5-4第四节 数列求和练习题(2015年高考总复习)
5-4第四节 数列求和(2015年高考总复习)
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(5)并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解， 则称之为并项求和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求 解． 例如， Sn＝1002－992＋982－972＋„＋22－12＝(100＋99)＋(98 ＋97)＋„＋(2＋1)＝5 050.
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3．等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复 杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．
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解析 ∴Sn＝
1 1 1 1 ∵an＝ ＝2n－n＋2 ， nn＋2
1 1 1 1 1 1 1 1 1－3＋2－4＋3－5＋„＋ －n＋ n － 2 2 1 1 1 1 － ＋n－ ＝ n－1 n＋1 n＋2 1 1 1 2n＋3 1 3 1 ＋ － － ＝4－2n＋1n＋2. 2 n ＋ 1 n ＋ 2 2
1 1 1－ n 2 2 1 ＝ n－1＋2n－2. ＝2n－ 1 2 1－2
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题型二
拆项相消法求和
【例 2】 在数列{an}中，a1＝1，当 n≥2 时，其前 n 项和 Sn 满足 1 2 Sn＝anSn－ .
2015高考数学一轮课件：第 5篇 第4节 数列求和
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1．首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4为( )
A．－15
B．15
C．16
D．－16
解析：由等比数列的求和公式可得S4＝1×1－1－2 24＝15.
故选B. 答案：B
数第七学页，编人辑于教星期A五版：十·三文点 科三十四分。
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2．已知数列{an}的通项公式是an＝
数第二学十七页人，编教辑于A星版期五·：文十三科点 三十四分。
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错位相减法求和
[例 3] (2014 山东省师大附中检测)数列{an}的前 n 项的 和为 Sn，对于任意的自然数 an＞0,4Sn＝(an＋1)2.
(1)求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式； (2)设 bn＝a3nn，求和 Tn＝b1＋b2＋…＋bn. [思维导引] (1)由4Sn＝(an＋1)2及an＋1＝Sn＋1－Sn可得an ＋1与an的关系，即可证明求解； (2)求出{bn}的通项公式后，利用错位相减法求和．
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数第十学一页，人编辑教于星A期版五：·十文三点科三十四分。
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4．设数列{an}的通项公式为an＝22n－1，令bn＝nan，则 数列{bn}的前n项和Sn为________．
解析：由bn＝nan＝n·22n－1知 Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，① 从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1，②
数第十学五页，人编辑教于星A期版五：·十文三点科三十四分。
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2015届高考数学(文)达标小测5-4数列求和Word版含答案
[A组基础演练·能力提升]一、选择题1．设{a n}和{b n}都是等差数列，其中a2＋b2＝20，a99＋b99＝100，则数列{a n＋b n}的前100项之和S100＝( )A．6 000 B．60 000C．600 D．5 050解析：S 100＝a1＋b1＋a100＋b1002＝a2＋b2＋a99＋b992＝＋2＝6 000.答案：A2．(2014年惠州调研)已知数列{a n}中，a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则数列{a n}前12项和S12＝( )A．76 B．78C．80 D．82解析：由已知得a n＋2＋a n＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故选B.答案：B3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，并且S10>0，S11<0，若S n≤S k对n∈N*恒成立，则正整数k的取值为( )A．5 B．6C．4 D．7解析：由S10>0，S11<0知a1>0，d<0，并且a1＋a11<0，即a6<0，又a5＋a6>0，所以a5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S5最大，则k＝5.答案：A4．(2014年郑州模拟)在数列{a n}中，a n＋1＝ca n(c为非零常数)，前n项和为S n＝3n＋k，则实数k为( )A．－1 B．0C．1 D．2解析：依题意得，数列{a n}是等比数列，a1＝3＋k，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18，则62＝18(3＋k)，由此解得k＝－1，选A.答案：A5．(2014年茂名模拟)已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＋S m＝S n＋m，且a1＝1，则a10＝( )A ．1B ．9C ．10D ．55解析：由S n ＋S m ＝S n ＋m ，得S 1＋S 9＝S 10，又由于a 10＝S 10－S 9＝S 1＝a 1＝1.故a 10＝1. 答案：A6．(2014年锦州模拟)设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1fn(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1 C.nn －1D.n ＋1n解析：∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1.∴f (x )＝x 2＋x ，f (n )＝n 2＋n . ∴1f n＝1n 2＋n ＝1nn ＋＝1n －1n ＋1. ∴S n ＝1f＋1f ＋1f ＋…＋1fn－＋1f n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：A 二、填空题7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n·(a n ＋1)，记S n 为{a n }前n 项的和，则S 2 013＝________.解析：由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n(a n ＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0.所以S 2 013＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005.答案：－1 0058．(2014年石家庄模拟)有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1所有项的和为________．解析：由题意知所求数列的通项为1－2n1－2＝2n －1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为－2n1－2－n ＝2n ＋1－2－n .答案：2n ＋1－2－n9．(2014年武汉模拟)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，又∵a 1＝1适合上式，∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1.∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列． ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝－4n1－4＝13(4n－1)． 答案：13(4n－1)三、解答题10．(2014年合肥模拟)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，n ∈N *.(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列；(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，c n ＝a n ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n . 解析：(1)∵点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上， ∴a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1(n >1，且n ∈N *)． ∴a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ， 即a n ＋1＝4a n ，(n >1)．又a 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1＝3t ＋1，∴当t ＝1时，a 2＝4a 1，数列{a n }是等比数列． (2)在(1)的结论下，a n ＋1＝4a n ，a n ＋1＝4n，b n ＝log 4a n ＋1＝n .c n ＝a n ＋b n ＝4n －1＋n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n )＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n－13＋＋n n2. 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ＝1,2,3，…)． (1)求证：数列{a n }为等差数列，并写出a n 关于n 的表达式； (2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，问满足T n >100209的最小正整数n 是多少？解析：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－2(n －1)，得a n －a n －1＝2(n ＝2,3,4，…)．所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． 所以a n ＝2n －1.(2)T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋…＋1n －n ＋＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1， 由T n ＝n 2n ＋1>100209，得n >1009，所以满足T n >100209的最小正整数n 为12. 12．(能力提升)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1；数列{b n }满足b n －1－b n ＝b n b n－1(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .解析：(1)由S n ＝2a n －1，得S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 又S n ＝2a n －1，S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，两式相减，得S n －S n －1＝2a n －2a n －1，a n ＝2a n －2a n －1. ∴a n ＝2a n －1，n ≥2.∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． ∴a n ＝1·2n －1＝2n －1.由b n －1－b n ＝b n b n －1(n ≥2，n ∈N *)，得1b n －1b n －1＝1.又b 1＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1，公差为1的等差数列．∴1b n＝1＋(n －1)·1＝n .∴b n ＝1n.(2)∵T n ＝1·20＋2·21＋…＋n ·2n －1，∴2T n ＝1·21＋2·22＋…＋n ·2n. 两式相减，得－T n ＝1＋21＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝－1＋2n －n ·2n.∴T n ＝(n －1)·2n＋1.。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套第五章数列第4节数列求和
