全等三角形压轴题精选(3)
全等三角形压轴题
..全等三角形压轴题 31. 在△ABC 中，BC=AC ，∠BCA=900，P 为直线AC 上一点，过A 作AD ⊥BP 于D ，交直线BC 于Q ．（1）如图1，当P 在线段AC 上时，求证：BP=AQ ．（2）当P 在线段AC 的延长线上时，请在图2中画出图形，并求∠CPQ ． （3）如图3，当P 在线段CA 的延长线上时，∠DBA = 时，AQ =2BD ．2.我们知道三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形，反之，若经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形，那么这条直线平分三角形的这个顶点的对边．如图1，S △ABD=S △ ADC ，则BD=CD 成立．请你直接应用上述结论解决以下问题：（1）已知：如图2，AD 是△ABC 的中线，沿AD 翻折△ADC ，使点C 落在点E ，DE 交AB 于F ，若△ADE 与△ADB 重叠部分面积等于△ABC 面积的14，问线段AE 与线段BD 有什么关系？在图中按要求画出图形，并说明理由．（2）已知：如图3，在△ABC 中，∠ACB = 900 ，AC =2，AB =4，点D 是AB 边的中点，点P 是BC 边上的任意一点，连接PD ，沿PD 翻折△ADP ，使点A 落在E ，若△PDE 与△PDB 重叠部分的面积等于△ABP 面积的14，直接写出BP 的值．3. 在△ABC 中，已知D 为边BC 上一点，若,ABC x BAD y ∠=∠=.QCBPDA BAQB P DACB DAACB DAPDCBA备用图N M C AB N MC DA B 图 1B AQDC M PG图 2N F E （1）当D 为边BC 上一点，并且CD=CA ，40x =，30y =时，则AB _____ AC （填“=”或“≠”）；（2）如果把（1）中的条件“CD=CA ”变为“CD=AB ”，且x,y 的取值不变，那么（1）中的结论是否仍成立？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由；（3）若CD= CA =AB ，请写出y 与x 的关系式及x 的取值围. （不写解答过程，直接写出结果）4. 在Rt △ABC 中，AC=BC ，P 是BC 垂直平分线MN 上一动点，直线PA 交CB 于点E ，F 是点E 关于MN 的对称点，直线PF 交AB 于点D ，连接CD 交PA 于点G. （1）如图1，若P 点在△ABC 的边BC 上时，此时点P 、E 、F 重合，线段AP 上的点Q 关于的对称点D 恰好在边AB 上，连接CQ ，求证：CQ 平分∠ACB ； （2）如图2，若点P 移到BC 上方，且∠CAP=22.5°，求∠CDP 的度数；（3）若点P 移动到△ABC 的部时，线段AE 、CD 、DF 有什么确定的数量关系，请画出图形，并直接写出结论： .5. 如图1，已知A （a ，0），B （0，b ）分别为两坐标轴上的点，且a 、b 满足221212720a b a b +--+=，OC ∶OA=1∶3. （1）求A 、B 、C 三点的坐标；DCBA..ADCBEEBCGFDA（2）若D （1，0），过点D 的直线分别交AB 、BC 于E 、F 两点，设E 、F 两点的横坐标分别为E F x x 、.当BD 平分△BEF 的面积时，求E F x x +的值；（3）如图2，若M （2，4），点P 是x 轴上A 点右侧一动点，AH ⊥PM 于点H ，在HM 上取点G ，使HG=HA ，连接CG ，当点P 在点A 右侧运动时，∠CGM 的度数是否改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由.6. 如图，点D 、E 分别在等边△ABC 的AB 、AC 上，且CD ＞BD ，AE ＞EC ，AD 和BE 相交于点F..（1）若∠BAD=∠CBE ，则AD BE ；（填“＞”、“=”、“＜”） （2）若AD=BE ，求证：∠BAD=∠CBE ；（3）在（2）的条件下，以AB 为边作如图所示的等边△ABG ，连接FG ，若FG=11，BF=3，请直接写出线段AF 的长度为 .7. 如图1，已知A （a ，0），B （0，b ）.（1）当a 、b 满足2288320a a b b -+-+=时，求∠BAO 的度数；（2）如图1，在（1）的条件下，点C 为线段AB 上一点（BC ＞CA ），以点C 为直角顶点，OC 为腰作等腰Rt △OCD ，连接BD ，求证：∠BDO=∠BCO ；A BCO yOxyx图 1图 2QF EDB A（3）如图2，△ABO 的两条角平分线AE 、BF 交于点Q ，若△ABQ 的面积为24，求四边形AFEB 的面积.8. 已知：点A 、C 分别是∠B 的两条边上的点，点D 、E 分别是直线BA 、BC 上的点，直线AE 、CD 相交于点P(1) 点D 、E 分别在线段BA 、BC 上① 若∠B ＝60°（如图1），且AD ＝BE ，BD ＝CE ，则∠APD 的度数为___________ ② 若∠B ＝90°（如图2），且AD ＝BE ，BD ＝CE ，求∠APD 的度数(2) 如图3，点D 、E 分别在线段AB 、BC 的延长线上，若∠B ＝90°，AD ＝BC ，∠APD ＝45°，求证：BD ＝CE9. 已知A(a ，0)、B(0，b)，且满足2a2＋b2＋4a －4b ＝－6，以A 为直角顶点，且以AB 为腰作等腰直角△ABC (1) 求C 点的坐标(2) 如图，若点C 在第二象限，点M 在BC 的延长线上，且AM ＝AN ，AM ⊥AN ，则CM 与BN 存在怎样的关系？请予以证明.(3) 如图，若点C在第二象限，以AB为边在直线AB的另一侧做等边△ABD，连接CD，过A作AF⊥BC于F，AF与CD交于点E，试判断线段CE、AE、CD 之间存在何种数量关系，并证明你的结论10.如图（1），已知A(0,a),B(b,0),且a,b满足a2+2ab+b2+（b+3)2=0,D为x轴上B点左边一动点，连AD,过A作AE⊥AD交x轴于F,且AE=AD,连BE交y轴于点P.(1) 求∠ABO的度数；(2)若AO=3OP,求E点的坐标;(3)如图（2）若C为线段BF(靠近B)的一个三等分点，且∠ACO=600,试求∠AFB的度数。
全等三角形压轴题及其详解
全等三角形压轴题1.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°﹣α=15°，求出即可．【解答】（1）解：∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°﹣α；（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC=BD，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB=BE，∴△ABE是等边三角形；（3）解：∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∵∠DEC=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC=CE=BC，∵∠BCE=150°，∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°，∵∠EBC=30°﹣α=15°，∴α=30°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向三角形外作等边△ABD和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．【解答】证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3.在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．【分析】本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解．先根据直角三角形的性质，等边三角形的性质得到一些隐含的条件，然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想．【解答】解：（1）DF=EF．（2）猜想：DF=FE．证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB=90度．∵DA=DB，∠ADB=60度．∴AG=BG，△DBA是等边三角形．∴DB=BA．∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB=BG．在Rt△DBG和Rt△BAC中∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）．∴DG=BC．∵BE=EC，∠BEC=60°，∴△EBC是等边三角形．∴BC=BE，∠CBE=60度．∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．∵∠DFG=∠EFB，∠DGF=∠EBF，在△DFG和△EFB中∴△DFG≌△EFB（AAS）．∴DF=EF．（3）猜想：DF=FE．证法一：过点D作DH⊥AB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则∠DHB=90度．∵DA=DB，∴AH=BH，∠1=∠HDB．∵∠ACB=90°，∴HC=HB．在△HBE和△HCE中∴△HBE≌△HCE（SSS）．∴∠2=∠3，∠4=∠BEH．∴HK⊥BC．∴∠BKE=90°．∴∠3+∠ABC=90°∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC，∴∠HDB=∠BEH=∠ABC．∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°，∴∠3=∠DBH∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°=∠DHB又∵HB是公共边，所以△DBH≌△EHB∴DH=BE同理可以证明△DHF≌△EBF∴DF=EF．4.已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是QE=QF；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【分析】（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．【解答】解：（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，理由是：∵Q为AB的中点，∴AQ=BQ，∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，在△AEQ和△BFQ中∴△AEQ≌△BFQ，∴QE=QF，故答案为：AE∥BF，QE=QF；（2）QE=QF，证明：延长EQ交BF于D，∵由（1）知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△AEQ和△BDQ中∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF；，（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，证明：延长EQ交FB于D，如图3，∵由（1）知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△AEQ和△BDQ中∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF．5.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，点E为直线AC上一点，D为直线BC上的一点，且DA=DE．当点D在线段BC上时，如图①，易证：BD+AB=AE；当点D在线段CB的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD，AB和AE之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【分析】图②中，论：BD+AE=AB，作EM∥AB交BC于M，先证明△EMC是等边三角形得CE=CM，AE=BM，再证明△ABD≌△DEM，得DB=EM=MC由此可以对称结论．图③中，结论：BD﹣AE=AB，证明方法类似．【解答】解；如图②中，结论：BD+AE=AB．理由：作EM∥AB交BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，∴△CME是等边三角形，∴CE=CM=EM，∠EMC=60°，∴AE=BM，∵DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，∴∠BAC+∠DAB=∠C+∠EDM，∴∠DAB=∠EDM，∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，∴∠ABD=∠DME，在△ABD和△DEM中，，∴△ABD≌△DEM，∴DB=EM=CM，∴DB+AE=CM+BM=BC=AB．如图③中，结论：BD﹣AE=AB．理由：作EM∥AB交BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，∴△CME是等边三角形，∴CE=CM=EM，∠EMC=∠MEC=60°，∴AE=BM，∵DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，∴∠C+∠ADC=∠MEC+∠EDDEM，∴∠ADB=∠DEM，∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，∴∠ABD=∠DME，在△ABD和△DEM中，，∴△ABD≌△DME，∴DB=EM=CM，∴DB﹣AE=CM﹣BM=BC=AB．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意形变证明方法基本不变，属于中考常考题型．6.如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰△ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠AEB．（2）如图3，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据等边对等角可得∠EAB=∠EBA，根据四边形ABCD是互补等对边四边形，可得AD=BC，根据SAS可证△ABD≌△BAC，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质即可证明；（2）仍然成立；理由如下：如图所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，证明△AGD≌△BFC，得到AG=BF，又AB=BA，所以△ABC≌△BAF，得到∠ABD=∠BAC，根据∠ADB+∠BCA=180°，得到∠EDB+∠ECA=180°，进而得到∠AEB+∠DHC=180°，由∠DHC+∠BHC=180°，所以∠AEB=∠BHC．因为∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，所以∠ABD=∠BAC=∠AEB．【解答】解：（1）∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，在△ABD和△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SAS），∴∠ADB=∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠ADB=∠BCA=90°，在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA==90°﹣∠AEB，∴∠ABD=90°﹣∠EAB=90°﹣（90°﹣∠AEB）=∠AEB，同理：∠BAC=∠AEB，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB；（2）仍然成立；理由如下：如图③所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，又∠ADB+ADG=180°，∴∠BCA=∠ADC，又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD=∠BFC=90°，在△AGD和△BFC中，∴△AGD≌△BFC，∴AG=BF，在△ABG和△BAF中，∴△ABG≌△BAF，∴∠ABD=∠BAC，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠EDB+∠ECA=180°，∴∠AEB+∠DHC=180°，∵∠DHC+∠BHC=180°，∴∠AEB=∠BHC．∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据SAS证明△ABD≌△BAC．7.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．【分析】（1）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，从而得出结论；（2）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CE﹣CD；（3）先根据条件画出图形，根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CD﹣CE．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE．∵BC=BD+CD，AC=BC，∴AC=CE+CD；（2）AC=CE+CD不成立，AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CE﹣CD．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE∴CE﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，∴AC=CE﹣CD；（3）补全图形（如图）AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CD﹣CE．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE．∵BC=CD﹣BD，∴BC=CD﹣CE，∴AC=CD﹣CE．【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．8.如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE．G、F分别是DC与BE的中点．（1）求证：DC=BE；（2）当∠DAB=80°，求∠AFG的度数；（3）若∠DAB=α，则∠AFG与α的数量关系是．【分析】（1）根据等式的性质就可以得出∠DAC=∠BAE．就可以得出△ADC≌△ABE就可以得出DC=BE；（2）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以求出∠AFG的值，（3）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以表示∠AFG与a的关系．【解答】解：（1）∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE．在△ADC和△ABE中，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC=BE；（2）连接AG．∵△ADC≌△ABE，∴∠ADC=∠ABE．AD=AB．∵G、F分别是DC与BE的中点，∴DG=DC，BF=BE，∴DG=BF．在△ADG和△ABF中，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠AGF=∠AFG，∠DAG﹣∠BAG=∠BAF﹣∠BAG，∴∠DAB=∠GAF．∵∠DAB=80°，∴∠GAF=80°．∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴∠AFG=50°．答：∠AFG=50°；（3）∵∠DAB=α，∴∠GAF=α．∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴α+2∠AFG=180°，∴∠AFG=90°﹣α．故答案为：∠AFG=50°，90°﹣α．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形内角和定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．9.△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD=60°．（1）如图1，求证：BD=CE；（2）如图2，FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC，求证：∠AHC=60°；（3）在（2）的条件下，若AD=2BD，FH=9，求AF长．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠C=∠ABE=60°，根据SAS推出△ABE≌△BCD，即可证得结论；（2）根据角平分线的性质定理证得CM=CN，利用∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，得出∠CEM=∠CGN，然后根据AAS证得△ECM≌△GCN，得出CG=CE，EM=GN，∠ECM=∠GCN，进而证得△AMC≌△HNC，得出∠ACM=∠HCN，AC=HC，从而证得△ACH是等边三角形，证得∠AHC=60°；（3）在FH上截取FK=FC，得出△FCK是等边三角形，进一步得出FC=KC=FK，∠ACF=∠HCK，证得△AFC≌△HKC得出AF=HK，从而得到HF=AF+FC=9，由AD=2BD 可知AG=2CG，再由=，根据等高三角形面积比等于底的比得出===2，再由AF+FC=9求得．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACE=60°BC=AC，∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∴∠BCD=∠CAE，在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD（ASA），∴BD=CE；（2）如图2，作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，∵∠EFC=∠AFD=60°∴∠AFC=120°，∵FG为△AFC的角平分线，∴∠CFH=∠AFH=60°，∴∠CFH=∠CFE=60°，∵CM⊥AE，CN⊥HF，∴CM=CN，∵∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，∴∠CEM=∠CGN，在△ECM和△GCN中∴△ECM≌△GCN（AAS），∴CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，∴∠MCN=∠ECG=60°，∵△ABE≌△BCD，∵AE=CD，∵HG=CD，∴AE=HG，∴AE+EM=HG+GN，即AM=HN，在△AMC和△HNC中∴△AMC≌△HNC（SAS），∴∠ACM=∠HCN，AC=HC，∴∠ACM﹣∠ECM=∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE=∠HCG=60°，∴△ACH是等边三角形，∴∠AHC=60°；（3）如图3，在FH上截取FK=FC，∵∠HFC=60°，∴△FCK是等边三角形，∴∠FKC=60°，FC=KC=FK，∵∠ACH=60°，∴∠ACF=∠HCK，在△AFC和△HKC中∴△AFC≌△HKC（SAS），∴AF=HK，∴HF=AF+FC=9，∵AD=2BD，BD=CE=CG，AB=AC，∴AG=2CG，∴==，作GW⊥AE于W，GQ⊥DC于Q，∵FG为△AFC的角平分线，∴GW=GQ，∵===，∴AF=2CF，∴AF=6．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，找出辅助线根据全等三角形和等边三角形是解题的关键．10.如图1，△ABE是等腰三角形，AB=AE，∠BAE=45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD=CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD=BE；（2）试说明AD平分∠BAE；（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE．（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，得到∠BPD=∠DCA=90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE；（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP=∠ACF，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE．【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°，∴∠CBA=∠CAB，∴BC=CA，在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD，∴AD=BE．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DAC，∵∠BDP=∠ADC，∴∠BPD=∠DCA=90°，∵AB=AE，∴AD平分∠BAE．（3）AD⊥BE不发生变化．如图2，∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DAC，∵∠BFP=∠ACF，∴∠BPF=∠ACF=90°，∴AD⊥BE．【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BCE≌△ACD．11.情境观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．①写出图1中所有的全等三角形△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②线段AF与线段CE问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．求证：AE=2CD．拓展延伸：如图3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，点D在AC上，∠EDC=∠BAC，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F．求证：DF=2CE．要求：请你写出辅助线的作法，并在图3中画出辅助线，不需要证明．【分析】情境观察：①由全等三角形的判定方法容易得出结果；②由全等三角形的性质即可得出结论；问题探究：延长AB、CD交于点G，由ASA证明△ADC≌△ADG，得出对应边相等CD=GD，即CG=2CD，证出∠BAE=∠BCG，由ASA证明△ADC≌△CBG，得出AE=CG=2CD即可．拓展延伸：作DG⊥BC交CE的延长线于G，同上证明三角形全等，得出DF=CG即可．【解答】情境观察：解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB②线段AF与线段CE的数量关系是：AF=2CE；故答案为：AF=2CE．问题探究：证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ADG=90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD=GD，即CG=2CD，∵∠BAC=45°，AB=BC，∴∠ABC=90°，∴∠CBG=90°，∴∠G+∠BCG=90°，∵∠G+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠BCG，在△ABE和△CBG中，，∴△ADC≌△CBG中（ASA），∴AE=CG=2CD．拓展延伸：解：作DG⊥BC交CE的延长线于G，如图3所示．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．12.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC=120度．（直接填写度数）【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°；（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；（3）解：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．13.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．（1）试说明AH=BH（2）求证：BD=CG．（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系．【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一证明；（2）证明△ACG≌△CBD，根据全等三角形的性质证明；（3）证明△ACE≌△CBF即可．【解答】证明：（1）∵AC=BC，CH⊥AB，∴AH=BH；（2）∵ABC为等腰直角三角形，CH⊥AB，∴∠ACG=45°，∵∠CAG+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE=90°，∴∠CAG=∠BCF，在△ACG和△CBD中，，∴△ACG≌△CBD（ASA），∴BD=CG；（3）AE=EF+BF，理由如下：在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴AE=CF，CE=BF，∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数；（2）设∠BAD=θ，①当θ为何值时，△DFG为等腰三角形；②△DFG有可能是直角三角形吗？若有，请求出相应的θ值；若没有，请说明理由．【分析】（1）由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；（2）①当GD=GF时，就可以得出∠GDF═80°，根据∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论；②有条件可以得出∠DFG=80°，当∠GDF=90°时，就有40°+90°+40°+2θ=180°就可以求出结论，当∠DGF=90°时，就有∠GDF=10°，得出40°+10°+40°+2θ=180°求出结论．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°．∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，，∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．答：∠DFG的度数为80°；（2）①当GD=GF时，∴∠GDF=∠GFD=80°．∵∠ADG=40°+θ，∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，∴θ=10°．当DF=GF时，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=80°，∴∠FDG=∠FGD=50°．∴40°+50°+40°+2θ=180°，∴θ=25°．当DF=DG时，∴∠DFG=∠DGF=80°，∴∠GDF=20°，∴40°+20°+40°+2θ=180°，∴θ=40°．∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形；②当∠GDF=90°时，∵∠DFG=80°，∴40°+90°+40°+2θ=180°，∴θ=5°．当∠DGF=90°时，∵∠DFG=80°，∴∠GDF=10°，∴40°+10°+40°+2θ=180°，∴θ=45°∴当θ=5°或45°时，△DFG为直角三角形．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B 作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：CD=2BE+DE．【分析】（1）通过证△AEB≌△AFC（SAS），得到AE=AF；（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G，通过证△BED≌△AGD（AAS），得到ED=GD，BE=AG，易证CF=BE=AG=GF．因为CD=DG+GF+FC，所以CD=DE+BE+BE，故CD=2BE+DE．【解答】证明：（1）如图，∵∠BAC=90°，AF⊥AE，∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，∴∠EAB=∠FAC，∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠EBA=∠ACF，∴在△AEB与△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE=AF；（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G．∵AG⊥EC，BE⊥CE，∴∠BED=∠AGD=90°，∵点D是AB的中点，∴BD=AD．∴在△BED与△AGD中，，∴△BED≌△AGD（AAS），∴ED=GD，BE=AG，∵AE=AF∴∠AEF=∠AFE=45°∴∠FAG=45°∴∠GAF=∠GFA，∴GA=GF，∴CF=BE=AG=GF，∵CD=DG+GF+FC，∴CD=DE+BE+BE，∴CD=2BE+DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．16.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②CM平分∠ACE．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM，∴CM平分∠ACE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角．17.如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM ⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据两角夹边相等的两个三角形全等即可证明．（2）结论：NE﹣ME=CM．作DF⊥MN于点F，由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN，由△DEF≌△CEM，推出ME=EF，CM=DF，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠ABC=45°，CD⊥AB，∴∠ABC=∠DCB=45°，∴BD=DC，∵∠BDC=∠MDN=90°，∴∠BDN=∠CDM，∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM=90°﹣∠A=∠ACD，在△DBN和△DCM中，，∴△DBN≌△DCM．（2）结论：NE﹣ME=CM．证明：由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN．作DF⊥MN于点F，又ND⊥MD，∴DF=FN，在△DEF和△CEM中，，∴△DEF≌△CEM，∴ME=EF，CM=DF，∴CM=DF=FN=NE﹣FE=NE﹣ME．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．18.问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC 的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．【分析】特例探究：利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE．归纳证明：△ABD与△CAE全等．利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质以及三角形外角定理推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=120°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE；拓展应用：利用全等三角形（△ABD≌△CAE）的对应角∠BDA=∠AEC=32°，然后由三角形的外角定理求得∠BAD的度数．【解答】特例探究：证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）；解：归纳证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：∵在等边△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，∴∠DBA=∠EAC=120°．在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）；拓展应用：∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=50°，∴∠EAC=∠DBC．在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BDA=∠AEC=32°，∴∠BAD=∠OBA﹣∠BDA=18°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．在证明两个三角形全等时，一定要找准对应角和对应边．19.情境创设：如图1，两块全等的直角三角板，△ABC≌△DEF，且∠C=∠F=90°，现如图放置，则∠ABE=90°．问题探究：如图2，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC形外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线HA的垂线，垂足分别为M、N，试探究线段EM和FN之间的数量关系，并说明理由．拓展延伸：如图3，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为一边，向△ABC形外作正方形ABME和正方形ACNF，连接E、F交射线HA于G点，试探究线段EG和FG之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）求出∠A=∠EDF，∠A+∠ABC=90°，推出∠EDF+∠ADC=90°，求出∠ADE的度数即可；（2）根据全等三角形的判定得出△EAM≌△ABH，进而求出EM=AH．同理AH=FN，因而EM=FN．（3）与（2）证法类似求出EG=FG，求出△EPG≌△FQG即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠EDF，∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠EDF+∠ADC=90°，∴∠ADE=180°﹣90°=90°，故答案为：90；（2）解：EM=FN，如图2，理由如下：∵Rt△ABE是等腰三角形，∴EA=BA，∠BAE=90°，∴∠BAH+∠MAE=90°，∵AH⊥BC，EM⊥AH，∴∠AME=∠AHB=90°，∴∠ABH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠MAE，在△EAM与△ABH中∴△EAM≌△ABH（AAS），∴EM=AH．同理AH=FN．∴EM=FN；（3）解：EG=FG，如图3，作EP⊥HG，FQ⊥HG，垂足分别为P、Q，由（2）可得EP=FQ，∵EP⊥HG，FQ⊥HG，∴∠EPG=∠FQG=90°，在△EPG和△FQG中∵，∴△EPG≌△FQG，∴EG=FG．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：①全等三角形的对应角相等，对应边相等，②全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．。
初二数学全等三角形压轴题
人教版数学八年级上册第十二章全等三角形压轴题训练1.已知，是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴左侧．如图，若的坐标是，点的坐标是，求点的坐标；如图，若点的坐标为，与轴交于点，求线段的长；如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，则、、间有怎样的数量关系？并说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，且，满足，且，是常数．直线平分，交轴于点．若的中点为，连接交于，求证：；如图，过点作，垂足为，猜想与间的数量关系，并证明你的猜想；如图，在轴上有一个动点在点的右侧，连接，并作等腰，其中，连接并延长交轴于点，当点在运动时，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．3.如图，点，分别在直线，上，，顶点在点右侧的两边分别交线段于，直线于，，，交直线于点．若平分，求证：；已知的平分线与的平分线交于点请把图形补完整，并证明：．4.解答下列问题：如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点求证：如图，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线上，、分别是、的外角已知，且求证：如图，在中，，点在边上，，点、在线段上，若的面积为，求与的面积之和．5.在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点与点，以为边作直角三角形，并且．如图，若点在第三象限，请构造全等，求出点的坐标；若点不在第三象限，请直接写出所有满足条件的点的坐标；在的条件下，过点作交轴于点，求证：．6.已知，点在上以的速度由点向点运动，同时点在上由点向点运动．它们运动的时间为．如图，，，若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；如图，将图中的“，”为改“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．7.如图，点，将一个的角尺的直角顶点放在点处，角尺的两边分别交轴、轴正半轴于，即，求证：平分；作的平分线交于点，过点作轴于，求的值；把角尺绕点旋转时，的值是否会发生变化？若发生变化请说明理由；若不变请求出这个值．8.画，并画的平分线．图图图将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与垂直，垂足为点，另一条直角边与交于点如图证明：；把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交、于点、如图，与相等吗？请直接写出结论：_____填，，；若点在的反向延长线上，其他条件不变如图，与相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由．9.如图，，点是的中点，直线于点，点在直线上，直线点以每秒个单位长度的速度，从点沿路径向终点运动，运动时间设为秒．如图，当时，作直线于点，此时与全等吗请说明理由．如图，当点在上时，作于点，于点．是否存在或与全等的时刻若存在，求出的值若不存在，请说明理由．连接，当时，求的长．10.如图，已知在四边形中，，点、分别是边、上的点，连接、、，．直接写出、、三者之间的数量关系____________________；若，猜想线段、、三者之间有怎样的数量关系？并加以证明；如图，若点、分别是、延长线上的点，且，其它条件不变时，猜想线段、、三者之间有怎样的数量关系？并加以证明．11.如图：在四边形中，，，，，分别是，上的点，且探究图中线段，，之间的数量关系。
解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路压轴题三种模型全攻略(解析版)
解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一已知两边对应相等解题思路】【考点二已知两角对应相等解题思路】【考点三已知一边一角对应相等解题思路】【过关检测】【典型例题】【考点一已知两边对应相等解题思路】基本解题思路：已知两边对应相等：①找夹角对应相等(SAS )；②找第三边对应相等(SSS ).1(2023·云南昭通·统考二模)如图，点A ，F ，C ，D 在同一直线上，BC ∥EF ，AF =DC ，BC =EF ．求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质可得∠ACB =∠DFE ，再由AF =CD ，可得AC =DF ，再根据全等三角形的判定即可得出结论．【详解】证明：∵BC ∥EF ，∴∠ACB =∠DFE ，∵AF =CD ，∴AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF∠ACB =∠DFEBC =EF∴△ABC ≌△DEF (SAS )．【点睛】本题考查平行线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1(2023·云南昆明·统考二模)如图，点A ，D ，B ，E 在一条直线上，AD =BE ，BC =EF ，AC =DF ．求证：∠C =∠F．【答案】见解析【分析】由AD =BE 可推得AB =DE ，运用SSS 判定两三角形全等，进而根据全等性质得到对应角相等．【详解】证明：∵AD =BE ，∴AD +BD =BE +BD ，即：AB =DE在△ABC 和△DEF 中∵BC =EFAC =DFAB =DE∴△ABC ≌△DEF SSS ，∴∠C =∠F【点睛】本题考查三角形全等的判定方法SSS ，熟练相关的判定公理是解题的关键．2(2023春·上海徐汇·七年级上海市第二初级中学校考阶段练习)如图，AD ⊥AB ,AC ⊥AE ,BE 与DC 交于点F ，且AD =AB ,AC =AE ．试说明：DC =BE ,DC ⊥BE．【答案】见详解【分析】由题意易得∠DAC =∠BAE ，然后可证△ADC ≌△ABE SAS ，进而根据全等三角形的性质可求证．【详解】解：∵AD ⊥AB ,AC ⊥AE ，∴∠DAB =∠CAE =90°，∴∠DAB +∠BAC =∠CAE +∠BAC ，即∠DAC =∠BAE ，∵AD =AB ,AC =AE ，∴△ADC ≌△ABE SAS ，∴CD =BE ,∠D =∠B ，∵∠D +∠AGD =90°，∠AGD =∠BGF ，∴∠B+∠BGF=90°，∴DC⊥BE．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【考点二已知两角对应相等解题思路】基本解题思路：已知两角对应相等：①找夹边对应相等(ASA)；②找非夹边的边对应相等(AAS).1(2022·云南昭通·八年级期末)如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先根据“AAS”直接判定三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等，可以证明BC=BD．【详解】证明：在△ABC和△ABD中∠1=∠2∠C=∠D AB=AB ，∴△ABC≌△ABD(AAS)，∴BC=BD．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式训练】1(2023·湖南长沙·八年级期中)如图，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求证：AB=DC．【答案】证明见解析．【解析】【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．【详解】证明：∵BF=CE∴BF+EF=CE+EF，即：BE=CF，在△ABE和△DCF中∠A=∠D ∠B=∠C BE=CF ，∴△ABE≌△DCF(AAS)，∴AB=DC．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．2(2022·四川泸州·八年级期末)已知：∠B=∠C,∠1=∠2,AB=AC．求证：BE=CD．【答案】见解析【解析】【分析】证明∠CAD=∠BAE；直接运用SAS公理，证明△CAD≌△EAB，即可解决问题．【详解】证明：如图，∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3，即∠BAE=∠CAD，∵在△ABE和△ACD中，∠B=∠CAB=AC∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质问题，解题的关键是准确找出图形中隐含的相等关系．3(2023·云南文山·统考二模)如图，AB=AC，∠BAD=∠CAE，∠B=∠C，求证：AD=AE．【答案】见解析【分析】先证明∠BAE =∠CAD ，再利用“ASA ”证明△ABE ≌△ACD ，即可作答．【详解】∵∠BAD =∠CAE ，∴∠BAD +∠DAE =∠CAE +∠DAE ，即∠BAE =∠CAD ．在△ABE 与△ACD 中，∠BAE =∠CADAB =AC ∠B =∠C，∴△ABE ≌△ACD ASA ，∴AD =AE ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用利用“ASA ”证明△ABE ≌△ACD 是解题的关键．4(2023春·全国·七年级专题练习)如图，点D 在BC 上，∠ADB =∠B ,∠BAD =∠CAE．(1)添加条件：(只需写出一个)，使△ABC ≅△ADE ；(2)根据你添加的条件，写出证明过程．【答案】(1)AC =AE(2)见解析【分析】(1)根据已知条件可得AB =AD ，∠BAC =∠DAE ，结合三角形全等的判定条件添加条件即可；(2)结合(1)的条件，根据三角形全等的判定条件添加条件进行证明即可．【详解】(1)添加的条件是：AC =AE ,故答案为AC =AE ；(2)∵∠ADB =∠B ,∴AB =AD ，∵∠BAD =∠CAE∴∠BAD +∠DAC =∠CAE +∠DAC ，即∠BAC =∠DAE ，又AC =AE∴△ABC ≅△ADE【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，确定出三角形全等判定条件是解答本题的关键．【考点三已知一边一角对应相等解题思路】基本解题思路：(1)有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS ).(2)有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS );②找另一角对应相等(AAS 或ASA ).1(2023·湖南邵阳·统考二模)如图，AC 与BD 相交于点E ，已知AB =CD ，∠ABE =∠DCE ，求证：△ABC ≌△DCB．【答案】见解析【分析】先证△ABE ≌△DCE AAS ，再证△ABC ≌△DCB SSS 即可；【详解】解：由题可知，∠AEB =∠DEC ，∵∠ABE =∠DCE ，AB =CD ，∴△ABE ≌△DCE AAS ，∴AE =DE ，CE =BE ，∴AE +CE =DE +BE ，即AC =BD ，∵BC =CB ，∴△ABC ≌△DCB SSS ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练运用全等三角形的判定方法是解题关键．【变式训练】1(2023·陕西榆林·校考模拟预测)如图，已知∠C =∠DBA =90°，BC =EB ，DE ∥BC ，求证：AC =DB．【答案】见解析【分析】证明△ABC ≌△DEB ASA 即可．【详解】证明：∵DE ∥BC ，∴∠ABC =∠DEB .在△ABC 和△DEB 中，∠ABC =∠DEB ,BC =EB ,∠C =∠DBE =90°,∴△ABC ≌△DEB ASA .∴AC =DB ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．2(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DF ，BC =FE ，∠A =∠D =90°．求证：AC ∥DE．【答案】证明见解析【分析】利用HL 证明Rt △ABC ≌Rt △DFE ，得到∠ACB =∠DEF ，即可证明AC ∥DE ．【详解】证明：∵∠A =∠D =90°，∴△ABC 和△DFE 均为直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △DFE 中，AB =DF BC =FE ，∴Rt △ABC ≌Rt △DFE HL ．∴∠ACB =∠DEF ，∴AC ∥DE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS ，SAS ，AAS ，ASA ，HL ．