线段大小的计算与证明 专题训练
人教版七年级数学上册《6.2.2线段的比较与运算》 同步练习题及答案
人教版七年级数学上册《6.2.2线段的比较与运算》 同步练习题及答案一、单选题1．借助圆规，可得图中最长的线段是（ ）A ．BAB ．CAC ．DAD ．EA2．“把弯曲的公路改直”能缩短路程，解释这个现象的数学依据是（ ） A ．经过两点，有且仅有一条直线 B ．经过一点有无数条直线 C ．两点之间，线段最短D ．垂线段最短3．若点C 在线段AB 上，线段5cm AB =，3cm BC =则线段AC 的长是（ ） A ．4cmB ．8cmC ．2cmD ．1cm4．如图所示，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段CB 上，且6AD BD -=，若18AB =，则CD 的长（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图，一只蚂蚁从“A ”处爬到“B ”处（只能向上、向右爬行），爬行路线共有（ ）A ．3条B ．4条C ．5条D ．6条6．台湾的省会为台北市，在地图上如果把城市看作一点，下列城市与台北市之间的距离最大的是（ ） A ．吉林市B ．西安市C ．海口市D ．福州市7．如图，线段18cm AB =，点C 在线段AB 上，P ，Q 是线段AC 的三等分点，M ，N 是线段BC 的三等分点，则线段PN 的长为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．158．B 是线段AD 上一动点，沿A 至D 的方向以2cm/s 的速度运动．C 是线段BD 的中点10cm AD =．在运动过程中，若线段AB 的中点为E ．则EC 的长是（ ） A ．2cmB ．5cmC ．2cm 或5cmD ．不能确定二、填空题9．已知点C 在线段AB 上6,2AB BC ==，则AC = ．10．线段10cm AB =，点C 在线段AB 上，点M 、N 分别是线段AC BC 、的中点，则MN = ． 11．P 为线段AB 上一点，且25AP AB =，M 是AB 的中点，若3cm PM =，则AB = ． 12．已知点C 在线段AB 上20AC =，30BC =点M 是AC 的中点且点N 是BC 的三等分点，则线段MN 的长度为 ．13．已知点M 是线段AB 上一点，若14AM AB =，点N 是直线AB 上的一动点，且AN BN MN -=，则MNAB= ．三、解答题14．如图，已知线a 、b ，求作一条线段c ，使2c a b =-． 要求：不写画法，保留必要的作图痕迹．15．如图，A 、B 、C 、D 四点在一条直线上，根据图形填空：(1)图中共有线段_______条；(2)若C 是BD 的中点16cm AD =，2AB BC =求线段AC 的长．16．如图所示，A 、B 、C 是一条公路上的三个村庄，A ，B 间的路程为100km ，A ，C 间的路程为40km ，现欲在C ，B 之间建一个车站P ，设P ，C 之间的路程为km x ．(1)若P 为线段BC 的中点，求AP 的长；(2)用含x 的代数式表示车站P 到三个村庄的路程之和；(3)若车站P 到三个村庄的路程之和为102km ，则车站应建在何处？(4)若要使车站P 到三个村庄的路程总和最小，问车站应建在何处？最短路程是多少？参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CCCAA ACB1．C【分析】用圆规量出四条线段，再进行比较即可．此题考查了比较线段的长短，会用圆规度量各线段是本题的关键． 【详解】通过用圆规比较图中的四条线段，其中最长的DA故选：C ． 2．C【分析】本题主要考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题的关键．根据“两点之间，线段最短”进行判断即可．【详解】解：“把弯曲的公路改直”能缩短路程，解释这个现象的数学依据是“两点之间，线段最短”． 故选：C ． 3．C【分析】本题考查线段的加减，根据AC BC AB +=求解即可． 【详解】∵点C 在线段AB 上 ∵AC BC AB += ∵5cm AB = 3cm BC = ∵532cm AC AB BC =-=-= 故选：C ． 4．A【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，根据图示正确找到线段之间的和差关系是解题关键．根据192AC BC AB === 9,9AD AC CD CD BD BC CD CD =+=+=-=-即可求解． 【详解】解：∵点C 是线段AB 的中点18AB = ∵192AC BC AB === ∵9,9AD AC CD CD BD BC CD CD =+=+=-=- ∵6AD BD -=∵()9926CD CD CD +--== ∵3CD =故选：A 5．A【分析】只能向上或向右走，就是最短的路线，可以用列举的方法进行求解． 【详解】解：如图，根据规则可得：,,,A C D B A E D B A E F B →→→→→→→→→ 一共有3种不同的走法． 故选：A ．【点睛】本题考查了线段问题，利用求最短路线的方法：清晰的分类是解题的关键． 6．A【分析】本题考查了点与点之间的距离，根据点与点之间的距离并结合生活常识即可得出答案． 【详解】解：在地图上如果把城市看作一点，与台北市之间的距离最大的是吉林市 故选：A ． 7．C【分析】本题考查了两点间的距离，n 等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得23PC AC =23CN BC =然后由两点间的距离求解即可．【详解】解：∵P ，Q 是线段AC 的三等分点，M ，N 是线段BC 的三等分点 ∵23PC AC =23CN BC =∵22221812cm 3333PN PC CN AC BC AB =+=+==⨯=． 故选C ． 8．B【分析】根据线段中点的性质，做出线段AD ，按要求标出各点大致位置，列出EB ，BC 的表达式，即可求出线段EC ．【详解】设运动时间为t则AB=2t ，BD=10-2t∵C 是线段BD 的中点，E 为线段AB 的中点 ∵EB=2AB =t ，BC=2BD=5-t ∵EC=EB+BC=t+5-t=5cm 故选：B ．【点睛】此题考查对线段中点的的理解和运用，涉及到关于动点的线段的表示方法，难度一般，理解题意是关键． 9．4【分析】本题主要考查了线段的和差计算，根据线段的和差关系列式求解即可． 【详解】解；∵点C 在线段AB 上 6,2AB BC == ∵624AC AB BC =-=-= 故答案为：4． 10．5cm /5厘米【分析】本题考查与线段中点有关的运算，根据线段中点得到12MC AC =，12NC BC = 结合MN MC NC=+求解即可． 【详解】解：如图∵点C 在线段AB 上，点M 、N 分别是线段AC BC 、的中点 ∵12MC AC =12NC BC =∵线段10cm AB = ∵()115cm 22MN MC NC AC BC AB =+=+== 故答案为：5cm ． 11．30cm /30厘米【分析】本题考查线段的和差，线段的中点，根据线段中点的定义得到12AM AB =，从而根据线段的和差得到110PM AM AP AB =-=，即10AB PM =，即可解答． 【详解】解：如图∵点M 是AB 的中点2∵25AP AB =∵1212510PM AM AP AB AB AB =-=-=∵()1010330cm AB PM ==⨯=． 故答案为：30cm 12．30或20/20或30【分析】本题主要考查了线段中点的相关计算，线段的和差计算，解题的关键是数形结合，先求出1102AM MC AC ===，分两种情况：当点N 是靠近B 点的三等份点时，当点N 是靠近C 点的三等份点时，分别画出图形，求出结果即可．【详解】解：∵20AC =，点M 是AC 的中点 ∵1102AM MC AC === 当点N 是靠近B 点的三等份点时，如图所示：∵21030303MN CM CN =+=+⨯=； 当点N 是靠近C 点的三等份点时，如图所示：∵11030203MN CM CN =+=+⨯=综上分析可知，线段MN 的长是30或20． 故答案为：30或20．13．1或12【分析】分两种情况：当点N 在线段AB 上，当点N 在线段AB 的延长线上，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况：当点N 在线段AB 上，如图：AN BN MN -= AN AM MN -=BN AM ∴=414BN AB 12MN AB AM BNAB 12MN AB； 当点N 在线段AB 的延长线上，如图：AN BN MN -= AN BN AB -=AB MN ∴=1MNAB∴= 综上所述：MNAB的值为1或12故答案为：1或12．【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键． 14．作图见详解【分析】画射线AM ，用尺规在射线AM 上取AB a ，取BC a =，再以C 点为起点，向反方向取CD b =，则AD 即为所求线段c ．【详解】解：如图如下AB a ，BC a = 以C 点为起点，向反方向，即CB 方向取CD b = ∵2AD c a b ==-．【点睛】本题主要考查线段的加减，掌握尺规作图的方法是解题的关键． 15．(1)6； (2)12cm ．【分析】本题考查线段的和差和中点有关的计算，熟练掌握线段和差倍分的计算是解题的关键． （1）根据线段定义数出线段即可；（2）根据图形，由线段和差和线段中点求解即可．【详解】（1）解：图中线段有AB AC AD BC BD CD 、、、、、，共6条线段故答案为：6；（2）解：∵C 是BD 中点 ∵12BC CD BD == ∵2AB BC =又∵AD AB BC CD =++ 16cm AD = ∵162BC BC BC =++ ∵4cm BC =∵4cm CD = 28cm AB BC == ∵12cm AC AB BC =+=． 16．(1)70km (2)()100km x +(3)车站应建在村庄C 的右侧2km 处(4)车站建在村庄C 处，路程和最小，最短路程是100km【分析】本题考查了线段长的计算、代数式的应用、一元一次方程的应用等知识，根据题意画出图形分类讨论是解题关键．（1）根据AC BC AB +=计算出BC ，再根据P 为线段BC 的中点，即可解答； （2）由题意列出车站P 到三个村庄的路程，再求和即可； （3）由题意得100102x +=解方程即可得到答案；（4）由题意得车站到三个村庄的总路程为()100100x +=，根据代数式的特点求出最小值，找到车站位置即可．【详解】（1）解：100km,40km,AB AC AC BC AB ==+=∵()1004060km BC AB AC =-=-=． 又∵P 为线段BC 的中点 ∵()30km PB BC ==∵()1003070km AP AB PB =-=-=； （2）解：车站P 到三个村庄的路程之和为()()()4010040100km PA PB PC x x x x ⎡⎤++=++-++=+⎣⎦；（3）解：若车站P 到三个村庄的路程之和为102km ，则100102x += 故2x =即车站应建在村庄C 的右侧2km 处；（4）解：要使车站P 到三个村庄的路程总和最小，即100x +最小，故取0x = 这时车站建在村庄C 处，路程和最小，最短路程是100km ．。