2009~2013年高考真题备选题库第5章 数列 第4节 数列求和考点一 等差数列与等比数列的综合1．（2013福建，5分）已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n－1)＋m，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m解析：本题考查等比数列的定义与通项公式、等差数列前n 项和的公式等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、公式应用能力和运算求解能力．等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n－1，所以c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m ＝a 1q m (n－1)·a 1q m (n－1)＋1·…·a 1q m (n－1)＋m －1＝a m 1qm (n－1)＋m (n－1)＋1＋…＋m (n －1)＋m －1＝a m 1qm 2(n －1)＋(m －1)(1＋m －1)2＝a m 1qm 2(n －1)＋(m －1)m 2，因为c n ＋1c n＝a m 1qnm 2＋(m －1)m 2a m 1qm 2(n －1)＋(m －1)m 2＝qm 2，所以数列{c n }为等比数列，公比为qm 2.答案：C2．（2013重庆，5分）已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.解析：本题考查等差、等比数列的基本量运算，意在考查考生的基本运算能力．因为{a n }为等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2a 1＝2，所以S 8＝64.答案：643．（2013江苏，16分）设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中 c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.证明：本题考查等差、等比数列的定义，通项及前n 项和，意在考查考生分析问题、解决问题的能力与推理论证能力．由题设，S n ＝na ＋n (n －1)2d .(1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝⎛⎭⎫a ＋d 22＝a ⎝⎛⎭⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c ＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝⎛⎭⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0， ①19A ＋5B ＋cd 1＝0， ②21A ＋5B ＋cd 1＝0， ③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0. 即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又cd 1＝0，所以c ＝0.4．（2013浙江，14分）在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2) 若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解：本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式，求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力．(1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则 当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.5．（2013四川，12分）在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．解：本题考查等差数列、等比中项等基础知识，考查运算求解能力，考查分类与整合等数学思想．设该数列公差为d ，前n 项和为S n .由已知，可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )．所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.6．(2009·宁夏、海南，5分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( )A ．7B ．8C ．15D ．16解析：∵4a 1,2a 2，a 3成等差数列，∴4a 2＝4a 1＋a 3. ∵{a n }是等比数列，∴4a 1·q ＝4a 1＋a 1q 2，a 1＝1. ∴q 2－4q ＋4＝0，q ＝2，∴S 4＝1×(1－24)1－2＝15.答案：C7．（2011江苏，5分）设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．解析：设a 2＝t ，则1≤t ≤q ≤t ＋1≤q 2≤t ＋2≤q 3，由于t ≥1，所以q ≥max {t ，t ＋1，3t ＋2}，故q 的最小值是33.答案：338．（2012山东，12分）在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .解：(1)因为{a n }是一个等差数列， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ， 则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45， 故d ＝9.由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ， 则9m ＋8<9n <92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1.故得b m ＝92m －1－9m －1.于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9×(1－81m )1－81－(1－9m )1－9＝92m ＋1－10×9m ＋180.9．（2012广东，14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.解：(1)当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7， ② 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列， 所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)， ③ 由①②③解得a 1＝1. (2)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1，两式相减得a n ＋1－3a n ＝2n ，则a n ＋12n －32·a n2n －1＝1，即a n ＋12n ＋2＝32(a n2n －1＋2)． 又a 120＋2＝3，知{a n 2n －1＋2}是首项为3，公比为32的等比数列， ∴a n 2n －1＋2＝3(32)n －1， 即a n ＝3n －2n ，n ＝1时也适合此式， ∴a n ＝3n －2n .(3)证明：由(2)得1a n ＝13n －2n ＝1(2＋1)n －2n ＝1C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋1<1n ·2n －1， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋122＋(12)22＋…＋(12)n －12＝1＋12(1－12n －1)<32. 考点二 递推数列及其应用1．（2013湖南，5分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.解析：本小题主要考查数列的递推关系、等比数列的求和等知识，考查推理论证能力及分类讨论思想．(1)当n ＝1时，S 1＝(－1)a 1－12，得a 1＝－14.当n ≥2时，S n ＝(－1)n (S n －S n －1)－12n .当n 为偶数时，S n －1＝－12n ，当n 为奇数时，S n ＝12S n－1－12n ＋1，从而S 1＝－14，S 3＝－116，又由S 3＝12S 2－124＝－116，得S 2＝0，则S 3＝S 2＋a 3＝a 3＝－116. (2)由(1)得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 99＝－122－124－126－…－12100，S 101＝－12102，又S 2＋S 4＋S 6＋…＋S 100＝2S 3＋123＋2S 5＋125＋2S 7＋127＋…＋2S 101＋12101＝0，故S 1＋S 2＋…＋S 100＝13⎝⎛⎭⎫12100－1. 答案：－116 13⎝⎛⎭⎫12100－1 2．（2013湖南，13分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．解：本题主要考查数列的通项公式和数列求和，结合转化思想，意在考查考生的运算求解能力．(1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1两式相减得2a n －2a n －1＝a n ， 即a n ＝2a n －1.于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．因此，a n ＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，①2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .3．（2013江西，12分）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ，数列{b n }的前项n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. 解：本题主要考查求一类特殊数列的和，意在考查考生的转化与化归的数学思想及运算求解能力．(1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)证明：由于a n ＝2n ，故b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2. T n ＝116⎣⎡1－132＋122－142＋132－152＋…＋1(n －1)2－⎦⎤1(n ＋1)2＋1n 2－1(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564. 4．（2012新课标全国，5分）数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )A ．3 690B ．3 660C ．1 845D ．1 830解析：不妨令a 1＝1，根据题意，得a 2＝2，a 3＝a 5＝a 7＝…＝1，a 4＝6，a 6＝10，…，所以当n 为奇数时，a n ＝1，当n 为偶数时构成以a 2＝2为首项，以4为公差的等差数列．所以前60项和为S 60＝30＋2×30＋30×(30－1)2×4＝1 830.答案：D5．（2012江西，12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，8.(1)确定常数k ，并求a n ； (2)求数列{9－2a n2n }的前n 项和T n .解：(1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，因此k ＝4，从而a n ＝S n －S n －1＝92－n (n ≥2)．又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝92－n .(2)因为b n ＝9－2a n 2n ＝n2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，所以T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.]。
2015届高考数学总复习配套课件：5-4 数列求和
导致计算结果错误．
公 司
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高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
变式训练
1．(2014年南昌模拟)设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和
研考向 要点
探 究 { Sn}都是等差数列，且公差相等．
悟典题 能力
(1)求{an}的通项公式；
提升
司 答案：A
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研考向 要点
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，则Sn＝________.
探究
悟典题
解析：∵Sn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n①
能力
提升
∴2Sn＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1②
q>0，得q＝2，d＝2.所以an＝2n－1，bn＝3·2n－1，所以an＋23bn＝2n－1＋
2n，所以数列{an＋
2 3
bn}的前n项和为
n1＋22n－1＋
21－2n 1－2
＝
n2＋2n＋1－
山 东 金
2.
太
阳
[答案] n2＋2n＋1－2
书
业
有
限
公
司
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东 金 太
＝121－6n1＋1＝6n3＋n 1.
阳 书 业
有
限
公
司
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【全程复习方略】(文理通用)2015届高三数学一轮复习 5.4数列求和精品试题