3(2023·江苏苏州·统考三模)如图，AD ，BC 交于点E ，AC =BD ，∠C =∠D =90°．(1)求证：△ACE ≌△BDE ；(2)若∠CAE =26°，求∠ABC 的度数．【答案】(1)见解析(2)32°【分析】(1)直接根据AAS 即可求证；(2)根据三角形的内角和求出∠AEC =64°，根据△ACE ≌△BDE AAS 得出AE =BE ，最后根据三角形的外角定理，即可求解．【详解】(1)证明：在△ACE 和△BDE 中，∠C =∠D =90°∠AEC =∠BED AC =BD，∴△ACE ≌△BDE AAS ；(2)解：∵∠CAE =26°，∠C =90°，∴∠AEC =90°-26°=64°，由(1)可得△ACE ≌△BDE AAS ，∴AE =BE ，∴∠ABC =∠BAD =12×64°=32°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．【过关检测】一、解答题1(2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测)如图，已知∠B =∠F ，BD =CF ，请添加一个条件，使得△ABC ≌△EFD ，(只需添加一个条件)，并写出证明过程．【答案】添加条件为∠E =∠A ，证明见解析(答案不唯一)【分析】根据BD =CF 可得BC =FD ，两个三角形满足一组对角相等，一组边相等，因此添加的条件可以为另一组对边相等，或另外两组对角中的任意一组相等．【详解】解：添加∠E =∠A 后，△ABC ≌△EFD ．证明：∵BD =CF ，∴BD +CD =CF +CD ，∴BC =FD ，在△ABC 和△EFD 中，∠E =∠A∠B =∠F BC =FD，∴△ABC ≌△EFD AAS ．【点睛】本题考查添加条件使三角形全等，解题的关键是掌握全等三角形AAS 、ASA 、SAS 等判定方法．2(2023·福建福州·福州黎明中学校考模拟预测)如图，在等腰△ABC 中，BA =BC ，点F 在AB 边上，延长CF 交AD 于点E ，BD =BE ，∠ABC =∠DBE ．求证：AD =CE．【答案】证明见解析【分析】由∠ABC =∠DBE ，可得∠EBC =∠DBA ，证明△EBC ≌△DBA SAS ，进而结论得证．【详解】证明：∵∠ABC =∠DBE ，∴∠ABC +∠EBA =∠DBE +∠EBA ，即∠EBC =∠DBA ，∵BE=BD，∠EBC=∠DBA，BC=BA，∴△EBC≌△DBA SAS，∴AD=CE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．3(2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考二模)如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD= BE，∠A=∠EDF，∠E=∠ABC．求证：AC=DF．【答案】见解析【分析】根据AD=BE，可得AB=ED，可证明△ABC≌△DEF【详解】∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=ED，在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠E AB=ED∠A=∠EDF，∴△ABC≌△DEF ASA，∴AC=DF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．4(2023·福建泉州·统考二模)如图，点B，D重合，点F在BC上，若BF=AC，BC=EF，∠E+∠EDG=∠A，求证：AB=DE．【答案】证明见解析【分析】根据题意得出∠A=∠DGF，再由平行线的判定和性质得出∠C=∠DFE，利用全等三角形的判定和性质即可证明．【详解】证明：∵∠E+∠EDG=∠DGF，又∵∠E+∠EDG=∠A，∴∠A=∠DGF，∴EF∥AC，∴∠C=∠DFE．又∵BF=AC，BC=EF，∴△ABC≅△DEF SAS，∴AB=DE．【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质及全等三角形的判定和性质，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．5(2023·全国·八年级假期作业)如图，四边形ABCD中，BC=CD，AC=DE，AB∥CD，∠B=∠DCE=90°，AC与DE相交于点F．(1)求证：ΔABC≅ΔECD(2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AC⊥DE，理由见解析【分析】(1)根据HL即可证明△ABC≌△ECD．(2)根据△ABC≌△ECD得到∠BCA=∠CDE，结合∠B=∠DCE=90°得到∠DFC=90°，即可得结论．【详解】(1)解：在Rt△ABC和Rt△ECD中AC=DE AB=EC ，∴△ABC≌△ECD．(2)解：AC⊥DE．理由如下：∵△ABC≌△ECD，∴∠BCA=∠CDE，∵∠B=∠DCE=90°，∴∠BCA+∠ACD=90°，∴∠CDE+∠ACD=90°，∴∠DFC=180°-(∠CDE+∠ACD)=90°，∴AC⊥DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．6(2023·江苏·八年级假期作业)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．(1)若MN在△ABC外(如图1)，求证：MN=AM+BN；(2)若MN与线段AB相交(如图2)，且AM=2.6，BN=1.1，则MN=．【答案】(1)见解析(2)1.5【分析】(1)利用互余关系证∠MAC=∠NCB，再证△AMC≌△CNB AAS，得到AM=CN，MC=NB，即可得出结论；(2)类似于(1)可证△AMC≌△CNB AAS，得AM=CN=2.6，MC=NB=1.1，即可得出结论．【详解】(1)证明：∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠BNC=90°．∵∠ACB=90°，∠AMC=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB．在△AMC和△CNB中，∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=CB，∴△AMC≌△CNB AAS∴AM=CN，MC=NB．∵MN=NC+CM，∴MN=AM+BN．(2)∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠BNC=90°．∵∠ACB=90°，∠AMC=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB．在△AMC和△CNB中，∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=CB，∴△AMC≌△CNB AAS∴AM=CN=2.6，MC=NB=1.1．∴MN=CN-CM=2.6-1.1=1.5，【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．7(2023·浙江·八年级假期作业)如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，点D在线段AB上(与A，B不重合)，连接BE．(1)证明：△ACD≌△BCE．(2)若BD=3，BE=7，求AB的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】(1)由∠ACB=∠DCE，得出∠ACD=∠BCE，由SAS证得△ACD≌△BCE；(2)由(1)知：△ACD≌△BCE，得出AD=BE=6，则AB=AD+BD=8．【详解】(1)解：证明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)；(2)由(1)知：△ACD≅△BCE，∴AD=BE=7，∴AB=AD+BD=7+3=10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．8(2023·黑龙江哈尔滨·统考三模)已知：AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，且BD=CE．(1)如图1，求证：∠B=∠C；(2)如图2，BE交CD于点F，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的三角形．【答案】(1)见解析(2)全等三角形有：△ABE≌△ACD，△ABF≌△ACF，△ADF≌△AEF，△BDF≌△CEF【分析】(1)由已知条件可求得AD=AE，利用SAS可判定△ABE≌△ACD，即有∠B=∠C；(2)根据条件写出相应的全等的三角形即可．【详解】(1)证明：∵AB=AC，BD=CE，∴AB-BD=AC-CE，即AD=AE，在△ABE与△ACD中，AB=AC ∠A=∠A AE=AD，∴△ABE≌△ACD SAS，∴∠B=∠C；(2)解：由(1)得△ABE≌△ACD，∴BE=CD，∠B=∠C，在△BDF与△CEF中，∠BFD=∠CFE ∠B=∠CBD=CE，∴△BDF≌△CEF AAS，∴BF =CF ，在△ABF 与△ACF 中，BF =CFAF =AF AB =AC，∴△ABF ≌△ACF SSS ，∵BE -BF =CD -CF ，即EF =DF ，在△ADF 与△AEF 中，AD =AEAF =AF DF =EF，∴△ADF ≌△AEF SSS ．综上所述：全等三角形有：△ABE ≌△ACD ，△ABF ≌△ACF ，△ADF ≌△AEF ，△BDF ≌△CEF ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角与各边的关系．9(2023春·广东深圳·七年级深圳实验学校中学部校考期中)如图所示，已知AB =DC ，AE =DF ，EC =BF ，且B ，F ，E ，C在同一条直线上(1)求证：AB ∥CD(2)若BC =10，EF =7，求BE 的长度【答案】(1)见解析(2)8.5【分析】(1)证明△ABE ≌△DCF ，得出∠B =∠C ，根据平行线的判定得出AB ∥CD ；(2)根据BC =10，EF =7，求出CE =BF =12×10-7 =1.5，最后根据BE =BC -CE 求出结果即可．【详解】(1)证明：∵EC =BF ，∴CE +EF =EF +BF ，即CF =BE ，∵AB =DC ，AE =DF ，∴△ABE ≌△DCF SSS ，∴∠B =∠C ，∴AB ∥CD ；(2)解：∵BC =10，EF =7，∴CE =BF =12×10-7 =1.5，∴BE =BC -CE =10-1.5=8.5．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明△ABE ≌△DCF ．10(2023·全国·八年级假期作业)如图，C 为BE 上一点．点A ，D 分别在BE 两侧．AB ∥ED ，AB =CE ，BC =ED．(1)证明：△ABC ≅△CED ；(2)若∠A =135°，求∠BCD 的度数．【答案】(1)见解析(2)45°【分析】(1)根据平行线的性质得∠B =∠E ，即可根据SAS 判断三角形全等．(2)由(1)△ABC ≅△CED 可得∠A =∠DCE =135°，在由三角形外角和定理即可解答．【详解】(1)证明：∵AB ∥ED ，∴∠B =∠E ，在△ABC 和△CED 中，AB =CE∠B =∠E BC =ED，∴△ABC ≅△CED SAS ．(2)∵△ABC ≅△CED ，∴∠A =∠DCE =135°，∴∠BCD =180°-135°=45°．【点睛】本题考查了三角形全等的判断与性质，平行线的性质，三角形外角和定理，熟练掌握其性质是解题的关键．11(2023春·江苏无锡·九年级统考期中)如图，已知∠B =∠E ，AB =AE ，∠1=∠2．(1)求证：△ABC ≅△AED ；(2)若∠1=40°，求∠3的度数．【答案】(1)见解析(2)40°【分析】(1)先根据∠1=∠2和角的和差可得∠EAD =∠BAC ，然后运用ASA 即可证明结论；(2)根据已知可得∠1=∠2=40°，然后根据三角形外角的性质可得∠3=∠2=40°即可．【详解】(1)证明：∵∠1=∠2∴∠1+∠BAD =∠2+∠BAD ，即∠EAD =∠BAC在△ABC 和△AED 中∠B =∠EAB =AE∠BAC =∠EAD∴△ABC ≅△AED ASA ．(2)解：如图：∵∠1=40°∴∠1=∠2=40°∵∠AFD =∠2+∠E ，∠AFD =∠3+∠B ，∴∠3=∠2=40°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、三角形外角的性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理是解答本题的关键．12(2023·甘肃兰州·统考一模)如图，已知点B ，F ，C ，E 在同一直线上．AB =EF ，AC =DF ．从下面①②③中选取一个作为已知条件，使得△ABC ≌△FED ．①∠A =∠DFE ；②∠ACB =∠D ；③BC =DE ．你选择的已知条件是(填序号)，利用你选择的条件能判定AB ∥DE 吗？请说明理由．【答案】①或③证明见解析【分析】选择条件后证明△ABC ≌△FED ，得出∠B =∠E ，即可证明AB ∥DE【详解】选择条件①或③，选择条件①：在△ABC 和△FED 中，AB =EF∠A =∠DFE AC =DF．∴△ABC ≌△FED (SAS )，∴∠B =∠E ，∴AB ∥DE ，选择条件③：在△ABC 和△FED 中，AB =EFBC =ED AC =DF，∴△ABC ≌△FED (SSS )，∴∠B =∠E ，∴AB ∥DE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．13(2023秋·八年级单元测试)如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求证：△ACB≌△BDA．(2)若∠ABC=35°，求∠CAO的度数．【答案】(1)见解析(2)20°【分析】(1)由HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA即可；(2)由全等三角形的性质求出∠BAD=35°，由直角三角形的性质求出∠BAC=55°，即可得出所求．【详解】(1)解：证明：∵∠C=∠D=90°．∴△ACB和△BDA是直角三角形，在Rt△ACB和Rt△BDA中，AB=BA，BC=AD∴Rt△ACB≌Rt△BDA HL；(2)∵Rt△ACB≌Rt△BDA，∴∠BAD=∠ABC=35°，∵∠BAC=90°-∠ABC=55°，∴∠CAO=∠BAC-∠BAD=20°．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△ABC≅△BAD是解题关键．14(2023·辽宁鞍山·统考一模)如图，在△ABC中，AB=AC，CD∥AB，连接AD，E为AC边上一点，∠ABE=∠CAD，求证：△ABE≌△CAD．【答案】证明见解析【分析】根据CD∥AB，得到∠BAE=∠ACD，利用ASA即可得证．【详解】证朋：∵CD∥AB，∴∠BAE=∠ACD，∵AB=AC，∠ABE=∠CAD，∴△ABE≌△CAD ASA．【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．15(2023秋·四川绵阳·八年级校考期末)已知：如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD =BE，∠1=∠2．(1)求证：△ADE≅△BEC；(2)若DE=10，试求△CDE的面积．【答案】(1)见解析(2)△CDE的面积为50【分析】(1)根据题意得∠A=∠B=90°，然后推得AD=BE，DE=CE从而证明△ADE≅△BEC；(2)由△ADE≅△BEC，得∠AED=∠BCE，再推得∠DEC=90°，即可求解．【详解】(1)∵AD∥BC，∠A=90°，∠1=∠2，∴∠A=∠B=90°，DE=CE，在Rt△ADE、Rt△BEC中，AD=BE，DE=CE，∠A=∠B=90°，∴△ADE≅△BEC．(2)由△ADE≅△BEC得∠AED=∠BCE，∴∠AED+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°，∴∠DEC=90°，×10×10=50．∴△CDE的面积为：12【点睛】本题考查了全等三角形，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．。
2023年湖北省中考数学高频压轴题突破——全等三角形
2023年湖北省中考数学高频压轴题突破——全等三角形1．如图1，OA OB ⊥，OC OD ⊥，OA OB =，OC OD =，连接AD 、BC ，交于点H ．(1)写出AD 和BC 的数量关系及位置关系，并说明理由；(2)如图2，连接BD ，若DO 、BO 分别平分ADB ∠和CBD ∠，求BOD ∠的度数；(3)如图3，连接AC 、BD ，设AOC 的面积为1S ，BOD 的面积为2S ，探究1S 与2S 的数量关系，并说明理由．2．如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．解答下列问题(1)如果AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为，数量关系为． ②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90°点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？并说明理由．3．设点P 在矩形ABCD 内部，当点P 到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P 为该边的“中轴点”．例如：若点P 在矩形ABCD 内部，且P A ＝PD ，则称P 为边AD 的“中轴点”．已知点P 是矩形ABCD 边AD 的“中轴点”，且AB ＝10，BC ＝8，如图1．(1)求证：P 是矩形ABCD 边BC 的“中轴点”；(2)如图2，连接P A ，PB ，若△P AB 是直角三角形，求P A 的值；(3)如图3，连接P A ，PB ，PD ，求tan ∠PDC ·tan ∠PBA 的最小值．4．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D ，E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC 的边AB ，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△，则AEI S =△______．5．（1）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，且45EAF ∠=︒．直接写出BE 、DF 、EF 之间的数量关系；（2）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，求证：EF BE DF =+；（3）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得12EAF BAD ∠=∠，则结论EF BE DF =+是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．6．如图，△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∠ABC ＜105°，AE 与DC 交于点F ．（1）求证：AE ＝DC ；（2）求∠BFE 的度数；（3）若AF ＝9.17cm ，BF ＝1.53cm ，CF ＝7.53cm ，求CD ．7．如图，点C 为线段BD 上一点，,ABC CDE △△都是等边三角形，AD 与CE 交于点,F BE 与AC 相交于点G ．（1）求证：≌ACD BCE ；（2）求证：ACF BCG ≌（3）若8,25CF CG BD +==，求ACD 的面积．8．在MAN ∠内有一点D ．过点D 分别作DB AM ⊥，DC AN ⊥，垂足分别为B ，C ．且BD CD =，点E ，F 分别在边AM 和AN 上．（1）如图1，若//DE AN ，//DF AM ．40A ∠=︒．则FDC ∠=______°；（2）如图2，若BED CFD ，7DE =，求DF 的长；（3）如图3，若120BDC ∠=︒，60EDF ∠=︒，猜想EF ，BE ，CF 三条线段间具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．9．如图1，//AD BC DE ，平分,ADB BDC BCD ∠∠=∠．（1）求证：90DEC ECD ∠+∠=︒；（2）如图2，BF 平分ABD ∠交CD 的延长线于F 点，若100ABC ∠=︒，求F ∠的大小；（3）如图3，若H 是BC 上一动点，K 是BA 延长线上一点，KH 交BD 于M ，交AD 于,O KG 平分BKH ∠,交DE 于N ，交BC 于G ，当H 在线段BC 上运动时（不与B 重合），求BAD DMH DNG∠+∠∠．10．已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作△ACD 和△BCE ，且CA=CD ，CB=CE ，∠ACD=∠BCE ，直线AE 与BD 交于点F ，（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= ；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB= ；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB= ；（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB= （用含α的式子表示）；（3）将图4中的△ACD 绕点C 顺时针旋转任意角度（交点F 至少在BD 、AE 中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB 与α的有何数量关系？并给予证明．11．在ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线l 经过顶点C ，过A 、B 两点分别作l 的垂线AE 、BF ，E 、F 为垂足．（1）如图1，当直线l 不与底边AB 相交时，求证：EF=AE+BF ．（2）如图2，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下三种可能的位置时，EF、AE、BF三者之间的数量关系．①当AD>BD时；②当AD<BD时．（①②直接写出答案）12．小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD，BC=BD，则△ACB与△ADB 有怎样的关系？（1）请你帮他们解答，并说明理由．（2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE=DE，你知道为什么吗？（如图2）（3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论．请你帮他画出图形，并证明结论．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．14．如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s（0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts（0≤t≤5）．（1）当t＝2时，S△AQF＝3S△BQC，则a＝；（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．15．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．ABCD（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积．16．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在ABC ∆中，90︒∠=C ,若点D 为AB 的中点，则12CD AB =． 请结合上述结论解决如下问题：已知，点P 是射线BA 上一动点（不与A,B 重合）分别过点A,B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E,F,其中Q 为AB 的中点（1）如图2，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系____________；QE 与QF 的数量关系是__________（2）如图3，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P 在线段BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．17．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD ，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC ，BC 于点M ，N ．（1）如图（1），若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M ，N 分别改在CA ，BC 的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM ，MN ，BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．18．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD 上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是（直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF ＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．。
七下数学全等三角形压轴题组卷
全等三角形压轴题组卷一. 选择题(共5小题)1. 如下图, 是瑞安局部街道示意图, AB=BC=AC, CD=CE=DE, A, B,C, D, E, F, G, H为“公交汽车〞停靠点, 甲公共汽车从A站出发, 按照A, H, G, D, E, C, F的顺序到达F站, 乙公共汽车从B站出发, 按照B, F, H, E, D, C, G的顺序到达G站, 如果甲、乙两车分别从A.B两站同时出发, 各站耽误的时间一样, 两辆车速度也一样, 那么( )A. 甲车先到达指定站B. 乙车先到达指定站C. 同时到达指定站D. 无法确定D．无法确定2. 如图, 在△ABC中, ∠A=52°, ∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1, ∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2, 依此类推, ∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5,那么∠BD5C的度数是( )A. 56°B. 60°C. 68°D. 94°D．94°3. 如图在△ABD和△ACE都是等边三角形, 那么△ADC≌△ABE的根据是( )A. SSSB. SASC. ASAD. AASD．AAS4. 如图1, AB=AC, D为∠BAC的角平分线上面一点, 连接BD, CD；如图2, AB=AC, D.E为∠BAC的角平分线上面两点, 连接BD, CD, BE, CE；如图3, AB=AC, D.E、F为∠BAC的角平分线上面三点, 连接BD, CD, BE, CE, BF, CF；…, 依次规律, 第n个图形中有全等三角形的对数是( )A. nB. 2n-1C.D. 3(n+1)5．如图, D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD, ∠DBC=∠DCB, 过D作DE⊥AC于E, DF⊥AB交BA的延长线于F, 那么以下结论:①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD.其中正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个D．4个二. 填空题(共3小题)6．如图, AC=BC, ∠ACB=90°, AE平分∠BAC, BF⊥AE, 交AC延长线于F, 且垂足为E, 那么以下结论：①AD=BF；②BF=AF；③AC+CD=AB, ④AB=BF；⑤AD=2BE．其中正确的结论有．第6题第7题第8题7. 如图, △ABC和△BDE都是等边三角形. 那么以下结论: ①AE=CD. ②BF=BG. ③HB⊥FG. ④∠AHC=60°. ⑤△BFG是等边三角形, 其中正确的有.8．如图, ∠AOB内一点P, P1.P2分别是点P关于OA.OB的对称点, P1P2交OA于M, 交OB于N, 假设P1P2=5cm, 那么△PMN的周长是．三. 解答题(共22小题)9. : 如图, △ABC中, ∠ABC=45°, DH垂直平分BC交AB于点D, BE平分∠ABC, 且BE⊥AC于E, 与CD相交于点F, 试说明一下论断正确的理由：(1).∠BDC=90°；(2).BF=AC；(3).CE= BF.10. , D是△ABC中AB上一点, 并且∠BDC=90°, DH垂直平分BC交BC于点H.(1).试说明: BD=DC；(2).如图2, 假设BE⊥AC于E, 与CD相交于点F,试说明: △BDF≌△ACD；(3).在(1)、(2)条件下, 假设BE平分∠ABC, 试说明:BF=2CE.11. 数学问题: 如图1, 在△ABC中, ∠A=α, ∠ABC.∠ACB的n等分线分别交于点O1.O2.…、On-1, 求∠BOn-1C的度数？问题探究: 我们从较为简单的情形入手.探究一: 如图2, 在△ABC中, ∠A=α, ∠ABC.∠ACB的角平分线分别交于点O1, 求∠BO1C的度数？解：由题意可得∠O1BC= ∠ABC, ∠O1CB= ∠ACB∴∠O1BC+∠O1CB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-α)∴∠BO1C=180°- (180°-α)=90°+ α.探究二: 如图3, ∠A=α, ∠ABC.∠ACB三等分线分别交于点O1.O2, 求∠BO2C的度数. 解：由题意可得∠O2BC= ∠ABC, ∠O2CB= ∠ACB∴∠O2BC+∠O2CB=23(∠ABC+∠ACB)=23(180°﹣α)∴∠BO2C=180°- (180°-α)=60°+ α.探究三: 如图4, ∠A=α, ∠ABC.∠ACB四等分线分别交于点O1.O2.O3, 求∠BO3C的度数.(仿照上述方法, 写出探究过程)问题解决：如图1, 在△ABC中, ∠A=α, ∠ABC.∠ACB的n等分线分别交于点O1.O2.…、On-1, 求∠BOn ﹣1C的度数．问题拓广:如图2, 在△ABC中, ∠A=α, ∠ABC.∠ACB的角平分线交于点O1, 两条角平分线构成一角∠BO1C．得到∠BO1C=90°+ α.探究四: 如图3, ∠A=α, ∠ABC.∠ACB三等分线分别交于点O1.O2, 四条等分线构成两个角∠BO1C, ∠BO2C, 那么∠BO2C+∠BO1C= .探究五：如图4, ∠A=α, ∠ABC.∠ACB四等分线分别交于点O1.O2.O3, 六条等分线构成三个角∠BO3C, ∠BO2C, ∠BO1C, 那么∠BO3C+∠BO2C+∠BO1C= .探究六: 如图1, 在△ABC中, ∠A=α, ∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O1、O2、…、On-1, (2n-2))等分线构成(n-1)个角∠BOn-1C…∠BO3C, ∠BO2C, ∠BO1C, 那么∠BOn-1C+…∠BO3C+∠BO2C+∠BO1C= .12. 如图, 在Rt△ABC中, AB=AC=4cm, ∠BAC=90°, O为边BC上一点, OA=OB=OC, 点M、N分别在边AB.AC上运动, 在运动过程中始终保持AN=BM.(1).在运动过程中, OM与ON相等吗？请说明理由.(2).在运动过程中, OM与ON垂直吗？请说明理由.(3).在运动过程中, 四边形AMON的面积是否发生变化？假设变化, 请说明理由；假设不变化, 求出四边形AMON的面积．假设变化，请说明理由；假设不变化，求出四边形AMON的面积.假设变化，请说明理由；假设不变化，求出四边形AMON的面积．13. 如图, 在△ABC中, AB=AC=2, ∠B=∠C=40°, 点D在线段BC上运动(D不与B.C重合), 连接AD, 作∠ADE=40°, DE交线段AC于E.(1).当∠BDA=115°时, ∠EDC= °, ∠DEC= °；点D从B向C运动时, ∠BDA逐渐变(填“大〞或“小〞)；(2).当DC等于多少时, △ABD≌△DCE, 请说明理由；(3).在点D的运动过程中, △ADE的形状可以是等腰三角形吗？假设可以, 请直接写出∠BDA的度数．假设不可以, 请说明理由．假设可以，请直接写出∠BDA的度数. 假设不可以，请说明理由.假设可以，请直接写出∠BDA的度数．假设不可以，请说明理由．14. 如图, 等腰直角三角形ABC, AB=BC, 直角顶点B在直线PQ上, 且AD⊥PQ于D, CE⊥PQ于E.(1).△ADB与△BEC全等吗？为什么？(2).图1中, AD、DE、CE有怎样的等量关系？说明理由.(3).将直线PQ绕点B旋转到如图2所示的位置, 其他条件不变, 那么AD、DE、CE有怎样的等量关系？说明理由．不变，那么AD、DE、CE有怎样的等量关系？说明理由.不变，那么AD、DE、CE有怎样的等量关系？说明理由．不变，那么AD.DE、CE有怎样的等量关系？说明理由．不变，那么AD、DE、CE有怎样的等量关系？说明理由．15. 如图, 在等腰△ABC中, CB=CA, 延长AB至点D, 使DB=CB, 连接CD, 以CD为边作等腰△CDE,使CE=CD, ∠ECD=∠BCA, 连接BE交CD于点M．(1).BE=AD吗？请说明理由；(2).假设∠ACB=40°, 求∠DBE的度数．16. 阅读理解根本性质: 三角形中线等分三角形的面积.如图, AD是△ABC边BC上的中线, 那么S△ABD=S△ACD= S△ABC 理由: ∵AD是△ABC边BC上的中线∴BD=CD又∵S△ABD=12BD×AH；S△ACD=12CD×AH∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC∴三角形中线等分三角形的面积根本应用:(1).如图1, 延长△ABC的边BC到点D, 使CD=BC, 连接DA. 那么S△ACD与S△ABC的数量关系为: ；(2).如图2, 延长△ABC的边BC到点D, 使CD=BC, 延长△ABC的边CA到点E, 使AE=AC, 连接DE. 那么S△CDE与S△ABC的数量关系为: (请说明理由)；(3).在图2的根底上延长AB到点F, 使FB=AB, 连接FD, FE, 得到△DEF(如图3). 那么S△EFD与S△ABC 的数量关系为：；拓展应用：如图4, 点D是△ABC的边BC上任意一点, 点E, F分别是线段AD, CE的中点, 且△ABC的面积为18cm2, 那么△BEF的面积为cm2．17. 如图, 在△ABC中, DE, FG分别是AB, AC的垂直平分线, 连接AE, AF, ∠BAC=80°, 请运用所学知识, 确定∠EAF的度数.18. 问题发现:如图①, △ABC与△ADE是等边三角形, 且点B, D, E在同一直线上, 连接CE, 求∠BEC的度数, 并确定线段BD与CE的数量关系．拓展探究:如图②, △ABC与△ADE都是等腰直角三角形, ∠BAC=∠DAE=90°, 且点B, D, E在同一直线上, AF⊥BE于F, 连接CE, 求∠BEC的度数, 并确定线段AF, BF, CE之间的数量关系．19. 如图, △ABC中, AB=AC, ∠A=90°, D为BC中点, E、F分别为AB.AC上的点, 且满足AE=CF.求证：DE=DF.20. 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC, 延长AB至点D, 使DB=AB, 连接CD, 以CD为直角边作等腰三角形CDE, 其中∠DCE=90°, 连接BE．(1).求证: △ACD≌△BCE；(2).假设AB=3cm, 那么BE= cm．(3).BE与AD有何位置关系？请说明理由.21. 如图, AP∥BC, ∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E, CE的延长线交AP于D.(1).求证: AB=AD+BC；(2).假设BE=3, AE=4, 求四边形ABCD的面积．22. 如图, △ABC中, AB=AC=10cm, BC=8cm, 点D为AB的中点.(1).如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动, 同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.①假设点Q的运动速度与点P的运动速度相等, 经过1s后, △BPD与△CQP是否全等, 请说明理由；②假设点Q的运动速度与点P的运动速度不相等, 当点Q的运动速度为多少时, 能够使△BPD与△CQP全等？为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2).假设点Q以②中的运动速度从点C出发, 点P以原来的运动速度从点B同时出发, 都逆时针沿△ABC 三边运动, 求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？23. 如图, △ABC是等边三角形, 点E、F分别在边AB和AC上, 且AE=BF.(1).求证: △ABE≌△BCF；(2).假设∠ABE=20°, 求∠ACF的度数；(3).猜测∠BOC的度数并证明你的猜测.24. 在△ABC中, AB=AC, 点D是直线BC上一点(不与点B.点C重合), 以AD为一边在AD的右侧作△ADE, 使AD=AE, ∠DAE=∠BAC, 连接CE.(1).如图1, 当点D在线段BC上时, 如果∠BAC=90°, 那么∠BCE= ；(2).如图2, 当点D在线段BC上时, 如果∠BAC=50°, 请你求出∠BCE的度数. (写出求解过程)；(3).探索发现, 设∠BAC=α, ∠BCE=β.①如图2, 当点D在线段BC上移动, 那么α, β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：.②当点D在线段BC的延长线上时, 那么α, β之间有怎样的数量关系？请在图3中画出完整图形并请直接写出你的结论：．25. 以点A为顶点作等腰Rt△ABC, 等腰Rt△ADE, 其中∠BAC=∠DAE=90°, 如图1所示放置, 使得一直角边重合, 连接BD.CE.(1).试判断BD、CE的数量关系, 并说明理由；(2).延长BD交CE于点F试求∠BFC的度数；(3).把两个等腰直角三角形按如图2放置, (1)、(2)中的结论是否仍成立？请说明理由.中的结论是否仍成立？请说明理由．中的结论是否仍成立？请说明理由．26. , 在△ABC中, ∠BAC=90°, ∠ABC=45°, 点D为直线BC上一动点(点D不与点B, C重合), 以AD 为边做正方形ADEF, 连接CF.(1).如图1, 当点D在线段BC上时, 求证CF+CD=BC.(2).如图2, 当点D在线段BC得延长线上时, 其他条件不变, 请直接写出CF, BC, CD三条线段之间的关系.(3).如图3, 当点D在线段BC得反向延长线上时, 且点A, F分别在直线BC的两侧, 假设BC=17, CF=7, 求DF的长．27. 如图, 四边形ABCD中, AD∥BC, CE⊥AB, △BDC为等腰直角三角形, ∠BDC=90°, BD=CD；CE与BD交于F, 连AF, M为BC中点, 连接DM交CE于N. 请说明:(1).△ABD≌△NCD；(2).CF=AB+AF.28. 以点A为顶点作两个等腰直角三角形(△ABC, △ADE), 如图1所示放置, 使得一直角边重合, 连接BD, CE．(1).说明BD=CE；(2).延长BD, 交CE于点F, 求∠BFC的度数；(3).假设如图2放置, 上面的结论还成立吗？请简单说明理由.单说明理由．29. 如图, △ABC中, AB=AC=6cm, ∠B=∠C, BC=4cm, 点D为AB的中点.(1).如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动, 同时, 点Q在线段CA上由点C向点A运动.①假设点Q的运动速度与点P的运动速度相等, 经过1秒后, △BPD与△CQP是否全等, 请说明理由；②假设点Q的运动速度与点P的运动速度不相等, 当点Q的运动速度为多少时, 能够使△BPD与△CQP全等？(2).假设点Q以②中的运动速度从点C出发, 点P以原来的运动速度从点B同(2).假设点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发, 都逆时针沿△ABC三边运动, 那么经过后, 点P与点Q第一次在△ABC的边上相遇？(在横线上直接写出答案, 不必书写解题过程)30. 如图1, 长方形ABCD, AB=CD=4, BC=AD=6, ∠A=∠B=∠C=∠D=90°, E为CD边的中点, P为长方形ABCD边上的动点, 动点P从A出发, 沿着A→B→C→E运动到E点停顿, 设点P经过的路程为x, △APE 的面积为y.(1).求当x=5时, 对应y的值；(2).如图2.3.4, 求出当点P分别在边AB.BC和CE上时, y与x之间的关系式；(3).如备用图, 当P在线段BC上运动时, 是否存在点P使得△APE的周长最小？假设存在, 求出此时∠PAD 的度数；假设不存在, 请说明理由．。
全等三角形的判定压轴题附答案
全等三角形压轴题一．选择题（共9小题）1．（2013•邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC第1题第2题第3题2．（2012•巴中）如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．A B=AC B．∠BAC=90°C．B D=AC D．∠B=45°3．（2011•南昌）如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是（）A．B D=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC C．∠B=∠C，BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC 4．（2011•梧州）如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA第4题第5题第6题5．（2009•武汉）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③=2；④．其中结论正确的是（）A．只有①②B．只有①②④C．只有③④D．①②③④6．（2008•沈阳）如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对7．（2002•鄂州）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③8．（2001•湖州）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）A．A B=3，BC=4，AC=8 B．A B=4，BC=3，∠A=30°C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D．∠C=90°，AB=69．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C；②∠B=∠D；③AE=CE；④BE=DE；⑤AD=CB．其中符合要求有（）A．2个B．3个C．4个D．5个第9题第10题第11题二．填空题（共7小题）10．（2013•柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=_________．11．（2011•郴州）如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有_________对全等三角形．12．（2010•钦州）如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，要使△ABC≌△BAD．你补充的条件是_________（只填一个）．第12题第14题第15题13．（2009•遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出_________个．14．（2009•湘潭）如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，已知DF∥BC，EF∥AB，请补充一个条件：_________，使△ADF≌△FEC．15．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有_________（填序号）．16．如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：_________，使△ABD≌△CBE．三．解答题（共8小题）17．（2012•河源）如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）求∠AEO的度数．18．（2009•铁岭）△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：△AEB≌△ADC；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．19．（2009•本溪）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=_________度；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．20．（2009•青海）请阅读，完成证明和填空．九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请证明：∠NOC=60度．（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=_________，且∠DON=_________度．（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=_________，且∠EON=_________度．（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：_________．21．（2007•常州）已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF 为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．22．（2007•山西）如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论）23．（2006•绍兴）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C l，∠C=∠C l．求证：△ABC≌△A1B1C1．（请你将下列证明过程补充完整．）证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1．则∠BDC=∠B1D1C1=90°，∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1．（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．24．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，求证：△CDE≌△EAF．2014年11月27日wcjzhoulan的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2013•邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC考点：全等三角形的判定；矩形的性质．专题：压轴题．分析：根据AD=DE，OD=OD，∠ADO=∠EDO=90°，可证明△AOD≌△EOD，OD为△ABE的中位线，OD=OC，然后根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形即可．解答：解：∵AD=DE，DO∥AB，∴OD为△ABE的中位线，∴OD=OC，∵在△AOD和△EOD中，，∴△AOD≌△EOD（SAS）；∵在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS）；∵△AOD≌△EOD，∴△BOC≌△EOD；故B、C、D均正确．故选A．点评：本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2012•巴中）如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．A B=AC B．∠BAC=90°C．B D=AC D．∠B=45°考点：全等三角形的判定．专题：压轴题．分析：此题是开放型题型，根据题目现有条件，AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，可以用HL判断确定，也可以用SAS，AAS，SSS判断两个三角形全等．解答：解：添加AB=AC，符合判定定理HL；添加BD=DC，符合判定定理SAS；添加∠B=∠C，符合判定定理AAS；添加∠BAD=∠CAD，符合判定定理ASA；选其中任何一个均可．故选：A．点评：本题主要考查了学生对三角形全等判断的几种方法的应用能力，既可以用直角三角形全等的特殊方法，又可以用一般方法判定全等，关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．3．（2011•南昌）如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是（）A．B D=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC C．∠B=∠C，D．∠B=∠C，BD=DC∠BAD=∠CAD考点：全等三角形的判定．专题：压轴题．分析：两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．解答：解：∵AD=AD，A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，故正确；B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，故正确；C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，故正确；D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，故错误．故选：D．点评：本题考查了全等三角形的几种判定方法．关键是根据图形条件，角与边的位置关系是否符合判定的条件，逐一检验．4．（2011•梧州）如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：首先根据角间的位置及大小关系证明∠BCD=∠ACE，再根据边角边定理，证明△BCE≌△ACD；由△BCE≌△ACD可得到∠DBC=∠CAE，再加上条件AC=BC，∠ACB=∠ACD=60°，可证出△BGC≌△AFC，再根据△BCD≌△ACE，可得∠CDB=∠CEA，再加上条件CE=CD，∠ACD=∠DCE=60°，又可证出△DCG≌△ECF，利用排除法可得到答案．解答：解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∴在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE（SAS），故A成立，∴∠DBC=∠CAE，∵∠BCA=∠ECD=60°，∴∠ACD=60°，在△BGC和△AFC中，∴△BGC≌△AFC，故B成立，∵△BCD≌△ACE，∴∠CDB=∠CEA，在△DCG和△ECF中，∴△DCG≌△ECF，故C成立，故选：D．点评：此题主要考查了三角形全等的判定以及等边三角形的性质，解决问题的关键是根据已知条件找到可证三角形全等的条件．5．（2009•武汉）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③=2；④．A．只有①②B．只有①②④C．只有③④D．①②③④考点：全等三角形的判定；等边三角形的判定；直角梯形．专题：压轴题．分析：根据题意，对选项进行一一论证，排除错误答案．解答：解：由题意可知△ACD和△ACE全等，故①正确；又因为∠BCE=15°，所以∠ACE=45°﹣15°=30°，所以∠ECD=60°，所以△CDE是等边三角形，故②正确；∵AE=AE，△ACD≌△ACE，△CDE是等边三角形，∴∠EAH=∠ADH=45°，AD=AE，∴AH=EH=DH，AH⊥DE，假设AH=EH=DH=x，∴AE=x，CE=2x，∴CH=x，∴AC=（1+）x，∵AB=BC，∴AB2+BC2=[（1+）x]2，解得：AB=x，BE=x，∴==，故③错误；④∵Rt△EBC与Rt△EHC共斜边EC，∴S△EBC：S△EHC=（BE×BC）：（HE×HC）=（EC×sin15°×EC×cos15°）：（EC×sin30°×EC×cos30°）=（EC2×sin30°）：（EC2×sin60°）=sin30°：sin60°=1：=EH：CH=AH：CH，故④正确．