比较线段的长短练习题
比较线段的长短练习题线段是几何学中的一个基本概念，我们可以通过比较线段的长短来研究和分析它们在空间中的相对位置和性质。
在本篇文章中，我们将给出一些比较线段长短的练习题，以帮助读者提高对线段的理解和应用能力。
练习题一：请比较以下两个线段的长短：线段A：起点坐标(2, 3)，终点坐标(8, 5)线段B：起点坐标(1, -2)，终点坐标(7, -4)解析：要比较线段的长短，我们可以计算线段的长度。
线段的长度可以通过计算起点和终点之间的距离得到，即利用勾股定理。
线段A的长度计算公式为：√((8-2)^2 + (5-3)^2) = √(6^2 + 2^2) = √(36 + 4) = √40 ≈ 6.32线段B的长度计算公式为：√((7-1)^2 + (-4-(-2))^2) = √(6^2 + (-2)^2) = √(36 + 4) = √40 ≈ 6.32由计算结果可知，线段A和线段B的长度相等，约为6.32个单位长度。
练习题二：请比较以下三个线段的长短：线段C：起点坐标(-1, 0)，终点坐标(3, 4)线段D：起点坐标(2, 3)，终点坐标(6, 7)线段E：起点坐标(-3, -4)，终点坐标(1, 1)解析：同样地，我们可以通过计算线段的长度来比较它们的长短。
线段C的长度计算公式为：√((3-(-1))^2 + (4-0)^2) = √(4^2 + 4^2) = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.66线段D的长度计算公式为：√((6-2)^2 + (7-3)^2) = √(4^2 + 4^2) = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.66线段E的长度计算公式为：√((1-(-3))^2 + (1-(-4))^2) = √(4^2 + 5^2) = √(16 + 25) = √41 ≈ 6.40由计算结果可知，线段C和线段D的长度相等，均约为5.66个单位长度，而线段E的长度约为6.40个单位长度。
七年级数学上册试题一课一练《线段的比较与计算问题》-人教版(含答案)
《线段的比较与计算问题》一、选择题1．把一条弯曲的河流改成直道，可以缩短航程，用数学知识解释其道理为( )A ．两点确定一条直线B ．经过两点有且仅有一条直线C ．直线可以向两端无限延伸D ．两点之间，线段最短2．如图，马聪同学用剪刀沿虚线将片平整的银杏叶剪掉一部分，发现剩下的叶片的周长比原叶片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( )A ．两点确定一条直线B ．经过一点有无数条 直线C ．两点之间线段最短D ．两直线相交只有一个交点3．如图，C 是线段AB 的中点，D 是CB 上一点，下列说法中错误的是( )A ．CD ＝AC ﹣BDB ．CD =12BC C ．CD =12AB ﹣BD D ．CD ＝AD ﹣BC 4．下列说法不正确的是( )A ．若点C 在线段BA 的延长线上，则BA ＝AC ﹣BCB ．若点C 在线段AB 上，则AB ＝AC +BCC ．若AC +BC ＞AB ，则点C 一定在线段AB 外D ．若A ，B ，C ，三点不在一直线上，则AB ＜AC +BC5．如图，AB ＝CD ，那么AC 与BD 的大小关系是( )A ．AC ＝BDB ．AC ＜BD C ．AC ＞BD D ．不能确定6．如图，小林利用圆规在线段CE 上截取线段CD ，使CD ＝AB ．若点D 恰好为CE 的中点，则下列结论中错误的是( )CD D．CE＝2ABA．CD＝DE B．AB＝DE C．CE=127．如图，点C，D在线段AB上．则下列表述或结论错误的是( )A．若AC＝BD，则AD＝BC B．AC＝AD+DB﹣BCC．AD＝AB+CD﹣BC D．图中共有线段12条8．在直线l上取三点A、B、C，使线段AB＝8cm，AC＝3cm，则线段BC的长为( ) A．5cm B．8cm C．5cm或8cm D．5cm或11cmAB，则CD等于( )9．如图，点C、D为线段AB上两点，AC+BD＝6，且AD+BC=75A．10 B．8 C．6 D．410．如图，已知线段AB＝10cm，M是AB中点，点N在AB上，MN＝3cm，那么线段NB的长为( )A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm二、填空题11．体育课上，小聪，小明，小智，小慧分别在点O处进行了一次铅球试投，铅球分别落在图中的点A，B，C，D处，则他们四人中，成绩最好的是．12．已知线段AB＝10cm，直线AB上有一点C，且BC＝6cm，AC的长为．13．点A到原点的距离为4，且位于原点的左侧，若一个点从A处向右移动2个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时终点所表示的数为．14．如图，剪去四边形的“一角”，得到一个五边形，这个五边形的周长一定这个四边形的周长(填“大于”，“小于”或“等于”)，依据是．15．如图，B点在线段AC上，AB＝5，BC＝3，则AC＝．16．如图，线段AB＝4cm，延长线段AB到C，使BC＝1cm，再反向延长AB到D，使AD＝3cm，E是AD中点，F是CD的中点．则EF的长度为cm．17．已知点A、B、C都在直线l上，且AB＝8cm，BC＝5cm，则AC＝cm．18．长度12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB＝1：2，则线段AC的长度为．三、解答题19．如图某学校从教学楼到图书馆总有少数同学不走人行道，而横穿草坪．(1)试用所学的知识来说明少数学生这样走的理由；(2)请问学生这样走行吗？如不行请你在草坪上竖起一个牌子，写上一句话来警示学生应该怎样做．20．画直线l，并在直线l上任取三个点A、B、C，使AB＝10，BC＝4，分别画线段AB、BC的中点E、F，求线段EF的长．21．如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点．(1)求线段AM的长度；(2)在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长．22．如图，已知点C在线段AB上，点M，N分别在线段AC与线段BC上，且AM＝2MC，BN＝2NC．(1)若AC＝9，BC＝6，求线段MN的长；(2)若MN＝5，求线段AB的长．23．如图，点C在线段AB上，M、N分别是线段AC、BC的中点，(1)若AC＝7cm，BC＝5cm，求线段MN的长；(2)若AB＝a，点C为线段AB上任意一点，你能用含a的代数式表示MN的长度吗？若能，请写出结果与过程，若不能，请说明理由．(3)若将(2)中“点C为线段AB上任意一点”改为“点C为直线AB上任意一点”，其余条件不变，(2)中的结论是否仍然成立？请画图并写出说明过程．24．已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，(1)若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣16|+(b﹣4)2＝0，求a+b的值；(2)如图1，在(1)的条件下，求线段DE的长；(3)如图2，若AB＝17，AD＝2BE，求线段CE的长．答案一、选择题1．D．2．C．3．B．4．A．5．A．6．C．7．D．8．D．9．D．10．A．二、填空题11．小智(或点C)．12．4cm或16cm．13．﹣9．14．小于；两点之间线段最短．15．8．16．2.5．17．3或13．18．8cm．三、解答题19．(1)少数学生这样走的理由是：两点之间，线段最短；(2)学生这样走不行，可以是：脚下留情(答案不唯一)．20．因为点E、F分别是线段AB、BC的中点，所以BE=12AB，BF=12BC；第一种：点C在点B的右侧，因为EF＝BE+BF，所以EF=12AB+12BC=12(AB+BC)=12×(10+4)=7；第二种：点C在点B的左侧，因为EF＝BE﹣BF，所以EF=12AB−12BC=12(AB−BC)=12×(10−4)=3．综上：EF＝7或3．21．(1)线段AB ＝20，BC ＝15，∴AC ＝AB ﹣BC ＝20﹣15＝5．又∵点M 是AC 的中点．∴AM =12AC =12×5=52，即线段AM 的长度是52．(2)∵BC ＝15，CN ：NB ＝2：3，∴CN =25BC =25×15＝6．又∵点M 是AC 的中点，AC ＝5，∴MC =12AC =52，∴MN ＝MC +NC =172，即MN 的长度是172． 22．(1)如图，AC ＝9，BC ＝6，则AB ＝AC ＝BC ＝9+6＝15， ∵AM ＝2MC ，BN ＝2NC ．∴MC =13AC ，NC =13BC ，∴MN ＝MC +NC =13(AC +BC )=13AB =13×15＝5， 答：MN 的长为5；(2)由(1)得，MN ═13AB ，若MN ＝5时，AB ＝15，答：AB 的长为15．23．(1)∵AC ＝7cm ，点M 是AC 的中点，∴MC =12AC =72cm ，∵BC ＝5cm ，点N 为BC 的中点，∴CN =12BC =52cm ，∴MN ＝MC +CN ＝6cm ；(2)∵点M 是AC 的中点，∴MC =12AC ，∵点N 为BC 的中点， ∴CN =12BC ，∴MN ＝MC +CN =12AC +12BC =12AB =12a ；(3)结论成立；理由如下：当点C 在线段AB 延长线上时，∵点N 为BC 的中点， ∴CN ＝BN =12BC ， ∵点M 是AC 的中点， ∴MC =12AC ，∴MN ＝MC ﹣NC =12AC −12BC =12AB ； 当点C 在线段BA 延长线上时，∵点N 为BC 的中点， ∴CN ＝BN =12BC ，∵点M 是AC 的中点， ∴MC =12AC ，∴MN ＝NC ﹣CM =12BC −12AC =12AB ； 综上所述，(2)的结论成立．24．(1)∵|a ﹣16|+(b ﹣4)2＝0， ∴a ﹣16＝0，b ﹣4＝0， ∴a ＝16，b ＝4，∴a +b ＝16+4＝20；(2)∵点C 为线段AB 的中点，AB ＝16，CE ＝4，∴AC =12AB ＝8，∴AE ＝AC +CE ＝12，∵点D 为线段AE 的中点， ∴DE =12AE ＝6，(3)设BE ＝x ，则AD ＝2BE ＝2x ， ∵点D 为线段AE 的中点， ∴DE ＝AD ＝2x ，∵AB ＝17，∴AD +DE +BE ＝17，∴x +2x +2x ＝17，解方程得：x =175，即BE =175， ∵AB ＝17，C 为AB 中点， ∴BC =12AB =172，∴CE ＝BC ﹣BE =172−175=5110．。