【全程复习方略】（文理通用）2015届高三数学一轮复习 5.4数列求和精品试题(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014·温州模拟)已知数列{a n}的通项公式是a n=2n-3,则其前20项和为( )A.380-B.400-C.420-D.440-【解析】选C.由a n=2n-3,得S20=2(1+2+3+…+20)-3=2×-3×=420-.2.(2014·成都模拟)已知{a n}是首项为1的等比数列,S n是{a n}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为( )A.或5B.或5C. D.【解析】选C.设等比数列的公比为q,则当公比q=1时,由a1=1得,9S3=9×3=27,而S6=6,两者不相等,故不合题意.所以q≠1,又a1=1,9S3=S6,所以9×=,解之得q=2,所以的前5项和为1++++=.3.已知定义在(0,1)上的函数f(x),对任意m,n∈(1,+∞)且m<n时,都有f-f=f.记a n=f,n∈N*,则在数列{a n}中,a1+a2+…+a8=( )A.fB.fC.fD.f【解析】选B.a n=f=f=f-f,所以a1+a2+…+a8=f-f=f=f.故选B.4.(2014·西安模拟)若数列{a n}为等比数列,且a1=1,q=2,则T n=++…+的结果可化为( )A.1-B.1-C. D.【解析】选C.a n=2n-1,设b n==,则T n=b1+b2+b3+…+b n=++…+=.5.数列{a n}的通项公式a n=2[n-(-1)n],设此数列的前n项和为S n,则S10-S21+S100的值是( )A.9746B.4873C.9736D.9748【解析】选A.当n为奇数时,a n=2(n+1);当n为偶数时,a n=2(n-1),故有S10=×5+×5=60+50=110,S21=×11+×10=464,S100=×50+×50=10100.故S10-S21+S100=9746.【方法技巧】数列求和的思路(1)等差数列和等比数列的前n项和公式是求和的基础;一般数列的求和问题往往通过变形整理,转化为这两类特殊数列的和的问题.例如一类特殊数列的求和通过倒序相加法或错位相减法变形后,就可以转化为这两类数列的求和问题.(2)观察数列的特点是变形的基础.给定的数列有其自身的特点和规律,根据数列的特点和规律选择合适的方法变形是解题的突破口.6.若数列{a n}满足-=d(n∈N*,d为常数),则称数列{a n}为“调和数列”.已知正项数列为“调和数列”,且b1+b2+…+b9=90,则b4·b6的最大值是( )A.10B.100C.200D.400【解析】选B.因为正项数列为“调和数列”,所以b n+1-b n=d(n∈N*,d为常数),即数列{b n}为等差数列.由b1+b2+…+b9=90得=90,即b1+b9=20,所以b4+b6=b1+b9=20,又b n>0,所以b4·b6≤=100,当且仅当b4=b6时等号成立.因此b4·b6的最大值是100.7.(能力挑战题)数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则+++…+等于( )A.(2n-1)2B.(2n-1)2C.4n-1D.(4n-1)【解析】选D.a n=S n-S n-1=2n-1(n>1),又a1=S1=1=20,适合上式,所以a n=2n-1(n∈N*),所以{}是=1,q=22的等比数列,由求和公式得+++…+==(4n-1).8.已知数列2008,2009,1,-2008,-2009,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2015项之和S2015等于( )A.2008B.2010C.1D.0【解析】选C.由已知得a n=a n-1+a n+1(n≥2),所以a n+1=a n-a n-1.故数列的前8项依次为2008,2009,1,-2008,-2009,-1,2008,2009.由此可知数列为周期数列,其周期为6,且S6=0.因为2015=6×335+5.所以S2015=S5=2008+2009+1+(-2008)+(-2009)=1.【加固训练】数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a2=2,a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),则S100= .【解析】由a n+2-a n=1+(-1)n,知a2k+2-a2k=2,a2k+1-a2k-1=0,所以a1=a3=a5=…=a2n-1=1,数列{a2k}是等差数列,a2k=2k.所以S100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100)=50+(2+4+6+ (100)=50+=2600.答案:2600二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2014·广州模拟)若已知数列的前四项是,,,,则数列前n项和为. 【解析】因为通项a n==,所以此数列的前n项和S n=+++…++==-.答案:-【误区警示】利用裂项相消法求和时的注意点(1)在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差.(2)在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,或有时前面剩下两项,后面也剩下两项.10.对正整数n,若曲线y=x n(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n,则数列的前n项和为.【解析】由题意,得y′=nx n-1-(n+1)x n,故曲线y=x n(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n×2n-1-(n+1)2n,切点为(2,-2n),所以切线方程为y+2n=k(x-2).令x=0得a n=(n+1)2n,即=2n,则数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2.答案:2n+1-211.在数列{a n}中,若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值(n∈N*),且a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{a n}的前100项的和S100= .【解析】设定值为M,则a n+a n+1+a n+2=M,进而a n+1+a n+2+a n+3=M,后式减去前式得a n+3=a n,即数列{a n}是以3为周期的数列.由a7=2,可知a1=a4=a7=…=a100=2,共34项,其和为68;由a9=3,可得a3=a6=…=a99=3,共33项,其和为99;由a98=4,可得a2=a5=…=a98=4,共33项,其和为132.故数列{a n}的前100项的和S100=68+99+132=299.答案:29912.对于一切实数x,令[x]为不大于x的最大整数,则函数f(x)=[x]称为高斯函数或取整函数.计算f(-0.3)+f(1)+f(1.3)= .若a n=f,n∈N*,S n为数列{a n}的前n项和,则S3n= .【解析】由题意f(-0.3)+f(1)+f(1.3)=-1+1+1=1;S3n=f+f+f+f+f+f+f+…+f+f+f=0+0+1+1+1+2+2+2+3+…+(n-1)+(n-1)+n=3(1+2+3+…+n-1)+n=3·+n=.答案:1三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.(2013·湖南高考)设S n为数列{a n}的前n项和,已知a1≠0,2a n-a1=S1·S n,n∈N*.(1)求a1,a2,并求数列{a n}的通项公式.(2)求数列{na n}的前n项和.【思路点拨】(1)本题是利用递推关系a n=求数列的通项公式.(2)根据第(1)问可知应利用错位相减法求数列前n项和.【解析】(1)令n=1,得2a1-a1=,因为a1≠0,所以a1=1,令n=2,得2a2-1=S2=1+a2,解得a2=2.当n≥2时,由2a n-1=S n,2a n-1-1=S n-1,两式相减,整理得a n=2a n-1,于是数列{a n}是首项为1,公比为2的等比数列,所以,a n=2n-1.(2)由(1)知na n=n2n-1,记其前n项和为T n,于是T n=1+2×2+3×22+…+n×2n-1①,2T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n②,①-②得-T n=1+2+22+…+2n-1-n×2n=2n-1-n×2n,从而T n=1+(n-1)·2n.【加固训练】设数列{a n}的前n项和为S n=n2,{b n}为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式.(2)设c n=a n·b n,求数列{c n}的前n项和T n.【解析】(1)a1=S1=1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-(n-1)2=2n-1,a1适合上式,所以a n=2n-1,n∈N*.因为b1=a1=1,b2==,又{b n}为等比数列,所以其公比q==,所以b n=,n∈N*.(2)c n=a n·b n=.所以T n=1++++…+, ①所以T n=++++…++.②①-②,得T n=1+1+++…+-=3-,所以T n=6-.14.(2013·浙江高考)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n.(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.【解析】(1)由题意得,5a3·a1=(2a2+2)2,d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以a n=-n+11或a n=4n+6.(2)设数列{a n}前n项和为S n,因为d<0,所以d=-1,a n=-n+11,则n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=-n2+n;n≥12时,|a1|+|a2|+…+|a11|+|a12|+…+|a n|=a1+a2+…+a11-a12-…-a n=S11-(S n-S11)=-S n+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+…+|a n|=【方法技巧】求数列{|a n|}的前n项和,可分为以下情形(1)等差数列{a n}的各项都为非负数,这种情形中数列{|a n|}就相当于数列{a n},可以直接求解.(2)等差数列{a n}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列{a n}分成两段处理.(3)等差数列{a n}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.15.(能力挑战题)(2014·绍兴模拟)已知等比数列{a n}的首项为1,公比q≠1,S n为其前n项和,a1,a2,a3分别为某等差数列的第一、第二、第四项.(1)求a n和S n.(2)设b n=log2a n+1,数列的前n项和为T n,求证:T n<.【解析】(1)因为a1,a2,a3为某等差数列的第一、第二、第四项,所以a3-a2=2(a2-a1),所以a1q2-a1q=2(a1q-a1),因为a1=1,所以q2-3q+2=0,因为q≠1,所以q=2,所以a n=a1q n-1=2n-1,S n===2n-1.(2)由(1)知a n+1=2n,所以b n=log2a n+1=log22n=n.所以==.所以T n=++++…+++==-<.【加固训练】已知数列{a n}满足a1=3,a n+1-3a n=3n(n∈N*),数列{b n}满足b n=3-n a n.(1)求证:数列{b n}是等差数列.(2)设S n=+++…+,求满足不等式<<的所有正整数n的值.【解析】(1)由b n=3-n a n得a n=3n b n,则a n+1=3n+1b n+1.代入a n+1-3a n=3n中,得3n+1b n+1-3n+1b n=3n,即得b n+1-b n=.所以数列{b n}是等差数列.(2)因为数列{b n}是首项为b1=3-1a1=1,公差为的等差数列, 则b n=1+(n-1)=,则a n=3n b n=(n+2)×3n-1,从而有=3n-1,故S n=+++…+=1+3+32+…+3n-1==.则==,由<<,得<<.即3<3n<127,得1<n≤4.故满足不等式<<的所有正整数n的值为2,3,4.。
2015高考数列大题总汇编
2015高考数列试题1.(2015新课标理1)S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0，(Ⅰ)求{a n}的通项公式：(Ⅱ)设，求数列}的前n项和2.(2015广东理) 数列{a}n 满足：* 12122......3,2n nna a na n N-+++=-∈.(1)求3a的值；(2)求数列{a}n 的前 n项和nT；3.(2015广东文) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值；()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．4.(2015北京文)已知等差数列{}满足+=10，-=2.（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}满足，；问：与数列{}的第几项相等？5.(2015天津理)已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和.6.(2015天津文)18.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.7.(2015福建文)等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．8(2015山东理）（18）（本小题满分12分） 设数列{}n a 的前n 项和为nS.已知2n S =3n+3. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足23=logn n a b ，求{}n b 的前n 项和nT.9（2015重庆文）、(本小题满分12分，（I ）小问7分，（II ）小问6分) 已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =92. （I ） 求{}n a 的通项公式；（II ） 设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T .10.（2015浙江文）已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈. （1）求n a 与n b ;（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .11.（2015山东文）已知数列}{n a 是首项为正数的等差数列，数列11{}n n a a +∙的前n 项和为12+n n 。
2015年高考数学理一轮复习精品资料 专题6.4 数列求和含解析
