高中数学必修5数列习题与答案

第二章 数列
一、选择题
1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若
63S S ＝1
3
，则126S S ＝( )．
A ．310
B ．13
C ．18
D ．1
9
2．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9＜b 4＋b 10
B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10
C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10
D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定
3．在等差数列{a n }中，若a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18，则该数列的前2 008项的和为( )．
A ．18 072
B ．3 012
C ．9 036
D ．12
048
4．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列， ∠B ＝30°，△ABC 的面积为
2
3
，那么b ＝( )． A ．
2
3
1+ B ．1＋3
C ．
2
3
2+ D ．2＋3
5．过圆x 2＋y 2＝10x 内一点(5，3)有k 条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列
的首项a 1，最大弦长为数列的末项a k ，若公差d ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2131 ，，则k 的取值不可能是( )． A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )． A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
7．在等差数列{a n }中，3(a 2＋a 6)＋2(a 5＋a 10＋a 15)＝24，则此数列前13项之和为( )．
A ．26
B ．13
C ．52
D ．156
8．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )．
A ．160
B ．180
C ．200
D ．220
9．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n
等于( )．
A ．2n ＋1－2
B ．3n
C ．2n
D ．3n －1
10．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝4
1
，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )． A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C ．
332
(1－4－n )
D ．
3
32
(1－2－n ) 二、填空题
11．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1，S n ，S n +2成等差数列，则q 的值为 .
12．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝_____.
13．已知数列{a n }中，a n ＝ 1221－n n 则a 9＝ (用数字作答)，
设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝ (用数字作答).
14．已知等比数列{a n }的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为 ． 15．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝8，a 4＋a 5＋a 6＝－4，则a 13＋a 14＋a 15
＝ ，该数列的前15项的和S 15＝ .
16．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4
＝ ．
三、解答题
17．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且21S ＝9S 2，S 4
＝4S 2，求数列{a n }的通项公式．
(n 为正奇数) (n 为正偶数)
18．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110且a 1，a 2，
a 4成等比数列．
(1)证明a 1＝d ；
(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式.
19．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列．已知数列a 1，a 3，1k a ，
2k a ，…，n a k ，…也成等比数列，求数列{k n }的通项k n ．
20．在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1． (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证数列{b n }是等比数列； (2)设c n ＝
n n
a 2
，求证数列{c n }是等差数列； (3)求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式.
参考答案
一、选择题 1．A
解析：由等差数列的求和公式可得
6
3S S ＝d a d
a 1563311＋＋＝31，可得a 1＝2d 且d ≠0
所以
126S S ＝d a d
a 661215611＋＋＝d d 9027＝10
3． 2．B
解析：解法1：
设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d ，由a 6＝b 7，即a 1q 5＝b 7． ∵ b 4＋b 10＝2b 7，
∴ (a 3＋a 9)－(b 4＋b 10)＝(a 1q 2＋a 1q 8)－2b 7 ＝(a 1q 2＋a 1q 8)－2a 1q 5 ＝a 1q 2(q 6－2q 3＋1) ＝a 1q 2(q 3－1)2≥0． ∴ a 3＋a 9≥b 4＋b 10． 解法2：
∵ a 3·a 9＝a 2
6，b 4＋b 10＝2b 7，
∴ a 3＋a 9－(b 4＋b 10)＝a 3＋a 9－2b 7．又a 3＋a 9－293a a ⋅＝(3a －9a )2≥0， ∴ a 3＋a 9≥293 a a ·．
∵ a 3＋a 9－2b 7≥293a a ⋅－2b 7＝2a 6－2a 6＝0， ∴ a 3＋a 9≥b 4＋b 10． 3．C
解析：∵ a 1＋a 2 008＝a 1 003＋a 1 006＝a 1 004＋a 1 005， 而a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18，a 1＋a 2 008＝9， ∴ S 2 008＝2
1
(a 1＋a 2 008)×2 008＝9 036，故选C ． 4．B
解析：∵ a ，b ，c 成等差数列，∴ 2b ＝a ＋c ， 又S △ABC ＝
21ac sin 30°＝2
3
，∴ ac ＝6， ∴ 4b 2＝a 2＋c 2＋12，a 2＋c 2＝4b 2－12， 又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4b 2－12－63， ∴ 3b 2＝12＋63，b 2＝4＋23＝(1＋3)2． ∴ b ＝3＋1．
5．A
解析：题中所给圆是以(5，0)为圆心，5为半径的圆，则可求过(5，3)的最小弦长为8，最大弦长为10，
∴ a k －a 1＝2，即(k －1)d ＝2，k ＝d
2
＋1∈[5，7]， ∴ k ≠4． 6．A
解析：∵ a 7＋a 9＝a 4＋a 12＝16，a 4＝1，∴ a 12＝15． 7．A
解析：∵ a 2＋a 6＝2a 4，a 5＋a 10＋a 15＝3a 10， ∴ 6a 4＋6a 10＝24，即a 4＋a 10＝4， ∴ S 13＝2＋13131)(a a ＝2
＋13104)
(a a ＝26． 8．B
解析：∵ ⎩⎨⎧78＝＋＋24
＝－＋＋20
9118321a a a a a a
∴ (a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54， 即3(a 1＋a 20)＝54， ∴ a 1＋a 20＝18， ∴ S 20＝2