23.三角形中的线段计算,几何证明以及面积计算
DHFEPCBADHFEPCBA线段计算，几何证明1.AD 是⊙O 的直径，且AD=6。
A 、B 、C 、D 、E 、F 为⊙O 的六等分点，P 为劣弧⋂AF 上一动点，连接PA 、PB 、PD 、PE 。
(1)当点P 运动到点F 时，求出PA+PB 的值；（2）当点P 运动到⋂AF 之间时（不与点A 与点F 重合），求出PDPB PEPA ++值.(3)令t= PA+PB+PD+PE ，请直接写出t 的取值范围.2.已知，Rt △ABC 中，∠BAC ＝900，AH ⊥BC 于H ，P 是AB 上一动点，AD ⊥CP ，BE ⊥CP ，HD 与BE两延长张交于点F 。
（1）当AB ＝AC 时，求∠BFH 的度数。
（2）当∠ABC=30°时，探求BF 与CD 的数量关系，说明理由。
（3）当∠ABC=α时，直接用α的代数式表示CDBF的值。
3.如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，点P 为DC 上一点，且AP=AB ，过点C 作CE ⊥BP 交直线BP 于E .（1）若BC AB =43,求证BP=23CE ；（2）若AB=BC ,①如图2，当点P 与E 重合时，求PCPD 的值：②如图3，设∠DAP 的平分线AF 交直线BP 于F ，当CE=1，PC PD =74时，直接写出线段AF 的长为______．ABC DPE (E )P DC B AFEPDCB A4.已知：如图①，△ABC 中，AI 、BI 分别平分∠BAC 、∠ABC ．CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，交BI 延长线于E ，联结CI ．（1）设∠BAC=2α．如果用α表示∠BIC 和∠E ，那么∠BIC= ，∠E= ；（2）如果AB=1，且△ABC 与△ICE 相似时，求线段AC 的长；（3）如图②，延长AI 交EC 延长线于F ，如果∠α=30°，sin ∠F=，设BC=m ，试用m 的代数式表示BE ．5.已知：正方形ABCD的边长为4，点E为BC的中点，点P为AB上一动点，沿PE翻折△BPE 得到△FPE，直线PF交CD边于点Q，交直线AD于点G，联接EQ．（1）如图，当BP=1.5时，求CQ的长；（2）如图，当点G在射线AD上时，BP=x，DG=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）延长EF交直线AD于点H，若△CQE与△FHG相似，求BP的长．6.如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求证：AC=AD；（2）点G为线段CD延长线上一点，将GC绕着点G逆时针旋转β，与射线BD交于点E．①如图1，若β=α，DG=2AD，试判断BC与EG之间的数量关系，并证明你的结论；②若β=2α，DG=kAD，请直接写出的值（用含k的代数式表示）．7.如图△ABC 中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D 是BC 的中点，点P 从B 出发，以a 厘米/秒（a ＞0）的速度沿BA 匀速向点A 运动，点Q 同时以1厘米/秒的速度从D 出发，沿DB 匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t 秒．（1）若a=2，△BPQ ∽△BDA ，求t 的值；（2）设点M 在AC 上，四边形PQCM 为平行四边形． ①若a=，求PQ 的长；②是否存在实数a ，使得点P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．8.在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，BC 上有一动点P ，作12BPE ACB ∠=∠，PE交BO 于点E ，过B 点作BF ⊥PE ，垂足为F ，且BF 交AC 于点G . （1）（3分）当P 点与C 点重合时（如图1），求证：EP =BG . （2）（3分）若P 点与C 点不重合（如图2），求BFPE的值，并证明. （3）（4分）把正方形ABCD 改为菱形，其它条件不变（如图3），若∠ACB =α，求BFPE的值（用含α的式子表示并证明）.图1图2图39.已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，点E是射线CD上的一个动点（与C、D不重合），E'为CB延长线上一点，且DE=BE'，连接AE、AE'、EE'.∠的度数；（1）如图1，求AEE'（2）如图2，如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F，过点E作EM∥AD交直线AF于点M，写出线段DE、BF、ME之间的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，如果CE=2，AE=ME的长.10.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D是BC边上一动点，G是BC边上的一动点，GE∥AD分别交AC、BA或其延长线于F、E两点. (1) 如图1，当BC＝5BD时，求证：EG⊥BC；(2) 如图2，当BD＝CD时，FG＋EG是否发生变化？证明你的结论；(3) 当BD＝CD，FG＝2EF时，DG的值＝_________BFB11.已知：如图①，△ABC 中，AI 、BI 分别平分∠BAC 、∠ABC ．CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，交BI 延长线于E ，联结CI ．（1）设∠BAC=2α．如果用α表示∠BIC 和∠E ，那么∠BIC= ， ∠E= ；（2）如果AB=1，且△A BC 与△ICE 相似时，求线段AC 的长；（3）如图②，延长AI 交EC 延长线于F ，如果∠α=30°，sin ∠F=35，设BC=m ，试用m 的代数式表示BE ．12.如图1，Rt △ABC 中，∠C=90°，tanB=43，点E 、F 、D 分别在三条边上， EF ∥AB ，ED∥AC . （1）求证：;DBADFA CF = （2）如图2，将△FCE 绕点C 逆时针旋转，点P 、G 分别为EF 、AB 的中点，若AF=9，求PG 的长;（3）如图3，将△DEB 绕点B 顺时针旋转，点H 、G 为AB 、DB 的中点，直接写出CEGH的值.（第24题图②）FABCDEI（第24题图①）ABCDEI13.在△ABC 中，∠ACB =90°，经过点B 的直线l (l 不与直线AB 重合)与直线BC 的夹角等于∠ABC ，分别过点C 、点A 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、点E 。
初二数学 证明线段数量关系专题
初二数学证明线段数量关系专题1. 题目：已知$a > b > 0$，$c > d > 0$，则一定有( )A.$a^{2} > b^{2}$B.$c^{2} > d^{2}$C.$ac > bd$D.$a/d > b/c$2. 题目：已知$a > b > 0$，则下列不等式正确的是( )A.$1/a < 1/b$B.$ac^{2} > bc^{2}$（$c \neq 0$）C.$a^{3} > b^{3}$D.$a^{2} > b^{2}$3. 题目：已知$a > b > 0$，则下列不等式正确的是( )A.$a^{3} < b^{3}$B.$a^{2} > b^{2}$C.$ac^{2} > bc^{2}$（$c \neq 0$）D.$ac > bc$4. 题目：已知$a > b > 0$，则下列不等式中正确的是( )A.$a^{2} < ab$B.$ac < bc$（$c < 0$）C.$ac^{2} > bc^{2}$（$c \neq 0$）D.$ac > bc$（$c > 0$）5. 题目：已知 a，b，m 都是正实数，则不等式 a + m > 2b 的一个充分不必要条件是 ( )A. a + m/2 > bB. a + m/2 ≥ bC. a > bD. a ≥ b6. 题目：已知 a，b，m 都是正实数，则下列不等式中恒成立的是 ( )A. a + m > 2bB. a + m/2 ≥ bC. a^2 + m^2 > 2bmD. a^2 + m^2 ≥ 2bm7. 题目：已知 a，b，m 都是正实数，且 a < b，则下列不等式中一定成立的是 ( )A. a^2 + m < b^2 + mB. a^2 + m < (a + m)^2C. (a + m)/2 < (b + m)/2D. a/b < (a + m)/(b + m)。
比较线段的长短练习题
比较线段的长短练习题线段的长短是数学中一个基本的概念，也是我们日常生活中常常遇到的问题。
通过比较线段的长短，我们可以培养自己的观察力和思维能力。
下面，我们来做一些关于线段长短的练习题，通过解题来加深对这个概念的理解。
练习题一：小明有一条长为8厘米的线段，小红有一条长为5厘米的线段，那么小明的线段比小红的线段长多少厘米？解答：小明的线段长为8厘米，小红的线段长为5厘米。
我们可以通过减法来计算小明的线段比小红的线段长多少厘米。
8厘米 - 5厘米 = 3厘米所以，小明的线段比小红的线段长3厘米。
练习题二：小华有一条长为15厘米的线段，小李有一条长为10厘米的线段，那么小华的线段比小李的线段长多少厘米？小华的线段比小红的线段长多少倍？解答：小华的线段长为15厘米，小李的线段长为10厘米。
我们可以通过减法来计算小华的线段比小李的线段长多少厘米。
15厘米 - 10厘米 = 5厘米所以，小华的线段比小李的线段长5厘米。
我们还可以通过除法来计算小华的线段比小李的线段长多少倍。
15厘米÷ 10厘米 = 1.5倍所以，小华的线段比小李的线段长1.5倍。
通过这两道练习题，我们可以看出，比较线段的长短可以通过减法和除法来解决。
在解决问题的过程中，我们需要运用数学知识，进行计算和推理。
这样的练习可以培养我们的思维能力和逻辑思维能力。
练习题三：小明有一条线段长为12厘米，小红有一条线段长为10毫米，那么小明的线段比小红的线段长多少厘米？解答：小明的线段长为12厘米，小红的线段长为10毫米。
我们需要将小红的线段的单位转换为厘米，然后再进行比较。
10毫米 = 1厘米所以，小红的线段长为0.1厘米。
现在我们可以通过减法来计算小明的线段比小红的线段长多少厘米。
12厘米 - 0.1厘米 = 11.9厘米所以，小明的线段比小红的线段长11.9厘米。
通过这道练习题，我们可以看出，比较线段的长短时，需要注意单位的转换。
在解决问题的过程中，我们需要灵活运用数学知识，进行单位转换和计算。
线段的练习题