故其中结论正确的是①②④．故选B．点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识．注意对三角形全等，相似的综合应用．6．（2008•沈阳）如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，A．1对B．2对C．3对D．4对考点：全等三角形的判定；正方形的性质．专题：压轴题．分析：根据正方形的性质可得出：正方形的一条对角线平分一组对角，而且四边相等，根据边角边公理可证出△ABD≌△CBD，△ABF≌△CBF，△AFD≌△CFD，有三对全等的三角形，解答：解：∵AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，DF=DF；∴△ADF≌△CDF；同理可得：△ABF≌△CBF；∵AD=CD，AB=BC，BD=BD∴△ABD≌△CBD．因此本题共有3对全等三角形，故选C．点评：本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，是基础知识要熟练掌握．7．（2002•鄂州）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③考点：全等三角形的判定．专题：压轴题．分析：结合已知条件与全等三角形的判定方法进行思考，要综合运用判定方法求解．注意高的位置的讨论．解答：解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，∴△ADC≌△EDB，∴BE=AC，同理：B′E′=A′C′，∴BE=B′E′，AE=A′E′，∴△ABE≌△A′B′E′，∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，∴∠CAD=∠C′A′D′，∴∠BAC=∠B′A′C′，∴△BAC≌△B′A′C′．③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．故选A．点评：本题考查了全等三角形的判定方法；要根据选项提供的已知条件逐个分析，分析时看是否符合全等三角形的判定方法，注意SSA是不能判得三角形全等的．8．（2001•湖州）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）A．A B=3，BC=4，AC=8 B．A B=4，BC=3，∠A=30°C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D．∠C=90°，AB=6考点：全等三角形的判定．专题：作图题；压轴题．分析：要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得．解答：解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形；B、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；C、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形；D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．故选C．点评：此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不确定，当然不唯一．9．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C；②∠B=∠D；③AE=CE；④BE=DE；⑤AD=CB．其中符合要求有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：全等三角形的判定．专题：压轴题．分析：根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．解答：解：延长DA、BC使它们相交于点F．∵∠DAB=∠BCD，∠AED=∠BEC，∴∠B=∠D，又∵∠F=∠F，AB=CD，∴△FAB≌△FCD∴AF=FC，FD=FB，∴AD=BC∴△ADE≌△CBE①对同理可得②对∵AE=CE，AB=CD∴DE=BE又∵∠AED=∠BEC∴△ADE≌△CBE（SAS）③对同理可得④对连接BD，∵AD=CB，AB=CD，BD=BD，∴△ADB≌△CBD，∴∠A=∠C，∴△ADE≌△CBE故选D．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．难点在于添加辅助线来构造三角形全等．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．二．填空题（共7小题）10．（2013•柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=20．考点：全等三角形的性质．专题：压轴题．分析：先利用三角形的内角和定理求出∠A=70°，然后根据全等三角形对应边相等解答．解答：解：如图，∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∵△ABC≌△DEF，∴EF=BC=20，即x=20．故答案为：20．点评：本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．11．（2011•郴州）如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有3对全等三角形．考点：全等三角形的判定．专题：压轴题．分析：根据题意，结合图形，可得知△AEB≌△ADC，△BED≌△CDE，△BOD≌△COE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．解答：解：①△AEB≌△ADC；∵AE=AD，∠1=∠2=90°，∠A=∠A，∴△AEC≌△ADC；∴AB=AC，∴BD=CE；②△BED≌△CDE；∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵∠ADC=∠AEB，∴∠CDE=∠BED，∴△BED≌△CDE．③∵BD=CE，∠DBO=∠ECO，∠BOD=∠COE，∴△BOD≌△COE．故答案为3．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目12．（2010•钦州）如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，要使△ABC≌△BAD．你补充的条件是AC=BD或∠CBA=∠DAB（只填一个）．考点：全等三角形的判定．专题：压轴题；开放型．分析：根据已知条件在三角形中位置结合三角形全等的判定方法寻找条件．已知给出了一边对应相等，由一条公共边，还缺少角或边，于是答案可得．解答：解：欲证两三角形全等，已有条件：BC=AD，AB=AB，所以补充两边夹角∠CBA=∠DAB便可以根据SAS证明；补充AC=BD便可以根据SSS证明．故补充的条件是AC=BD或∠CBA=∠DAB．点评：本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．13．（2009•遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出7个．考点：全等三角形的判定．专题：压轴题．分析：只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一个，答案可得．解答：解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，所以一共能作出7个．故答案为：7．点评：本题考查了全等三角形的作法；做三角形时要根据全等的判断方法的要求，正确对每种情况进行讨论是解决本题的关键．14．（2009•湘潭）如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，已知DF∥BC，EF∥AB，请补充一个条件：AF=FC或DF=EC或AD=FE或F为AC中点或DF为中位线或EF为中位线或DE∥AC，使△ADF≌△FEC．考点：全等三角形的判定．专题：压轴题；开放型．分析：要使△ADF≌△FEC，现有条件是两平行线，可得三角形中两角对应相等，根据全等三角形的判定方法还需边对应相等，于是答案可得．解答：解：若添加AF=FC，已知DF∥BC，EF∥AB，得出∠ADF=∠ABC=∠FEC，∠AFD=∠C，可以根据AAS 来判定其全等，同理添加DF=EC，或AD=FC，均可以利用AAS来判定其全等．点评：本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．15．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有①②③（填序号）．考点：全等三角形的判定．专题：压轴题．分析：由已知条件，可直接得到三角形全等，得到结论，采用排除法，对各个选项进行验证从而确定正确的结论．解答：解：∵∠B+∠BAE=90°，∠C+∠CAF=90°，∠B=∠C∴∠1=∠2（①正确）∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF∴△ABE≌△ACF（ASA）∴AB=AC，BE=CF（②正确）∵∠CAN=∠BAM，∠B=∠C，AB=AC∴△ACN≌△ABM（③正确）∴CN=BM（④不正确）．所以正确结论有①②③．故填①②③．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．得到三角形全等是正确解决本题的关键．16．如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：BD=BE 或AD=CE或BA=BC，使△ABD≌△CEB．考点：全等三角形的判定．专题：压轴题；开放型．分析：要使△ABD≌△CEB，现有一对直角相等，根据全等三角形的判定方法进行分析，还需要一边对应相等，观察图形可得到答案．解答：解：已知∠B=∠B，∠BDA=∠BEC=90°，则再添加一个边相等即可，所以可添加BD=BE或AD=CE或BA=BC，从而利用AAS或ASA来判定△ABD≌△CEB，故答案为：BD=BE或AD=CE或BA=BC．点评：本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．三．解答题（共8小题）17．（2012•河源）如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）求∠AEO的度数．考点：全等三角形的判定．专题：证明题；压轴题．分析：（1）由已知可以利用AAS来判定其全等；（2）再根据等腰三角形三线合一的性质即可求得其为直角．解答：（1）证明：在△AOB和△COD中∵∴△AOB≌△COD（AAS）（2）解：∵△AOB≌△COD，∴AO=DO∵E是AD的中点∴OE⊥AD∴∠AEO=90°点评：此题考查了学生对全等三角形的判定及等腰三角形的性质的掌握，要熟练掌握这些性质并能灵活运用．18．（2009•铁岭）△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：△AEB≌△ADC；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．考点：全等三角形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，然后求出∠BAE=∠CAD，再利用“边角边”证明△AEB和△ADC全等；②四边形BCGE是平行四边形，因为△AEB≌△ADC，所以可得∠ABE=∠C=60°，进而证明∠ABE=∠BAC，则可得到EB∥GC又EG∥BC，所以四边形BCGE是平行四边形；（2）根据（1）的思路解答即可．（3）当CD=CB时，四边形BCGE是菱形，由（1）可知△AEB≌△ADC，可得BE=CD，再证明BE=CB，即邻边相等的平行四边形是菱形．解答：证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．又∵∠EAB=∠EAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，∴∠EAB=∠DAC，∴△AEB≌△ADC（SAS）．②方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴∠ABE=∠C=60°．又∵∠BAC=∠C=60°，∴∠ABE=∠BAC，∴EB∥GC．又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．（2）①②都成立．（3）当CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形．理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD又∵CD=CB，∴BE=CB．由②得四边形BCGE是平行四边形，∴四边形BCGE是菱形．方法二：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD．又∵四边形BCGE是菱形，∴BE=CB∴CD=CB．方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，∴BE∥CG，EG∥BC，∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等边三角形．又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，∴AB=BE=BF，∴AE⊥FG∴∠EAG=30°，∵∠EAD=60°，∴∠CAD=30°．点评：本题主要考了平行线四边形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，解题关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论．19．（2009•本溪）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=90度；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．考点：全等三角形的判定；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：（1）问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；（2）问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和；（3）问是第（1）问和第（2）问的拓展和延伸，要注意分析两种情况．解答：解：（1）90°．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，∴∠BCE=∠B+∠ACB，又∵∠BAC=90°∴∠BCE=90°；（2）①α+β=180°，理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；②当点D在射线BC上时，α+β=180°；理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，∴α+β=180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．理由：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，∴∠BAC=∠BCE，即α=β．点评：本题考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．本题的亮点是由特例引出一般情况．20．（2009•青海）请阅读，完成证明和填空．九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请证明：∠NOC=60度．（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=，且∠DON=度．（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=，且∠EON=度．（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：．考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质；正多边形和圆．专题：压轴题；阅读型．分析：（1）利用△ABC是正三角形，可得∠A=∠ABC=60°，AB=BC，又因BM=AN，所以△ABN≌△BCM，∠ABN=∠BCM，所以∠NOC=∠BCM+∠OBC=∠ABN+∠OBC=60°；（2）同（1）利用三角形全等，可知在正方形中，AN=DM，∠DON=90°；（3）同（1），利用三角形全等可知在正五边形中，AN=EM，∠EON=108°；（4）以上所求的角恰好等于正n边形的内角．（10分）解答：（1）证明：∵△ABC是正三角形，∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC，在△ABN和△BCM中，，∴△ABN≌△BCM，（2分）∴∠ABN=∠BCM，又∵∠ABN+∠OBC=60°，∴∠BCM+∠OBC=60°，∴∠NOC=60°；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAM=∠ABN=90°，AD=AB，又∵AM=BN，∴△ABN≌△DAM（SAS），∴AN=DM，∠ADM=∠BAN，又∵∠ADM+∠AMD=90°，∴∠BAN+∠AMD=90°∴∠AOM=90°；即∠DON=90°．（3）解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠A=∠B，AB=AE，又∵AM=BN，∴△ABN≌△EAM，∴AN=ME，∴∠AEM=∠BAN，∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°；（4）解：以上所求的角恰好等于正n边形的内角．（10分）注：学生的表述只要合理或有其它等价且正确的结论，均给分．本题结论着重强调角和角的度数．点评：本题需仔细分析图形，利用三角形全等即可解决问题，本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．21．（2007•常州）已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF 为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．考点：全等三角形的判定；等边三角形的判定．专题：证明题；压轴题．分析：（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE．（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等边三角形．解答：证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）∴FA=EC（等量加等量和相等）．（1分）∵△DEF是等边三角形（已知），∴EF=DE（等边三角形的性质）．（2分）又∵AE=CD（已知），∴△AEF≌△CDE（SSS）．（4分）（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），△DEF是等边三角形（已知），∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），∴∠BCA=60°（等量代换），由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．（6分）∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．（7分）点评：本题利用了等量加等量和相等，全等三角形的判定和性质，还有三角形的外角等不相邻的两个内角之和，等边三角形的判定（三个角都是60°，那么就是等边三角形）．22．（2007•山西）如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论）考点：全等三角形的判定；正方形的性质．专题：压轴题；探究型．分析：根据正方形的性质得到相关的条件找出全等的三角形：△ADE≌△ABC，△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF；利用全等的关系求出∠AHD=90°，得到AE⊥DF；同时可判定BM=MC．解答：解：（1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF．（2）AE⊥DF．证明：设AE与DF相交于点H．。
初二全等三角形压轴题 附答案
全等三角形压轴题1.如图，已知BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分别是D、E，AB=AC，∠BAC=90°，试探索DE、BD、CE长度之间的关系，并说明你的结论的正确性．2.已知四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE＝AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；3.如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．4.已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ＝AC，点F在CE 的延长线上，CF＝AB，求证：AF⊥AQ．5.阅读下题及证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，求证：∠BAE＝∠CAE．证明：在△AEB和△AEC中，∵EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，AE＝AE，∴△AEB≌△AEC…第一步∴∠BAE＝∠CAE…第二步问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．6.如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为____，线段CF、BD的数量关系为____；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；7.一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP＝CD．（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）8.探究问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为_____．拓展问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M 在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．9．已知：直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，如图（1）若S△CBD=6cm2，则S△ADCcm2（2）若S△AOB=S△COD，那么△ACD≌△DBA吗？说明你的理由．10.（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE ＝90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE 在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC＝AD：AE＝1，∠BAC＝∠DAE≠90°；乙：AB：AC＝AD：AE≠1，∠BAC＝∠DAE＝90°；丙：AB：AC＝AD：AE≠1，∠BAC＝∠DAE≠90°．11．（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边1∠BAD．BC、CD上的点，且∠EAF=2求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？CD上的点，且∠EAF=2（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？BC、CD延长线上的点，且∠EAF=2若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．12.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据 _____，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，若________，则△ABC≌△DEF．13.问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是BC，1∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；CD上的点，且∠EAF＝2实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．14.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．15.已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB 之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．16.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．。
专题01 全等三角形(原卷版)21-22年八年级数学上册压轴题专题精选(苏科版)
2021-2022学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题01 全等三角形一．选择题1．（2021春•温江区期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离．在这个问题中，可作为证明△SAB≌△DCB的依据的是（）A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS2．（2021春•宁波期末）如图，正方形ABCD被分割成2个长方形和1个正方形，要求图中阴影部分的面积，只要知道下列图形的面积是（）A．长方形AEFD B．长方形BEGH C．正方形CFGH D．长方形BCFE 3．（2021•哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（）A．30°B．25°C．35°D．65°4．（2021春•市中区期末）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠F AC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（）个．A．1B．2C．3D．45．（2020秋•江岸区期末）如图，四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于O点，且分别平分∠DAB和∠ABC，若BO＝4OD，则的值为（）A．B．C．D．6．（2020秋•宜兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A．B．C．D．7．（2020•哈尔滨模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝2∠B，F是BC的中点，EF∥AD交AB于点E，且BE＝4AE，若CD＝4，则AB的长为（）A．10B．9C．8D．68．（2020春•达川区期末）如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE．下列结论：①AE ＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN，⑤AD∥NE．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2019秋•新洲区期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝CD，过点D作AB的垂线交AB的延长线于点E．若AB＝2DE，则∠BAC的度数为（）A．45°B．30°C．22.5°D．15°二．填空题10．（2021春•崇川区校级月考）如图，将边长都为cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、A n分别是正方形的中心，则2021个这样的正方形重叠部分的面积和为．11．（2021春•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是．12．（2020秋•蜀山区期末）如图AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，则∠B的度数是．13．（2021春•泗县期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝．14．（2020秋•兰山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝时，△ABC和△APQ全等．15．（2021春•和平区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论：①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③△ABD≌△CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的是．（只填写序号）16．（2021•宁波模拟）在△ABC和△A1B1C1中，已知AC＝A1C1＝2，BC＝4，B1C1＝3，∠C＝120°，∠C1＝60°，点D，D1分别在边AB，A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．17．（2021春•洪山区期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，点E在AB上，点F在BC上，且EF＝12，CF＝6，D是AC的中点，若∠EDF＝90°，则AE＝．18．（2020秋•增城区期末）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD ＝EF＝EC；④AE＝EC，其中正确的是（填序号）三．解答题19．（2020秋•来宾期末）如图，在五边形ABCDE中，AB＝DE，AC＝AD．（1）请你添加一个与角有关的条件，使得△ABC≌△DEA，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若∠CAD＝65°，∠B＝110°，求∠BAE的度数．20．（2021春•萧山区月考）如图，在△ABC中，OE⊥AB与点E，OF⊥AC与点F，且OE＝OF．（1）如图①，当O为BC中点时，试说明AB＝AC；（2）如图②，当点O在△ABC内部，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．21．（2021春•南山区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝，∠AED＝．（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．22．（2021•雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD中，点E、点F分别在AB、CD上，且AE＝CF，分别过点A、C向EF作垂线，垂足分别为点G、点H，且AG＝CH．求证：AB∥CD．23．（2021•镇海区模拟）如图，已知△ABC和△CDE均是直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，AB⊥CD于点F．（1）求证：△ABC≌△CDE；（2）若点B是EC的中点，DE＝10cm，求AE的长．24．（2021春•章丘区期末）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD 上两点，且∠BEC＝∠CF A＝α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE CF；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论们然成立，并说明明理由；（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，a＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．25．（2021春•岳麓区月考）如图，以锐角△ABC的边AB，AC为底边分别向外作等腰△ABD，△ACE，且满足∠ADB＝2∠EAC，若M为边BC的中点，求证：MD⊥ME．26．（2021春•镇海区校级期末）如图1，在△ABC中，AC＝BC，D、E、F分别是直线AC、AB、BC上的点，且AD＝BE，AE＝BF．（1）求证：ED＝EF；（2）若∠ACB＝130°，求∠DEF的度数；（3）如图2，当E为AB的中点时，过点E作EH⊥DF交于点H，若EH＝5，CD＝3，S△CAB＝45，请求出AB的长．27．（2021•顺义区一模）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，∠A＝α．（1）求出∠DCB的大小（用含α的式子表示）；（2）延长CD至点E，使CE＝AC，连接AE并延长交CB的延长线于点F．①依题意补全图形；②用等式表示线段EF与BC之间的数量关系，并证明．。
专题03 全等三角形压轴题真题(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题03高分必刷题-全等三角形压轴题真题（解析版）题型一：全等三角形小压轴题考向1：多项选择题1．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④【解答】解：∵∠EAF＝∠BAC，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△F AB≌△EAC（SAS），故①正确，∴BF＝EC，故②正确，∴∠ABF＝∠ACE，∵∠BDF＝∠ADC，∴∠BFC＝∠DAC，∵∠DAC＝∠EAF，∴∠BFC＝∠EAF，故③正确，无法判断AB＝BC，故④错误，故选：A．2．如图，△ABC中，∠C＝90°、AD是角平分线，E为AC边上的点，DE＝DB，下列结论：①∠DEA+∠B＝180°；②∠CDE＝∠CAB；③AC＝（AB+AE）；④S△ADC＝S四，其中正确的结论个数为（）边形ABDEA．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：如图，过D作DF⊥AB于F，∵∠C＝90°，AD是角平分线，∴DC＝DF，∠C＝∠DFB，又∵DE＝DB，∴Rt△CDE≌Rt△FDB，∴∠B＝∠CED，∠CDE＝∠FDB，CE＝BF，又∵∠DEA+∠DEC＝180°，∴∠DEA+∠B＝180°，故①正确；∵∠C＝∠DFB，∠B＝∠B，∴∠BDF＝∠BAC，∴∠CDE＝∠CAB，故②正确；∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠F AD，又∵∠C＝∠AFD，AD＝AD，∴△ACD≌△AFD，∴AC＝AF，∴AB+AE＝（AF+FB）+（AC ﹣CE）＝AF+AC＝2AC，∴AC＝（AB+AE），故③正确；∵Rt△CDE≌Rt△FDB，∴S△CDE＝S△FDB，∴S四边形ABDE＝S四边形ACDF，又∵△ACD≌△AFD，∴S△ACD＝S△ADF，∴S△ADC＝S四边形ACDF＝S四边形ABDE，故④正确；故选：A．3．如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE，CD 与GF，下列结论正确的有（）①AE＝DC；②∠AHC＝120°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠AHC；⑤GF∥AC．A．①②④B．①③⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤【解答】解：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE ＝60°，∵∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°，∵BA＝BD，∠ABD＝∠DBC，BE＝BC，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE＝DC，所以①正确；∠BAE＝∠BDC，∵∠BDC+∠BCD ＝∠ABD＝60°，∴∠BAE+∠BCD＝60°，∴∠AHC＝180°﹣（∠BAH+∠BCH）＝180°﹣60°＝120°，所以②正确；∵∠BAG＝∠BDF，BA＝BD，∠ABG＝∠DBF＝60°，∴△AGB≌△DFB（ASA）；所以③正确；∵△ABE≌△DBC，∴AE和DC边上的高相等，即B点到AE和DC的距离相等，∴BH平分∠AHC，所以④正确；∵△AGB≌△DFB，∴BG＝BF，∵∠GBF＝60°，∴△BGF为等边三角形，∴∠BGF＝60°，∴∠ABG＝∠BGF，∴GF∥AC，所以⑤正确．故选：D．考向2：动点问题4．如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，BC＝8cm，BD＝6cm，如果点P在线段BC上以1cm/s 的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设点Q的速度为xcm/s，则当△BPD与△CQP全等时，x＝1或．【解答】解：设运动的时间为ts，则BP＝t，PC＝8﹣t，CQ＝tx，∵∠B＝∠C，∴当BD＝CQ，BP＝CP时，△BPD≌△CPQ（SAS），即tx＝6，t＝8﹣t，解得t＝4，x＝；当BD＝CP，BP＝CQ时，△BPD≌△CQP（SAS），即8﹣t＝6，t＝tx，解得t＝2，x＝1；综上所述，x的值为1或．故答案为1或．5．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等．x的值为1或1.5．【解答】解：要使△ACP与△BPQ全等，有两种情况：①AP＝BQ，∵点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，∴x＝1；②AC＝BQ＝3cm，AP＝BP＝AB＝＝2cm，∴时间为＝2秒，即x＝＝1.5，所以x的值是1或1.5.题型二：全等三角形的大压轴题6．根据全等多边形的定义，我们把四个角，四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边形，记作：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．（1）若四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，已知AB＝3，BC＝4，AD＝CD＝5，∠B＝90°，∠D＝60°，则A1D1＝5，∠B1＝90°，∠A1+∠C1＝210°．（直接写出答案）；（2）如图1，四边形ABEF≌四边形CBED，连接AD交BE于点O，连接OF，求证：∠AOB＝∠FOE；（3）如图2，若AB＝A1B1，BC＝B1C1，CD＝C1D1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．【解答】解：（1）∵四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，∴A1D1＝AD＝5，∠B1＝∠B＝90°，∠D＝∠D1＝60°，∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，∵∠A+∠C＝160°﹣90°﹣60°＝210°，∴∠A1+∠C1＝210°，故答案为5，90°，210°．（2）如图1中，∵四边形ABEF≌四边形CBED，∴EF＝ED，∠FEO＝∠DEO，∵EO＝EO，∴△FEO≌△DEO（SAS），∴∠EOF＝∠DOE，∵∠AOB＝∠DOE，∴∠AOB＝∠EOF．（3）如图2中，连接AC，A1C1．∵AB＝A1B1，∠B＝∠B1，BC＝B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1，∴AC＝A1C1，∠BAC＝∠B1A1C1，∠BCA＝∠B1C1A1，∵AD＝A1D1，CD＝C1D1，∴△ADC≌△A1D1C1（SSS），∴∠D＝∠D1，∠DAC＝∠D1A1C1，∠ACD＝∠A1C1D1，∴∠BAD＝∠B A A1D1，∠BCD ＝∠B1C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．7．（1）如图1，已知∠EOF＝120°，OM平分∠EOF，A是OM上一点，∠BAC＝60°，且与OF、OE分别相交于点B、C，求证：AB＝AC；（2）如图2，在如上的（1）中，当∠BAC绕点A逆时针旋转使得点B落在OF的反向延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，已知∠AOC＝∠BOC＝∠BAC＝60°，求证：①△ABC是等边三角形；②OC＝OA+OB．【解答】（1）证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，则∠AHO＝∠AGO＝90°，∵∠EOF＝120°，∴∠HAG＝60°＝∠BAC，∴∠HAG﹣∠BAH＝∠BAC﹣∠BAH，∴∠BAG ＝∠CAH，∵OM平分∠EOF，AG⊥OF，AH⊥OE，∴AG＝AH，在△BAG和△CAH中，∵，∴△BAG≌△CAH（ASA），∴AB＝AC；（2）结论还成立，证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，与（1）证法类似根据ASA 证△BAG≌△CAH（ASA），则AB＝AC；（3）证明：①如图，∠FOA＝180°﹣120°＝60°，∠FOC＝60°+60°＝120°，即OM 平分∠COF，由（2）知：AC＝AB，∵∠CAB＝60°，∴△ABC是等边三角形；②在OC上截取BO＝ON，连接BN，∵∠COB＝60°，∴△BON是等边三角形，∴ON＝OB，∠OBN＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°＝∠NBO，∴都减去∠ABN 得：∠ABO＝∠CBN，在△AOB和△CNB中∵，∴△AOB≌△CNB（SAS），∴NC＝OA，∴OC＝ON+CN＝OB+OA，即OC＝OA+OB．8．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求证m+n为定值，并求出其值．【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，则∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS）∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，∵DQ⊥OP，DE⊥OE，∠POE＝90°∴四边形OEDQ是矩形，∴OE＝QD，DE＝OQ，∴OP＝PQ+OQ＝DE+PQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴QP＝AO＝2，∴OP﹣DE＝2；（3）结论②是正确的，m+n＝﹣4，理由如下：如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT ⊥y轴于T点，∴FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS）∴GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），∴OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，∴﹣2﹣m＝n+2，∴m+n＝﹣4．9．在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC 上，且点F与点C不重合）时，若AG：AB＝5：13，BC＝4，求DE+DF的值．【解答】解：（1）猜想：BF＝CG．理由：如图1．∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴S△ABC＝AC•BF＝AB•CG．∵AB＝AC，∴BF＝CG；（2）猜想：DE+DF＝CG．理由：连接AD，如图2．∵DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB，∴S△ACD＝AC•DF，S△ABD＝AB•DE，S△ABC＝AB•CG．∵S△ACD+S△ABD＝S△ABC，∴AC•DF+AB•DE＝AB•CG．∵AB＝AC，∴DF+DE＝CG；（3）连接AD，如图3．同（2）可得：DF+DE＝CG．设AG＝5x，∵AG：AB＝5：13，AB ＝AC，∴AC＝AB＝13x．∴∠G＝90°，∴GC＝＝12x．在Rt△BGC中，∵BG＝AB+AG＝13x+5x＝18x，GC＝12x，BC＝4，∴（18x）2+（12x）2＝（4）2，解得：x＝，∴DE+DF＝CG＝12x＝8．10．如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0）、B（0，5），AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，BC⊥CD．（1）求证：∠ABO＝∠CAD；（2）求点D坐标；（3）如图2，若OC＝OB＝5，E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点，且∠BEO＝45°，OE交BC于点F，求BF的长．【解答】解：（1）如图1，在四边形ABCD中，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BAD+∠BCD ＝180°，∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠BAD＝90°．∴∠BAC+∠CAD＝90°，又∵∠BAC+∠ABO＝90°．∴∠ABO＝∠CAD．（2）如图1，过点D作DG⊥AC，∴∠AGD＝∠BOA＝90°，又∵∠ABO＝∠CAD，AB＝AD，∴△ABO≌△DAG（AAS），∴DG＝AO＝2，AG＝BO＝5，∴OG＝AG﹣AO＝3，则点D的坐标为（3，﹣2）；（3）如图2，过点E作EH⊥BC于点H，作EG⊥x轴于点G，∵E点在∠BCO的邻补角的平分线上，∴EH＝EG．又∵∠BCO＝∠BEO＝45°，∴∠EBC＝∠EOC．∴△EBH≌△EOG（AAS），∴EB＝EO．又∵∠BEO＝45°，∴∠EBO＝∠EOB＝67.5°，∵∠OBC＝45°，∴∠BOE＝∠BFO＝67.5°．∴BF＝BO＝5．11．在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、C在y轴上，且点B与点C关于x轴对称，点D在线段AB上，点E为该坐标平面内一点．（1）已知BD＝CE．①如图1，若点E在线段AC上，求证：CD＝BE；②如图2，若点E在线段BC上，且∠DEA＝∠ABC，求证：∠ACO＝2∠OAE．（2）如图3，已知BD＝AE，点E在线段CA的延长线上，F为CD中点，且∠OAB＝30°，求证：BF⊥EF．【解答】证明：（1）①∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，∴∠CBD＝∠BCE，在△CBD和△BCE中，，∴△CBD≌△BCE（SAS），∴CD＝BE；②∵∠DEA+∠DEB＝∠ACB+∠CAE，∠DEA＝∠ABC＝∠ACB，∴∠DEB＝∠CAE，在△BED和△CAE中，，∴△BED≌△CAE（AAS），∴BE＝AC＝AB，∴∠BEA＝∠BAE，∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，OB＝OC，∴∠BAO＝∠CAO，∴∠BAE＝2∠CAO﹣∠EAC＝2∠OAE+∠EAC，∵∠DEB＝∠CAE，∴∠DEA＝2∠OAE，∵∠DEA＝∠ABC＝∠ACO，∴∠ACO＝2∠OAE；（2）延长BF到点G，使BF＝FG，连接CG、EG、BE，如图3所示：∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，OB＝OC，∴∠OAB＝∠OAC＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴CB＝AB，∠BCA＝60°，∵F为DC中点，∴DF＝CF，在△BDF和△GCF中，，∴△BDF≌△GCF（SAS），∴CG＝BD＝AE，∠CGF＝∠DBF，∴BD∥CG，∴∠GCA＝∠BAC＝60°，∴∠BCG＝∠BCA+∠GCA＝60°+60°＝120°，∵∠BAE＝180°﹣∠OAB﹣∠EAx＝180°﹣∠OAB﹣∠OAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠BCG＝∠BAE，在△BCG和△BAE中，，∴△BCG≌△BAE（SAS），∴∠CBG＝∠ABE，BG＝BE，∵∠CBG+∠GBA＝60°，∴∠ABE+∠GBA＝60°，即∠GBE ＝60°，∴△GBE是等边三角形，∵F是BG的中点，∴EF⊥BG，∴BF⊥EF．12．如图，平面直角坐标系中，已知点A（a﹣1，a+b），B（a，0），且+（a﹣2b）2＝0，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰△ACD，使AD＝AC，∠CAD＝∠OAB，直线DB交y轴于点P．（1）求证：AO＝AB；（2）求证：OC＝BD；（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？【解答】证明：（1）∵+（a﹣2b）2＝0，≥0，（a﹣2b）2≥0，∴＝0，（a﹣2b）2＝0，解得：a＝2，b＝1，∴A（1，3），B（2，0），∴OA＝＝，AB＝＝，∴OA＝AB；（2）∵∠CAD＝∠OAB，∴∠CAD+∠BAC＝∠OAB+∠BAC，即∠OAC＝∠BAD，在△OAC 和△BAD中，，∴△OAC≌△BAD（SAS），∴OC＝BD；（3）点P在y轴上的位置不发生改变．理由：设∠AOB＝∠ABO＝α，∵由（2）知△AOC≌△ABD，∴∠ABD＝∠AOB＝α，∵OB ＝2，∠OBP＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝180°﹣2α为定值，∵∠POB＝90°，∴OP长度不变，∴点P在y轴上的位置不发生改变．13．在△ABC中，∠A＜60°，以AB，AC为边分别向外作等边△ABD，△ACE，连接DC，BE交于点H．（如图1）（1）求证：△DAC≌△BAE；（2）求DC与BE相交的∠DHB的度数；（3）又以BC边向内作等边三角形△BCF，连接DF（如图2），试判断AE与DF的位置与数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABD、△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE．（2）如图1中，∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC＝∠ABE，∵∠AOD＝∠BOH，∠AOD+∠ADC+∠DAO＝180°，∠BOH+∠OHB+∠ABE＝180°，∴∠OHB＝∠DAO＝60°，∴∠DHB＝60°．（3）结论AE＝DF，AE∥FD．如图2中，连接EF，∵△ABD，△BCF，△ACE都是等边三角形，∴BD＝BA＝AD，BF＝BC，CA＝CE＝AE，∠ABD＝∠CBF＝∠BCF＝∠ACE＝60°，∴∠DBF＝∠CBA，∠BCA＝∠ECF，在△ABC和△DBF中，，∴△ABC≌△DBF，同理△ABC≌△EFC，∴DF＝AC＝AE，EF＝AB＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形，∴DF＝AE，DF∥AE．14．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）作CH⊥y轴于H，如图1，∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），∴OA＝3，OB＝1，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，在△ABO和△BCH中，∴△ABO≌△BCH，∴OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，∴OH＝OB+BH＝1+3＝4，∴C（﹣1，4）；（2）OA＝CD+OD．理由如下：如图2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC ＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，在△ABO和△BCD中，∴△ABO≌△BCD，∴OB＝CD，OA＝BD，而BD＝OB+OD＝CD+OD，∴OA＝CD+OD；（3）CF＝AE．理由如下：如图3，CF和AB的延长线相交于点D，∴∠CBD＝90°，∵CF⊥x，∴∠BCD+∠D＝90°，而∠DAF+∠D＝90°，∴∠BCD＝∠DAF，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（ASA），∴AE＝CD，∵x轴平分∠BAC，CF⊥x轴，∴CF＝DF，∴CF＝CD＝AE．15．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD 的右侧作△ADE，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，写出△ABD≌△ACE的理由；（2）如图2，当点D在线段BC上，∠BAC＝90°，直接写出∠BCE的度数；（3）如图3，若∠BCE＝α，∠BAC＝β，点D在线段CB的延长线上时，则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°；（3）解：α＝β．理由如下：同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠BCE＝α，∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠ACB+α，∵∠ABD是△ABC的一个外角，∴∠ABD＝∠ACB+∠BAC＝∠ACB+β，∴α＝β．。