2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第六章 数列 第四节 数列求和一、选择题1. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为（ ） A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．1011002. 【改编题】设数列}{n a 中，若)N (21*++∈+=n a a a n n n ，则称数列}{n a 为“凸数列”.已知数列}{n b 为“凸数列”，且11=b ，22-=b ，则数列}{n b 的前2014项和为（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．2-3. 数列1111111111,,,,,,,,,,223334444的前100项的和等于（ ）A.91314B.111314C.11414D.314144. 数列 ，，，，1617815413211的前n 项和n S 为( )． A.12211--+n n B.n n 2122-+ C.n n 2112-+ D. 12212--+n n5. 【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】若数列{}n a 的通项为2(2)n a n n =+，则其前n 项和n S 为（ ） A ．112n -+ B ．31121n n --+ C ．31122n n --+ D ．311212n n --++6. 数列}{n a 满足 ,11=a 且对任意的*,N n m ∈都有 ,mn a a a n m n m ++=+则=+⋅⋅⋅+++20133211111a a a a （ ）A.20142013 B.20144026 C.20132012 D.201340247. 【2014年广东省广州市普通高中毕业班综合测试一】在数列{}n a 中，已知11a =，()111sin2n n a a π++-=，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =（ ）A.1006B.1007C.1008D.10098. 【2014年陕西省宝鸡市高三数学质量检测（一）】已知一次函数b kx x f +=)(的图像经过点)2,1(P 和)4,2(--Q ，令N n n f n f a n *),1()(∈+=，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为s n ，当256=s n 时，n 的值等于（ ）A . 24 B. 25 C. 23 D. 26 【答案】Ａ【解析】因为一次函数b kx x f +=)(的图像经过点)2,1(P 和)4,2(--Q ，可得242k b k b =+⎧⎨-=-+⎩，解得2k b =⎧⎨=⎩，所以()2f x x =，()()()(1)22141n a f n f n n n n n =+=⨯+=+，()111114141n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，11111111161142231414125n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，得24n =． 9. 【江西师大附中高三年级数学期中考试试卷】已知函数ax x x f -=2)(的图像在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线023=++y x 垂直，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ，则2013S 的值为 （ ） A.20112010B.20122011 C.20132012D.2014201310. 已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <， 25)1()1()1()1(=--+g f g f ，若有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n N *∈）的前n 项和等于3231，则n 等于A ．4B ．5C ． 6D ． 7二、填空题12. 【改编题】已知数列{}n a 满足211222n n a -=++++，则{}n a 的前n 项和n S = .13. 【改编题】以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以()2,0m间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2m为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以()n m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以n m 为分母组成不属于121,,,n A A A -⋅⋅⋅的分数集合n A ，其所有元素和为n a ；则12n a a a ⋅⋅⋅+++=________.三、解答题14.【原创题】已知等比数列{n a }的公比为q ，且满足1n n a a +<，1a +2a +3a =913，1a 2a 3a =271.（1）求数列{n a }的通项公式；（2）记数列{n a n ⋅-)12(}的前n 项和为n T ，求证：3n T >.15. 【河北石家庄2014届高三调研试题】已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346S a =+，且1413,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n an b =+，求数列{}n b 的前n 项和.16. 【山东省威海市2014届高三3月模拟考试】已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足2843,n n n S a a =++且2a 是1a 和7a 的等比中项. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，记23[log ()]4n n a b +=，求1232n b b b b +++.。
【5年高考3年模拟】2015届高考理科数学(新课标版)§6.4 数列求和、数列的综合应用
§6.4 数列求和、数列的综合应用考点一数列求和1.(2014山东,19,12分)已知等差数列{an }的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn =(-1)n-14na n a n+1,求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)因为S1=a1,S2=2a1+2×12×2=2a1+2,S 4=4a1+4×32×2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.(2)bn =(-1)n-14na n a n+1=(-1)n-14n(2n-1)(2n+1)=(-1)n-112n-1+12n+1.当n为偶数时,T n =1+13-13+15+…+12n-3+12n-1-12n-1+12n+1=1-12n+1=2n2n+1.当n为奇数时,T n =1+13-13+15+…-12n-3+12n-1+12n-1+12n+1=1+12n+1=2n+22n+1.所以Tn =2n+22n+1,n为奇数,2n2n+1,n为偶数.或T n=2n+1+(-1)n-1考点二数列的综合应用2.(2014江西,17,12分)已知首项都是1的两个数列{an },{bn}(bn≠0,n∈N*)满足a n bn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令cn =a nb n,求数列{cn}的通项公式;(2)若bn =3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.解析(1)因为an bn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以a n+1b n+1-a nb n=2,即cn+1-cn=2.所以数列{cn}是以1为首项,2为公差的等差数列,故cn=2n-1.(2)由bn =3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,于是数列{an }的前n项和Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1,3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,相减得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,所以Sn=(n-1)3n+1.3.(2014四川,19,12分)设等差数列{an }的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-1ln2,求数列a nb n的前n项和T n.解析(1)由已知,b7=2a7,b8=2a8=4b7,有2a8=4×2a7=2a7+2.解得d=a8-a7=2.所以,Sn =na1+n(n-1)2d=-2n+n(n-1)=n2-3n.(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-1ln2.由题意,a2-1ln2=2-1ln2,解得a2=2.所以d=a2-a1=1.从而an =n,bn=2n.所以Tn =12+222+323+…+n-12n-1+n2n,2Tn =11+22+32+…+n2n-1.因此,2Tn -Tn=1+12+12+…+12n-1-n2=2-12n-1-n2=2n+1-n-22.所以,Tn =2n+1-n-22n.4.(2014浙江,19,14分)已知数列{an }和{bn}满足a1a2a3…an=(2)b n(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(1)求an 与bn;(2)设c n =1a n-1b n(n∈N *).记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ;(ii)求正整数k,使得对任意n∈N *均有S k ≥S n . 解析 (1)由题意a 1a 2a 3…a n =( 2)bn ,b 3-b 2=6, 知a 3=( 2)b 3-b 2=8.又由a 1=2,得公比q=2(q=-2舍去),所以数列{a n }的通项为a n =2n (n∈N *), 所以,a 1a 2a 3…a n =2n (n +1)=( 2)n(n+1).故数列{b n }的通项为b n =n(n+1)(n∈N *). (2)(i)由(1)知c n =1a n-1b n=12n - 1n -1n +1 (n∈N *),所以S n =1n +1-12(n∈N *). (ii)因为c 1=0,c 2>0,c 3>0,c 4>0; 当n≥5时,c n =1n (n +1) n (n +1)2-1 , 而n (n +1)2n -(n +1)(n +2)2n +1=(n +1)(n -2)2n +1>0,得n (n +1)2n≤5·(5+1)25<1,所以,当n≥5时,c n <0.综上,对任意n∈N *,恒有S 4≥S n ,故k=4.5.(2014湖北,18,12分)已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n,使得S n >60n+800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.解析 (1)设数列{a n }的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d 2-4d=0,解得d=0或d=4. 当d=0时,a n =2;当d=4时,a n =2+(n-1)·4=4n -2,从而得数列{a n }的通项公式为a n =2或a n =4n-2. (2)当a n =2时,S n =2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得S n >60n+800成立. 当a n =4n-2时,S n =n [2+(4n -2)]2=2n 2.令2n 2>60n+800,即n 2-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得S n >60n+800成立,n 的最小值为41. 综上,当a n =2时,不存在满足题意的n;当a n =4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.6.(2014湖南,20,13分)已知数列{a n }满足a 1=1,|a n+1-a n |=p n ,n∈N *. (1)若{a n }是递增数列,且a 1,2a 2,3a 3成等差数列,求p 的值;(2)若p=12,且{a 2n-1}是递增数列,{a 2n }是递减数列,求数列{a n }的通项公式. 解析 (1)因为{a n }是递增数列,所以|a n+1-a n |=a n+1-a n =p n .而a 1=1,因此a 2=p+1,a 3=p 2+p+1.又a 1,2a 2,3a 3成等差数列,所以4a 2=a 1+3a 3,因而3p 2-p=0,解得p=13或p=0. 当p=0时,a n+1=a n ,这与{a n }是递增数列矛盾.故p=13. (2)由于{a 2n-1}是递增数列,因而a 2n+1-a 2n-1>0, 于是(a 2n+1-a 2n )+(a 2n -a 2n-1)>0.① 但122n <122n -1,所以|a 2n+1-a 2n |<|a 2n -a 2n-1|.②由①,②知,a 2n -a 2n-1>0, 因此a 2n -a 2n-1= 12 2n -1=(-1)2n22n -1.③因为{a 2n }是递减数列,同理可得,a 2n+1-a 2n <0,故a 2n+1-a 2n =- 12 2n =(-1)2n +12.④ 由③,④知,a n+1-a n =(-1)n +12.于是a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1) =1+12-12+…+(-1)n2n -1=1+12·1- -12 n -11+12=43+13·(-1)n2n -1,故数列{a n }的通项公式为 a n =43+13·(-1)n2n -1.。
【复习参考】2015年高考数学(理)提升演练：数列求和