线段的练习题一、选择题1. 线段AB的长度为10厘米，点C在线段AB上，且AC=6厘米，那么BC的长度是多少厘米？A. 2厘米B. 4厘米C. 6厘米D. 10厘米2. 线段MN与线段OP平行，且MN=8厘米，OP=12厘米，那么线段MN 与OP之间的距离是多少厘米？A. 2厘米B. 4厘米C. 6厘米D. 8厘米3. 如果线段XY被点Z平分，那么XZ+ZY等于多少？A. XYB. 2XYC. XY/2D. 2XY/34. 线段AB和线段CD相交于点E，如果AE=2BE，CE=3DE，那么线段AB 与线段CD的比例是多少？A. 1:2B. 2:1B. 1:3D. 3:15. 线段PQ和线段RS相交于点T，如果PT=3厘米，QT=2厘米，RT=4厘米，那么ST的长度是多少厘米？A. 1厘米B. 2厘米C. 3厘米D. 4厘米二、填空题6. 如果线段AB的长度为15厘米，点C将线段AB分成两段，且AC:CB 的比例为2:3，那么AC的长度是________厘米。
7. 在直角三角形ABC中，如果斜边AB的长度为13厘米，且角C是直角，AC的长度为12厘米，那么BC的长度是________厘米。
8. 线段DE和线段FG平行，且DE的长度为20厘米，FG的长度为30厘米，如果DE和FG之间的距离为5厘米，那么线段DE和FG的中心线之间的距离是________厘米。
9. 如果线段MN被点O平分，且MO=NO，那么MN的长度是________倍的MO。
10. 在平行四边形PQRS中，如果线段PQ的长度为14厘米，线段PS 的长度为10厘米，那么线段RS的长度是________厘米。
三、简答题11. 解释什么是线段的中点，并给出一个例子说明如何找到线段的中点。
12. 如果线段AB和线段CD相交于点E，并且AE=EB，CE=ED，那么线段AB和线段CD是否相等？为什么？13. 给出一个线段的两个端点的坐标，如何计算这两个点之间的距离？14. 如果线段XY被点Z平分，且XZ的长度为5厘米，ZY的长度也为5厘米，那么线段XY的长度是多少？15. 在一个平面直角坐标系中，如果给定线段AB的两个端点A(2,3)和B(6,7)，请计算线段AB的长度。
线段的计算专题训练(王老师整理)
（1）当电子蚂蚁走到BC的中点D处时，它离A,B两处的距离之和是多少？
（2）这只电子蚂蚁甲由D点走到BA的中点E处时，需要几秒钟？
（3）当电子蚂蚁甲从E点返回时，另一只电子蚂蚁乙同时从点C出发，向左移动，速度为秒3个单位长度，如果两只电子蚂蚁相遇时离B点5个单位长度，求B点的坐标
3、如图，已知AB=20，C为AB的中点，D为CB上一点，E为BD的中点，且EB=3，求CD的长。
4、如图，C、D、E将线段分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是线段AC、CD、DE、EB的中点，且MN=21，求PQ的长。
5、如图，延长线段AB到C，使BC=2AB，若AC=6cm，且AD=DB，
2、已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在，请说明理由？
⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？
三、动态问题
1、如图，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14.
(1)若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度。
(2)若点P在直线AB上，使说明线段MN的长度与点P在AB上的位置无关
(3)如图，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：
① 的值不变；② 的值不变。请选择一个正确的结论并其值。
专题6.2线段的比较与计算问题-2020-2021七上数学尖子生同步培优题典(解析版)
2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典专题6.2线段的比较与计算问题姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•德州期末）如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB=12AC，②AB＝BC，③AC＝2AB，④AB+BC＝AC，能表示B是线段AC的中点的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据题意，画出图形，观察图形，一一分析选项，排除错误答案．【解答】解：如图，若B是线段AC的中点，则AB=12AC，AB＝BC，AC＝2AB，而AB+BC＝AC，B可是线段AC上的任意一点，∴表示B是线段AC的中点的有①②③3个．故选：C．【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．2．（2020•密云区二模）如图，小林利用圆规在线段CE上截取线段CD，使CD＝AB．若点D恰好为CE的中点，则下列结论中错误的是（）A．CD＝DE B．AB＝DE C．CE=12CD D．CE＝2AB【分析】根据线段中点的定义即可得到结论．【解析】∵点D恰好为CE的中点，∴CD＝DE，∵CD＝AB，∴AB＝DE=12CE，即CE＝2AB＝2CD，故A，B，D选项正确，C选项错误，故选：C．【点评】本题考查了线段中点的定义，正确的理解题意是解题的关键．3．（2019秋•萧山区期末）如图，点C，D在线段AB上．则下列表述或结论错误的是（）A．若AC＝BD，则AD＝BC B．AC＝AD+DB﹣BCC．AD＝AB+CD﹣BC D．图中共有线段12条【分析】根据线段的和差关系即可得到结论．【解析】A、若AC＝BD，则AD＝BC，正确，不符合题意；B、AC＝AD+DB﹣BC，正确，不符合题意；C、AD＝AB+CD﹣BC，正确，不符合题意；D、图中共有线段6条，符合题意，故选：D．【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．4．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，C是线段AB的中点，D是CB上一点，下列说法中错误的是（）A．CD＝AC﹣BD B．CD=12BC C．CD=12AB﹣BD D．CD＝AD﹣BC【分析】根据CD＝BC﹣BD和CD＝AD﹣AC两种情况和AC＝BC对各选项分析后即不难选出答案．【解析】∵C是线段AB的中点，∴AC＝BC=12AB，A、CD＝BC﹣BD＝AC﹣BD，故本选项正确；B、D不一定是BC的中点，故CD=12BC不一定成立；C、CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，故本选项正确；D、CD＝BC﹣BD=12AB﹣BD，故本选项正确．故选：B．【点评】本题主要考查线段中点的定义和等量代换，只要细心进行线段的代换便不难得到正确答案．5．（2019秋•临颍县期末）平面上有三点A，B，C，如果AB＝8，AC＝5，BC＝3，下列说法正确的是（）A．点C在线段AB上B．点C在线段AB的延长线上C．点C在直线AB外D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系，再根据正确画出的图形解题．【解析】从图中我们可以发现AC+BC＝AB，所以点C在线段AB上．故选：A．【点评】在未画图类问题中，正确画图很重要，所以能画图的一定要画图这样才直观形象，便于思维．6．（2019秋•曲阳县期末）如图，C为AB的中点，D是BC的中点，则下列说法错误的是（）A．CD＝AC﹣BD B．CD=12AB﹣BD C．CD=23BC D．AD＝BC+CD【分析】根据线段中点的定义可判断．【解析】∵C是AB的中点，D是BC的中点，∴AC＝BC=12AB，CD＝BD=12BC，∵CD＝BC﹣BD∴CD＝AC﹣BD，故A正确；∵CD＝BC﹣DB，∴CD=12AB﹣DB，故B正确；∴AD＝AC+CD＝BC+CD，故D正确；∵CD＝BD=12BC；故C错误；故选：C．【点评】本题考查了两点之间的距离，熟练掌握线段中点的定义是本题的关键．7．（2020春•新泰市期末）如图，已知线段AB＝6cm，在线段AB的延长线上有一点C，且BC＝4cm，若点M为AB中点，那么MC的长度为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．无法确定【分析】由中点的定义可求得线段MB的长度，再利用线段的和差可求得答案．【解析】∵M是线段AB的中点，AB＝6cm，∴MB=12AB＝3cm，∵BC＝4cm，∴MC＝MB+BC＝3+4＝7（cm），故选：C．【点评】本题主要考查了线段的计算和线段的中点，掌握中点把线段分成两条相等的两条线段是解题的关键•8．（2020春•东平县期末）如图，已知直线上顺次三个点A、B、C，已知AB＝10cm，BC＝4cm．D是AC 的中点，M是AB的中点，那么MD＝（）cmA．4B．3C．2D．1【分析】由AB＝10cm，BC＝4cm．于是得到AC＝AB+BC＝14cm，根据线段中点的定义由D是AC的中点，得到AD，根据线段的和差得到MD＝AD﹣AM，于是得到结论．【解析】∵AB＝10cm，BC＝4cm．∴AC＝AB+BC＝14cm，∵D是AC的中点，∴AD=12AC＝7cm；∵M是AB的中点，∴AM=12AB＝5cm，∴DM＝AD﹣AM＝2cm．故选：C．【点评】此题主要考查了两点之间的距离，线段的和差、线段的中点的定义，利用线段差及中点性质是解题的关键．9．（2019秋•新会区期末）如图，点A、B、C顺次在直线上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，已知AB＝16cm，MN＝（）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm【分析】根据点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，可知：MN＝MC﹣NC=12AC−12BC=12（AC﹣BC）=12AB，继而可得出答案．【解析】∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，∴MN＝MC﹣NC=12AC−12BC=12（AC﹣BC）=12AB，∵AB＝16cm，∴MN＝8cm．故选：B．【点评】本题主要考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，比较简单．10．（2019秋•无棣县期末）如图，点C、D为线段AB上两点，AC+BD＝6，且AD+BC=75AB，则CD等于（）A．10B．8C．6D．4【分析】根据线段的和差计算即可．【解析】∵AD+BC=75AB，∴5（AD+BC）＝7AB，∴5（AC+CD+CD+BD）＝7（AC+CD+BD），∵AC+BD＝6，∴CD＝4，故选：D．【点评】本题考查线段的和差的计算，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•建水县期末）已知线段AB＝6cm，在直线AB上画线段AC＝2cm，则BC的长是4或8cm．