初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初二全等三角形所有知识点总结和常考题知识点：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.常考题：一．选择题（共14小题）1．使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等2．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC3．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点5．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°6．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处7．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．58．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D9．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC=5，DE=2，则△BCE 的面积等于（ ）A ．10B ．7C ．5D ．410．要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ）A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．边边角11．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：512．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP 由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS13．下列判断正确的是（ ）A ．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等14．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二．填空题（共11小题）15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D 到线段AB的距离是cm．16．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是．17．如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=°．18．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=．19．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店．20．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=cm．21．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是度．22．如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=度．23．如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是．24．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为．25．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG ⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=cm．三．解答题（共15小题）26．已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．27．已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．28．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．29．如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．30．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．31．如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．32．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE 上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．33．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D 为AB边上一点．求证：BD=AE．34．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．35．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．36．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．37．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．38．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．求证：（1）DF∥BC；（2）FG=FE．39．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．（1）求证：AD=AG；（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．40．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC 的哪条边上相遇？初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2013•西宁）使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．2．（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC【分析】求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选C、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．3．（2014秋•江津区期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选D．【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．4．（2007•中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：D．【点评】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项5．（2011•呼伦贝尔）如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°【分析】本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，∴∠ACA′=∠B′CB，又∠B′CB=30°∴∠ACA′=30°．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解．6．（2000•安徽）如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．7．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．5【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC =S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．8．（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【解答】解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．（2015•湖州）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，=BC•EF=×5×2=5，∴S△BCE故选C．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．10．（1998•南京）要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ）A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．边边角【分析】由已知可以得到∠ABC=∠BDE ，又CD=BC ，∠ACB=∠DCE ，由此根据角边角即可判定△EDC ≌△ABC ．【解答】解：∵BF ⊥AB ，DE ⊥BD∴∠ABC=∠BDE又∵CD=BC ，∠ACB=∠DCE∴△EDC ≌△ABC （ASA ）故选B ．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．11．（2017•石家庄模拟）如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C ． 故选C ．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．12．（2009•鸡西）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP 由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．【解答】解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；∴在△OCP和△ODP中，∴△OCP≌△ODP（SSS）．故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．13．（2002•河南）下列判断正确的是（）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，对比选项进行分析．【解答】解：A、只有两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形或者直角三角形时，才能成立；B、30°角没有对应关系，不能成立；C、如果这个角是直角，此时就不成立了；D、符合全等三角形的判断方法：AAS或者ASA．故选D．【点评】本题要求对全等三角形的几种判断方法熟练运用，会对特殊三角形全等进行分析判断．14．（2006•十堰）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．【解答】解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．二．填空题（共11小题）15．（2006•芜湖）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D到线段AB的距离是3cm．【分析】求D点到线段AB的距离，由于D在∠BAC的平分线上，只要求出D到AC的距离CD即可，由已知可用BC减去BD可得答案．【解答】解：CD=BC﹣BD，=8cm﹣5cm=3cm，∵∠C=90°，∴D到AC的距离为CD=3cm，∵AD平分∠CAB，∴D点到线段AB的距离为3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的性质；知道并利用CD是D点到线段AB的距离是正确解答本题的关键．16．（2013•邵东县模拟）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是5．【分析】要求△ABD的面积，有AB=5，可为三角形的底，只求出底边上的高即可，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△ABD的高就是CD的长度，所以高是2，则可求得面积．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离=CD=2，∴△ABD的面积是5×2÷2=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．注意分析思路，培养自己的分析能力．17．（2016秋•宁城县期末）如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=135°．【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1=∠DBE，又∵∠DBE+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°．∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．故填135．【点评】此题综合考查角平分线，余角，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．18．（2013•柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=20．【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠A=70°，然后根据全等三角形对应边相等解答．【解答】解：如图，∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∵△ABC≌△DEF，∴EF=BC=20，即x=20．故答案为：20．【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．19．（2009•杨浦区二模）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带③去玻璃店．【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故答案为：③．【点评】这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．20．（2015秋•西区期末）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=4cm．【分析】先根据平行线的性质求出∠ADE=∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB=9cm即可求出BD的长．【解答】解：∵AB∥CF，∴∠ADE=∠EFC，∵∠AED=∠FEC，E为DF的中点，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF=5cm，∵AB=9cm，∴BD=9﹣5=4cm．故填4．【点评】本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定定理及性质，比较简单．21．（2009秋•南通期末）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是35度．【分析】过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，即可求得∠EAB的度数．【解答】解：过点E作EF⊥AD，∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，∴CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB=∠EAF．又∵∠CED=35°，∠C=90°，∴∠CDE=90°﹣35°=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°，∴∠EAB=35°．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．22．（2012秋•合肥期末）如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=50度．【分析】先运用三角形内角和定理求出∠C，再运用全等三角形的对应角相等来求∠AED．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=180﹣∠B﹣∠BAC=50°，又∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠C=50°，∴∠AED=50度．故填50【点评】本题考查的是全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等．是需要识记的内容．23．（2015秋•蒙城县期末）如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS．【分析】已知二边和夹角相等，利用SAS可证两个三角形全等．【解答】解：∵OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）所以理由是SAS．【点评】本题考查了三角形全等的应用；根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法，题目不难．24．（2011•河南）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为4．【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得AD=DP，由AD的长可得DP的长．【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD=DP，又AD=4，∴DP=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、角平分线的性质，解题的关键在于确定好DP垂直于BC．25．（2015•鄂尔多斯）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= 4cm．【分析】如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．三．解答题（共15小题）26．（2008•北京）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．【分析】根据AB∥ED推出∠B=∠E，再利用SAS判定△ABC≌△CED从而得出AC=CD．【解答】证明：∵AB∥ED，∴∠B=∠E．在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED．∴AC=CD．【点评】本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考数学试卷，每一年都有一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明显．27．（2007•北京）已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．【分析】根据角平分线的性质得出∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，从而推出∠AOB=∠COD，再利用SAS判定其全等从而得到AB=CD．【解答】证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线，∴∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP．∴∠AOB=∠COD．在△AOB和△COD中，．∴△AOB≌△COD．∴AB=CD．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，以及全等三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．本题比较简单，读已知时就能想到要用全等来证明线段相等．28．（2014•黄冈）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，求证：DE=DF．【分析】连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．【解答】证明：连接AD，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SSS），∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE=DF．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．29．（2013•常州）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．【分析】根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可．【解答】证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．30．（2008•重庆）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．【分析】（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC ≌△DFC．（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF⇒∠ABD=∠BDF，又BF=DF⇒∠DBF=∠BDF，∴∠ABD=∠EBD，BD=BD，再证明∠BDA=∠BDC则可，容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC．。
全等三角形压轴题及分类解析
8年级三角形综合题归类一、双等边三角形模型1. (1)如图7点0是线段AD的中点，分别以A0和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求/ AEB的大小；(2)如图8, △ OAB固定不动，保持△ OCD的形状和大小不变，将厶OCD绕着点O旋转(△OAB^D A OCD不能重叠)，求/ AEB的大小.2.已知：点C为线段AB上一点，△ ACM A CBN都是等边三角形，且AN BM相交于O.①求证：AN=BM②求/ AOB的度数。
③若AIN MC相交于点P, BM NC交于点Q,求证：PQ// AB同类变式：如图a,A ABC和厶CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C, 连接AF和BE.⑴线段AF和BE有怎样的大小关系请证明你的结论；(2)将图a中的△ CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b, (1)中的结论还成立吗作出判断并说明理由；(3)若将图a中的△ ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗作出判断不必说明理由CD BE , △ AMN是等边三角形.(湘潭•中考题)3.如图9,(1)当把△ ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD BE是否仍然成立若成立，请证明;若不成立，请说明理由；(2)当厶ADE绕A点旋转到图11的位置时，△ AMN是否还是等边三角形若是，请给出证明，若不是，请说明理由.BAC DAE ,且点B, A, D在一条直线上，连接BE, CD, M , N分别为BE, CD 的中点.(1)求证：① BE CD :② AM AN ；(2)在图①的基础上，将△ ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立•4.如图，四边形ABCD^四边形AEFG匀为正方形，连接BG与DE相交于点H(1)证明：△ ABG 也△ ADE;(2)试猜想BHD的度数，并说明理由；同类变式：已知，如图①所示，在△ ABC和△ ADE中, AB AC , AD AE , 图9 图10 图11图①图②(3)将图中正方形ABC哦点A逆时针旋转(0°< BAE v 180° ),设厶ABE勺面积为$ , △ ADG勺面积为S2，判断^与S2的大小关系，并给予证明.n5.已知：如图，△ ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG // BC，交AC于点G , 在GD 的延长线上取点E ,使DE DB，连接AE, CD .(1)求证：△ AGE =△ DAC ；(2)过点E作EF // DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△ AEF是怎样的三角形，试证明你的结论.二、垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)考点1:利用垂直证明角相等1.如图，△ ABC中，/ ACB= 90°, AC= BC AE是BC边上的中线，过C作CF1AE,垂足为F,过B作BDL BC交CF的延长线于D.求证：(1) AE= CD (2)若AC= 12 cm，求BD的长.2. （西安中考）如图 ⑴， 已知△ ABC 中,/ BAC=90, AB=AC, AE 是过A的一条直线,且B 、C 在A E 的异侧,BD 丄AE 于D, CE 丄AE 于E 。
重难专题05 全等三角形的压轴题(原卷版)
重难专题05 全等三角形的压轴题（1）已知等腰ABE V 和,100,,ADC BAE DAC AB AE AD AC Ð=Ð=°==△，连接BD CE 、，若直线BD CE 、交于点O ，则BOC Ð= ；（2）如图所示，90,,BAE DAC AB AE AD AC Ð=Ð=°==，连接BC 和DE ，过点A 作AF D E ^交BC 于点G ，垂足为F ，若11,10AG GF ==，求ABC V 的面积．【分析】（1）根据SAS 证明BAD V 与EAC V 全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）作BM AF ^于M ，CN AF ^于N ，证明BAM AEF V V ≌，ACN DAF V V ≌，进而利用全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可．【详解】解：如图：∵100,,BAE DAC AB AE AD AC Ð=Ð=°==，∴BAD EAC Ð=Ð，∴BAD EAC V V ≌，∴DBA CEA Ð=Ð，∵12Ð=Ð，∴100BOC BAE Ð=Ð=°；如图：∵100,,BAE DAC AB AE AD AC Ð=Ð=°==，∴BAD EAC Ð=Ð，∴ΔΔBAD EAC @，（2）作BM AF ^于M ，CN AF ^于N ∵AF D E ^，∴90BMA AFE Ð=Ð=°，∵90,BAE AB AE Ð=°=，∴90BAM FAE Ð+Ð=°，E FAE Ð+Ð=∴BAF E Ð=Ð，231ABC ABG ACG S S S =+=V V V ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．如图1，BE 是ABC V 中AC 边上的高，点D 是AB 上一点，连接CD 交BE 于点F ，EFC A Ð=Ð．(1)求证：CD AB ^；(2)若2ACB ABE Ð=Ð，求证：AC BC =；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BE 至点G ，连接AG ，CG ，若22ABCGBC S =四边形，16ABG S =△，求线段AB 的长．（注：不能应用等腰三角形的相关性质和判定）【分析】（1）首先根据ABC V 高的意义得出，90ACD EFC Ð+Ð=°，再结合已知条件可得到90ACD A Ð+Ð=°，据此得出结论；（2）首先根据ABC V 高的意义及（1）的结论可得出ACD ABE Ð=Ð，然后再结合已知条件可得出BCD ACD ABE Ð=Ð=Ð，据此可证明BCD D 和ACD D 全等，进而可得出结论；（3）首先根据四边形ABGC 的面积ABG =V 的面积BCG +V 面积可得出BG BC =，过点G 作GH BA ^交BA 的延长线于点H ，再证GBH V 和BCD V 全等，从而得GH BD =，由（2）可知AD BD =，据此可得2AB BD =，然后根据16ABG S =V 可求出BD 的长，进而可得出AB 的长．【详解】（1）证明：BE Q 是ABC V 中AC 边上的高，BE AC \^，则90H Ð=°，由（1）知：CD AB ^，90CDB \Ð=°，H CDB \Ð=Ð，由（2）知：ABE BCD =∠∠即：GBH BCD Ð=Ð，4BD \=，28AB BD \==．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积计算公式等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与技巧，理解全等三角形的性质，难点是在解答（3）时，过点G 作GH BA ^交BA 的延长线于点H ，从而构成全等三角形．如图，Rt ACB V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF AE ^且AF AE =．(1)如图1，过F 点作FD AC ^交AC 于D 点，求证：ADF ECA V V ≌，并写出EC CD 、和DF 的数量关系；(2)如图2，连接BF 交AC 于G 点，若3AG CG=，求证：E 点为BC 中点；(3)当E 点在射线CB 上，连接BF 与直线AC 交于G 点，若73BC BE =，求AG CG ．∵ADF ECA V V ≌，∴FD AC BC ==，在FDG △和BCG V 中，90FGD CGB FDG C Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï，∵73BC BE =，BC AC CE CB ==，∴710AC CE =，由（1）（2）知：ADF ECA V V ≌∴CG GD AD CE ==，，∴710AC AD =，∴73AC CD =，∵73BC BE =，BC AC CE CB BE ==-，∴74AC CE =，由（1）（2）知：ADF ECA V V V ≌，∴CG GD AD CE ==，，如图，直线AB ，CD 交于点O ，点E 是BOC Ð平分线的一点，点M ，N 分别是射线OA ，OC 上的点，且ME NE =．(1)求证：MEN AOC Ð=Ð；(2)点F 在线段NO 上，点G 在线段NO 延长线上，连接EF ，EG ，若EF EG =，依题意补全图形，用等式表示线段NF ，OG ，OM 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）先根据角的平分线的性质，过点E 作EH CD ^，EK AB ^，垂足分别是H ，K ，得EH EK ＝，再根据三角形全等的判定，证明Rt EHN Rt EKM V V ≌即可得结论．（2）作辅助线，在线段OM 上截取1OG OG ＝，连接EG 1，先证明1EOG EOG V V ≌，得1EG EG =，1EG O EGF Ð=Ð，再证明1ENF EMG V V ≌，得1NF MG ＝，再推导得出结论．【详解】（1）（1）证明：作EH CD ^，EK AB ^，垂足分别是H ，K ，如图．∵OE 是BOC Ð的平分线，∴EH EK ＝．∵ME NE ＝，∴Rt EHN Rt EKM V V ≌．∴ENH EMK ÐÐ＝．记ME 与OC 的交点为P ，∴EPN OPM ÐÐ＝．∴MEN AOC ÐÐ＝．（2）（2）OM NF OG ＝＋．证明：在线段OM 上截取1OG OG ＝，连接EG 1，如图．∵OE 是BOC Ð的平分线，∴EON EOB ÐÐ＝．∵MOF DOB ÐÐ＝，∴EOM EOD ÐÐ＝．∵OE OE =，∴1EOG EOG V V ≌．∴1EG EG =，1EG O EGF Ð=Ð． ∵EF EG ＝，∴1EF EG =，EFG EGF Ð=Ð．∴1EFG EG O Ð=Ð．∴1EFN EG M Ð=Ð．∵1ENF EMG Ð=Ð．∴1ENF EMG V V ≌．∴1NF MG ＝．∵11OM MG OG ＝＋，∴OM NF OG ＝＋．【点拨】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，（正方形四条边都相等，四个内角都是直角）【感知】（1）某学习小组探究如下问题：如图1，连接DG ，BE ，直线AH DG ^于点H ，交BE 于点M ，则ADG △与ABE V 面积的大小关系是：ADG S V _________ABE S V ．【探究】（2）该学习小组在探究（1）中面积问题时，发现M 为BE 中点，你认为是否成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【拓展】（3）经过以上探究，该学习小组也提出问题：若正方形ABCD 和正方形AEFG 的位置如图2所示，点M 为BE 中点，连接AM 交DG 于点H ，那么AM 与DG 有怎样的关系?试探究，并说明理由【分析】（1）过点E 作EQ AB ^于点Q ，延长DA ，过点G 作GP DA ⊥于点P ，证明()AAS AEQ AGP V V ≌，得出EQ GP =，根据AD AB =，得出ADG ABE S S =V V ；（2）过点E 作EP MH ⊥于点P ，过点B 作BQ MH ⊥于点Q ，证明()AAS AGH EAP V V ≌，得出AH EP =，同理得：AHD BQA V V ≌，证明AH BQ =，求出EP BQ =，证明()AAS EMP BMQ V V ≌，得出EM BM =；（3）延长AM ，在延长线上截取MN AM =，连接EN 、BN ，证明()SAS AMB NME V V ≌，得出EN AB =，ENM BAM =∠∠，证明()SAS ADG ENA V V ≌，得出2DG AN AM ==，AGD EAN =∠∠，证明90AGD NAG +=°∠∠，得出90AHG Ð=°，即AH DG ^．【详解】解：（1）过点E 作EQ AB ^于点Q ，延长DA ，过点G 作GP DA ⊥于点P ，如图所示：则90APG AQE ==°∠∠，∵90BAD Ð=°，∴90BAP Ð=°，∵90GAE Ð=°，∴90EAQ EAP EAP GAP +=+=°∠∠∠∠，∴EAQ GAP =∠∠，∵AG AE =，∴()AAS AEQ AGP V V ≌，∴EQ GP =，∵AD AB =，∴ADG ABE S S =V V ．故答案为：=．（2）成立；理由如下：过点E 作EP MH ⊥于点P ，过点B 作BQ MH ⊥于点Q ，如图所示：∵AH DG ^，∴90AHG APE ==°∠∠，∵90GAE Ð=°，∴90GAH EAP EAP AEP +=+=°∠∠∠∠，∴GAH AEP =∠∠，∵AG AE =，∴()AAS AGH EAP V V ≌，∴AH EP =，同理得：AHD BQA V V ≌，∴AH BQ =，∴EP BQ =，∵90EPM BQM ==°∠∠，EMP BMQ Ð=Ð，∴()AAS EMP BMQ V V ≌，∴EM BM =，∴M 为BE 中点．（3）2DG AM =，AM DG ^．理由如下：延长AM ，在延长线上截取MN AM =，连接EN 、BN ，如图所示：∵M 为BE 的中点，∴BM EM =，∵NME AMB =∠∠，∴()SAS AMB NME V V ≌，∴EN AB =，ENM BAM =∠∠，∵AB AD =，∴EN AD =，∵ENM BAM =∠∠，∴EN AB ∥，∴180AEN EAB +=°∠∠，∵180DAB EAG Ð=Ð=°，EAG EAB BAG =+∠∠∠，∴180DAB EAB BAG ++=°∠∠∠，即180DAG EAB Ð+Ð=°，∴AEN DAG =∠∠，∵AE AG =，∴()SAS ADG ENA V V ≌，∴2DG AN AM ==，AGD EAN =∠∠，∵90EAN GAN +=°∠∠，∴90AGD NAG +=°∠∠，∴90AHG Ð=°，∴AH DG ^．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，平行线的判定和性质，垂线定义理解，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．【初步探索】(1)如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B ADC Ð=Ð=°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EF BE FD =+，探究图中BAE Ð、FAD Ð、EAF Ð之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =．连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF V V ≌，可得出结论，他的结论应是 ；【灵活运用】(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D Ð+Ð=°．E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】(3)如图3，已知在四边形ABCD 中，180ABC ADC Ð+Ð=°，AB AD =，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，如图3所示，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF Ð与DAB Ð的数量关系，并给出证明过程．【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，可判定ABE ADG △≌△，进而得出BAE DAG Ð=Ð，AE AG =，再判定AEF AGF V V ≌，可得出EAF GAF DAG DAF BAE DAF Ð=Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，据此得出结论；（2）延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先判定ABE ADG △≌△，进而得出BAE DAG Ð=Ð，AE AG =，再判定AEF AGF V V ≌，可得出EAF GAF DAG DAF BAE DAF Ð=Ð=Ð+Ð=Ð+Ð；（3）在DC 延长线上取一点G ，使得DG BE =，连接AG ，先判定ABE ADG △≌△，再判定AEF AGF V V ≌，得出FAE FAG Ð=Ð，最后根据360FAE FAG GAE Ð+Ð+Ð=°，推导得到2360FAE DAB Ð+Ð=°，即可得出结论．【详解】（1）解：结论：BAE FAD EAF Ð+Ð=Ð．理由：如图1，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，在ABE V 和ADG △中，90AB AD B ADG BE DG =ìïÐ=Ð=°íï=î，(SAS)ABE ADG \V V ≌，BAE DAG \Ð=Ð，AE AG =，EF BE DF =+Q ，EF DF DG FG \=+=，在AEF △和AGF V 中，1．阅读理解在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．如图1，AD 是ABC V 的中线，7AB =，5AC =，求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ≌△△，所以BM AC =．接下来，在ABM V 中利用三角形的三边关系可求得AM 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是______；类比应用如图2，在四边形ABCD 中，//AB DC ，点E 是BC 的中点．若AE 是BAD Ð的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系，并说明理由；拓展创新如图3，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAF Ð的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的数量关系，请直接写出你的结论．2．如图，在ABC V 和ADE V 中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE Ð=Ð，CE 的延长线交BD 于点F ．(1)求证：CE BD =．(2)过点A 作AP DE ^于点P ，求证：AEP ADP Ð=Ð．(3)若30ACE Ð=°，15BAE Ð=°，6DAE AED Ð=Ð-°，求BDE Ð的度数．(4)过点A 作AH BD ^于点H ，试写出EF ，FH ，DH 之间的数量关系，并证明．3．问题提出，如图（1），在ABC V 和DEC V 中，60ACB DCE °Ð=Ð=，BC AC =，EC DC =，点E 在ABC V 内部，直线AD 与BE 交于点F ，线段,,AF BF CF 之间存在怎样的数量关系？问题探究(1)先将问题特殊化.如图（2），当点D ，F 重合时，直接写出一个等式，表示,,AF BF CF 之间的数量关系；(2)再探究一般情形.如图（1），当点D ，F 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.问题拓展(3)如图（3），在ABC V 和DEC V 中，60ACB DCE °Ð=Ð=，BC AC =，EC DC =，点E 在ABC V 内部，直线AD 与BE 交于点F ，直线AF 与BC 交于点G ，点H 为线段AB 上一点，BH CG =，BF 与CH 交于点I ，若AG m =，BF n =，则IF =___________（用含m ，n 的式子表示）4．已知O 是四边形ABCD 内一点，且OA OD =，OB OC =，E 是CD 的中点.(1)如图1，连接AC ，BD ，若AC BD =，求证：AOD BOC Ð=Ð；(2)如图2，连接OE ，若2AB OE =，求证：180AOD BOC Ð+Ð=°；(3)如图3，若90AOD BOC Ð=Ð=°，OF AB ^，垂足为F ，求证：点E ，O ，F 在同一条直线上.5．在直角三角形ABC 中，90ACB Ð=°，直线l 过点C ．(1)当AC BC =时，①如图1，分别过点A 和B 作AD ^直线l 于点D ，BE ^直线l 于点E ．求证：ACD CBE V V ≌；②如图2，过点A 作AD ^直线l 于点D ，点B 与点F 关于直线l 对称，连接BF 交直线l 于E ，连接CF ．求证：DE AD EF =+．(2)当8AC =cm ，6BC =cm 时，如图3，点B 与点F 关于直线l 对称，连接BF 、CF ．点M 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A C ®路径运动，终点为C ，点N 以每秒3cm 的速度沿F C B C F ®®®®路径运动，终点为F ，分别过点M 、N 作MD ^直线l 于点D ，NE ^直线l 于点E ，点M 、N 同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t 秒．当MDC △与CEN V 全等时，求t 的值．6．如图①，在ABC V 中，AB =12cm ，BC =20cm ，过点C 作射线CD AB ∥．点M 从点B 出发，以4cm /s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以acm /s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动，连接AM 、MN ，设移动时间为t (s )．(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为 s ；(2)当ABM V 与MCN △全等时，①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值；②若点M 、N 的移动速度不同，求t 的值；(3)如图②、当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以3cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM V 与MCN △全等的情形？若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由．7．已知：ABC V 中，90ACB Ð=°，AC CB =，D 为直线BC 上一动点，连接AD ，在直线AC 右侧作AE AD ^，且AE AD =．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，过点E 作EH AC ^于H ，连接DE ．求证：EH BC =；(2)如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，连接BE 交CA 的延长线于点M ，求证：BM EM =；(3)当点D 在直线CB 上时，连接BE 交直线AC 于M ，若27AC CM =，请求出ADB AEM S S △△的值．8．在ABC V 中，BD 平分ABC Ð，CE 平分ACB Ð，BD 和CE 交于点O ，其中令BAC x Ð=，BOC y Ð=．(1)【计算求值】如图1，①如果50x =°，则y =______；②如果130y =°，则x =______．(2)【猜想证明】如图2请你根据（1）中【计算求值】的心得猜想写出y 与x 的关系式为y =______，并请你说明你的猜想的正确性．(3)【解决问题】如图3，某校园内有一个如图2所示的三角形的小花园，花园中有两条小路，BD 和CE 为三角形的角平分线，交点为点O ，在O 处建有一个自动浇水器，需要在BC 边取一处接水口F ，经过测量得知120BAC Ð=°，12000OD OE ×=米2，170BC BE CD --=米，请你求出水管OF 至少要多长？（结果取整数）。
中考数学全等三角形压轴几何题知识点-+典型题及答案