2015届高三数学（理）提升演练：数列求和一、选择题1．等比数列{a n }首项与公比分别是复数i ＋2(i 是虚数单位)的实部与虚部，则数列{a n }的前10项的和为( )A ．20B ．210－1 C ．－20D ．－2i2．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．11B ．99C ．120D ．1213．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2n 为奇数，－n 2n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 2004．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图像在点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，数列{1f n}的前n 项和为S n ，则S 2 010的值为( )A.2 0072 008 B.2 0082 009 C.2 0092 010D.2 0102 0115．数列{a n }中，已知对任意正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n－1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n等于( )A ．(2n－1)2B.13(2n－1) C.13(4n－1)D ．4n－16．已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，若称使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的数n 为劣数，则在区间(1,2 002)内所有的劣数的和为( )A ．2 026B ．2 046C ．1 024D ．1 022二、填空题7．若1＋3＋5＋…＋x －11×2＋12×3＋…＋1x x ＋＝110(x ∈N *)，则x ＝________.8．数列1,1＋2,1＋2＋22,1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋23＋…＋2n －1，…的前n 项和为________．9．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.三、解答题10．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n2n －1}的前n 项和．11．已知数列{2n －1·a n }的前n 项和S n ＝9－6n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n ·(3－log 2|a n |3)，设数列{1b n }的前n 项和为T n ，求使T n ＜m 6恒成立的m 的最小整数值．12．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＝2a n －n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝a n ＋1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .详解答案一、选择题1．解析：该等比数列的首项是2，公比是1，故其前10项之和是20. 答案：A 2．解析：a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝2－1＋3－2＋4－3＋…＋10－9＋…＋n ＋1－n ＝n ＋1－1＝10，解得n ＝120.答案：C3．解析：由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.答案：B4．解析：∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴f ′(1)＝2＋b ＝3，∴b ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴1f n＝1nn ＋＝1n －1n ＋1， ∴S 2 010＝1－12＋12－13＋…＋12 010－12 011＝1－12 011＝2 0102 011.答案：D5．解析：∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n－1，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1，∴a n ＝2n －2n －1＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝13(4n－1)．答案：C6．解析：设a 1·a 2·a 3·…·a n ＝lg3lg2·lg4lg3·…·n ＋n ＋＝n ＋lg2＝log 2(n ＋2)＝k ，则n ＝2k－2(k ∈Z)．令1＜2k－2＜2 002，得k ＝2, 3,4，…，10. ∴所有劣数的和为－291－2－18＝211－22＝2 026.答案：A 二、填空题7．解析：原等式左边＝x x －1＋211－12＋12－13＋…＋1x －1x ＋1＝x 2x x ＋1＝x 2＋x ＝110，又x ∈N *，所以x ＝10.答案：108．解析：由题意得a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n－1， ∴S n ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋ (2))－n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－n －2.答案：2n ＋1－n －29．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n，∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－2.三、解答题10．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)设数列{a n2n －1}的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n ， 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.综上，数列{a n 2n －1}的前n 项和S n ＝n2n －1.11．解：(1)n ＝1时，20·a 1＝S 1＝3，∴a 1＝3；当n ≥2时，2n －1·a n ＝S n －S n －1＝－6，∴a n ＝－32n －2.∴通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 n ＝－32n －2 n .(2)当n ＝1时，b 1＝3－log 21＝3， ∴T 1＝1b 1＝13；当n ≥2时，b n ＝n ·(3－log 233·2n －2)＝n ·(n ＋1)，∴1b n ＝1nn ＋∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝13＋12×3＋13×4＋…＋1n n ＋＝56－1n ＋1＜56， 故使T n ＜m6恒成立的m 的最小整数值为5.12．解：(1)令n ＝1，得a 1＝2a 1－1，由此得a 1＝1.由于S n ＝2a n －n ，所以S n ＋1＝2a n ＋1－(n ＋1)，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－(n ＋1)－2a n ＋n ，即a n ＋1＝2a n ＋1.所以a n ＋1＋1＝2a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2， 故数列{a n ＋1}是等比数列，其首项为a 1＋1＝2， 故数列{a n ＋1}的通项公式是a n ＋1＝2·2n －1＝2n，故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n－1.(2)由(1)得，b n ＝a n ＋1a n a n ＋1＝2nn－n ＋1－＝n ＋1－－n－n －n ＋1－＝12n－1－12n ＋1－1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(121－1－122－1)＋(122－1－123－1)＋…＋(12n －1－12n ＋1－1)＝1－12n ＋1－1.。
数列求和专题含答案
数列求和一、利用常用求和公式求和 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a qq a q na S n n n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得：n nx x x x S +⋅⋅⋅+++=32 =xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n nx n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积：设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②（设制错位）①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nn n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--。
∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设n nnS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S …………② ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS 1122212+---=n n n ∴ 1224-+-=n n n S三、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n n +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n -+--=＝2)13(11nn a a a n -+---四、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）111)1(1+-=+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（3）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n（4）n nn n n n nn S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n-+=++=111，则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n )1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n ∴数列{b n }的前n 项和：)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n ＝)111(8+-n ＝ 18+n n[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值。
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.4 数列求和练习(含解析)
数列求和时间:50分钟 总分：70分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝－20，则－6a 4＋3a 5＝( ) A.－20 B.4 C.12 D.20【答案】C【解析】 因为S 5＝－20，所以S 5＝5a 3＝－20，∴a 3＝－4，∴－6a 4＋3a 5＝－6(a 1＋3d )＋3(a 1＋4d )＝－3(a 1＋2d )＝－3a 3＝12.2.(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101 B.99101 C.99100 D.101100【答案】A【解析】 由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3，∴d ＝a 5－a 35－3＝1，a 1＝1，∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101，故选A.3.数列{a n }满足：a 1 ＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 008＝( )A.2 0072 008B.2 0071 004 C.2 0082 009 D.4 0162 009【答案】D【解析】法一 因为a n ＋m ＝a n ＋a m ＋mn ，则可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，则可猜得数列的通项a n ＝n （n ＋1）2，∴1a n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 008＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12 008－12 009＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 009＝4 0162 009.故选D. 法二 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， 用叠加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以1a n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 008＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12 008－12 009＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12 009＝4 0162 009，故选D. 4.设a 1，a 2，…，a 50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( ) A.11个 B.12个 C.15个 D.25个【答案】A【解析】 (a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A.5.中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N ＋)，则S 100＝( ) A.1 300 B. 2 600 C.0 D.2 602【答案】B【解析】原问题可转化为当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2.进而转化为当n 为奇数时，为常数列{1}；当n 为偶数时，为首项为2，公差为2的等差数列.所以S 100＝S 奇＋S 偶＝50×1＋(50×2＋50×492×2)＝2 600.6.已知定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足f （x ）g （x ）＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n ＝( ) A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A 【解析】令h (x )＝f （x ）g （x ）＝a x ，∵h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2<0， ∴h (x )在R 上为减函数，∴0<a <1.由题知，a 1＋a －1＝52，解得a ＝12或a ＝2(舍去)，∴f （n ）g （n ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3132，∴n ＝5.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7.已知实数a 1，a 2，a 3，a 4构成公差不为零的等差数列，且a 1，a 3，a 4构成等比数列，则此等比数列的公比等于________. 【答案】 12【解析】设公差为d ，公比为q .则a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d ，所以q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝12.8.