【分析】要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，考查学生对图形的理解与运用．【解析】线段AB＝6cm，AC＝2cm，若A、B在C的同侧，则BC的长是6﹣2＝4cm；若A、B在C的两侧，则BC的是6+2＝8cm；BC的长是8cm或4cm．故答案为4或8．【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．12．为了比较线段AB和线段CD的大小，把线段CD移到线段AB上，使点C与点A重合，当点D落在线段BA的反向延长线上时，AB＜CD．【分析】根据比较两线段长短的方法即可得出答案．【解析】为了比较线段AB和线段CD的大小，把线段CD移到线段AB上，使点C与点A重合，当点D 落在线段BA的反向延长线上时，AB＜CD．故答案为：反向延长线．【点评】本题考查了比较线段长短的知识，属于基础题，难度不大，注意基础知识的熟练掌握．13．①数轴上与2的距离是3个单位长度的点所表示的数是﹣1和5；②A、B两点距离是1个单位长度，点A到原点的距离为5个单位长度，则点B对应的数是﹣4或﹣6或4或6．【分析】①分2的左侧和右侧两种情况解答；②根据题意求出点A表示的数，计算即可．【解析】①数轴上与2的距离是3个单位长度的点所表示的数是﹣1和5，故答案为：﹣1和5；②点A到原点的距离为5个单位长度，则点A表示的数是﹣5或5，A、B两点距离是1个单位长度，则点B对应的数是﹣4或﹣6或4或6，故答案为：﹣4或﹣6或4或6．【点评】本题考查的是数轴上两点间的距离，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．14．（2020春•浦东新区期末）如图，已知线段AB＝8cm，AD＝1.5cm，D为线段AC的中点，则线段CB＝5cm．【分析】由D为AC的中点，可求得AC的长，再利用线段的和差可求得BC的长．【解析】∵D为线段AC的中点，∴AC＝2AD＝2×1.5cm＝3（cm），∵AB＝8cm，∴CB＝AB﹣AC＝8﹣3＝5（cm）．故答案为：5．【点评】本题主要考查线段的和差，利用线段的中点求得AC的长是解题的关键．15．（2019秋•上蔡县期末）已知A，B，C三点在同一条直线上，AB＝8，BC＝6，M，N分别是AB、BC的中点，则线段MN的长是7或1．【分析】根据线段中点的性质，可得MB，NB，根据线段的和差，可得答案．【解析】由AB＝8，BC＝6，M、N分别为AB、BC中点，得MB=12AB＝4，NB=12BC＝3．①C在线段AB的延长线上，MN＝MB+NB＝4+3＝7；②C在线段AB上，MN＝MB﹣NB＝4﹣3＝1；③C在线段AB的反延长线上，AB＞BC，不成立，综上所述：线段MN的长7或1．故答案为7或1．【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．16．（2019秋•新宾县期末）如图，若D是AB的中点，E是BC的中点，若AC＝8，BC＝5，则AD＝32．【分析】根据中点的性质可知AD＝DB，BE＝EC，结合AB+BC＝2AD+2EC＝AC，即可求出AD的长度．【解析】∵D是AB中点，E是BC中点，∴AD＝DB，BE＝EC，∴AB＝AC﹣BC＝3，∴AD＝1.5．故答案为：1.5．【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是利用中点的性质．17．（2019秋•怀集县期末）如图，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，则AC＝6cm．【分析】理解线段的中点这一概念，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系进行解题．【解析】CD＝DB﹣BC＝7﹣4＝3cm，AC＝2CD＝2×3＝6cm．故答案为：6．【点评】灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．18．（2019秋•永吉县期末）长度12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB＝1：2，则线段AC的长度为8cm．【分析】先由中点的定义求出AM，BM的长，再根据MC：CB＝1：2的关系，求MC的长，最后利用AC＝AM+MC得其长度．【解析】∵线段AB的中点为M，∴AM＝BM＝6cm设MC＝x，则CB＝2x，∴x+2x＝6，解得x＝2即MC＝2cm．∴AC＝AM+MC＝6+2＝8cm．【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•行唐县期末）如图某学校从教学楼到图书馆总有少数同学不走人行道，而横穿草坪．（1）试用所学的知识来说明少数学生这样走的理由；（2）请问学生这样走行吗？如不行请你在草坪上竖起一个牌子，写上一句话来警示学生应该怎样做．【分析】（1）直接利用两点之间线段最短得出答案；（2）直接利用爱护花草的警示语写就行．【解析】（1）少数学生这样走的理由是：两点之间，线段最短；（2）学生这样走不行，可以是：脚下留情（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了线段的性质，正确掌握线段的性质是解题关键．20．（2019秋•鄄城县期末）如图，已知线段AB、a、b．（1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹）①延长线段AB到C，使BC＝a；②反向延长线段AB到D，使AD＝b．（2）在（1）的条件下，如果AB＝8cm，a＝6m，b＝10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度．【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据线段的画出和线段的中点的定义即可得到结论．【解析】（1）①如图所示，线段BC即为所求，②如图所示，线段AD即为所求；（2）∵AB＝8cm，a＝6m，b＝10cm，∴CD＝8+6+10＝24cm，∵点E为CD的中点，∴DE=12DC＝12cm，∴AE＝DE﹣AD＝12﹣10＝2cm．【点评】本题考查了直线、射线、线段，利用了线段中点的性质，线段的和差．21．（2020春•肇州县期末）如图，已知线段AB＝12 cm，点C为线段AB上的一动点，点D，E分别是AC 和BC中点．（1）若点C恰好是AB的中点，则DE＝6cm；（2）若AC＝4 cm，求DE的长；（3）试说明无论AC取何值（不超过12 cm），DE的长不变．【分析】（1）根据线段中点的性质计算即可；（2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算；（3）同（1）的解法相同．【解析】（1）∵点D，E分别是AC和BC的中点，∴DC=12AC，CE=12CB，∴DC+CE=12（AC+CB）＝6cm；故答案为：6．（2）∵AC＝4cm，∴CD＝2cm，∵AB＝12cm，AC＝4cm，∴BC＝8cm，∴CE＝4cm，DE＝DC+CE＝6cm；（3）∵点D，E分别是AC和BC的中点，∴DC=12AC，CE=12CB，∴DC+CE=12（AC+CB），即DE=12AB＝6cm，故无论AC取何值（不超过12 cm），DE的长不变．【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形．22．（2019秋•南宁期末）如图，已知点A为线段CB上的一点．（1）根据要求画出图形（不要求写法）：延长AB至点D，使BD＝AB；反向延长CA至点E，使CE＝CA ；（2）如果ED ＝18，BD ＝6，求CA 的长【分析】（1）根据做法要求画出图形即可；（2）根据线段之间的关系，进行计算即可．【解析】（1）画出的图形如图所示：（2）∵BD ＝AB ，BD ＝6，∴AB ＝6，∵ED ＝18，∴AE ＝ED ﹣AB ﹣BD ＝18﹣6﹣6＝6，∵CE ＝CA∴AC =12AE =12×6＝3．【点评】考查线段、线段中点的意义，正确理解题意，画出相应图形是解答的前提．23．（2019秋•大名县期末）如图，延长AB 至D ，使B 为AD 的中点，点C 在BD 上，CD ＝2BC ．（1）AB ＝ 12 AD ，AB ﹣CD ＝ BC ；（2）若BC ＝3，求AD 的长．【分析】（1）根据线段中点的定义、线段的和差可得；（2）根据BC ＝3求出CD ，根据线段中点定义求出AB ，再根据AD ＝AB +BD 即可解决问题．【解析】（1）因为B 为AD 的中点，所以AB ＝BD =12AD ，所以AB ﹣CD ＝BD ﹣CD ＝BC ，故答案为：12，BC ．（2）因为BC ＝3，CD ＝2BC ，所以CD ＝2BC ＝6，所以BD ＝BC +CD ＝3+6＝9因为B 是AD 中点，∴AB＝BD＝9，∴AD＝AB+BD＝9+9＝18，即AD的长是18．【点评】本题考查两点间距离，线段的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（2020春•河口区期末）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．（1）若线段AB＝a，CE＝b且（a﹣16）2+|2b﹣8|＝0，求a，b的值：（2）在（1）的条件下，求线段CD的长，【分析】（1）由（a﹣16）2+|2b﹣8|＝0，根据非负数的性质即可推出a、b的值；（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC＝8，然后由AE＝AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度，再根据线段的和差关系可求出CD的长度．【解析】（1）∵（a﹣16）2+|2b﹣8|＝0，∴a﹣16＝0，2b﹣8＝0，∵a、b均为非负数，∴a＝16，b＝4，（2）∵点C为线段AB的中点，AB＝16，CE＝4，∴AC=12AB＝8，∴AE＝AC+CE＝12，∵点D为线段AE的中点，∴DE=12AE＝6，∴CD＝DE﹣CE＝6﹣4＝2．【点评】本题主要考查线段中点的性质，关键在于正确的进行计算，熟练运用数形结合的思想推出相关线段之间的数量关系．。
线段的大小比较
题型一：线段的长度计算
1.逐段计算
例：如图所示，P是线段AB上一点，M，N分别是线段AB，AP的 中点，若AB＝16，BP＝6，求线段MN的长．
解：AP＝AB﹣BP＝16﹣6＝10， ∵M是AB的中点， ∴AM＝BM＝ AB＝8， ∵N是AP的中点， ∴AN＝ AP＝ （AB﹣BP）＝5， ∴NM＝AM﹣AN＝8﹣5＝3． 答：线段MN的长为3．
题型二：线段的性质
例：如图，A，B，C，D为4个居民小区，现要在4个居民小区之间 建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民 小区到购物中心的距离之和最小？画出购物中心的位置，并说明 理由．
解：连结AC和BD，AC和BD相交于点M，则点M即是购物中心的位置． ∴MA+MC+MB+MD＝AC+BD 理由是两点之间线段最短．
