入水中的体积． (2)物体B的密度．甲乙 (3)图乙中水对容器底部的压强． 3．(2017· ) 如图甲所示，不吸水的长方体物块放在底部水平的容器中，物块的质量为0.2 kg ，物块的底面积为50 cm 2，物块与容器底部用一根质量、体积均忽略不计的细绳相连，当往容器中缓慢注水至如图乙所示位置，停止注水，此时，物块上表面距水面10 cm ，绳子竖直拉直，物块水平静止，绳子的拉力为2 N ．已知ρ水＝1.0×103 kg /m 3，g 取10 N /kg .求： (1)物块的重力． (2)物块的密度． 甲 乙 (3)注水过程中，绳子刚好竖直拉直时到图乙所示位置时，水对物块下表面压强的变化围． 4．(2017·贵港)如图甲所示，放在水平桌面上的圆柱形容器的底面积为100 cm 2，装有20 cm 深的水，容器的质量为0.02 kg ，厚度忽略不计．A 、B 是由密度不同的材料制成的两实心物块，已 知B 物块的体积是A 物块体积的1 8 .当把A 、B 两物块用细线相连放入水中时，两物块恰好悬浮，且没 有水溢出，如图乙所示，现剪断细线，A 物块上浮，稳定后水对容器底的压强变化了60 Pa ，物块A 有1 4 体积露出水面．已知水的密度为1.0×103 kg /m 3，g 取10 N /kg .求： (1)如图甲所示，容器对水平桌面的压强． (2)细线被剪断前后水面的高度差． 甲 乙 (3)A 、B 两物块的密度． 第一讲线段、角的计算与证明问题 【前言】 中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题,目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中, 难题了。大家研究今年的北京一模就会发现,第二部分,或者叫难度开始提上来的部分,基本上都是以线段,角的计算与证明开始的。城乡 18个区县的一模题中, 有 11个区第二部分第一道题都是标准的梯形, 四边形中线段角的计算证明题。剩下的 7个区县题则将线段角问题与旋转, 动态问题结合, 放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。可以说,线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数, 更重要的是对于整个做题过程中士气, 军心的影响。在这个专题中,我们对各区县一模真题进行总结归纳 , 分析研究,来探究线段,角计算证明问题的解题思路。 第一部分真题精讲 【例 1】 (2010,崇文,一模如图 , 梯形 ABCD 中 , A D B C ∥ , 9038BD CD BDC AD BC =∠===, °, , .求 AB 的长. 【思路分析】线段,角的计算证明基本都是放在梯形中,利用三角形全等相似 , 直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解, 并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是 AB, 已知的是 AD,BC 以及△ BDC 是等腰直角三角形 , 所以要把未知的 AB 也放在已知条件当中去考察 . 做 AE,DF 垂直于 BC, 则很轻易发现我们将 AB 带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中 . 于是有解如下 . 【解析】 作 AE BC ⊥于 E DF BC ⊥, 于 F . DF ∥ AE ∴, AD BC ∴∥ , 四边形 AEFD 是矩形. 3EF AD AE DF ∴===, . BD CD DF BC =⊥, , DF ∴是 BDC △的 BC 边上的中线. 1 9042 BDC DF BC BF ∠=∴= ==°, . 4431AE BE BF EF ∴==-=-=, . 在 Rt ABE △中, 222AB AE BE =+ AB ∴= 【例 2】 (2010,海淀,一模 有关线段，角的计算问题专门练习 1. 如图，4AB cm =，3BC cm =，如果O 是线段AC 的中点，求线段OA 、OB 的长度. 2. 如图，已知C 、D 是线段AB 上的两点，36AB cm =，且D 为AB 的中点，14CD cm =，求线段BC 和AD 的长 3. 如图所示，已知线段80AB cm =，M 为AB 的中点，P 在MB 上，N 为PB 的中点，且14NB cm =，求PA 的长. 4. 如图所示，点C 在线段A B 上，线段6AC cm =，4BC cm =，点M 和N 分别是AC 和BC 的中点，求线段MN 的长度. 5. 已知P 为线段AB 上的一点，且2 5 AP AB =，M 是AB 的中点，若2PM cm =，求AB 的长. 6. 如图，C 、D 是线段AB 上的两点，已知14BC AB =，1 3 AD AB =，12AB cm =，求CD 、BD 的长. 7. 在一条直线上顺次取A 、B 、C 三点，已知5AB cm =，点O 是线段AC 的中点，且 1.5OB cm =，求线段BC 的长.（两种情况） 8. 已知A 、B 、C 三点共线，且10AB cm =，4BC cm =，M 是A C 的中点，求AM 的长. 9．如图所示，B 、C 两点把线段AD 分成2:3:4三部分，M 是AD 中点，CD =8，求MC 的长． 10.如图所示，回答问题：’ (1)在线段AB 上取一点C 时，共有几条线段？ (2)在线段AB 上取两点C 、D 时，共有几条线段？ (3)在线段AB 上取两点C 、D 、E 时，共有几条线段？ (4)你能否说出，在线段AB 上取n 个点时（不与A 、B 重合），直线A 上共有多少条 线段？你发现它们有什么规律，你能试着总结出来吗？和同学们交流一下． 测量学综合练习题----计算题 2009-12-05 10:46:14| 分类：建筑测量|举报|字号订阅 测量学综合练习题----计算题1 根据下图所示水准路线中的数据，计算P、Q点的高程。BM1 BM2 -3.001m 1.4km 6.3km 3.5km 1.719m -4.740m H BM1 = 163.751m H BM2 = 157.732m P Q （1）计算高差闭合差： △h = H BM2 - H BM1 = 157.732 – 163.751 = -6.019 m ∑h = -3.001 – 4.740 + 1.719 = = - 6.022m f h= ∑h - △h = -6.022 – (-6.019) = -0.003m = -3mm （2）分配闭合差，计算改正数 ∑L = 1.4 + 6.3 + 3.5 = 11.2 km v1 = - (L1/∑L) * f h = 0mm v2 = - (L2/∑L) * f h = 2mm v3 =- (L3/∑L) * f h =1mm （3）计算改正后的高差的高程 H P = H BM1 +h1 + v1=163.751 – 3.001 + 0 = 160.750m H Q = H P +h2 + v2 = 160.750 – 4.740 + (0.002) = 160.750 – 4.738 = 156.012m 或H Q = H BM2+ (h3 + v3) = 157.732 – 1.719 –0.001 = 160.750 – 4.738 = 156.012m 2．从图上量得点M的坐标X M=14.22m, Y M=86.71m；点A的坐标为X A=42.34m, Y A=85.00m。试计算M、A两点的水平距离和坐标方位角。 △X = X A– X M = 28.12m, △Y = Y A– Y M = -1.71m 距离d = (△X2 + △Y2)1/2 = 28.17m 方位角为：356 °31′12″（应说明计算过程与主要公式） 可通过不同方法计算，如先计算象限角，再计算方位角。 3 已知A、B两点的坐标为 X A=1011.358m, Y A=1185.395m；点B的坐标为 X B=883.122m, Y B=1284.855m。在AB线段的延长线上定出一点C，BC间的距离D BC=50.000m，计算C点的坐标。 △X AB = X B– X A = -128.236m, △Y AB = Y B– Y A =99.46m 可以计算出AB边的方位角αAB为：142 °12′10″ （可通过不同方法计算，如先计算象限角，再计算方位角） C在AB延长线上，故αAB = αBC = 142 °12′10″ △X BC = D BC * cosαBC = -39.509; △Y BC = D BC * sinαBC = 30.643 C点的坐标为：X = 843.613; Y = 1315.498 4 在相同的观测条件下，对某段距离测量了五次，各次长度分别为：121.314m, 121.330m, 121.320m, 121.327m, 121.335m。试求：（1）该距离算术平均值；（2）距离观测值的中误差；（3）算术平均值的中误差；（4）距离的相对误差。证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分(推荐文档)
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