中考数学全等三角形压轴几何题知识点-+典型题及答案一、全等三角形旋转模型1．阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的长．答案：B解析：（1）∠B+∠D=180°（或互补）；（2）∴5DE【解析】试题分析：(1)如图，△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，利用全等的知识可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三点共线，即∠ADG+∠ADF=180°，即∠B+∠D=180°．(2) 把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，通过证明△AEG≌△AED 得到DE=EG，由勾股定理即可求得DE的长．(1)∠B+∠D=180°（或互补）．(2)∵ AB=AC，∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．则∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG．∵在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°于，即∠ECG=90°．∴ EC2+CG2=EG2．在△AEG与△AED中,∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD．又∵AD=AG，AE=AE，∴△AEG≌△AED ．∴DE=EG．又∵CG=BD,∴ BD2+EC2=DE2．∴5DE=．考点：1．面动旋转问题；2．全等三角形的判定和性质；3．勾股定理．2．我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．（1）如图①，四边形ABCD为对直角四边形，∠B=90°，若AB2-AD2=4，求CD2-BC2的值；（2）如图②，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，若BD平分∠ADC，求证：四边形ABCD为对直角四边形；（3）在（2）的条件下，如图③，连结AC，若35ACDABCSS=，求tan∠ACD的值．答案：A解析：⑴ 4；⑵见解析；⑶tan∠ACD的值为3或13．【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）如图②中，作BE⊥CD于E，BF⊥DA交DA的延长线于F．只要证明∠EBF=90°即可解决问题；（3）如图③中，设AD=x，BD=y．根据35ACDABCSS，构建方程即可解决问题.【详解】解：如图①中，∵四边形ABCD为对直角四边形，∠B=90°，∴∠D=∠B=90°，∴AC2=AB2+BC2=AD2+DC2，∴CD2-BC2=AB2-AD2=4．（2）证明：如图②中，作BE⊥CD于E，BF⊥DA交DA的延长线于F．∵BD平分∠ADC，BE⊥CD，BF⊥AD，∴BE=BF，∵∠BFA=∠BEC=90°，BA=BC ，BF=BE ， ∴Rt △BFA ≌Rt △BEC （HL ）， ∴∠ABF=∠CBE ， ∴∠EBF=∠ABC=90°， ∴ADC=360°-90°-90°-90°=90°， ∵∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD 为对直角四边形． （3）解：如图③中，设AD=x ，BD=y ．∵∠ADC=90°， ∴tan ∠ACD=xy，22x y + ∵AB=AC ，∠ABC=90°， ∴222x y + ∵35ACD ABCS S=， ∴()22132154xy x y =+， 整理得：3x 2-10xy+3y 2， ∴3（x y ）2-10•xy+3=0， ∴x y =3或13． ∴tan ∠ACD 的值为3或13． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．3．如图，△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由答案：D解析：（1）证明见解析；（2）是，2.【解析】【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA=90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证BE=CF；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=12BC=2.【详解】（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∴∠B=∠C=60°，BD=CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC，∴△BDE≌△CDF（AAS）（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．在△MBD 和△NCD 中，BMD CND B CBD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△MBD ≌△NCD （AAS ） BM=CN ，DM=DN ． 在△EMD 和△FND 中，EMD FND DM DNMDE NDF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△EMD ≌△FND （ASA ） ∴EM=FN ，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN =2BM=2BD×cos60°=BD=12BC=2. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN ，DM=DN ，EM=FN 是解决本题的关键． 4．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．解析：（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论． 【详解】 解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =， BD CE ∴=， PM PN ∴=， //PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠， //PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠， 90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒， PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥； （2）PMN ∆是等腰直角三角形． 由旋转知，BAD CAE ∠=∠， AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =，利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =，PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ， DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠， MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠， 90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒， 90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大， //DE BC ∴且DE 在顶点A 上面， MN ∴最大AM AN =+， 连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒， 22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN = 22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大， ∴点D 在BA 的延长线上， 14BD AB AD ∴=+=， 7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．5．问题发现：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，点O 为AB 的中点，点M 为AC 上一点，将射线OM 顺时针旋转90︒交BC 于点N ，则OM 与ON 的数量关系为____；问题探究：（2）如图2，在等腰三角形ABC 中，120C ∠=︒，点O 为AB 的中点，点M 为AC 上一点，将射线OM 顺时针旋转60︒交BC 于点N ，则OM 与ON 的数量关系是否改变，请说明理由；问题解决：（3）如图3，点O 为正方形ABCD 对角线的交点，点P 为DO 的中点，点M 为直线BC 上一点，将射线OM 顺时针旋转90︒交直线AB 于点N ，若4AB =，当PMN 面积为252时，直接写出线段BN 的长．答案：B解析：（1）OM =ON ；（2）不改变；证明见解析；（3）线段BN 的长为172-或172+【分析】（1）连接，OC ，证明△AOM ≌△CON （ASA ）可得结论．（2）数量关系不变．如图2中，过点O 作OK ⊥AC 于K ，OJ ⊥BC 于J ，连接OC ．证明△OKM ≌△OJN （AAS ）可得结论．（3）如图3中，过点P 作PG ⊥AB 于G ，PH ⊥BC 于H ．证明△MOC ≌△NOB （SAS ），推出CM=BN ，设CM=BN=m ，根据S △PMN =252=S △PBM +S △BMN -S △PBN ，构建方程求解即可．当点M 在CB 的延长线上时，同法可求． 【详解】解：（1）如图1中，结论：OM=ON ． 理由：连接OC ．∵CA=CB，∠ACB=90°，AO=OB，CO=OA=OB，OC⊥AB，∠A=∠B=45°，∠BCO=∠ACO=45°∴∠AOC=∠MON=90°，∴∠AOM=∠CON，∵∠A=∠CON，∴△AOM≌△CON（ASA），∴OM=ON．故答案为：OM=ON．（2）理由：如图2中，过点O作OK⊥AC于K，OJ⊥BC于J，连接OC．∵∠ACB=120°，∠OKC=∠OJC=90°，∠KOJ=60°=∠MON，∴∠MKO=∠NOJ，∵CA=CB，OA=OB，∴OC平分∠ACB，∵OK⊥CA，OJ⊥CB，∴OK=OJ，∵∠OKM=∠OJN=90°，∴△OKM≌△OJN（AAS），∴OM=ON．（3）如图3中，过点P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H．∵四边形ABCD是正方形，AB=AD=4，∠BAD=90°，∴BD=2AB=42， ∴OD=OB=22，PD=OP=2，∴PB=33，∵四边形PGBH 是正方形，∴PG=PH=3，∵∠MON=∠COB=90°，∴∠MOC=∠NOB ，∵OM=ON ，OC=OB ，∴△MOC ≌△NOB （SAS ），∴CM=BN ，设CM=BN=m ，∵S △PMN =252=S △PBM +S △BMN -S △PBN ， ∴12•（4+m ）•3+12•m•（4+m ）12-•m•3=252， ∴整理得：m 2+4m-13=0，解得m=172-或172--（舍去），∴BN=172-．当点M 在CB 的延长线上时，同法可得BN=172+．综上所述，满足条件的BN 的值为172-或172+．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接,DB DC ．（1）如图1，当60α=︒时，请直接写出线段PA 与线段CD 的数量关系是__________，DCP ∠为______度；（2）如图2，当120α=︒时，写出线段PA 和线段DC 的数量关系，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，当23AB =时，求13BP PC +的最小值． 答案：A解析：（1）PA ＝DC ，60；（2）CD ＝3PA ．理由见详解；（2）3+22【分析】（1）先证明△ABC ，△PBD 是等边三角形，再证明△PBA ≌△DBC ，进而线段PA 与线段CD 的数量关系，利用全等三角形的性质以及三角形内角和等于180°，解决问题即可；（2）证明△CBD ∽△ABP ，可得3CD BC PA AB==，解决问题； （3）过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ，则PN =13PC ， 过点B 作BG ⊥BA 于点G ，当点B 、P 、N 共线时，BP +PN 最小，即13BP PC +最小，由BGP CNP ∽，得13GP NP BP CP ==，结合勾股定理求出GP ，从而得CP ，进而即可求解． 【详解】（1）①证明： ∵将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，∴PB ＝PD ，∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝60°，∴△ABC ，△PBD 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠PBD ＝60°，∴∠PBA ＝∠DBC ，∵BP ＝BD ，BA ＝BC ，∴△PBA ≌△DBC （SAS ），∴PA ＝DC ．设BD 交PC 于点O ，如图1，∵△PBA ≌△DBC ，∴∠BPA ＝∠BDC ，∵∠BOP ＝∠COD ，∴∠OBP ＝∠OCD ＝60°，即∠DCP ＝60°．故答案是：PA ＝DC ，60；（2）解：结论：CD ．理由如下：∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝120°，∴BC ＝2•AB •cos30°，BD ═2BP •cos30°， ∴BC BDBA BP= ∵∠ABC ＝∠PBD ＝30°，∴∠ABP ＝∠CBD ，∴△CBD ∽△ABP ，∴CD BC PA AB== ∴CD； （3） 过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ，则PN =13PC ，过点B 作BG CA ⊥于点G ，则BG =AB ×sin ∠BAG =3，AG = AB ×cos ∠BAG 当点B 、P 、N 共线时，BP +PN 最小，即13BP PC +最小， ∵∠BGP =∠CNP =90°，∠BPG =∠CPN ， ∴BGP CNP ∽， ∴13GP NP BP CP ==，设GP =x ，则AP -x ，BP =3x ，∴()22233x x +=，解得：x∴BPAP∴CP =AC +AP∴13BP PC +最小值13+【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，第（1）（2）题解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，第（3）题的关键是过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ．7．如图1，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在边,AB AD 上，且AE AF =，延长FD 到点G ，使得DG DF =，连接,,EF GE CE ．（特例感知）（1）图1中GE 与CE 的数量关系是______________．（结论探索）（2）图2，将图1中的AEF 绕着点A 逆时针旋转()090αα︒<<︒，连接FD 并延长到点G ，使得DC DF =，连接,,GE CE BE ，此时GE 与CE 还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由．（拓展应用） （3）在（2）的条件下，若5,32AB AE ==EFG 是以EF 为直角边的直角三角形时，请直接写出GE 的长．答案：G解析：(1) GE 2CE ，(2)存在，证明见解析，（3）25810或16或4．【分析】(1)连接GC，证△CDG≌△CBE，得出△GCE为等腰直角三角形即可；(2)类似（1）的方法，先证△AFD≌△AEB，再证△CDG≌△CBE，得出△GCE为等腰直角三角形即可；(3)根据E、F是直角顶点分类讨论，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可．【详解】解：(1)连接GC，∵AE=AF，AD=AB，∴DF=BE，，∵DG DF∴DG = BE，∵∠GDC=∠B=90°，DC=BC，∴△CDG≌△CBE，∴CE=CG，∠GCD=∠ECB，∵∠ECB+∠DCE=90°，∴∠GCE=∠GCD+∠DCE=90°，∴GE=2CE；故答案为：GE=2CE；(2) 存在，连接GC，∵AE=AF，AD=AB，∠FAE=∠DAB=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD≌△EAB，∴FD=EB=GD，∠FDA=∠EBA，∵∠GDC+∠FDA=90°，∠EBC+∠EBA=90°，∴∠GDC=∠EBC，∵DC=BD，∴△CDG≌△CBE，与（1）同理，GE=2CE；(3)当∠FEG=90°时，如图1，因为∠FEA=∠GEC=45°，所以，A、E、C在一条直线上，∵AB=5，∴AC=52,CE=52-32=22,GE=2EC=4；如图2，E在CA延长线上，同理可得，EC2，GE2EC=16；当∠EFG =90°时，如图3，∠AFD =∠EFG +∠AFE =135°，由（2）得，∠AFD =∠AEB =135°，DF =BE ，所以，B 、E 、F 在一条直线上，作AM ⊥EF ，垂足为M ， ∵5,32AB AE ==，∴EF =6，AM =ME =MF =3，224BM AB AM =-=，BE =DF =1,FG =2，22210GE FG EF =+=；如图4，同图3，BE =DF =7，FG =14，EF =6，22258GE FG EF =+=，综上，GE的长为258或210或16或4．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和等腰直角三角形的性质，解题关键是恰当的连接辅助线，构造全等三角形；会分类讨论，结合题目前后联系，解决问题．8．如图，△ABC和△CEF中，∠BAC＝∠CEF＝90°，AB＝AC，EC＝EF，点E在AC边上．（1）如图1，连接BE，若AE＝3，BE＝58，求FC的长度；（2）如图2，将△CEF绕点C逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中，直线EF分别与直线AC，BC交于点M，N，当△CMN是等腰三角形时，求旋转角α的度数；（3）如图3，将△CEF绕点C顺时针旋转，使得点B，E，F在同一条直线上，点P为BF 的中点，连接AE，猜想AE，CF和BP之间的数量关系并说明理由．答案：C解析：（1）422）22.5°或45°或112.5°；（3）CF＋AE2BP，见解析【分析】（1）利用勾股定理求出AB＝AC＝7，求出EC＝EF＝4即可解决问题；（2）分三种情形分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可；（3）结论：CF＋AE2BP．如图3中，过点A作AD⊥AE，利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）如图1中，在Rt △ABE 中，AB ＝()2222583497-=-==BF AE ，∴AC ＝AB ＝7，∴EF ＝EC ＝AC ﹣AE ＝7﹣3＝4，∵∠CEF ＝90°，EC ＝EF ＝3， ∴CF ＝22224442+=+=EF CE ；（2）①如图2﹣1中，当CM ＝CN 时，α＝∠MCE ＝∠ECN ＝12∠ACB ＝22.5°．如图2﹣2中，当NM ＝NC 时，α＝∠MCN ＝45°．如图2﹣3中，当CN ＝CM 时，∠NCE ＝12∠BCM ＝67.5°，α＝∠ACE ＝45°＋67.5°＝112.5°．综上所述，满足条件的α的值为22.5°或45°或112.5°．（3）结论：CF ＋AE ＝2BP ．理由：如图3中，过点A 作AD ⊥AE ，∴∠DAE ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE ，∵∠BAC ＝∠BEC ＝90°，∴∠ABP ＝∠ACE ，∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACE （ASA ），∴BD ＝EC ＝EF ，AD ＝AE ，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴DE 2AE ，∵P 是BF 的中点，∴BP ＝12BF ， ∵BP ＝12BF ＝12（2EF ＋DE ），CF 2EF ，DE 2AE ， ∴BP ＝122CF 2AE ）， ∴CF ＋AE 2．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 9．如图，ABD △和ACE △都是等边三角形．（1）连接CD 、BE 交于点P ，求∠BPD ；（2）连接PA ，判断线段PA 、PB 、PD 之间的数量关系并证明；（3）如图，等腰ABC 中AB ＝AC ，∠BAC ＝α（0＜α＜90），在ABC 内有一点M ，连接MA 、MB 、MC ．当MA ＋MB ＋MC 最小时，∠ABM ＝ （用含α的式子表示）答案：D解析：（1）60BPD ∠=︒（2）PD PB PA =+，证明见详解（3）1602α︒-【分析】（1）证明()DAC BAE SAS ≅，得ADC ABE ∠=∠，就可以证明60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，证明()DBF ABP SAS ≅，得DF PA =，即可证明PD PB PA =+；（3）分别以AB 和AC 为边，向两边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，然后利用等腰三角形ADC ，求出ADC ∠的度数，即可得到ABM ∠的度数．【详解】解：（1）∵ABD △和ACE △是等边三角形，∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒，∵DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在DAC △和BAE △中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DAC BAE SAS ≅，∴ADC ABE ∠=∠，∵ADC DAB ABE BPD ∠+∠=∠+∠，∴60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）如图，在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，∵60BPD ∠=︒，PF PB =，∴PFB △是等边三角形，∴BF BP =，60FBP ∠=︒，∴DBA FBP ∠=∠，∵DBA FBA FBP FBA ∠-∠=∠-∠，∴DBF ABP ∠=∠，在DBF 和ABP △中，DB AB DBF ABP BF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DBF ABP SAS ≅，∴DF PA =，∵PD PF FD =+，∴PD PB PA =+；（3）如图，分别以AB 和AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，由（2）中的结论可得MD MA MB =+，则当D 、M 、C 三点共线时MA MB MC ++最小，即CD 的长，由（1）得ADC ABM ∠=∠，∵AD AB AC ==，60DAC α∠=︒+，∴()1806016022ADC αα︒-︒+∠==︒-， ∴1602ABM α∠=︒-，故答案是：1602α︒-．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是做辅助线构造全等三角形来进行证明求解．10．回答下列问题：（1）（发现）如图1，点A 为线段BC 外一动点，且4BC =，2AB =．填空：线段AC 的最大值为 ．图1（2）（应用）点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，2AB =，如图2所示，分别以AB ，AC 为边，作等腰直角ABD △和等腰直角ACE ，连接CD ，BE ．图2①证明：BE DC =．②求线段BE 的最大值．（3）（拓展）如图3，在平面直角坐标系中，直线l ；4y x =+与坐标轴交于点A 、B 两点，点C 为线段AB 外一动点，且2CB =，以AC 为边作等边ACD △，连接BD ，求线段BD 长的最大值并直接写出此时点C 的横坐标．图3答案：A解析：（1）6（2）①证明见解析．②3+（3）2【分析】(1)根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论；(2) ①由“SAS” 可证△DAC ≌△BAE ，可得BE=DC ；②由于线段长BE 的最大值=线段DC 的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果，(3)以BC 为边作等边三角形BCE ，可以证明△ACE ≌△DCB(SAS) ，从而得到BD=AE ，BE=BC ，由AE≤AB+BE ，当且仅当A 、B 、E 三点共线时，AE 取得最大值，即BD 取得最大值，当BD 取得最大值时，①当C 在直线AB 的上方时，过C 作CH ⊥y 轴于H ，作BC 的垂直平分线交BH 于N ，求出CH 的长度，即可求出点C 的横坐标，②当C 在直线AB 的下方时，按同①的方法也可以求出点C 的横坐标．【详解】（1）当A 在选段BC 的延长线上时， max 6AC AB BC =+=．（2）①∵等腰直角AEC 与等腰直角三角形ABD ，∴AD AB =，AE AC =，90DAB EAC ∠=∠=︒，∴DAB BAC EAC BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC EAB ∠=∠，在DAC △和BAE 中，DA BA DAC BAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS DAC BAE ≌△△， ∴BE CD =．②由①可知，BE DC =，∵线段BE 的最大值即线段DC 的最大值．在等腰直角ABD △中，BD ==∵CD BC BD ≤+，∴当点D 在CB 的延长线上时， CD取得最大值为3+．∴线段BE的最大值为3+（3）如图，以BC 为边作等边三角形BCE ，则BC CE =，60BCE ∠=︒．∵60ACD ∠=︒，∴ACD ECD BCE ECD ∠-∠=∠-∠，∴ACE DCB ∠=∠．在ACE 与DCB 中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ACE DCB ≌△△， ∴BD AE =．对于一次函数4y x =+，令0x =，则4y =，∴()0,4B ，令0y =，则4x =-，∴()4,0A -． ∴224442AB =+=，又∵2BE BC ==，∴AE AB BE ≤+，∴当且仅当A 、B 、E 三点共线时，AE 取得最大值，即BD 取得最大值为422+；当BD 取得最大值时，①当C 在直线AB 的上方时过C 作CH y ⊥轴于H ，∵45ABO HBE ∠=∠=︒，60CBE ∠=︒，∴15CBH CBE HBE ∠=∠-∠=︒，作BC 的垂直平分线交BH 于N ，∴CN BN =，15NCB NBC ∠=∠=︒，∴30CNB ∠=︒，在Rt CHN △中，设CH x =．则3HN x =， 2CN x =， ∴2BN x =，∴()32BH HN BN x =+=+， 在Rt BHC △中，22222HC BH BC +==，∴()222322x x ⎡⎤++=⎣⎦， 整理得()227434x x ++=， 223x =-，()12312x =-，()22312x =--（舍）， ∴622CH -=， ∴点C 的横坐标为262-． ②当C 在直线AB 的下方时，过C 作CL ⊥y 轴于L ，∵∠ABO=45°，∠CBE=60°，∴∠CBL=180°-∠CBE−∠ABO=75°，∴∠BCL=15°，作BC 的垂直平分线交BL 于M ，∴CM=BM ，∠MCB=∠MBC=15°，∴∠LMB=30°，在Rt △CLB 中，设BL=y ．则3，BM=2y ，∴CM=2y ，∴3+2)y ，在Rt △BLC 中，BL 2+CL 2=BC 2=22， ∴)222322y y ⎡⎤+=⎣⎦， 整理得(227434y y ++=， 223y =)12312y =，)22312y =-（舍去）， 622BL =∴CL=)32BL 26+所以点C 26+综合以上可得点C 26-26+【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判.定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.11．如图1所示，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AB AC =，2BC =，以BC 所在直线为x 轴，边BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，将ABC 绕P 点0,1顺时针旋转．（1）填空：当点B 旋转到y 轴正半轴时，则旋转后点A 坐标为______；（2）如图2所示，若边AB 与y 轴交点为E ，边AC 与直线1y x =-的交点为F ，求证：AEF 的周长为定值；（3）在（2）的条件下，求AEF 内切圆半径的最大值．解析：（1）2,21；（2）见解析；（3）324【分析】（1）作出图形，'''A B C 是ABC 绕 P 点0,1顺时针旋转，点B 旋转到y 轴正半轴时得到的图形，连接 BP ，CP ，根据2BC =，y 轴垂直平分BC ， AB AC =，()0,1P -可证得四边形ABPC 是正方形，则有 '''2BP B P AB A B ，'0'21B B P PO ，可得点 A 坐标；（2）作BPQ CPF ∠=∠，交AB 延长线于Q 点，根据四边形ABPC 是正方形，得到90QBP FCP ∠=∠=︒，BP CP =，可证BPQ CPF ASA ≌△△，得BQ CF =，QP FP =，利用ASA 再可证得QPE FPE ≌△△，得QE FE =则AEF 的周长22AB AC =+=（3）设EF m =，AE n =，Rt AEF 的内切圆半径为r ，由（2）可得22AF m n =-则2AE AF EF r +-=22n m n m+---=2m =，当m 最小时，r 最大．得到22222n m n m 整理得：2224220n m n m ，关于n 的一元二次方程有解，即22244220m m 化简得24280m m +-≥，利用二次函数图像可得422m ≥-422m ≤--（不合题意，舍去）可得m 的最小值为42-r 2422324，则有AEF 内切圆半径的最大值为324．【详解】解：（1）如图示，'''A B C 是ABC 绕 P 点0,1顺时针旋转，点B 旋转到y 轴正半轴时得到的图形，连接 BP ，CP ，∵2BC =，y 轴垂直平分BC∴1BO CO ==又∵Rt ABC △中，AB AC =∴1AO =，2AB AC ==∵()0,1P -∴1PO =∴AO BO CO PO ===∴四边形ABPC 是正方形 ∴'''2BPB P AB A B ∴'0'21B B P PO ∴点A 坐标为2,21（2）如图2所示，作BPQ CPF ∠=∠，交AB 延长线于Q 点∵四边形ABPC 是正方形∴90QBP FCP ∠=∠=︒， BP CP =∴BPQ CPF ASA ≌△△∴ BQ CF =，QP FP =∵点F 在直线1y x =-∴45FPE ∠=︒∴ 45BPE FPC ∠+∠=︒∴45BPE BPQ ∠+∠=︒∴45QPE FPE ∠=∠=︒∵EP EP =∴QPE FPE ASA ≌△△∴ QE FE = ∴AEF 的周长AE EF AF AE QE AF =++=++AE BE BQ AF AE BE FC AF =+++=+++22AB AC =+=（3）设EF m =，AE n =，Rt AEF 的内切圆半径为 r ，由（2）可得22AF m n =--则2AE AF EF r +-= 222n m n m +---= 2m =-∴当m 最小时，r 最大．∵在Rt AEF 中，222AE AF EF +=∴22222n m n m 整理得： 2224220n m nm ∵关于n 的一元二次方程有解∴22244220m m∴24280m m +-≥ 利用二次函数图像可得422m ≥-或422m ≤--（不合题意，舍去）∴m 的最小值为422-∴r 的最大值为2422324即AEF 内切圆半径的最大值为324-．【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用以及根的判别式、全等三角形的判定与性质、旋转、三角形内切圆等知识，能熟练应用相关性质是解题关键．12．（1）ABC 和CDE △是两个等腰直角三角形，如图1，其中90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD 、BE ，求证：ACD △≌BCE ．（2）ABC 和CDE △是两个含30°的直角三角形，中90ACB DCE ∠=∠=︒，∠=CAB CDE ∠30=︒，CD AC <，CDE △从边CD 与AC 重合开始绕点C 逆时针旋转一定角度()0180αα︒<<︒．①如图2，DE 与BC 交于点F ，交AB 于G ，连接AD ，若四边形ADEC 为平行四边形，求BG AG 的值．②若12AB =，当点D 落在AB 上时，求BE 的长．答案：A解析：（1）见解析；（2）①13BG AG =；【分析】（1）利用SAS 证明即可；（2）①连接CG ，根据平行四边形的性质推出//AD CE ，求出120ADE ∠=︒，得到90ADC ADE CDE ∠=∠-∠=︒，根据30CAB CDE ∠=∠=︒证得A 、D 、G 、C 四点共圆，从而得到90AGC ADC ∠=∠=︒，利用直角三角形中30度角的性质求出AG =，CG =，即可求出答案；②先证明ACD △∽BCE ，由此推出∠DBE=90°，得到DBE 为直角三角形，设BE a =，则AD =，12BD =-，过D 点作DH AC ⊥于H ，利用30A ∠=︒得到sin 302DH AD a =︒=，由ACD α∠=，得到sin 2sin HD CD αα==，由此求出cos30sin CD a DE α==︒，由勾股定理得222DE BE BD =+，即()222222121443sin a a a a α=+-=++-，解方程求出a.【详解】 （1）∵ABC 和CDE △是两个等腰直角三角形，∴AC BC =，CD CE =，ACB DCE ∠=∠，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB ，∴ACD BCE ∠=∠， 在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACD △≌BCE （SAS ）．（2）①连接CG ，如图所示，∵四边形ADEC 为平行四边形，∴//AD CE ，∴180ADE CED ∠+∠=︒，∵90903060CED CDE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴120ADE ∠=︒，∴90ADC ADE CDE ∠=∠-∠=︒，∵30CAB CDE ∠=∠=︒，∴A 、D 、G 、C 四点共圆，∴90AGC ADC ∠=∠=︒，∵30CAB ∠=︒， ∴12CG AC =，3AG CG =，30BCG ∠=︒， ∴3CG BG =，即33BG CG =， ∴13BG AG =；②∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACB DCB DCE DCB ∠-∠=∠-∠，∴ACD BCE ∠=∠，∵30CAB CDE ∠=∠=︒，∴3AC DC BC CE ==， ∴ACD △∽BCE ，∴CAD CBE ∠=∠，∴90DBE DBC CBE DBC CAD ∠=∠+∠=∠+∠=︒， ∴DBE 为直角三角形，设BE a =，∴3AD a =，∴123BD a =，过D 点作DH AC ⊥于H ，30A ∠=︒， 则3sin 302DH AD a =︒=， 又∵ACD α∠=，∴3sin 2sin HD a CD αα==， 又在Rt CDE △中，30∠=︒CDE ，∴cos30sin CD a DE α==︒， ∴在Rt BDE △中，由勾股定理得222DE BE BD =+，即()2222221231443243sin a a a a a a α=+=++-，∴22142431440sin a a α⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 解得22576243576sin 28sin a αα±-=-即222243sin 241sin 8sin 2a ααα+-=- 2222243sin 24cos 123sin 12cos 8sin 24sin 1αααααα++==--， 故BE 的长为22123sin 12cos 4sin 1ααα+-.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，旋转的性质，平行四边形的性质，四点共圆，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，是一道较难的几何综合题.13．在ABC 中，AB AC =，点P 在平面内，连接AP ，并将线段AP 绕A 顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AQ ，连接BQ ．（1）如图，如果点P 是BC 边上任意一点．则线段BQ 和线段PC 的数量关系是__________．（2）如图，如果点P 为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图所示的位置关系加以证明（或说明）；（3）如图，在DEF 中，8DE =，60EDF ∠=︒，75DEF ∠=︒，P 是线段EF 上的任意一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到线段DQ ，连接EQ ．请直接写出线段EQ 长度的最小值．答案：B解析：（1）相等；（2）成立，证明见解析；（3）2622-【分析】（1）先判断出∠BAQ=∠CAP ，进而用SAS 判断出△BAQ ≌△CAP ，即可得出结论； （2）结论BQ=PC 仍然成立，理由同（1）的方法；（3）先构造出△DEQ ≌△DHP ，得出EQ=HP ，进而判断出要使EQ 最小，当HP ⊥EF （点P 和点M 重合）时，EQ 最小，最后用解直角三角形即可得出结论．【详解】解：（1）由旋转知：AQ=AP ，∵PAQ BAC ∠=∠，∴PAQ BAP BAC BAP ∠-∠=∠-∠，∴BAQ CAP ∠=∠，∵AB AC =，∴()BAQ CAP SAS ∆≅∆，∴BQ CP =故答案为：相等．（2）BQ PC =仍成立，理由如下：证明：由旋转知：AQ=AP ，∵PAQ BAC ∠=∠，∴PAQ BAP BAC BAP ∠-∠=∠-∠，∴BAQ CAP ∠=∠，∵AB AC =，∴()BAQ CAP SAS ∆≅∆，∴BQ C =Ｐ（3）如图：在DF 上取一点H ，使8DH DE ==，连接ＰＨ，过点Ｈ作HM EF ⊥于Ｍ，由旋转知，DQ DP =，60PDQ ∠=︒，∵60EDF ∠=︒，∴PDQ EDF ∠=∠，∴EDQ HDP ∠=∠，∴()DEQ DHP SAS ∆≅∆，∴EQ HP =，要使EQ 最小，则有HP 最小，而点H 是定点，点P 是EF 上的动点，∴当HM EF ⊥（点P 和点M 重合）时，HP 最小，即：点P 与点M 重合，EQ 最小，最小值为HM ，过点E 作EG DF ⊥于G ，在Rt DEG ∆中，8DE =，60EDF ∠=︒，∴30DEG ∠=︒， ∴142DG DE ==， ∴343EG DG ==，在Rt EGF ∆中，753045FEG DEF DEG ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴9045F FEG FEG ∠=︒-∠=︒=∠，43FG EG ==，∴443DF DG FG =+=+，∴4438434FH DF DH =-=+-=-，在Rt HMF ∆中，45F ∠=︒，∴()22434262222HM FH ==-=-， 即：EQ 的最小值为2622-．【点睛】本题考查旋转的性质、最值问题，属于几何变换综合题，掌握全等三角形的证明方法，点到直线的距离等知识为解题关键．14．已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接CD ，BD ， AD ．（1）如图1，①填空：∠ABD ∠ADB （填 >，=，<号）．②求∠BDC 的度数（用含α的式子表示）．（2）如图2，当α＝60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE ＝BD ； （3）如图3，当α＝90°时，在直线l 绕点A 旋转过程中，记直线l 与CD 的交点为F ． ①若点M 为AC 的中点，连接MF ， MF 的长是否会发生变化？若不变，求出MF 的长；若会发生变化，说明理由；②连接BF ，当线段BF 的长取得最大值时，求tan ∠FBC 的值．答案：B解析：（1）①=；②∠BDC ＝12α；（2）详见解析；（3）①MF 的长在直线l 绕点A 旋转过程中，不会发生变化，MF=1；②13 【分析】（1）①根据点C 关于直线l 的对称点为点D ，得到AD ＝AC ，且AB ＝AC ，则AD ＝AB ＝AC ，可得∠ADB ＝∠ABD ；②连接DA ，并延长DA 交BC 于点M ，由①可知AD ＝AB ＝AC ，则有∠ADB ＝∠ABD ，∠ADC ＝∠ACD ，可以得到∠BAM ＝2∠ADB ，∠MAC ＝2∠ADC ，利用∠BAC ＝∠BAM +∠MAC ，可得12BDC ＝，（2）连接CE ，根据∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，得到△ABC 是等边三角形，则有BC ＝AC ，∠ACB ＝60°，根据12BDC ＝，可知∠BDC ＝30°，则有∠CDE ＝60°，易证△CDE 是等边三角形，可以得出△BCD ≌△ACE （SAS ），则有BD ＝AE ；（3）①根据∠AFC =90°，M 为AC 的中点，得到 MF = 12AC =122⨯=1，则可知MF 的长在直线l 绕点A 旋转过程中，不会发生变化，②连接MB ，根据在△BMF 中，BM MF BC ，可知当点M ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，过点M 作MH ⊥BC ，根据∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，可得BC ，∠ACB ＝45°，且MH ⊥BC ，则有∠CMH ＝∠HCM ＝45°，可得出MC ，根据点M 是AC 中点，得到AC ＝，∴BC =4HC ，则可求出BH ＝BC ﹣HC ＝3HC ，利用tan ∠FBC ＝3MH HC BH HC=可得出结果． 【详解】解：（1）①ABD ADB ∠=∠．∵点C 关于直线l 的对称点为点D ，∴AD ＝AC ，且AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AC ，∴∠ADB ＝∠ABD ．②如图1，连接DA ，并延长DA 交BC 于点M ，∵AD＝AB＝AC,∴∠ADB＝∠ABD，∠ADC＝∠ACD．∵∠BAM＝∠ADB+∠ABD，∠MAC＝∠ADC+∠ACD，∴∠BAM＝2∠ADB，∠MAC＝2∠ADC，∴∠BAC＝∠BAM+∠MAC＝2∠ADB+2∠ADC＝2∠BDC＝α ．∴1BDC＝．2（2）如图3，连接CE，∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°，∵1BDC＝，2∴∠BDC＝30°，∵BD⊥DE，∴∠CDE＝60°．∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE＝CE，且∠CDE＝60°．∴△CDE是等边三角形．∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝60°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，且AC＝BC，CD＝CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）．∴BD＝AE ．（3）①如图4，因为∠AFC=90°，M为AC的中点，∴ MF = 12AC =122⨯=1． ∴MF 的长在直线l 绕点A 旋转过程中，不会发生变化．②法一：如图5，连接MB ，∵在△BMF 中，BM +MF ≥BC∴当点M ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，如图6，过点M 作MH ⊥BC ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴BC 2AC ，∠ACB ＝45°，且MH ⊥BC ，∴∠CMH ＝∠HCM ＝45°，∴MH ＝HC ，∴MC 2HC ，∵点M 是AC 中点，∴AC ＝22HC ，∴BC 2AC =4HC ．∴BH ＝BC ﹣HC ＝3HC ．∴tan ∠FBC ＝3MH HC BH HC =＝13． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 15．如图，在等边三角形ABC 中，点D 是射线CB 上一动点，连接DA ，将线段DA 绕点D逆时针旋转60°得到线段DE ，过点E 作EF ∥BC 交直线AB 于点F ，连接CF ．（1）如图1，若点D 为线段BC 的中点，则四边形EDCF 是 ；（2）如图2，若点D 为线段CB 延长线上任意一点，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若点D 为射线CB 上任意一点，当∠DAB ＝15°，△ABC 的边长为2时，请直接写出线段BD 的长．答案：A解析：（1）平行四边形；（2）成立，见解析；（3）423-或31-．【分析】（1）证明△ADB ≌△DEO （AAS ）和四边形EOBF 为平行四边形，进而求解；（2）证明△OED ≌△DAC （SAS ），则∠EOD ＝∠ACD ＝60°＝∠ABC ，故OE ∥AB ，进而求解；（3）分点D 在线段BC 上、点D （D ′）在BC 的延长线上两种情况，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质分别求解即可．【详解】解：（1）过点E 作DE 的垂线交CB 的延长线于点O ，设BA 交ED 于点R ，∵点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC 且∠BAD ＝30°，∵∠ADE ＝60°，∴∠EDB ＝∠ADB ﹣ADE ＝90°﹣60°＝30°，∵EF ∥BC ，∴∠EFD ＝∠ABC ＝60°，∠FED ＝∠EDO ＝30°，∴∠ERF ＝90°，∴DE ⊥AB ，∵AD ＝ED ，∠BAD ＝∠EDO ＝30°，∠ADB ＝∠DEO ＝90°，。
七下数学全等三角形压轴题组卷
全等三角形压轴题组卷一．选择题(共5小题)1．如图所示，是瑞安部分街道示意图，AB=BC=AC，CD=CE=DE，A，B，C，D，E，F，G，H为“公交汽车”停靠点，甲公共汽车从A站出发，按照A，H，G，D，E，C，F的顺序到达F站，乙公共汽车从B站出发，按照B，F，H，E，D，C，G的顺序到达G站，如果甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，各站耽误的时间相同，两辆车速度也一样，则( )A．甲车先到达指定站B．乙车先到达指定站C．同时到达指定站D．无法确定2．如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是( )A．56°B．60°C．68°D．94°3．如图在△ABD和△ACE都是等边三角形，则△ADC≌△ABE的根据是( )A．SSSB．SASC．ASAD．AAS4．如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是( )A．n B．2n-1 C． D．3(n+1)5．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD，∠DBC=∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题(共3小题)6．如图，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC延长线于F，且垂足为E，则下列结论：①AD=BF；②BF=AF；③AC+CD=AB，④AB=BF；⑤AD=2BE．其中正确的结论有．第6题第7题第8题7．如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．则下列结论：①AE=CD．②BF=BG．③HB⊥FG．④∠AHC=60°．⑤△BFG是等边三角形，其中正确的有．8．如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长是．三．解答题(共22小题)9．已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，试说明一下论断正确的理由：(1).∠BDC=90°；(2).BF=AC；(3).CE=12 BF．10．已知，D是△ABC中AB上一点，并且∠BDC=90°，DH垂直平分BC交BC于点H．(1).试说明：BD=DC；(2).如图2，若BE⊥AC于E，与CD相交于点F，试说明：△BDF≌△ACD；(3).在(1)、(2)条件下，若BE平分∠ABC，试说明：BF=2CE．11．数学问题：如图1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O1、O2、…、O n-1，求∠BO n-1C的度数？问题探究：我们从较为简单的情形入手．探究一：如图2，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于点O1，求∠BO1C的度数？解：由题意可得∠O1BC=12∠ABC，∠O1CB=12∠ACB∴∠O1BC+∠O1CB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-α)∴∠BO1C=180°-12(180°-α)=90°+12α．探究二：如图3，∠A=α，∠ABC、∠ACB三等分线分别交于点O1、O2，求∠BO2C的度数．解：由题意可得∠O2BC=23∠ABC，∠O2CB=23∠ACB∴∠O2BC+∠O2CB=23(∠ABC+∠ACB)=23(180°﹣α)∴∠BO2C=180°-23(180°-α)=60°+23α．探究三：如图4，∠A=α，∠ABC、∠ACB四等分线分别交于点O1、O2、O3，求∠BO3C 的度数．(仿照上述方法，写出探究过程)问题解决：如图1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O1、O2、…、O n-1，求∠BO n﹣1C的度数．问题拓广：如图2，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O1，两条角平分线构成一角∠BO1C．得到∠BO1C=90°+12α．探究四：如图3，∠A=α，∠ABC、∠ACB三等分线分别交于点O1、O2，四条等分线构成两个角∠BO1C，∠BO2C，则∠BO2C+∠BO1C= ．探究五：如图4，∠A=α，∠ABC、∠ACB四等分线分别交于点O1、O2、O3，六条等分线构成三个角∠BO3C，∠BO2C，∠BO1C，则∠BO3C+∠BO2C+∠BO1C= ．探究六：如图1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O1、O2、…、O n-1，(2n-2))等分线构成(n-1)个角∠BO n-1C…∠BO3C，∠BO2C，∠BO1C，则∠BO n-1C+…∠BO3C+∠BO2C+∠BO1C= ．12．如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4cm，∠BAC=90°，O为边BC上一点，OA=OB=OC，点M、N分别在边AB、AC上运动，在运动过程中始终保持AN=BM．(1).在运动过程中，OM与ON相等吗？请说明理由．(2).在运动过程中，OM与ON垂直吗？请说明理由．(3).在运动过程中，四边形AMON的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出四边形AMON的面积．13．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动(D不与B、C 重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．(1).当∠BDA=115°时，∠EDC= °，∠DEC= °；点D从B向C运动时，∠BDA 逐渐变 (填“大”或“小”)；(2).当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3).在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．14．如图，等腰直角三角形ABC，AB=BC，直角顶点B在直线PQ上，且AD⊥PQ于D，CE⊥PQ于E．(1).△ADB与△BEC全等吗？为什么？(2).图1中，AD、DE、CE有怎样的等量关系？说明理由．(3).将直线PQ绕点B旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，那么AD、DE、CE有怎样的等量关系？说明理由．15．如图，在等腰△ABC中，CB=CA，延长AB至点D，使DB=CB，连接CD，以CD为边作等腰△CDE，使CE=CD，∠ECD=∠BCA，连接BE交CD于点M．(1).BE=AD吗？请说明理由；(2).若∠ACB=40°，求∠DBE的度数．16．阅读理解基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图，AD是△ABC边BC上的中线，则S△ABD=S△ACD=12S△ABC理由：∵AD是△ABC边BC上的中线∴BD=CD又∵S△ABD=12BD×AH；S△ACD=12CD×AH∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC∴三角形中线等分三角形的面积基本应用：(1).如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．则S△ACD与S△ABC的数量关系为：；(2).如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，延长△ABC的边CA到点E，使AE=AC，连接DE．则S△CDE与S△ABC的数量关系为： (请说明理由)；(3).在图2的基础上延长AB到点F，使FB=AB，连接FD，FE，得到△DEF(如图3)．则S△EFD与S△ABC的数量关系为：；拓展应用：如图4，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E，F分别是线段AD，CE的中点，且△ABC的面积为18cm2，则△BEF的面积为 cm2．17．如图，在△ABC中，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，已知∠BAC=80°，请运用所学知识，确定∠EAF的度数．18．问题发现：如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B，D，E在同一直线上，连接CE，求∠BEC的度数，并确定线段BD与CE的数量关系．拓展探究：如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，且点B，D，E在同一直线上，AF⊥BE于F，连接CE，求∠BEC的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系．19．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足AE=CF．求证：DE=DF．20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．(1).求证：△ACD≌△BCE；(2).若AB=3cm，则BE= cm．(3).BE与AD有何位置关系？请说明理由．21．如图，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D．(1).求证：AB=AD+BC；(2).若BE=3，AE=4，求四边形ABCD的面积．22．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．(1).如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2).若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？23．如图，△ABC是等边三角形，点E、F分别在边AB和AC上，且AE=BF．(1).求证：△ABE≌△BCF；(2).若∠ABE=20°，求∠ACF的度数；(3).猜测∠BOC的度数并证明你的猜想．24．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与点B、点C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1).如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= ；(2).如图2，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=50°，请你求出∠BCE的度数．(写出求解过程)；(3).探索发现，设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：．②当点D在线段BC的延长线上时，则α，β之间有怎样的数量关系？请在图3中画出完整图形并请直接写出你的结论：．25．以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE．(1).试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；(2).延长BD交CE于点F试求∠BFC的度数；(3).把两个等腰直角三角形按如图2放置，(1)、(2)中的结论是否仍成立？请说明理由．26．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)，以AD为边做正方形ADEF，连接CF．(1).如图1，当点D在线段BC上时，求证CF+CD=BC．(2).如图2，当点D在线段BC得延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系．(3).如图3，当点D在线段BC得反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，若BC=17，CF=7，求DF的长．27．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，BD=CD；CE与BD交于F，连AF，M为BC中点，连接DM交CE于N．请说明：(1).△ABD≌△NCD；(2).CF=AB+AF．28．以点A为顶点作两个等腰直角三角形(△ABC，△ADE)，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．(1).说明BD=CE；(2).延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；(3).若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．29．如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．(1).如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2).若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过后，点P与点Q第一次在△ABC的边上相遇？(在横线上直接写出答案，不必书写解题过程)30．如图1，已知长方形ABCD，AB=CD=4，BC=AD=6，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止，设点P经过的路程为x，△APE的面积为y．(1).求当x=5时，对应y的值；(2).如图2、3、4，求出当点P分别在边AB、BC和CE上时，y与x之间的关系式；(3).如备用图，当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APE的周长最小？若存在，求出此时∠PAD的度数；若不存在，请说明理由．。