＋20201)
(a a ＝180． 9．C
解析： 因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1．因数列{a n ＋1}也是等比数列， 则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒2
1＋n a ＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2
⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒(q －1)2＝0⇒q ＝1．
由a 1＝2得a n ＝2，所以S n ＝2n ． 10．C
解析：依题意a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝
41，两式相除可求得q ＝2
1
，a 1＝4，又因为数列{a n }是等比数列，所以{a n ·a n ＋1}是以a 1a 2为首项，q 2为公比的等比数列，根据等比数列
前n 项和公式可得222111q
q a a n
－)－(＝332
(1－4－n )．
二、填空题 11．－2．
解析：当q ＝1时，S n +1＋S n +2＝(2n ＋3)a 1≠2na 1＝2S n ，∴ q ≠1． 由题意2S n ＝S n +1＋S n +2⇒S n +2－S n ＝S n －S n +1， 即－a n +1＝a n +2＋a n +1，a n +2＝－2a n +1，故q ＝－2． 12．1．
解析：方法一 ∵ S n －S n －1＝a n ，又S n 为等差数列，∴ a n 为定值． ∴ {a n }为常数列，q ＝1
-n n a a ＝1．
方法二：a n 为等比数列，设a n ＝a 1q n －1，且S n 为等差数列，
∴ 2S 2＝S 1＋S 3，2a 1q ＋2a 1＝2a 1＋a 1＋a 1q ＋a 1q 2，q 2－q ＝0，q ＝0(舍)q ＝1. 所以答案为1． 13．256，377． 解析：a 9＝28＝256，
S 9＝(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8)
＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15) ＝341＋36 ＝377． 14．74．
解析：由{a n }是等比数列，S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 20－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 20＝
q 10S 10，S 30－S 20＝a 21＋a 22＋…＋a 30＝q 20S 10，即S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等比数列，
得(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，得(56－32)2＝32(S 30－56)，
∴ S 30＝32
32－562
)(＋56＝74．
15．21，2
11．
解析：将a 1＋a 2＋a 3＝8， ① a 4＋a 5＋a 6＝－4．
②
两式相除得q 3＝－
2
1
，
∴ a 13＋a 14＋a 15＝(a 1＋a 2＋a 3) q 12＝8·4
21－⎪
⎭⎫ ⎝⎛＝21，S 15＝2
1＋
121－－185⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛＝211． 16．
152．
解析：由a n +2＋a n +1＝6a n 得q n +1＋q n ＝6q n －1，即q 2＋q －6＝0，q ＞0，解得q ＝2，
又a 2＝1，所以a 1＝21，S 4＝2
121214
－)－(＝152．
三、解答题
17．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由前n 项和的概念及已知条件得
a 2
1＝9(2a 1＋d )，
① 4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d )．
②
由②得d ＝2a 1，代入①有21a ＝36a 1，解得a 1＝0或a 1＝36． 将a 1＝0舍去． 因此a 1＝36，d ＝72，
故数列{a n }的通项公式a n ＝36＋(n －1)·72＝72n －36＝36(2n －1)．
18．解析：(1)证明：因a 1，a 2，a 4成等比数列，故22a ＝a 1a 4，
而{a n }是等差数列，有a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即21a ＋2a 1d ＋d 2＝21a ＋3a 1d ．
d ≠0，化简得a 1＝d ．
(2)由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋
d 2
9
10⨯，得到10a 1＋45d ＝110， 由(1)，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110，故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ． 因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ＝1，2，3，…)．
19．解析；由题意得2
2a ＝a 1a 4，
即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d (d －a 1)＝0， 又d ≠0，∴ a 1＝d ．
又a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n a k ，…，成等比数列， ∴ 该数列的公比为q ＝
13a a ＝d
d
3＝3， ∴ n a k ＝a 1·3n +1．
又n a k ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1， ∴ k n ＝3n +1为数列{k n }的通项公式． 20．解析：(1)由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2，
有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5，∴ b 1＝a 2－2a 1＝3． 由S n ＋1＝4a n ＋2 ①，则当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2． ② ②－①得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴ a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．
又∵ b n ＝a n ＋1－2a n ，∴ b n ＝2b n －1．∴ {b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． ∴ b n ＝3×2 n －1．
(2)∵ c n ＝n n
a 2，∴ c n ＋1－c n ＝112++n n a －n n a 2＝1122++-n n n a a ＝12+n n
b ＝11223+-⨯n n ＝4
3，
c 1＝
2
1a ＝21，∴ {c n }是以21为首项，43
为公差的等差数列．
(3)由(2)可知数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是首项为21，公差为43的等差数列． ∴
n
n a 2＝21＋(n －1)43＝43
n －4
1，a n ＝(3n －1)·2n －2是数列{a n }的通项公式． 设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2．
S n ＝2S n －S n
＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n －1
＝－1－3×1
21
21－－－n ＋(3n －1)·2n －1
＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1 ＝2＋(3n －4)·2n －1．
∴ 数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1．。