第八章 刚体定点运动的动力学

I l = ∑ mi ρ i
2
= ∑ mi [ri − ( ri cos θ i ) 2 ] r r 2 2 = ∑ mi [ri − ( r ⋅ l ) ]
2
= ∑ mi [xi + yi + zi
2 2
2
− (αxi + βyi + γzi ) 2 ]
考虑到 α 2 + β 2 + γ 2 = 1, 则上式化为
我们从几何图象来描述转动惯量随轴方向分布的情况. 我们从几何图象来描述转动惯量随轴方向分布的情况 在转动轴上取一长为R的线段 在转动轴上取一长为 的线段OP,令 的线段 令
1 O = P . =R Il
Ixx = ∫ y2 + z2 dm Iyy Izz
2 2 2 2
( = ∫(z = ∫(x
) + x )dm + y )dm
Ixy = Iyx = ∫ xy m d
Ixz = Izx = ∫ zxdm
Iyz = Izy = ∫ yzdm
惯量系数是点坐标的函数, 所以用静止的坐标系时, 惯量系数是点坐标的函数, 所以用静止的坐标系时, 刚体转动时,惯量系数随之而变. 通常选取固着在刚体上、 刚体转动时,惯量系数随之而变. 通常选取固着在刚体上、 并随着刚体一同转动的动坐标系, 这样, 并随着刚体一同转动的动坐标系, 这样, 惯量系数都是 常数． 常数．
L
r r r & & ω = ϕk0 + θ&λ + ψk r
r k0
r k
λ
r
r l
(节线 ) 节线
v v ϕ& , ζ
v v & ψ ,z
进动
v
ζ
章动
θ
v z
二.欧拉运动学方程
Oxy面与zOς面的交线为 OM . r r r & & & ϕk0 = ϕ cos θk + ϕ sin θl r r & & = ϕ cos θk + ϕ sin θ sinψi r & + ϕ sin θ cosψj
11.2刚体定点运动的角动量和动能 §11.2刚体定点运动的角动量和动能 惯量张量
本节介绍刚体作定点运动时具有的动量、角动量、 本节介绍刚体作定点运动时具有的动量、角动量、动能 的计算。 的计算。
v r P = mvc
一. 刚体做定点运动时对定点的角动量的计算
r L = = =
n
∑
n
n
i=1
r r ri × m i v i = r
Lx Ixx L = 0 y L 0 z 0 Iyy 0 0 ωx r r r r ω 0 y ⇒L = I ω i + I ω j + I ω k xx x yy y zz z ω Izz z
Ixx, Iyy, Izz为 个 轴 转 惯 (主 动 量 三 主 的 动 量 转 惯 )
r r r ∑ [ ri × ( ω i × ri )
i=1
n
∑
i=1
r r r r r m i [ω i ( ri ⋅ ri ) − ri (ω i ⋅ ri )] r
2
∑
i=1
r r r m i ω ri − ri (ω ⋅ ri ) (1 1 .2 .2 )
r r r r 不共线, 可知 L 一般与 ω 不共线, 只在某些特殊方向上 L ∥ ω r r r r ri = x i i + y i j + z i k 试推导上式分量形式: 试推导上式分量形式:
∑
i =1
n
m i ( z i2 + x i2 )
I zz =
∑
i =1
n
m i ( x i2 + y i2 )
及:
I y z = I zy =
∑m
i=1
n
i
yi z i
I zx = I x z =
I xy = I yx =
∑m
i=1
n
i
zi xi
∑m
i =1
n
惯 量 积
惯量积与转动惯量 合在一起统称为惯 性系数
i =1 i =1
Lz = −ω x ∑ m i z i x i − ω y ∑ m i z i yi + ω z ∑ m i ( z i2 + yi2 )
n n n i =1
n
i =1
i =1
令:
I xx =
I yy =
∑
i =1
m i ( y i2 + z i2 )
刚体对x 刚体对x轴的轴转动惯量 刚体对y 刚体对y轴的轴转动惯量 刚体对z 刚体对z轴的轴转动惯量
Oxy面与Oξη面的交线 为ON ,即节线. 即节线
L
r k0
r k
λ
r
r l
θ , ϕ ,ψ称为欧拉角,0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ,0 ≤ ψ ≤ 2π
(节线) 节线
r & ϕ : 进动角, 进动角速度为 ϕk0 ; r θ : 章动角, 章动角速度为 θ&λ ; r & ψ :自转角,自转角速度为 ψk .