专题 全等三角形压轴题(30题)(解析版)
八年级上册数学《第十二章全等三角形》专题全等三角形压轴题训练（30题）1．（2022秋•忠县期末）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．【分析】（1）在BC上截取BM＝BD，连接FM，证明△BFD≌△BFM，△ECF≌△MCF，进而可以解决问题；（2）根据已知条件证明△BDF≌△CDA，进而可以解决问题．【解答】证明：（1）如图，在BC上截取BM＝BD，连接FM，∵∠A＝60，∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°，∴∠BFD＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，在△BFD和△BFM中，BD=BM∠1=∠2，BF=BF∴△BFD≌△BFM（SAS），∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF，∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°，∵∠CFE＝∠BFD＝60°，∴∠CFM＝∠CFE，∵CD平分∠ACB，∴∠3＝∠4，又CF＝CF，在△ECF和△MCF中，∠CFE=∠CFMFC=FC，∠3=∠4∴△ECF≌△MCF（ASA），∴EF＝MF，∴DF＝EF；（2）∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CDA＝90°，∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE，∴∠1＝∠3，∵BD＝CD，在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠CDABD=CD，∠1=∠3∴△BDF≌△CDA（ASA），∴DF＝DA，∵∠ADF＝90°，∴∠6＝45°，∵∠G＝∠6，∴∠5＝45°∴∠G＝∠5，∴GD＝DA，∴GD＝DF．【点评】本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．2．如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，E为AB延长线上一点，且CD＝BE，DE与BC相交于点F．（1）求证：DF＝EF．＝5，求EG的长．（2）过点F作FG⊥DE，交线段CE于点G，若CE⊥AC，CD＝4，S△EFG【分析】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，根据等腰三角形的性质及平行线的性质得到∠BEF＝∠HDF，∠DHC＝∠DCH，则DH＝CD，结合∠BFE＝∠HFD，即可利用AAS判定△BEF≌△HDF，根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据三角形的面积公式求解即可．【解答】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DH∥AB，∴∠DHC＝∠ABC，∴∠DHC＝∠ACB＝∠DCH，∴DH＝CD，∵CD＝BE，∴DH＝BE，∵DH∥AB，∴∠BEF＝∠HDF，在△BEF和△HDF中，∠BFE=∠HFD∠BEF=∠HDFBE=DH，∴△BEF≌△HDF（AAS），∴DF＝EF；（2）连接DG，∵DF＝EF，FG⊥DE，∴S△DFG ＝S△EFG＝5，∴S△DEG＝10，∵CE⊥AC，CD＝4，∴S△DEG =12EG•CD=12EG×4，∴12EG×4＝10，∴EG＝5．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS判定△BEF≌△HDF是解题的关键．3．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为BC边上的一个动点，连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，连接CD．（1）当点P在线段BC上时（不与点B重合），求证：△BAP≌△CAD；（2）当点P在线段BC的延长线上时（如图2），试猜想线段BP和CD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．【分析】（1）证得∠BAP＝∠CAD，根据SAS可证明△BAP≌△CAD；（2）可得∠BAP＝∠CAD，由SAS可证明△BAP≌△CAD，可得BP＝CD，∠B＝∠ACD，则结论得证．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAD﹣∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS）；（2）猜想：BP＝CD，BP⊥CD．证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC+∠PAC＝∠PAD+∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS），∴BP＝CD（全等三角形的对应边相等），∠B＝∠ACD（全等三角形的对应角相等），∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ACB＝90°，即：BP⊥CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键．4．在△ABC中，∠ABC＝90°．点G在直线BC上，点E在直线AB上，且AG与CE相交于点F，过点A 作边AB的垂线AD，且CD∥AG，EB＝AD，AE＝BC．（1）如图①，当点E在△ABC的边AB上时，求∠DCE的度数；（2）如图②，当点E在线段BA的延长线上时，求证：AB＝BG．【分析】（1）如图①，连接ED，根据已知条件得到△ADE≌△BEC（SAS），根据全等三角形的性质得到∠AED＝∠BCE，ED＝CE，于是得到结论；（2）如图②，连接DE，根据已知条件得到△ADE≌△BEC（SAS），根据全等三角形的性质得到∠AED ＝∠BCE，ED＝CE，根据等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠ECD，推出AF平分∠DAE，于是得到结论．【解答】解：（1）如图①连接ED，∵AD⊥AB，∴∠DAE＝90°，∵∠ABC＝90°，∵AD＝EB，AE＝BC，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴∠AED＝∠BCE，ED＝CE，∴∠AED+∠BEC＝∠BCE+∠BEC；∴∠AED+∠CEB＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DCE＝45°；（2）如图②，连接DE，∵AD⊥AB，∴∠DAE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DAE＝∠ABC，∵AD＝EB，AE＝BC，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴∠ADE＝∠BEC，ED＝CE，∵ED＝CE，∴∠EDC＝∠ECD，即∠ADE+∠ADC＝∠ECD，∴∠BEC+∠DAF＝∠AFC，∵∠BEC+∠EAF＝∠AFC，∴∠DAF＝∠EAF，∴AF平分∠DAE，∵∠DAE＝90°，∴∠EAF＝45°，∵∠EAF＝∠BAG，∴∠BAG＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABG＝90°，∴∠BGA＝∠BAG，∴AB＝BG．【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．5．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题；（2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题．【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，AC=DEBC=BE，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，在△BMK和△BGK中，∠MBD=∠GBDBK=BK，∠AKB=∠BKG∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，在△ABM和△DBG中，AB=BD∠ABM=∠DBG，BM=BG∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BMK≌△BGK．6．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG；（2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABF和△ACG中，∠BAD=∠CAGAB=AC，∠ABF=∠ACG∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）证明：∵△ABF≌△ACG，∴AF＝AG，BF＝CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠CAD＝∠CAG，在△AEF和△AEG中，AF=AG∠FAE=∠GAE，AE=AE∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF＝EG，∴BE＝BF+FE＝CG+EG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AEF≌△AEG．7．（2022秋•新市区校级期中）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．求证：（1）AD＝AE＝EC．（2）BA+BC＝2BF．【分析】（1）由△BCD和△BEA为等腰三角形，∠ABD＝∠EBC，得出∠BCD＝∠BEA，由△ABD≌△EBC可得∠BCE＝∠BDA，由∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA得出∠BCD+∠DCE＝∠DAE+∠BEA，进而得出∠DCE＝∠DAE，即可证明AE＝EC；（2）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，由“HL”得出Rt△BFE≌Rt△BGE和Rt△BFE≌Rt△BGE，从而得出BF＝BG，FA＝CG，再通过等量代换即可得出结论．【解答】（1）证明：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD与△EBC中，AB=EB∠ABD=∠EBD，BD=BC∴△ABD≌△EBC（SAS），∴∠BCE＝∠BDA，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∴∠BCD+∠DCE＝∠DAE+∠BEA，∵BD＝BC，BE＝BA，∴△BCD和△BEA为等腰三角形，∵∠ABD＝∠EBC，∴∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝EC＝AE；（2）证明：如图，过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BG，∴EF＝EG，在Rt△BFE与Rt△BGE中，EF=EGBE=BE，∴Rt△BFE≌Rt△BGE（HL），∴BF＝BG，在Rt△AFE与Rt△CGE中，EF=EGEA=EC，∴Rt△AFE≌Rt△CGE（HL），∴FA＝CG，∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．8．（2023春•余江区期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据SAS证明△CBD≌△CAE即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可；（3）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．【解答】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△CBD与△CAE中，BC=AC∠BCD=∠ACE，DC=EC∴△CBD≌△CAE（SAS）；（2）∵△CBD≌△CAE，∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），故答案为：8；（3）AE⊥BD，理由如下：AE与CD相交于点O，在△AOD与△COE中，∵△CBD≌△CAE，∴∠ADO＝∠CEO，∵∠AOD＝∠COE，∴∠OAD＝∠OCE＝90°，∴AE⊥BD．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS得出△CBD与△CAE全等解答．9．已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是BC上一点，连接AE（1）如图1，当AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，△EHB的周长为10m，求AB的长；（2）如图2，延长BC至D，使DC＝BC，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，连接DF，过点B作BG⊥BC，交FC的延长线于点G，求证：BG＝BE．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝45°，根据角平分线的性质得到CE＝EH＝BH，根据全等三角形的性质得到AH＝AC，于是得到结论；（2）先连接AD，依据AAS判定△ADF≌△ABE，得到DF＝BE，再判定△BCG≌△DCF，得出DF＝BG，进而得到BG＝BE．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∵AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，∴CE＝EH＝BH，在Rt△ACE与Rt△AHE中，CE=EH AE=AE，∴Rt△ACE与Rt△AHE（HL），∴AH＝AC，∴AH＝BC，∵△EHB的周长为10m，∴AB＝AH+BH＝BC+BH＝10m；（2）如图所示，连接AD，线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，则AE＝AF，∠EAF＝90°，∵AC⊥BD，DC＝BC，∴AD＝AB，∠ABE＝∠ADC＝45°，∴∠BAD＝90°＝∠EAF，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴DF＝BE，∠ADF＝∠ABE＝45°，∴∠FDC＝90°，∵BG⊥BC，∴∠CBG＝∠CDF＝90°，又∵BC＝DC，∠BCG＝∠DCF，∴△BCG≌△DCF（ASA），∴DF＝BG，∴BG＝BE．【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等得出结论．10．在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥MB，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图①，点D在线段AM上，且DM＝CM．求证：△BDM≌△ACM；（2）如图②，在（1）的条件下，点E是△ABC外一点，且满足EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且F为线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．【分析】（1）利用SAS即可证明△BMD≌△AMC．（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，证△BMD≌△AMC得AC＝BD，再证△BFG≌△CFE可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝∠CEF．【解答】（1）证明：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，在△BMD和△AMC中，DM=CM∠BMD=∠AMC BM=AM，∴△BMD≌△AMC（SAS）；（2）证明：延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．如图所示：∵△BMD≌△AMC∴BD＝AC，又∵CE＝AC，∴BD＝CE，在△BFG和△CFE中，BF=FC∠BFG=∠EFC FG=FE，∴△BFG≌△CFE（SAS），∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDF＝∠G＝∠CEF．∴∠BDF＝∠CEF．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于点D．（1）求证：BD＝CD．（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE＝AC．（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论．【分析】（1）根据∠A＝120°，∠C＝20°，可得∠ABC的度数，再根据BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠C＝20°，进而可得结论；（2）如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，证明△ABE≌△AFE，可得BE＝EF＝FC，进而可得AB+BE ＝AC；（3）如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，结合（1）和AE是∠BAC的外角平分线，可得FE＝AF＝AC，进而可得结论BE﹣AB＝AC．【解答】（1）证明：∵∠A＝120°，∠C＝20°，∴∠ABC＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC=12∠ABC＝20°，∴∠DBC＝∠C＝20°，∴BD＝CD；（2）证明：如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，∴∠FEC＝∠DBC＝20°，∴∠FEC＝∠C＝20°，∴∠AFE＝40°，FE＝FC，∴∠AFE＝∠ABC，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，∠BAE=∠FAE∠ABE=∠AFE，AE=AE∴△ABE≌△AFE（AAS），∴BE＝EF，∴BE＝EF＝FC，∴AB+BE＝AF+FC＝AC；（3）（2）中的结论不成立，正确的结论是BE﹣AB＝AC．理由如下：如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，∴∠AFC＝∠DBC＝20°，∴∠AFC＝∠C＝20°，∴AF＝AC，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠EAB=12（180°﹣∠ABC）＝30°，∵∠ABC＝40°，∴∠E＝∠ABC﹣∠EAB＝10°，∴∠E＝∠FAE＝10°，∴FE＝AF，∴FE＝AF＝AC，∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．12．（2022秋•渝北区校级期末）已在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，D为直线AB上一点，连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上，且∠DCB＝30°时，请探究DF，EF，CF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，在FC上任取一点G，连接DG，作射线GP使∠DGP＝60°，交∠DFG 的平分线于点Q，求证：FD+FG＝FQ．【分析】（1）在EF上找到G点使得FG＝CF，易证△CFG是等边三角形，可得CG＝CF＝GF，即可求得∠ECG＝∠ACD，即可证明△ECG≌△CDF，可得DF＝EG，即可解题；（2）在FP上找到H点，使得FH＝FG，易证△FGH是等边三角形，可得∠GHF＝∠FGH＝60°，GH ＝FG＝FH，即可求得∠FGD＝∠QGH，即可证明△DFG≌△QHG，可得DF＝QH，即可解题．【解答】（1）解：EF＝DF+CF；在EF上找到G点使得FG＝CF，如图2，∵∠BCD＝30°，∠ACB＝45°，∴∠ACD＝15°，∴∠CFG＝∠CDE+∠ACD＝60°，∵FG＝CF，∴△CFG是等边三角形，∴CG＝CF＝GF，∠FCG＝60°，∴∠GCE＝90°﹣15°﹣60°＝15°，在△ECG和△CDF中，CG=CF∠ECG=∠ACD，CE=CD∴△ECG≌△CDF，（SAS）∴DF＝EG，∵EF＝EG+GF，∴EF＝DF+CF；（2）证明：在FQ上找到H点，使得FH＝FG，如图3，∵FQ平分∠DFG，∴∠QFG＝60°，∵FG＝FH，∴△FGH是等边三角形，∴∠GHF＝∠FGH＝60°，GH＝FG＝FH，∵∠AFD＝∠CDE+∠ACD＝60°，∴∠GHQ＝∠DFG＝120°，∵∠FGD+∠DGH＝60°，∠DGH+∠QGH＝60°，∠QGH＝∠DGF，∴∠FGD＝∠QGH，在△DFG和△QHG中，∠DFG=∠QHG=120°FG=HG，∠FGD=∠QGH∴△DFG≌△QHG，（ASA）∴DF＝QH，∵FQ＝FH+QH，∴FQ＝FG+FD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ECG≌△CDF和△DFG≌△QHG是解题的关键．13．（2022春•运城期末）综合与探究如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠ADB，结合平角的定义可得∠DAE+∠DFE＝180°，根据∠BFC+∠DFE＝180°，可求得∠BFC＝∠DAE，即可求解；（3）连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．结合全等三角形的性质利用HL证明Rt△AFJ≌Rt△AFH，Rt△AJE≌Rt△AHD可得FJ＝FH，EJ＝DH，进而可证明结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．∴∠CAE＝∠BAD．在△ACE和△ABD中，AC=AB∠CAE=∠BAD，AE=AD∴△ACE ≌△ABD （SAS ）；（2）解：∵△ACE ≌△ABD ，∴∠AEC ＝∠ADB ，∴∠AEF +∠AEC ＝∠AEF +∠ADB ＝180°．∴∠DAE +∠DFE ＝180°，∵∠BFC +∠DFE ＝180°，∴∠BFC ＝∠DAE ＝∠BAC ＝50°；（3）证明：如图，连接AF ，过点A 作AJ ⊥CF 于点J ．∵△ACE ≌△ABD ，∴S △ACE ＝S △ABD ，CE ＝BD ，∵AJ ⊥CE ，AH ⊥BD ．∴12CE ⋅AJ =12BD ⋅AH ，∴AJ ＝AH ．在Rt △AFJ 和Rt △AFH 中，AF =AF AJ =AH ，∴Rt △AFJ ≌Rt △AFH （HL ），∴FJ ＝FH ．在Rt △AJE 和Rt △AHD 中，AE =AD AJ =AH ，∴Rt △AJE ≌Rt △AHD （HL ），∴EJ ＝DH ，∴EF +DH ＝EF +EJ ＝FJ ＝FH ．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．14．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点D ，延长BD 交AC 于E ，G 、F 分别在BD 、BC 上，连接DF 、GF ，其中∠A ＝2∠BDF ，GD ＝DE ．（1）当∠A ＝80°时，求∠EDC 的度数；（2）求证：CF ＝FG +CE ．【分析】（1）方法一：先求∠ABC 和∠ACB 的和为100°，再根据角平分线求∠DBC +∠DCB ＝50°，再根据外角即可解决问题；方法二：在BC 上取点M ，使CM ＝CE ，证明△CDE ≌△CDM （SAS ），可得DE ＝DM ，∠DEC ＝∠DMC ，∠EDC ＝∠MDC ，证明∠BDM ＝180°−12∠ABC ﹣∠DMB ＝180°−12∠ABC ﹣∠AEB ＝∠A ＝80°，进而可以解决问题．（2）结合（1）然后证明△DGF ≌△DMF （SAS ），可得GF ＝MF ，进而可以解决问题．【解答】（1）解：方法一：∵∠A ＝80°，∴∠ABC +∠ACB ＝100°，∵BE 平分∠ABC 、CD 平分∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB ＝50°，∴∠EDC ＝∠DBC +∠DCB ＝50°；方法二：如图，在BC 上取点M ，使CM ＝CE ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD＝∠BCD，在△CDE和△CDM中，CE=CM∠ECD=∠MCDCD=CD，∴△CDE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，∵GD＝DE，∴GD＝MD，∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，∴∠AEB＝∠DMF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，∴∠BDM＝180°−12∠ABC﹣∠DMB＝180°−12∠ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，∴∠EDM＝100°，∴∠EDC＝50°；（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDM＝2∠BDF，∴∠FDM＝∠BDF，在△DGF和△DMF中，DG=DM∠GDF=∠MDFDF=DF，∴△DGF≌△DMF（SAS），∴GF＝MF，∴CF＝CM+FM＝CE+GF．∴CF＝FG+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是根据题意准确作出辅助线得到△DGF≌△DMF．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：AC＝AE；（2）求证：∠BAC+∠FDB＝180°；（3）若AB＝9.5，AF＝1.5，求线段BE的长．【分析】（1）证△ACD≌△AED（AAS），即可得出结论；（2）设∠DAC＝∠DAE＝α，在AB上截取AM＝AF，连接MD，证△FAD≌△MAD（SAS），得FD＝MD，∠ADF＝∠ADM，再证Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得∠DME＝∠B，然后证∠FDB＝90°+90°﹣2α＝180°﹣2α，即可得出结论；（3）求出MB＝AB﹣AM＝8，由全等三角形的性质得ME＝BE，即可求解．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∵DE⊥BA，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠DEA＝90°，在△ACD和△AED中，∠C=∠DEA∠DAC=∠DAE，AD=AD∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC＝AE；（2）证明：设∠DAC＝∠DAE＝α，∵∠C＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°﹣α，∠ADE＝90°﹣α，则∠FDB＝∠FCD+∠DFC＝90°+∠DFC，在AB上截取AM＝AF，连接MD，如图所示：在△FAD和△MAD中，AF=AM∠DAF=∠DAM，AD=AD∴△FAD≌△MAD（SAS），∴FD＝MD，∠ADF＝∠ADM，∵BD＝DF，∴BD＝MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，MD=BDDE=DE∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），∴∠DME＝∠B，∵∠DAC＝∠DAE＝α，∴∠DAC+∠ADF＝∠ADM+∠ADM，在△FAD中，∠DAC+∠ADF＝∠DFC，在△AMD中，∠DAE+∠ADM＝∠DME，∴∠DFC＝∠DME，∴∠DFC＝∠B，∵∠C＝90°，在△ABC中，∠B＝90°﹣2α，∴∠DFC＝90°﹣2α，∴∠FDB＝90°+90°﹣2α＝180°﹣2α，∵∠BAC＝∠DAC+∠DAE＝2α，∴∠FDB+∠BAC＝180°﹣2α+2α＝180°；（3）解：∵AF＝AM，且AF＝1.5，∴AM＝1.5，∵AB＝9.5，∴MB＝AB﹣AM＝9.5﹣1.5＝8，由（2）得：Rt△MDE≌Rt△BDE，∴ME＝BE，∴BE=12BM=4，即BM的长为4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键．16．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接DE，CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，求证：BD＝CE．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．②当点D分别在线段BC上、线段BC的反向延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由.【分析】（1）根据SAS证△BAD≌△CAE，可得结论；（2）①由△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS），（2）解：①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②分三种情况：i）当D在线段BC上时，如图2，α+β＝180°，理由是：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，∴α+β＝180°，ii）当点D在线段BC反向延长线上时，如图3，α＝β．如图3，同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图1，α＝β．综上，当点D在BC上移动时，α＝β或α+β＝180°．【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（2022春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD．以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．（1）若AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图②中画出相应的图形并说明理由；（2）如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA＝45°，点D在线段BC上运动，试探究CF与BD 的位置关系．【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF＝∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，根据全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质求解即可；②先求出∠CAF＝∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；（2）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC＝AE，∠AED＝45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF＝∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF＝∠AED，然后求出∠BCF＝90°，从而得到CF ⊥BD．【解答】解：（1）①CF＝BD，CF⊥BD，理由如下：∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，AB＝AC，∴∠CAF+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，∠B＝∠ACB＝45°，∴∠CAF＝∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD，AF=AD∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠FCB＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BD；②①中的结论成立，理由如下：如图②：∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，AB＝AC，∴∠BAC＝∠DAF＝90°，∠B＝∠ACB＝45°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠CAF＝∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD，AF=AD∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BD；（3）如图③，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝AE，∠AED＝45°，∵∠CAF+∠CAD＝90°，∠EAD+∠CAD＝90°，∴∠CAF＝∠EAD，在△ACF和△AED中，AC=AE∠CAF=∠EAD，AF=AD∴△ACF≌△AED（SAS），∴∠ACF＝∠AED＝45°，∴∠BCF＝∠ACF+∠BCA＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BC．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作出合理的辅助线根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键．18．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）△ABC≌△ADE吗？为什么？（2）求∠FAE的度数；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，试说明CD＝2BF+DE．【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△ADE；（2）由等腰直角三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°，由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠AED＝45°，即可求解；（3）由全等三角形的性质可得∠ABC＝∠ADE，BC＝DE，由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得AB＝AG＝AD，∠ABG＝∠AGB＝∠ADC，由“AAS”可证△ACD≌△ACG，可得CD＝CG，可得结论．【解答】证明：（1）△ABC≌△ADE，理由如下：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠EAD＝∠CAB，在△ABC和△ADE中，AB=AD∠BAC=∠DAE，AC=AE∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠AEC＝∠ACE＝45°，∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠AED＝45°，∵AF⊥CB，∴∠FAC＝45°，∴∠FAE＝135°；（3）∵△ABC≌△ADE，∴∠ABC＝∠ADE，BC＝DE，∴∠ADC＝∠ABG，∵AF⊥BF，BF＝FG，∴AB＝AG，∴AG＝AD，∠ABG＝∠AGB＝∠ADC，又∵∠ACG＝∠ACD＝45°，∴△ACD≌△ACG（AAS），∴CD＝CG，∴CD＝BG+CB＝2BF+DE．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，证明△ACD≌△ACG是解题的关键．19．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在直线AC上，点E在直线AB上，∠ADE＝∠ABC．（1）如图1，当点D、E分别在边AC、AB上时，求证：DE⊥AB；（2）如图2，当点D在CA延长线上，点E在BA延长线上时，DE、BC延长线交于点F，作∠EAC的角平分线AG交DF于点G，求证：∠D+2∠DGA＝90°；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG交CD于点H，若∠DGH＝∠DHG，∠AGB＝3∠CBH，求∠DGA的度数．【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABC+∠A＝90°，等量代换得出∠ADE+∠A＝90°，进而得出∠AED＝90°，根据垂直的定义即可得解；（2）过点G作GN∥FB交CD于点N，根据平行线的性质及垂直的定义推出∠AEG＝∠ANG＝90°，根据角平分线定义得出∠EAG＝∠NAG，利用AAS证明△EAG≌△NAG，根据全等三角形的性质及直角三角形的性质即可得解；（3）根据直角三角形的性质及对顶角相等得出∠DGH＝90°−13∠AGB，根据等腰三角形的性质推出∠DGH＝90°−12∠D，则90°−13∠AGB＝90°−12∠D，进而推出∠AGB=32∠D，则∠DGA+32∠D＝90°−12∠D，结合（2）求解即可．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∵∠ADE＝∠ABC，∴∠ADE+∠A＝90°，∴∠AED＝90°，∴DE⊥AB；（2）证明：如图2，过点G作GN∥FB交CD于点N，则∠GNC＝∠ACB＝90°，∴GN⊥CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵∠ADE＝∠ABC，∠BAC＝∠DAE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠DEA＝90°，∴BE⊥DF，∴∠AEG＝∠ANG＝90°，∵AG平分∠EAC，∴∠EAG＝∠NAG，在△EAG和△NAG中，∠AEG=∠ANG∠EAG=∠NAGAG=AG，∴△EAG≌△NAG（AAS），∴∠DGA＝∠NGA，∴∠DGN＝2∠DGA，∵∠D+∠DGN＝90°，∴∠D+2∠DGA＝90°；（3）解：∵∠AGB＝3∠CBH，∴∠CBH=13∠AGB，∵∠DHG＝∠CHB＝90°﹣∠CBH，∴∠DGH＝90°−13∠AGB，∵∠DGH＝∠DHG，∴∠DGH=12（180°﹣∠D）＝90°−12∠D，∴90°−13∠AGB＝90°−12∠D，∴∠AGB=32∠D，∵∠DGH＝∠DGA+∠AGB，∴∠DGA+∠AGB＝90°−12∠D，∴∠DGA+32∠D＝90°−12∠D，∴2∠D+∠DGA＝90°，由（2）知，∠D+2∠DGA＝90°，∴∠D＝∠DGA，∴3∠DGA＝90°，∴∠DGA＝30°．【点评】此题是三角形综合题，考查了直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．20．（2023春•新市区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明；（3）如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论；（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．（3）过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．【解答】解：（1）结论：AC＝EF+FC．理由如下：过D作DH⊥CB于H，∴∠DHC＝∠DHB＝90°，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠EFC=∠DHC=90°∠FCE=∠DCH，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CB+HB，∴AC＝FC+EF；（2）依题意补全图形，结论：AC＝EF﹣CF，理由如下：过D作DH⊥CB交BC的延长线于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠FCE=∠DCH∠EFC=∠DHC=90°，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝HB﹣CH，∴AC＝EF﹣CF；（3）AC＝CF﹣EF．如图3，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，同理可证△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CH﹣BH，∴AC＝CF﹣EF．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．21．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F 不重合），并说明理由．【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．22．（1）如图1，∠B＝∠D＝90°，E是BD的中点，AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD．（2）如图2，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线并于点E，过点E作BD⊥AM，分别交AM、CN于B、D，请猜想AB、CD、AC三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．（3）如图3，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线交于点E，过点E作不垂直于AM的线段BD，分别交AM、CN于B、D点，且B、D两点都在AC的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）过点E作EF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB＝OE，从而求出OE＝OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；（2）如图2，过E作EF⊥AC于F，根据平行线的性质得到BD⊥CD，由角平分线的性质得到BE＝EF，证得Rt△AEF≌Rt△ABE，根据全等三角形到现在得到AF＝AB，同理CF＝CD，等量代换得到结论；（3）成立，如图3，在AC上截取AF＝AB，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠FAE，推出△ABE≌△AFE，根据全等三角形的性质得到∠AFE＝∠ABE，根据角平行线的性质得到∠ABE+∠CDE＝180°，求得∠CFE＝∠CDE，证得△CEF≌△CDE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过E作EF⊥AC于F，∵∠B＝90°，AE平分∠BAC，∴EF＝BE，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，∴EF＝DE，∵∠D＝90°，∴CE平分∠ACD；（2）如图2，过E作EF⊥AC于F，∵AM∥CN，BD⊥AM，∴BD⊥CD，∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF，在Rt△AEF与Rt△ABE中，BE=EF AE=AE，∴Rt△AEF≌Rt△ABE，∴AF＝AB，同理CF＝CD，∵AC＝AF+CF，∴AC＝AB+CD；（3）成立，如图3，在AC上截取AF＝AB，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE与△AFE中，AB=AF∠BAE=∠FAEAE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠AFE＝∠ABE，∵AM∥CN，∴∠ABE+∠CDE＝180°，∵∠AFE+∠EFC＝180°，∴∠CFE＝∠CDE，∵CE平分∠ACD，∴∠FCE＝∠DCE，在△CEF与△CDE中，∠CFE=∠CDE ∠FCE=∠DCE CE=CE，∴△CEF≌△CDE，∴CF＝CD，∵AC＝AF+CF，∴AC＝AB+CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．23．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【分析】（1）我们已知了三角形BED和CAB全等，那么DE＝AF+CF，因此只要求出EF＝CF就能得出本题所求的结论，可通过全等三角形来实现，连接BF，那么证明三角形BEF和BCF全等就是解题的关键，这两三角形中已知的条件有BE＝BC，一条公共边，根据斜边直角边定理，这两个直角三角形就全等了，也就得出EF＝CF，也就能证得本题的结论了；（2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样；（3）结论不成立．结论：AF＝DE+EF．同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AF＝AC+FC＝DE+EF．【解答】（1）证明：连接BF（如图①），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC＝BE，AC＝DE．∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴∠BCF＝∠BEF＝90°．在Rt△BFC和Rt△BFE中，BF=BFBC=BE∴Rt△BFC≌Rt△BFE（HL）．∴CF＝EF．又∵AF+CF＝AC，∴AF+EF＝DE．（2）解：画出正确图形如图②∴（1）中的结论AF+EF＝DE仍然成立；（3）不成立．结论：AF＝DE+EF．。
期末难点特训 与全等三角形有关的压轴题-【微专题】