(2013·辽宁14)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和.若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________. 【答案】63【解析】 因为x 2－5x ＋4＝0的两根为1和4，又数列{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，所以q ＝2.所以S 6＝1·（1－26）1－2＝63.9.已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的n 的最大值为________. 【答案】19 【解析】 由a 11a 10<－1得a 11＋a 10a 10<0，由它们的前几项和S n 有最大值，可得公差d <0， ∴a 10>0，a 10＋a 11<0，a 11<0，∴a 1＋a 19＝2a 10>0，a 1＋a 20＝a 10＋a 11<0，使得S n >0的n 的最大值为19， 10.已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若a⊥b ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值为________. 【答案】19【解析】 依题意得a·b ＝0，即2S n ＝n (n ＋1)，S n ＝n （n ＋1）2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n （n ＋1）2－n （n －1）2＝n ；又a 1＝1，因此a n ＝n ，a n a n ＋1a n ＋4＝n （n ＋1）（n ＋4）＝n n 2＋5n ＋4＝1n ＋4n＋5≤19，当且仅当n ＝4n，n ∈N *，即n ＝2时取等号，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值是19.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11.(2015·天津18)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列. (1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和.【答案】见解析【解析】 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)， 即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1， 故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2.当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k＝2k＝2n2.所以，{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2n －1，n ∈N *.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ，整理得，S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *.12.设函数f (x )＝23＋1x (x >0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，n ∈N *，且n ≥2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)对n ∈N *，设S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1，若S n ≥3t 恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】见解析 【解析】 (1)由a n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1得a n －a n －1＝23，n ∈N *，n ≥2，所以{a n }是等差数列，又因为a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13.(2)由a n ＝2n ＋13得a n ＋1＝2n ＋33.所以1a n a n ＋1＝9（2n ＋1）（2n ＋3）＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.∴S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1＝92⎣⎢⎡13－15＋15－17＋17－19＋…⎦⎥⎤＋12n ＋1－12n ＋3＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝3n 2n ＋3. 由S n ≥3t 得t ≤n 2n ＋3，又⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n ＋3递增，所以n ＝1时，n 2n ＋3有最小值为15，所以t ≤15.即t 的取值范围为1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。
【师说 高中全程复习构想】(新课标)2015届高考数学 5.4 数列求和练习
【师说 高中全程复习构想】（新课标）2015届高考数学 5.4 数列求和练习 一、选择题1．若数列{an}的通项公式为an ＝2n ＋2n －1，则数列{an}的前n 项和为( )A ．2n ＋n2－1B ．2n ＋1＋n2－1C ．2n ＋1＋n2－2D ．2n ＋n2－2解析：Sn ＝21－2n 1－2＋n 1＋2n －12＝2n ＋1－2＋n2. 答案：C2．(2014·某某质检)已知数列{an}的通项公式是an ＝2n －12n ，其前n 项和Sn ＝32164，则项数n ＝( )A ．13B ．10C ．9D ．6解析：∵an ＝2n －12n ＝1－12n， ∴Sn ＝n －121－12n 1－12＝n －1＋12n ＝32164， ∴n ＝6.答案：D3．已知数列{an}的前n 项和为Sn ，若an ＝1n ＋n －1 (n ∈N*)，则S2009的值为( )A.2008B.2008－1C.2009D.2009－1解析：∵an ＝1n ＋n －1＝n －n －1， ∴S2009＝(1－0)＋(2－1)＋…＋(2009－2008)＝2009，故选C.答案：C4．若数列{an}的通项公式是an ＝(－1)n(3n －2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15解析：a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.答案：A5．1＋(1＋2)＋(1＋2＋22)＋…＋(1＋2＋22＋…＋210)的值是( )A ．211－11B ．211－13C ．212－13D ．213－11解析：设an ＝1＋2＋22＋…＋2n －1，则an ＝2n －12－1＝2n －1， ∴S11＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(211－1)＝2＋22＋…＋211－11＝2211－12－1－11 ＝212－13.答案：C6．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n2＝( )A.n n ＋12 B ．－n n ＋12C ．(－1)n ＋1n n ＋12D ．以上答案均不对 解析：当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n2＝－3－7－…－(2n －1)＝－n 23＋2n －12＝－n n ＋12； 当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n2＝－3－7－…－[2(n －1)－1]＋n2＝－n －12[3＋2n －1－1]2＋n2＝n n ＋12. 综上可得，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n2＝(－1)n ＋1n n ＋12. 答案：C二、填空题7．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an ＋2－an ＝1＋(－1)n(n ∈N*)，则S100＝__________.解析：∵n 为奇数时，an ＝1，n 为偶数时，an ＝n∴S100＝50×1＋2＋4＋…＋100＝50＋102×502＝2600 答案：26008．数列{an}的前n 项和为Sn ，且a1＝1，an ＋1＝3Sn(n ＝1,2,3，…)，则log4S10＝__________.解析：∵an ＋1＝3Sn ，∴an ＝3Sn －1(n≥2)．两式相减得an ＋1－an ＝3(Sn －Sn －1)＝3an ，∴an ＋1＝4an ，即an ＋1an＝4. ∴{an}从第2项起是公比为4的等比数列．当n ＝1时，a2＝3S1＝3，∴n≥2时，an ＝3·4n－2，S10＝a1＋a2＋…＋a10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×1－491－4＝1＋49－1＝49.∴log4S10＝log449＝9.答案：99．若1＋3＋5＋…＋2x －111·2＋12·3＋…＋1x x ＋1＝110(x ∈N*)，则x ＝__________. 答案：10三、解答题10．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an 2n －1}的前n 项和． 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋d ＝0，2a1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝1，d ＝－1，故数列{an}的通项公式为an ＝2－n.(2)设数列{an 2n －1}的前n 项和为Sn ，即Sn ＝a1＋a22＋…＋an 2n －1，故S1＝1， Sn 2＝a12＋a24＋…＋an 2n. 所以，当n ＞1时， Sn 2＝a1＋a2－a12＋…＋an －an －12n －1－an 2n＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n＝n 2n所以Sn ＝n 2n －1. 综上，数列{an 2n －1}的前n 项和Sn ＝n 2n －1. 11．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an ，求数列{1bn}的前n 项和． 解析：(1)设数列{an}的公比为q.由a23＝9a2a6得a23＝9a24，所以q2＝19. 由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q ＝1，得a1＝13. 故数列{an}的通项公式为an ＝13n . (2)bn ＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－n n ＋12. 故1bn ＝－2nn ＋1＝－2(1n －1n ＋1)， 1b1＋1b2＋…＋1bn ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2n n ＋1. 所以数列{1bn }的前n 项和为－2n n ＋1. 12．(2014·某某质检)已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式：an ＝b12＋b222＋b323＋…＋bn 2n(n 为正整数)，求数列{bn}的前n 项和Sn.解析：(1)方法一：设等差数列{an}的公差为d ，则依题意知d ＞0.由a2＋a7＝16，得2a1＋7d ＝16. ①由a3·a6＝55，得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55. ②由①得2a1＝16－7d ，将其代入②得(16－3d)(16＋3d)＝220，即256－9d2＝220，∴d2＝4. 又d ＞0，∴d ＝2.代入①得a1＝1.∴an ＝1＋2(n －1)＝2n －1.方法二：由等差数列的性质得：a2＋a7＝a3＋a6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a3a6＝55，a3＋a6＝16.由韦达定理知，a3，a6是方程x2－16x ＋55＝0的根，解方程得x ＝5或x ＝11.设公差为d ，则由a6＝a3＋3d ，得d ＝a6－a33. ∵d ＞0，∴a3＝5，a6＝11，d ＝11－53＝2，a1＝a3－2d ＝5－4＝1. 故an ＝2n －1.(2)方法一：当n ＝1时，a1＝b12，∴b1＝2. 当n≥2时，an ＝b12＋b222＋b323＋…＋bn －12n －1＋bn 2n， an －1＝b12＋b222＋b323＋…＋bn －12n －1，两式相减得an －an －1＝bn 2n ，∴bn ＝2n ＋1. 因此bn ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，2n ＋1，n≥2.当n ＝1时，S1＝b1＝2；当n≥2时，Sn ＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝2＋b21－2n －11－2＝2n ＋2－6. ∵当n ＝1时上式也成立．∴当n 为正整数时都有Sn ＝2n ＋2－6.方法二：令＝bn 2n，则有an ＝c1＋c2＋…＋，an ＋1＝c1＋c2＋…＋＋1， 两式相减得an ＋1－an ＝＋1，由(1)得a1＝1，an ＋1－an ＝2.∴＋1＝2，＝2(n≥2)，即当n≥2时，bn ＝2n ＋1.又当n ＝1时，b1＝2a1＝2，∴bn ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，2n ＋1，n≥2.于是Sn ＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝2＋23＋24＋…＋2n ＋1＝2＋22＋23＋24＋…＋2n ＋1－4＝22n ＋1－12－1－4＝2n ＋2－6，即Sn ＝2n ＋2－6.。
高考数学一轮复习第五篇数列必修5第4节数列求和习题理含解析
高考数学一轮复习第五篇数列必修5第4节数列求和习题理含解析第4节数列求和【选题明细表】知识点、方法题号公式法、并项法、倒序相加法、2,3,8,11,12分组法求和裂项相消法求和5,7,13错位相减法求和1,10,14数列的综合应用4,9数列的实际应用 6基础巩固(时间:30分钟)1.S n=+++…+等于( B )(A) (B)(C)(D)解析:由S n=+++…+,①得S n=++…++, ②①-②得,S n=+++…+-=-,所以S n=.2.数列{(-1)n(2n-1)}的前2 018项和S2 018等于( B )(A)-2 016 (B)2 018 (C)-2 015 (D)2 015解析:S2 018=-1+3-5+7-…-(2×2 017-1)+(2×2 018-1)=(-1+3)+(-5+7)+…+[-(2×2 017-1)+(2×2 018-1)]=2×1 009=2 018.故选B.3.等差数列{a n}的通项公式为a n=2n+1,其前n项和为S n,则数列{}的前10项的和为( C )(A)120 (B)70 (C)75 (D)100解析:由a n=2n+1,得a1=3,d=2.所以S n=3n+×2=n2+2n.因为=n+2,所以数列{}是以3为首项,1为公差的等差数列.所以()的前10项和为10×3+×1=75.4.已知函数y=log a(x-1)+3(a>0,a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n}的第二项与第三项,若b n=,数列{b n}的前n项和为T n,则T10等于( B )(A)(B)(C)1 (D)解析:对数函数y=log a x的图象过定点(1,0),所以函数y=log a(x-1)+3的图象过定点(2,3),则a2=2,a3=3,故a n=n,所以b n==-,所以T10=1-+-+…+-=1-=,故选B.5.+++…+的值为( C )(A) (B)-(C)-(+) (D)-+解析:因为===(-),所以+++…+=(1-+-+-+…+-)=(--)=-(+).6.在2016年至2019年期间,甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄,若年利率为q 保持不变,且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期,到2020年6月1日甲去银行不再存款,而是将所有存款的本息全部取出,则取回的金额是( D )(A)m(1+q)4元 (B)m(1+q)5元(C)元(D)解析:2019年存款的本息和为m(1+q),2018年存款的本息和为m(1+q)2,2017年存款的本息和为m(1+q)3,2016年存款的本息和为m(1+q)4,四年存款的本息和为m(1+q)+m(1+q)2+m(1+q)3+m(1+q)4==.故选D.7.已知函数f(x)=x a的图象过点(4,2),令a n=,n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n,则S2 018= .解析:由f(4)=2可得4a=2,解得a=.则f(x)=.所以a n===-,S2 018=a1+a2+a3+…+a2 018=(-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)=-1.答案:-18.有穷数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+4+…+2n-1所有项的和为.解析:由题意知所求数列的通项为=2n-1,故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为-n=2n+1-2-n.答案:2n+1-2-n能力提升(时间:15分钟)9.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,当n≥2时,a n+2S n-1=n,则S2 017的值为( D )(A)2 015 (B)2 013 (C)1 008 (D)1 009解析:因为a n+2S n-1=n(n≥2),所以a n+1+2S n=n+1(n≥1),两式相减得a n+1+a n=1(n≥2).又a1=1,所以S2 017=a1+(a2+a3)+…+(a2 016+a2 017)=1+1 008×1=1 009,故选D.10.已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=6,S5=,则数列{}的前n项和为( B )(A)1-(B)2-(C)2-(D)2-解析:设等差数列{a n}的公差为d,则S n=na1+d,因为S3=6,S5=,所以解得所以a n=n+1,=,设数列{}的前n项和为T n,则T n=+++…++,T n=+++…++,两式相减得T n=+(++…+)-=+(1-)-,所以T n=2-.故选B.11.(2018·江西赣南联考)在数列{a n}中,已知a1=1,a n+1+(-1)n a n=cos(n+1)π,记S n为数列{a n}的前n项和,则S2 017= .解析:由a1=1,a n+1+(-1)n a n=cos(n+1)π,得a2=a1+cos 2π=1+1=2,a3=-a2+cos 3π=-2-1=-3,a4=a3+cos 4π=-3+1=-2,a5=-a4+cos 5π=2-1=1,……由上可知,数列{a n}是以4为周期的周期数列,且a1+a2+a3+a4=-2,所以S2 017=504(a1+a2+a3+a4)+a1=504×(-2)+1=-1 007.答案:-1 00712.设函数f(x)=+log2,定义S n=f()+f()+…+f(),其中n∈N*,且n≥2,则S n= .解析:因为f(x)+f(1-x)=+log2++log2=1+log21=1,所以2S n=[f()+f()］+[f()+f()］+…+[f()+f()］=n-1.所以S n=.答案:13.已知数列{a n}的前n项和是S n,且S n+a n=1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=lo(1-S n+1)(n∈N*),令T n=++…+,求T n.解:(1)当n=1时,a1=S1,由S1+a1=1,得a1=,当n≥2时,S n=1-a n,S n-1=1-a n-1,则S n-S n-1=(a n-1-a n),即a n=(a n-1-a n),所以a n=a n-1(n≥2).故数列{a n}是以为首项,为公比的等比数列.故a=·()n-1=2·()n(n∈N*).(2)因为1-S n=a n=()n.所以b n=lo(1-S n+1)=lo()n+1=n+1,因为==-,所以T n=++…+=(-)+(-)+…+(-)=-=.14.(2018·广西玉林一模)已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N*).(1)求证:(+)为等比数列,并求{a n}的通项公式a n;(2)数列{b n}满足b n=(3n-1)··a n,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)因为a1=1,a n+1=,所以==1+,即+=+=3(+),则(+)为等比数列,公比q=3,首项为+=1+=,则+=·3n-1,即=-+·3n-1=(3n-1),即a=.(2)b n=(3n-1)··a n=,则数列{b n}的前n项和T n=+++…+,T n=+++…+,两式相减得T n=1+++…+-=-=2--=2-, 则T n=4-.。
新课标高考数列《数列求和》大题专题含答案
2015高考数学专题复习：数列 2015。
4。
6数列求和1.公式求和1.)12)(1(613212222++=++++n n n n 2.233332)1(321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n 3.数列{}n a 中，31,21==q a （Ⅰ）求n n S a ,(Ⅱ)n n a a a a b 3332313log log log log +++=,求n b4。
已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足(1)1n n qS a q =--（q 是常数且0,1,q q >≠) （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a （Ⅱ)当13q =时，试证明2121<+++n a a a ()()()()()nn n n n n n n nn S q a n n n b a n n S S ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-==+-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-=-=-312121,4.2log 21,3123.92.1313122.错位相减法求和1.()n n n a 312⋅+=，求n S 2。
n n na 32= ，求n S 3。
()22213-⋅-=n n n a ,求n S4. 已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a n =+-，数列{}n b 满足n n n n na a n b -+=⋅++11)1(3,且11=b ． （Ⅰ）求n a ,n b（Ⅱ)设n T 为数列{}n b 的前n 项和,求n T ．5。
设等比数列{}n a 的前项和为n S ，已知221+=+n n S a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）在n a 和1+n a 之间插入n 个数，使这2+n 个数组成公差为n d 的等差数列，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n d 1前n 项和n T6。
已知数列满足:,其中为数列的前项和。
（Ⅰ)试求的通项公式 （Ⅱ）若数列满足：,求的前n 项和公式7。
正项等比数列的前项和为,,且的等差中项为.(Ⅰ)求数列的通项公式 （Ⅱ)设，求的前n 项和公式()()()()()()()()12111111292169827.221,216.3116581615,31411,325.334,124.3243233.2331232.31++----+⋅+-==+⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=⋅=-=-=+⋅-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅=n n n n n n nn n n n n n n n n n n n nn n n n T a n T a n T n d a n b n a n S n S n S ，3。
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：数 列 数列的求和(含答案)
第五章 数 列第4课时 数列的求和1. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n＝________．答案：6解析：由a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，得d ＝2，∴ S n ＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，∴ n ＝6时，S n 最小．2. 若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝________．答案：13解析：由S 5＝25且a 2＝3，得a 1＝1，d ＝2，故a 7＝a 1＋6d ＝13.3. 设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝ ________． 答案：n （n ＋1）2＋1 解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＝a n －1＋(n －1)＋1，a n －1＝a n －2＋(n －2)＋1，a n －2＝a n －3＋(n －3)＋1，…，a 3＝a 2＋2＋1，a 2＝a 1＋1＋1，a 1＝2＝1＋1，将以上各式相加得a n＝[(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋n ＋1＝（n －1）[（n －1）＋1]2＋n ＋1＝（n －1）n 2＋n ＋1＝n （n ＋1）2＋1. 4. 已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n>1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 5＝________．答案：21解析：S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)可得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，即数列{a n }从第二项起构成等差数列，则S 5＝1＋2＋4＋6＋8＝21.5. 已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则S 100＝________． 答案：5000解析：由题意得S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 99＋a 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝5000.6. 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________．答案：2n解析：因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，因数列{a n ＋1}也是等比数列，则3，2q ＋1，2q 2＋1成等比数列，(2q ＋1)2＝3×(2q 2＋1)，即q 2－2q ＋1＝0q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n.7. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13.若1<S k <9(k ∈N *)，则k ＝________．答案：4解析：S n ＝23(S n －S n －1)－13(n ≥2)， ∴ S n ＋13＝－2⎝⎛⎭⎫S n －1＋13，∴ S n ＝⎝⎛⎭⎫－23·(－2)n －1－13. ∵ 1＜S k ＜9，k ∈N *，∴ k ＝4.8. 各项都为正数的数列{a n }，其前n 项的和为S n ，且S n ＝(S n －1＋a 1)2(n ≥2)，若b n ＝a n ＋1a n ＋a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项的和为T n ，则T n ＝________． 答案：4n 2＋6n 2n ＋1解析：因S n －S n －1＝S 1，叠加可得S n ＝n S 1，即S n ＝n 2a 1，所以a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)a 1，b n ＝2n ＋12n －1＋2n －12n ＋1＝2＋22n －1－22n ＋1，T n ＝⎝⎛⎭⎫2＋21－23＋⎝⎛⎭⎫2＋23－25＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22n －1－22n ＋1＝2n ＋2－22n ＋1＝4n 2＋6n 2n ＋1. 