1.1已知线段AB＝4.8cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的 中点，点E在线段AB上，且CE＝ AC，画图并计算DE的长．
解：（1）当点E在线段AC上时，如图1所示． ∵AB＝4.8cm，点C是线段AB的中点， ∴AC＝BC＝ AB＝2.4cm． ∵点D是线段CB的中点， ∴CD＝ BC＝1.2cm． 又∵CE＝ AC， ∴CE＝0.8cm， ∴DE＝CD+CE＝1.2+0.8＝2（cm）．
线段的大小比较
复习课
一、线段的大小比较方法
1.目测法 2.度量法（用刻度尺测量长度） －－“数”的比较
3.叠合法（一端重合，另一端落在同侧） ——“形”的比较
二、尺规作图（无刻度的直尺和圆规）
1.作一条线段等于已知线段 2.作线段的和与差
顺截（顺次截取）画和
逆截（反向截取）画差
三、线段的分点
线段长度计算综合练习
线段长度计算综合练习在几何学中，线段长度的计算是一项基础且重要的技能。
通过计算线段的长度，我们可以在各种实际问题中获得准确的答案。
本文将为读者提供一些线段长度计算的综合练习。
练习一：直线段长度计算1. 在一个平面坐标系内，已知两点的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2,y2)，求线段AB的长度。
解答：根据勾股定理，线段AB的长度可以通过以下公式计算：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)2. 在一个平面坐标系内，已知一条线段的一个端点A的坐标为(3, 4)，另一个端点B与A的横坐标之差为5，纵坐标之差为12，求线段AB的长度。
解答：根据已知信息可知B的坐标为(3 + 5, 4 + 12) = (8, 16)。
然后，可以使用第一题的公式计算线段AB的长度：AB = √((8 - 3)² + (16 - 4)²) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13练习二：平面图形线段长度计算1. 在一个平面坐标系内，已知一个四边形的四个顶点坐标为A(1, 1)，B(4, 1)，C(3, 6)，D(-2, 4)，求四边形ABCD的周长。
解答：首先，计算四边形ABCD的各边的长度，然后将它们相加即可求得周长。
AB = √((4 - 1)² + (1 - 1)²) = √(3² + 0²) = √9 = 3BC = √((3 - 4)² + (6 - 1)²) = √((-1)² + 5²) = √26CD = √((-2 - 3)² + (4 - 6)²) = √((-5)² + (-2)²) = √29DA = √((1 - (-2))² + (1 - 4)²) = √(3² + 3²) = √18周长 = AB + BC + CD + DA = 3 + √26 + √29 + √182. 在一个平面坐标系内，已知一个三角形的三个顶点坐标为A(2, 3)，B(5, 1)，C(4, 4)，求三角形ABC的周长。
4.3 线段的长短比较例题与讲解
4.3 线段的长短比较1．线段的长短比较比较线段长短的方法有两种：(1)叠合法：先把两条线段的一端重合，另一端点落在同一侧，从而确定两条线段的长短，这是从“形”的方面进行比较．当两条线段能够放在一起而又不要求知道相差的具体数值时，可用此法．将线段AB 放到线段CD 上，使点A 和点C 重合，点B 和点D 在重合点的同侧．①如果点B 和点D 重合，如图，就说线段AB 与线段CD 相等，记作AB=CD.②如果点B 在线段CD 上，如图，就说线段AB 小于线段CD ，记作AB ＜CD.③如果点B 在线段CD 外，如图，就说线段AB 大于线段CD ，记作AB ＞CD.(2)度量法：先分别量出每条线段的长度，再根据度量的结果确定两条线段的大小，这是从“数”的方面进行比较．当两条线段的长短差别不太明显，而又不便放在一起比较，或需要求出相差的具体数值时，可用此法．对于线段AB 和CD ，我们可以用刻度尺分别量出线段AB 和CD 的长度，数值大的线段较长，数值小的线段较短，数值相等时两线段一样长．【例1】 如图，已知AB ＞CD ，则AC 与BD 的大小关系为( )．A ．AC ＞BDB ．AC ＝BDC ．AC ＜BD D ．AC 和BD 的大小不能确定解析：运用叠合法或度量法直接比较，可以发现AC 与BD 的大小关系为AC ＞BD . 答案：A2．线段的中点如图，点C 在线段AB 上且使线段AC ，CB 相等，这样的点C 叫做线段AB 的中点．中点定义的推理步骤：(1)∵AC ＝CB (已知)，∴点C 是线段AB 的中点(中点的定义)．(2)∵点C 是线段AB 的中点(已知)，∴AC ＝BC 或AC ＝12AB 或BC ＝12AB 或AB ＝2AC 或AB ＝2BC (中点的定义)． 谈重点 对线段中点的理解线段的中点在线段上，有且只有1个，它把线段分成两条相等的线段．注意，若AC ＝BC ，则点C 不一定是线段AB 的中点，因为点C 不一定在线段AB 上．【例2】 如图，已知点C 为线段AB 的中点，点D 为线段BC 的中点，BD ＝3 cm ，求线段AB 的长度．解：∵点D 为线段BC 的中点，BD ＝3 cm ，∴BC ＝2BD ＝2×3＝6 cm.∵C 点为线段AB 的中点，∴AB ＝2BC ＝2×6＝12 cm. ∴AB 的长度为12 cm.说方法 线段的中点的应用由线段的中点这一条件得到的结论，解题过程中不一定全部写出，要根据所求问题灵活选择，一般用哪个写哪个即可．3．线段的性质(1)两点之间的所有连线中，线段最短．连接两点是指画出这两点为端点的线段．(2)两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离．它是一个数量．而线段本身是图形，因此不能把A ，B 两点间的距离说成是线段AB .释疑点 线段与线段的长度的区别“线段”是一个几何图形，而“线段的长度”是一个数量，二者是有区别的，但是为了书写的方便，我们常常用线段的名称表示线段的长度，如AB ＝2 cm.【例3】 进入新世纪，信息技术在社会的各个领域都起着至关重要的作用.2012年某中学开始安装校园网，实现办公楼、教学楼、图书馆、食堂、实验楼的联网，布线工程十分重要．已知这五座建筑物的位置及它们之间的距离，如图(1)所示(图书馆、办公楼、实验楼在同一条直线上，教学楼、办公楼、食堂在同一条直线上)．假如你是布线工程的设计者，你应如何设计线路，才能使线路最短？最短线路的长是多少米？分析：联想两点之间线段最短去设计．解：布线设计图如图(2)．最短线路的长为120＋120＋180＋240＝660(m)．4．线段的和、差、倍、分的计算比较线段的大小，形成了线段的和、差关系，学习线段的中点及延长线形成了线段的倍、分关系．在解答有关线段的和、差、倍、分问题时，要从线段中点的定义出发，结合图形，利用线段的和差计算，寻求线段之间的大小关系，灵活运用线段中点的性质．说方法 计算线段的和、差、倍、分时应注意的问题一般要注意以下几个方面：①按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的先决条件；②观察图形，找出线段间的关系；③线段的和、差、倍、分与线段长度的和、差、倍、分是一致的．其运算方法和顺序结合与有理数运算类似．【例4】 已知线段AC 和BC 在一条直线上，如果AC ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，求线段AC 和线段BC 的中点间的距离．解：设AC ，BC 的中点分别为M ，N ，由线段中点定义得AM ＝MC ＝12AC ，BN ＝CN ＝12BC . 如图，MN ＝MC ＋CN ＝12AC ＋12BC ＝12(AC ＋BC )＝12×8＝4(cm)．如图，MN ＝MC －CN ＝12AC －12BC ＝12(AC －BC )＝12×2＝1(cm)．5.方程思想在线段计算中的应用有些已知条件中的关系比较复杂，无法或很难由已知条件直接推导出待求的线段的长度，这时我们可以挖掘隐含条件，引进未知数，然后以线段的和、差、倍、分作为相等关系，构造出方程来解决问题．说方法 方程思想在线段计算中的应用当题目提供某一线段长时，我们一般考虑使用含未知数的代数式再表示这条线段的长，即可得到一个方程，从而求出未知数的值．【例5】 如图，B ，C 两点把线段AD 分成2∶3∶4三部分，M 是AD 中点，CD ＝8，求MC 的长．分析：由AB ∶BC ∶CD ＝2∶3∶4，可设AB ＝2x ，BC ＝3x ，CD ＝4x ，CD ＝4x ＝8而求得x 值，进而求出MC 长．解：设AB ＝2x ，由AB ∶BC ∶CD ＝2∶3∶4，得BC ＝3x ，CD ＝4x ，∴AD ＝(2＋3＋4)x ＝9x .∵CD ＝8，∴4x ＝8，x ＝2.∴AD ＝9x ＝18.∵M 是AD 中点，∴MC ＝MD －CD ＝12AD －CD ＝12×18－8＝1.6．线段的和、差、倍、分的计算的应用生活中涉及线段的和、差、倍、分的运算问题比较常见，主要涉及路线、路径问题．解决这类问题的关键是画出线段示意图，将实际问题转化为线段的计算问题．然后运用线段的和、差、倍、分及中点的性质寻找由已知线段推导出未知线段的思维过程，对于这一推理过程较为困难，有时要借助于方程思想方法来解决问题．解技巧 结合图形解线段应用题有关线段的计算都是由已知，经过和、差或中点进行转化，求未知线段的过程，因此要结合图形，分析各线段关系，找出它们的联系，通过和、差、倍、分的运算解决．注意学会利用画线段图的方式解决．【例6】 李红、王明、张江三人的家恰好与学校在一条笔直的街道上．已知李红家到学校的距离是500米，张江家正好在李红与学校的中间，王明家在李红和张江家的中间，那么王明家到学校的距离是多少米？分析：此题考查学生对线段性质、线段的中点、两点间的距离知识的综合运用．首先要能用画线段图的方式来解决此类问题(如下图)．解：由题可知：AD ＝500米．因为C 是AD 的中点，所以AC ＝CD ＝12AD ＝500×12＝250. 因为B 是AC 的中点，所以BC ＝12AC ＝250×12＝125. 王明到学校的距离BD ＝BC ＋CD ＝125＋250＝375.即王明到学校的距离是375米．7.线段的性质的应用两点之间的所有连线中，线段最短，这是线段的重要的性质，其在实际生活和生产中的应用十分广泛．涉及这类问题主要为河道由曲改直等最短路径问题，解决这类问题的关键是根据实际问题中要解决的问题画出恰当几何图形，将实际问题转化为数学问题，然后运用线段的性质来解决．【例7】某市汽车站A到火车站F有四条不同的路线，如图所示，其中路线最短的是()．A．从A经过BME到FB．从A经过线段BE到FC．从A经过折线BCE到FD．从A经过折线BCDE到F解析：本题只需考虑点B到点E之间的距离最短即可．答案：B。
人教版九年级数学上册 《圆中的求线段长度的相关计算》必考题型专项分类专题练习