二. 惯量张量
I xx I = − I yx − I zx − I xy I yy − I zy − I xz − I yz I zz
惯量张量是用来描述刚体 定点转动的惯性的物理量； 定点转动的惯性的物理量； 而转动惯量是描述刚体定 轴转动的惯性的物理量。 轴转动的惯性的物理量。
1 r r 1 1 1 2 T = ω ⋅ L = ωLω = ωIω = Iω 2 2 2 2
其中I为刚体对瞬时轴的转动惯量 其中 为刚体对瞬时轴的转动惯量. 为刚体对瞬时轴的转动惯量
五. 惯量椭球
研究刚体对过定点的一个轴的转动惯量的表达式.以 研究刚体对过定点的一个轴的转动惯量的表达式 以 刚体固定点为原点建立坐标系Oxyz坐标系，过O点 坐标系， 刚体固定点为原点建立坐标系 坐标系 点 的l轴方向余弦为 (α , β , γ ) 轴方向余弦为
I l = I xxα 2 + I yy β 2 + I zzγ 2 − 2 I xyαβ − 2 I yz βγ − 2 I zxγα r r r r ⇒ Il = l ⋅ I ⋅ l
----------------------如已知固定点的惯量张量 如已知固定点的惯量张量, 如已知固定点的惯量张量 则可得过此点的任何轴的转动惯量. 则可得过此点的任何轴的转动惯量
r r r r r ωi = ωii + ωi j + ωik r
Lx = ω x ∑ m i ( y + z
n i =1 2 i n
2 i
)−ω ∑m x y
n y i =1 i i n i =1
i
− ω z ∑ m i xi zi
i =1 n
n
L y = −ω x ∑ m i yi x i + ω y ∑ m i ( z i2 + x i2 ) − ω z ∑ m i yi z i
i
x i yi
则:
L x = I xxω x − I xy ω y − I xzω z L y = − I yxω x + I yyω y − I yzω z L z = − I zxω x − I zyω y + I zzω z
(11.2.6’)
现对上述结果进行分析： 现对上述结果进行分析： 1）惯性系数决定于刚体质量对坐标系的分布。惯性系 ）惯性系数决定于刚体质量对坐标系的分布。 数也可用积分形式代替（ 数也可用积分形式代替（11.2.6’）式； ）
2）刚体的对称面的法线，也是该法线所在轴上 ）刚体的对称面的法线， 各点的惯量主轴
3）坐标系的两个轴是惯量主轴，则第三个轴也是 ）坐标系的两个轴是惯量主轴， 主轴，此坐标系是主轴坐标系。 主轴，此坐标系是主轴坐标系。 4）以匀质旋转对称刚体的旋转对称轴（刚体绕此 ）以匀质旋转对称刚体的旋转对称轴（ 轴转过任意角度都对称） 轴转过任意角度都对称）为一轴的坐标系是主轴 坐标系。 坐标系。
第八章 刚体定点运动的动力学
本章主要介绍运用质点系的三大定理解决刚 体定点运动动力学问题。 体定点运动动力学问题。 主要内容: 主要内容 • • • •
欧拉角 欧拉运动学方程
刚体定点运动的角动量和动能 惯量张量 欧拉动力学方程 欧拉欧拉-潘索情况
§11.1 欧拉角 欧拉运动学方程 一. 欧拉角
固定坐标系: 固定坐标系 oξης 固定在刚体上的动 坐标系: 坐标系 oxyz . 确定z轴的位置 确定 轴的位置: θ 和ϕ 轴的位置
三. 惯量主轴
I xx I = − I yx − I zx − I xy I yy − I zy − I xz I xx − I yz → 0 I zz 0 0 I yy 0 I zz 0 0
使刚体对固定点的惯量张量中所有惯量积为零的坐标系 为该点（ 点 的主轴坐标系。 为该点（O点）的主轴坐标系。
（11.2.6’） Lx Ixx −Ixy −Ixz ωx ） L = −I 式用矩 y yx Iyy −Iyz ωy L −I ω ⇒ 阵表示: z zx −Izy Izz z
r r r r L = I ⋅ω
线性变换关系称为仿射变换
rr rr rv rr rr rv 张量I也可写成 张量 也可写成 I = i i I xx − i j I xy − i k I xz − j i I yx + j j I yy − j k I yz vr vr vv 并矢形式： 并矢形式： − k i I zx − k j I zy + k k I zz