大学物理第1章习题讲解

与2b，质点的加速度恒指向椭圆中心。
解(1):
v? ? dr? / dt ? ? (a?
?
sin ? t )i ? (b?
?
cos? t) j
a?
?
dv? / dt
?
? (a?
2
cos ?
? t)i ?
(b?
2
sin ?
? t)j
? ? ? 2r? （加速度恒指向原点）
(2)证明 :
椭圆
x ? a cos? t ? cos? t ? x / a? x 2 y2
y ? b sin ? t ?
sin ? t
?
y/b
?? ?
? ?1 a2 b2
1.5 以初速度20m/s竖直上抛一物体以后，又以 10m/s的初速竖直上抛另一物体，在高度为 4m的地 方相遇。试求上抛两物体的时间差为多少？
解: 对于先抛的物体
20t1
?
1 2
gt1 2
?
百度文库
4?
20 ? t1 ?
400 ? 8g g
对于后抛物体
10t 2
?
1 2
gt2 2
?
4?
10 ? t2 ?
100 ? 8g g
20 ? 400 ? 8g
取： t1 ?
g
10 ? t2 ?
100 ? 8g ,或 g
10 ? t2 ?
100 ? 8g g
1
? t1
?
(20? g
400? 8g ? 10?
100? 8g) ? 2.4s
——后抛物体下落过程中相遇
v2 A
?
v2 B
?
2vAvB
cos 60?
vA ? vB ? 10002 ? 8002 ? 2? 1000? 800? cos60? vAB
? 917km / s
南
sin ? ? vA ? vB sin ? ? 1000 ? 800? sin 30?
vAB
917
? ? 40?52' (西偏南)
1.13 一架飞机从 A处向北飞到 B处，然后又向南飞到
? ? ? 10 ?16 '
1.10 如图所示， AB两轮上套有皮带， A轮的半径
R1=40cm，转速为 180r/min ，求角速度 ω 1。B轮 用皮带转动，其半径 R2=20cm ，求B轮的角速度
ω2 。
A
B
180
? 1 ? 2?n1 ? 2? ? 60 ? 6? ? 18.84(rad / s) ? v ? R 1? 1 ? R 2? 2
?
t1
?
L? v? u
L v? u
?
2vL v2 ? u2
?
2L v
???1
?
1 u2
/ v2
?? ? ?
1?
t0 u2
/ v2
u? v?机往 v?
v?机返 v? u?
(3) v机往 ? v机返 ? v 2 ? u 2
L
L
? t2 ?
? v2 ? u2
? v2 ? u2
（3）如果空气的速度由东向西，试证明来回飞行的
时间为 t 2 ? t 0 / 1 ? u 2 / v 2
证明：
(1)
v?机
? v?v?机
? v?（机 ? (u ? 0)
? u? 气）
（气 ?
地）
t往 ? t返 ? L / v
? t0 ? t往 ? t返 ? 2L / v
(2) v机往 ? v ? u，v机返 ? v ? u
v?1
?
? 2i ?
? 4 j,
a?1
?
? ?4j
当 t = 2 s 时：
r?2
?
? 4i ?
? 11 j ,
v?2
?
? 2i ?
? 8j,
a?2
?
? ?4 j
1.2 已知质点的运动方程为 r=(acosωt)i+(bsinωt)j，
其中 a，b，ω为正常数。
（1） 计算质点的速度和加速度；
（2） 证明运动的轨迹是椭圆，其长短轴分别为 2a
? x ? v0xt
?v0x ? 5000/15
? ?
y
?
v0yt ? 1/ 2gt2
?
??200 ? 15v0y ? 1/ 2? 9.8? 152
解得：
?v0x
? ?
v
0
y
? ?
1000 / 3(m / s) 260 .5 / 3(m / s)
?
??(1) ?
? ? arctan( v0 y / v0x) ? arctan 0.2605 ? 14.6?
1.1 一质点在xy平面上运动，运动函数为： x =2t, y =19-2t2。
（1）求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线。 （2）求 t1 = 1s 和 t2 = 2s 时，质点的位置、速 度和加速度。
解(1): x ? 2t ? t ? x / 2
y ? 19 ? 2t 2 ? 19 ? 2? ( x / 2)2 ? 19 ? x 2 / 2
1
? t2
?
(20 ? g
400? 8g ? 10?
100? 8g) ? 3.3s
——后抛物体上升过程中相遇
1.7 用炮弹射击离炮台水平距离为 5000m，高度为
200m 处山坡上的目标，已测出从炮弹出口到击中目
标所经过的时间为 15s ,若不计空气的阻力，求：
（1）炮筒的仰角 θ （2）炮弹的出口速度 v0 （3）炮弹所能达到的最大高度 Hmax （4）命中目标时炮弹的速度 vt
??(2) v0 ?
v2 0x
?
v2 0y
?
344.4m / s
(3)
H max
?
v2 0y
/
2g
?
384 .7m
? vx ? v 0 x ? 1000 / 3(m / s)
(4)
? ?
vy
?
v0y ?
gt
?
? 60 .2(m
/ s)
v?
v2 x
?
v2 y
?
339 (m
/ s)
tan ? ? vy / vx ? ? 0.181
A处。飞机相对于空气的速度为 v，而空气相对于地
面的速度为 u，A、B 之间的距离为 L，飞机相对于空
气的速率 v保持不变。 （1）如果空气是静止的（即 u=0），试证明来回飞
行的时间为 t 0 ? 2L / v
（2）如果空气的速度由南向北，试证明来回飞行的
时间为 t1 ? t 0 /(1 ? u 2 / v 2 )
y/m
20
10
0
246
x /m
-10
(2)
位置矢量： r? ?
? xi ?
? yj ?
? (2t)i ?
(19 ?
? 2t 2 ) j
速度： v? ?
dx
? i?
dy
? j?
? 2i ?
? 4tj
加速度：a? ?
ddvt?
?
dt ?
?4 j
dt
当 t = 1 s 时：
r?1
?
? 2i ?
? 17 j ,
? 2 ? R 1? 1 / R 2 ? 40 ? 6? / 20 ? 37 .68(rad / s)
1.12 飞机A以vA=1 000km/h 的速率（相对地面） 向南飞行，同时另一架飞机 B以vB=800km/h 的速率 （相对地面）向东偏南 30o角方向飞行。求 A机相对
于B机的速度。
v ? ? ? 30? 东 AB