《圆中的求线段长度的相关计算》必考经典题型专项分类专题练习（专题分类练习+详细解析）题型一：垂径定理中的线段长度计算1. 如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在MN⏜上,且不与M,N重合,当P点在MN⏜上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值( )A.逐渐变大B.逐渐变小C.不变D.不能确定2. 如图,AB是☉O的直径,AB=6,OD⊥AB,弧BC为30°,P是直径AB上的点,则PD+PC的最小值是________.3. ☉O过等边△ABC的各个顶点,且AB=2,则☉O的半径为( )A.1B.√3C.2√33D.√324. 如图,点A,N在半圆O上,四边形ABOC,DNMO均为矩形,BC=a,MD=b,则a,b的关系为( )A.a>bB.a=bC.a<bD.a≤b5. 已知,如图,☉O的弦AB,CD相交于点P,PO平分∠APD.求证:AB=CD.题型二：和圆周角、圆心角相关的线段长度计算1. 如图,在☉O中,弦AC=2√3,点B是圆上一点,且∠ABC=45°,则☉O的半径R=________.2. 如图所示,☉O的两条弦AB,CD交于点P,连接AC,BD,若S△ACP ∶S△DBP=16∶9,则AC∶BD=________.3. 如图,小正方形的边长均为1,则∠1的正切值为( )A.15B.14C.13D.124. 如图,☉O的半径为4,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB,OC,若∠BAC和∠BOC互补,则弦BC的长度为( )A.3√3B.4√3C.5√3D.6√35. 正方形ABCD的四个顶点都在☉O上,点E是☉O上的一点.(1)如图①,若点E在AB⏜上,点F是DE上的一点,DF=BE.求证:△ADF≌△ABE.(2)在(1)的条件下,小明还发现线段DE,BE,AE之间满足等量关系:DE-BE=√2AE.请你说明理由.(3)如图②,若点E在AD⏜上.写出线段DE,BE,AE之间的等量关系.(不必证明)题型三：和切线有关的线段长度计算1. 如图,一圆内切于四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形的周长为( )A.32B.34C.36D.383.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC,BC相切于点D,E.则AD为( )A.2.5B.1.6C.1.5D.13. 如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB 处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D,E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为________cm.4. 如图,已知:射线PO与☉O交于A,B两点,PC,PD分别切☉O于点C,D.(1)请写出两个不同类型的正确结论.(2)若CD=12,tan∠CPO=1,求PO的长.2题型四：扇形、多边形中的线段长度计算1. 已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为( )A.1B.√3C.2D.2√32. 粉笔是校园中最常见的必备品.现有一盒刚打开的六角形粉笔,总支数为50支.如图是它的横截面(矩形ABCD),已知每支粉笔的直径为12mm,由此估算矩形ABCD的周长约为________mm.⏜的中点,连接BM,CM.3. 如图,正方形ABCD内接于☉O,M为AD(1)求证:BM=CM.⏜的长.(2)当☉O的半径为2时,求BM4. 如图,已知等边△ABC内接于☉O,BD为☉O内接正十二边形的一边,CD=5√2cm,求☉O的半径R.《圆中的求线段长度的相关计算》必考经典题型专项分类专题练习（专题分类练习+详细解析）（解析版）题型一：垂径定理中的线段长度计算⏜上,且不与M,N重合, 1. 如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在MN⏜上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值( ) 当P点在MNA.逐渐变大B.逐渐变小C.不变D.不能确定【解析】选C.连接OP,∵在直角三角形PAB中,AB2=PA2+PB2,又∵在矩形PAOB 中,OP=AB, ∴PA 2+PB 2=AB 2=OP 2.2. 如图,AB 是☉O 的直径,AB=6,OD ⊥AB,弧BC 为30°,P 是直径AB 上的点,则PD+PC 的最小值是________.【解析】作C 点关于AB 的对称点C ′,连接DC ′交AB 于P 点,过D 点作直径DE,连接EC ′,如图, ∴BC⏜=BC′⏜=30°,PC=PC ′, ∴DC ′是PD+PC 的最小值.又∵弧EC ′的度数=90°-30°=60°,∴∠D=30°, 而DE=AB=6,在Rt △DEC ′中,EC ′=12DE=3, DC ′=√3EC ′=3√3.即PD+PC 的最小值是3√3.答案:3√33. ☉O 过等边△ABC 的各个顶点,且AB=2,则☉O 的半径为 ( )A.1B.√3C.2√33D.√32【解析】选C.连接OB,OC,过点O 作OD ⊥BC 于点D. ∵△ABC 为等边三角形, ∴AB=BC=AC,∴AB⏜=BC ⏜=AC ⏜, ∴∠BOC 为120°. 又OD ⊥BC,OB=OC,∴∠COD=60°,∠COD=30°,CD=12BC=1, ∴cos ∠OCD=CDOC , ∴OC=CD cos∠OCD =√32=2√33. 4. 如图,点A,N 在半圆O 上,四边形ABOC,DNMO 均为矩形,BC=a,MD=b,则a,b 的关系为 ( )A.a>bB.a=bC.a<bD.a ≤b【解析】选B.连接ON,OA,如图,∵点A,N在半圆上,∴ON=OA,∵四边形ABOC,DNMO均为矩形,∴ON=MD,OA=BC,∴BC=MD,即a=b.5. 已知,如图,☉O的弦AB,CD相交于点P,PO平分∠APD.求证:AB=CD.【证明】过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥CD于点N.∵PO平分∠APD,OM⊥AB,ON⊥CD.∴OM=ON,连接OA,OD,在Rt△AOM中,AM=√OA2−OM2,在Rt△DON中,DN=√OD2−ON2,又∵OA=OD,OM=ON,∴AM=DN,∴2AM=2DN,即AB=CD.题型二：和圆周角、圆心角相关的线段长度计算1. 如图,在☉O中,弦AC=2√3,点B是圆上一点,且∠ABC=45°,则☉O的半径R=________.【解析】∵∠ABC=45°,∴∠AOC=90°,∵OA=OC=R,∴R2+R2=(2√3)2,解得R=√6. 答案:√62. 如图所示,☉O的两条弦AB,CD交于点P,连接AC,BD,若S△ACP ∶S△DBP=16∶9,则AC∶BD=________.【解析】由题干图可知∠C=∠B,∠A=∠D, ∴△ACP∽△DBP,∴S△ACPS△DBP =(ACBD)2,即(ACBD)2=169,∴AC∶BD=4∶3.答案:4∶33. 如图,小正方形的边长均为1,则∠1的正切值为( )A.15B.14C.13D.12【解析】选D.如图,∵∠1=∠2,∴tan∠1=tan∠2=12.4. 如图,☉O的半径为4,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB,OC,若∠BAC和∠BOC互补,则弦BC的长度为( )A.3√3B.4√3C.5√3D.6√3BC.【解析】选B.过点O作OD⊥BC于点D,则BD=CD=12∠BOC,∵∠BAC+∠BOC=180°,∠BAC=12∴∠BOC=120°,∠BAC=60°,∴∠BOD=60°.在Rt△BOD中,BD=OBsin60°=2√3,∴BC=4√3.5. 正方形ABCD的四个顶点都在☉O上,点E是☉O上的一点.⏜上,点F是DE上的一点,DF=BE.求证:△ADF≌△ABE.(1)如图①,若点E在AB(2)在(1)的条件下,小明还发现线段DE,BE,AE之间满足等量关系:DE-BE=√2AE.请你说明理由.⏜上.写出线段DE,BE,AE之间的等量关系.(不必证明) (3)如图②,若点E在AD【解析】(1)在正方形ABCD中,AB=AD.⏜,∴∠1=∠2,∵∠1和∠2所对的弧都是AE在△ADF和△ABE中,{AD=AB,∠1=∠2, DF=BE,∴△ADF≌△ABE(SAS).(2)由(1)得△ADF≌△ABE,∴AF=AE,∠3=∠4.在正方形ABCD中,∠BAD=90°,∴∠BAF+∠3=90°,∴∠BAF+∠4=90°,∴∠EAF=90°.∴△EAF是等腰直角三角形.∴EF2=AE2+AF2,∴EF2=2AE2.∴EF=√2AE.∵DE-DF=EF,∴DE-BE=√2AE.(3)BE-DE=√2AE.题型三：和切线有关的线段长度计算1. 如图,一圆内切于四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形的周长为( )A.32B.34C.36D.38【解析】选B.如图,根据切线长定理可知,AE=AH,BE=BF,CF=CG,DG=DH.所以AE+DG=AH+DH=AD,BE+CG=BF+CF=BC,所以AB+BC+CD+DA=AE+BE+BC+CG+DG+DA=2AD+2BC=2×7+2×10=34.3.如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC,BC 相切于点D,E.则AD 为 ( )A.2.5B.1.6C.1.5D.1【解析】选B.连接OD,OE,OC,设OD=r,∵AC,BC 切☉O 于D,E, ∴∠ODC=∠OEC=90°,OD=OE, ∵S △AOC +S △BOC =S △ABC ,即12OD ·AC+12OE ·BC=12BC ·AC,12r ·4+12r ·6=12×6×4,r=2.4,AD=AC-r=1.6.3. 如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB 处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D,E 两点,经测量发现AD 和BE 的长恰是方程x 2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为________cm.【解析】连接OD,OE.解方程x2-25x+150=0,得x1=10,x2=15,∴设AD=10,BE=15,半径为r,∴AB=AD+BE=25,∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,即(10+r)2+(15+r)2=252,解得:r=5.答案:54. 如图,已知:射线PO与☉O交于A,B两点,PC,PD分别切☉O于点C,D.(1)请写出两个不同类型的正确结论.(2)若CD=12,tan∠CPO=12,求PO的长.