七下期末难点特训（二）与全等三角形有关的压轴题1. 如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且BEC CFAα∠=∠=．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，90α=︒，则BE_________CF．②如图2，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件__________________，使①中的结论仍然成立，并说明理由；（2）如图3．若线CD经过∠BCA的外部，BCAα=∠，请提出关于EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由2. 如图，AD//BC，∠BAD的平分线交BC于点G．∠BCD＝90°．（1）试说明：∠BAG＝∠BGA：（2）如图2，∠BCD的平分线交AD于点E交射线GA于点F，①写出∠AFC，∠BAG的数量关系，并说明理由．②若∠ABG＝55°，则∠AFC＝ ．（3）如图3，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，则ABMGBM∠∠的值是 ．3. （1）问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将 ADF绕点A顺时针旋转90°与 ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G ，B ，C 在一条直线上），∠GAF 的平分线交BC 于点E ，连接EF ，判断线段EF 与GE 之间有怎样的数量关系，并说明理由．（2）知识迁移：如图2，在四边形ABCD 中，∠ADC +∠B ＝180°，AB ＝AD ，E ，F 分别是边BC ，CD 延长线上的点，连接AE ，AF ，且∠BAD ＝2∠EAF ，试写出线段BE ，EF ，DF 之间的数量关系，并说明理由．（3）实践创新：如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC 平分∠DAB ，点E 在AB 上，连接DE ，CE ，且∠DAB ＝∠DCE ＝60°，若DE ＝a ，AD ＝b ，AE ＝c ，求BE 的长．（用含a ，b ，c 的式子表示）4. 如图，Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，CAB ∠与ABC ∠的角平分线BE ，AD 相交于点G ，过G 作AD 垂线交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ．（1）求DGB ∠的大小；（2）若10AD =，6GF =，求GH 长度；（3）若5ABG S =△，求四边形ABDE 的面积．5. 如图，Rt ACB 中，90ACB ∠=︒，ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ．（1）求APB ∠度数；（2）求证：ABP ≌FBP ；（3）猜想线段AH ，AB ，BD 的数量关系，并证明．6. （1）模型的发现：如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，且B 、C 两点在直线l 的同侧，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D ，E ．请直接写出DE 、BD 和CE 的数量关系．（2）模型的迁移1：位置的改变如图2，在（1）的条件下，若B ，C 两点在直线l 的异侧，请说明DE 、BD 和CE 的关系，并证明．（3）模型的迁移2：角度的改变如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即12BAC α∠=∠=∠=，其中90180α︒<<︒，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明DE 、BD 和CE 的关系，并证明．7. 平面内有直线AB 和直线CD ，点E 是平面内任意一点，连接AE 、CE ，∠AEC ＝60°．（1）若直线AB∥CD；如图1，当点E在两条平行线之间时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系 ；如图2，当点E在两条平行线外部时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系 ；（2）若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图3，当点E在∠AOC 内部，且∠AEC＝45°，猜想∠BAE与∠DCE的数量关系，并证明；（3）我们小学学习过三角形的内角和等于180°，若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图4，当点E在∠AOC外部，且∠AEC＝45°，分别作射线AM平分∠BAE、作射线CN平分∠DCE，反向延长AM与CN交于点P，求∠APN 的度数？8. 已知 ABC．（1）如图1，按如下要求用尺规作图：①作出 ABC的中线CD；②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）（2）在（1）中，直线AE与直线BC的关系是；（3）如图2，若∠ACB＝90︒，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；（4）如图3，若∠ACB＝45︒，AC＝BC，CD是 ABC的中线，过点B作BE⊥AC 于E，交CD于点F，连接DE．若CF＝4，则DE的长是．9. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1cm/s和x cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F（1）如图1，当x＝2时，设点P运动时间为ts，当点P在AC上，点Q在BC上时，①用含t的式子表示CP和CQ，则CP＝ cm，CQ＝ cm；②当t＝2时，△PEC与△QFC全等吗？并说明理由；（2）请问：当x＝3时，△PEC与△QFC有没有可能全等？若能，直接写出符合条件的t值：若不能，请说明理由．10. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥B C．（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG 全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．11. 问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB =AD ．∠BAD =120°．∠B =∠ADC =90°．E ，F 分别是BC ．CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ．使DG =BE ．连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADF =180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．12. CD 经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =．E F ，分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E F ，在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90BCA ∠= ，90α∠= ，则BE CF ；EF BE AF -（填“>”，“<”或“=”）；②如图2，若0180BCA <∠< ，请添加一个关于α∠与BCA ∠关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请提出三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．13. 现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在ABC ∆中，90︒∠=C ,若点D 为AB 的中点，则12CD AB =．请结合上述结论解决如下问题：已知，点P 是射线BA 上一动点（不与A,B 重合）分别过点A,B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E,F,其中Q 为AB 的中点（1）如图2，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系____________；QE 与QF 的数量关系是__________（2）如图3，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P 在线段BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．14. 已知∠BAE 与∠BCD 互为补角，AB ＝AE ，CB ＝CD ，连接ED ，点P 为ED的中点．（1）如图1，若点A ，B ，C 三点在同一条直线上．①求证：∠EBD ＝90°；②求证：AP ∥BD ；（2）如图2，若点A ，B ，C 三点不在同一条直线上，求证：AP ⊥CP ．15. 如图1，长方形ABCD 中，AB =CD =7cm ，AD =BC =5cm ，∠A =∠B =∠C =∠D =90°，点E 在线段AB 上以lcms 的速度由点A 向点B 运动，与此同时点F 在线段BC 上由点B 向点C 运动，设运动的时间均为ts ．（1）若点F 的运动速度与点E 的运动速度相等，当t =2时：①判断△BEF 与△ADE 是否全等？并说明理由；②求∠EDF 的度数．（2）如图2，将图1中的“长方形ABCD ”改为“梯形ABCD ”，且∠A =∠B =70°，AB =7cm ，AD =BC =5cm ，其他条件不变．设点F 的运动速度为xcm /s ．是否存在x 的值，使得△BEF 与△ADE 全等？若存在，直接写出相应的x 及t 的值；若不存在，请说明理由．16. 乐乐和数学小组的同学们研究了如下问题，请你也来试一下吧.点C 是直线1l 上一点，在同一平面内，乐乐他们把一个等腰直角三角板ABC 任意放，其中直角顶点C 与点C 重合，过点A 作直线21l l ⊥，垂足为点M ，从过点B 作31l l ⊥，垂足为点N .（1）当直线2l ，3l 位于点C 的异侧时，如图1，线段BN ，AM ，MN 之间的数量关系___（不必说明理由）；（2）当直线2l ，3l 位于点C 的右侧时，如图2，判断线段BN ，AM ，MN 之间的数量系，并说明理由；（3）当直线2l ，3l 位于点C 的左侧时，如图3，请你补全图形，并直接写出线段BN ，AM ，MN 之间的数量关系.17. 如图所示，是某城市街道示意图，已知ABC ∆与ECD ∆均是等边三角形（即三条边都相等，三个角都相等的三角形），点,,,,,,,A B C D E F G H 为公交车停靠站，且点,,B C D 在同一条直线上．（1）图中BCE ∆与ACD ∆全等吗？请说明理由；（2）连接FG ，写出CFG ∠与CGF ∠的大小关系；（3）公交车甲从A 出发，按照A H G D E C F →→→→→→的顺序到达F 站；公交车乙从B 出发，按照B F H E D C F →→→→→→的顺序到达F站．若甲，乙两车分别从,A B 两站同时出发，在各站停靠的时间相同，两车的平均速度也相同，则哪一辆公交车先到达指定站？为什么？18. 如图，在ABC ∆中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD .以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .（1）若AB AC =，90BAC ∠=︒①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系；②当点D 在线段C 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；（2）如图3，若AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，45BCA ∠=︒，点D 在线段BC 上运动，试探究CF 与BD 的位置关系.七下期末难点特训（二）与全等三角形有关的压轴题【1题答案】【答案】（1）①BE ＝CF ；②180BCA α+∠=︒，理由见解析（2）EF ＝BE ＋AF ，理由见解析【解析】【分析】（1）①由∠BCA =90°，∠BEC =∠CFA =α=90°，可得∠CBE =∠ACF ，从而可证△BCE ≌△CAF ，故BE =CF ．②若BE =CF ，则可使得△BCE ≌△CAF ．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，△BCE ≌△CAF 便可得证．（2）题干已知条件可证△BCE ≌△CAF ，故BE =CF ，EC =FA ，从而可证明EF =BE +AF ．【小问1详解】①∵∠BEC =∠CFA =α=90°，∴∠BCE +∠CBE =180°-∠BEC =90°．又∵∠BCA =∠BCE +∠ACF =90°，∴∠CBE =∠ACF ．在△BCE 和△CAF 中，BEC CFA CBE ACF BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△CAF （AAS ）．∴BE =CF ．②α+∠BCA =180°，理由如下：∵∠BEC =∠CFA =α，∴∠BEF =180°-∠BEC =180°-α．又∵∠BEF =∠EBC +∠BCE ，∴∠EBC +∠BCE =180°-α．又∵α+∠BCA =180°，∴∠BCA =180°-α．∴∠BCA =∠BCE +∠ACF =180°-α．∴∠EBC =∠FCA ．在△BCE 和△CAF 中，CBE ACF BEC CFABC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△CAF （AAS ）．∴BE =CF ．故答案为：①BE ＝CF ；②180BCA α+∠=︒【小问2详解】EF =BE +AF ，理由如下：∵∠BCA =α，∴∠BCE +∠ACF =180°-∠BCA =180°-α．又∵∠BEC =α，∴∠EBC +∠BCE =180°-∠BEC =180°-α．∴∠EBC =∠FCA ．在△BEC 和△CFA 中，EBC FCA BEC FCABC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEC ≌△CFA （AAS ）．∴BE =CF ，EC =FA ．∴EF =EC +CF =FA +BE ，即EF =BE +AF ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【2题答案】【答案】（1）见解析；（2）①∠BAG =∠AFC +45°，证明见解析；②17.5°；（3）5或13【解析】【分析】（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明；（2）①由（1）和角平分线的定义可求解；②求出∠BAG，利用①中结论计算即可；（3）有两种情况：①当M在BP的下方时，如图5，设∠ABC=4x，先根据已知计算∠ABP=3x，∠PBG=x，根据平行线的性质得：∠BCH=∠AGB=18042x︒-=90°-2x，根据角的和与差计算∠ABM，∠GBM的度数，可得结论；②当M在BP的上方时，如图6，同理可得结论．【详解】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠GAD=∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD，∴∠BAG=∠BGA；（2）①∠BAG=∠AFC+45°，理由如下：∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，∴∠GCF=45°，∵∠BGA=∠AFC+∠GCF，∴∠BGA=∠AFC+45°，由（1）知，∠BAG=∠BGA，∴∠BAG=∠AFC+45°；②∵∠ABG=55°，∴∠BAG=（180°-55°）÷2=62.5°，∴∠AFC=62.5°-45°=17.5°；故答案为：17.5°．（3）有两种情况：①当M在BP的下方时，如图，设∠ABC=4x，∵∠ABP =3∠PBG ，∴∠ABP =3x ，∠PBG =x ，∵AG ∥CH ，∴∠BCH =∠AGB =18042x ︒-=90°-2x ，∵∠BCD =90°，∴∠DCH =∠PBM =90°-（90°-2x ）=2x ，∴∠ABM =∠ABP +∠PBM =3x +2x =5x ，∠GBM =2x -x =x ，∴∠ABM ：∠GBM =5x ：x =5；②当M 在BP 的上方时，如图，同理得：∠ABM =∠ABP -∠PBM =3x -2x =x ，∠GBM =2x +x =3x ，∴∠ABM ：∠GBM =x ：3x =13，综上，ABM GBM∠∠的值是5或13，故答案为：5或13．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质及角的和与差，注意分类讨论思想的运用，本题容易丢解，要注意审题．【3题答案】【答案】（1）EF ＝GE ，理由见详解；（2）BE −DF ＝EF ，理由见详解；（3）BE ＝2a b c +-，理由见详解【解析】【分析】（1）根据SAS 直接可证△GAE ≌△FAE 即得GE ＝EF ；（2）在BE 上取BG ＝DF ，连接AG ，由∠ADC ＋∠B ＝180°，∠ADF ＋∠ADC ＝180°，得∠B ＝∠ADF ，从而SAS 证△ABG ≌△ADF ，再通过SAS 证△GAE ≌△FAE ，得GE ＝EF ，从而解决问题；（3）作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ，取FG ＝BE ，连接CG ，由（2）同理可两次全等证明出DE ＝GD 即可．【详解】解：（1）EF ＝GE ，理由如下：∵△ADF 绕点A 顺时针旋转90°与△ABG 重合，∴AG ＝AF ，∵AE 平分∠GAF ，∴∠GAE ＝∠FAE ，在△GAE 和△FAE 中，AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAE ≌△FAE （SAS ），∴GE ＝EF ；（2）BE −DF ＝EF ，理由如下：如图2，在BE 上取BG ＝DF ，连接AG ，∵∠ADC ＋∠B ＝180°，∠ADF ＋∠ADC ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ，在△ABG 和△ADF 中，BG DF B ADF AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△ADF （SAS ），∴∠BAG ＝∠FAD ，AG ＝AF ，∵∠BAD ＝2∠EAF ，∴∠GAF ＝2∠EAF ，∴∠GAE ＝∠EAF ，在△GAE 和△FAE 中AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAE ≌△FAE （SAS ），∴GE ＝EF ，∴BE −DF ＝EF ；（3）如图，作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ，取FG ＝BE ，连接CG ，∵AC 平分∠BAD ，CF ⊥AF ，CB ⊥AB ，∴CF ＝CB ，∠EBC ＝∠GFC ，∵BE ＝GF ，∴△CBE ≌△CFG （SAS ），∴∠BCE ＝∠FCG ，CG ＝CE ，∵∠DAB ＝60°，∴∠FCB ＝120°，∵∠DCE ＝60°，∴∠DCF ＋∠BCE ＝60°，∴∠DCG ＝60°，又∵CG ＝CE ，∴△ECD ≌△GCD （SAS ），∴GD ＝DE ，∵Rt △ACF ≌Rt △ACB （HL ），∴AF ＝AB ，∴b ＋a −BE ＝c ＋BE ，∴BE ＝2a b c +-．【点睛】本题主要考查了全等的判定与性质，结合问题引入，构造出全等三角形是解题的关键．【4题答案】【答案】（1）45° （2）4（3）10【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义，得到∠GAB +∠GBA =12（∠CAB +∠CBA ）=45°，再结合三角形的外角的性质可得结论；（2）先由GF ⊥AD 得∠FGD =∠ACD =90°，进而得∠F =∠CAD ，再由AD 平分∠BAC 得∠CAD =∠BAD ，即可得到∠F =∠BAD ，结合∠ABG =∠FBG ，BG =BG 证明△ABG ≌△FBG ，再证明△AGH ≌△FGD ，可得结论；（3）根据全等三角形的性质及面积的和差关系可解答．【小问1详解】解：∵△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点G ，∴∠GAB +∠GBA =12（∠CAB +∠CBA ）=45°，∴∠DGB =∠GAB +∠ABG =45°；【小问2详解】解：∵∠ACB =90°，∴∠FCH =90°，由（1）知：∠DGB =45°，∴∠AGB =135°，又∵GF ⊥AD ，∴∠FGB =90°+45°=135°，∴∠AGB =∠FGB ，∵∠AHG =∠CHF ，∠AGH =∠FCH =90°，∴∠BFH =∠CAD =∠BAD ，在△ABG 和△FBG 中，,ABG FBG BG BG BAG BFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABG ≌△FBG （ASA ），∴GA =GF ，∵AD =10，GF =6，∴DG =AD -AG =AD -FG =10-6=4，∵∠F =∠CAD ，∠AGH =∠FGD ，AG =FG ，∴△AGH ≌△FGD （AAS ），∴GH =DG =4；【小问3详解】解：如图，∵△ABG ≌△FBG ，△AGH ≌△FGD ，∴S △AGB =S △FBG ，S △AGH =S △FGD ，GH =GD ，∵∠HGD =90°，∴∠HDG =∠DHG =45°=∠BGD ，∴HD ∥EG，∴S △EGH =S △EGD ，∵S 四边形ABDE =S △ABG +S △AEG +S △EGD +S △GBD =S △ABG +（S △AEG +S △EGH ）+S △GBD =S △ABG +S △FGD +S △GBD=S △ABG +S △FBG=2S △ABG=2×5=10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义，四边形的面积等知识，解题的关键是熟知角平分线和垂直的定义．【5题答案】【答案】（1）135︒（2）见解析（3）AH BD AB +=，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质得到90CAB CBA ∠+∠=︒，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案；（2）根据（1）中结论得到APB FPB ∠=∠，利用ASA 定理证明ABP ≌FBP ；（3）延长FP 交AB 于N ，分别证明APH ≌APN 、BPD △≌BPN △，根据全等三角形的性质证明结论．【小问1详解】解：90ACB ∠=︒ ，90CAB CBA ∴∠+∠=︒，AD 、BE 是ABC 的角平分线，12PAB CAB ∴∠=∠，12PBA CBA ∠=∠，()1452PAB PBA CAB CBA ∴∠+∠=∠+∠=︒，18045135APB ∴∠=︒-︒=︒；【小问2详解】证明：由()1可知：135APB ∠=︒，45BPD ∴∠=︒，FP AD ⊥ ，9045135FPB ∴∠=︒+︒=︒，APB FPB ∴∠=∠，BE 平分ABC ∠，ABP FBP ∴∠=∠，在ABP 和FBP 中， ABP FBP BP BPAPB FBP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，ABP ∴ ≌()FBP ASA ；【小问3详解】解：AH BD AB +=，证明如下：延长FP 交AB 于N ，AD 平分BAC ∠，HAP NAP ∴∠=∠，在APH 和APN 中，90HAP NAP AP AP APH APN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，APH ∴ ≌()APN ASA ，AN AH ∴=，APB FPB ∠=∠ ，APN FPD ∠=∠，BPD BPN ∴∠=∠，在BPD △和BPN △中，BPD BPN BP BP DBP NBP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，BPD ∴ ≌()BPN ASA ，BN BD ∴=，AH BD AN BN AB ∴+=+=．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．【6题答案】【答案】（1）DE ＝BD +CE ，理由见解析；（2）（1）的结论不成立，BD ＝DE +CE ，理由见解析；（3）（1）的结论成立，证明见解析．【解析】【分析】（1）先证明△DAB ≌△ECA ，然后根据全等三角形的性质得出AE ＝BD ，AD ＝CE ，再结合图形即可得出结论；（2）模仿（1）中的方法证明即可；（3）模仿（1）中的方法证明即可；．【详解】解：（1）DE ＝BD +CE ，理由如下：∵∠DAC ＝∠AEC +∠ECA =∠BAC +∠DAB ，∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠DAB ＝∠ECA ，在△DAB 和△ECA 中，ADB CEA DAB ECAAB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB ≌△ECA （AAS ），∴AE ＝BD ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（2）BD ＝DE +CE ，证明如下：∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD +∠CAE ＝90°，∵CE ⊥直线l ，∴∠ACE +∠CAE ＝90°，∴∠BAD ＝∠ACE ，在△BAD 和△ACE 中，{BAD ACEBA ACADB CEA∠=∠=∠=∠∴△BAD ≌△ACE （AAS ），∴AE ＝BD ，AD ＝CE ，∴BD ＝AE ＝AD +DE ＝DE +CE ；（3）（1）的结论成立，理由如下：∵∠DAC ＝∠2+∠ACE=∠BAC+∠BAD ，∠BAC ＝∠2，∴∠BAD ＝∠ACE ，在△DAB 和△ECA 中，12BAD ACE BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB ≌△ECA （AAS ），∴AE ＝BD ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理．【7题答案】【答案】（1）①∠BAE +∠DCE ＝60°；②∠DCE ﹣∠BAE ＝60°（2）∠BAE +∠DCE ＝105°，见解析（3）52.5°【解析】【分析】（1）①过点E 作EF ∥AB ，所以∠BAE ＝∠AEF ，因为AB //CD ，所以EF //CD ，所以∠DCE ＝∠CEF ，则∠BAE +∠DCE ＝∠AEF +∠CEF ＝∠AEC ＝60°；②过点E 作EF //AB ，所以∠BAE ＝∠AEF ，因为AB //CD ，所以EF //CD ，所以∠DCE＝∠CEF，则∠DCE﹣∠BAE＝∠CEF﹣∠AEF＝∠AEC＝60°．（2）连接OE，因为∠BAE是△AOE的外角，∠DCE是△COE的外角，所以∠BAE＝∠AOE+∠AEO，∠DCE＝∠COE+∠CEO，所以∠BAE+∠DCE＝∠AOE+∠AEO+∠COE+∠CEO＝∠AOC+∠AEC＝60°+45°＝105°；（3）设AO与CE相交于点G，设∠AGE＝∠CGO＝x°，则∠AGC＝180°﹣x°，因为∠BAE是△AEG的外角，∠AEC＝45°，所以∠BAE＝∠AEC+∠AGE＝45°+x°，因为AM平分∠BAE，所以∠BAM＝∠EAM＝12∠BAE＝22.5°+12x°，∠PAG＝∠BAM＝22.5°+12x°，因为∠DCE是△COG的外角，∠AOC＝60°，所以∠DCE＝∠CGO+∠AOC＝x°+60°，因为CN平分∠DCE，所以∠DCN＝∠ECN＝12∠DCE＝12x°+30°，所以∠APC＝360°﹣∠PAG﹣∠AGC﹣∠ECN＝360°﹣（22.5°+1 2x°）﹣（180°﹣x°）﹣（12x°+30°）＝127.5°，所以∠APN＝180°﹣∠APC＝52.5°．【小问1详解】解：①∠BAE+∠DCE＝60°，理由如下：如图1，过点E作EF∥AB，∴∠BAE＝∠AEF，∵AB//CD，∴EF//CD，∴∠DCE＝∠CEF，∵∠AEC＝60°，∴∠BAE+∠DCE＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC＝60°；故答案为：∠BAE+∠DCE＝60°．②∠DCE﹣∠BAE＝60°，理由如下：如图2，过点E作EF//AB，∴∠BAE＝∠AEF，∵AB//CD，∴EF//CD，∴∠DCE＝∠CEF，∵∠AEC＝60°，∴∠DCE﹣∠BAE＝∠CEF﹣∠AEF＝∠AEC＝60°．故答案为：∠DCE﹣∠BAE＝60°．【小问2详解】猜想：∠BAE+∠DCE＝105°，理由如下：如图3，连接OE，∵∠BAE是△AOE的外角，∠DCE是△COE的外角，∴∠BAE＝∠AOE+∠AEO，∠DCE＝∠COE+∠CEO，∵∠AOC＝60°，∠AEC＝45°，∴∠BAE+∠DCE＝∠AOE+∠AEO+∠COE+∠CEO＝∠AOC+∠AEC＝60°+45°＝105°；【小问3详解】如图4，设AO与CE相交于点G，设∠AGE＝∠CGO＝x°，则∠AGC＝180°﹣x°，∵∠BAE是△AEG的外角，∠AEC＝45°，∴∠BAE＝∠AEC+∠AGE＝45°+x°，∵AM平分∠BAE，∴∠BAM＝∠EAM＝12∠BAE＝22.5°+12x°，∴∠PAG＝∠BAM＝22.5°+12x°，∵∠DCE是△COG的外角，∠AOC＝60°，∴∠DCE＝∠CGO+∠AOC＝x°+60°，∵CN平分∠DCE，∴∠DCN＝∠ECN＝12∠DCE＝12x°+30°，∵∠PAG+∠AGC+∠ECN+∠APC＝360°，∴∠APC＝360°﹣∠PAG﹣∠AGC﹣∠ECN＝360°﹣（22.5°+12x°）﹣（180°﹣x°）﹣（12x°+30°）＝127.5°，∴∠APN＝180°﹣∠APC＝52.5°．【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用几何模型解决问题，属于中考常考题型．【8题答案】【答案】（1）见解析（2）AE BC∥（3）2AB CD =，理由见解析（4）2【解析】【分析】（1）①根据三角形的中线的定义，作AB 的垂直平分线，交AB 于点D ，连接AD 即可．②根据要求，延长CD 至E ，使DE ＝CD ，连接AE 即可．（2）结论：AE BC ∥，利用全等三角形的判定和性质证明即可．（3）结论：2AB CD =．利用全等三角形的判定和性质证明即可．（4）利用全等三角形的性质证明4AB CF ==，再利用（3）中结论解决问题．【小问1详解】①如图1所示，作AB 的垂直平分线，交AB 于点D ，连接AD ，则线段CD 即为所求；②如图1中，线段DE ，AE 即为所求；【小问2详解】结论：AE BC ∥．理由：在△CDB 和△EDA 中，DC DE CDB EDA DB DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDB ≌△EDA （SAS ），∴∠B =∠DAE ，∴AE BC ∥．故答案为：AE BC ∥．【小问3详解】AB 与CD 的数量关系是：AB =2CD ，理由如下：如图3-2，延长CD 至E ，使DE =DC ，连接BE ，∵CD 是中线，∴AD =BD ，在△ADC 和△BDE 中，AD BDADC BDE DC DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△BDE （SAS ），∴∠E =∠ACD ，AC =BE ，∴AE BC ∥，∴∠ACB +∠EBC =180︒，∵∠ACB =90︒，∴∠EBC =90︒，在△ACB 和△EBC 中，AC BEACB EBC CB BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACB ≌△EBC （SAS ），∴AB =CE ，∵CE =2CD ，∴AB =2CD ．【小问4详解】如图3中，∵BE ⊥AC ，∠ACB =45︒，∴∠CEB =∠BEA =90︒，∠ECB =∠EBC =45︒，∴EC =EB ，∵AC =BC ，CD 是中线，∴CD ⊥AB ，∵∠CEF =∠BDF =90︒，∠CFE =∠BFD ，∴∠ECF =∠ABE ，在△CEF 和△BEA 中，ECF EBA CE BECEF BEA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CEF ≌△BEA （ASA ），∴CF =AB =4，∵AD =BD ，∠AEB =90︒，∴DE =12AB =2．故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的中线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，等腰三角形的性质，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【9题答案】【答案】（1）①（6﹣t ），（8﹣2t ）；②全等，理由见解析；（2）能，1s 或3.5s 或12s ．【解析】【分析】（1）①由题意得：AP ＝tcm ，BQ ＝2tcm ，即可得出答案；②由AAS证明△PEC ≌△CFQ 即可；（2）分三种情况：①当点P 在AC 上，点Q 在BC 上时，△PEC ≌△CFQ ，则PC ＝CQ ，6﹣t ＝8﹣3t ，得t ＝1；②当点P 与点Q 重合，△PEC 与△QFC 全等，然后计算出t 的值即可；③当点Q 到点A 时停止，点P 运动到BC 上时，t ﹣6＝6，即可得出结论．【详解】解：（1）①由题意得：AP ＝tcm ，BQ ＝2tcm ，则CP ＝（6﹣t ）cm ，CQ ＝（8﹣2t ）cm ，故答案为：（6﹣t ），（8﹣2t ）；②当t ＝2时，△PEC 与△QFC 全等，理由如下：当t ＝2时，CP ＝4，CQ ＝4，∴CP ＝CQ ，∵∠ACB ＝90°，∴∠PCE +∠QCF ＝90°，又∵PE ⊥l 于E ，QF ⊥l 于F ，∴∠PEC ＝∠CFQ ＝90°，∴∠PCE +∠CPE ＝90°，∴∠CPE ＝∠QCF ，在△PEC 和△CFQ 中，CPE QCF PEC CFQ CP QC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PEC ≌△CFQ （AAS ）；（2）当x ＝3时，△PEC 与△QFC 有可能全等，分三种情况：①当点P 在AC 上，点Q 在BC 上时，△PEC ≌△CFQ ，如图1所示：则PC ＝CQ ，∴6﹣t ＝8﹣3t，解得：t＝1；②如图2所示：∵点P与点Q重合，∴△PEC与△QFC全等，∴CP＝CQ，∴6﹣t＝3t﹣8．解得：t＝3.5．③当点P在BC上，点Q到点A时，△PEC≌△CFQ，如图3所示：则PC＝CQ，∴t﹣6＝6，∴t＝12，即满足条件的t值为1s或3.5s或12s．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论．【10题答案】【答案】（1）见解析；（2）点G的速度为1.5或3或1．【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质定理，得到△ABD≌△CDB，进而，可证明AD∥BC；（2）设运动时间为t，点G的运动速度为v，根据全等三角形的性质，分四种情况进行讨论：①当0＜t≤43时，若△DEG ≌△BFG ，若△DEG ≌△BGF ；②当43＜t≤83时，若△DEG ≌△BFG ，若△DEG ≌△BGF .【详解】（1）证明：在△ABD 和△CDB 中，AD BC AB CD BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CDB ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）解：设运动时间为t ，点G 的运动速度为v ，当0＜t≤43时，若△DEG ≌△BFG ，则DE BF DG BG =⎧⎨=⎩，∴436t t BG BG =-⎧⎨-=⎩，∴13t BG =⎧⎨=⎩，∴v ＝3；若△DEG ≌△BGF ，则DE BG DG BF =⎧⎨=⎩，∴643t BG BG t =⎧⎨-=-⎩，∴11t BG =-⎧⎨=-⎩（舍去）；当43＜t≤83时，若△DEG ≌△BFG ，则DE BF DG BG =⎧⎨=⎩，∴346t t BG BG =-⎧⎨-=⎩，∴23t BG =⎧⎨=⎩，∴v ＝1.5；若△DEG ≌△BGF ，则DE BG DG BF =⎧⎨=⎩，∴634t BG BG t =⎧⎨-=-⎩，∴5252t BG ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴v ＝1．综上，点G 的速度为1.5或3或1．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质的应用，在几何动点问题中，对全等三角形的对应边或对应角进行分类讨论，是解题的关键.【11题答案】【答案】（1）EF =BE +FD（2）（1）中的结论EF =BE +FD 仍然成立．证明见解析；（3）结论EF =BE +FD 不成立，结论是：EF =BE -FD ．证明见解析．【解析】【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG =BE ．连接AG ，利用全等三角形的性质解决问题即可；（2）延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ．证明△ABM ≌△ADF （SAS ），由全等三角形的性质得出AF =AM ，∠2=∠3．△AME ≌△AFE （SAS ），由全等三角形的性质得出EF =ME ，即EF =BE +BM ，则可得出结论；（3）在BE 上截取BG ，使BG =DF ，连接AG ．证明△ABG ≌△ADF （SAS ）．由全等三角形的性质得出∠BAG =∠DAF ，AG =AF ．证明△AEG ≌△AEF （SAS ），由全等三角形的性质得出结论．【小问1详解】解：EF =BE +FD ．延长FD 到点G ．使DG =BE ．连接AG ，∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°．又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF（SAS）．∴FG=EF．∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案为：EF=BE+FD；【小问2详解】解：（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM．∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D，在△ABM与△ADF中，1AB AD D BM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△ADF （SAS ）．∴AF =AM ，∠2=∠3．∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠2+∠4=12∠BAD =∠EAF ．∴∠3+∠4=∠EAF ，即∠MAE =∠EAF ．在△AME 与△AFE 中，AM AF MAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AME ≌△AFE （SAS ）．∴EF =ME ，即EF =BE +BM ，∴EF =BE +DF ；【小问3详解】解：结论EF =BE +FD 不成立，结论：EF =BE -FD ．证明：如图③中，在BE 上截取BG ，使BG =DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC =180°，∠ADF +∠ADC =180°，∴∠B =∠ADF ．在△ABG 与△ADF 中，AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△ADF （SAS ）．∴∠BAG =∠DAF ，AG =AF ．∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =12∠BAD ．∴∠GAE =∠EAF ．∵AE =AE ，∴△AEG ≌△AEF （SAS ），∴EG =EF ，∵EG =BE -BG ，∴EF =BE -FD ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题．【12题答案】【答案】（1）①=；=；②所填的条件是：180BCA α∠+∠= ．证明：在BCE 中，．180BCA α∠=-∠ ，CBE BCE BCA ∴∠+∠=∠．又ACF BCE BCA ∠+∠=∠ ，CBE ACF ∴∠=∠．又BC CA =，BEC CFA ∠=∠，()BCE CAF AAS ∴ ≌．BE CF ∴=，CE AF =．又EF CF CE =- ，EF BE AF ∴=-．（2）EF BE AF =+．【解析】【详解】（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD ，且已知CA=CB ，∠BEC=∠CFA ，所以△BEC ≌△CDA ，可得BE=CF ，EC=AF ；又因为EF=CF-CE ，所以EF=|BE-AF|；②只有满足△BEC ≌△CDA ，才有①中的结论，即∠BCE=∠CAF ，∠CBE=∠FCA ；由三角形内角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠α+∠BCA=180°．（2）只要通过条件证明△BEC ≌△CFA （可通过ASA 证得），可得BE=CF ，EC=AF ，即可得到EF=EC+CF=BE+AF ．视频【13题答案】【答案】（1）AE//BF;QE=QF ；(2)QE=QF ，证明见解析；(3)结论成立，证明见解析．【解析】【分析】（1）根据AAS 得到AEQ BFQ ∆≅∆，得到AEQ BFQ ∠=∠、QE=QF ，根据内错角相等两直线平行，得到AE//BF ；（2）延长EQ 交BF 于D ，根据AAS 判断得出AEQ BDQ ∆≅∆，因此EQ DQ =，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；（3）延长EQ 交FB 的延长于D ，根据AAS 判断得出AEQ BDQ ∆≅∆，因此EQ DQ =，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明．【详解】（1）AE//BF ；QE=QF（2）QE=QF证明：延长EQ 交BF 于D ，,AE CP BF CP⊥⊥ //AE BF∴AEQ BDQ∴∠=∠AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,AEQ BDQ∴∆≅∆EQ DQ∴=90BFE ︒∠= QE QF∴=（3）当点P 在线段BA 延长线上时，此时（2）中结论成立证明：延长EQ 交FB 的延长于D因为AE//BF所以AEQ BDQ∠=∠AQE BQD AEQ BDQAQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AEQ BDQ∴∆≅∆EQ=QF90BFE ︒∠= QE QF∴=【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法：AAS ，平行线的性质，根据P 点位置不同，画出正确的图形，找到AAS 的条件是解决本题的关键．【14题答案】【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）①设∠EAB=x ，∠BCD=y ，由∠BAE 与∠BCD 互为补角，得出x+y=180°，AE ∥CD ，由AE=AB ，得出∠ABE=90°-12x ，由CB=CD ，得出∠CBD=90°-12y ，即可得出结论；②延长AP 交CD 延长线于点K ，由AE ∥CD ，得出∠EAP=∠DKP ，由AAS证得△AEP≌△KDP，得出DK=AE=AB，证得CA=CK，得出∠CAP=90°-12y=∠CBD，即可得出结论；（2）设∠EAB=x，∠BCD=y，延长AP到K，使PK=AP，连接KD，由SAS证得△AEP≌△KDP，得出KD=AE，∠EAP=∠DKP，AE∥KD，延长AB交KD于点T，延长KD交BC延长线于点H，则∠ATK=180°-∠EAB=180°-x=y，证得∠ATK=∠BCD=y，∠DCH=∠BTH，得出∠TBC=∠CDH，∠ABC=∠KDC，连接AC、KC，由SAS证得△ABC≌△KDC（SAS），得出CA=CK，即可得出结论．【详解】（1）①设∠EAB＝x，∠BCD＝y，∵∠BAE与∠BCD互为补角，∴x+y＝180°，AE∥CD，∵AE＝AB，∴∠ABE＝90°﹣12x，∵CB＝CD，∴∠CBD＝90°﹣12y，∴∠EBD＝180°﹣∠ABE﹣∠CBD＝180°﹣90°+12x﹣90°+12y＝12（x+y）＝90°；②延长AP交CD延长线于点K，如图1所示：∵AE∥CD，∴∠EAP＝∠DKP，在△AEP和△KDP中，EAP DKPAPE KPD EP DP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEP≌△KDP（AAS），∴DK＝AE＝AB，∵CB＝CD，∴CA＝CK，∴∠CAP＝90°﹣12y＝∠CBD，∴AP∥BD；（2）设∠EAB＝x，∠BCD＝y，∵∠BAE与∠BCD互为补角，∴x+y＝180°，延长AP到K，使PK＝AP，连接KD，如图2所示：在△AEP和△KDP中，AP PKAPE KPD EP PD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEP≌△KDP（SAS），∴KD＝AE，∠EAP＝∠DKP，∴AE∥KD，延长AB交KD于点T，延长KD交BC延长线于点H，则∠ATK＝180°﹣∠EAB ＝180°﹣x＝y，∴∠ATK＝∠BCD＝y，∴∠DCH＝∠BTH，∵∠H＝∠H，∴∠TBC＝∠CDH，∴∠ABC＝∠KDC，连接AC、KC，在△ABC和△KDC中，AB KDABC KDC BC DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△KDC（SAS），∴CA＝CK，∵PA＝PK，∴AP⊥CP．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，平行线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质、通过作辅助线构建全等三角形是解题的关键．【15题答案】【答案】（1）①△BEF ≌△ADE ；②由①得DE =EF ，∠BEF =∠ADE ；（2）存在，①如图2，当△DAE ≌△EBF 时，x =1，t =2；②如图3，当△ADE ≌△BFE 时，AE =BE ，AD =BF ，x =107，t =72．【解析】【分析】()1①根据SAS 证明：BEF ≌ADE ；②由①：BEF ≌ADE 得DE EF =，BEF ADE ∠∠=，证明DEF 是等腰直角三角形可得结论；()2分两种情况：①如图2，当DAE ≌EBF 时，②如图3，当ADE ≌BFE 时，分别根据AD BE =，AE BF =，列方程组可得结论．【详解】解：（1）①△BEF ≌△ADE ，理由如：当t =2时，AE =BF =2，∴BE =AB -AD =7-2=5，∵AD =5，∴BE =AD ，∵∠A =∠B =90°，∴△BEF ≌△ADE ；②由①得DE =EF ，∠BEF =∠ADE ，∵∠A =90°，∴∠ADE +∠AED =90°，∴∠BEF +∠AED =90°，∴∠DEF =180°-（∠BEF +∠AED ）=90°，∵DE =EF∴∠EDF =∠EFD ，∵∠EDF +∠EFD =90°，∴∠EDF =45°；（2）存在，①如图2，当△DAE ≌△EBF 时，∴AD =BE ，AE =BF ，则57t t xt=-⎧⎨=⎩∴x =1，t =2；②如图3，当△ADE ≌△BFE 时，AE =BE ，AD =BF ，则75t t xt =-⎧⎨=⎩，∴x =107，t =72．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定、三角形全等的性质和判定及动点运动等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．【16题答案】【答案】（1）MN CM CN =+（2）MN BN AM =-；证明见详解（3）作图见详解；MN AM BN=-【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和已知条件可判定ACM CBN ≅ ，得到两三角形对应边的等量关系，代换可得MN BN AM =+；（2）同样根据等腰直角三角形的性质和已知条件可判定ACM CBN ≅ ，得到两三角形对应边的等量关系，代换可得MN BN AM =-；（3）同样根据等腰直角三角形的性质和已知条件可判定ACM CBN ≅ ，得到两三角形对应边的等量关系，代换可得MN AM BN =-.【详解】证明：（1） ABC 为等腰直角三角形，且21l l ⊥，31l l ⊥，∴90ACM CAM ∠+∠=︒，又 18090ACM BCN ACB ∠+∠=︒-∠=︒，∴CAM BCN ∠=∠，∴90CAM BCN AMC BNC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ACM CBN AAS ≅ ∴AM CN =，CM BN =，∴MN CM CN BN AM =+=+.（2） ABC 为等腰直角三角形，且21l l ⊥，31l l ⊥，∴90ACM CAM ∠+∠=︒，又 90ACM BCN ACB ∠+∠=∠=︒，∴CAM BCN ∠=∠，∴90CAM BCN AMC BNC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ACM CBN AAS ≅ ∴AM CN =，CM BN =，。
中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习(含答案解析)