9. 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1) 求{a n }的通项公式；(2) 若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得a 1＝－10，d ＝2， 所以a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12.(2) 设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即q ＝3，所以{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1（1－q n ）1－q＝4(1－3n )． 10. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )(n ∈N )在函数f(x)＝－x 2＋7x 的图象上．(1) 求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值； (2) 令b n ＝2a n ，其中n ∈N ，求{nb n }的前n 项和．解：(1) 因为点P n (n ，S n )(n ∈N )均在函数y ＝f(x)的图象上，所以有S n ＝－n 2＋7n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋8，∴ a n ＝－2n ＋8(n ∈N )．令a n ＝－2n ＋8≥0得n ≤4，∴ 当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12，综上，a n ＝－2n ＋8(n ∈N )，当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12.(2) 由题意得b 1＝26＝8，b n ＝2－2n ＋8＝2－n ＋4，所以b n ＋1b n ＝12，即数列{b n }是首项为8、公比为12的等比数列，即b n ＝8⎝⎛⎭⎫12n －1＝24－n ，故{nb n }的前n 项和T n ＝1×23＋2×22＋…＋n ×2－n ＋4 ①，12T n ＝1×22＋2×2＋…＋(n －1)×2－n ＋4＋n ×2－n ＋3 ②，所以①－②得12T n ＝23＋22＋…＋2－n ＋4－n ×2－n ＋3，∴T n ＝16·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12－n·24－n ＝32－(2＋n)24－n . 11. 已知x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列，又在数列{a n }(a n >0)中a 1＝3，此数列的。
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第四节 数列求和时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n (n 为奇数)，a n ＋1 (n 为正偶数)，则其前6项之和是( ) A ．16 B ．20 C ．33D ．120解析 ∵a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.答案 C2．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．120B ．99C ．11D ．121解析 由a n ＝n ＋1－n(n ＋n ＋1)(n ＋1－n )＝n ＋1－n ，得a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝10，即n ＋1－1＝10，即n ＋1＝11，解得n ＋1＝121，n ＝120.答案 A3．若数列{a n }的通项为a n ＝4n －1，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，n ∈N *，则数列{b n }的前n 项和是( )A ．n 2B ．n (n ＋1)C ．n (n ＋2)D ．n (2n ＋1)解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝(4×1－1)＋(4×2－1)＋…＋(4n －1)＝4(1＋2＋…＋n )－n ＝2n (n ＋1)－n ＝2n 2＋n ，∴b n ＝2n ＋1， b 1＋b 2＋…＋b n＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n ＋1) ＝n 2＋2n ＝n (n ＋2)． 答案 C4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( )A ．66B ．65C ．61D ．56解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n －5. 即a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝3，…，a 10＝15.得|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋8(1＋15)2＝2＋64＝66. 答案 A5．(2014·潍坊模拟)已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状，记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (10,12)＝( )a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1393B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1392C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1394 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 解析 前9行共有1＋3＋5＋ (17)(1＋17)×92＝81(项)，∴A (10,12)为数列中的第81＋12＝93(项)，∴a 93＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1393.答案 A6．(2014·青岛模拟)已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．－100C ．100D ．10 200解析 ∵f (n )＝n 2cos(n π)，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (100)]＋[f (2)＋…＋f (101)]．f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋…(1002－992)＝3＋7＋…＋199＝50×(3＋199)2＝5 050，f (2)＋…＋f (101)＝22－32＋42－…－992＋1002－1012＝(22－32)＋(42－52)＋…＋(1002－1012)＝－5－9－…－201＝50×(－5－201)2＝－5 150，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (100)]＋[f (2)＋…f (101)]＝－5 150＋5 050＝－100.答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，则数列{a n b n }的前n 项和S n ＝__________.解析 由条件易求出a n ＝n ，b n ＝2n －1(n ∈N *)． ∴S n ＝1×1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2S n ＝1×2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n .② 由①－②，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1. 答案 (n －1)·2n ＋18．在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为__________．解析 ∵a n ＝n (n ＋1)2n ＋1＝n2，∴b n ＝8n (n ＋1)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴b 1＋b 2＋…＋b n＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝8n n ＋1. 答案8nn ＋19．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__________.解析 令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)． 与已知式相减，得a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2.∴a n ＝4(n ＋1)2.∴n ＝1时，a 1适合a n .∴a n ＝4(n ＋1)2.∴a n n ＋1＝4n ＋4. ∴a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝n (8＋4n ＋4)2＝2n 2＋6n . 答案 2n 2＋6n三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．(2014·石家庄质检一)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 4＋6，且a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ≠0.∵S 3＝a 4＋6，∴3a 1＋3×2d2＝a 1＋3d ＋6，解得a 1＝3. ∵a 1，a 4，a 13成等比数列，∴a 1(a 1＋12d )＝(a 1＋3d )2，解得d ＝2. ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)由题意，得b n ＝22n ＋1＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝(23＋25＋27＋…＋22n ＋1)＋n ＝23(1－22n )1－22＋n＝22n ＋3－83＋n .11．已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项的和为S n ，且有S n ＝2－3a n .(1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和．解 (1)∵S 1＝a 1，n ＝1时，S 1＝2－3a 1⇒4a 1＝2，a 1＝12； 当n ≥2时，3a n ＝2－S n ，① 3a n －1＝2－S n －1，②①－②得3(a n －a n －1)＝－a n ，∴4a n ＝3a n －1⇒a n a n －1＝34.∵{a n }是公比为34，首项为12的等比数列， a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1.(2)∵a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1＝23·34⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫34nT n ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1·⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ，① 34T n ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1·⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋1，②①－②得14T n ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1·⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋1. ∴T n ＝83⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n 1－34－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －83n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋1 ＝8－8⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －83n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋1＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤8＋83n ·34＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n(8＋2n )． 12．(2013·广东卷)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列． (1)证明：a 2＝4a 1＋5； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12.解 (1)证明：在4S n ＝a 2n ＋1－4n －1中，令n ＝1得4a 1＝a 22－5.又a n >0，所以a 2＝4a 1＋5.(2)由4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，得4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，n ≥2，两式相减化简得(a n ＋2)2＝a 2n ＋1，n ≥2，又a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2，n ≥2.又a 2，a 5，a 14成等比数列，所以a 25＝a 2a 14，即(a 2＋6)2＝a 2(a 2＋24)，解得a 2＝3，代入(1)解得a 1＝1，所以a 2－a 1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n ＝2n －1.(3)因为1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12.。