凹槽深度理论研究

3.2 超声喷丸冲击工件表面凹坑深度理论计算
在强动载荷作用下，材料内部常常处于高压、高应变率的状态下，所表现出的许多力学性能明显地不同于准静态，其中最重要的一个方面就是动态的屈服应力较静态屈服应力有很大的不同，动态的本构关系对应变率具有相关性，亦即材料对变形速率的敏感性。

通常认为金属材料的塑性变形的微观机制是位错的不可逆运动。

当撞针冲击工件时，以开始接触点为坐标原点建立坐标系，如图3.1所示，其中xoy平面为各向同性面。

沿工件厚度方向即坐标轴oz方向为各向异性面。

图3.1 撞针冲击金属板料示意图
由于撞针直径一般为1~3mm，金属板料尺寸相对撞针大很多倍，所以将金属板料看作
v垂直冲击到工件上半无限大体，并且不考虑板料厚度的影响。

当撞针以较大的相对速度
时，工件上与撞针接触区域会发生弹塑性变形，使得碰撞结束后工件表面留下永久凹坑。

图3.2 金属板料表面受撞针工作端冲击后的弹塑性变形将撞针与金属板料表面的碰撞接触过程分为三个阶段考虑。

第一阶段为弹性变形，当接触区的任一点压应力增加到板料屈服应力时，标志该阶段结束。

第二阶段，塑性变形区从接触区的中心开始产生，并向四周扩展增大。

这一阶段接触区可分为两个部分，中心部分为一r的圆，即塑性变形区，所受压应力不变，边缘部分为一个与塑性变形区同心的圆
个半径为
1
环，是弹性变形区。

这一阶段一直持续到撞针与板料的相对速度减至零为止。

第三阶段为回弹期，板料将储存的弹性势能释放出来，凹坑的半径减小，撞针速度反向增大。

这一阶段持
续到撞针完全离开板料表面为止[40]。

三个阶段中板料与撞针接触区域的变形情况如图3.2所
示。

碰撞的第一阶段为弹性变形。

假设撞针为刚性球体（即假设它的杨氏模量E 趋近于无穷大），根据文献[41]中撞针与横观各向同性材料的接触理论，得到接触区域发生局部弹性变形而产生的凹坑半径a r 的公式为
1/312[3()/8]a r FR δδ=-
（3.1）
式中：R 为撞针半径；F 为撞针对横观各向同性材料的总压力。

122)
z z G δδ-=
（3.2）
2
22
4(1)[(2)(1)]x x x z
z
z z z
z z x x
z H E E G G E G E E E υυυυ=+---+ （3.3）
式中：x E ，x G ，x υ分别表示横观各向同性材料中各向同性面的杨氏模量、剪切模量和泊松比，且有/[2(1)]x x x G E υ=+；z E ，z G ，z υ分别表示垂直于各向同性面的杨氏模量、剪切模量和泊松比。

当取z x E E =，z x G G =，z x υυ=时，材料退化为各向同性固体，此时式
（3.2）简化为2122(1)/x x E δδυ-=-，所以凹坑半径为2
1/3[3(1)/(4)]a x x r FR E υ=-，与各
向同性球和无穷大半空间各向同性固体的接触理论的结果一致。

由赫兹碰撞定理知，发生弹性变形时，凹坑的深度h 与半径a r 的关系为
2a r Rh =
（3.4）
令122/()ti E δδ=-，
发生弹性变形时凹坑深度与受力的关系为*3/2
F ti h =，假设撞针的质量为m ，所以第一阶段的运动式为
2*3/22]ti d h m h dt =-
（3.5）
在半径为a r 的圆形碰撞接触区内的压应力分布为
()(/2)c a r r E R σσπ==
（3.6）
式中c σ为接触区中心的压应力。

由赫兹原理可知23/(2)c a F r σπ=为最大压力值，并且
最大压应力max σ发生在接触面的中心，值为c σ。

当最大压应力max σ达到工件的屈服极限s σ时，即c s σσ=，第一阶段结束，由式（3.5）解得此时各参数的临界值为
1*
2s a ti R r πσ=E ，2
1*2s ti h R πσ⎡⎤=⎢⎥E ⎣⎦
，
.
1h =（3.7）
式（3.7）也是第二阶段的初始条件。

第二阶段，凹坑半径a r 继续增大，并从接触区中心开始产生塑性变形。

设当撞针与金属板料的相对速度减至零时塑性变形区的半径为1r ，此时从半径1r 到a r 为弹性变形环。

由于弹
性环内的压力仍由式（3.6）决定，积分可得弹性环内的受力1F 为
()
1
3*
2223321
1*24136a
r ti
a
s r ti r r R F R
σπE -==
=E ⎰
（3.8）
由于塑性变形区的屈服应力为常量s σ，则整个接触区内的受力为：2
11s F F r πσ=+，
利用式（3.4）（3.6）得到运动式为
33222*2
112s s ti R d h m R h dt σππσ⎡⎤
=--⎢⎥E ⎣⎦
（3.9）
根据初始条件式（3.7），得凹坑深度的最大值为
1
2
2
522*3322max
01*2*216161512s ti s ti s ti R R m h v h R m σπσπσπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫E ⎢⎥=+-+ ⎪ ⎪ ⎪E E ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
（3.10）
所以凹坑半径a r 的最大值为
(
)
max 112
22
1522*2212
2
22
max 01*2*21661512s ti s a ti s ti R R m r Rh R v h R m σπσπσπ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎪E ⎢⎥==+-+ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪E E ⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭（3.11）
在第三阶段，也就是弹性恢复期，弹性环恢复为金属板料表面，而半径为1r 的塑性区成为永久的凹坑。

根据第二阶段弹性环产生的受力
1F ，及弹性恢复期中塑性变形区产生的受力
21[2)]
r E R ππ，
22
1a u r r ≡-，222*20/(4)s ti u R E σπ=，所以在第三阶段的运动式为222*2
0/(4)s ti u R E σπ=，所以在第三阶段的运动式为
31
2*22212223ti d u m u r u dt ⎡⎤=-E -⎢⎥⎣⎦ （3.12）
根据初始条件0t =时，0u u =，0u ⋅
=，以及在达到最大应变值时应力为s σ，利用式（3.6）（3.12）得到永久凹坑的半径1r 和反弹系数e 分别为
12
2
5222222
221
01*2*2166156s ti s ti s ti R R m r R v h R m σπσπσπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫E ⎢⎥=+-- ⎪ ⎪ ⎪E E ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （3.13）
1153*22
2
1
220
0222
1153ti
r e u u v m R
⎛⎫⎛⎫E =
+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（3.14）
对于一个足够浅的永久塑性凹坑，凹坑的深度p h 与永久凹坑半径1r 的关系式为
212p r Rh ≈，所以，永久性凹坑的深度为
1
2
2
522*2222201*2*211626156s ti s p ti s ti R R m h v h R m σπσπσπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫E ⎢⎥=+-- ⎪ ⎪ ⎪E E ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦。