勾股定理典型分类练习题

勾股定理典型分类练习题

题型一：直接考查勾股定理

例１.在ABC

C

∠=︒．

∆中，90

⑴已知6

BC=．求AB的长

AC=，8

⑵已知17

AC=，求BC的长

AB=，15

变式1：已知，△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明△ABC

是等腰三角形。

变式2：已知△ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC是否是直角三角形？你能说明理由吗？

题型二：利用勾股定理测量长度

例1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

例2如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0. 5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

题型三：勾股定理和逆定理并用

例3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4

1

那么 △DEF 是直角三角形吗？为什么

题型四：旋转中的勾股定理的运用：

例4、如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与

△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。

变式：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长. 分析：利用旋转变换，将△BPA 绕点B 逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.

题型五：翻折问题

例5：如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿 AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.

P

A

P

C

B

C

A

B

D E 10

15 变式：如图，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.

题型6：勾股定理在实际中的应用：

例6、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到 公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉 机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响， 已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

变式：如图，铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄，若DA=10km,CB=15km ，

DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.求E 应建在距A 多远处？

关于最短性问题

例5、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处， 它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不 引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行 突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路 程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）

选择题

1.在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.5，12，13 B.4，5，7 C.2，3，5 D.1，2，3

2.在Rt △ABC 中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）

A.5、4、3

B.13、12、5

C.10、8、6

D.26、24、10

3.下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52

；④3a 、4a 、5a

（a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2

（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（ ）

A 、5组；

B 、4组；

C 、3组；

D 、2组 4.下列结论错误的是（ ）

A 、三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形；

B 、三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形；

C 、三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形；

D 、三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形。

5.下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m 2 + n 2, m 2–n 2

, 2mn （m ，n 均为正整数,m >n ） 2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( ) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④

6. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）

A ．a:b:c=8∶16∶17

B ． a 2-b 2=c 2

C ．a 2

=(b+c)(b-c) D ． a:b:c =13∶5∶12

7.三角形的三边长为ab c b a 2)(2

2+=+,则这个三角形是( )

A. 等边三角形

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 锐角三角形 8.三角形的三条中位线长分别为6、8、10,则该三角形为( )

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定

9.以下列线段c b a \\的长为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A 25,24,7===c b a B.1,2,1===c b a C 5:4:3::=c b a D.15,13,12===c b a

10.已知三角形的三边长为a 、b 、c ，如果

()a b c c -+-+-+=51226169022，则△ABC 是（

）

A.以a 为斜边的直角三角形

B.以b 为斜边的直角三角形

C.以c 为斜边的直角三角形

D.不是直角三角形

11.有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的摆放是（ ）

7

15

24

25

207

15

2024

25

15

7

25

20

24

257

202415

(A)(B)

(C)

(D)

12.若三角形ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=2∶1∶1,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列等式中，成立的是（ ）

A.2

2

2

c b a =+ B.2

2

2c a = C.2

2

2a c = D.2

2

2b c =

B

A

C

D