中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习（含答案解析）一．全等三角形的判定与性质1．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解答】解：如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．∵I是△ABD的内心，∴∠BAI＝∠CAI，∵AB＝AC，AI＝AI，∴△BAI≌△CAI（SAS），∴IB＝IC，∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，∴△IDT≌△IDE（AAS），∴DE＝DT，IT＝IE，∵∠BEI＝∠CTI＝90°，∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），∴BE＝CT，设BE＝CT＝x，∵DE＝DT，∴10﹣x＝x﹣4，∴x＝7，∴BE＝7．故选：B．2．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24B．22C．20D．18【答案】B【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．3．（2022•南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B 顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为．其中正确的结论是．（填写序号）【答案】①②③【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∵∠A1BA2＝∠ABC＝90∴∠ABA1＝∠CBA2，∵BA1＝BA2，∴△ABA1≌△CBA2（SAS），故①正确，过点D作DT⊥CA1于点T，∵CD＝DA1，∴∠CDT＝∠A1DT，∵∠ADE＝∠A1DE，∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDT＝45°，∵∠CDT+∠DCT＝90°，∠DCT+∠BCA1＝90°，∴∠CDT＝∠BCA1，∴∠ADE+∠BCA1＝45°，故②正确．连接P A，AC．∵A，A1关于DE对称，∴P A＝P A1，∴P A1+PC＝P A+PC≥AC＝，∴P A1+PC的最小值为，故③正确，过点A1作A1H⊥AB于点H，∵∠ADE＝30°，∴AE＝A1E＝AD•tan30°＝，∴EB＝AB﹣AE＝1﹣，∵∠A1EB＝60°，∴A1H＝A1E•sin60°＝×＝，∴＝×（1﹣）×＝，故④错误．故答案为：①②③．4．（2022•朝阳）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD 为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为．【答案】3或．【解答】解：如图，E点在AD的右边，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，即∠CAE＝∠BAD．在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE＝BD＝2，∵BD＝2CD，∴CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1＝3，∴等边三角形ABC3，如图，E点在AD的左边，同上，△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，∴∠EBD＝120°，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，则∠EBF＝60°，∴EF＝BE＝CD，BF＝BE＝CD，∴CF＝BF+BD+CD＝CD，在Rt△EFC中，CE＝2，∴EF2+CF2＝CE2＝4，∴+＝4，∴CD＝或CD＝﹣（舍去），∴BC＝，∴等边三角形ABC的边长为，故答案为：3或．5．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P 是x轴上一动点，把线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是．【答案】2【解答】解：方法一：∵将线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝P A，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，则P1A＝P1F1＝AF1，∠AP1F1＝60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O＝F1O，∠AOP1＝90°，∴∠P1AO＝30°，且AO＝4，由勾股定理得：P1O＝F1O＝，∴P1A＝P1F1＝AF1＝，∴点F1的坐标为（，0），如图，当点F2在y轴上时，∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，∴AO＝F2O＝4，∴点F2的坐标为（0，﹣4），∵tan∠OF1F2＝＝＝，∴∠OF1F2＝60°，∴点F运动所形成的图象是一条直线，∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，设直线F1F2的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线F1F2的解析式为y＝x﹣4，∵AO＝F2O＝4，AO⊥P1F1，∴F1F2＝AF1＝，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则×OF1×OF2＝×F1F2×h，∴××4＝××h，解得h＝2，即线段OF的最小值为2；方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，过点B作BP′⊥x轴于点P′，∵将线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝P A，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，∠P AF＝60°，∵△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°，∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF，在△BAP和△OAF中，，∴△BAP≌△OAF（SAS），∴BP＝OF，∵P是x轴上一动点，∴当BP⊥x轴时，BP最小，即点P与点P′重合时BP＝BP′最小，∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°，∴BP′＝OB＝×4＝2，∴OF的最小值为2，故答案为2．二．勾股定理6．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【答案】48【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．7．（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt △DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A 重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【答案】21【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F 作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．8．（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【答案】80【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI 于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．三．等腰直角三角形（共2小题）9．（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE ＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得P A+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④【答案】B【解答】解：如图1中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠AEC+∠ADC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∴∠DAE＝∠DCE＝90°，取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠DAC＝∠CED，故②正确，设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，过点C作CJ⊥DF于点J，∵tan∠CDF＝＝＝2，∴CJ＝m，∵AO⊥DE，CJ⊥DE，∴AO∥CJ，∴＝＝＝，故③正确．如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等边三角形，∴BP＝PN，∴P A+PB+PC＝AP+PN+MN，∴当点A，点P，点N，点M共线时，P A+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC ＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，∴∠BPD＝∠CPD＝60°，设PD＝t，则BD＝AD＝t，∴2+t＝t，∴t＝+1，∴CE＝BD＝t＝3+，故④错误．故选：B．10．（2022•绵阳）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝2，CD＝2，则△ABE的面积为．【答案】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB＝2，∵∠ADC＝90°，CD＝2，∴AD＝，∵，∴DF＝，∴AF＝，∴CF＝，∵DF∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，即，∴EF＝，∴AE＝，∴．故答案为：．11．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△P AB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（）A．B．C．3D．【答案】B【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，∵S△P AB +S△ABC＝S△PBC+S△P AC，∴S1+S0＝S2+S3，∵S1+S2+S3＝2S0，∴S1+S1+S0＝2，∴S1＝S0，∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴S0＝×62＝9，∴S1＝，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．∵△P AB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM，∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，∵OP≥OT，∴OP的最小值为，当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，∵＜，故选：B．12．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（）A．B．C．2D．【答案】C【解答】解：设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，如图：设正方形JKLM边长为m，∴正方形JKLM面积为m2，∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，∴正方形ABGF的面积为5m2，∴AF＝AB＝m，由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF ＝GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL＝FM，设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2＝2，∴x2+（x+m）2＝（m）2，解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），∴AL＝FM＝m，FL＝2m，∵tan∠AFL＝＝＝＝，∴＝，∴AP＝，∴FP＝＝＝m，BP＝AB﹣AP＝m﹣＝，∴AP＝BP，即P为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP＝，∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠F AP，∴△CPN∽△FP A，∴＝＝，即＝＝，∴CN＝m，PN＝m，∴AN＝AP+PN＝m，∴tan∠BAC＝＝＝＝，∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴△AEC∽△BCH，∴＝，∵CE＝+，∴＝，∴CH＝2，故选：C．13．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4B．6C．2D．3【答案】C【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，根据题意得到点P的轨迹为圆弧，当MP为直径时最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．14．（2022•苏州）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：过C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，如图：∵CD⊥x轴，CE⊥y＝90°，∴四边形EODC是矩形，∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1，∴AC＝＝＝BC＝AB，在Rt△BCD中，BD＝＝＝，在Rt△AOB中，OB＝＝＝，∵OB+BD＝OD＝m，∴+＝m，化简变形得：3m4﹣22m2﹣25＝0，解得m＝或m＝﹣（舍去），∴m＝，故选：C．三．等腰直角三角形（共1小题）15．（2022•成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为．【答案】7【解答】解：设MN交BC于D，连接EC，如图：由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE＝4，∴∠ECB＝∠B＝45°，∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，在Rt△ACE中，AE＝＝＝3，∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，故答案为：7．四．等边三角形的性质（共2小题）16．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC +S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，故选：C．17．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC 上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为．【答案】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴＝＝2，设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH＝，BH＝，∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（x）2+（x）2＝62，解得x＝或﹣（舍去），∴AP＝，BP＝，∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6++＝6+＝，故答案为：．五．含30度角的直角三角形（共1小题）18．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D ＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少m （结果取整数，参考数据：≈1.7）．【答案】370【解答】解：解法一：如图，延长DC，AB交于点G，过点N作NH⊥AD于H，∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，∴∠G＝90°，∴AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，∴BG＝BC＝50，CG＝50，∴DG＝CD+CG＝100+50，∴AD＝2DG＝200+100，AG＝DG＝150+100，∵DM＝100，∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100，∵BG＝50，BN＝50（﹣1），∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50，Rt△ANH中，∵∠A＝30°，∴NH＝AN＝75+25，AH＝NH＝75+75，由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1），∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，∵CD＝DM，∠D＝60°，∴△DCM是等边三角形，∴∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50，∴△CGN是等腰直角三角形，∴∠GCN＝45°，∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD，由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50，∵AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．故答案为：370．六．等腰直角三角形（共2小题）19．（2022•长沙）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若AB＝2，则AM的长为（）A．4B．2C．D．【答案】B【解答】解：由作图可知，PQ是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∵以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，∴DA＝DM＝DB，∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB，∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB＝180°，∴2∠DMA+2∠DMB＝180°，∴∠DMA+∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°，∴△AMB是等腰直角三角形，∴AM＝AB＝×2＝2，故选：B．20．（2022•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D 为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P 的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为．【答案】或【解答】解：如图：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∵点D为AB的中点，∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°，∵∠ADQ＝90°，∴点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，∴AQ＝＝＝，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，∴AQ′＝＝＝，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或，故答案为：或．30。
三角形全等的判定方法压轴题五种模型全攻略(解析版)
三角形全等的判定方法压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一用SAS证明两三角形全等】【考点二用ASA证明两三角形全等】【考点三用AAS证明两三角形全等】【考点四用SSS证明两三角形全等】【考点五添一个条件使两三角形全等】【过关检测】【典型例题】【考点一用SAS证明两三角形全等】1(2023春·江苏苏州·七年级校联考阶段练习)如图，在△ABC中，AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC 于点E，点F在边AB的延长线上，AF=AC，连接EF．(1)求证：△AEC≌△AEF．(2)若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．【答案】(1)证明见解析(2)80°【分析】(1)由射线AD平分∠BAC，可得∠CAE=∠FAE，进而可证△AEC≌△AEF SAS；(2)由△AEC≌△AEF SAS，可得∠C=∠F，由三角形外角的性质可得∠AEB=∠CAE+∠C=50°，则∠FAE+∠F=50°，根据∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°，计算求解即可．【详解】(1)证明：射线AD平分∠BAC，∴∠CAE=∠FAE，在△AEC和△AEF中，∵AC=AF∠CAE=∠FAEAE=AE，∴△AEC≌△AEF SAS；(2)解：∵△AEC≌△AEF SAS，∴∠C =∠F ，∵∠AEB =∠CAE +∠C =50°，∴∠FAE +∠F =50°，∵∠FAE +∠F +∠AEB +∠BEF =180°，∴∠BEF =80°，∴∠BEF 为80°．【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式训练】1(2023春·云南昭通·九年级校考阶段练习)如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF =DC ,∠A =∠D ,AB =DE ．求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【分析】由AF =CD ，可求得AC =DF ，利用SAS 可得出结论．【详解】解：∵ AF =CD ，∴AF -FC =CD -FC ，即AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE∠A =∠D AC =DF，∴△ABC ≌△DEF (SAS )．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．2(2023春·四川成都·七年级统考期末)如图在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，AB =DB ，BE 平分∠ABC ，交AC 边于点E ，连接DE．(1)求证：△ABE ≌△DBE ；(2)若∠A =100°，∠C =40°，求∠DEC 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】(1)根据BE 平分∠ABC ，可得∠ABE =∠DBE ，进而利用SAS 证明△ABE ≌△DBE 即可；(2)根据全等三角形的性质可得∠BDE =∠A =100°，再由三角形外角的性质即可求解．【详解】(1)解：∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠DBE ．∵AB=DB，BE=BE，∴△ABE≌△DBE SAS；(2)解：∵△ABE≌△DBE，∴∠BDE=∠A=100°，∴∠DEC=∠BDE-∠C=60°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．3(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．(1)求证：△ABD≌△ACE．(2)图中BD和CE有怎样的关系？试证明你的结论．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】(1)先证明∠BAD=∠EAC，又因为AB=AC，AD=AE，即可求出三角形全等；(2)根据△ABD≌△ACE，得到∠ACE=∠ABD，进而证得∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，等量代换得∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°即∠ECB+∠DBC=90°，再利用内角和，即可证明垂直．【详解】(1)解：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD∴∠BAD=∠EAC∵AB=AC，AD=AE∴△ABD≌△ACE．(2)解：如图，设BD和CE交点为F∵△ABD≌△ACE∴∠ACE=∠ABD∵∠BAC=90°∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°即∠ECB+∠DBC=90°∴∠BFC=180°-∠ECB+∠DBC=90°∴BD⊥CE．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，和角与角之间关系，解题的关键是根据SAS三角形全等．4(2023·江苏南通·统考一模)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=CD=13BC，AE=DF，AE∥DF．(1)求证：△AEC ≌△DFB ；(2)若S △AEC =6，求四边形BECF 的面积．【答案】(1)见解析(2)9【分析】(1)由AE ∥DF ，得∠A =∠D ，进一步证得AC =DB ，根据边角边求证△AEC ≌△DFB SAS ；(2)以AC 为底作EH 为高，则S △AEC =12EH ∙AC ，S △BCE =12EH ·BC ，由AB =CD =13BC ，求得S △BEC =34S △AEC=4.5；求证△BEC ≌△CFB SAS ，得S △BEC =S △CFB ，所以S 四边形BECF =2S △BEC =9．【详解】(1)证明：∵AE ∥DF ，∴∠A =∠D ，∵AB =CD ，∴AC =DB ，在△AEC 和△DFB 中，AE =DF∠A =∠DAC =DB∴△AEC ≌△DFB SAS ；(2)解：在△AEC 中，以AC 为底作EH 为高，∴S △AEC =12EH ∙AC ，S △BCE =12EH ∙BC ，∵AB =CD =13BC ，∴AC =43BC ，∵S △AEC =6，∴S △BEC =34S △AEC =4.5，∵△AEC ≌△DFB ，∴∠ACE =∠DBF ，EC =FB ，在△BEC 和△CFB 中，EC =FB∠BCE =∠CBF BC =CB，∴△BEC ≌△CFB SAS ，∴S △BEC =S △CFB ，∴S 四边形BECF =2S △BEC =9．【点睛】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积计算；能够灵活运用全等三角形性质是解题的关键．【考点二用ASA 证明两三角形全等】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)如图，BC ∥EF ，点C ，点F 在AD 上，AF =DC ，∠A =∠D ．求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【分析】首先根据平行线的性质可得∠ACB =∠DFE ，利用等式的性质可得AC =DF ，然后再利用ASA 判定△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：∵BC ∥EF ，∴∠ACB =∠DFE ，∵AF =DC ，∴AF +CF =DC +CF ，即AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠DAC =DF ∠ACB =∠DFE，∴△ABC ≌△DEF ASA ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1(2023·校联考一模)如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，若AD =BE ，∠A =∠EDF ，∠E =∠ABC .求证：AC =DF．【答案】见解析【分析】由AD =BE 知AB =ED ，结合∠A =∠EDF ，∠E =∠ABC ，依据“ASA ”可判定△ABC ≌△DEF ，依据两三角形全等对应边相等可得AC =DF ．【详解】证明：∵AD =BE ，∴AD +BD =BE +BD ，即AB =ED ，在△ABC 和△DEF 中，∠ABC =∠EAB =ED ∠A =∠EDF，∴△ABC≌△DEF ASA，∴AC=DF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2(2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模)如图，在△ABC和△ECD中，∠ABC=∠EDC=90°，点B为CE中点，BC=CD．(1)求证：△ABC≌△ECD．(2)若CD=2，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)4，见解析【分析】(1)根据ASA判定即可；(2)根据△ABC≌△ECD ASA和点B为CE中点即可求出．【详解】(1)证明：∵∠ABC=∠EDC=90°，BC=CD，∠C=∠C，∴△ABC≌△ECD ASA(2)解：∵CD=2，△ABC≌△ECD ASA，∴BC=CD=2，AC=CE，∵点B为CE中点，∴BE=BC=CD=2，∴CE=4，∴AC=4；【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键．【考点三用AAS证明两三角形全等】1(2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模)如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求证：△ABC≌△DEA【答案】证明见解析【分析】根据平行线的性质，得到∠DAC=∠C，再根据三角形外角的性质，得出∠D=∠BAC，即可利用“AAS”证明△ΑBC≌△DEA．【详解】证明：∵BC∥AD，∴∠DAC=∠C，∵∠CED=∠BAD，∠CED=∠D+∠DAC，∠BAD=∠DAC+∠BAC，∴∠D=∠BAC，在△ABC和△DEA中，∠BAC=∠D ∠C=∠DAC BC=AE，∴△ΑBC≌△DEA AAS．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．【变式训练】1(2023·浙江温州·统考二模)如图，AB=BD，DE∥AB，∠C=∠E．(1)求证：△ABC≅△BDE．(2)当∠A=80°，∠ABE=120°时，求∠EDB的度数．【答案】(1)见解析(2)40°【分析】(1)根据平行线的性质，利用三角形全等的判定定理即可证明；(2)根据三角形全等的性质和平行线的性质即可求解【详解】(1)解：∵DE∥AB，∴∠BDE=∠ABC，又∵∠E=∠C，BD=AB，∴△ABC≅△BDE．(2)解：∵∠A=80°，△ABC≅△BDE，∴∠A=∠BDE=80°，∵∠ABE=120°，∴∠ABD=40°，∵DE∥AB，∴∠EDB=40°．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握各知识点，利用好数形结合的思想是解本题的关键．2(2023秋·八年级课时练习)如图，已知点C是线段AB上一点，∠DCE=∠A=∠B，CD=CE．(1)求证：△ACD ≌△BEC ；(2)求证：AB =AD +BE ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)由∠DCE =∠A 得∠D +∠ACD =∠ACD +∠BCE ，即∠D =∠BCE ，从而即可证得△ACD ≌△BEC ；(2)由△ACD ≌△BEC 可得AD =BC ，AC =BE ，即可得到AC +BC =AD +BE ，从而即可得证．【详解】(1)证明：∵∠DCE =∠A ，∴∠D +∠ACD =∠ACD +∠BCE ，∴∠D =∠BCE ，在△ACD 和△BEC 中，∠A =∠B∠D =∠BCE CD =EC，∴△ACD ≌△BEC AAS ；(2)解：∵△ACD ≌△BEC ，∴AD =BC ，AC =BE ，∴AC +BC =AD +BE ，∴AB =AD +BE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【考点四用SSS 证明两三角形全等】1(2023·云南玉溪·统考三模)如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DF ，AC =DE ，BE =CF ，求证：△ABC ≌△DFC．【答案】见解析【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等．【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +CE =CF +CE ，即BC =EF ，在△ABC 和△DFE 中，AB =DFAC =DEBC =FE∴△ABC ≌△DFE (SSS )．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键．【变式训练】1(2023·云南·统考中考真题)如图，C 是BD 的中点，AB =ED ,AC =EC ．求证：△ABC ≌△EDC．【答案】见解析【分析】根据C 是BD 的中点，得到BC =CD ，再利用SSS 证明两个三角形全等．【详解】证明：∵C 是BD 的中点，∴BC =CD ，在△ABC 和△EDC 中，BC =CDAB =ED AC =EC，∴△ABC ≌△EDC SSS 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．2(2023春·全国·七年级专题练习)如图，已知∠E =∠F =90°，点B ，C 分别在AE ，AF 上，AB =AC ，BD =CD．(1)求证：△ABD ≌△ACD ；(2)求证：DE =DF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)直接根据SSS 证明即可．(2)根据(1)得∠EAD =∠FAD ，然后证明△AED ≌△AFD 即可．【详解】(1)解：证明：在△ABD 和△ACD 中，AB =ACAD =AD BD =CD∴△ABD ≌△ACD (SSS )．(2)解：由(1)知△ABD ≌△ACD (SSS )，∴∠EAD =∠FAD ，在△AED和△AFD中，∠E=∠F∠EAD=∠FAD AD=AD∴△AED≌△AFD(AAS)，∴DE=DF．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键．【考点五添一个条件使两三角形全等】1(2023春·宁夏银川·七年级校考期末)如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，∠A=∠F，要使△ABC≌△FED，需添加的一个条件是．【答案】AB=EF(∠B=∠E或∠ACB=∠FDE答案不唯一)【分析】要使△ABC≌△FED，现有一边一角分别对应相等，还少一个条件，可结合图形选择利用求解即可．【详解】解：∵AD=FC，∴AC=FD又∵∠A=∠F，∴添加AB=EF，利用SAS可以证明△ABC≌△FED；添加∠B=∠E，利用AAS可以证明△ABC≌△FED；添加∠ACB=∠FDE，利用ASA可以证明△ABC≌△FED故答案为：AB=EF(∠B=∠E或∠ACB=∠FDE(．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【变式训练】1(2023·北京大兴·统考二模)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC∥DF，BE=CF，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是(写出一个即可)．【答案】AC=DF或∠A=∠D或∠ABC=∠DEF或AB∥DE(答案不唯一)．【分析】根据SAS，AAS或ASA添加条件即可求解．【详解】解：∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，则有边角AS两个条件，要添加一个条件分三种情况，(1)根据“SAS”，则可添加：AC=DF，(2)根据“ASA”，则可添加：∠ABC=∠DEF或AB∥DE，(3)根据“AAS”，则可添加：∠A=∠D，故答案为：AC=DF或∠ABC=∠DEF或AB∥DE或∠A=∠D(答案不唯一)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解此题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判断方法．2(2023春·山东青岛·七年级统考期末)如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠AFB=∠DEC，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使得△ABF≌△DCE，你添加的条件是．【答案】AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D【分析】本题要判定△ABF≌△DCE，已知∠AFB=∠DEC，由BE=CF可得BF=CE，那么只需添加一个条件即可．添边可以是AF=DE或添角可以是∠ABF=∠DCE或∠A=∠D．【详解】解：所添加条件为：AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D，∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，添加：AF=DE，在△ABF和△DCE中，AF=DE∠AFB=∠DECBF=CE，∴△ABF≌△DCE SAS；添加：∠ABF=∠DCE，在△ABF和△DCE中，∠ABF=∠DCEBF=CE∠AFB=∠DEC，∴△ABF≌△DCE ASA添加：∠A=∠D，在△ABF和△DCE中，∠A=∠D∠AFB=∠DECBF=CE，∴△ABF≌△DCE AAS．故答案为：AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3(2023秋·八年级课前预习)如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，要使△ABE≌△ACD，则还需添加的条件是．(只需填写一个合适的条件即可，图中不能再添加其他点或线)【答案】AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC(答案不唯一)【分析】根据全等三角形的判定方法即可求解．【详解】解：①∵AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴添加的条件为AE=AD；②∵∠B=∠C，AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴添加的条件为∠B=∠C；③∵∠A=∠A，∠AEB=∠ADC，AB=AC，∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴添加的条件为∠AEB=∠ADC；综上所述，添加的条件为AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC，故答案为：AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．【过关检测】一、单选题1(2023春·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末)如图，已知BE=DF，AF∥CE，不能使△ABF≌△CDE的是()A.BF=DEB.AF=CEC.AB∥CDD.∠A=∠C【答案】A【分析】根据BE =DF ，可得BF =DE ，根据AF ∥CE ，可得∠AFE =∠CEF ，由等角的补角相等可得∠AFB =∠CED ，然后根据全等三角形的判定定理逐一判断即可．【详解】解：∵BE =DF ，∴BF =DE ，∵AF ∥CE ，∴∠AFE =∠CEF ，∴∠AFB =∠CED ．A 、添加BF =DE 时，不能判定△ABF ≌△CDE ，故选项符合题意；B 、添加AF =CE ，根据SAS ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；C 、由AB ∥CD 可得∠B =∠D ，所以添加AB ∥CD ，根据ASA ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；D 、添加∠A =∠C ，根据AAS ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2(2023秋·河南漯河·八年级校考期末)如图，∠A =∠B ,AE =BE ，点D 在AC 边上，∠1=∠2，AE 和BD 相交于点O ，若∠1=42°，则∠BDE 的度数为()A.71°B.69°C.67°D.65°【答案】B【分析】证明△BED ≌△AEC ，得到DE =CE ，∠C =∠BDE 等边对等角，求出∠C 的度数，即可．【详解】解：∵∠A =∠B ,∠BOE =∠AOD ，∴∠2=∠3，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴∠BED =∠AEC ，又AE =BE ，∴△BED ≌△AEC ，∴DE =CE ，∠C =∠BDE ，∴∠CDE =∠C =12180°-∠1 =69°，∴∠BDE =69°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．3(2023春·辽宁丹东·八年级校考期中)如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=42°，则∠P的度数为()A.42°B.74°C.84°D.96°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，根据三角形全等的判定定理得出∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角性质得出∠A的度数，即可得答案．【详解】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，∵AM=BK，BN=AK，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，∴∠A=∠MKN=42°，∴∠P=180°-2×42°=96°．故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．二、填空题4(2023春·山东青岛·七年级统考期末)如图，∠l=∠2，现要添加一个条件使△ABD≌△ACD，可以添加．(只添一个即可)．【答案】CD=BD(答案不唯一)【分析】根据三角形全等的判定方法进行解答即可．【详解】解：∵∠l=∠2，∴180°-∠1=180°-∠2，即∠ADC =∠ADB ，∵AD =AD ，∴添加条件CD =BD ，根据SAS 证明△ABD ≌△ACD ；添加条件∠C =∠B ，根据AAS 证明△ABD ≌△ACD ；添加条件∠CAD =∠BAD ，根据ASA 证明△ABD ≌△ACD ．故答案为：CD =BD (答案不唯一)．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，SAS ，AAS ，ASA ，HL ，SSS ．5(2023秋·湖南娄底·八年级统考期末)如图，∠ACB =90°，AC =BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ．下面四个结论：①∠ABE =∠BAD ；②△CBE ≌△ACD ；③AB =CE ；④AD -BE =DE ，其中正确的有．【答案】①②④【分析】由BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，得BE ∥AD ，则∠ABE =∠BAD ，可判断①正确；根据“同角的余角相等”推导出∠BCE =∠CAD ，即可证明△CBE ≌△ACD ，可判断②正确；由垂线段最短可证明AB >BC ，BC >CE ，则AB >CE ，可判断③错误；由CE =AD ，BE =CD ，且CE -CD =DE ，得AD -BE =DE ，可判断④正确，于是得到问题的答案．【详解】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴AD ∥BE ，∴∠ABE =∠BAD ，故①正确；∵∠E =∠ADC =∠ACB =90°，∴∠BCE =∠CAD =90°-∠ACD ，在△CBE 和△ACD 中，∠E =∠ADC∠BCE =∠CAD BC =CA，∴△CBE ≌△ACD AAS ，故②正确；∵BC ⊥AC ，CE ⊥BE ，∴AB >BC ，BC >CE ，∴AB >CE ，故③错误；∵△CBE ≌△ACD ，∴CE =AD ，BE =CD ，∵CE -CD =DE ，∴AD -BE =DE ，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明∠BCE =∠CAD 及△CBE ≌△ACD 是解题的关键．6(2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试)如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE=6cm．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CD上以acm/s的速度由C点向D点运动．当a=时，△EBP和△PCQ全等．【答案】4或24 5【分析】分两种情况：当△EBP≌△PCQ时和当△EBP≌QCP时，根据边对应相等，分别求出a的值即可．【详解】解：当△EBP≌△PCQ时，此时BE=CP，BP=CQ，则有BP=4t=at，CP=BC-BP=10-4t=6，此时t=1，a=4，当△EBP≌QCP时，此时BE=CQ，BP=CP，则有CQ=at=6，CP=BC-BP=10-4t=4t，此时t=54，a=245，综上所述，a的值为4或24 5，故答案为：4或24 5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解题的关键．三、解答题7(2023春·上海嘉定·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，且AD=BE．(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)如果∠BDC=75°，求∠ADB的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ADB=30°【分析】(1)由平行线性质可得∠ADB=∠CBE，再由ASA可证△ABD≌△ECB；(2)由全等三角形的性质可得BD=BC，由等腰三角形的性质可求出∠DBC=30°，再由两直线平行内错角相等即可求解．【详解】(1)证明∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBE，在△ABD和△ECB中，∠A=∠BECAD=BE∠ADB=∠CBE，∴△ABD≌△ECB ASA；(2)∵△ABD≌△ECB，∴BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=75°，∴∠DBC=180°-∠BDC-∠BCD=30°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和，熟练掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键．8(2023秋·江苏·八年级校考周测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．(1)试说明AE=CD；(2)若AC=12cm，求BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=6cm【分析】(1)由题意可得∠D+∠DCB=90°，∠DCB+∠AEC=90°，即∠D=∠AEC，根据“AAS”可证△DBC≌△ECA，可得；(2)先求出，然后根据全等三角形的性质即可求解．【详解】(1)∵，，∴，，∴，∵，，∴，∴；(2)∵，，∴．∵是边上的中线，∴．∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．9(2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考开学考试)如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且．(1)求证：；(2)已知，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)根据垂直的定义得出，再根据同角的余角相等得出，然后由证明即可；(2)由全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可解决问题．【详解】(1)证明：∵，，∴，∴，∴，在和中∴，(2)解：∵，∴，∵，∴，∴；【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．10(2023春·四川成都·七年级成都实外校考期末)已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．(1)求证：；(2)求的度数．(3)若，试判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)(3)，理由见解析【分析】(1)由三角形是等边三角形和可得，由角平分线的性质可得，由“”即可证明；(2)由三角形是等边三角形和可得，，由“”证明，从而得到，再由，；(3)由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，令交于点，通过计算得出，最后由三角形内角和定理可得出，从而得到答案．【详解】(1)证明：三角形是等边三角形，，，，平分，，在和中，，；(2)解：三角形是等边三角形，，，在和中，，，，，，由(1)得，，；(3)解：，理由如下：由(1)得，，，由(2)得，，，，，，如图，令交于点，，则，，，．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，是解题的关键．11(2023春·四川达州·七年级校考期末)如图，在中，，，点在线段上运动(不与、重合)，连接，作，交线段于．(1)当时，，；点从向的运动过程中，逐渐变(填“大”或“小”)；(2)当等于多少时，，请说明理由．(3)在点的运动过程中，与的长度可能相等吗？若可以，请直接写出的度数，请说明理由．【答案】(1)；；小；(2)，理由见解析；(3)可能相等，，理由见解析【分析】(1)现根据邻补角的定义，得到，进而得到，然后利用三角形内角和定理，得到，，又因为点从向的运动过程中，逐渐增大，所以逐渐变小；(2)利用三角形内角和定理，得到，根据平角的性质，得到，进而得到，再根据“”证明，即可得到答案；(3)根据等边对等角的性质，得到，再利用三角形内角和定理，得出，由三角形外角的性质，得到，进而得到，最后利用邻补角，即可求出的度数．【详解】(1)解：，，，，，，，，点从向的运动过程中，逐渐增大，逐渐变小，故答案为：；；小；(2)解：当时，，理由如下：，，又，，，，当时，，，在和中，，，即当时，，；(3)解：在点的运动过程中，与的长度可能相等，理由如下：，，，，，，，，．【点睛】本题考查了邻补角，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．12(2023春·广东梅州·八年级校考开学考试)在四边形中．(1)如图1，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．小林同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与结论是；(2)如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由．(3)如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请写出与的数量关系，并给出证明过程．【答案】(1)，理由见解析(2)成立，理由见解析(3)，证明见解析【分析】(1)延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得结论；(2)延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论；(3)在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到【详解】(1)解：结论：．理由：如图1，延长到点，使，连接，在和中，，，，，，，，在和中，，，．故答案为：；(2)解：仍成立，理由：如图2，延长到点，使，连接，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，；(3)解：结论：．理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，，，即，．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．。
全等三角形压轴题精选
全等三角形压轴题精选（3）16．（2015秋•垫江县期末）如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P 在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D 运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．17．（2015秋•临海市期末）在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=12，EC=5①求证：AF⊥BD ②求AF的长度；（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由18．（2015秋•番禺区期末）△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；（2）在图1中，连接AE交BC于M，求的值；（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH．当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．19．（2015秋•昌邑市期末）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，DB=DA，DM⊥BE于M．（1）求证：AC=BM+CM；（2）若AC=2，BC=1，求CM的长．20．（2015春•重庆校级期末）如图，△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，A为公共直角顶点，过A作AF垂直CB交CB的延长线于F．（1）若AC=10，求四边形ABCD的面积；（2）求证：CE=2AF．21．（2015秋•东城区期末）如图①，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AB=AC，AD=AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：（1）在图②中，BD与CE的数量关系是______；（2）在图③中，猜想AM与AN的数量关系，∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．22．（2015秋•高新区期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．23．（2015秋•武昌区期末）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC=60°，点F与点C重合，求证：AF=AE+AD；（2）如图2，若AD=AB，求证：AF=AE+BC．。
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全等三角形压轴题精选（3）
16．（2015秋?垫江县期末）如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
17．（2015秋?临海市期末）在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=12，EC=5
①求证：AF⊥BD ②求AF的长度；
（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由
18．（2015秋?番禺区期末）△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．
（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；
（2）在图1中，连接AE交BC于M，求的值；
（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH．当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．
19．（2015秋?昌邑市期末）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，DB=DA，DM⊥BE于M．
（1）求证：AC=BM+CM；
（2）若AC=2，BC=1，求CM的长．
20．（2015春?重庆校级期末）如图，△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，A为公共直角顶点，过A作AF垂直CB交CB的延长线于F．
（1）若AC=10，求四边形ABCD的面积；
（2）求证：CE=2AF．
21．（2015秋?东城区期末）如图①，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AB=AC，AD=AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：
（1）在图②中，BD与CE的数量关系是______；
（2）在图③中，猜想AM与AN的数量关系，∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．
22．（2015秋?高新区期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．
（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；
（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；
（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．
23．（2015秋?武昌区期末）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．
（1）如图1，若∠BAC=60°，点F与点C重合，求证：AF=AE+AD；
（2）如图2，若AD=AB，求证：
AF=AE+BC．
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