【解析】(1)不同类型的正确结论有:①PC=PD,②∠CPO=∠DPO,③CD⊥BA,④∠CEP=90°,⑤PC2=PA·PB.(2)连接OC,∵PC,PD分别切☉O于点C,D∴PC=PD,∠CPO=∠DPA,∴CD⊥AB,∵CD=12,∴DE=CE=12CD=6.∵tan∠CPO=12,∴在Rt△EPC中,PE=12,∴由勾股定理得CP=6√5,∵PC切☉O于点C,∴∠OCP=90°.在Rt △OPC 中,∵tan ∠CPO=12, ∴OC PC =12,∴OC=3√5, ∴OP=√OC 2+PC 2=15.题型四：扇形、多边形中的线段长度计算1. 已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为 ( ) A.1B.√3C.2D.2√3【解析】选B.如图,由正六边形的性质知,三角形AOB 为等边三角形,所以,OA=OB=AB=2,AC=1,由勾股定理,得内切圆半径OC=√3.2. 粉笔是校园中最常见的必备品.现有一盒刚打开的六角形粉笔,总支数为50支.如图是它的横截面(矩形ABCD),已知每支粉笔的直径为12mm,由此估算矩形ABCD 的周长约为________mm.【解析】作B ′M ′∥C ′D ′,C ′M ′⊥B ′M ′于点M ′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm. ∵∠M ′B ′C ′=60°,∴B ′M ′=B ′C ′·cos60°=6×12=3(mm), C ′M ′=B ′C ′sin60°=6×√32=3√3(mm). 则题干图中,AB=CD=11×3√3=33√3(mm). AD=BC=5×6+5×12+3=93(mm).则周长是:2×33√3+2×93=(66√3+186)mm. 答案:(66√3+186)3. 如图,正方形ABCD 内接于☉O,M 为AD ⏜的中点,连接BM,CM. (1)求证:BM=CM.(2)当☉O 的半径为2时,求BM⏜的长.【解析】(1)∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=CD, ∴AB⏜=CD ⏜, ∵M 为AD ⏜的中点, ∴AM ⏜=DM ⏜,∴AB ⏜+AM ⏜=CD ⏜+DM ⏜,即BM⏜=CM ⏜,∴BM=CM.(2)∵☉O 的半径为2, ∴☉O 的周长为4π, ∴BM⏜的长=38×4π=32π.4. 如图,已知等边△ABC 内接于☉O,BD 为☉O 内接正十二边形的一边,CD=5√2cm,求☉O 的半径R.【解析】连接OB,OC,OD,∵等边△ABC 内接于☉O,BD 为内接正十二边形的一边, ∴∠BOC=13×360°=120°,∠BOD=112×360°=30°, ∴∠COD=∠BOC-∠BOD=90°, ∵OC=OD,∴∠OCD=45°,∴OC=CD ·cos 45°=5√2×√22=5(cm). 即☉O 的半径R=5cm.学海迷津：数学学习十大方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
七年级数学线段的大小比较(基础)(含答案)
C.线段AC与线段BD的交点D.直线AB与直线CD的交点
答案：C
解题思路：
如图，
根据两点之间线段最短，连接AC，BD，则线段AC的长是A，C两个小区之间的最短距离，线段BD的长是B，D两个小区之间的最短距离；线段BD与线段AC交于点E，则点E到A，B，C，D四个小区的距离之和EA+EB+EC+ED=AC+BD，所以点E到A，B，C，D四个小区的距离之和最小．
A.2a-b B.a-b
C.a+b D.2(a-b)
答案：A
解题思路：
根据题意得： ，
故选A．
试题难度：三颗星知识点：中点的应用
6.如图，已知线段AB=12，点C是线段AB的中点，求BC的长．
解：如图，
∵________________
∴________________
∵________________
线段的大小比较（基础）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.如图，已知线段AB，用尺规作图（保留作图痕迹）：延长线段AB到点C，使BC=2AB．下列尺规作图正确的是( )
A. 线段BC即为所求
B. 线段BC即为所求
C. 线段AC即为所求
D. 线段BC即为所求
答案：A
解题思路：
延长线段AB到C，Байду номын сангаасC在线段AB的延长线上，故C和D选项错误；
答案：D
解题思路：
A，B，C选项均未强调点A，B，M位于同一直线上．
故选D．
试题难度：三颗星知识点：中点的定义与表示
4.如图所示，长度为12 cm的线段AB的中点为点M，点C将线段MB分成MC：CB=1：2，则线段AC的长度为( )
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线段大小的计算与证明 专题训练
一、应用线段和差倍分关系
1．如图，AB=8cm ，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段CB 的中点，求AD 的长度。
2．如图，已知AB=80cm ，M 为AB 的中点，点P 在MB 上，点N 为PB 的中点，且NB=14cm ，求PA 的长。
二、利用全等（翻折、平移、旋转）
1．如图，A 、E 、F 、B 四点共线，AC ⊥CE 于E ，BD ⊥DF 于D ，AE=BF ，AC=BD 。
求证：CF=DE 。
2．在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AN 为过点A 的一直线，BD ⊥AN 于点D ，CE ⊥AN 于点E ，若BD>CE ，线段BD 、DE 、CE 之间有怎样的数量关系？
*三、分大补小（截长补短、折半加倍和相等转化）
1．在△ABC 中，已知AB>AC ，求证：∠C ＞∠B 。
（这就是“大边对大角”定理）
A B
C
D
A B
M P N A B
C
D E F A
B
C C
D
E
解法1 截长法
解法2 补短法
2．在△ABC 中，已知AB=AC ，∠BAC=108°，BD 平分∠ABC 。
求证：BC=CD+AB 。
3．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 在AD 上，EB 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD 。
求证：BC=AB+CD 。
4．△ABC 中，已知AB=7，AC=5，求BC 边上的中线AD 的取值范围。
*四、利用三角形三边的不等关系
1．已知：如图，AD 是△ABC 的中线。
求证：AB+AC>2AD 。
A
B C
A
B C D
A B C D
E
A
B
C
D
2．如图，在△ABC 中，已知AC>AB ，AD 是∠BAC 的平分线，P 为AD 上任一点。
求证：PC －PB<AC －AB 。
3．如图，P 为△ABC 内部任一点。
求证：AB+AC >PB+PC 。
4．如图，试说明AB+AC >BD+DE+EC 。
五、利用角平分线、线段垂直平分线性质
1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，M 为BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，ME ⊥AC 于E 。
求证：MD= ME 。
2．在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E 点，已知AB=10cm ，求△DEB 的周长。
A
C
B
D P
A
B
C
D E M A B
C
D
E
A C
B
P
A
B
C
D
E
3．已知：在等边△ABC 中，BN 、CN 分别平分∠ABC 、 ∠ACB ，它们相交于N ，DE 、GF 分别垂直平分BN 、CN ，垂足为D 、G ，交BC 于点E 、F 。
求证：BE=EF=FC 。
六、利用等腰三角形的等角对等边性质
1．已知：△ABC 中，AB=AC ，D ，E 分别是AB 和BC 上的点，连接DE 并延长与AC 的延长线交于点F ，DE=EF 。
求证：BD=CF 。
七、利用“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”
1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AC 的垂直平分线交AC 于点E ，交BC 于点F 。
求证：BF=2CF 。
八、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”
1．如图，△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD ，垂足为D ，DE 交BC 于点E 。
求证：CD=12
BE 。
A
B
C
D E
F B C
E
D A
A
B
C
F
E A
B
C
D G
E
F N
九、利用三角形、梯形中位线性质
1．如图，△ABC 中，D 是边BC 上的中点，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E 。
求证：AE=12
CE 。
十、利用平行四边形（矩形、菱形、正方形、等腰梯形）性质
1．已知：如图，过□ABCD 的各个顶点作直线l 的垂线AA 1、BB 1、CC 1、DD 1。
求证：AA 1+ CC 1= BB 1+ DD 1。
十一、勾股定理
1．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠B=2∠C 。
求证：⑴CD=AB+BD ；
⑵AC 2=AB 2+AB *BC 。
十二、等积法
1．在△ABC 中，∠C=90°，AD 为中线，BC=4，AC=3，求点D 到AB 的距离。
A C
B
D
A A 1
B B 1 C
C 1 D
D 1
A
B
C
D E
F
A
B C
D
2．在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 的面积是28cm 2，AB=20 cm ，AC=8 cm ，求DE 的长。
十三、利用相似
1．如图，在⊙O 中，AB=AC ，AD 交BC 于点E ，AE=2，ED=4。
求AB 的长。
*十四、式子灵活变形
1．一个正方形的面积是()()()()12341x x x x +++++，求其边长。
（x >0）
十五、分类讨论
1．已知AB=10cm ，在直线AB 上画线段BC=3 cm ，求AC 的长。
2．□ABCD 中，一个角的平分线把一条边分成3cm 和4cm 两部分，求这个平行四边形的周长。
A
B
C D
E
F
B
D
十六、方程思想
1．如图，已知AC=57
CB ，AD=511
CB ，AB 的长是66cm ，求CD 的长。
十七、整体思想
1．如图，点P 在线段AB 上，AB=10cm ，点M 是AP 的中点，点N 是BP 的中点，求MN 的长。
A B
D C
A B
P。